山东高一上学期期末考试数学试卷
山东省济南市高一上学期期末数学试题(解析版)
高一年级数学期末考试一、单选题（每小题5分，共40分）1. 已知，，则集合（） {20}=-<≤∣A xx {12}B x x =-≤<∣A B = A. B.C.D.()2,2-[)1,2-[]1,0-()1,0-【答案】C 【解析】【分析】由交集的定义即可得出答案.【详解】因为，， {20}=-<≤∣A xx {12}B x x =-≤<∣所以. []1,0A B =- 故选：C .2. 命题“”的否定为（） 20,10x x x ∃>++>A. B. 20,10x x x ∀>++≤20,10x x x ∀≤++≤C. D.20,10x x x ∃>++≤20,10x x x ∃≤++≤【答案】A 【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可. 【详解】由于特称命题的否定为全称命题，故命题“”的否定为“” 20,10x x x ∃>++>20, 10x x x ∀>++≤故选：A ．3. 已知角的终边与单位圆交于点，则等于（）α34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭cos αA.B. C.D. 3535-4543-【答案】B 【解析】【分析】由余弦函数的定义计算． 【详解】由已知，所以． 1r OP ==cos 53x r α==-故选：B ．4. 设，则“”是“”的（） x ∈R ||1x >01xx >-A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分必要条件的概念分析题中命题进而判断出结果.【详解】时，或；时， 或 1x >1x >1x <-01xx >-1x >0x <成立时， 也成立，但 成立时，不一定成立1x ∴>01x x >-01xx >-1x >是的充分不必要条件，选项A 正确 “1”x ∴>“0”1xx >-故选：A.5. 若，则下列正确的是（） 1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A. B.C.D.33a b <ac bc >11a b<b c a c -<-【答案】D 【解析】【分析】先根据题干条件和函数的单调性得到，A 选项可以利用函数的单调性进行判断，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭a b >BC 选项可以举出反例，D 选项用不等式的基本性质进行判断.【详解】因为在R 上单调递减，若，则，13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b >对于选项A ：若，因为单调递增，所以，故A 错误；a b >()3f x x =33a b >对于选项B ：当时，若，则，故B 错误； a b >0c =ac bc =对于选项C ：由，不妨令，，则此时，故C 错误； a b >1a =2b =-11a b>对于选项D ：由不等式性质，可知D 正确. 故选：D.6. 下列区间包含函数零点的为（）()2log 5=+-f x x xA. B.C.D.()1,2()2,3()3,4()4,5【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理，分别判断选项区间的端点值的正负可得答案.【详解】，，()211log 1540f =+-=-<()222log 2520f =+-=-<，， ()22333log 35log 04f =+-=<()244log 4510f =+-=>，又为上单调递增连续函数()2255log 55log 50f =+-=>()f x (0,)+∞故选：C .7. 将函数的图像向左平移个单位，再将图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来()πsin(2)3f x x =-π3的，那么所得图像的函数表达式为( ) 12A. B. C. D. sin y x =πsin(43y x =+2sin(4)π3y x =+πsin()3y x =+【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数图像的变换即可得到结果. 【详解】将函数的图像向左平移个单位后所得图像对应的的解析式为 ()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭π3；sin[2()]sin(2)333y x x πππ=+-=+再将图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，所得图像对应的解析式为12．sin[2(2)]sin(4)3ππ3y x x =+=+故选:B ．8. 设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：()f x (,0)(0,)-∞+∞ 1212,(0,),x x x x ∈+∞≠，且，则不等式的解集为（）()()2211210x f x x f x x x ->-(2)4f =8()0f x x->A. B. (2,0)(2,)-+∞ (2,0)(0,2)- C.D.(,4)(0,4)-∞-⋃(,2)(2,)-∞-+∞【答案】A 【解析】 【分析】 先由，判断出在上是增函数，然后再根据函数的奇偶性以及单()()2211210x f x x f x x x ->-()y xf x =(0,)+∞调性即可求出的解集. 8()0f x x->【详解】解：对任意的，都有，1212,(0,),x x x x ∈+∞≠()()2211210x f x x f x x x ->-在上是增函数，()y xf x ∴=(0,)+∞令，()()F x xf x =则，()()()()F x xf x xf x F x -=--==为偶函数，()F x ∴在上是减函数，()F x ∴(,0)-∞且，(2)2(2)8F f ==， 8()8()(2)()0xf x F x F f x x x x--∴-==>当时，，0x >()(2)0F x F ->即，解得：， 2x >2x >当时，， 0x <()(2)0F x F -<即，解得：， 2x <20x -<<综上所述：的解集为：. 8()0f x x->(2,0)(2,)-+∞ 故选：A.【点睛】方法点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.二、多项选择题（每小题5分，部分选对2分，有错误选项0分，共20分）9. 下列说法正确的是（）A. 函数的定义域为 y =()1,1-B. 函数在其定义域上是单调递增函数 tan y x =C. 函数的值域是2xy -=()0,∞+D. 函数的图像过定点 ()()log 120,1a y x a a =-+>≠()2,2【答案】CD 【解析】【分析】选项A 根据函数有意义求出定义域即可，选项B 正切函数的定义域与单调递增的关系，选项C 根据函数单调性求值域即可，D 将代入即可验证. 2x =【详解】函数， y =210x -≥解得，故定义域为，故A 错误，11x -≤≤[]1,1-因为函数为周期函数，在内单调递增，tan y x =()πππ,πZ 22k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭但是在定义域内不是单调递增的函数，故B 错误， 因为函数在上的值域为，故C 正确， 122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭R ()0,∞+当时，， 2x =()()log 12log 2122a a y x =-+=-+=所以函数过定点，故D 选项正确， ()2,2故选：CD.10. 以下结论正确的是（）A. 若，，，则的最小值为1；B. 若且，则； 0x >0y >4x y xy +=x y +,R x y ∈0xy >2y xx y+≥C. 函数的最大值为0.D. 的最小值是2；12(0)y x x x=++<y =【答案】ABC 【解析】【分析】根据均值不等式的要求“一正二定三相等”，逐个验证选项是否正确.【详解】对于A ，由，由均值不等式可得（当且仅当0,0,4x y x y xy >>+=242x y x y xy ++⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭时，等号成立），解得，所以的最小值为1，故A 正确； 12x y ==1x y +≥x y +对于B ，由知，根据均值不等式可得，（当且仅当0xy >0,0y x x y >>2y x x y +≥=0x y =≠时，等号成立），故B 正确；对于C ，由，有，由均值不等式可得，（当且仅当0x <0x ->1()2x x ⎛⎫-+≥=⎪-⎝⎭时，等号成立），1x y ==-有，当且仅当时取等号，所以函数112(220y x x x x=++=--++≤-+=-=1x -的最大值为0，故C 正确.12(0)y x x x=++<对于D ，，等号成立的条件是2y ==≥=，而不成立，所以等号不成立，因此的最小值不=231x +=231x +=y =是2，故D 错误； 故答案为：ABC11. 