浮点数的加减法运算
浮点数的运算方法
浮点数的运算方法浮点数是计算机中一种表示实数的数据类型，其特点是可以表示带有小数部分的数字。
在进行浮点数的运算时，需要考虑到浮点数的精度问题、舍入误差以及运算顺序等因素。
浮点数的表示方法为：±m×be，其中m为尾数（即小数部分的数值），b为基数或底数，e为指数（表示位移的量）。
1.浮点数加法运算：-对两个浮点数的指数进行比较，将较小指数的浮点数的尾数左移指数之差的位数，使两个浮点数的小数点对齐。
-对齐后的尾数相加，得到一个和。
-对和进行规格化，即将结果的尾数进行处理，使其满足指定的位数限制。
-对规格化后的结果进行舍入运算，得到最终结果。
2.浮点数减法运算：-先将减数的指数调整与被减数的指数相等。
-对齐后的尾数相减，得到一个差。
-对差进行规格化和舍入运算，得到最终结果。
3.浮点数乘法运算：-将两个浮点数的指数相加，得到加法的和，并相应地调整两个浮点数的尾数。
-尾数相乘，得到一个乘积。
-对乘积进行规格化和舍入运算，得到最终结果。
4.浮点数除法运算：-将被除数的指数减去除数的指数，得到差，并相应地调整两个浮点数的尾数。
-尾数相除，得到一个商。
-对商进行规格化和舍入运算，得到最终结果。
在进行浮点数运算时需要注意一些问题：-浮点数的精度问题：由于浮点数的尾数有限位数，所以会存在精度丢失的问题。
这就意味着进行浮点数运算时，可能会出现舍入误差，导致结果有微小的偏差。
-运算顺序：浮点数的运算顺序可能会影响最终结果。
在连续进行多次浮点数运算时，可能会得到不同的结果。
这是因为浮点数的运算不满足交换律和结合律。
因此，在编程中需要谨慎选择运算顺序，以避免结果的不确定性。
-溢出和下溢问题：由于浮点数的范围限制，可能会出现溢出（结果超出浮点数的表示范围）或下溢（结果过小，无法表示）的情况。
针对这些情况，需要进行特殊处理，如返回特定的错误码或进行科学计数法表示。
在实际编程中，可以使用编程语言提供的浮点数运算库或内置函数来进行浮点数运算，以确保运算结果的准确性和可靠性。
浮点数的加减法
对阶完毕后就可对尾数求和。不论是加法运算还是减法运算，都按加法进行操作，其方法与定点加减运算完全一样。
4．规格化
当尾数用二进制表示时，浮点规格化的定义是尾数M应满足：
1/2 ≤ |M|<1
显然对于正数而言，有M = 00.1φφ…φ；对于负数，其补码形式为11.0φφ…φ（即-0.0*******，左归）。这样，当进行补码浮点加减运算时，只要对运算结果的符号位和小数点后的第一位进行比较：如果它们不等，即为00.1φφ…φ或11.1φφ…φ，就是规格化的数；如果它们相等，即为00.0φφ…φ或11.0φφ…φ，就不是规格化的数，在这种情况下需要尾数左移以实现规格化的过程，叫做向左规格化。规则是：尾数左移1位，阶码减1。
在浮点加减运算时，尾数求和的结果也可以得到01.φφ…φ或10.φφ…φ，即两符号位不相等，在这定点加减运算中称为溢出，是不允许的。但在浮点运算中，它表明尾数求和结果的绝对值大于1，向左破坏了规格化。此时将尾数运算结果右移以实现规格化表示，称为向右规格化，即尾数右移1位，阶码加1。
5．舍入
在对阶或向右规格化时，尾数要向右移位，这样，被右移的尾数的低位部分会被丢掉，从而造成一定误差，因此要进行舍入处理。
(4) 舍入操作。在执行对阶或右规操作时,会使尾数低位上的一位或多位的数值被移掉,使数值的精度受到影响,可以把移掉的几个高位的值保存起来供舍入使用。舍入的总的原则是要有舍有入,而且尽量使舍和入的机会均等,以防止误差积累。常用的办法有"0"舍"1"入法,即移掉的最高位为1时 则在尾数末位加1;为0时则舍去移掉的数值。该方案的最大误差为2-（n+1）。这样做可能又使尾数溢出,此时就要再做一次右规。另一种方法 "置1"法,即右移时,丢掉移出的原低位上的值,并把结果的最低位置成1。该方案同样有使结果尾数变大或变小两种可能。即舍入前尾数最低位已为0,使其变1,对正数而言,其值变大,等于最低位入了个1。若尾数最低位已为1,则再对其置1无实际效用,等于舍掉了丢失的尾数低位值。
第03章 3.5 浮点数的运算方法
移码运算：
[X+Y]移=［X］移+［Y］补 [X-Y]移=［X］移+［-Y］补 双符号位： 00 ～ 负数，无溢出 01 ～ 正数，无溢出 10 ～ 上溢 11 ～ 下溢 溢出条件：最高符号位为1
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例如：已知 X=2010· 0.11011011, Y=2100· (-0.10101100) ，求X+Y。 （同上题，但改为阶用移码） 解: (1) 对阶 阶差ΔE=［EX］移+［-EY］补 =01010+11100=00110 （－2） X阶码小，MX右移2位，阶码取100。
(4) 舍入（0舍1入）
附加位最高位为1，在结果的最低位+1，得新结果： ［M］补=11.00010110, M=-0.11101010。
(5) 判溢出
阶码移码符号位为01，故不溢出，最终结果为： X+Y=2011· (-0.11101010) 。
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二、浮点数的乘法运算
X×Y＝(MX×MY)· 2EX+EY
［MX］补=00 .00 110 110 11
下划线上的数是右移出去而保留的附加位。
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(2) 尾数相加
［MX］补+［MY］补 =00.0011011011+11.01010100=11.10001010 11
(3) 规格化操作
左规，移1位，结果=11.00010101 10; 阶码-1，E=01100+11111=01011。(+3)
(1) 检测操作数是否为0，并置结果数符( ).
