不等式性质的应用
《高考数学第一轮复习课件》第41讲 不等式的性质与基本不等式及应用
(4)a>b,c>0 ac>bc ;a>b,c<0 11 ac<bc . 推论１ 推论１:a>b>0,c>d>0 12 ac>bd .
13 推论２ 推论２:a>b>0 an>bn .
n a > n b . 推论３ 推论３:a>b>0 14
3.基本不等式 基本不等式 定理1:如果 、 ∈ 那么 那么a 定理 如果a、b∈R,那么 2+b2≥ 如果 且仅当a=b时取“＝”号). 时取“ 且仅当 时取
第41讲 41讲
不等式的性质与基本不等 式及应用
1.了解现实世界与日常生活中的不 了解现实世界与日常生活中的不 等关系，了解不等式(组 的实际背景 的实际背景. 等关系，了解不等式 组)的实际背景 2.掌握并能运用不等式的性质，掌 掌握并能运用不等式的性质， 掌握并能运用不等式的性质 握比较两个实数大小的一般步骤. 握比较两个实数大小的一般步骤 3.掌握基本不等式，会用基本不等 掌握基本不等式， 掌握基本不等式 式解决简单的最大（ 值问题. 式解决简单的最大（小）值问题
新课标高中一轮 总复习
理数
第六单元 不等式及不等式选讲
知识体系
考纲解读
1.不等关系 不等关系. 不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系， 了解现实世界和日常生活中的不等关系， 了解不等式（ 的实际背景. 了解不等式（组）的实际背景 2.一元二次不等式 一元二次不等式. 一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式 会从实际情境中抽象出一元二次不等式 模型. 模型 (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相 通过函数图象了解一元二次不等式与相 应的二次函数、一元二次方程的联系. 应的二次函数、一元二次方程的联系 (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二 会解一元二次不等式， 会解一元二次不等式 次不等式，会设计求解的程序框图. 次不等式，会设计求解的程序框图
人教版高中数学必修五 第三章3.1第2课时不等式的性质与应用
第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 第2课时不等式的性质与应用A 级 基础巩固一、选择题1．若a ＞0，b ＞0，则不等式－b ＜1x ＜a 等价于( )A ．－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1aB ．－1a ＜x ＜1bC ．x ＜－1a 或x ＞1bD ．x ＜－1b 或x ＞1a解析：由题意知a ＞0，b ＞0，x ≠0， (1)当x ＞0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＞1a ；(2)当x ＜0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1b.综上所述，不等式－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1b 或x ＞1a .答案：D2．设0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab ＜b 2＜1 B ．log 12b ＜log 12a ＜0C ．2b ＜2a ＜2D ．a 2＜ab ＜1答案：C3．已知实数x，y，满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则9x－y 的取值范围是()A．[－7，26] B．[－1，20]C．[4，15] D．[1，15]答案：B4．已知a＜b＜0，那么下列不等式成立的是()A．a3＜b3B．a2＜b2C．(－a)3＜(－b)3D．(－a)2＜(－b)2解析：取a＝－2.b＝－1.验证知B，C，D均错，故选A.答案：A5.如下图所示，y＝f(x)反映了某公司的销售收入y与销量x之间的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系，当销量x满足下列哪个条件时，该公司盈利()A．x＞a B．x＜aC．x≥a D．0≤x≤a解析：当x＜a时，f(x)＜g(x)；当x＝a时，f(x)＝g(x)；当x＞a 时，f(x)＞g(x)，故选A.答案：A二、填空题6．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a这四个式子中，恒成立的序号是________． 答案：②④7．若角α，β满足－π2＜α＜β＜π3，则α－β的取值范围是________．答案：(－56π，0)8．设x ＞1，－1＜y ＜0，试将x ，y ，－y 按从小到大的顺序排列如下________．答案：y ＜－y ＜x 三、解答题9．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，判断b a －c 与ab －d 的大小．解：因为a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，所以a －c ＞b －d ＞0， 所以0＜1a －c ＜1b －d，又因为a ＞b ＞0，所以b a －c ＜ab －d.10．已知0＜x ＜1，0＜a ＜1，试比较|log a (1－x )|和 |log a (1＋x )|的大小．解：法一：|log a (1－x )|2－|log a (1＋x )|2＝[log a (1－x )＋log a (1＋x )]·[log a (1－x )－log a (1＋x )]＝log a (1－x )2log a 1－x 1＋x.因为0＜1－x 2＜1，0＜1－x1＋x＜1，所以log a (1－x 2)log a 1－x1＋x＞0.所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a （1－x ）log a （1＋x ）＝|log 1＋x (1－x )|＝ －log 1＋x (1－x )＝log 1＋x 11－x ＝log 1＋x 1＋x 1－x 2＝1－log 1＋x (1－x 2)． 因为0＜1－x 2＜1，1＋x ＞1， 所以log 1＋x (1－x 2)＜0. 所以1－log 1＋x (1－x 2)＞1. 所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|. 法三：因为0＜x ＜1，所以0＜1－x ＜1，1＜1＋x ＜2， 所以log a (1－x )＞0，log a (1＋x )＜0. 所以|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝ log a (1－x )＋log a (1＋x )＝log a (1－x 2)． 因为0＜1－x 2＜1，且0＜a ＜1， 所以log a (1－x 2)＞0.所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.B 级 能力提升1．对下列不等式的推论中： ①a ＞b ⇒c －a ＞c －b ； ②a ＞b ＋c ⇒(a －c )2＞b 2； ③a ＞b ⇒ac ＞bc ；④a ＞b ＞c ＞0⇒(a －c )b ＞(b －c )b ；⑤a ＞b ，1a ＞1b ⇒a ＞0，b ＜0.其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案：A2．若－2＜c ＜－1＜a ＜b ＜1，则(c －a )(a －b )的取值范围为________．答案：(0，6)3．若二次函数f (x )的图象关于y 轴对称，且1≤f (1)≤2；3≤f (2)≤4，求f (3)的取值范围．解：由题意设f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a ＋c ，f （2）＝4a ＋c ，所以⎩⎨⎧a ＝f （2）－f （1）3，c ＝4f （1）－f （2）3，而f (3)＝9a ＋c ＝3f (2)－3f (1)＋4f （1）－f （2）3＝8f （2）－5f （1）3，因为1≤f (1)≤2，3≤f (2)≤4， 所以5≤5f (1)≤10，24≤8f (2)≤32， 所以－10≤－5f (1)≤－5， 所以14≤8f (2)－5f (1)≤27， 所以143≤8f （2）－5f （1）3≤9，即143≤f (3)≤9.。
不等式的基本性质的应用
不等式的基本性质的应用江苏 宋文宝不等式的基本性质不仅是不等式变形的重要依据，也是解不等式（组）的基础，因此学好不等式的基本性质十分重要．下面通过几个例子一起来看看不等式的三条基本性质在解题中的应用，供同学们学习时参考．一、直接应用例1 若a ＞b ，用“＞”或“＜”填空：（1）2-a 2-b ；（2）a 2 b 2；（3）2a - 2b -． 分析：对照两边所产生的变化，正确运用不等式的基本性质是解决本题的关键．解：（1）因为a ＞b ，根据不等式的性质1，不等式a ＞b 的两边都减去2，不等号的方向不变，所以2-a ＞2-b ；（2）因为a ＞b ，根据不等式的性质2，不等式a ＞b 的两边都乘以2，不等号的方向不变，所以a 2＞b 2；（3）因为a ＞b ，根据不等式的性质3，不等式a ＞b 的两边都乘以21-，不等号的方向改变，所以2a -＜2b -． 点评：解决这类问题时，先看已知不等式与变化后的不等式两边变化情况，从而确定应用哪一个性质． 例2 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式：（1）2-x ＜3；（2）x 6＞15-x ；（3）x 4-＞4．分析：适当地选用不等式的基本性质对所给不等式进行变形，注意不等号方向的“不变”与“改变”． 解：（1）由不等式的性质1可知，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变，所以22+-x ＜23+，即x ＜5；（2）由不等式的性质1可知，不等式的两边都减去x 5，不等号的方向不变，所以x x 56-＞x x 515--，即x ＞1-；（3）由不等式的性质3可知，不等式的两边都除以－4，不等号的方向改变，所以x ＜1-．点评：解决这类问题，要观察题中不等式与所要得到的不等式在形式的差别，从而采用适当的方法进行变形．二、逆向应用例3 如果关于x 的不等式x a )1(+＞1+a 的解集为x ＜1，那么a 的取值范围是（ ）A ．a ＞0B ．a ＜0C ．a ＞1-D ．a ＜1-分析：由不等式x a )1(+＞1+a 变形成为x ＜1，则需要根据不等式的性质3，在原不等式的两边同时除以负数1+a ，即1+a ＜0，故可得a ＜1-．答案：D点评：逆用不等式的基本性质解题时，一定要注意不等号的方向是否改变，从而判断未知系数的正负性．请同学们自我评价一下，看有没有收获？1．如果x ＜y ，那么下列不等式①4-x ＜4-y ；②y x -＞0；③x 2-＞y 2-；④13-x ＞13-y 中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知关于x 的不等式x a )1(-＞2的解集为x ＜a-12，则a 的范围是（ ） A ．a ＞1 B ．a ＜1 C ．a ＞0 D ．a ＜0答案：1．B ；2．A。
不等式性质的应用
又因为1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
所以5≤3f(-1)+f(1)≤10,
故5≤f(-2)≤10.