下列各式的值为1的是（）A. tan20tan25tan20tan251+-B.13661log 27log 88-⎛⎫+- ⎪⎝⎭C. sin72cos18cos108sin18-D. 22cos 2251⋅- 【答案】BC 【解析】【分析】根据两角和的正切公式、诱导公式、两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，结合指数和对数的运算性质逐一判断即可.【详解】错误； ()tan20tan25tan20tan25tan 2025tan451,A tan20tan2511tan20tan25++=-=-+=-=---对；()1366666661log 27log 83log 33log 223log 3log 223log 621,B 8-⎛⎫+-=+-=+-=-= ⎪⎝⎭对；()sin72cos18cos108sin18sin72cos18cos72sin18sin 7218sin901,C -=+=+== ，D 错误. 22cos 22.51cos45-==故选：BC.12. 已知函数，以下结论正确的是（）()()2ln 1f x x ax a =---A. 存在实数a ，使的定义域为R ()f x B. 函数一定有最小值()f x C. 对任意正实数a ，的值域为R()f x D. 若函数在区间上单调递增，则实数a 的取值范围 ()f x [)2,+∞(),1-∞【答案】CD 【解析】【分析】对A ：若的定义域为R ，即在R 上恒成立，利用判别式运算分析；对()f x 210x ax a --->B 、C ：根据的值域结合对数函数的性质运算分析；对D ：根据复合函数的单调性以及21u x ax a =---对数函数的定义域运算求解.【详解】对A ：若的定义域为R ，即在R 上恒成立， ()f x 210x ax a --->则不成立， ()()()224120a a a ∆=----=+<故不存在实数a ，使的定义域为R ，A 错误；()f x 对B 、C ：∵，且，()()2222221244a a a u x ax a x ++⎛⎫=---=--≥-⎪⎝⎭()2204a +-≤故能取到全部正数，则的值域为R ，B 错误，C 正确；21u x ax a =---()()2ln 1f x x ax a =---对D ：若函数在区间上单调递增，则在上单调递增， ()f x [)2,+∞21y x ax a =---[)2,+∞故，解得， 22a≤4a ≤又∵在区间上恒成立，且在上单调递增， 210x ax a --->[)2,+∞21y x ax a =---[)2,+∞∴，解得， 22210a a --->1a <故实数a 的取值范围，D 正确. (),1-∞故选：CD.三、填空题（每小题5分，共20分）13. 已知扇形的圆心角，弧长为，扇形的面积为________． AOB 23AOB π∠=2π【答案】 3π【解析】【分析】根据扇形的面积公式，结合弧长公式进行求解即可. 【详解】设扇形的半径为，因为弧长为，所以， AOB r 2π2233r r ππ=⋅⇒=扇形的面积为：， 12332ππ⋅⋅=故答案为：3π14. 已知函数为奇函数，且时，，则_________．()f x 0x ≥()2xf x x =+()1f -=【答案】 3-【解析】【分析】利用奇偶性得出，即可代入求解. ()()11f f -=-【详解】函数为奇函数，()f x ，()()11f f ∴-=-时，，0x ≥ ()2xf x x =+，()1213f ∴=+=，()13f ∴-=-故答案为:.3-15. 已知函数(其中)，其部分图象如图所示，则()()sin ,f x A x x R ωϕ=+∈0,0,<2A πωϕ>>________.()f x =【答案】2sin 44x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据图象的最大值和最小值得到，根据图象得到周期从而求出，再代入点得到的值可得答案. A ω()3,0ϕ【详解】由图象可得函数的最大值为，最小值为，故22-2A =根据图象可知， 7342T=-=，28,4T T ππω∴===，()2sin 4x f x πϕ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭将代入，得，()3,03sin 04πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以， 32,4k k Z πϕππ+=+∈，解得，3||,24ππϕϕπ<∴+= 4πϕ=.()2sin 44x f x ππ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭故答案为：. 2sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭【点睛】本题考查根据正弦型函数的图象求函数的解析式，关键点是根据图象的最大值和最小值得到，A 根据图象得到周期，从而求出，再代入图象过的特殊点得到的值，考查了学生识图的能力及对基础知ωϕ识的掌握情况.16. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是()3,2121,2x x x f x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩()0f x a -=_________． 【答案】 (0,1)【解析】【分析】利用分段函数的解析式作出分段函数的图象，将方程有三个不同的实数根转化为()0f x a -=与的图象有三个不同的交点，分析求解即可.()y f x =y a =【详解】因为函数，作出函数的图象如图所示，3,21()21,2x x x f x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩()fx因为方程有三个不同的实数根，所以函数与的图象有三个不同的交点，由图()0f x a -=()y f x =y a =可知：实数的取值范围是， a (0,1)故答案为：.(0,1)四、解答题（共70分）17. 设集合，集合，其中. ()(){}150A x x x =+-<{}212B x a x a =-≤≤+R a ∈（1）当时，求；1a =A B ⋃（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. x A ∈x B ∈a 【答案】（1） {}15x x -<<（2） (),2-∞【解析】【分析】（1）直接求出两个集合的并集即可；（2）先将必要不充分条件转化为集合间的包含关系，然后根据集合是否为空集进行分类讨论即可B 【小问1详解】由题意得：{}15A x x =-<<当时，1a ={}13B x x =≤≤故{}15A B x x ⋃=-<<【小问2详解】由“”是“”的必要不充分条件x A ∈x B ∈可得：B A Ü当时，得B =∅212a a ->+解得：； 13a <当时，，解得. B ≠∅1312521a a a ⎧≥⎪⎪+<⎨⎪->-⎪⎩123a ≤<综上，的取值范围为：a (),2-∞18. （1）求值：若，求的值；3log 21x =22x x -+（2）化简：.()cos 3cos 2sin 2παπαα⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】（1）；（2）. 10312-【解析】【分析】（1）由题意，，得，代入可得值；3log 21x =23x =（2）运用诱导公式，可化简求值.【详解】解：（1）由题意，，得，得； 3log 21x =23x =11022333x x -+=+=（2）. ()cos 3cos cos sin 12sin 22sin cos 2παπαααααα⎛⎫-- ⎪-⎝⎭==-19. 已知，且是第二象限角． 12sin 13α=α（1）求和的值；sin2αtan2α（2）求的值． πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】（1），； 120sin2169α=-120tan2119α=（2. 【解析】【分析】(1)先根据角所在的象限和同角三角函数的基本关系得到，再利用二倍角公式即可求5cos 13α=-解；(2)结合（1）的中的结论，利用两角差的余弦公式即可求解. 