高考数学一轮复习 第二章 函数 2.4 二次函数性质的再研究与幂函数课件 文 北师大版
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新课标2023版高考数学一轮总复习第2章函数第4节二次函数与幂函数课件
考向3 二次函数的最值 已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，
求实数a的值．
解：f(x)＝a(x＋1)2＋1－a． ①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题 意，舍去．
②当a＞0时，函数f(x)在区间[－1,2]上单调递增，最大值为f(2) ＝8a＋1＝4，解得a＝38．
考向2 二次函数的单调性
若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递
减，则实数a的取值范围是( )
A．[－3,0)
B．(－∞，－3]
C．[－2,0]
D．[－3,0]
D 解析：当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递 减，满足题意．当a≠0时，f(x)的图象对称轴为x＝3－ 2aa．由f(x)在[－
第二章 函数
第四节 二次函数与幂函数
考试要求：1．通过具体实例，结合y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝
1
x2，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 2．理解简单二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不
等式之间的关系解决简单问题．
01
必备知识·回顾教材重“四基”
一、教材概念·结论·性质重现 1．幂函数的概念 一般地，函数 y＝xα 称为幂函数，其中 α 为常数．
求二次函数解析式的策略
1．若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值 是m，则M－m( )
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
B 解析：设x1，x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值 点，
考点1 考点2 考点3
2.4幂函数与二次函数课件高三数学一轮复习
单调递减，则 n 的值为( B )
A．－3
B．1
C．2
D．1 或 2
【解析】 由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1，解得 n＝1 或 n＝－3，经检验只 有 n＝1 符合题意，故选 B.
12
12
11
3．若 a＝ 2 3 ，b＝ 5 3 ，c＝ 2 3 ，则 a，b，c 的大小关系是( D )
A．a<b<c
B．c<a<b
C．b<c<a
D．b<a<c
【解析】
∵y＝x
2 3
(x>0)是增函数，∴a＝12
2 3
>b＝15
2 3
.∵y＝12x 是减函数，
∴a＝12
2 3
<c＝12
1 3
，∴b<a<c.故选
D.
考点二 求二次函数的解析式
【例 1】 已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，试确 定此二次函数的解析式．
【思路探索】 根据 f(2)，f(－1)可设一般式；根据 f(x)的最大值为 8，可设顶点式； 根据隐含的 f(2)＋1＝0，f(－1)＋1＝0 可考虑零点式．
【解】 解法一(利用一般式)： 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
4a＋2b＋c＝－1， 由题意得4aa－c4－ba＋b2c＝＝8－，1，
上单调
在x∈－2ba，＋∞上单调递减
函数的图象关于 x＝－2ba 对称
提醒：二次函数系数的特征 (1)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系数 a 的正负决定图象的开口方向及开口大小． (2)－2ba的值决定图象对称轴的位置． (3)c 的取值决定图象与 y 轴的交点． (4)b2－4ac 的正负决定图象与 x 轴的交点个数．
二次函数与幂函数一轮复习课件(共21张PPT)
4
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
实数 a 的值.
【解析】函数 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1 的图象的对称轴为直线 x=a,且函数图象开
有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,并且能避开复杂的推理与计算,大大简化解题过程.解决
二次函数问题时,注重“形”与“数”的有机结合.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小
值为 3,则实数 m 的取值范围是 [1,2] .
【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示,从图
3-2
【解析】(1)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3-2
2
2
∵0<m≤ ,∴
2
.
≥1,
∴g(m)=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|3m-2|,|4-m|}=max{2-3m,4-m}.
又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.
解析
3-2
(2)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3
, 3 ,则 f
1
2
=
.
【解析】(1)设幂函数的解析式为 f(x)=xα,∵该函数的图象经过点
1
,
3
1
2
3 ,∴3-α= 3,解得 α=- ,
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
实数 a 的值.
【解析】函数 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1 的图象的对称轴为直线 x=a,且函数图象开
有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,并且能避开复杂的推理与计算,大大简化解题过程.解决
二次函数问题时,注重“形”与“数”的有机结合.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小
值为 3,则实数 m 的取值范围是 [1,2] .
【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示,从图
3-2
【解析】(1)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3-2
2
2
∵0<m≤ ,∴
2
.
≥1,
∴g(m)=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|3m-2|,|4-m|}=max{2-3m,4-m}.