(2) 加阶：两数阶码相加，得积的阶码。 (3) 两数的尾数做定点乘法，得积的尾数。 (4) 否溢出。 （阶码运算、尾数规格化时都可能溢出）
浮点数加减法
5.检查阶码是否溢出
阶码溢出，则浮点数一定溢出。 若阶码不溢出，结束运算。 若阶码溢出 ①下溢，置运算结果为机器零。 ②上溢，置溢出标志。
下溢：阶码 最小阶码，即E终 补 10 .
上溢：阶码 最大阶码，即E终 补 01 .
例题： x＝2^(+10) ×0.1101，y=2^(+01) ×0.1011， 求x+y，舍入用0舍1入法。
下划线上的数是右移出 去而保留的附加位
②尾数相加
[ M ]补 [ M X ]补 [ MY ]补 001101 000101 1 010010 1
③规格化操作
右规，尾数右移一位， 结果 001001 01,阶码 1，E 0011
④舍入
丢失的最高位为0，舍去丢失的各位的值 。 ⑤判溢出
浮点数的加减法运算
完成浮点数加减法的5个步骤：
1.对阶操作 2.尾数的加减运算 3.规格化操作 4.舍入（0舍1入法） 5.检查阶码是否溢出
设有两浮点数X，Y。
X MX 2
EX
Y MY 2
均为规格化数。
EY
1.对阶
1.比较阶码的大小，求其 差E 2.E max( E X , EY ), 保留E 阶码值小的数的尾数右 移E位 3.E 0时， 使两数的阶码值相等 将其阶码值 E
小阶向大阶对齐
尾数右移
原码：符号位不参加移位，尾数数值部分的高位补0 补码：符号位参加右移，并保持原符号位不变
为减小误差，保留右移中丢失的最高位（舍入时会用 到）
2.尾数的加减运算
对阶后，尾数进行加/减运算
3.规格化操作
当第二步得到的和/差不是规格化数时，需转变成规格化数。 原码： 00/11. 1 × × × × × 补码： 00. 1 × × × × × 11. 0 × × × × × ①若两个符号位不同，则溢出。 右规：将尾数右移一位，阶码E+1 ②若两个符号位相同，不溢出。但若最高数值位=符号位，则： 左规：将尾数连续左移，直到最高数值位≠符号位。 同时，阶码E-移位的位数。
浮点数的运算方法
浮点数的运算方法浮点数是计算机中用于表示实数的一种数据类型，由于实数是无限的，而计算机只能存储有限的信息，所以必然存在精度误差。
浮点数的运算涉及到加法、减法、乘法和除法等基本运算，以及开方、幂函数等高级运算。
1.加法运算：浮点数相加时，先将较小的浮点数调整为与较大的浮点数相同的指数，然后进行尾数的相加，最后对结果进行规格化处理，即进行舍入操作，得到最终的结果。
2.减法运算：浮点数相减的原理与加法相同，只是在相减之前，需要将两个浮点数的指数调整为相等，然后进行尾数的相减操作，最后同样需要对结果进行规格化处理。
3.乘法运算：浮点数相乘时，将两个浮点数的指数相加，然后将尾数相乘得到结果的尾数部分，最后对结果进行规格化处理。
4.除法运算：浮点数除法的原理与乘法类似，先将两个浮点数的指数相减，然后将尾数相除得到结果的尾数部分，最后同样需要进行规格化处理。
5.开方运算：浮点数的开方运算是通过求解多项式的根来实现的，常用的方法有牛顿法、二分法和二次近似法等。
这些方法都是通过迭代的方式，逐步逼近平方根的值，直到达到所需的精度。
6.幂函数运算：浮点数的幂函数运算可以通过连乘或连乘的方式实现。
幂函数运算的精度取决于底数和指数的精度以及所需的结果精度。
在浮点数的运算过程中，需要注意以下几个常见问题：1.精度丢失：浮点数的表示是有限的，不可避免地存在精度误差，特别是在进行连续的浮点数运算时，会导致误差累积，可能导致结果的不准确。
2.舍入误差：浮点数的结果需要进行舍入操作以保持一定的精度。
舍入规则有多种，如四舍五入、向上取整、向下取整等，选择合适的舍入规则可以减小误差。
3.溢出和下溢：浮点数的范围是有限的，当计算结果超出范围时，会发生溢出；当结果接近零但无法表示时，会发生下溢。
这两种情况都需要进行特殊处理。
4. 特殊数值：浮点数中有几个特殊的数值，如无穷大（Infinity）、非数值（NaN）和零（0）。
这些特殊值的运算需要按照特定的规则进行处理，以免引起错误。
浮点数的加减乘除运算步骤
设两个浮点数X=Mx※2Ex Y=My※2Ey实现X±Y要用如下5步完成：①对阶操作：小阶向大阶看齐②进行尾数加减运算③规格化处理：尾数进行运算的结果必须变成规格化的浮点数，对于双符号位的补码尾数来说，就必须是001×××…×× 或110×××…××的形式, 若不符合上述形式要进行左规或右规处理。
④舍入操作：在执行对阶或右规操作时常用“0”舍“1”入法将右移出去的尾数数值进行舍入，以确保精度。
⑤判结果的正确性：即阶码是否溢出若阶码下溢（移码表示是00…0），要置结果为机器0；若阶码上溢（超过了阶码表示的最大值）置溢出标志。
