n维向量及其运算

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线性代数3-1 n维向量及其运算

思考题
若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用．
思考题解答
答 36维的．如果我们还需要考察其它指标，比如平均成绩、总学分等，维数还将增加．
Hale Waihona Puke 第三章向量与向量空间 n维向量及其运算向量组的线性相关性秩向量空间
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第三章向量与向量空间
第一节 n维向量及其运算
n 维向量的概念二、无穷大 n维向量的运算法则
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一、 n 维向量的概念
定义1（P69） n 个有次序的数
的数组称为 n 维向量，这 a1 , a 2 , , a n 所组成 n个 n 个数称为该向量的
(1) (3) 0 ( 5 ) 1 ( 7 ) k ( ) k k (8 )( k l ) k l ( 2 ) ( ) ( ) ( 4 ) ( ) 0 ( 6 ) k ( l ) l ( k ) ( kl )
分量，第 i 个数 a i 称为第 i 个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量.
1. 行向量，通常用 a , b , , 等表示，如：
T T T T
a
T
( a 1 , a 2 , , a n )
2. 列向量，通常用 a ,b, , 等表示，如：
a1 a2 a a n
3. 向量相等
4. 零向量
5. 负向量

§1—n维向量及其线性运算

n维复向量
第2个分量第1个分量
第n个分量
§3.1 n维向量及其线性运算
n 二、维向量的表示方法
向量通常写成一行，称为行向量。记为 aT ,bT ,T , T ，如
aT (a1 ,a2 , ,an )
行向量
行矩
向量写成一列，称为列向量。记为 a,b, , ，阵如
列矩阵
列向量
a1
第三章向量组及其线性关系
§3.1 n 维向量及其线性运算
一、 n 维向量概念二、 n 维向量表示方法三、线性运算定义及性质四、小结，思考题
§3.1 n维向量及其线性运算
n 一、维向量的概念及其表示方法
定义：n 个有次序的数 a1,a2 ,L ,an 所组成的有序数组
a1, a2 ,L , an 称为一个n 维向量。

a21
x1 L
a22 LL
x2 L
L
L a2n xn LLLLL

b2
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
1 x1 2 x2 L n xn b
x1
即 Ax b 或 1
2 L

n

x2

M
§3.1 n维向量及其线性运算 n 3时，n 维向量没有直观的几何形象．
Rn x( x1, x2, , xn)T x1, x2, , xnR
n维向量空间
x( x1, x2, , xn)T a1 x1a2 x2 an xnb
叫做n 维向量空间 Rn中的n 1维超平面．
（2） 3 2 3[1,0,4,7]T 2[3,2,1,6]T

3.4 n维向量及其运算

( 2)
方程组( 2)的向量形式 : x1 β 1 + x 2 β 2 + + xn β n = 0
a11 a12 ... a1n a a22 ... a2n 21 A= .......... .......... . .......... a am2 ... amn m1
A的每一行是一个n维行向量的每一行是一个 α1 = (a11, a12, ..., a1n )
(1)
a11 a12 ... a1n a a ... a 21 2 AX = ..........22 ..........n .......... . m1 am2 ... amn a
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn ....................................... am 1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn
a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n xn = 0
a 21x1 + a 22 x 2 + ... + a 2n xn = 0 ...........................................
am1x1 + am 2 x 2 + ... + amn xn = 0
例1
0, 5 α = (1, 2,), β = ( 2,4,3,2)
(1)求2( 3α 2 β ); ( 2)3α 2(γ β ) = 0, 求γ. 解 (1)2( 3α 2 β ) = 6α 4 β 0, 30 = (6, 12, ) (8,16,12,8) 16 22 = ( 2, , 24, ) 1 ( 2)2(γ β ) = 3α = [( 3 , 0 , 6 ,15 + ( 4 , 8 , 6 , 4 )]

