等差等比数列中的解题技巧

毕业论文
等差等比数列中的解题技巧
指导教师：
昆明师范高等专科学校
2004年5月
等差等比数列中的解题技巧
摘要：等差数列与等比数例在数列中占有主要地位，在解题过程中能灵活应用它们的定义、性质、公式解题及先对所用公式进行合理变形或推理出更一般的情形而后用之会起到简洁巧妙的作用，本文讨论等差、等比数列的一些性质和解题方法。

关键词：等差数列；等比数列
一、等差、等比数列性质的应用
性质1：设数列{a n}是等差（或等比）数列，公差（或公比）为（或q），a n.a m是数列中的任意两项，则a n=a m+(n-m)d（或
a n=a n q n-m）
当m=1时，即为等差（或等比）数列的通项公式。

例 1 设数列{a n}是公差为-2的等差数列，如果a1+a4+a7+ +a97=50那么a5+a6+a9+ +a99的值等于（）
A. -182
B. -148
C. -78
D. -82
解： a2-a1=a6-a4=a9-a7= =a99-a97=2d
∴a3+a6+a9+ +a99=(a1+a4+a7+ +a97)+66d
∴a3+a6+ +a99=55-66×2=-82
故选：D
性质2: 设a n,a m,a l是等差数列（或等比）数列中的任意三项，若n、m、l成等差数列，则a n,a m,a l成等差（或等比）数列。

更一般地有：
性质3: 设a n ,a m , a l ,a s 是等差（或等比）数列中的任意四项：若
n+m=l+s ，则a n +a m =a l +a s (或a n .a m =a l .a s )
例2 已知｛a n ｝是等比数列，且a n >0，a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25,那么a 3+a 5 的
值等于（ ）
A.5
B.10
C.15
D.20
解：由性质2. 23a = a 2a 4, 25a =a 4a 6 于是 a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=(a 3+a 5)2=25 又a n >0
∴ a 3+a 5=5 故选A
例3 已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3a 7=-12,a 4+a 6=-4则前20
项的和s 20=_____
解：由性质3.a 3+a 7=a 4+a 6=-4
a 3,a 7是方程x 2+4x -12=0的两根，又公差d>0
∴a 7=2,a 3=-6。

由性质1 d=23
73
7=--a a ,a 1=a 3-2d=-10 ∴s 20=180
性质4: 一般地等差数列{a n },a 1,a 2,a 3， ，a n , ，中有
（1） m a 1,ma 2,ma 3, ma n , ； （2） a 1+k,a 2+k,a 3+k, ,a n +k, ；
（3） m a 1+k,ma 2+k,ma 3+k, ,ma n +k, 均成等差数列。

也即：等差数列同乘以或同加上一个常数或同乘以一个常数，再加上
一个常数仍成等差数列。

例4 已知
a 1,
b 1,
c 1成等差数列，求证：a a c b -+，b b a c -+，c
c b a -+ 成等差数列。

证明：要证
a a c
b -+，b b a
c -+，c
c
b a -+ 成等差， 只要证：a
c b +，b a c +，c b a +成等差。

即：a c b a ++ ，b
c
b a ++，
c c b a ++成等差，而a 1,b 1,c 1成等差，故a a c b -+，b b
a c -+，c
c
b a -+成等差。

∴a a
c b -+，b b a c -+，c
c b a -+成等差。

性质5：等比数列{a n },有{ka n }(k ≠0)也成等比数列。

性质6：一个等差或等比数列，去掉前面若干项，以后各项依次成
等差数列或等比数列。

例5：已知等差数列{a n }中，前30项的和s 30=50,前50项的和s 50=30,
则前80项的和等于（ ）
A ．20 B. -20 C.80 D. -80 解： s 80=
802
80
1⨯+a a ① 又 30-50=s 50-s 30=a 31+a 32+ +a 50=(202
50
31⨯+a a ) 于是有：a 31+a 50=-2
因为：a 31+a 50=a 80+a 1 ②
故将①代入②得：s 80= -1×80=-80 故选D 说明：此题中，去掉前30项，从前31项开始，以后各项仍是等差数列。