方法二:由f(x)=ax2+bx得f(-1)=a-b①,
f(1)=a+b②,
由①+②得2a=f(1)+f(-1),
由②-①得2b=f(1)-f(-1),
从而f(-2)=4a-2b=2[f(1)+f(-1)]-[f(1)-f(-1)]=3f(-1)+f(1).
因为1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,所以3×1+2≤3f(-1)+f(1)≤3×2+4,
所以5≤3f(-1)+f(1)≤10. 所以f(-2)的取值范围是5≤f(-2)≤10,即f(-2)的取值范围是[5,10]. 答案:[5,10]
不等式性质的应用
【典例】设f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
则f(-2)的取值范围是__________.
【解题过程】
【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:错误的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了 f(-2) 的范围扩大.
【规避策略】用不等式性质求代数式取值范围的途径 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时,多次运用不等式的 性质时有可能扩大变量的取值范围.解决此类问题一般是利用整体思 想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体的范围,是避免错误的有
效途径.
【自我矫正】方法一:设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数), 则4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.
不等式的性质和应用
不等式的性质和应用不等式作为数学中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理等领域，它不仅有着严密的证明方法，而且还具有许多重要的性质和应用。
在本文中，我将就不等式的性质和应用进行一些讨论和探究。
一、不等式的性质1.传递性：不等式是具有传递性的。
也就是说，如果a<b，b<c，那么就可以得到a<c。
例如：2<3，3<4，因此2<4。
2.加减性：不等式也有加减性质。
也就是说，如果a<b，则a+c<b+c；如果a>b，则a-c>b-c。
例如：2<4，那么2+1<4+1，即3<5。
3.乘性：不等式也有乘性质。
如果a<b且c>0，则ac<bc；如果a<b且c<0，则ac>bc。
例如：2<4，2×3<4×3，即6<12。
二、不等式的应用1.解不等式：在数学中，我们常常需要解决不等式问题，例如x+5>3。
这时我们可以先把等式左右移位，得到x>-2。
也就是说，x的取值范围是大于-2的所有实数。
2.证明不等式：在数学证明中，我们也经常需要利用不等式的性质证明某些结论。
例如，在证明柯西不等式时，我们可以利用平方和的不等式，证明其正确性。
3.优化问题：不等式还可以用于解决一些优化问题。
例如，在求一个函数的最大值或最小值时，我们可以从不等式的角度出发，利用其性质进行推导和求解。
总之，不等式在数学中起着非常重要的作用，不仅有着严密的证明方法，而且还具有许多重要的性质和应用。
因此，我们在学习数学的过程中，一定要加强对不等式的学习和理解，掌握其性质和应用。
不等式的性质及应用
反证法
定义：反证法是一种通过假设相反的结论成立，然后推导出 矛盾的结论，从而证明原结论正确的方法。
步骤
1. 假设相反的结论成立。
2. 推导出矛盾的结论。
3. 得出原结论正确的结论。
例子：例如，要证明一个数不能被3整除，可以先假设它可 以被3整除，然后推导出一些矛盾的结论，从而证明原结论 正确。
放缩法
不等式的性质及应用
2023-11-09
contents
目录
• 不等式的基本性质 • 不等式的证明方法 • 不等式的应用 • 不等式在数学竞赛中的应用 • 不等式的实际应用
01
不等式的基本性质
传递性
总结词
不等式的传递性是指如果a>b且c>d，那么ac>bd。
详细描述
不等式的传递性是基于实数的有序性质，即如果a>b且c>d ，那么ac>bd。但需要注意的是，不等式的传递性不适用于 所有的数学对象，例如在复数域上就不一定成立。
详细描述
不等式的乘法单调性是指当两个数a和b满足a>b且c>0时，那么a与c的乘积大于 b与c的乘积。这个性质在解决一些实际问题时非常有用，例如在经济学中的收益 问题。
正值不等式与严格不等式
总结词
正值不等式是指a>b时，称a>b；严格不等式是指a>b且a≠b时，称a>b。
详细描述
正值不等式是指当a大于b时，我们称a大于b；严格不等式是指当a大于b且a不等于b时，我们称a大于b。在数学 中，我们通常使用严格不等式来描述两个数之间的关系，以保证它们之间没有相等的情况。
利用不等式解决其他问题竞赛题
总结词
不等式在数学竞赛中还可以用来解决其他问题，如最 优化问题、数列问题、解析几何问题等。
三角形的不等式性质总结
三角形的不等式性质总结三角形是几何学中的一个基本形状，具有多种特性和性质。
其中，三角形的不等式性质在解决三角形问题时起着重要的作用。
本文将总结三角形的不等式性质，帮助读者认识和理解三角形的性质以及在相关问题中的应用。
1. 三角形边长不等式三角形的任意两边之和必须大于第三边。
假设三角形的三边长度分别为a、b、c，根据三角形边长不等式，我们可以得到以下三个不等式：a +b > cb +c > aa + c > b例如，如果一个三角形的两边分别为3cm和4cm，那么剩余一边的长度必须大于1cm，才能构成一个三角形。
三角形边长不等式的应用使得我们可以判断给定三边长度是否能够构成一个三角形。
2. 三角形角度不等式三角形的三个内角之和等于180度。
根据三角形的角度不等式，我们可以得到以下三个不等式：∠A + ∠B + ∠C = 180°∠A < 180°∠B < 180°∠C < 180°其中，∠A、∠B和∠C分别表示三角形的三个内角。
这些不等式告诉我们三角形的角度之和是一个固定值，并且每个角度必须小于180度。
3. 三角形边长与角度之间的关系不等式三角形的边长和对应角度之间存在一定的关系。
根据三角形的正弦定理和余弦定理，我们可以得到以下不等式：a/sin∠A = b/sin∠B = c/sin∠Cc^2 = a^2 + b^2 - 2abcos∠Cb^2 = a^2 + c^2 - 2accos∠Ba^2 = b^2 + c^2 - 2bccos∠A其中，a、b、c分别表示三角形的三边长度，∠A、∠B和∠C分别表示对应的内角。
这些不等式描述了三角形的边长与角度之间的关系，可以用于求解未知的边长或角度。
4. 三角形面积的不等式三角形的面积可以通过海伦公式或三角形的高和底边长度计算得到。
根据三角形面积的不等式，我们可以得到以下不等式：面积S = 1/2 * a * b * sin∠C面积S = 1/2 * b * c * sin∠A面积S = 1/2 * c * a * sin∠B这些不等式告诉我们三角形的面积与边长和对应角度的正弦值之间存在一定的关系，可以通过这些关系计算三角形的面积。
不等式的性质和应用
不等式的性质和应用不等式是数学中比较大小关系的一种表示形式，它在实际生活中和各个学科中有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨不等式的性质以及它们在不同领域的应用。
一、不等式的性质1. 传递性不等式具有传递性，即如果a>b，b>c，则可以得出a>c。
这一性质在比较大小时起到了重要的作用。
2. 相加性对于任意的实数a、b、c，如果a>b，则a+c>b+c；如果a>b且c>0，则ac>bc。
这些相加性质可以方便地对不等式进行加减运算。
3. 相乘性对于任意的实数a、b、c，如果a>b且c>0，则ac>bc；如果a>b且c<0，则ac<bc。
这些相乘性质在不等式的乘除运算中起到了重要的作用。
4. 反向不等式两边同时取反，不等号的方向也会改变。
例如，如果a>b，则-b>-a。
这一性质在求解不等式时需要注意。
二、不等式的应用1. 经济学中的应用不等式在经济学中有着广泛的应用。
例如，用来描述消费者的预算约束条件、生产者的约束条件以及市场的供求关系等。
通过建立相应的不等式模型，可以对经济现象进行分析和预测。
2. 物理学中的应用不等式在物理学中也有着重要的应用。
例如，牛顿定律中的不等式关系、能量守恒定律中的不等式条件等，都可以通过不等式的运算和推导来得到。
3. 几何学中的应用在几何学中，不等式被广泛应用于证明和问题的求解中。
例如，通过不等式可以证明三角形的一些性质，如三角不等式；也可以用不等式求解最优化问题，如构造一个具有最大面积的矩形等。
4. 概率与统计学中的应用在概率与统计学中，不等式被用来描述和推导随机事件的概率关系。
例如，通过马尔可夫不等式可以得到随机变量的上界；通过切比雪夫不等式可以估计随机变量偏离其均值的程度等。
5. 计算机科学中的应用在计算机科学中，不等式在算法设计和复杂性分析中起到重要的作用。
例如，在排序算法中，通过不等式可以证明算法的正确性和效率；在算法复杂性的分析中，通过不等式可以得到问题的下界和上界等。
含有绝对值的不等式的性质及其应用