第9讲向量组及其线性相关性

是否有非0解
方法二
考虑由
a1,a 2 ,a 3
组成的行列式
1 30 1 0 0 2 1 1 = 2 7 1 =1(1)11 7 1 = 31 0
10 3 3 1 3 3 10 3
方程组只有0解所以: 向量组线性无关
定理3 向量组a1，a2，，am线性相关向量组中至少有一个向量能由其余向量
(1) 线性相关与线性无关定义:
设有向量组
a1，a2，，am
如果存在不全为零的数 l 1，l2，，lm，
使得 l1a1l2a2 lmam= o
则称向量组a1，a2，，am线性相关
否则称它线性无关
(2) 线性相关与线性无关的判定
定理2 向量组a1，a2，，am线性相关
齐次方程组 x1a1 x2a2 xm am =0 有非0
a1,n1
a2,n1
an,n1
r(A) = (a1 ,a2 ,...,an1) n
所以 a1 ,a2 ,...,an1 线性相关
(5) 推论 Rn中的任意n+1个向量一定线性相关证明证法二
设a1
,a 2
,...,a n1
为给定的n维向量
因为
a1
,a 2
,..
.
,a
组
n1
能被Rn
中的初单位向量组
a11 a12 a1n A= a21 a22 a2n
am1 am2 amn
1 =( a11 a12 a1n ) 2 =(a21 a22 a2n )
... ... ...
m = (am1 am2 amn)
a11
a1 =
a21
am1
a12

9n维向量及线性运算

向量数乘运算
• 向量的数乘：类似于矩阵的数乘。向量的数乘：类似于矩阵的数乘。
a1 a2 α = M a m
ka1 ka2 kα = M ka m
5、向量运算八条定律、
（1）加法交换律成立；a+b=b+a ）加法交换律成立；（2）加法结合律成立；(a+b)+c=a+(b+c) ）加法结合律成立；向量；（3）存在向量；a+0=a ）存在0向量（4）任意向量有负向量；a+b=0 ）任意向量有负向量；（5）k(a+b)=ka+kb ）（6）(k+l)a=ka+la ））（kl)a=k(la) （7）（）（（8）1a=a ）实数，是向量是向量。其中 k,l 实数，a,b是向量。
4、向量加法运算、
• 向量的加法：类似于矩阵的加法向量的加法： • 向量的数乘：类似于矩阵的数乘。向量的数乘：类似于矩阵的数乘。
a1 a2 α = M a m b1 b2 β = M b m a1 +b1 a2 + b2 α +β = M a +b m m
k1α 1 + k 2α 2 + L + k mα m k L 称为向量组的一个线性组合， 1，k 2， , k m 称为这个线性组合的系数 .
例题1 例题1
求线性组合：求线性组合： 2α1 − α 2
+ 3α 3
α1 = (1,3,0,2), α 2 = (2,0,0,−5), α 3 = (1,−1,−1,−2)

3-1 n维向量及其运算

第三章 N维向量与线性方程组
第一节 n维向量及其运算
v n维向量的概念 v n维向量的运算
一、n 维向量的概念
定义1 n 个数 a1 , a2 ,L, an 组成的有序数组称为 n 维向量，数 ai (i = 1, 2,L, n)称为该向量的第i 个分量(或坐标), 分量为实数的向量称为实向量，分量为
2
4. 零向量: 分量皆为零的向量称为零向量.
5. 负向量称向量 (-a1, -a2 ,L, -an )T 为向量 α = (a1, a2 ,L, an )T 的负向量，记为 -α.
注: (1) 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；
(2)当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.
6. 向量组若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)
矩
阵
A的
列
向
量
组
.
类似地,矩阵A = (aij )m´n 有m个n维行向量
a a a æ
ç 11
L
12
ö 1n ÷
βT 1
aç 21
ç A=ç
M
a 22
M
a L
L
2n ÷
M
÷ ÷
βT 2
a a a ç
ç i1
L
i2
÷ in ÷
βT i
çM M L M÷
a a a ç
è m1
L
m2
÷ mn ø
βT m
向量组
β
T 1
,
β
T 2
,L
β
T m
称为矩阵A的行向量组．
1
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量组α1, α2 ,L, αm A = (α1 , α2 ,L , αm ) 构成一个n ´ m矩阵