性质7：等差数列{a n }中，若a m =n,a n =m,则a m +n=0。

性质8：等差数列{a n }中，若s m =n,s n =m,则s m+n =- (m+n)。

性质9：在等差数列中，由项数成等差数列的项构成的数列仍是
等差数列。

在等比数列中，由项数成等差的项构成的数列仍是等比数列。

例6.等差数列中，若a 5=a,a 10=b,求a 15
解： 5,10,15成等差，故a 5,a 10,a 15也是等差数。

故：2a 10=a 5+a 15 即：2b=a+15⇒a 15=2b -a
性质10：等差数列中，由相邻的连续的相等的项的和构成的数
列仍是等差数列。

等比数列中，由相邻的连续的相等的项的和构成的数列仍是等比数列。

例7. 在等比数列{a n }中，已知a 1+a 2=30,a 3+a 4=60,求a 7+a 8的值。

解： a 1+a 2,a 3+a 4,a 5+a 6,a 7+a 8也等比数列 ∴ a 7+a 8=(a 1+a 2) ( 2
143a a a a ++ )3
=30(
30
60)3
=240
性质11: 设数列{a n }或等差(或等比)数列,公差(或公比)为d(或
q)则对任意k ∈N (1).数列∑=k
i i a 1
，∑+=k
k i i a 21
，
∑+-=nk
k n i i
a
1
)1( 也成等差（或等比）
数列,公差(或公比)为k 2d(或q k )。

(2).数列∑=k
i i a 2
，∑+=1
2
k i i a ，
∑-+=1k n n
i i
a
也成等差（或等比）数列，
公差（或公比）为kd(或q)。

例8. 已知等比数列的公比为2,且前4项之和为1,那么前8项之
和等于____
A.15
B.17
C.19
D.21 解:记数列为{a n }
由性质11,数列a 1+a 2+a 3+a 4,a 5+a 6+a 7+a 8,a 9+a 10+a 11+a 12, 是以a 1+a 2+a 3+a 4=1为首项，24为公比的等比数列。

∴ a 5+a 6+a 7+a 8=16 故选B
例9. 已知{a n }是等比数列，若a 1+a 2+a 3=18,a 2+a 3+a 4=-9
且s n =∑=n
i i a 1
，那么n n s ∞
→lim 的值等于( ) A.8 B.16 C.32 D48 解：由性质11:公比q=
2
1
321432-=++++a a a a a a
由a 1+a 2+a 3=a 1(1+q+q 2)=18
∴a 1=24,q a s n n -=∞→1lim 1
故选B 性质12: 设c>0,且c ≠1,则
(1) 数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{n
a C }成等比数列
(2) 数列{a n }是正项等比数列的充要条件是数列{n c a log }成等
差数列
例10. 设2a =3,2b =6,2c =12,则数列a,b,c( )
A. 是等差数列,但不是等比数列。

B. 是等比数列，但不是等差数列。

C.既是等差数，以是等比数列。

D.既不是等差数列，又不是等比数列。

解：由性质12. 3，6，12 成等比数列
∴ a,b,c 成等差数列，又显然a,b,c 不是常数数列。

∴a,b,c 不是等比数列 故选A
例11．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5a 6=9则：
13log a +23log a + +103log a 为( )
A. 12
B. 10
C. 3
D. 2+5log 3
解一：由性质12知数列{n a 3log }成等差数53log a +63log a =2 由性质3.13log a +103log a =23log a +93log a = =+53log a 63log a =2
∴13log a +23log a + +103log a =10 故选B. 解二：由性质3﹒a 1a 10= a 2a 9= =a 5a 6=9
∴log 3a 1+ log 3a 2+ + log 3a 10= log 3(a 5a 6)5=10
故选B ．
性质13：设数列问题．
若有奇数个数成等差数列，这奇数个数设为：
，a -2d ，a -d ，a ，a+d ，a+2d ，
若有奇数个数成等比数列，这奇数个数设为：
，
2
q
a ，q a ，a ，aq ，aq 2
， 若有偶数个数成等差数列，这偶数个数设为：
，a -3d ，a -d ，a+d ，a+2d ，
若有偶数个数成等比数列，这偶数个数设为：
，
3
q
a ，q a ，aq ，aq 3， 例12 7个实数组成的数列中，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列。