又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.
解析
3-2
(2)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3
, 3 ,则 f
1
2
=
.
【解析】(1)设幂函数的解析式为 f(x)=xα,∵该函数的图象经过点
1
,
3
1
2
3 ,∴3-α= 3,解得 α=- ,
高考数学(理)一轮复习课件：第二章第四节 幂函数与二次函数(广东专用)
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
综上可知，当 0＜λ≤2 时，函数 g(x)在[－1＋2 λ，＋∞)上 是增函数．
因此 g(x)在(0,1) 上是增函数， 又 g(0)＝－1＜0，g(1)＝2－|λ－1|＞0， 故函数 g(x)在区间(0,1)上只有唯一的零点．
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
已知关于 x 的二次函数 f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t. (1)求证：对于任意 t∈R，方程 f(x)＝1 必有实数根； (2)若12＜t＜34，求证：方程 f(x)＝0 在区间(－1,0)及(0，12) 上各有一个实根．
【证明】 (1)由于 f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t. ∴f(x)＝1⇔(x＋2t)(x－1)＝0，(*) ∴x＝1 是方程(*)的根，即 f(1)＝1. 因此 x＝1 是 f(x)＝1 的实根，即 f(x)必有实根． (2)当12＜t＜34时，f(－1)＝3－4t＞0.
A．m＝－2
B．m＝2
C．m＝－1
D．m＝1
【解析】 ∵f(x)＝x2＋mx＋1 的对称轴方程为 x＝－m2 . ∴－m2 ＝1，∴m＝－2.
【答案】 A
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
3．(2011·陕西高考)函数 y＝x31的图象是( )
【解析】 因为当 x＞1 时，x＞x13，当 x＝1 时，x＝x31（广东专用）
(2)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝1可知c＝1. 又f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)＝2ax ＋a＋b， 由f(x＋1)－f(x)＝2x，可得2a＝2，a＋b＝0. 因而a＝1，b＝－1.所以f(x)＝x2－x＋1.
高考数学全程一轮复习第二章函数第五节二次函数与幂函数课件
(4)当－2ba>n时，最小值和最大值分别是多少？
提示：(1)最小值为f(m)，最大值为f(n)；(2)最小值为f(－2ba)，最大值为f(n)；(3) 最小值为f(－2ba)，最大值为f(m)；(4)最小值为f(n)，最大值为f(m)．
关键能力·题型剖析 题型一 幂函数的图象与性质
p
例1 (1)已知幂函数y＝xq(p，q∈Z且p，q互质)的图象关于y轴对称， 如图所示，则( )
所以f(－1)＝6a＝12，a＝2，所以f(x)＝2x2－10x.
角度二 二次函数的图象 例3 (多选)设abc<0，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
答案：ABD
题后师说
识别二次函数图象应学会“三看”
巩固训练3 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则函数f(x)的 图象可能是( )
第五节 二次函数与幂函数
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必备知识 1.幂函数 (1)幂函数的概念
注意幂函数与指数函数的区别 一般地，函数__y_＝__xα___叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图像与性质
函数 y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域 R
R
5
4
4
A．c<a<b B．c<b<a
C．a<c<b D．b<c<a
答案：A
1
1
1
3
1
解又0析<：27<因1<为16a<＝1，45y＝2＝x14在1265 (04<，1＋，∞b＝)上54单5>调1递，增c＝，34
高考数学一轮复习 第2章 函数 第5节 二次函数性质的再研究与幂函数课件 文
探
究
返
首
页
12/7/2021
第十三页，共六十三页。
14
课
二、教材改编
前
自 主 回
1．已知幂函数 f(x)＝k·xα 的图像过点12， 22，则 k＋α＝(
) 课
顾
后
1 A.2
B．1
3 C.2
D．2
限 时
集
课 堂
C [因为函数 f(x)＝k·xα 是幂函数，所以 k＝1，又函数 f(x)的图 训
考
点 探 究
考
点 探
m2＋m－1＝1，
究 的减函数，所以－5m－3＜0， 解得 m＝1.]
