苏教版数学高二 选修4-4学案 4.4.3 第1课时 直线的参数方程

4.4.3 参数方程的应用 第1课时 直线的参数方程的应用

1．写出直线的参数方程．

2．通过直线的参数方程的应用，感受参数的意义及其作用．

[基础·初探]

直线的参数方程

直线参数方程的常见形式：过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧

x ＝x 0＋l cos α，

y ＝y 0＋l sin α(l 为参数)．其中参数l 的几何意义是有向线段P 0P 的数量，

|l |表示P 0P 的长度．

[思考·探究]

1．怎样理解参数l 的几何意义？

【提示】 参数l 的几何意义是P 0到直线上任意一点P (x ，y )的有向线段P 0P 的数量．当点P 在点P 0的上方或右方时，l 取正值，反之，l 取负值；当点P 与P 0重合时，l ＝0.

2．如何由直线的参数方程求直线的倾斜角？

【提示】 如果直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝x 0＋t cos θ，

y ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)的形式，由

方程直接可得出倾斜角，即方程中的角θ，例如，直线的参数方程为

⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1＋t cos 15°，y ＝1＋t sin 15°

，则直线的倾斜角为15°. 如果不是上述形式，例如直线⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1＋t sin 15°

，y ＝1＋t cos 15°(t 为参数)的倾斜角就不能

直接判断了．第一种方法：把参数方程改写为⎩⎪⎨⎪⎧

x －1＝t sin 15°

，y －1＝t cos 15°

，消去t ，

有y －1＝1

tan 15°(x －1)，即y －1＝tan 75°(x －1)，故倾斜角为75°.第二种方法：把原方程化为参数方程和标准形式，即⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1＋t cos 75°，y ＝1＋t sin 75°，可以看出直线的

倾斜角为75°.

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________

求直线的参数方程

(1)写出直线l 的参数方程；

(2)求直线l 与直线x －y ＋1＝0的交点． 【自主解答】 (1)直线l 的参数方程为

⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝3＋t cos 120°，y ＝4＋t sin 120°

(t 为参数)， 即⎩⎪⎨

⎪⎧ x ＝3－12t ，

y ＝4＋3

2t

(t 为参数)．

(2)把⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝3－12t ，y ＝4＋3

2t

代入x －y ＋1＝0，

得3－12t －4－3

2t ＋1＝0，得t ＝0. 把t ＝0代入⎩⎪⎨

⎪

⎧

x ＝3－12t ，y ＝4＋3

2t 得两直线的交点为(3,4)．

[再练一题]

1．已知两点A (1,3)，B (3,1)和直线l ：y ＝x ，求过点A 、B 的直线的参数方程，并求它与直线l 的交点M 分AB 的比．

【导学号：98990032】

【解】 设直线AB 上动点P (x ，y )，选取参数λ＝AP

PB ，

则直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1＋3λ

1＋λ

，y ＝3＋λ

1＋λ

(λ为参数，λ≠－1)．①

把①代入y ＝x ，得1＋3λ1＋λ＝3＋λ1＋λ

，得λ＝1，所以M 分AB 的比：AM

MB ＝1.

直线参数方程的应用

求直线⎩⎨⎧

x ＝2＋t ，

y ＝3t (t 为参数)被双曲线x 2－y 2＝1截得的弦长．

【思路探究】 先求出直线和双曲线的交点坐标，再用两点间的距离公式，或者用直线参数方程中参数的几何意义求弦长．

【自主解答】 令t ＝

112

＋(3)

2

t ′，即t ′＝2t ，则直线的参数方程为

⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2＋t ′cos θ，y ＝t ′sin θ

(其中sin θ＝32，cos θ＝12)， 将⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2＋t ′cos θ，

y ＝t ′sin θ代入双曲线方程，得 t ′2－4t ′－6＝0， 所以弦长＝|t 1′－t 2′|＝

(t 1′＋t 2′)2－4t 1′t 2′＝

42＋4×6＝210.

方程⎩⎨⎧

x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt 中t 的几何意义为定点P 0(x 0，y 0)到动点P (x ，y )的有向线

段的数量，有两个原则：其一为a 2＋b 2＝1，其二为b ≥0.这是因为α为直线的倾斜角时，必有sin 2α＋cos 2α＝1及sin α≥0.不满足上述原则时，则必须通过换元的方法进行转化后，才能利用直线参数方程的几何意义解决问题．

[再练一题]

2．(湖南高考)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎨⎧

x ＝2s ＋1，

y ＝s (s 为参

数)和直线l 2：⎩⎨⎧

x ＝at ，

y ＝2t －1

(t 为参数)平行，则常数a 的值为________．

【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2s ＋1，

y ＝s

消去参数s ，得x ＝2y ＋1.