3.1n维向量概念及其线性运算

( 3)α + 0 = α ; (4)α + ( −α ) = 0 (5)1 × α = α ;
8( （）kl )α = k ( lα ). 数乘向量结合律）（数乘向量结合律）
例1
设 α = ( 2,1,3), β = ( −1,3,6), γ = ( 2,−1,4).求向量
2α + 3β − γ .
是数，向量运算的8条运算律：设 α , β , γ都是n维向量 , k , l是数，则向量运算的8条运算律：
(1)α + β = β + α ; (加法交换律 ) ( 2)(α + β ) + γ = α + ( β + γ ); (加法结合律 )
(6)k (α + β ) = kα + kβ ; (数乘分配律 ) (7)( k + l )α = kα + lα （数乘分配律） ; 数乘分配律）
的线性组合，（ β 能否表示成 α 1， α 2， α 3的线性组合，取决于该方程组是否有解。程组是否有解。对它的增广矩阵施行初等行变换，得
( A, β ) 1 → 0 0 1 0 2 − 1 3 1 = (α 1 , α 2 , α 3 , β ) = 2 1 3 4 6 5 1 0 0 2 2 − 1 − 1 → 0 1 − 1 1 −1 3 3 0 0 4 0 8 4 − 4
≠
（2，1），）
2．n维零向量．维零向量 3．负向量．
0 = (0, 0,L , 0)
α = (a1 , a2 ,L , an ), −α = (−a1 , −a2 ,L , −an )

n维向量及其运算

k • =(ka1, ka2, …, kan ), k R.
线性方程组与n维向量的线性运算：
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1
a22x2 a2nxn
b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
a11
a12
a1n b1
即x1a21x2a22xna2nb2,
am1 am2
即代表了点空间，也代表了三维向量空间。因而，点空间的许多几何性质，例如点的共线、共面，直线和平面的平行、相交等等，都可以用向量空间的语言来刻划。
一、n
几何空间中：
维向量空间的概念
a : O ( a 1 , a P 2 , a 3 )
点P的坐标
n 维向量空间 ( Rn ):
n 维向量:
= ai = bi 零向量： = (0, 0, …, 0)
负向量： - = (-a1, -a2, …, -an )
Rn :
n 维向量的全体.
n维向量的线性运算: = (a1, a2, …, an), =(b1, b2, …, bn)，
+ = (a1 +b1, a2 +b2, …, an+ bn),
n维向量及其运算
It is applicable to work report, lecture and teaching
乘向量的运算；另外，在空间中引进笛卡尔坐标系后，空间中的点和向量都和三维数组建立了一一对应关系。所以，由所有三维数组构成的集合
{ (a 1 ,a 2,a 3)|a 1 ,a 2,a 3 R }
n维向量的实际意义
确定飞机的状态，需
要以下6个参数：
机身的仰角机翼的转角

第二章 n维向量

第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
4. 矩阵等价与向量组等价
a11 a 21 A= ⋯ a m 1 a12 ⋯ a1n b11 初等行 b21 a 22 ⋯ a 2 n 初等行变换 B= ⋯ ⋯ ⋯ 初等行变换初等行 ⋯ a m 2 ⋯ a mn bm 1
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
二. 向量组之间的关系 1. 给定两个向量组 A: α1, α2, …, αr B: β1, β2, …, βs 若B组中的每个向量都能由A组中的向组中的每个向量都能由A 量线性表示, 则称向量组B 量线性表示, 则称向量组B能由向量组 A线性表示. 线性表示. 2 , 3 1 , 0 能由例如: 例如: 线性表示, 线性表示, 0 0 0 1 1 , 0 2 , 3 不能由但线性表示. 线性表示. 0 1 0 0
ε1 =
1 0 … … 0
, ε2 =
0 1 … … 0
, …, εn =
0 0 … … 1
.
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
任何一个n 任何一个n维向量
α=
a1 a2 an … …
都能由ε1, ε2, …, εn线性表示. 事实上, 线性表示. 事实上,
α = a1
1 0 … … 0
第二章 n维列向量
§2.3 向量组线性相关性的等价刻画
推论2.4. 推论2.4. 若α1, α2, …, αs线性相关, 线性相关, 则α1, α2, …, αs, αs+1, …, αt也线性相关. 反之, 反之, 若α1, α2, …, αs, αs+1, …, αt线性无关, 无关, 则α1, α2, …, αs也线性无关. 线性无关.