例题：假定X=0 .0110011*211，Y=0.1101101*2-10（此处的数均为二进制）?? 计算X+Y；解：[X]浮：0 1010 1100110[Y]浮：0 0110 1101101符号位阶码尾数第一步：求阶差：│ΔE│=|1010-0110|=0100第二步：对阶：Y的阶码小，Y的尾数右移4位[Y]浮变为0 1010 0000110 1101暂时保存第三步：尾数相加，采用双符号位的补码运算00 1100110+00 000011000 1101100第四步：规格化：满足规格化要求第五步：舍入处理，采用0舍1入法处理故最终运算结果的浮点数格式为：0 1010 1101101，即X+Y=+0. 1101101*210①阶码运算：阶码求和（乘法）或阶码求差（除法）即[Ex+Ey]移= [Ex]移+ [Ey]补[Ex－Ey]移= [Ex]移+ [－Ey]补②浮点数的尾数处理：浮点数中尾数乘除法运算结果要进行舍入处理例题：X=0 .0110011*211，Y=0.1101101*2-10求X※Y解：[X]浮：0 1 010 *******[Y]浮：0 0 110 1101101第一步：阶码相加[Ex+Ey]移=[Ex]移+[Ey]补=1 010+1 110=1 0001 000为移码表示的0第二步：原码尾数相乘的结果为：0 10101101101110第三步：规格化处理：已满足规格化要求，不需左规，尾数不变，阶码不变。
下列有关浮点数加减运算
下列有关浮点数加减运算
浮点数加减运算是指对两个浮点数进行相加或相减的操作。
浮点
数是计算机中用来表示实数的一种数据类型。
在浮点数加减运算中，
计算机会按照一定的规则对浮点数进行精确的计算。
浮点数的加法运算是将两个浮点数的数值进行相加，并考虑到小
数点的位置和精度。
具体操作是先将两个浮点数的小数部分对齐，然
后将整数部分进行相加，最后将小数部分进行相加。
在相加过程中，
需要注意对小数部分进行进位或借位的操作。
浮点数的减法运算是将两个浮点数的数值进行相减，并考虑到小
数点的位置和精度。
具体操作是先将两个浮点数的小数部分对齐，然
后将整数部分进行相减，最后将小数部分进行相减。
在相减过程中，
需要注意对小数部分进行借位的操作。
浮点数的加减运算在计算机中是通过浮点数加法器或浮点数减法
器进行的。
这些加法器和减法器都是按照一定的算法和规则进行设计
和实现的，以保证浮点数的加减运算结果的准确性和精度。
浮点数加减运算在计算机科学和工程领域中广泛应用。
例如，在
计算机图形学中，浮点数的加减运算可以用来进行向量和矩阵的计算，从而实现图形的旋转、缩放和平移等效果。
此外，在科学计算和数据
分析中，浮点数的加减运算也是非常重要的基本操作。
浮点数加减运算
如果一个二进制浮点数的尾数的绝对值小于1并且大于等于0.5,（1> |尾数|> 0.5）, 那么这个二进制浮点数就是一个规格化的浮点数。
用二进制补码表示1个规格化的浮点数，并且规格化的浮点数的尾数只有一个符号位时：规格化的浮点数的尾数是正数时应该是0 . 1 X X X X X X X X X ……的形式（0表示符号位，X表示0或1中的任意一个数值）规格化的浮点数的尾数是负数时应该是1 . 0 X X X X X X X X X……的形式（1表示符号位，X表示0或1中的任意一个数值）用二进制补码表示1个规格化的浮点数，并且规格化的浮点数的尾数只有两个符号位时：规格化的浮点数的尾数是正数时应该是00 . 1 X X X X X X X X X ……的形式（00表示符号位，X表示0或1中的任意一个数值）规格化的浮点数的尾数是负数时应该是11 . 0 X X X X X X X X X……的形式（11表示符号位，X表示0或1中的任意一个数值）两个浮点数加减法的计算结果必须规格化，如果不是规格化的数，则要通过修改阶码并同时左移或者右移尾数，使其变为规格化的数。
2010X 0.11011011 , y=2100X - ［例］x0.10101100，浮点数均以补码表示，阶码采用双符号位，尾数采用单符号位。
求x+y。
答：（步骤1）转换成题目中要求的浮点数格式：浮点数x= 2010X 0.11011011 的阶码是+010,尾数是+0.11011011浮点数均以补码表示，所以阶码以补码表示，并且阶码采用双符号位，[x]浮的阶码=00010 （00是两个符号位）浮点数均以补码表示，所以尾数以补码表示，并且尾数采用单符号位，[x]浮的尾数=0.11011011 （0是1个符号位）浮点数y=210°x -0.10101100的阶码是+100,尾数是-0.10101100浮点数均以补码表示，所以阶码以补码表示，并且阶码采用双符号位，[y]浮的阶码=00100（00是两个符号位）浮点数均以补码表示，所以尾数以补码表示，并且尾数采用单符号位，[y]浮的尾数=1.01010100 （1是1个符号位）（y=2100x -0.10101100 中10101100先取反变为01010011，再加1 后变为01010100）[x]浮=00010, 0.11011011;[y] 浮=00100, 1.01010100;（步骤2）阶数对齐：x的阶码是+2 （二进制00010）, y的阶码是+4 （二进制00100），阶码小的向阶码大的数对齐，x的阶码向y的阶码对齐。
浮点数加减运算.