返
首
页
12/7/2021
第二十二页，共六十三页。
23
课 前 自
3．若 a＝1223，b＝1523，c＝1213，则 a，b，c 的大小关系是(
)
主 回
A．a＜b＜c
B．c＜a＜b
课
顾
后
C．b＜c＜a
D．b＜a＜c
限
时
课 堂 考
集 训
堂
考
点
探
究
返
首
页
12/7/2021
第二十一页，共六十三页。
22
2．当 x∈(0，＋∞)时，幂函数 y＝(m2＋m－1)x－5m－3 为减函数，
课
前 则实数 m 的值为( )
自
主
回
A．－2
B．1
课
顾
后
C．1 或－2
D．m≠－12± 5
限 时 集
课 堂
B [因为函数 y＝(m2＋m－1)x－5m－3 既是幂函数又是(0，＋∞)上 训
2015届高考数学(浙江文)一轮复习课件：2.4二次函数与幂函数
[例 1] (2014·郑州模拟)设 abc＞0，二次函数 ) f(x)＝ax2＋ bx＋ c 的图象可能是(
b 【解析】 A 项，∵a＜0，－ ＜0，∴b＜0.又∵abc＞0，∴c＞0，由图知 f(0)＝c＜0， 2a b 故 A 错；B 项，∵a＜0，－ ＞0，∴b＞0，又∵abc＞0，∴c＜0，而 f(0)＝c＞0，故 B 2a b 错；C 项，∵a＞0，－ ＜0，∴b＞0，又∵abc＞0，∴c＞0，而 f(0)＝c＜0，故 C 错； 2a b D 项，∵a＞0，－ ＞0，∴b＜0，又∵abc＞0，∴c＜0，由图知 f(0)＝c＜0，故选 D. 2a
【考情分析】
高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低，且多以 选择题形式出现，难度偏大，属中高档题．
【命题角度】
高考对二次函数图象与性质的考查主要有以下几个命题角度： (1)二次函数图象的识别问题；
(2)二次函数的最值问题；
(3)二次函数图象与其他图象有公共点问题．
高频考点全通关——二次函数图象与性质的应用 闯关二：典题针对讲解——二次函数图象的识别问题
【答案】
D
高频考点全通关——二次函数图象与性质的应用
闯关二：典题针对讲解——二次函数的最值问题
[例 2] (2013·辽宁高考 )已知函数 f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－ x2＋ 2(a － 2)x － a2 ＋ 8. 设 H1(x) ＝ max{f(x) ， g(x)} ， H2(x) ＝ min{f(x) ， g(x)}(max{p， q} 表示 p，q 中的较大值， min{p，q}表示 p， q 中的较小 值)．记 H1(x)的最小值为 A， H2(x)的最大值为 B，则 A－B＝( A．a2－2a－ 16 B．a2＋ 2a－16 C．－ 16 ) D． 16
b 【解析】 A 项，∵a＜0，－ ＜0，∴b＜0.又∵abc＞0，∴c＞0，由图知 f(0)＝c＜0， 2a b 故 A 错；B 项，∵a＜0，－ ＞0，∴b＞0，又∵abc＞0，∴c＜0，而 f(0)＝c＞0，故 B 2a b 错；C 项，∵a＞0，－ ＜0，∴b＞0，又∵abc＞0，∴c＞0，而 f(0)＝c＜0，故 C 错； 2a b D 项，∵a＞0，－ ＞0，∴b＜0，又∵abc＞0，∴c＜0，由图知 f(0)＝c＜0，故选 D. 2a
【考情分析】
高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低，且多以 选择题形式出现，难度偏大，属中高档题．
【命题角度】
高考对二次函数图象与性质的考查主要有以下几个命题角度： (1)二次函数图象的识别问题；
(2)二次函数的最值问题；
(3)二次函数图象与其他图象有公共点问题．
高频考点全通关——二次函数图象与性质的应用 闯关二：典题针对讲解——二次函数图象的识别问题
【答案】
D
高频考点全通关——二次函数图象与性质的应用
闯关二：典题针对讲解——二次函数的最值问题
[例 2] (2013·辽宁高考 )已知函数 f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－ x2＋ 2(a － 2)x － a2 ＋ 8. 设 H1(x) ＝ max{f(x) ， g(x)} ， H2(x) ＝ min{f(x) ， g(x)}(max{p， q} 表示 p，q 中的较大值， min{p，q}表示 p， q 中的较小 值)．记 H1(x)的最小值为 A， H2(x)的最大值为 B，则 A－B＝( A．a2－2a－ 16 B．a2＋ 2a－16 C．－ 16 ) D． 16
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第二章 函 数第4节 幂函数与二次函数
第
一
章
[课程标准要求]
2
3
1.通过具体实例,结合 y=x,y= ,y=x ,y= ,y=x 的图象,理解它
们的变化规律,了解幂函数.2.理解二次函数的图象和性质,能
用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
积累·必备知识
回顾教材,夯实四基
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是 自变量 ,α是常数.