线性代数-3n维向量

α = ( a1 , a 2 , L a n ),
或:
(n维行向量维行向量) 维行向量
α
a1 a 2 = M a n
(n维列向量维列向量) 维列向量
目录
其中: 是实数,称为分量分量的个数称为向量的维数其中 ai (i=1,2…n)是实数称为分量分量的个数称为向量的维数是实数称为分量,分量的个数称为向量的维数. 维向量的线性运算(可参看矩阵的运算) 二. n维向量的线性运算可参看矩阵的运算维向量的线性运算可参看矩阵的运算设 1.相等相等 2.加法加法 3.数乘数乘 4.转置 α 转置
T
α = (a1 , a2 ,L, an ), β = (b1 , b2 ,L, bn )
α = β ai = bi , (i = 1,2,Ln)
α ± β ( a i ± bi ), ( i = 1, 2 , L , n )
k β = ( ka
n
i
= (a1, a 2 ,L , a
)T
a1 a2 = M a n
线性相关. 线性相关
推论2: 两个线性无关的等价的向量组必含有相同个数的向量必含有相同个数的向量; 推论两个线性无关的等价的向量组,必含有相同个数的向量推论3: 任意n+1个n维向量组必然线性相关维向量组必然线性相关. 推论任意个维向量组必然线性相关二. 向量组中的极大线性无关组和向量组的秩设一个向量组的某一部分组是线性无关的,并且从该向量组设一个向量组的某一部分组是线性无关的并且从该向量组中的其余向量中任取一个添进去所得的新的向量组线性相关所得的新的向量组线性相关, 中的其余向量中任取一个添进去,所得的新的向量组线性相关则称该部分组为一个极大线性无关组则称该部分组为一个极大线性无关组. 极大线性无关组

(完整版),n维向量及其运算向量组的线性相关性

亦即（k1 k3)1 (k1 k2 )2 (k2 k3)3 0,
因
1，
2，
线性无关，故有
3
k1 k3 0, k1 k2 0,
k2 k3 0.
由于此方程组的系数行列式 1 01 1 1 0 20 011
故方程组只有零解 k1 k2 k3 0，所以向量组 b1, b2 , b3线性无关.
一、线性表示
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．
例如
矩阵A a1
a11
(a a2 a12
ij)mn
有n个m维列向量
aj a1 j
an a1n
A
a21
a22 a2 j a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1, a2 , , an 称为矩阵A的列向量组.
因 k1, k2 ,L , ks , k中至少有一个不为0，
注意
1. 若 1,2 ,L
,
线性无关
m
,
则只有当
k1 L km 0时, 才有
k11 k22 L kmm 0成立 .
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是
线性相关 .
3.向量组只包含一个向量时,若 0则说线性相关,若 0,则说线性无关 .
4令.包k含零 0向，量的任何向量组是线性相关的.
向量
组线性 a无rj 关，
则它的a任rj 何部分组都线性无关.
ar
1,
j
即 j添上一个分量后得向量bj .若向量组 A：1,2 , ,m线性无关,则向量组B：b1, b2 , , bm也线性无
关 .反言之，若向量组B线性相关,则向量组A也线性相关 .