如果一个二进制浮点数的尾数的绝对值小于1并且大于等于0.5，（1＞|尾数|≥0.5），那么这个二进制浮点数就是一个规格化的浮点数。
用二进制补码表示1个规格化的浮点数，并且规格化的浮点数的尾数只有一个符号位时：规格化的浮点数的尾数是正数时应该是0 . 1 X X X X X X X X X ……的形式（0表示符号位，X表示0或1中的任意一个数值）规格化的浮点数的尾数是负数时应该是1 . 0 X X X X X X X X X ……的形式（1表示符号位，X表示0或1中的任意一个数值）用二进制补码表示1个规格化的浮点数，并且规格化的浮点数的尾数只有两个符号位时：规格化的浮点数的尾数是正数时应该是00 . 1 X X X X X X X X X ……的形式（00表示符号位，X表示0或1中的任意一个数值）规格化的浮点数的尾数是负数时应该是11 . 0 X X X X X X X X X ……的形式（11表示符号位，X表示0或1中的任意一个数值）两个浮点数加减法的计算结果必须规格化，如果不是规格化的数，则要通过修改阶码并同时左移或者右移尾数，使其变为规格化的数。
[例] x＝2010×0.11011011，y=2100×-0.10101100，浮点数均以补码表示，阶码采用双符号位，尾数采用单符号位。
求x+y 。
答：（步骤1）转换成题目中要求的浮点数格式：浮点数x＝2010×0.11011011的阶码是+010，尾数是+0.11011011浮点数均以补码表示，所以阶码以补码表示，并且阶码采用双符号位，[x]浮的阶码＝00010（00是两个符号位）浮点数均以补码表示，所以尾数以补码表示，并且尾数采用单符号位，[x]浮的尾数＝0.11011011（0是1个符号位）浮点数y=2100×-0.10101100的阶码是+100，尾数是- 0.10101100浮点数均以补码表示，所以阶码以补码表示，并且阶码采用双符号位，[y]浮的阶码＝00100（00是两个符号位）浮点数均以补码表示，所以尾数以补码表示，并且尾数采用单符号位，[y]浮的尾数＝1.01010100（1是1个符号位）（y=2100×-0.10101100中10101100先取反变为01010011，再加1后变为01010100）[x]浮=00010, 0.11011011；[y]浮=00100, 1.01010100；（步骤2）阶数对齐：x的阶码是+2（二进制00010），y的阶码是+4（二进制00100），阶码小的向阶码大的数对齐， x的阶码向y的阶码对齐。
浮点数的加减法运算
计算机组成与结构之浮点数的加减法运算学生组所在学院：燕山大学信息学院学生组所在班级：2014级计算机1 班学生组姓名：陈朝俊张海傅晓欣曲佳彤地址：中国河北省秦皇岛市河北大街438号邮编：066004电话：传真：网址：浮点数加减法运算简介大型计算机和高档微型机中，浮点加减法运算是由硬件完成的。
低档的微型机浮点加减法运算是由软件完成的，但不论用硬件实现还是软件实现，基本原理是一致的。
浮点加减法运算要经过对阶、尾数加减运算、结果规格化、舍入处理、溢出判断五步操作。
其中尾数运算与定点加减法运算相同，而对阶、规格化、舍入和溢出判断，则是浮点加减法运算和定点加减法运算不同的操作之处。
在补码浮点运算中，阶码与尾数可以都用补码表示。
在硬件实现的运算中，阶码和数符常采用双符号位。
浮点数的表示形式浮点数的表示形式(假设以2为底)：N=M·2E其中，M为浮点数的尾数，一般为绝对值小于1的规格化二进制小数，用原码或补码形式表示；E为浮点数的阶码，一般是用移码或补码表示的整数。
阶码的底除了2以外，还有用8或16表示的，这里暂且只以2为底进行讨论。
浮点数加减法运算的步骤设两浮点数X、Y进行加减运算，其中：X=M X·2EX，Y=M Y·2EY 一般由以下五个步骤完成：规格化浮点数加减运算流程一、对阶1.对阶是指将两个进行运算的浮点数的阶码对齐的操作。
对阶的目的是为了使两个浮点数的尾数能够进行加减运算。
因为，当进行MX·2EX 与MY·2EY加减运算时，只有使两浮点数的指数值部分相同，才能将相同的指数值作为公因数提出来，然后进行尾数的加减运算。
2.对阶的具体方法是：首先求出两浮点数阶码的差，即ΔE＝Ex-Ey，将小阶码加上ΔE，使之与大阶码相等，同时将小阶码对应的浮点数的尾数右移ΔE位，以保证该浮点数的值不变。
3.几点注意：（1）对阶的原则是小阶对大阶，因为若大阶对小阶，则尾数的数值部分的高位需移出，而小阶对大阶移出的是尾数的数值部分的低位，这样损失的精度更小。
浮点数加法运算
浮点加减运算对任意一个二进制数N,总可以表示成:N=2E×M ,式中,E为数N的阶码,M称为数N的尾数,一般为绝对值小于1的规格化数(补码是允许为-1)。
两浮点数X,Y进行加减运算时,必须按以下几步执行:①对阶,使两数的小数点位置对齐,小的阶码向大的阶码看齐。
②尾数求和,将对阶后的两尾数按定点加减运算规则求和(差)。
③规格化,为增加有效数字的位数,提高运算精度,必须将求和(差)后的尾数规格化。
④舍入,为提高精度,要考虑尾数右移时丢失的数值位。
⑤判断结果,即判断结果是否溢出。
规格化又分左规和右规两种(1) 左规。
当尾数出现00.0××…×或11.1××…×时,需左规。
左规时尾数左移一位,阶码减1,直到符合补码规格化表示式为止(2) 右规。
当尾数出现01.××…×或10.××…×时,表示尾数溢出,这在定点加减运算中是不允许的,但在浮点运算中这不算溢出,可通过右规处理。
右规时尾数右移一位,阶码加1.例,两浮点数x=2+010 ×0.110100,y=2+100 ×(-0.101010),求x+y。