【小问1详解】因为，且是第二象限角． 12sin 13α=α所以， 5cos 13α==-则，， 125120sin 22sin cos 2()1313169ααα==⨯⨯-=-2225144119cos 2cos sin 169169169ααα=-=-=-所以. sin 2tan 2cos 2120119ααα==【小问2详解】由（1）知：，， 5cos 13α=-12sin 13α=所以. πcos(4ααα-==20. 已知函数是定义在R 上的二次函数，且满足：，对任意实数x ，有()y f x =()01f =成立.()()122f x f x x +-=+（1）求函数的解析式；()y f x =（2）若函数在上的最小值为，求实数m 的值.()()()()121g x f x m x m R =-++∈3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2-【答案】（1）2()1f x x x =++（2）2m =【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可，（2）由（1）得，，然后分和两种情况求解即可 ()222g x x mx =-+32m ≤32m >【小问1详解】设，2()(0)f x ax bx c a =++≠因为，所以，()01f =1c =所以，2()1f x ax bx =++因为，()()122f x f x x +-=+所以22(1)(1)1(1)22a x b x ax bx x ++++-++=+整理得，所以，得， 222ax a b x ++=+222a a b =⎧⎨+=⎩11a b =⎧⎨=⎩所以2()1f x x x =++【小问2详解】由（1）得，， ()222g x x mx =-+对称轴为直线，x m =当时，在上单调递增，所以， 32m ≤()g x 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭39()32224min g x g m ⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭解得（舍去）， 2512m =当时，，解得（舍去），或， 32m >()22()222min g x g m m m ==-+=-2m =-2m =综上，2m =21. 已知函数 ()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求函数的最小正周期;()f x （2）求函数图象的对称轴方程、对称中心的坐标;()f x （3）当时,求函数的最大、最小值及相应的x 的值． π02x ≤≤()f x 【答案】（1）π（2）对称轴;对称中心 3ππ,Z 82k x k =+∈ππ0Z 8,2k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭（3）时,;时, 3π8x =()max 1f x =0x =()min f x =【解析】 【分析】(1)根据和解析式即可求得最小正周期; 2πT ω=()f x (2)整体将代入的对称轴、对称中心即可求得结果; π24x -sin y x =(3)换元法,令,求出的范围,即可求得的最值,根据求出最值时x 的值即可. π24t x =-t ()f x t 【小问1详解】解:由题知, ()πsin 24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭所以周期, 2ππ2T ==故最小正周期为;π【小问2详解】令, ππ2π,Z 42x k k -=+∈解得: , 3ππ,Z 82k x k =+∈故对称轴方程为; ()f x 3ππ,Z 82k x k =+∈令, π2π,Z 4x k k -=∈解得: , ππ,Z 82k x k =+∈故对称中心的坐标为; ()f x ππ0Z 8,2k k ⎛⎫+∈⎪⎝⎭【小问3详解】因为, π02x ≤≤令, ππ3π2,444t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦故在时, sin y t =π4t =-min y =即,解得,, ππ244x -=-0x =()()min 0f x f ==在时,, π2t =max 1y =即,解得,, ππ242x -=3π8x =()max 3π18f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭综上: 时,;时,. 3π8x =()max 1f x =0x =()min f x =22. 已知函数是偶函数． ()()()2log 412R x kx f x x ⎡⎤=+⋅∈⎣⎦（1）求k 的值；（2）设，证明函数在上的单调递增；()()2f x g x =()g x [)0,∞+（3）令，若对恒成立，求实数m 的取值范围．()(2)2()=-⋅h x g x m g x ()0h x >[1,)x ∞∈+【答案】（1）；1k =-（2）证明见解析；（3）的取值范围是． m 17(,)20-∞【解析】【分析】（1）由函数是偶函数，知对恒成2()log (41)2(R)x kx f x x ⎡⎤=+⋅∈⎣⎦()()0f x f x --=x ∈R 立，化简即得的值；k （2）由（1）知，，利用函数单调性的定义证明即可； 2log (22)()222x x x x g x -+-==+，设，则，()()()()()2232222222x x x x h x g x m g x m --=-⋅=+-+22x x t -=+222y t mt =--，对分类讨论，结合二次函数的性质，可得实数的取值范围． 5,2t ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭m m 【小问1详解】∵函数是偶函数，2()log (41)2(R)x kx f x x ⎡⎤=+⋅∈⎣⎦对恒成立，()()0f x f x ∴--=x ∈R 又， ()22log (41)2log (41)x kx x f x kx ⎡⎤=+⋅=++⎣⎦∴， 22log (41)log (41)220x x kx kx x kx -+--+-=--=．1k ∴=-【小问2详解】由（1）知，， 22241()log (41)2log log (22)2x x xx x x f x --+⎡⎤=+⋅==+⎣⎦所以， ()2log (22)222x x x x g x -+-==+任取，且设， [)12,0,x x ∈+∞12x x < ()()()()22112121211122222222x x x x x x x x g x g x --∴-=+-+=-+-， ()1221211212221222212222x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，，且，1x [)20,x ∈+∞12x x <，，， 21221x x ∴>≥21220x x ∴->1211022x x ->，()()210g x g x ∴->函数在上为单调递增函数．∴()g x [)0,∞+【小问3详解】， ()()()()222222222x x x x h x g x m g x m --=-⋅=+-+设，22x x t -=+由（2）知，当时， [)1,x ∈+∞5,2t ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭， 222y t mt ∴=--5,2t ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭当时，，解得； 52m ≤min 255204y m =-->1720m <当时，，无解， 52m >22min 220y m m =-->实数的取值范围是． ∴m 17(,)20-∞。
2022-2023学年山东省青岛市市内四区普通高中高一上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年山东省青岛市市内四区普通高中高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合1{|1216}{|0}6x x A x B x x -=≤=≥-＜，，则R A C B ⋂＝（ ） A ．{x |1＜x ≤4} B ．{x |0＜x ≤6} C ．{x |0＜x ＜1} D ．{x |4≤x ≤6}【答案】A【分析】化简集合,A B ，按照补集定义求出R C B ，再按交集定义，即可求解. 【详解】{|1216}{|04}x A x x x =<=<≤≤, 1{|0}{|16x B x x x x -=≥=≤-或6}x >， {|16}R C B x x =<≤，R A C B ⋂4{|}1x x <≤=.故选:A.【点睛】本题考查集合的混合运算，解题要注意正确化简集合，属于基础题.2．下列哪个函数的定义域与函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域相同（ ）A ．2x y =B ．1y x x=+C ．12y x =D ．ln y x x =-【答案】D【解析】指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是(0,)+∞，依次看选项的定义域是否在(0,)+∞即可。