2
2
所以 f(x)=a(x- ) +8.因为 f(2)=-1,所以 a(2- ) +8=-1,
2
2
解得 a=-4,所以 f(x)=-4(x- ) +8=-4x +4x+7.
法三
(利用“零点式”解题)
由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),
2
即 y= x -x-4.
(2)已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离
等于2,则二次函数的解析式为
2
Hale Waihona Puke 2y= x +x- 或 y=- x -x+
.
解析:(2)因为二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),
所以可设二次函数为y=a(x+3)(x-1)(a≠0),
位置.
(3)三看特殊点:看函数图象上的一些特殊点,如函数图象与y轴
的交点、与x轴的交点、函数图象的最高点或最低点等.
一
章
[课程标准要求]
2
3
1.通过具体实例,结合 y=x,y= ,y=x ,y= ,y=x 的图象,理解它
们的变化规律,了解幂函数.2.理解二次函数的图象和性质,能
用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
积累·必备知识
回顾教材,夯实四基
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是 自变量 ,α是常数.
2
2
所以 f(x)=a(x- ) +8.因为 f(2)=-1,所以 a(2- ) +8=-1,
2
2
解得 a=-4,所以 f(x)=-4(x- ) +8=-4x +4x+7.
法三
(利用“零点式”解题)
由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),
2
即 y= x -x-4.
(2)已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离
等于2,则二次函数的解析式为
2
Hale Waihona Puke 2y= x +x- 或 y=- x -x+
.
解析:(2)因为二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),
所以可设二次函数为y=a(x+3)(x-1)(a≠0),
位置.
(3)三看特殊点:看函数图象上的一些特殊点,如函数图象与y轴
的交点、与x轴的交点、函数图象的最高点或最低点等.
北师大版高三数学(理)一轮复习《二次函数性质的再研究与幂函数》课件
A.
-∞,
-√5-1 2
B.
√5-1 2
,
+
∞
C.(-1,2)
D.
√5-1 2
,2
设
f(x)=xα,则
2α=√2
=
1
22
,∴α=1.
2
1
∴f(x)=������2,且 f(x)为[0,+∞)上的增函数.故原不等式等价于
2������ + 1 ≥ 0,
������2 + ������-1 ≥ 0,
2������ + 1 > ������2 + ������-1,
定点
(0,0),(1,1)
(1,1)
第二章
2.4 二次函数性质的再研究与幂函数
考纲要求
知识梳理
双击自测
核心考点
-5-
2.二次函数 (1)二次函数的三种形式: 一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); 顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)为顶点坐标; 零点式:f(x)=a(x-x1)·(x-x2)(a≠0),其中x1,x2为二次函数的零点. (2)二次函数的图像和性质
1 3,即
2
33 2
2
c>a.
关闭
∴D c>a>b.故选 D.
解析 答案
第二章
2.4 二次函数性质的再研究与幂函数
考纲要求
知识梳理
双击自测
核心考点
-15-
考点1
考点2
考点3 知识方法 易错易混
(3)已知幂函数f(x)的图像经过点(2, √2 ),且f(2m+1)>f(m2+m-1),则 m的取值范围是( )
2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第4讲 二次函数性质的再研究与幂函数课件 理
解析
(1)由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1，
解得 n＝1 或 n＝－3，当 n＝1 时，函数 f(x)＝x－2 为 偶函数，其图象关于 y 轴对称，且 f(x)在(0，＋∞) 上是减函数，所以 n＝1 满足题意；当 n＝－3 时， 函数 f(x)＝x18 为偶函数，其图象关于 y 轴对称，而 f(x)在(0， ＋∞)上是增函数， 所以 n＝－3 不满足题 意，舍去.故选 B.