ʏ江苏省东台中学 戴向梅含有绝对值的不等式的性质||a |-|b ||ɤ|a ʃb |ɤ|a |+|b |是处理相关的含有绝对值问题的一个重要工具,对于一些涉及绝对值的不等式的求解㊁证明及应用等都有一定的效能㊂一㊁不等式的求解例1 (2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(三))已知函数f (x )=|x -1|+|2x -m |(m ɪR )㊂(1)若m =-1,求f (x )ɤ2的解集;(2)若f (x )ɤ|x +1|的解集包含[1,2],求实数m 的取值范围㊂解析:(1)若m =-1,则f (x )=|x -1|+|2x +1|ɤ2㊂①当x ɤ-12时,f (x )=1-x -2x -1=-3x ɤ2,解得x ȡ-23,所以-23ɤx ɤ-12;②当-12<x ɤ1时,f (x )=1-x +2x +1=x +2ɤ2,解得x ɤ0,所以-12<x ɤ0;③当x >1时,f (x )=x -1+2x +1=3x ɤ2,解得x ɤ23,此时无解㊂综上可得,不等式f (x )ɤ2的解集为-23,0㊂(2)由题意可知,当x ɪ[1,2]时,不等式f (x )ɤ|x +1|恒成立,即x -1+|2x -m |ɤx +1恒成立,即|2x -m |ɤ2恒成立,即-2ɤ2x -m ɤ2恒成立,即2x -2ɤm ɤ2x+2恒成立,解得2ɤm ɤ4,所以实数m 的取值范围为[2,4]㊂点评:求解含有绝对值的不等式时,最常用的方法就是零点分段法或分段函数法,借助分离零点进行分类讨论,或借助分段函数表示进行数形结合,都可以达到求解含有绝对值的不等式的目的㊂涉及含有绝对值的不等式的求解,也是选修中不等式选讲部分最常考的基本题型之一㊂二㊁不等式的证明例2 (2022年河南省大联考高考数学三模试卷)已知函数f (x )=|x -4m |+x +1m(m ɪR )㊂(1)若m =1,求不等式f (x )>7的解集㊂(2)证明:当m >1时,f (x )+1m 2-m ȡ8㊂解析:(1)若m =1,则f (x )=|x -4|+|x +1|=-2x +3,x ɤ-1,5,-1<x <4,2x -3,x ȡ4㊂当x ɤ-1时,-2x +3>7,解得x <-2;当-1<x <4时,5>7,显然不成立;当x ȡ4时,2x -3>7,解得x >5㊂综上可得,不等式f (x )>7的解集为(-ɕ,-2)ɣ(5,+ɕ)㊂(2)由于f (x )=|x -4m |+x +1mȡ(x -4m )-x +1m=4m +1m,而m >1,可得4m +1m =4m +1m ,结合基本不等式可得f (x )+1m 2-mȡ4m +1m +1m 2-m =4m +1m +1m -1-1m =4m +1m -1=4(m -1)+1m -1+4ȡ24(m -1)ˑ1m -1+4=8,当且仅当4(m -1)=1m -1,即m =32时,71解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年6月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.等号成立,故当m >1时,f (x )+1m 2-m ȡ8成立㊂点评:证明含有绝对值的不等式,关键是借助含有绝对值的不等式的性质加以正确放缩处理,并结合不等式的性质㊁基本不等式或柯西不等式等加以综合与应用㊂证明不等式的常见方法与技巧往往渗透其中,起到引领与连接的作用㊂三㊁最值的确定例3 (2022年河南省新乡市高考数学三模试卷)已知函数f (x )=|x -1|+|x +2|㊂(1)求不等式f (x )ɤ5的解集;(2)若f (x )的最小值为m 2+2n 2,证明:m 2n 22m 2+n2ɤ13㊂解析:(1)由f (x )ɤ5,得|x -1|+|x +2|ɤ5㊂当x ɤ-2时,由1-x -x -2ɤ5,得x ȡ-3,所以-3ɤx ɤ-2;当-2<x <1时,由1-x +x +2ɤ5,得3ɤ5,所以-2<x <1;当x ȡ1时,由x -1+x +2ɤ5,得x ɤ2,所以1ɤx ɤ2㊂综上可得,不等式f (x )ɤ5的解集为[-3,2]㊂(2)由含有绝对值的不等式的性质可得f (x )=|x -1|+|x +2|ȡ|x -1-x -2|=3,所以f (x )的最小值m 2+2n 2=3㊂结合基本不等式可得2m 2+n 2m 2n 2=2n 2+1m 2=13㊃(m 2+2n 2)2n 2+1m 2=132m 2n 2+2n2m2+53ȡ13ˑ22m 2n 2ˑ2n 2m 2+53=43+53=3,当且仅当2m 2n 2=2n2m2,即|m |=|n |时,等号成立,所以m 2n 22m 2+n2ɤ13㊂点评:综合含有绝对值的不等式的性质,可以很好地确定一些相关不等式的最值,为问题的求解或进一步应用提供条件㊂借助含有绝对值的不等式的性质进行放缩处理,合理消参,为确定函数的最值提供方向与技巧㊂四㊁恒(能)成立问题的解决例4 (2022年广西柳州市高考数学三模试卷)已知函数f (x )=|x +a |-|x +a 2|(a ɪR )㊂(1)若a =2,求不等式f (x )<x 的解集;(2)若∃x ɪR ,∃a ɪ[0,2],使得f (2x )>m 能成立,求实数m 的取值范围㊂解析:(1)若a =2,则f (x )=|x +2|-|x +4|<x ㊂①当x <-4时,可得-x -2+x +4<x ⇒x >2,此时x ɪ⌀;②当-4ɤx <-2时,可得-x -2-x -4<x ⇒x >-2,此时x ɪ⌀;③当x ȡ-2时,可得x +2-x -4<x ⇒x >-2,此时x >-2㊂综上可得,不等式f (x )<x 的解集为(-2,+ɕ)㊂(2)依题意,f (2x )>m ⇒|2x +a |-|2x +a 2|>m ,又由于|2x +a |-|2x +a 2|ɤ|2x +a -2x -a 2|=|a -a 2|,故|a -a 2|>m ,令函数g (a )=|a -a 2|,a ɪ[0,2],画出函数g (a )的图像,如图1所示,结合函数g (a )的图像,可知g (a )m a x =g (2)=2,则有图1m <2,所以m 的取值范围为(-ɕ,2)㊂点评:综合含有绝对值的不等式的性质,对相关的函数或不等式进行必要的放缩与变形处理,为解决一些不等式的恒(能)成立问题奠定基础,实现问题的合理交汇与融合,特别是不等式与函数㊁方程等相关知识的交汇与应用等㊂结合含有绝对值的不等式的性质||a |-|b ||ɤ|a ʃb |ɤ|a |+|b |及其相关应用,在不等式的求解㊁不等式的证明及综合应用等方面,都能起到很好的作用㊂同时巧妙融入函数与方程思想㊁分类讨论思想等,通过正确的数学运算,巧妙的逻辑推理,实现综合与应用的目的㊂(责任编辑 王福华)81 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年6月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
不等式的性质
0
1 ab
1 ab
b
因此
1 a
1 b
（2）已知a>b， c<d，求证：a－c>b－d； 证明：（2）因为a>b，c<d，
所以a>b，－c>－d， 根据性质3的推论2，得 a+(－c)>b+(－d)，即a－c>b－d.
（3）已知a>b>0，0<c<d，求证：
a c
b d
证明：（3）因为0<c<d，根据（1）的结
a>c－b.
推论1：不等式中的任意一项都可以把它 的符号变成相反的符号后，从不等式的 一边移到另一边。 （移项法则）
推论2：如果a>b，c>d，则a+c>b+d.
证明：因为a>b，所以a+c>b+c，
又因为c>d，所以b+c>b+d，
根据不等式的传递性得 a+c>b+d. 几个同向不等式的两边分别相加，所 得的不等式与原不等式同向。
性质4：如果a>b，c>0，则ac>bc；如果 a>b，c<0，则ac<bc. 推论1：如果a>b>0，c>d>0，则ac>bd.
证明：因为a>b，c>0，所以ac>bc，
又因为c>d，b>0，所以bc>bd，
根据不等式的传递性得 ac>bd。
几个两边都是正数的同向不等式的两边 分别相乘，所得的不等式与原不等式同向。
b c bc 0
a－c>0 a>c.
不等式不等式的性质
不等式的表达
1
不等式的表达通常包括左右两个部分，它们是 由不等号侧通常是 常数、变量或代数式。
3
不等式的表达可以包含一个或多个不等式，它 们之间可以是相互独立的，也可以是有联系的 。
例子展示
例如，“2x + 1 > 5”是一个简单 的不等式，其中“x”是一个变量， “2x + 1”是一个数学表达式， “5”是一个常数。
THANKS
几何证法
利用面积关系
常用面积法证明线段或面 积的不等关系
利用相似三角形
相似三角形的对应角相等 ，对应边成比例
利用圆的性质
圆心到弦的距离与半径的 大小关系可以用来证明一 些圆不等式
反证法
否定结论
假设命题的结论不成立，即假设命题的否定成立
推出矛盾
在假设结论不成立的前提下，通过逻辑推理或计算推导出矛盾结果
机械设计
不等式可以用来描述机械 设计中的结构强度和稳定 性等。
控制系统
不等式可以用来描述控制 系统中的稳定性和响应速 度等。
04
不等式的证明方法
代数证法
综合法
从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的推理和计算，最后推得所 要证明的结论
分析法
从求证的不等式出发，逐步减少使它成立的充分条件，最后归结为判定一个明显 成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）
对称性
总结词
如果a>b成立，那么b<a也成立。
详细描述
不等式的对称性是指如果一个不等式成立，那么它的相反方向的不等式也成立。例如，如果a>b成立，那么 b<a也成立。这个性质可以用于证明不等式的正确性。
加法可换性
总结词
三角形的不等式性质
三角形的不等式性质三角形是一个经典的几何形状，由三条边和三个角组成。
对于一个具有三个边长a、b和c的三角形，存在一组不等式性质，这些性质能够帮助我们了解三角形的特性和限制，并在解决与三角形相关的问题时发挥重要的作用。
在本文中，我们将讨论三角形的不等式性质以及它们的应用。
一、三角不等式三角形的不等式是关于三条边长的约束条件，它们是:1. 任意两边之和大于第三边：a + b > c，b + c > a，a + c > b。