解:阶码取3位,尾数取6位(均不包括符号位),机器表示的形式分别为[x]补= 0010 0110100[y]补= 0100 1010110①对阶:先求阶差(两阶码的补码相减)00 010+ 11 100 (减00 100 就是加—00100的补码,即11 100)11 110 其真值为-2,即x的阶码比y的阶码小2[x]补的阶码增大成0100,尾数右移两位,即[x]补= 0100 0001101②尾数相加00.001101+ 11.01011011.100011 相加结果为0100 1 100011③规格化:最高有效位与符号位相同,需要左规,所以结果应为:[x+y]补= 0011 1 000110x+y = 2+011 ×(-0.111010)4.舍入在对阶和右规的过程中,可能会将尾数的低位丢失,引起误差,影响了精度,为此可用舍入法来提高尾数的精度。
请简述浮点数加减运算的步骤。
请简述浮点数加减运算的步骤。
1.对齐小数点位置：首先，需要将参与运算的浮点数进行小数点的对齐，使其具有相同的小数位数，这样才能正确进行运算。
2.符号位处理：对于有符号的浮点数，需要首先对其符号位进行处理，即判断是否有正负号的变化，以便后续的运算。
3.阶码对齐：浮点数的运算涉及到对阶码的操作。
阶码表示了浮点数
的指数部分。
对于两个浮点数，它们的阶码可能不同，因此需要将它们的
阶码进行对齐。
对齐阶码后，还需要比较两个阶码的大小，确定哪个数应
进行放缩操作。
4.尾数运算：对齐阶码后，需要对尾数进行运算。
具体来说，如果两
个浮点数的阶码相同，那么它们的尾数直接相加或相减即可。
如果阶码不同，则需要将尾数按照较小的阶码进行放缩，以便进行运算。
5.规格化：运算完成后，还需要对结果进行规格化。
规格化的目的是
确保表示浮点数的规范形式。
具体来说，就是要保证尾数的最高有效位
（即尾数的最左边一位）为1，并且将阶码调整到正确的位置。
6.溢出判断：最后，需要对运算结果进行溢出判断。
如果运算结果超
出了浮点数所能表示的范围，即超出了尾数所能表示的有效位数，那么就
会发生溢出。
溢出的情况下，一般需要对结果进行舍入或截断处理。
总结起来，浮点数加减运算的步骤包括对齐小数点位置、符号位处理、阶码对齐、尾数运算、规格化和溢出判断等。
这些步骤保证了浮点数的加
减运算的正确性和精度。
浮点数加减法运算
浮点数加减法运算浮点数加减法是计算机中常见的运算方式之一，它可以用于处理浮点数的加法和减法运算。
在计算机科学和数学中，浮点数是一种用于表示实数近似值的数据类型。
浮点数加减法运算是基于浮点数的特定规则进行的，下面将介绍浮点数加减法的原理和应用。
一、浮点数的表示方法在计算机中，浮点数以科学计数法的形式进行表示。
通常采用IEEE 754标准来表示浮点数，其中包括单精度浮点数和双精度浮点数两种形式。
单精度浮点数使用32位来表示，双精度浮点数使用64位来表示。
浮点数的表示形式包括符号位、指数位和尾数位。
二、浮点数加法运算浮点数加法运算的基本原理是将两个浮点数的尾数进行对齐，然后根据指数的差值进行尾数的移位，最后将尾数相加得到结果。
在进行浮点数加法运算时，需要考虑溢出、舍入和规格化等特殊情况。
1. 对齐尾数在进行浮点数加法运算时，首先需要将两个浮点数的尾数进行对齐。
对齐的原则是将尾数中小数点后的位数相等，即将尾数进行右移或左移，直到小数点后的位数相等为止。
2. 指数调整在对齐尾数后，需要根据两个浮点数的指数差值进行尾数的移位。
如果两个浮点数的指数相等，则无需移位；如果两个浮点数的指数不相等，则需要将尾数进行左移或右移，移位的位数为两个指数的差值。
3. 尾数相加在进行尾数移位后，将两个浮点数的尾数进行相加。
相加时要考虑进位的情况，如果相加后的结果超过了尾数的表示范围，则需要进行舍入操作。
4. 舍入在进行浮点数加法运算时，需要进行舍入操作。
舍入操作是根据舍入规则来确定结果的最终值。
常用的舍入规则有四舍五入、向上舍入和向下舍入等。
5. 规格化在得到相加结果后，需要对结果进行规格化处理。
规格化是将结果表示为科学计数法的形式，即将尾数进行左移或右移，直到最高位为1，然后将指数进行相应的调整。
三、浮点数减法运算浮点数减法运算可以转化为浮点数加法运算。
具体而言，将减法转化为加法时，需要将减数取相反数，然后进行相加运算。
1. 取相反数在进行浮点数减法运算时，需要将减数取相反数。
浮点数计算公式
浮点数计算公式浮点数的相关计算公式1. 浮点数的基本运算加法运算浮点数的加法运算可以使用以下公式表示：x + y = (x1 + y1) * 2^e其中，x和y分别是两个浮点数，x1和y1分别是其对应的尾数，e是两个浮点数的指数之差的最大值。
例如，当x =，对应的尾数为，`y = `，对应的尾数为，则其加法运算结果为：+ = ( + ) * 2^(-2) = * 2^(-2) = * =减法运算浮点数的减法运算可以使用以下公式表示：x - y = (x1 - y1) * 2^e其中，x和y分别是两个浮点数，x1和y1分别是其对应的尾数，e是两个浮点数的指数之差的最大值。
例如，当x =，对应的尾数为，`y = `，对应的尾数为，则其减法运算结果为：- = ( - ) * 2^(-2) = * 2^(-2) = * =乘法运算浮点数的乘法运算可以使用以下公式表示：x * y = (x1 * y1) * 2^(e1 + e2)其中，x和y分别是两个浮点数，x1和y1分别是其对应的尾数，e1和e2分别是两个浮点数的指数。
例如，当x =，对应的尾数为，`y = `，对应的尾数为，则其乘法运算结果为：* = ( * ) * 2^(3 + 3) = * 2^6 = * 64 =除法运算浮点数的除法运算可以使用以下公式表示：x / y = (x1 / y1) * 2^(e1 - e2)其中，x和y分别是两个浮点数，x1和y1分别是其对应的尾数，e1和e2分别是两个浮点数的指数。