【详解】指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是(0,)+∞A 选项定义域是R ；B 选项定义域是{}|0x x ≠；C 选项定义域是{}|0x x ≥；D 选项定义域是{}|0x x >，满足题意。
故选：D【点睛】此题考查函数的值域和定义域，掌握基本初等函数的图像和性质，属于简单题目。
3．若0a >，0b >，则“4ab ≤”是“4a b +≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】取4a =，1b =，可得“4ab ≤”不能推出“4a b +≤”；由基本不等式可知由“4a b +≤”可以推出“4ab ≤”，进而可得结果.【详解】因为0a >，0b >，取4a =，1b =，则满足4ab ≤，但是54a b +=>，所以“4ab ≤”不能推出“4a b +≤”；反过来，因为a b ≤+，所以当4a b +≤时，有4，即4ab ≤. 综上可知，“4ab ≤”是“4a b +≤”的必要不充分条件. 故选：B.4．已知幂函数()y f x =的图象经过点，则13log (3)f 的值是（ ）A ．13-B ．1C ．13D ．-1【答案】A 【分析】设()a f x x ，代入点的坐标求得a ，然后再计算函数值．【详解】()a f x x，则由题意和13(3)33a f ===，13a =，∴1311133311log (3)log 3log 333f ===-．故选：A ．【点睛】本题考查幂函数的定义，考查对数的运算，属于基础题． 5．已知实数2log 3a =，cos 4b π=，3log 2c =，则这三个数的大小关系正确的是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】A【分析】根据对数函数的图象和性质可得：1a c >>，然后再比较,b c 的大小关系即可. 【详解】因为2233log 3log 21log 3log 2>==>，所以1a c >>，又因为21cos43b π>==，而3982log 2log 2log 23c ==<=，所以1b c >>， 所以a b c >>， 故选：A .6．函数2sin 2x y x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】令0x =，排除C 、D ；再令=1x -，排除B 即可. 【详解】令0x =，则02sin 01y =-=，排除C 、D ；令=1x -，则()112sin 2sin 202y -=--=+>，排除B. 故选：A7．若θ为第二象限角，且()1tan 2θπ-=-1cos 1cos 31sin()1sin()22θθππθθ+---+- ）A ．4B ．-4C ．14D ．14-【答案】B【分析】利用诱导公式化简、同角公式化简再代入计算即可作答.【详解】由()1tan 2θπ-=-得：1tan 2θ=-，而θ为第二象限角，则有sin 0θ>，22221cos 1cos 1cos 1cos (1cos )(1cos )31cos 1cos 1cos 1cos 1sin()1sin()22θθθθθθππθθθθθθ+-+-+--+----+-1cos 1cos 2cos 24sin sin sin tan θθθθθθθ+-=-===- 故选：B8．已知函数()f x 的定义域为R ,图象恒过()1,1点,对任意12x x <,都有()()12121f x f x x x ->--则不等式()()22log 212log 21x xf ⎡⎤-<--⎣⎦的解集为（ ）A ．()0,∞+B ．()2,log 3-∞C ．()()2,00,log 3-∞D ．()20,log 3【答案】D【解析】判断出()()R x f x x =+是增函数，又()()()2222log 1log 12(1)1x xf f -+-<=+，求得0<212x -<，从而求得x 的范围。
山东高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．sin390°的值是（ ）A ．B 12C ．D ．12-【答案】A【分析】根据终边相同的角，将化成，再利用的三角函数值与的公式，即可390-︒30-︒30︒sin()α-求出答案．【详解】解：根据题意，得 ()()1sin 390sin 30360sin 302︒=︒+︒=︒=故选：A ．2．“函数为偶函数”是“” 的（ ）()sin(2)f x x θ=+2πθ=A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】充分性判断：利用偶函数的性质，结合和差角正弦公式求；必要性判断：应用诱导公式θ化简并判断奇偶性，最后由充分、必要性定义确定题设条件间的关系. ()f x 【详解】当为偶函数时， ()sin(2)f x x θ=+sin(2)sin(2)x x θθ-=+则恒成立，即，；2sin 2cos 0x θ=2k πθπ=+Z k ∈当时，为偶函数； ,2πθ=()sin(2)cos 22f x x x π=+=综上，“函数为偶函数”是“”的必要不充分条件.()sin(2)f x x θ=+2πθ=故选：B3．已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数（ ）()2222()1mm f x m m x--=--m =A ．或 B ．C ．D ．21-1-42【答案】D【分析】利用幂函数的定义及偶函数的概念即得.【详解】由幂函数的定义知，解得或．211m m --=1m =-2m =又因为为偶函数，所以指数为偶数，故只有满足． ()f x 222m m --2m =故选：D ． 4．已知，，，则，，的大小关系为 3sin7a π=4cos 7b π=3tan(7c π=-a b cA ．B ．C ．D ．a b c <<b a c <<c b a <<c<a<b 【答案】C【分析】可以看出，直接排除A 、B ，再比较，从而选出正确答案. 0,0,0a b c ><<1,1b c >-<-【详解】可以看出是一个锐角，故；又，故；又37π3sin07a π=>4cos cos 72ππ<10b -<<，而， 34tan tan 77ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭43274πππ<<故；从而得到， 1c <-c b a <<故选C.【点睛】比较大小时常用的方法有①单调性法，②图像法，③中间值法；中间值一般选择0、1、-1等常见数值.5．函数的部分图象大致为（ ）()sin ln ||f x x x =⋅A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】先根据函数的奇偶性，可排除A ，C ，根据当时，即可排除B ．得出答01x <<()0f x <案.【详解】因为，所以， ()sin ln ||(0)f x x x x =⋅≠()sin()ln ||sin ln ||()f x x x x x f x -=-⋅-=-=-所以为奇函数，故排除A ，C ．()f x 当时，，，则，故排除B ， 01x <<sin 0x >ln ||0x <()0f x <故选:D ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．函数的最大值和最小值分别是（ ）()22sin 2cos f x x x =-+A ．B ．C ．D ．2,2-52,2-12,2-5,22-【答案】B 【分析】，函数可化简为,令,本题转化为函数,的最值()2152cos 22f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭cos t x =215222y t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭[]1,1t ∈-求解即可.