2. 任意两边之差小于第三边：|a - b| < c，|b - c| < a，|a - c| < b。
这些不等式的意义在于，要构成一个有效的三角形，任意两边的和必须大于第三边，而任意两边的差必须小于第三边。
这些约束条件确保了三角形的形状的合理性。
二、等边三角形等边三角形是指三边长度相等的三角形。
在等边三角形中，三个角也相等，每个角都为60度。
由于它的三边相等，根据三角不等式，等边三角形的任意两边之和大于第三边的条件总是成立的，因此等边三角形一定能够构成一个有效的三角形。
三、等腰三角形等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两个角也相等，而另一个角称为顶角。
对于一个等腰三角形，根据三角不等式，两个等边之和大于第三边的条件总是成立的，因此等腰三角形也能够构成一个有效的三角形。
四、直角三角形直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
在直角三角形中，较长的边称为斜边，而其他两条边分别称为直角边。
根据三角不等式，对于直角三角形来说，斜边的长度必须大于直角边的长度，否则将无法构成一个合理的三角形。
五、应用于解决问题三角形的不等式性质在几何学和数学问题中有广泛的应用。
以下是一些例子：1. 判定三条边是否能够构成三角形：根据三角不等式，我们可以判断给定的三边是否能够构成一个有效的三角形。
只需要检查任意两边之和是否大于第三边即可。
2. 寻找可能的三角形边长：已知两边长度，我们可以利用三角不等式推导出第三条边的取值范围，从而得到可能的三角形边长。
专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法(精讲)(解析版)
专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法【考纲要求】1.不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.一元二次不等式：(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式.3.会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式.4.掌握不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|及其应用.5．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养.【知识清单】1．实数的大小(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b.2．不等关系与不等式我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式.3．不等式的性质(1)性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)性质3：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)性质4：①如果a>b，c>0那么ac>bc.②如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)性质5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)性质6：如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd . (7)性质7：如果a >b >0，那么a n >b n ，(n ∈N ，n ≥2)． (8)性质8：如果a >b >0，那么n a >nb ，(n ∈N ，n ≥2)． 4．一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． (2)形式：①ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)； ②ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)； ③ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)； ④ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)．(3)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集. 5．分式不等式的解法定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x 的多项式的不等式称为__分式不等式__. f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )__>__0，f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )__<__0. f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x ) ≥ 0，g (x )≠0. ⇔f (x )·g (x )__>__0或⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )＝0g (x )≠0.f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x ) ≤ 0，g (x )≠0⇔f (x )·g (x )__<__0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝0g (x )≠0. 6．简单的高次不等式的解法高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式. 解法：穿根法①将f (x )最高次项系数化为正数；②将f (x )分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；④观察曲线显现出的f (x )的值的符号变化规律，写出不等式的解集． 7.不等式恒成立问题 1．一元二次不等式恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎨⎧ a >0Δ<0；(2)ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ≤0；(3)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎨⎧a <0Δ<0；(4)ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0.2．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k <f (x )或k >f (x )形式．则可以转化为函数值域求解． 设f (x )的最大值为M ，最小值为m .(1)k <f (x )恒成立⇔k <m ，k ≤f (x )恒成立⇔k ≤m . (2)k >f (x )恒成立⇔k >M ，k ≥f (x )恒成立⇔k ≥M . 8．绝对值不等式的解法1．形如|ax ＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解． 2．形如|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式 (1)绝对值不等式|x|>a 与|x|<a 的解集(2)|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax ＋b|≤c ⇔－c≤ax ＋b≤c (c>0)，|ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b≥c 或ax ＋b≤－c(c>0)． 9．绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．【考点梳理】考点一 ：用不等式表示不等关系【典例1】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？ 【答案】见解析【解析】提价后杂志的定价为x 元，则销售的总收入为(8－x －2.50.1×0.2)x 万元，那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为：(8－x －2.50.1×0.2)x ≥20.【规律总结】用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示．【变式探究】某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种，按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式． 【答案】见解析 【解析】分析：应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm ；②截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．详解：设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根，依题意，可得不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4 0003x ≥yx ≥0y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≤403x ≥y x ≥0y ≥0考点二：比较数或式子的大小【典例2】(1)比较x 2＋y 2＋1与2(x ＋y －1)的大小； (2)设a ∈R 且a ≠0，比较a 与1a 的大小．