解析
(1)由 A，C，D 知，f(0)＝c＜0.∵abc＞0，∴ab＜0，
b ∴对称轴 x＝－ ＞0，知 A，C 错误，D 符合要求.由 B 知 2a b f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－ ＜0，B 错误. 2a
(2)作出二次函数 f(x)的草图，对于任意 x∈[m， m＋1]，都有
f（m）＜0， f(x)＜0，则有 f（m＋1）＜0，
1 ， 2
2 ，则 k＋α＝( 2 B.1
) 3 C.2 D.2
1α 2 2 所以 2 ＝ 2 ， 2，
1 A.2
解析
1 由幂函数的定义知 k＝1.又 f2＝
1 3 解得 α＝ ，从而 k＋α＝ . 2 2
答案 C
4.(2016· 汉中模拟)已知函数 h(x)＝4x2－kx－8 在[5，20]上是 单调函数，则 k 的取值范围是( A.(－∞，40] C.(－∞，40]∪[160，＋∞) )
＞1， 即 0＜a＜1 时， 函数 f(x)的图象的对称轴在[0， 1]的右侧， ∴f(x)在[0，1]上递减.∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
(3)当 a＜0 时，函数 f(x)的图象的开口方向向下，且对 1 称轴 x＝a＜0，在 y 轴的左侧，∴f(x)在[0，1]上递减. ∴f(x)min＝f(1)＝a－2.综上所述， a－2，a＜1， f(x)min＝ 1 － ，a≥1. a
高考数学一轮复习 2-4二次函数与幂函数课件 文
ppt精选
18
基础诊断
考课点堂突总破结
(2)令 f(x)＝g(x)，即 x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8， 即 x2－2ax＋a2－4＝0，解得 x＝a＋2 或 x＝a－2.f(x)与 g(x)的 图象如图．
ppt精选
8
基础诊断
考课点堂突总破结
3. 3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值为________．
解析 因为 3－aa＋6＝ 18－3a－a2
＝ －a＋322＋841，由于－6≤a≤3，
所以当 a＝－32时， 3－aa＋6有最大值92.
答案
9 2
ppt精选
9
基础诊断
考课点堂突总破结
4．已知幂函数
q}表示 p，q 中的较大值，min{p，q}表示 p，q 中的较小值)．记
H1(x)的最小值为 A，H2(x)的最大值为 B断
考课点堂突总破结
解析 (1)由①③④知，f(0)＝c＜0. ∵abc＞0，∴ab＜0，∴对称轴 x＝－2ba＞0， 知①，③错误，④符合要求． 由②知 f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－2ba＜0，②错误．
6
基础诊断
考课点堂突总破结
诊断自测 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．( × ) (2)幂函数的图象不经过第四象限．( √ ) (3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．( × ) (4) 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c ， x ∈ [a， b] 的 最 值 一 定 是 4ac－b2
．
• ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． • ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
高考文数学一轮复习课件第二章第四节二次函数与幂函数
-3, 2.
∴f(x)=-3x2+6x-1,
当a=0时,不符合题意,故f(x)=-3x2+6x-1.
2-3 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,其两根之和为4,两根之积为3,且其图象过
点(2,-1),求不等式f(x)≤0的解集.
解析
由题意可得-acba34, ,
4a 2b
c
Байду номын сангаас
a
解得b
-1,
c
1, -4, 3,
∴f(x)=x2-4x+3,f(x)≤0,即x2-4x+3≤0,即(x-1)(x-3)≤0,解得1≤x≤3,
因此,不等式f(x)≤0的解集为{x|1≤x≤3}.
考点三 二次函数的图象与性质
命题方向一 二次函数的图象
典例3 下图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,图象过点A(-3,0),对 称轴为直线x=-1,给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.其 中正确的结论是 ( B ) A.②④ B.①④ C.②③ D.①③
(1)幂函数的定义: 形如⑦ y=xα 的函数称为幂函数,其中x是⑧ 自变量 ,α为⑨ 常数 . (2)幂函数的性质: (i)当α>0时,幂函数y=xα有下列性质: a.图象都经过点⑩ (0,0) 、(1,1). b.在第一象限内,函数值随x的增大而增大. (ii)当α<0时,幂函数y=xα有下列性质:
命题方向三 二次函数的最值问题
典例5 已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3. (1)当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值域; (2)若函数f(x)在[1,3]上的最大值为1,求实数a的值.