线性代数第三章3.2

km −1 k1 k2 α m = − α1 − α 2 − L − α m−1 km km km
αm 是其余向量的线性组合
定理4.1 向量组 α1,α2 ,L,αm (m≥ 2) 线性相关定理
向量组中至少有一个向量是其余向量的线性组合
若 αm 是其余向量的线性组合
αm = k1α1 + k2α2 +L+ km−1αm−1 k1α1 + k2α2 +L+ km−1αm−1 + (−1)αm = 0
（Ⅱ）
β 1β 2 L β s
线性表示，若（Ⅰ）中每一个向量都能由向量组（Ⅱ）线性表示，则称向量组（线性表示. 则称向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表示. 若向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）可以互相线性表示，则称向量组（等价. 则称向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价. 向量组之间的等价关系具有以下性质：向量组之间的等价关系具有以下性质：性质
b1 b2 称为行向量例如:① 例如 ① α = (a1, a2 ,L, an )称为行向量, β = M 称为 bn 列向量.
称为零向量 ②分量全为零的向量 (0, 0, L , 0) ,称为零向量. 称为 ③
等表示向量. 小写希腊字母 α, β ,γ 等表示向量
L 其中是 ε1，ε2，，εn ，n维单位行向量组.
α1 =(1, 2,3)T，（）例. 证明向量 β = −1,1,5 是向量组
T
将β 用向量组 α1，α2，α3 线性表出.
的线性组合,并具体 α 3 = ( 2 , 3 , 6 ) T 的线性组合并具体 α 2 = 0,1, 4）， = β ⇔ ai = bi (i = 1, 2,L, n)

n维向量及其线性运算

（称为行向量）
an
其中第i(i 1,2,n)个数ai称为n维向量的第i
个坐标或第i个分量，向量中分量或坐标的个
数称为向量的维数。
说明：
1.分量全为实（复）数的向量称为实（复）向量 2. 分量全为零的向量称为零向量 3.行向量和列向量总被看作是两个不同的向量
若无明确说明，所论向量均指列向量。
4. 两个向量当且仅当它们的各对应分量都相等时才是相等的，即如果
解因为对任意的
a b
x
2a
,
y
2b
V
3a 3b
及任意的数 R , 都有
a b x y 2(a b) V
3(a b)
所以V是向量空间。
a
x 2a V 3a
由上述例题可知，并不是任何一个由同维数的向量所组成的集合都构成向量空间。
我们称由若干个维数相同的向量所组成的集合为向量组
(1)集合 V对向量的加法运算封闭，即对任意
, V , 都有 V
(2)集合 V对数与向量的乘法运算封闭，即对任意
V和任意的实数都有 V，则称V是 R的n 一个子空间，也称V为实数域上的向量空间
例3.3 由单个三维零向量 V {(0,0,0)T } 组成的集合
是 3 维向量空间 R3 的一个子空间，称其为零子空间。
0.15a 0.15b
1.3 n维向量空间及其子空间
定义3.4 实数域上的全体n维向量组成的集合，连同定义在
其上的加法和数与向量的乘法运算，称为实数域上的
n维向量空间，记为 R n 当 n 3 时，三维向量空间 R3就是几何空间中全体
向量所组成的空间。
定义3.5
设V为 n维向量空间 Rn的非空子集合，且满足