【答案】见解析【解析】 (1)x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝x 2－2x ＋1＋y 2－2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2＋1＞0， ∴x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)． (2)由a －1a ＝(a －1)(a ＋1)a当a ＝±1时，a ＝1a；当－1＜a ＜0或a ＞1时，a ＞1a ；当a ＜－1或0＜a ＜1时，a ＜1a.【领悟技法】 1.比较大小的常用方法 (1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论． (3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系． 【变式探究】已知x ＜y ＜0，比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小． 【答案】见解析【解析】∵x ＜y ＜0，xy ＞0，x －y ＜0，∴(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝－2xy (x －y )＞0， ∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )． 考点三：不等式性质的应用【典例3】（2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））对于任意实数a b c d ,,,，下列正确的结论为（ ） A ．若,0a b c >≠，则ac bc >； B ．若a b >，则22ac bc >； C ．若a b >，则11a b <； D ．若0a b <<，则b a a b<． 【答案】D 【解析】A ：根据不等式的基本性质可知：只有当0c >时，才能由a b >推出ac bc >，故本选项结论不正确；B ：若0c时，由a b >推出22ac bc =，故本选项结论不正确；C ：若3,0a b ==时，显然满足a b >，但是1b没有意义，故本选项结论不正确； D ：22()()b a b a b a b a a b ab ab-+--==，因为0a b <<，所以0,0,0b a ab a b ->>+<， 因此0b a b aa b a b-<⇒<，所以本选项结论正确. 故选：D【典例4】 若a ＝ln33，b ＝ln44，c ＝ln55，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c 【答案】B【解析】方法一 易知a ，b ，c 都是正数， b a ＝3ln44ln3＝log 8164＜1，所以a ＞b ； b c ＝5ln44ln5＝log 6251 024＞1，所以b ＞c .即c ＜b ＜a . 方法二 对于函数y ＝f (x )＝ln xx ，y ′＝1－ln x x2， 易知当x ＞e 时，函数f (x )单调递减． 因为e ＜3＜4＜5，所以f (3)＞f (4)＞f (5)， 即c ＜b ＜a .【典例5】设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4”，则f (－2)的取值范围是 ． 【答案】[5,10]【解析】方法一(待定系数法)设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又因为1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10. 方法二(解方程组法)由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， ⎩⎨⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又因为1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.【规律总结】1．判断不等式的真假．(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件．(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例． 2．证明不等式(1)要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 3．求取值范围(1)建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．4．掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同时乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定． 【变式探究】1.（2020·陕西省西安中学高二期中（文））已知0a b <<，则下列不等式成立的是 （ ） A ．22a b < B ．2a ab <C ．11a b< D ．1ba< 【答案】D 【解析】22a b -=22)()0,,a b a b a b +->∴>（所以A 选项是错误的. 2a ab -=2()0,.a a b a ab ->∴>所以B 选项是错误的.11a b -=110,.b a ab a b ->∴>所以C 选项是错误的. 1b a -=0, 1.b a b a a -<∴<所以D 选项是正确的. D 故选：.2. （2020·江西省崇义中学高一开学考试（文））下列结论正确的是（ ） A ．若ac bc >，则a b >B ．若88a b >，则a b >C ．若a b >，0c <，则ac bc <D <a b >【答案】C 【解析】对于A 选项，若0c <，由ac bc >，可得a b <，A 选项错误；对于B 选项，取2a =-，1b =，则88a b >满足，但a b <，B 选项错误； 对于C 选项，若a b >，0c <，由不等式的性质可得ac bc <，C 选项正确；对于D a b >，D 选项错误.故选：C. 3.已知12<a <60,15<b <36，求a －b 及ab的取值范围．【错解】∵12<a <60,15<b <36，∴12－15<a －b <60－36，1215<a b <6036，∴－3<a －b <24，45<a b <53.【辨析】错解中直接将12<a <60,15<b <36相减得a －b 的取值范围，相除得ab 的取值范围而致错．【正解】∵15<b <36，∴－36<－b <－15.∴12－36<a －b <60－15， 即－24<a －b <45.又15<b <36，∴136<1b <115.又12<a <60，∴1236<a b <6015，即13<a b <4.综上，－24<a －b <45，13<ab <4.【易错警示】错用不等式的性质致错. 考点四：一元二次不等式的解法【典例6】（2020·全国高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D 【解析】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<， 又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D. 【规律方法】1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 2．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式． (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 【易错警示】忽视二次项系数的符号致误 【变式探究】1．（2019·全国高考真题（理））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=（ ）A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．2. （2020·黑龙江省大庆实验中学高三一模（文））已知集合1|03x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，集合{|15}B x N x =∈-≤≤，则A B =（ ）A ．{0,1,4,5}B ．{0,1,3,4,5}C ．{1,0,1,4,5}-D ．{1,3,4,5}【答案】A 【解析】 因为集合{1|033x A x x x x -⎧⎫=≥=⎨⎬-⎩⎭或}1x ≤， 集合{|15}{0,1,2,3,4,5}B x N x =∈-≤≤=，所以A B ={0,1,4,5}.故选：A考点五：绝对值不等式的解法【典例7】（2020·江苏省高考真题）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<． 【答案】2(2,)3- 【解析】1224x x x <-⎧⎨---<⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-<⎩或0224x x x >⎧⎨++<⎩21x ∴-<<-或10x -≤≤或203x <<所以解集为：2(2,)3-【典例8】（2020·周口市中英文学校高二月考（文））(1)求不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集；(2)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为51|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求a 的值.