【详解】根据题意,()222152sin 2cos 2cos 2cos 22cos 22f x x x x x x ⎛⎫=-+=+-=+- ⎪⎝⎭令,则,cos t x =[]1,1t ∈-因为函数的对称轴为,12t =-所以根据二次函数的图像和性质得:当时,;当时,.12t =-min 52y =-1t =max 2y =故选:B.7．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）214y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭A ．先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度 8πB ．先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度 8πC ．先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度 4πD ．先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度4π【答案】B【解析】根据，可判断.212148y xx ππ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭【详解】，212148y x xππ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到222y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭8π的图象.218y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭故选：B.8．已知函数在上单调递减，且关于的方程24,0,()(0,1)log (1)1,0a x a x f x a a x x ⎧+<=>≠⎨++≥⎩R x ()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ）aA ．B ．C ．D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦119,4216⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭119,4216⎡⎫⎧⎫⋃⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭【答案】C【分析】由在， 上单调递减，得，由在上单调递减，得log (1)1a y x =++[0)∞+01a <<()f x R ，作出函数且在上的大致图象，利用数形结合思想114a ≤<24,0()(0log (1)1,0a x a x f x a x x ⎧+<=>⎨++⎩…1)a ≠R 能求出的取值范围．a 【详解】解：由在上单调递减，得，log (1)1a y x =++[0,)+∞01a <<又由且在上单调递减， 24,0()(0log (1)1,0a x a x f x a x x ⎧+<=>⎨++⎩…1)a ≠R 得，解得，所以， 204(0)1a f +≥=1a 4≥114a ≤<作出函数且在上的大致图象， 24,0()(0log (1)1,0ax a x fx a x x ⎧+<=>⎨++⎩…1)a ≠R由图象可知，在上，有且仅有一个解， [0,)+∞|()|2f x x =-故在上，同样有且仅有一个解， (,0)-∞|()|2f x x =-当，即时，联立，即， 42a >12a >2|4|2x a x +=-242x a x +=-则，解得：， 214(42)0a ∆=--=916a =当时，即，由图象可知，符合条件． 142a ≤≤1142a ≤≤综上：．119,4216a ⎡⎤⎧⎫∈⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭故选：C ．二、多选题9．已知函数：①，②，③，④，其中周期为，且在tan y x =sin y x =sin y x =cos y x =ππ02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增的是（ ） A ．① B ．②C ．③D ．④【答案】AC【分析】根据正切函数的性质可判断①正确；根据图象变换分别得到、、sin y x =sin y x =的图象，观察图象可判断②不正确、③正确、④不正确. cos y x =【详解】函数的周期为，且在上单调递增，故①正确；tan y x =π02π⎛⎫⎪⎝⎭，函数不是周期函数，故②不正确；sin y x =函数的周期为，且在上单调递增，故③正确；sin y x =π02π⎛⎫⎪⎝⎭，函数的周期为，故④不正确.cos y x =2π故选：AC.10．已知，且为锐角，则下列选项中正确的是（ ） 1sin cos 5αα-=αA ． B ． 12sin cos 25αα=7sin cos 5αα+=C ．D ． 0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4tan 3α=【答案】ABD【分析】根据，并结合为锐角求解即可. ()2sin cos 12sin cos αααα±=±α【详解】解：因为，所以，即 1sin cos 5αα-=242sin cos 25αα=12sin cos 25αα=所以， ()249sin cos 12sin cos 25αααα+=+=因为为锐角，所以， α7sin cos 5αα+=所以，43sin ,cos 55αα==所以， 4tan 13α=>所以,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα故选：ABD11．设函数则（ ） ()ln ,0,cos ,30,2x x f x xx π>⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩A ．的定义域为B ．的值域为 ()f x [)3,∞-+()f x [)1,-+∞C ．的单调递增区间为D ．的解集为 ()f x [)2,-+∞()12f x =23⎧-⎨⎩【答案】AD【分析】A.根据函数的解析式判断；B.分，，利用对数函数和余弦函数的性质求解0x >30x -≤≤判断；C.利用函数的图象判断；D. 分，，令求解判断. 0x >30x -≤≤1()2f x =【详解】因为函数， ln ,0()πcos ,302x x f x xx >⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩所以的定义域为，故A 正确； ()f x [30](0)[3,)∞-⋃+=-+∞，，当时， ，当 时，， 0x >()(),f x ∈-∞+∞30x -≤≤[]()1,1f x ∈-所以的值域为，故B 错误； ()f x [11]()()-⋃-∞+∞=-∞+∞，，，如图所示：当时， 的单调递增区间为， 0x >()f x (0)+∞，当 时，的单调递增区间为， 30x -≤≤()f x [20]-，但在上不单调，故C 错误； [2)∞-+，当时，，解得 0x >1()ln2f x x ==x 当时，，解得，D 正确.30x -≤≤π1()cos 22x f x ==23x =-故选：AD ．12．存在实数a 使得函数有唯一零点，则实数m 可以取值为（ ）2()223x x f x ma a -=+-+-A ．B ．0C ．D ．14-1412【答案】ABC【分析】把问题转化为与有唯一交点，利用换元法求的最小22x x y -=+23y ma a =-+22x x y -=+值，再转化为关于的二次函数有根，利用判别式大于等于0求得实数的取值范围． a m 【详解】函数有唯一零点，即方程有唯一根， 2()223x x f x ma a -=+-+-22230x x ma a -+-+-=也就是与有唯一交点，22x x y -=+23y ma a =-+令，则， 2x t =112222x x xx y t t-=+=+=+由“对勾函数”的单调性可知，当，即时，有最小值2， 1t =0x =y 可得，即， 232ma a -+=210ma a -+=当时，符合题意， 0m =1a =当时，0m ≠则，解得且． 2(1)40m ∆=-- (1)4m …0m ≠综上，实数的取值范围是，． m (-∞1]4故选：ABC三、填空题13．化简：_____. 22(1tan )cos αα+=【答案】1【详解】，故答案为. ()222222cos sin 1tan cos cos 1cos αααααα++=⋅=114．