线性代数课件-3.2 n维向量

定义36 对于给定的向量组 β , α 1 , α 2 , , α n 定义若存在一组数
k 1 , k 2 , , k n ,使得
β = k1α 1 + k 2α 2 + + k nα n
线性表示. 则称向量 β 可由向量组α 1 ,α 2 ,,α n 线性表示. 或向量 β 是向量组 α 1 ,α 2 ,,α n 的线性组合. 的线性组合.
线性表示. 线性表示.
证明: 证明:
1 0 0 0 a1 a1 0 0 a 0 a 0 1 0 2 2 = + + ∵要证:存在一组数 +, k = …,k +,使 + + a n α = 要证:存在一组数k12, a1 n a 2 使 0 0 1 a a 0 0 ε n n α = k + k ε + + k ε
α + β = β +α α + ( β + γ ) = (α + β ) + γ α +0 =α α + ( α ) = 0
( k + t )α = k α + t α k (α + β ) = k α + k β ( kt )α = k ( t α ) 1α = α
改书P 改书 100
【例2】已知四维向量 α 1 , α 2 , β 满足关系】
=β
线性方程组的向量表达式: 线性方程组的向量表达式: x 1α 1 + x 2 α 2 + + x n α n = β 或
α 1 x1 + α 2 x 2 + + α n x n = β
三,向量间的线性关系

第2章向量

类似数的运算性质

说明 1.只有当两个向量是同型向量时，才能进行加、减法运算. a1 a1 a a 2 2 2.向量称为向量的负向量，记为- . an an
1 2 0 -2 -1 1 例2 设 = ， = ， = 0 3 -1 2 1 -1 (1)求2 -3 (2)设2 - +2 - =q ，求 .
,s 线性相关.
例3
已知向量组1 , 2 , 3 线性无关 , 1 1 2 ,
设有x1 , x2 , x3使
2 2 3 , 3 3 1 , 试证1 , 2 , 3线性无关 .
证
x1 1 x2 2 x3 3 q 即 x （ x2 (2 3 ) x3 (3 1 ) q , 1 1 2）
k1 k2 k3 0
所以，有唯一一种表示方法：
01 0 2 03 q
2.定义6
给定向量组A : 1 , 2 , 全为零的数k1 , k2 , , ks使 k s s q k11 k2 2 , s , 如果存在不
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．注意 1. 若 1 , 2 , , n 线性无关 , 则只有当
给定向量组 A : 1 , 2 , k1，k2，，ks，表达式 k11 k2 2 ks s 称为向量组的一个线性组合， k1，k2，，ks 称为这个线性组合的组合系数. 给定向量组A : 1 , 2 , 组实数k1，k2，，ks，使 , s，和向量对于任何一 , s，对于任何一组实数
故方程组只有零解 x1 x2 x3 0，所以向量组

4.2 n维向量及其线性运算

k 2
( k 2)!
2
t 0
t!
e e
2

2
DX EX ( EX )
2 2 2
(3)均匀分布 EX a b
2
1 f ( x) b a 0
2 2
a xb 其他
b a
EX x f ( x )dx
2 2
2 2
f ( x)
1

( x )2

2
2

2

(x )
2

2 t2 2
2
e

( x )2 2 2
d
x

2

t e
dt

2
2a 2 3 xa （a 0) ，判定例 3 设 X～ f ( x ) x 0 其它
随机变量X的方差不存在。 2 2 2a 2a 解： x f ( x )dx a x x 3 dx x a 2a 2 2 2 2a 2 x f ( x ) dx x dx 2 a ln x a a 3 x 所以随机变量X的方差不存在。由此说明：随机变量X的数学期望不存在，则 X的方差一定不存在；而X的方差不存在，X的数学期望未必不存在。
证明: D( X c ) E ( X c ) 2 [ E ( X c )]2
E ( X 2cX c ) ( EX c ) 2 2 2 2 EX 2cEX c ( EX ) 2cEX c 2 2 EX ( EX ) DX
2 2 2

n维向量及其运算

线性代数3-1 n维向量及其运算

§1—n维向量及其线性运算

3.4 n维向量及其运算

第9讲 向量组及其线性相关性

9n维向量及线性运算

3-1 n维向量及其运算

3.1n维向量概念及其线性运算

n维向量及其运算

第二章 n维向量

线性代数-3n维向量

(完整版),n维向量及其运算向量组的线性相关性

线性代数 第三章3.2

n维向量及其线性运算

线性代数课件-3.2 n维向量

第2章向量

4.2 n维向量及其线性运算

第9讲向量组及其线性相关性

线性代数第三章3.2