且奇数项的和与偶数项的积差42，首末两项与中间项的和为27，求中间项。

解： 设此数列为a -3d ，q
x ，a -d ，x ，a+d ，xq ，a+3d 依题意得：
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+++-=-⨯-++-+-27)3()3(42
)3()()3(x d a d a xq x q x d a d a d a
即 ⎩⎨⎧=+=-27
24243x a x a
解得：x 3+2x -12=0 (x -2)(x 2+2x+6)=0
x 2+2x+6>0恒成立
∴ x -2=0 即：x=2
性质14：等差数列奇数项与偶数项的性质：
（1） 若项数为2n ，则s 偶-s 奇=nd ；
偶
奇s s =
1
+n n
a a
（2） 若项数为2n -1，则s 偶-s 奇=a n ；
偶
奇s s =
1
-n n
例13 等差数列前12项的和为354，前12项中奇数项与偶数项的和
之比为27:32，求a 1与d. 解：利用性质14，有：
偶
奇s s =
3227⇒
偶奇奇s s s +=322727+=59
27
∴ s 奇=162
则s 偶=354-162=192
∴s 偶-s 奇=6d
即：192-162=6d ⇒d=5 从而得出：a 1=2
二. 数列的s n 公式的变形及应用
1.等差数列的s n 公式的变形
1.1 数列｛a n ｝的首项为a 1，公差为d.则其前n 项和为：
s n =na 1+
d n n 2)
1(- 将它变为s n =22n d +( a 1-2d )n.记a=2d ，b= a 1-2
d
，则：
s n =an 2+bn.于是有下面的性质：
性质1：数列｛a n ｝是公差为d 的等差数列⇔ s n =an 2+bn.其中a=2
d
性质2：若一个数列｛a n ｝的s n =an 2+bn+c(c ≠0).则该数列必从第二
项起是公差为2a 的等差数列
性质3：若一个数列的前n 项和s n =an 2+bn(ab<0).则s n 的最大值与最
小值可由二次函数性质再结合n ∈N 求得.
例1 已知数列｛a n ｝，s n 为其前n 项和，求适合下列条件的a n ，
并求s n 的最大值或最小值：(1) s n =12n -n 2.(2) s n = n 2-5n+1 解：(1) 由性质1可知，数列｛a n ｝为等差数列，且d=-2，a 1=s 1=12-1=11，
∴ a n =-2n+13.
又s n =- (n -6)2+36. ∴当n=6时，s n 有最大值s 6=36. (2) 性质2可知，数列｛a n ｝从第二项起为等差数列，且d=2，a 1=-3,a 2=s 2-s 1=-2
⎩
⎨
⎧≥-=-=∴)2(62)
1(3n n n a n 又由性质3可知，s n =(n -25
)2-4
21， ∴当n=2
或n=3时，s n 有最小值，即s 2=s 3=-5.
1.2.由等差数列｛a n ｝的性质可知.
s n =
2)(1n a a n +=2)(11-+n a a n =2
)
(23-+n a a n = (n ≥3) 所以又有以下性质：
性质4.在等差数列｛a n ｝中，当n=2k(k ∈N)时，s k 2=k(a k +a 1+k ) 当n=2k-1(k ∈N)时，s 12-k =(2k -1)a k .
推论.两个等差数列｛a n ｝与｛b n ｝.其前n 项的和分别为s n 与T n ，
则有
n n b a =1
21
2--n n T s . 例2. 两个等差数列的前n 项的和比
7
2
9++n n .则它们的第六项相应的比为（ ）.
A ．
18101 B ．13
56
C ．1464
D ．19110
解：
66b a =1111T s =7112119++⨯=18
101
∴选A. 例3. 已知等差数列｛a n ｝中，a 3=12,a 12>0,s 13<0.
(1) 求公差d 的范围；(2)问s 1，s 2， ，s n 中哪个最大. 解：(1) 由性质4知.
⎩
⎨⎧<>+⇒⎩⎨⎧=>+=00
130)(67767137612a a a a s a a s
又a 13=12，∴ a 7= a 3+4d=12+4d ，a 6= a 3+2d=12+3d.
∴上式变为3724
_04120724-<<⇒⎩⎨
⎧<+>+d d d (2) 由⎩⎨⎧<>⇒⎩⎨⎧>+<00
007
6767a a a a a
6s ∴为最大.
1.3. 从a n =a 1+(n -1)d 中求得n=
d
d
a a n +-1(d ≠0)，代入 s n =
2)
(1n a a n +中可得： s n =d
21
[a 2n +da n -a 1( a 1-d)] =d 21 a 2n +21
a n
-d
d a a 2)(11- 记p=d 21，q=d d a a 2)(11--.得s n =p a 2n +21a n +q(p=d
21
) 于是又有下面的性质：
性质5.若数列｛a n ｝是公差不为0的等差数列，则：
s n =p a 2n +
2
1
a n +q(d=p
21)
例4.设｛a n ｝是正数组成的数列，其前几项和为s n ，并且对于所有的
自然数n ，a n 与2的等差中项等于s n 与2的等比中项。