已知cos ＝，0<α<，则sin ＝________.4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭132π4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】由已知<α＋<，∴sin >0，4π4π34π4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴sin 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭15．若的最小值为_____. 42log (34)log a b +=a b +【答案】7+【详解】试题分析：由，即，所以 ，42log (34)log a b +=34ab a b =+304ab a =>-4a >，当且仅当时取等号，所以312477744a ab a a a a +=+=-++≥+=+--4a =+a b +的最小值为．7+【解析】1．对数的性质；2．基本不等式．【名师点睛】本题考查对数的性质、基本不等式，属中档题；利用基本不等式求最值时，首先是要注意基本不等式的使用条件，“一正、二定、三相等”；其次在运用基本不等式时，要特别注意适当“拆”、“拼”、“凑”．16．已知函数，把的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，可得到π()24f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x π3的图象，若，则的最小值为____________．()g x ()()()122120g x g x x x ⋅=>>12x x +【答案】13π12【分析】根据函数图象的平移可得，进而根据的有界性可知π5π()2312g x f x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x ，根据最值点即可由三角函数的性质求解.()()122g x g x ==【详解】有题意得，由于对任意的，π5π()2312g x f x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ∈R ()g x ≤故根据得()()()122120g x g x x x ⋅=>>()()12g x g x ==()()12g x g x ==若且, ()()12g x g x ==12ππ2ππ,,N,5π5π221212x k x m k m +2，2=+2+=∈+m k >因此， 12122ππN ,πN 5π5ππ121212x x n n x x n n 2+2，，+**+++=∈+=∈故当时，取最小值，且最小值为， 1n =12x x +13π12若且, ()()12g x g x ==123π3π2π5π5π12π,,N,2122x k x m k m ++=∈+2，2=+2m k >因此， 121223ππN 5π5π13π1212,πN 12x x n n x x n n **++=∈+=∈+2+2，，+故当时，取最小值，且最小值为， 1n =12x x +25π12故取最小值，且最小值为， 12x x +13π12故答案为：13π12四、解答题17．已知集合，集合，集合{}2|560A x x x =--<{}2|6510B x x x =-+≥. ()(){}|90C x x m x m =---<（1）求；A B ⋂（2）若，求实数的取值范围.A C C = m 【答案】（1）或；（2）.1|13A B x x ⎧⋂=-<≤⎨⎩162x ⎫≤<⎬⎭31m -≤≤-【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合、，即可求出； A B A B ⋂（2）由，可知，得到不等式组，解得.A C C = A C ⊆【详解】解：（1），，{}2|560A x x x =--< {}2|6510B x x x =-+≥()(){}|90C x x m x m =---<，或，{|16}A x x ∴=-<<1|3B x x ⎧=≤⎨⎩12x ⎫≥⎬⎭{|9}C x m x m =<<+或；1|13A B x x ⎧∴⋂=-<≤⎨⎩162x ⎫≤<⎬⎭（2）由，得，解得.A C C = A C ⊆961m m +≥⎧∴⎨≤-⎩31m -≤≤-【点睛】本题考查集合的运算，集合与集合之间的关系，属于基础题.18．在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，角的终xOy αO x α边经过点，.(,3)A a 4cos 5α=-(1)求和的值；a tan α(2)求的值.sin()2sin()233sin()sin()2πααπαπα-++++-【答案】(1)，；4a =-3tan 4α=-(2). 1115-【分析】（1）根据三角函数的定义求出a ，进而求出；tan α（2）先通过诱导公式对原式化简，进而进行弦化切，然后结合（1）求出答案. 【详解】（1）由题意得：，解得，所以. 4cos 5α==-4a =-3tan 4α=-（2）原式. 32sin 2cos tan 211433cos sin 3tan 1534αααααα+-+-+====--+-+--19．已知函数．()2sin(26f x x π=+(1)求的最小正周期和对称轴； ()f x (2)求在上的最大值和最小值． ()f x ππ[,]64-【答案】(1)最小正周期为，对称轴 πππZ 62k x k =+∈，(2)最小值为，最大值为2 1-【分析】(1)根据周期公式和对称轴公式求解；(2)整体代换，讨论的取值范围即可求解最值. π26x +【详解】（1）的最小正周期为，()f x 2ππT ω==令，可得即为对称轴. ππ2π,Z 62x k k +=+∈ππZ 62k x k =+∈（2）, ππππ2π1π,,2,sin(2)16466326x x x ⎡⎤∈-∴-≤+≤∴-≤+≤⎢⎥⎣⎦，π12sin(226x ∴-≤+≤所以当，即时的最小值为， ππ266x +=-π6x =-()f x 1-当，即时的最大值为2. ππ262x +=π6x =()f x 20．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的剩余污染物数量与过滤开始()/P mg L 后的时间（小时）的关系为.其中为过滤开始时废气的污染物数量，为常数.如果过滤t 0kt P P e -=0P k 开始后经过5个小时消除了的污染物，试求：10%（1）过滤开始后经过10个小时还剩百分之几的污染物？（2）求污染物减少所需要的时间.（计算结果参考数据：，，）50%ln 20.7=ln 3 1.1=ln 5 1.6=【答案】（1）；（2）35个小时81%【分析】（1）由当时，，可得，从而可求出参数5t =()0110%P P =-()500110%k P P e --=，进而可知，当时，； 1ln 0.95k =-10t =081%P P =（2）当时，可求出. 050%P P =ln 0.5ln 25351ln 2ln52ln 3ln 0.95t ==⋅=+-【详解】解：（1）由可知，当时，；当时，.0kt P P e -=0=t 0P P =5t =()0110%P P =-于是有，解得，那么， ()500110%k P P e --=1ln 0.95k =-1ln 0.950P P e ⎛⎫ ⎪⎝⎭=所以，当时，，10t =1ln 0.910ln 0.81500081%P P e P e P ⎛⎫⨯⎪⎝⎭===∴过滤开始后经过10个小时还剩的污染物.81%（2）当时，有. 050%P P =1ln 0.950050%t P P e ⎛⎫⎪⎝⎭=解得 15lnln 0.5ln 2ln 22553519ln 9ln10ln 2ln 52ln 3ln 0.9ln 510t -===⋅=⋅=-+-∴污染物减少所需要的时间为35个小时.50%【点睛】本题考查了函数模型的应用，考查了指数方程的求解，考查了对数的运算性质.由已知条件求出参数的值是本题的关键.本题的易错点是误把当成了已消除的污染的数量.k ()/P mg L 21．已知函数，x ∈[，9]. ()2233()log log 3f x x a x =--13(1)当a =0时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的最小值为-6，求实数a 的值.【答案】(1)[]3,1-(2)2-【分析】（1）由题意可得，结合定义域，逐步可得函数的值域；()23()log 3f x x =-（2）利用换元法转化为二次函数的值域问题，分类讨论即可得到结果.