例如，当x =，对应的尾数为，`y = `，对应的尾数为，则其除法运算结果为：/ = ( / ) * 2^(3 - 3) = 10 * 2^0 = 10 * 1 = 102. 特殊情况处理零值处理在浮点数的计算中，存在零值的处理，在零值与其他浮点数进行运算时，会有一些特殊的规则。
•当零值与非零值相加时，结果为非零值。
•当零值与非零值相减时，结果为非零值。
ieee754浮点数加减运算
ieee754浮点数加减运算
IEEE 754浮点数加减运算是指在IEEE 754浮点数规范下对两个浮点数进行加减运算的过程。
在IEEE 754浮点数规范下，一个浮点数由三部分组成：符号位、尾数和指数。
尾数用来表示数值，指数用来表示数值的大小，符号位表示数值的正负。
加减运算的过程也是基于这三部分进行的。
加法运算的过程如下：
1. 比较两个浮点数的指数大小，将指数小的那个浮点数的尾数向右移动，使其和指数大的浮点数的尾数的有效位数相等。
2. 将两个浮点数的尾数相加，得到一个新的尾数。
3. 对新的尾数进行规格化处理，即将其保留位数维持在规定的位数以内，并更新指数。
4. 如果新的尾数超过了规定的位数，则进行舍入处理。
5. 在处理舍入的情况下，如果舍入后的尾数依然超过了规定位数，则需要将指数加1，以消除舍入后的误差。
6. 最后将新的指数加上原浮点数的符号位，即可得到加法的结果。
减法运算的过程与加法运算的过程类似，不过需要将第二个浮点数的符号位取反，即将减法转化为加法。
总的来说，IEEE 754浮点数加减运算是一个复杂的过程，需要考虑多种情况下的规格化、舍入和溢出等问题，因此在编写程序时需要注意这些问题，以避免计算结果出现误差。
浮点数加减运算
浮点数加减运算
浮点数加减运算是指对浮点数进行加法和减法运算。
浮点数是一种带有小数部分的数字表示方式，通常用于需要高精度计算的场合。
在计算机中，浮点数是通过一定的编码方式表示的，常见的有IEEE 754标准。
浮点数加减运算的结果也是一个浮点数。
在进行浮点数加减运算时，需要注意一些精度问题。
由于计算机中浮点数的表示方式是有限的，所以在进行浮点数加减运算时可能会出现精度误差。
这种误差可能会导致计算结果与预期结果不完全一致，因此需要采取一些措施来降低误差。
一种常见的降低误差的方法是使用高精度计算库。
这种库可以提供比计算机硬件本身更高的精度，从而可以在一定程度上减小误差。
另外，还可以采用一些算法和技巧来减小误差，例如四舍五入、舍入到最近的偶数等。
总之，浮点数加减运算是计算机中常见的运算方式，但需要注意精度问题。
通过采取一些措施，可以降低误差并得到更准确的计算结果。
浮点数加减运算
出等步骤。设浮点数的阶码和尾数均采用补码表示，且位数分别为5位和7
位（均含2位符号位）。若有两个数X=27×29/32，Y=25×5/8，则用浮点
加法计算X+Y的最终结果是:
A．00111 1100010 B. 00111 0100010 C．01000 0010001 D. 发生溢出 解题思路： • X= 2 00111 × 0.11101； Y = 2 00101 × 0.101 ；对阶后大的阶码为00111 • 位数相加后的结果为：01.00010， • 尾数需右移规格化，同时阶码加1后变成 01 000
[X+ Y]补= 00 011 ，11 . 000101011
4) 舍入 （ 0 舍 1入）
在结果尾数的最低位加1，最后的结果为： [X+ Y]补= 00 011 ，11 . 00010110 X+Y = – 0.11101010 2 011
第三章 3.7 浮点数加减运算
4
浮点数加减运算举例
例2 浮点数加减运算过程一般包括对阶、尾数运算、规格化、舍入和判溢
第三章 3.7 浮点数加减运算
4
浮点数加减运算举例
例 设 x = 2 010 × 0.11011011 y = 2 100 × (- 0.10101100) 求 x+y
2)尾数运算 00.00110110 11 + 11.01010100 11.1000101011 3) 尾数规格化处理
分析发现，只左移一次即可达到规格化要求。规格化后的结果为：
计算机组成原理
第三章 运算方法与运算器
3.7 浮点数加减运算
第三章 3.7 浮点数加减运算
1
规格化浮点数的概念
浮点数的加法减法运算
2.6.1 浮点加法、减法运算
•浮点数的加法、减法运算
设有两个浮点数的分别为X=Mx*2Ex，Y=My*2Ey， 实现浮点加减法算的基本步骤分为四步完成：
0操作数检查：用来判断两个操作数中是否有一 个为0.
对阶操作：即比较两个浮点数的阶码值的大小 ，求E=Ex-Ey，然后将小阶对大阶。
阶码大的数对齐；
若△E＝0,表示两数阶码相等,即Eｘ＝Eｙ； 若△E>0,表示Eｘ>Eｙ； 若△E<0,表示Eｘ>Eｙ。 当Eｘ≠Eｙ 时,要通过尾数的移动以改变Eｘ或Eｙ
,使之相等。
解:浮点表示为: [X]浮= 00 010，0. 11011011 [Y]浮= 00 100，1. 01010100
规则：尾数右移1位，阶码加1
(2)结果是00.0..01.....或11.1...10...时，则向左规 格化
规则：尾数左移1位，阶码减1，直到规格化
右规，阶码加1，左规，阶码减1
例子中左规为11.00010101（10），阶码减1为00011
练习：01.1101
10.0001
2.6 浮点运算方法和浮点运算器
2.6.1 浮点加法、减法运算 2.6.2 浮点乘法、除法运算 2.6.3 浮点运算流水线 2.6.4 浮点运算器实例
2.6.1 浮点加法、减法运算
1、浮点加减运算
设有两个浮点数ｘ和ｙ,它们分别为 ｘ＝2Eｘ·Mｘ ｙ＝2Eｙ·Mｙ
其中Eｘ和Eｙ分别为数ｘ和ｙ的阶码,Mｘ和Mｙ为 数ｘ和ｙ的尾数。两浮点数进行加法和减法的运算规 则是
0操作数检查 阶码加减操作 尾数乘除操作 结果规格化和舍入处理