【答案】(1) {x |x ≤－3或x ≥2} (2) a ＝－3 【解析】(1)当x <－2时,不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5,解得x ≤－3； 当－2≤x <1时,不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5,即3≥5,无解； 当x ≥1时,不等式等价于x －1＋x ＋2≥5,解得x ≥2. 综上,不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}. (2)∵|ax －2|<3,∴－1<ax <5. 当a >0时,15x a a -<< , 153a -=-,且513a =无解； 当a ＝0时,x ∈R ,与已知条件不符； 当a <0时,51x a a <<-,553a =-,且113a -=, 解得a ＝－3. 【规律方法】形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)几何法：利用|x －a|＋|x －b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a|＋|x －b|≥|x－a －(x －b)|＝|a －b|.(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a|＋|x －b|和y 2＝c 的图象，结合图象求解． 【变式探究】1.（2017天津，文2）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】20x -≥，则2x ≤，11x -≤，则111,02x x -≤-≤≤≤，{}{}022x x x x ≤≤⊂≤ ，据此可知：“20x -≥”是“11x -≤”的的必要的必要不充分条件，本题选择B 选项. 2.（2014·广东高考真题（理））不等式的解集为 .【答案】(][),32,-∞-⋃+∞. 【解析】令()12f x x x =-++，则()21,2{3,2121,1x x f x x x x --<-=-≤≤+>，（1）当2x <-时，由()5f x ≥得215x --≥，解得3x ≤-，此时有3x ≤-； （2）当21x -≤≤时，()3f x =，此时不等式无解；（3）当1x >时，由()5f x ≥得215x +≥，解得2x ≥，此时有2x ≥； 综上所述，不等式的解集为(][),32,-∞-⋃+∞.考点六：绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立．【典例9】（2020·陕西省西安中学高二期中（理））已知不等式53m x x ≤-+-对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．2m ≤B ．2m ≥C ．8m ≤-D ．8m ≥-【答案】A【解析】()()-+-≥---=，∴根据题意可得2x x x x53532m≤.故选：A【典例10】（2018年理新课标I卷）已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围．【答案】(1).(2)．【解析】分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.（2）当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．【总结提升】1.两类含绝对值不等式的证明问题一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．2.含绝对值不等式的应用中的数学思想(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．3.求f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三种方法(1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解.(2)利用绝对值三角不等式进行“求解”，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值. (3)利用绝对值的几何意义. 【变式探究】1．（2020·宁夏回族自治区高三其他（理））已知函数()|21||2|f x x x =-+-． (1)若()4f x <，求实数x 的取值范围；(2)若对于任意实数x ，不等式()|21|f x a >-恒成立，求实数a 的值范围．【答案】(1) 17,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2) 15,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】(1)由题，()133,211,2233,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩；当12x ≤时，334x -+<，解得1132x -<≤；当122x <<时，14x +<恒成立，解得122x <<； 当2x ≥时，334x -<，解得723x ≤<.综上有3137x -<<.故实数x 的取值范围为17,33⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)因为()133,211,2233,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，当12x ≤时，()1322f x f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭；当122x <<时，()332f x <<；当2x ≥时，()()23f x f ≥=. 故()f x 的最小值为32.故3212a -<，即332122a -<-<，解得1544a -<<.故实数a 的值范围为15,44⎛⎫-⎪⎝⎭2.已知函数f(x)=|x−1|．（1）解不等式f(x)+f(x+4)≥8；（2）若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|f(ba)．【答案】(1) {x|x≤−5或x≥3} (2)见解析【解析】（1）f(x)+f(x+4)=|x−1|+|x+3|={−2x−2,x<−3, 4,−3≤x≤1, 2x+2,x>1,当x<−3时，由−2x−2≥8，解得x≤−5；当−3≤x≤1时，f(x)≥8不成立；当x>1时，由2x+2≥8，解得x≥3.所以不等式f(x)+f(x+4)≥8的解集为{x|x≤−5或x≥3}.（2）f(ab)>|a|f(ba)，即|ab−1|>|a−b|．因为|a|<1，|b|<1，所以|ab−1|2−|a−b|2=(a2b2−2ab+1)−(a2−2ab+b2)=(a2−1)(b2−1)>0，所以|ab−1|>|a−b|，故所证不等式成立．。
【教学随笔】利用不等式的性质比较大小
利用不等式的性质比较大小不等式是中学数学的重要内容，它渗透到了中学数学课本的各个章节，是解决其它数学问题的一种有利工具，是高考命题的重点和热点.而不等式的基本性质又是不等式这一章的基础，是解不等式与证明不等式及应用的理论根据，运用不等式的性质要切实注意不等式的性质的前提条件，防止条件的强化或弱化.下面就利用不等式的性质比较数(式)大小的方法与技巧举例说明.一、比较已知两式的大小例1判断a 2＋b 2与ab ＋a ＋b －1的大小.解析一：(将差化成几个平方和)(a 2＋b 2)－(ab ＋a ＋b －1)＝12(2a 2＋2b 2－2ab －2a －2b ＋2) ＝12[(a －b)2＋(a －1)2＋(b －1)2]≥0， ∴a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1.解析二：(将差看作a 的二次三项式，再配成平方和)(a 2＋b 2)－(ab ＋a ＋b －1)＝a 2－(b ＋1)a ＋b 2－b ＋1＝(a －b ＋12)2＋34b 2－32b ＋34＝(a －b ＋12)2＋34(b －1)2≥0， ∴a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1.解析三：(将差看作a 的二次三项式，利用根的判别式证)对于a 的二次三项式a 2－(b ＋1)a ＋b 2－b ＋1，△＝(b ＋1)2－4(b 2－b ＋1)＝－3(b －1)2≤0，又∵二次项系数为1，故此二次三项式恒大于(或等于)零，即a 2－(b ＋1)a ＋b 2－b ＋1≥0，∴a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1.评注：比较a 与b 的大小，常常归结为判断它们的差a －b 的符号(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要).比较a 与b 大小的步骤是①作差；②变形(分解因式、配方、通分或分子分母有理化等，如前两种解法变形用的配方，第三种解法变形用的二次函数的判别式)；③判断符号.二、已知条件等式比较两数的大小例2设实数x 、y 、z 满足y ＋z ＝6－4x ＋3x 2，z －y ＝4－4x ＋x 2，试确定x 、y 、z 的大小关系.