求数列｛a n ｝的通项公式
解：依条件有
22+n a =n s 2⇒ s n =81( a 2n +4a n +4)=81a 2n +21a n +2
1
∴ 由性质5知，｛a n ｝为等差数列，且d=8
121
⨯=4.
又a 1=s 1=81a 21+21a 1+2
1
⇒ a 1=2.
∴ a n =4n -2.
1.4. 在s n =
2)(1n a a n +中，若a 1=0，则s n =2
n
a n ，所以有 性质6：一个数列｛a n ｝为等差数列，且a 1=0⇔其前n 项和s n =2
n
a n 例5. 若数列｛a n ｝的s n =p a n (n ∈N)且a 2-a 1=1.求p 与a n
解：由性质6知｛a n ｝为等差数列，且p=2
1
, a 1=0.d= a 2-a 1=1.
∴ a n =n -1
2.等比数列的s n 公式的变形(q ≠1). 2.1.等比数列｛a n ｝中q ≠1，我们知道若记
q
a -11
=k ，则有 s n =k -kq n .所以有下面的性质.
性质7.数列｛a n ｝是公比为q(q ≠1)的等比数列⇔s n =k(1-q)n (q ≠1) 例6.若s n =ka n +1(a ≠1.a ≠0)当k=—— 时，该数列为等比数列。

(2).等比数列｛a n ｝中，s n =m ⨯31-n +2，求m 的值
(3).无穷等比数列｛a n ｝前n 项和s n =a - (2
1)2，求所有项的和s
解：(1)k=-1 (2) s n = m ⨯31-n +2=
3m ⨯3n +2.由性质7知：3
m
=-2， ∴m=-6 (3)此题很容易做错成n n s lim ∞
→=a ，或算出a 1=a -2
1
，q=2
1
得s=2a -1.其实由性质7,立即知道a=1. ∴ s=1
2.2.等比数列｛a n ｝(q ≠1)中
s n =q q a n --1)1(1=q q a a n --11=q a -11-q
q -1a n
记a=
q q -1，b=q
q
--1 便用s n =a+b ⨯a n 于是又有：
性质8.数列｛a n ｝为公比q ≠1的等比数列⇔s n =a+ b ⨯a n (其中q=1
-b b
) 例7 数列{a n }的前n 项和s n =3
1a n -2，求)(21lim n n a a a ++∞
→的值
解：由性质8知道，数列{a n }为等比数列 由b=3
1 ⇒q=
1-b b =21-，且a 1= s 1=3
1
a n -2 ⇒a 1=-3 ∴)(21lim n n a a a ++∞
→=q
a -11=-2
以上初步归纳了数列的一些解题技巧，数列问题重在灵活，同时还必须具备整体意识的数学思想，有较强的运算能力；小题巧作由于易操作，对培养学生的求简意识.创造能力有非常重要的作用。

参考文献：
[1] 徐生军. 等差、等比数列性质趣探 .中学数学 ，1996.1
[2] 刘汉顶. 应用数列性质解高考题. 中学数学，1998.5
[3] 李晶. 数列问题. 高中数学课外讲座，1998.4
式变形，中学数学教学参考[4] 王哲平. 等差、等比数列的s
n
1999.5。