量子力学课件--薛定谔方程,清华大学课件

c.c.代表前面一项的复共轭。
ˆ 1 * p c .c 2
p i
ˆ * p * ˆ Re R e v ˆ v= ˆ p

称为速度算符
例题
i( k r - t) • 对平面波情况 ( r , t ) A e
.
空间部分（定态薛定谔方程）
2 U ( r ) E (r ) 2 1
2


2
2
U ( r ) E ( r ).
2
H ( r ) E ( r )
定态薛定谔方程
定态概念
• 完整的定态波函数（定态薛定谔方程的解 乘以时间因子）
与玻尔原子模型中的定态概念类似，但是没 有“轨道运动”假设
定态薛定谔方程就是能量本征方程
H ( r ) E ( r ) 算 符 H 作 用 于 ( r ) = 常 数 E 乘 以 ( r )。 E叫 做 H的 本 征 值 。
思考题
• 两个不同的定态叠加生成的态是否 是定态？ i E1t 1 ( r , t ) e 1 ( r ),
寻找de Broglie波满足的方程
i ( Et p r ) / • 由de Broglie波 ( r , t ) e
有
i
t

E
E i
t
2 2 2 i p p
p i
又因 所以
2. 一维定态的分类：束缚态与非 2 [ E U ( x )] ＝ 0 束缚态
" 2
若
E U ( ) 和 U ( ),
则 x
(x) 0
束缚态
相反的情况是非束缚态（或称为散射 态）
例子
• 束缚态：原子中的“束缚”电子 • 人工量子微结构 • 束缚态几率分布被限制在有限的空间 范围内。
提 示：
E 2t 2 (r , t ) e 2(r ) i
4. 波函数应满足的条件
• 从波函数的几率解释以及波函数满足二阶 微分方程这一要求，一般地说，波函数应 该满足以下三个条件： • (1)单值性； • (2)有限性； • (3)连续性。 • 连续性通常意味着 和 都连续， 但在势能有无穷大跳跃的地方， 允许不连续。
§2.2 薛定谔方程
1.薛定谔方程 量子力学的基本定律是波函数所满足 的偏微分方程。这个基本定律在本质 上是一个假说。
德布罗意物质波概念
i
推广
2
t


2

2
U (r ) .
薛定谔方程的“建立”
寻找de Broglie波满足的方 程，并加以推广
这不是严格推导（薛定谔方程不 能由旧理论严格导出）
二阶常微分方程，容易求解 它的解有如下的规律
Wronskian定理
• 若 1 ( x )与 2 ( x ) (能量相同)，则 都是方程的解
1 2 2 1 c
( c 是与 x 无关的常数)， 称为Wronskian定理。
(
d dx
)
Wronskian定理的证明
pi i i
2. 几率守恒定律与几率流密度
• 由薛定谔方程导出一个反映几率守恒的定 律，从而引入几率流密度概念。
几率密度 w ( r , t ) ( r , t )
2
根据薛定谔方程
几率流密度：J
几率流密度的推导（单粒子）
• 几率密度的时间演化： 2 w ( r , t ) ( r , t ) ( r , t ) ( r , t ),
回顾：叠加原理


n
cnn .
几率振幅。
常数相位
• 绝对常数相位没有意义 • 相对常数相位才是有意义的
c1 | c1 | e c2 | c2 | e
i 1 i 2
c1 1 c 2 2
| |
2
依赖于 2 1
能够在测量结果中反映
变化的相位是有意义的（能够在测 量中反映出来）
i ( r , t ) ( r , t ) | ( r , t ) | e
( r , t )虽 然 在 空 间 几 率 密 度 上 无 法 反 映 ， 但 在动量几率分布上能够反映出来。 理由如下：
(r ,t)


c( p, t )
1 ( 2 )
2 E p / 2
i
t


2
2
.
2
再推广到含有势能U的情况
2 E p / 2 + U （ r）
两边作用于波函数
E i
t
p i
i
t


2
2
U (r ) .
2
便于记忆的形式
i
t
H
2 H p / 2 + U （ r） ( p i )
记住
H

2
2
U (r )
2
2 H p / 2 + U （ r） ( p i )
单粒子情况
• 原则上，可以由薛定谔方程给出所有可能的 状态，U（r）决定态的演化规律。 • 初始状态（依赖于实验制备）决定任意 T 时 刻的状态，即“态的演化过程”是确定的 （但位置x有不确定性，几率分布由波函数给 出）。
• 对任何体积V，对上式积分
V

w t
V
d
V
Jd ,
S
等式右方用Gauss定 理，得
d dt
W V
J dS ,
S
V内部几率变化
由边界流入或流出的量。
薛定谔方程能够满足全空间几率守恒
物 理 上 应 该 满 足 随 r趋 向 无 穷 远 而 迅 速 趋 于 零 ， 于 是
（定理： 1 2 2 1 c ）
证明：定态方程的两个解满足