2020高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用2.4二次函数与幂函数课件文
1
2．形如 y＝xα(α∈R)才是幂函数，如 y＝3x 2 不是幂函数．
【小题热身】
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1) 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c ， x∈[a ， b] 的 最 值 一 定 是 4ac－b2 4a .( × ) (2)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．( × ) (3)二次函数 y＝x2＋mx＋1 在[1，＋∞)上单调递增的充要条件 是 m≥－2.( √ ) (4)幂函数的图象不可能出现在第四象限．( √ ) (5)当 n>0 时，幂函数 y＝xn 在(0，＋∞)上是增函数．( √ )
C.210，＋∞ D.－210，0
解析：由题意知aΔ><00，，
即a1>－02，0a<0，
得
1 a>20.
答案：C
1
1
5．[教材改编]设 a＝2 2 ，b＝1.8 3 ，则 a，b 的大小关系是
________．
1
1
1
1
1
解析：∵2 2 >1.8 2 >1.8 3 ，∴2 2 >1.8 3 ，即 a>b.
b<a<c.
答案：A
1
1
3．若(a＋1) 2 <(3－2a) 2 ，则实数 a 的取值范围是________．
1
解析：易知函数 y＝x 2 的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增 函数，
所以 a3＋ －12≥ a≥0， 0， a＋1<3－2a，
解得－1≤a<23.
答案：－1，23
悟·技 1.利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂， 再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
2．形如 y＝xα(α∈R)才是幂函数，如 y＝3x 2 不是幂函数．
【小题热身】
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1) 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c ， x∈[a ， b] 的 最 值 一 定 是 4ac－b2 4a .( × ) (2)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．( × ) (3)二次函数 y＝x2＋mx＋1 在[1，＋∞)上单调递增的充要条件 是 m≥－2.( √ ) (4)幂函数的图象不可能出现在第四象限．( √ ) (5)当 n>0 时，幂函数 y＝xn 在(0，＋∞)上是增函数．( √ )
C.210，＋∞ D.－210，0
解析：由题意知aΔ><00，，
即a1>－02，0a<0，
得
1 a>20.
答案：C
1
1
5．[教材改编]设 a＝2 2 ，b＝1.8 3 ，则 a，b 的大小关系是
________．
1
1
1
1
1
解析：∵2 2 >1.8 2 >1.8 3 ，∴2 2 >1.8 3 ，即 a>b.
b<a<c.
答案：A
1
1
3．若(a＋1) 2 <(3－2a) 2 ，则实数 a 的取值范围是________．
1
解析：易知函数 y＝x 2 的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增 函数，
所以 a3＋ －12≥ a≥0， 0， a＋1<3－2a，
解得－1≤a<23.
答案：－1，23
悟·技 1.利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂， 再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
高三数学一轮复习课件之2.4二次函数与幂函数
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(3)当 a＜0 时，f(x)＝ax2－2x 的图象开口向下且对称轴 x＝1a＜0， 在 y 轴的左侧，
所以 f(x)＝ax2－2x 在[0,1]上单调递减， 所以 f(x)min＝f(1)＝a－2.
a－2，a＜1， 综上所述，f(x)min＝－1a，a≥1.
43
[拓展探究] 若将本例中的函数改为 f(x)＝x2－2ax，其他不变， 应如何求解？
奇偶性
当 b＝0 时为偶函数
对称性
函数的图象关于直线 x＝－2ba对称
答案
2．幂函数
8
(1)定义：形如_y_＝__x_α (α∈R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，
α 是常数．
(2)五种常见幂函数的图象与性质
函数特征性质 y＝x y＝x2 y＝x3
1
y＝x2
y＝x－1
图象
定义域
_R__ _R__ _R__ {_x_|_x_≥_0_}__ {_x_|_x_≠_0_}___
02 课堂题型全突破
导 03 真题自主验效果 航
04 课后限时集训
4
课前 知识全 通 关
5
1．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝__a_x_2＋__b__x＋__c____ (a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为_(_h_，__k_) _； 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2 为 f(x)的零点．
解析答案
16
4．(教材改编)如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc 在第一象限的图 象，则 a，b，c 的大小关系为( )
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b②③的指数大于零且 b＞c，①的指数小于零，因 此 b＞c＞a，故选 D.]