浮点数的加减运算一般由以下五个步骤完成
浮点数的加减运算一般由以下五个步骤完成：对阶↓尾数运算↓结果规格化↓舍入处理↓溢出判断设两浮点数X、Y进行加减运算，其中X＝M x·2Ex，Y＝M y·2Ey1. 对阶所谓对阶是指将两个进行运算的浮点数的阶码对齐的操作。
对阶的目的是为使两个浮点数的尾数能够进行加减运算。
因为，当进行M x·2Ex与M y·2Ey加减运算时，只有使两浮点数的指数值部分相同，才能将相同的指数值作为公因数提出来，然后进行尾数的加减运算。
对阶的具体方法是：首先求出两浮点数阶码的差，即⊿E＝E x-E y，将小阶码加上⊿E，使之与大阶码相等，同时将小阶码对应的浮点数的尾数右移相应位数，以保证该浮点数的值不变。
几点注意：（1）对阶的原则是小阶对大阶，之所以这样做是因为若大阶对小阶，则尾数的数值部分的高位需移出，而小阶对大阶移出的是尾数的数值部分的低位，这样损失的精度更小。
（2）若⊿E＝0，说明两浮点数的阶码已经相同，无需再做对阶操作了。
（3）采用补码表示的尾数右移时，符号位保持不变。
（4）由于尾数右移时是将最低位移出，会损失一定的精度，为减少误差，可先保留若干移出的位，供以后舍入处理用。
2. 尾数运算尾数运算就是进行完成对阶后的尾数相加减。
这里采用的就是我们前面讲过的纯小数的定点数加减运算。
3. 结果规格化在机器中，为保证浮点数表示的唯一性，浮点数在机器中都是以规格化形式存储的。
对于IEEE754标准的浮点数来说，就是尾数必须是1.M的形式。
由于在进行上述两个定点小数的尾数相加减运算后，尾数有可能是非规格化形式，为此必须进行规格化操作。
规格化操作包括左规和右规两种情况。
左规操作：将尾数左移，同时阶码减值，直至尾数成为1.M的形式。
例如，浮点数0.0011·25是非规格化的形式，需进行左规操作，将其尾数左移3位，同时阶码减3，就变成1.1100·22规格化形式了。
右规操作：将尾数右移1位，同时阶码增1，便成为规格化的形式了。
浮点数的加减法
浮点数的加减法浮点数加减法的运算步骤标签： 20102012-05-14 17:30 5912人阅读评论(2) 收藏举报1. 浮点加减法的运算步骤前面已讲到,浮点数经常被写成如下的形式：X = Mx * 2Ex其中Mx为该浮点数的尾数,一般为绝对值小于1的规格化的二进制小数,机器中多用原码（或补码）形式表示。
Ex为该浮点数的阶码,一般为二进制整数,机器中多用移码（或补码）表示，给出的是一个指数的幂，而该指数的底常用2、8或16,我们这里先以2为底作例子进行讨论。
浮点加减法的运算步骤假定有两个浮点数X = Mx * 2Ex ， Y = My * 2Ey1. 实现X±Y运算,要用如下五步完成:(1) 对阶操作,即比较两个浮点数的阶码值的大小.求△E=Ex-Ey。
当其不等于零时,首先应使两个数取相同的阶码值。
其实现方法是,将原来阶码小的数的尾数右移|△E|位,其阶码值加上|△E|,即每右移一次尾数要使阶码加1,则该浮点数的值不变(但精度变差了)。
尾数右移时,对原码形式的尾数,符号位不参加移位,尾数高位补0;对补码形式的尾数,符号位要参加右移并使自己保持不变。
为减少误差,可用另外的线路,保留右移过程中丢掉的一到几位的高位值,供以后舍入操作使用。
(2) 实现尾数的加(减)运算,对两个完成对阶后的浮点数执行求和(差)操作。
(3) 规格化处理,若得到的结果不满足规格化规则,就必须把它变成规格化的数,对双符号位的补码尾数来说,就必须是001××…×或110××…×的形式。
这里的规格化处理规则是:.当结果尾数的两个符号位的值不同时,表明尾数运算结果溢出。
此时应使结果尾数右移一位,并使阶码的值加1,这被称为向右规格化,简称右规。
.当尾数的运算结果不溢出,但最高数值位与符号位同值,表明不满足规格化规则,此时应重复地使尾数左移、阶减减1,直到出现在最高数值位上的值与符号位的值不同为止,这是向左规格化的操作,简称左规。
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计算机组成与结构
之
浮点数的加减法运算
学生组所在学院：燕山大学信息学院
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学生组姓名：陈朝俊张海傅晓欣曲佳彤
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浮点数加减法运算简介
大型计算机和高档微型机中，浮点加减法运算是由硬件完成的。
低档的微型机浮点加减法运算是由软件完成的，但不论用硬件实现还是软件实现，基本原理是一致的。
浮点加减法运算要经过对阶、尾数加减运算、结果规格化、舍入处理、溢出判断五步操作。
其中尾数运算与定点加减法运算相同，而对阶、规格化、舍入和溢出判断，则是浮点加减法运算和定点加减法运算不同的操作之处。
在补码浮点运算中，阶码与尾数可以都用补码表示。
在硬件实现的运算中，阶码和数符常采用双符号位。
浮点数的表示形式
浮点数的表示形式(假设以2为底)：
N=M·2E
其中，M为浮点数的尾数，一般为绝对值小于1的规格化二进制小数，用原码或补码形式表示；E为浮点数的阶码，一般是用移码或补码表示的整数。
阶码的底除了2以外，还有用8或16表示的，这里暂且只以2为底进行讨论。
浮点数加减法运算的步骤
设两浮点数X、Y进行加减运算，其中：X=M X·2EX，Y=M Y·2EY 一般由以下五个步骤完成：
规
格
化
浮
点
数
加
减
运
算
流
程
一、对阶
1.对阶是指将两个进行运算的浮点数的阶码对齐的操作。
对阶的目
的是为了使两个浮点数的尾数能够进行加减运算。
因为，当进行MX·2EX 与MY·2EY加减运算时，只有使两浮点数的指数值部分相同，才能将相同的指数值作为公因数提出来，然后进行尾数的加减运算。