" 1

2
2
[ E U ( x )] 1 ＝ 0 ( 1 ) [ E U ( x )] 2＝ 0 ( 2 )
" 2
2
2
1 ( 2 ) 2 (1 ) 1 2 " 2 1 " 0
即 ( 1 2 ' 2 1 ') ' 0 , 因 此 1 2 ' 2 1 ' c
另外两个定理
• 共轭定理：若 ( x ) 是定态行薛定谔程 的解，则 * ( x ) 也是该方程的解(且 能量相同)。
• 反射定理：对 U ( x ) U ( x ) (原点对称的 势)，那么若 ( x ) 是该方程的解，则 ( x ) 也是该方程的解(且能量相同)。 （由定态薛定谔方程可以直接证明，请自 己完成）
两边同时除以
f ( t ) ( r )
2 2 U ( r ) f (t ) dt (r ) 2 i df 1
左边（t）=右边（r）
任意t，r均成立，而左边与r无关，所以右边与r也应该 无关，右边与t无关，所以左边也应该与t无关。所以两 边都等于一个与t，r都无关的常数E
• 方程求解-分离变量法： 设
( r , t ) f ( t ) ( r ),
i
（一系列基 本函数）， 再叠加生成 通解

2
代入薛定谔方程
i df (t ) dt
t
H ;H
2
U ( r ).
2
( r ) [ H ( r )] f ( t )
Et ( r , t ) e ( r ), i
•对比de Broglie波，我们发现常数E 的物理意义正是粒子的能量。 •定态就是能量E确定的状态。
Et (r , t) e (r )
i
定态下可观测量（如空间按几率密度、几率 流密度、动量几率密度等）都是稳定的（不 随t变化）
3
e
ip r /
d
3
p,
i ( r , t ) c( p, t ) | (r , t ) | e
1 ( 2 )
3
e
ip r /
d r
3
2 ( r , t )在 动 量 分 布 | c( p, t ) | 上 得 以 体 现 ！
d dt
Wv i 2

J dS


（ ）dS 0

代表全空间几率守恒，实际上也就是粒子数 守恒。 相对论情况薛定谔方程不成立，以上结果也 不成立；实际上相对论情况有粒子产生和消 灭，粒子数一般不守恒！，
电流密度
几率流密度
• 非束缚态：如自由电子；电离态原子
3. 一维束缚态的一般性质
• 先引入一个概念－简并与非简并 – 如果对一个给定的能量，只有一个线性独立的波 函数存在（即只有一个状态），则称该能级是非 简并的，否则称它是简并的，其线性独立的波函 数的个数称为它的简并度。
i

1
U

i

2

1
U

t
定义流密度
• 记
i J ( ), 2
则
w t
J 0,
这是薛定谔方程造成的结果，代表一种 守恒定律 。由于w是几率密度，所以J可 以理解为几率流密度。
理解（推导积分形式）
i J ( ), 2
i 电流密度 J e e J e ( ), 2
可以应用于原子内部电子运动的电流的计算
可以应用于超导体等量子系统电流的计算
几率流密度表达式的另一种形式
i J ( ) 2 i 2 ( ) c .c
作业
• 作业：p.52, #2.2，注意：在球坐标中,
1 er e r r e 1

r sin
.
§2.3
一维运动问题的一般分析
1. 一维定态薛定谔方程的解的一般性质
一维定态薛定谔方程是
d
2
dx
2

2
2
( E U ( x )) 0 .
波函数所包含的物理内容不仅仅是几率密度，还有相位！
( r , t )和 c ( p , t )可 以 通 过 以 上 傅 里 叶 变 换 互 求 ， 2 2 但 仅 仅 从 空 间 几 率 密 度 | (r , t ) | 不 能 得 到 动 量 几 率 密 度 |c( p, t ) | ！
t=0
t=T
x
多粒子（N个粒子）情况
( r1 , r2 ,.... r j ...., t )
i
非定域性：
t
H 2 pi 2i U ( r1 , r2 , .... r j ....)
H

i
整个体系的 状态用3N个 空间坐标和 一个时间坐 标描述。
w
薛定谔方程
t
i 2
t
2
Leabharlann Baidu


t

t



.
t 2 i i w i 2 2 ( ) ( ) 2 t 2 i J ( ) w J 0 2
求几率流密度
i( k r - t) 2 2 解 ： 对 (r, t) A e ， w | | | A |
i J ( ) 2 k wp 2 | A | wv m m
3.薛定谔方程的求解——定态薛定 谔方程 先寻找特解
i df f ( t ) dt E )
( 时间部分 1
2 2 U ( r ) E (r ) 2
（空间部分）
时间部分
i df E i
df dt
i Et
Ef ( t )
f ( t ) dt
f (t ) e