初中数学题巧解四例

初中数学题巧解四例

广东省台山市任远中学 陈泽宁

数学题的巧解妙证是常规解法的提高，是教学中的一个难点，同学们在牢固掌握常规解法的基础上，经常探讨巧解妙证，不但能锻炼自己的观察分析能力，促使思维敏捷，沟通不同知识的内在联系，有助于培养自己综合运用知识的能力和提高解题的技能与技巧，从而发展思维的创造性。下面通过四道题的解法来说明这个问题。

例1：解方程：x 2

－2x －143=0

【分析】思维呆板的学生看到题目按部就班想到用公式法或十字相乘法来求解，而思维灵活的学生试试处理它的时候，用公式法，运算量大；十字相乘法，不太容易试出来；当看到方程左边143比144少1，而144恰是122将其移到方程的右边，方程变成x 2－2x 十1=122；这样很快就想到用配方法来解决。

【解】 x 2－2x －143=0

x 2－2x ＋1= 144

(x －1)2=122

∴ x 1=13 x 2=－11

这道题的巧解使你们明白：思维的灵活性的反面是思维的呆板性。这种呆板性在数学学习中常常表现为循规蹈矩，因循守旧，思维僵化，缺乏应变能力，呈现出消极的思维定势。 例2、已知a a

112+－1=0 ，b 4＋b 2－1=0,且a 1≠b 2，求证：a ab 12+=－1 【分析】观察等式

a a

112+－1=0 和b 4＋b 2－=0 ，不难发现这两等式与一元二次方程x 2＋x ＋1=0相似，由于a 1≠b 2，进一步探究可知a 1，b 2是方程x 2＋x ＋1=0两个不相等的根，于是，由韦达定理得到美妙的证明。 【证明】由条件易知

a

1，b 2是方程一元二次方程x 2＋x ＋1=0两个不相等的实数根，所以由韦达定理得： a

1＋b 2=－1 即 a

ab 12+=－1 这道题关键是找出两条件的共同规律，再利用韦达定理巧妙证出结论。

例3、化简53262++ 【分析】用常规的方法进行化简，需要对化简式分母有理化，将不胜其繁，但可以从化简式5326

2++的特征出发，只需将“6”变为“2·3”，再用x 、y 、z 分别代换2、3、5，就可以化根式运算为有理式运算，可以免去根式运算的繁难，收到事半功倍效果。

【解】令x=2，y=3，z=5，则26=2xy ，x 2＋y 2－z 2

=0，所以 原式=z

y x xy ++2=z y x z Y X xy ++-++)(2222 =z

y x z y x z y x ++-+++))(( = x + y －z =2＋3－5

这道题关键是将“6”变为“2·3”，并且用x 、y 、z 分别代换2、3、5，然后再采用我们熟悉的有理式进行运算。

例4、如图1，在矩形ABCD 中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中标出的数据，计算图中空白部分的面积为多少?

【分析】思维较肤浅的同学极易分别求出四个梯形面积之和，或用大矩形ABCD 的面积减去阴影部分的面积。尽管也能计算出，但费时费力；思维较深刻的学生，掌握问题的本质，原图去掉阴影可画成图2的情形。

【解】 S 空白= (a －c) (b －c) = a b －ac 一b c ＋c 2

在整个初中学习中，类似这几道妙解的题目很多，只要你们在平时的学习中勇于探索，善于发现，将所学的知识灵活运用，相信你们的解题能力定会迅速得高。