2.对阶的具体方法是：首先求出两浮点数阶码的差，即ΔE＝Ex-Ey，将小阶码加上ΔE，使之与大阶码相等，同时将小阶码对应的浮点数的尾数右移ΔE位，以保证该浮点数的值不变。
3.几点注意：
（1）对阶的原则是小阶对大阶，因为若大阶对小阶，则尾数的数值部分的高位需移出，而小阶对大阶移出的是尾数的数值部分的低位，这样损失的精度更小。
（2）若ΔE＝0，说明两浮点数的阶码已相同，无需再做对阶操作。
（3）尾数右移时，对原码表示的尾数，符号位不参加移位，尾数数值部分的高位补0；对补码表示的尾数，符号位参加右移，并保持原符号位不变。
（4）由于尾数右移时是将最低位移出，会损失一定的精度，为减少误差，可先保留若干移出的位，供以后舍入处理用。
二、尾数的加减运算
执行对阶后，两尾数进行加/减运算，得到两数之和/差。
三、结果规格化
1.规格化的目的是使尾数部分的绝对值尽可能以最大值的形式出现。
设尾数M的数值部分有n位，规格化数的范围为：1/2≤｜［M］原｜≤1-2-n，1/2≤［M］补≤1-2-n(当M为正)，1/2≤｜［M］补｜≤1(当M为负)。
2.当运算的结果(和/差)不是规格化数时，需将它转变成规格化数。
双符号位的原码规格化尾数，其数值的最高位为1；双符号位的补码规格化尾数，应是00.1XX···X或11.0XX···X（X可为0或1）。
3.规格化操作的规则是：
①如果结果的两个符号位的值不同，表示加减运算尾数结果溢出，此时将尾数结果右移1位，阶码E+1，称为“向右规格化”，简称“右规”。
②如果结果的两个符号位的值相同，表示加减运算尾数结果不溢出。
但若最高数值位与符号位相同，此时尾数连续左移，直到最高数值位与符号位的值不同为止；同时从E中减去移位的位数，这称之为“向左规格化”，简称“左规”。
四、舍入处理
1.浮点运算在对阶或右规时，尾数需要右移，被右移出去的位会被丢掉，使运算结果精度受到影响。
为减少精度损失，可以将一定位数的移出位先保留起来，称为保护位，在规格化后用于舍入处理。
2.IEEE754标准列出了四种可选的舍入处理方法：
（1）0舍1入：这是标准列出的默认舍入方式，相当于十进制中的“四舍五入”，即当丢失的最高位的值为1时，把这个1加到尾数末位上进行修正（若加1后又使尾数溢出，则再进行一次右规），否则舍去丢失的各位的值。
（2）朝+∞舍入：对正数来说，只要多余位不为全0，则向尾数最低有效位进1；对负数来说，则是简单地舍去。
（3）朝-∞舍入：与朝+∞舍入方法正好相反，对正数来说，只是简单地舍去；对负数来说，只要多余位不为全0，则向尾数最低有效位进1。
（4）朝0舍入：简单地截断舍去，而不管多余位是什么值。
这种方法处理简单，但容易形成累积误差。
五、溢出判断
与定点数运算不同的是，浮点数的溢出是以其运算结果的阶
码的值是否产生溢出来判断的。
若阶码的值超过了阶码所能表示的最大正数，则为上溢，置溢出标志，若此时浮点数为正数，则为正上溢，记为+∞，若浮点数为负数，则为负上溢，记为-∞；若阶码的值超过了阶码所能表示的最小负数，则为下溢，若此时浮点数为正数，则为正下溢，若浮点数为负数，则为负下溢。
正下溢和负下溢都作为0处理（通常将阶码和尾数全部置0）。
要注意的是，浮点数的表示范围和补码表示的定点数的表示范围是有所不同的，定点数的表示范围是连续的，而浮点数的表示范围可能是不连续的。
如下图所示。
【例】两浮点数相加，求X+Y。
已知：X＝2º¹º∙0.11011011,Y＝2¹ºº∙(－0.10101100),求X＋Y。
解：X和Y在运算器中的浮点补码表示形式为（双符号位）：
阶符阶码数符尾数
X：00 010 00 11011011
Y：00 100 11 01010100
（1）对阶
阶差△E＝Eｘ－Eｙ＝[Eｘ]补＋[－Eｙ]补＝00 010＋11 100＝11 110
即△E为－2,X的阶码小,应使Mｘ右移2位,保留阶码E=00 100.
[Mｘ]补＝00 00110110 11
其中11表示Mｘ右移出去而保留的附加位。
（2）尾数相加
[Mｘ]补0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 11
＋[MY]补＋ 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0
─────────────────────
1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 11
（3）结果规格化
尾数运算结果的符号位与最高数值位相同,应进行左规处理,结果=11 00010101 10,阶码减一，E= 00 011。
（4）舍入处理
采用0舍1入法处理,保护位最高位为1，在所得结果最低位+1，得[Mｘ]补=11 00010110，M=-0.11101010.
（5）溢出处理
阶码符号位为00，故不溢出,最终结果为：
X+Y = 2º¹¹∙(-0.11101010)
实现浮点运算的加法器逻辑电路原理框图如下图所示。
图中，三个寄存器R0、R1和R2分别存放两个参加运算的浮点
数和结果。
第一步对阶，首先由ΔE加法器求出两个浮点数阶码的差值，然后由控制电路控制选择小阶码浮点数的尾数进入右移寄存器进行对阶时的右移，右移结果送入尾数加法器的一个输入端，大阶码浮点数的尾数则直接送入加法器的另一个输入端；第二步尾数相加减；第三步规格化，由尾数加法器产生的结果经规格化部件，一方面送移位寄存器进行尾数移位，另一方面控制选择大阶码进行阶码的增或减操作；第四步由舍入部件对规格化后的尾数进行舍入处理，并将结果送结果寄存器的尾数字段；第五步溢出处理，由溢出判别部件对规格化后的阶码进行溢出判别，若未溢出，则将结果送结果寄存器的阶码部分。