解析一：∵z －y ＝4－4x ＋x 2＝(x －2)2≥0，∴z ≥y ，又由⎩⎨⎧ y ＋z ＝6－4x ＋3x 2z －y ＝4－4x ＋x 2，得⎩⎨⎧ y ＝1＋x 2z ＝5－4x ＋2x2， ∴y －x ＝1＋x 2－x ＝(x －12)2＋34＞0，∴y ＞x ，故z ≥y ＞x. 解析二：∵z －y ＝4－4x ＋x 2＝(x －2)2≥0，∴z ≥y ，又∵y －x ＝12[(y ＋z)－(z －y)]－x ＝12[(6－4x ＋3x 2)－(4－4x ＋x 2)]－x＝1＋x 2－x ＝(x －12)2＋34＞0， ∴y ＞x ，综上可知z ≥y ＞x.评注：此类题型的难度相对较大，其基本的思路是：灵活变换已知的等式，用等式中所涉及的一个字母表示另外的字母，可使作差后式子中只含有一个字母，或者对已知的条件等式进行转化，使之出现要比较的两数(式)的差.三、已知条件不等式比较两数的大小例3已知a ，b ，c ∈R 且a ＋b ＋c ≥0，试比较a 3＋b 3＋c 3与3abc 的大小.解析：∵a 3＋b 3＋c 3－3abc ＝(a ＋b)3－3ab(a ＋b)＋c 3－3abc ＝(a ＋b)3＋c 3－3ab(a ＋b ＋c)＝(a ＋b ＋c)[(a ＋b)2－(a ＋b)·c ＋c 2]－3ab(a ＋b ＋c)＝(a ＋b ＋c)(a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca)＝12(a ＋b ＋c)[(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2]≥0， 在a ＋b ＋c ＝0或a ＝b ＝c 时才能取“＝”，∴a 3＋b 3＋c 3≥3abc.评注：解答已知条件不等式比较两数的大小问题时对条件不等式的利用主要有两个方向：一是对作差后的式子通过分解因式或配方等手段变形后的式子中含有条件不等式的部分因式(如本题解法)；二是首先对条件不等式进行变形化简，导出相关的结论，再应用于作差变形后的式子中.。
函数的不等式性质与应用
函数的不等式性质与应用函数是数学中的重要概念，它描述了两个变量之间的关系。
在实际问题中，我们经常会遇到需要研究函数的不等式性质的情况。
函数的不等式性质不仅能够帮助我们解决实际问题，还能够深化我们对函数的理解。
本文将探讨函数的不等式性质以及其应用。
一、函数的不等式性质函数的不等式性质是指函数在定义域上的取值范围。
通过研究函数的不等式性质，我们可以确定函数的最大值、最小值以及函数值的正负情况。
对于一元函数来说，我们可以通过求导的方法来研究其不等式性质。
当函数的导数大于零时，函数递增；当函数的导数小于零时，函数递减。
通过求导并研究导数的正负情况，我们可以确定函数的增减区间，从而得出函数的不等式性质。
对于二元函数来说，我们可以通过偏导数的方法来研究其不等式性质。
偏导数表示了函数在某个方向上的变化率。
通过研究偏导数的正负情况，我们可以确定函数的增减区域，从而得出函数的不等式性质。
二、函数不等式的应用函数的不等式性质在实际问题中有着广泛的应用。
下面将介绍函数不等式的两个典型应用：最优化问题和约束条件问题。
最优化问题是指在一定条件下，寻找函数的最大值或最小值。
通过研究函数的不等式性质，我们可以确定函数的最大值或最小值所对应的自变量取值。
例如，在生产过程中，我们希望找到一种材料的最佳用量，使得成本最小或者产量最大。
这个问题可以通过建立成本函数或产量函数，并研究其不等式性质来解决。
约束条件问题是指在一定条件下，寻找函数的最大值或最小值，同时满足一定的约束条件。
通过研究函数的不等式性质以及约束条件，我们可以确定函数在约束条件下的最大值或最小值所对应的自变量取值。
例如，在生产过程中，我们希望找到一种材料的最佳用量，使得产量达到一定的要求，同时成本最小。
这个问题可以通过建立成本函数和产量函数，并研究其不等式性质以及约束条件来解决。
三、函数不等式性质的实例为了更好地理解函数的不等式性质与应用，我们来看一个具体的实例。
假设有一块长方形的土地，其中一条边是河流。
不等式的应用教学课件ppt
利用不等式可以表示电路中电压和电流的关系，通过比较这些不等式，可以判断 电路的稳定性。
05
不等式在化学中的应用
利用不等式解决化学平衡问题
总结词
化学平衡常数是表示化学反应限度的一个重要指标，利用不 等式可以解决与化学平衡常数相关的计算和分析问题。
详细描述
通过具体的案例，讲解如何利用不等式解决化学平衡常数的 计算、化学反应平衡移动的方向和大小等问题，以及如何利 用不等式进行反应条件的优化和控制。
利用不等式解决生物多样性保护问题
总结词
物种多样性、生态系统稳定性、环境变化、保护措施
详细描述
生物多样性是地球生态系统的重要组成部分，但人类 活动对生物多样性造成了严重威胁。为了保护生物多 样性，需要采取一系列措施。其中之一是通过建立不 等式来分析物种多样性的作用和生态系统稳定性之间 的关系。例如，物种多样性与生态系统稳定性呈正相 关关系，因为物种之间的相互作用可以调节生态系统 中的物质循环和能量流动
不等式在经济生活中的应用
价格比较
在购物时，人们经常需要比较不同商品的价格，通过不等式 的性质可以判断出性价比更高的商品。
投资决策
在投资领域，投资者需要分析不同项目的风险和收益，通过 不等式可以判断出最优的投资方案。
不等式在生产生活中的应用
资源分配
在生产过程中，经常需要将有限的资源分配给不同的部门或环节，通过不等 式可以确定资源分配的最优比例。
总结词
化学反应速率是化学反应快慢的一个重要指标，利用不等式可以解决与化学反应 速率相关的计算和分析问题。
详细描述
通过具体的案例，讲解如何利用不等式解决化学反应速率的计算、反应速率常数 的确定、反应速率方程的建立等问题，以及如何利用不等式进行反应条件的优化 和控制。
初中数学素材 不等式的性质应用举例
不等式的性质应用举例不等式有两条重要的性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变，（2）不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
这两条性质在不等式的变形等方面有着极其重要的应用。
1．确定不等式的解集。
【例1】（1）在实数X 围内定义一种运算“※”，其规则为a ※b =b a 5-，试确定不等式x ※1＜2的解集。
（2）不等式83)38(-≥-x 的解集是什么？析解：（1）根据规则，原不等式就是：5-x ＜2，由不等式的性质1，得原不等式的解集为x ＜7。
（2）原不等式就是)38()38(--≥-x ，∵38-＜0，∴由不等式的性质2，得原不等式的解集是1-≤x 。
2．确定不等式中字母的取值（X 围）【例2】（1）若关于x 的不等式x m )12(-＜86-m 的解集为x ＜2，求m 的取值。
（2）若关于y 的不等式153)5(-≥-m y m 的解集为y 3≤，求m 的取值X 围。
析解：（1）由条件及不等式的性质2知：12-m ＞0且21286=--m m ，解得3=m （2）由条件及不等式的性质2知：5-m ＜0，∴m 的取值X 围为m ＜53．比较数的大小。
【例3】若0＜x ＜1，则201120102009,,x x x的大小关系为 （ ） A ．2009x＜2010x ＜2011x B ．2009x ＜2011x ＜2010x C ．2011x ＜2010x ＜2009x D ．2010x ＜2011x ＜2009x析解：∵0＜x ＜1， ∴2009x＞0 ， 由不等式的性质2， 得x x ⋅2009＜20091x ⋅， 即2010x ＜2009x ， ①， 同样，由不等式的性质2，得2010x x ⋅ ＜2009x x ⋅，即2011x ＜2010x ， ②综合①、②，得2011x＜2010x ＜2009x ，所以选C ．4．化简。
不等式的应用
不等式的应用不等式是数学中非常常见的一种关系表达式。
与等式不同的是，不等式中的两个数或两个算式之间不一定相等，而是通过比较大小来表示它们之间的关系。
不等式的应用十分广泛，涵盖了各个数学领域和实际生活中的许多问题。
本文将探讨不等式在数学和实际应用中的具体用途和相关概念。
一、不等式在数学中的应用1. 不等式的解集表示在数学中，我们通常使用符号 <、>、≤、≥ 来表示不等式的关系。
针对具体问题，我们需要找到不等式的解集表示，即满足该不等式关系的数的集合。
例如，对于不等式 2x + 3 > x + 5，我们可以通过移项、合并同类项等方法得到 x > 2，表示这个不等式的解集为所有大于2的实数。
2. 不等式的基本性质不等式具有许多重要的基本性质，利用这些性质可以帮助我们解决各种不等式问题。
其中一些常见的性质包括：(1) 基本性质1：若 a > b, 则有 a + c > b + c (c 为任意实数) 的性质(2) 基本性质2：若 a > b, c > 0, 则有 ac > bc 的性质(3) 基本性质3：若 a > b, c < 0, 则有 ac < bc 的性质利用这些基本性质，我们能够对复杂的不等式进行简化和推导，从而更好地理解和解决问题。
3. 不等式的解法解不等式是数学中的基本技能之一。
对于简单的不等式，我们可以通过移项、合并同类项、化简等方法求解。
例如，对于不等式 2x + 3 > x + 5，我们可以将相同项合并得到 x > 2，得到该不等式的解集。
对于一些复杂的不等式，我们可能需要使用图像法、数轴法或者区间法等方法来解决。
二、不等式在实际问题中的应用1. 不等式的经济学应用不等式在经济学中有广泛的应用。
例如，需求与供给关系中的价格不等式问题，通过建立供求方程和价格不等式，可以得到市场均衡点的范围，为市场调控和决策提供依据。
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• 学习目标： （1）能运用不等式的性质对不等式进行变
形和解简单的不等式. （2）知道符号“≥”和“≤”的意义及在数
轴上表示不等式的解集时实心点与空心 圈的区别.
• 学习重、难点： 重点：不等式性质的运用. 难点：不等式的解集在数轴上的表示方法.
探究新知
知识点1 利用不等式的性质解不等式 例1 利用不等式的性质解下列不等式：
（2）4x＜3x-5； 4x-3x＜3x-5-3x x＜-5
-6
0
-5 0
（3） 1 x＜ 6 ；
7
7
7×
1 7
x＜7× 76
x＜6
（4） -8x＞10 . 8x ＜10 =- 5 8 -8 4 x＜- 5 4
0
6
-5
0
4
2.用不等式表示下列语句并写出解集，并 在数轴上表示解集.
（1）x的3倍大于或等于1； （2）x与3的和不小于6； （3）y与1的差不大于0； （4）y的 1 小于或等于-2.
V+3×5×3≤3×5×10
V≤105 考虑到实际意义，新注入水的体积V不 能是负数，因此V的取值范围是：
V≥0且V≤105 在数轴上表示出来为:
0
105
0
105
这里实是心实圆心表圆示表不示等，式那的实取心值圆范围包 括与这空两心个圆数有，什空么心区圆别表呢示？不等式的取
值范围不包括这两个数.
小 结
4
（1）x的3倍大于或等于1；
3x≥1
x≥
1 3
0
1 3
（2）x与3的和不小于6；
x+3≥6
x≥3 0
3
（3）y与1的差不大于0； y-1≤0
y≤1
0
1
（4）y的 1 小于或等于-2.
4
1 4
y≤-2
y≤-8
-8 0
知识点2 不等式的实际应用
某长方体形状的容器长 5cm， 宽学3c习m了，用高不10等cm式.容的性器质解 内原有水不的等高式度，为你3c现m在，能现解准决这 备 向 它 继个续问注题水了.吗用？V （ 单 位 cm3）表示新注入水的体积， 写出V的取值范围.
解不等式：2-3x＞11.
正解
不等式的两边同减2得-3x＞9， 不等式的两边同除以-3得x＜-3，理解不等式的性质3. 在运用不等式的性质3时，不等式的两 边乘（或除以）同一个负数，不等号的 方向要改变.
基础巩固
随堂演练
1. 不等式3-2x≤7的解集是（ A ）
分析 要求新注入水的体积范围，那就要
求出容器的总体积和已经被占用的体积. 容器的总体积为： 3×5×10 被占用的容器的体积为： 3×5×3
根据题意有： V+3×5×3≤3×5×10
V+3×5×3≤3×5×10 V≤105
这样就可以了吗？
不是.在利用不等式解决 实际问题时一定要考虑 未知数的实际意义.
1.解不等式的依据：不等式的性质. 2.在利用不等式的性质解决实际问题时 一定要注意未知数的实际意义.
误区诊断
运用不等式的性质3时未改 变不等号的方向
解不等式：2-3x＞11.
错解
不等式的两边同减2得-3x＞9， 不等式的两边同除以-3得x＞-3， 所以原不等式的解集为x＞-3.
误区诊断
运用不等式的性质3时未改 变不等号的方向
第2课时 不等式性质的应用
R·七年级下册
情景导入
某 长现方实体生形活状中的我容们器常长常会 5cm， 宽遇3c到m类，似高的10问cm题.容，器你是 内原有水怎的么高解度决为的3c？m，现准 备cm向3）它表继示这天续新我需注注们要水入就我.水用来们的V学解（体习不单积利等，位用式不. 等今 写出V的取式值的范性围质. 解不等式.
B.2×4+x≤27
C.2x+4≤27
D.2x+4≥27
4. 用不等式表示：
（1）c的4倍大于或等于8； 4c≥8
（2）c的一半小于或等于3；
1 2
c≤3
（3）d与e的和不小于0； d+e≥0
（4）d与e的差不大于-2. d-e≤-2
5. 利用不等式的性质解下列不等式，并 在数轴上表示解集： （1）x+3>-1； （2）6x≤5x-7；
0
75
（2）3x＜2x+1
根据不等式的性质1，不等式两边
减2x，不等号的方向不变，所以：
3x-2x＜2x+1-2x
x＜1
用数轴
表示为 0
1
（4）-4x＞3 你做对了吗？
根据不等式的性质3，不等式两边 除以-4，不等号的方向改变，所以：
4x ＜ 3 4 4
x＜- 3 4
用数轴表示为
-3 0
4
01 若a≥b，则a±c≥b±c；
02
ac≥bc或
a c
≥
b c
（其中c>0）；
03
ac≤bc或 a ≤ b（其中c<0）. cc
练 习 1.用不等式的性质解下列不等 式，并在数轴上表示出来.
（1）x+5＞-1；
（3） 17
x＜
6 7
；
（2）4x＜3x-5； （4） -8x＞10 .
（1）x+5＞-1； x+5-5＞-1-5 x＞-6
在表示两个数量大小关系时，我们 会经常用到像a≥b或a≤b这样的式子，如 一天内的温度变化t≥19℃且t≤28℃.
符号“≥”与“＞”的 意思“有≥”什表么示区包别含？某个
数值， “＞” 表示 不包含该数值.
“它说≤的们”是不与否等“式具＜有的”与性呢质前？面类所似 的性质呢？
“它≤们”也表具示有包和含不某等个式 数相值同，的性“质＜.” 表示 不包含该数值.
（1）x-7＞26；（2）3x＜2x+1 （3）2 x＞50（4）-4x＞3
3
分析
解不等式，就是借助不等式的性 质 使 不 等 式 逐 步 化 为 x>a 或 x<a （ a 为 常数）的形式.
（1）x-7＞26
解这个不等式要利 用哪个性质？
要利用不等式的性 质1.
（1）x-7＞26
根据不等式的性质1，不等式两边
加7，不等你号能的把方不向等不式变的，解所集以用： 数x-轴7+表7＞示2出6+来7 吗？
用数轴 表示为
x＞33
0
33
（3）2 x＞50 3
根据不等式的性质2，不等式两边
乘 3 ，不等你号能的独方自向解不不变等，式所（以2：）
2
和（4）吗？试一试.
3 2
×2 3
x＞
3 2
×50
用数轴表示为
x＞75
A.x≥-2
B.x≤-2
C.x≤-5
D.x≥-5
2.不等式x-2≥0的解集在数轴上表示正确 的是（ B ）
A
B
C
D
3. 小 华 拿 27 元 钱 购 买 圆 珠 笔 和 练 习 册 ， 已知一本练习册2元，一支圆珠笔1元， 他买了4本练习册，x支圆珠笔，则关于x 的不等式表示正确的是（ B ）
A.2×4+x＜27