【详解】（1）当a =0时，，x ∈[，9]. ()23()log 3f x x =-13∴，， []3log 1,2x ∈-()[]23log 0,4x ∈∴，()[]23()log 33,1f x x =-∈-∴函数f (x )的值域为；[]3,1-（2）令，[]3log 1,2t x =∈-即函数的最小值为， []2()23,1,2g t t at t =--∈-6-函数图象的对称轴为，2()23g t t at =--t a =当时，，1a ≤-()min ()1226g t g a =-=-=-解得；2a =-当时，，1a 2-<<()2min ()36g t g a a ==--=-解得a =当时，，2a ≥()min ()2146g t g a ==-=-解得（舍）； 74a =综上，实数a 的值为2-22．已知定义域为的函数是奇函数，且指数函数的图象过点． R ()22x x b n f x b +=--x y b =(2,4)（Ⅰ）求的表达式；()f x （Ⅱ）若方程，恰有个互异的实数根，求实数的取值集()23()0f x x f a x ++-+=(4,)x ∈-+∞2a 合；（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． [1,1]t ∈-()22(1)0f t a f at -+-≥a 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 121()22x x f x +-+=+{}40a a -<<{}0a a ≥【分析】（Ⅰ）先利用已知条件得到的值，再利用奇函数得到，进而得到的值，经检验b ()00f =n 即可得出结果；（Ⅱ）先利用指数函数的单调性判断的单调性，再利用奇偶性和单调性得到()f x，把在恰有个互异的实数根转化为在23x x a x +=-23x x a x +=-(4,)x ∈-+∞2()24f x x x a =+-恰与轴有两个交点，求解即可；（Ⅲ）先利用函数为上的减函数且为奇函(4,)x ∈-+∞x ()f x R 数，得到，把问题转化为对任意的恒成立，令221t a at -≤-2210t at a +--≤[1,1]t ∈-，利用二次函数的图像特点求解即可.()221g t t at a =+--【详解】（Ⅰ）由指数函数的图象过点，x y b =(2,4)得，2b =所以， 2()222x x n f x +=-⋅-又为上的奇函数，()f x R 所以，()00f =得，1n =-经检验，当时，符合，1n =-()()f x f x -=-所以； 121()22x x f x +-+=+（Ⅱ）， 12111()22221x x x f x +-+==-+++因为在定义域内单调递增，21x y =+则在定义域内单调递减， 121x y =+所以在定义域内单调递增减，()f x 由于为上的奇函数，()f x R 所以由，()23()0f x x f a x ++-+=可得，()()23()f x x f a x f a x +=--+=-则在恰有个互异的实数根，23x x a x +=-(4,)x ∈-+∞2即在恰与轴有两个交点，()24f x x x a =+-(4,)x ∈-+∞x 则， ()()4000440204f a a a f a ⎧-><⎧⎪⎪∆>⇒>-⇒-<<⎨⎨⎪⎪-<>-⎩⎩所以实数的取值集合为.a {}40a a -<<（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数为上的减函数且为奇函数，()f x R 由， ()22(1)0f t a f at -+-≥得，()()221f t a f at -≥-所以，221t a at -≤-即对任意的恒成立，2210t at a +--≤[1,1]t ∈-令，()221g t t at a =+--由题意， ()()1010g g ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩得，0a ≥所以实数的取值范围为：. a {}0a a ≥【点睛】关键点睛：利用函数的奇偶性求解析式，（Ⅱ）把问题转化为在()24f x x x a =+-恰与轴有两个交点的问题；（Ⅲ）把问题转化为对任意的(4,)x ∈-+∞x 2210t at a +--≤[1,1]t ∈-恒成立是解决本题的关键.。
山东省高一上学期期末数学试题(解析版)
第一学期数学科期末考试说明：本试卷满分150分，分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若，，则（ ）{}|24x A x =<{}|13B x x =∈-<<N A B = A.B. C. D. {}|12x x -<<{}01，{}1{}|13x x -<<【答案】B【解析】 【分析】解不等式求出集合，列举法写出集合，由交集的定义求即可.A B A B ⋂【详解】由，得，所以,又24x <2x <{}|2A x x =<{}0,1,2B =所以 {}01A B ，⋂=故选B ．2. 化简的值是（ ）sin 600︒A. B. C. D. 1212-【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式和常见三角函数值得出结论即可.【详解】 ()()sin 600sin 720120sin 120sin120︒=-︒=-︒=-︒=故选：D3. 命题“”的否定是（ ）20,0x x x ∀>-≤A. B.20,0x x x ∃>-≤20,0x x x ∃>->C.D. 20,0x x x ∀>->20,0x x x ∀≤->【解析】【分析】根据全称量词命题的否定方法写出命题的否定即可.【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“”的否定为：“”. 20,0x x x ∀>-≤20,0x x x ∃>->故选：B.4. 函数（）的零点所在的区间为（ ） ()3e 2x f x x =+-e 2.7183≈A. B. C.D. ()1,0-10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2【答案】B【解析】【分析】利用零点存在定理进行逐一验证.【详解】因为，()3e 2xf x x =+-所以， ()131551=10e 2e 221f =--<---<，()031e 0=0220f =+--<，1311102212f ⎛⎫=-->-= ⎪⎝⎭，()31e+1=e 0212f =-->()223e +2=e 02221f =-+>则，()10(02f f ⋅<即函数的零点所在的区间为.()3e 2xf x x =+-10,2⎛⎫⎪⎝⎭故选：B.5. 已知，则（ ）2.112ln2,,ln e 3a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭A. B.a cb >>a bc >>C. D.c b a >>b a c>>【答案】D【分析】由对数函数与指数函数的单调性求解即可【详解】因为， 2.10112ln1<ln2ln e,,ln ln1e e 3-⎛⎫⎛⎫<>< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以 () 2.112ln20,1,1,ln 0e 3a b c -⎛⎫=∈=>=< ⎪⎝⎭所以.b ac >>故选：D6. 已知，且，则的值为（ ） π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1sin 3θ=πsin 22θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭A. B. C. D. 7979-【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式及二倍角公式即得.【详解】，， π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 1sin 3θ=. 2π27sin 2cos212sin 1299θθθ⎛⎫∴+==-=-= ⎪⎝⎭故选：A.7. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） ()22,1,23,1x x f x x ax a x -+<⎧=⎨-+-⎩…R a A.B. C. D.[]2,1-()2,1-[)2,-+∞(),2-∞-【答案】A【解析】【分析】由已知可得关于a 的不等式组，求解得答案．【详解】当时，单调递减，且1x <()2f x x =-+()()1,f x ∈+∞当时，单调递减，则， 1x …()223f x x ax a =-+-1a …因为函数在上单调递减， ()22,1,23,1x x f x x ax a x -+<⎧=⎨-+-⎩…R所以，解得，故的取值范围为． 11123a a a⎧⎨-+-⎩……21a -……a []2,1-故选：A ．8. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则()045αα︒<<︒1:4（ ）tan α=A. B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设大正方形的边长为a ，则小正方形的边长为，根据已知可得()cos sin a αα-，由同角三角函数关系化简得，结合角的范围求. ()222cos sin 14a a αα-=23tan 8tan 30αα-+=tan α【详解】设大正方形的边长为a ，则小正方形的边长为，()cos sin a αα-故，故，即()222cos sin 14a a αα-=112sin c 4os αα-=，解得2223sin cos 3tan 3sin cos 8sin cos 8tan 18αααααααα=⇒=⇒=++23tan8tan 30αα⇒-+=tan α=tan α=因为，则，故045α︒<<︒0tan 1α<<tan α=故选：A二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 如果幂函数的图象不过原点，则实数的取值为（ ）()22233m m y m m x --=-+mA.B. C. D. 无解021【答案】BC【解析】 【分析】利用已知条件可得出关于实数的等式与不等式，由此可解得实数的值.m m 【详解】由已知可得，解得或. 2233120m m m m ⎧-+=⎨--≤⎩1m =2故选：BC.10. 若，，则下列不等式恒成立的是0a >0b >A. B. 21a a +>114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C. D.()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭296a a +>【答案】ABC【解析】【分析】根据基本不等式分别判断选项. 【详解】A.根据基本不等式可知时，，即，所以A 正确；0a >212a a a +≥>212a a +>B.当时，，当时等号成立， 0,0a b >>12a a +≥=1a =，当时等号成立，所以当，当时等号成立，故B 12b b +≥=1b =114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1,1a b ==正确；C.，当时等号成立，故C 正确； ()1111224b a a b a b a b ⎛⎫++=++=++≥+= ⎪⎝⎭a b =D.，当时等号成立，又因为，所以等号成立，即，故296a a +≥=29a =0a >3a =296a a +≥D 不正确.故选：ABC【点睛】本题考查基本不等式，重点考查公式的理解和简单应用，属于基础题型.11. 已知函数则以下判断正确的是（ ） ()221,0,2,0,x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩A. 若函数有3个零点，则实数的取值范围是()()g x f x m =-m ()0,1B. 函数在上单调递增()f x (),0∞-C. 直线与函数的图象有两个公共点1y =()y f x =D. 函数的图象与直线有且只有一个公共点()f x 2y x =+【答案】AC【解析】【分析】作出的图像如图所示，B 可直接由图像或二次函数单调性判断；AC 零点及交点问题均可以()f x 通过与交点个数判断；D 通过图像或者联立方程求解即可判断.()y f x =y m =【详解】当， 0,x ≤()22211y x x x =--=++-故的图像如图所示，()221,02,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩对AC ，函数有3个零点，相当于与有3个交点，()()g x f x m =-()y f x =y m =故的取值范围是，直线与函数的图象有两个公共点，AC 对；m ()0,11y =()y f x =对B ，函数在上先增后减，B 错；()f x (),0∞-对D ，如图所示，联立可得解得或，由图右侧一定有一个交点，故函数222y x y x x =+⎧⎨=--⎩20x y =-⎧⎨=⎩11x y =-⎧⎨=⎩的图象与直线不止一个公共点，D 错.()f x 2y x =+故选：AC12. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） ()()ππsin 222f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭π3x =A. 函数在上为减函数 ()f x ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 函数为偶函数 π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C. 由可得是的整数倍 ()()1212f x f x ==12x x -πD. 函数在区间上有19个零点()f x ()0,10π【答案】AB【解析】【分析】由函数的对称性求出的值，从而可得的解析式．对于A ，由三角函数的性质即可判断；ϕ()f x 对于B ，化简即可判断；对于C ，当，时，即可得出判断；对于D ，令co 2πs 3f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭1π6x =2π2x =，则，由题意解得，由此即可判断． ()0f x =π2π,Z 6x k k -=∈112066k -<<-【详解】因为函数的图象关于直线对称， ()f x π3x =所以，，可得， 232ππk πϕ⨯+=+Z k ∈,Z 6k k ϕπ=π-∈又，所以， ππ22ϕ-<<π6ϕ=-所以． π()sin(2)6f x x =-对于A ，当时，，由正弦函数性质知是减函数，故A 正确； ππ,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2ππ5π,626x -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 对于B ，是偶函数，故B 正确； πsin 2sin 6ππ2cos232π3f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于C ，当，时，，但不是的整数倍，故C 错误； 1π6x =2π2x =121()()2f x f x ==12π3x x -=-π对于D ，令，则，即， π()sin(2)06f x x =-=π2π,Z 6x k k -=∈ππ,Z 122k x k =+∈由，解得， ππ010π122k <+<112066k -<<-因为，所以，因此在区间上有20个零点，故D 错误， Z k ∈0,1,2,,18,19k =L ()f x ()0,10π故选：AB ．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 当且时，函数的图象一定经过定点___________0a >1a ≠24x y a -=+【答案】()2,5【解析】【分析】令可求出定点.20x -=【详解】令，可得当时，，所以图象一定经过定点.20x -=2x =5y =()2,5故答案为：.()2,514.______. tan 70tan 5050tan 70+=【答案】【解析】【分析】根据，化简整理，即可得出结果. tan 70tan 50tan1201tan 50tan 70+=-⋅【详解】因为， tan 70tan 50tan1201tan 50tan 70+=-⋅所以，()tan 70tan 50tan1201tan 50tan 70tan 50tan 70+=-⋅=+⋅∴原式50tan 7050tan 70=+⋅-⋅=故答案为【点睛】本题主要考查三角恒等变换，熟记两角和与差的正切公式即可，属于常考题型. 15. 已知扇形的半径为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数为_______. 243π【答案】23π【解析】 【分析】根据扇形的面积公式，即可求解.【详解】设扇形的圆心角的弧度数为α,解得 212234S απ=⋅=扇形23απ=故答案为 23π【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题.16. 若函数在区间上递减，则a 的取值范围是______． ()()2lg 21f x x ax a =-++(],1-∞【答案】[)1,2【解析】【分析】令，则，结合及复合函数单调性得解． 221u x ax a =-++lg f u u =（）2210x ax a -++>【详解】令，则， 221u x ax a =-++lg f u u =（）函数的对称轴为，如图所示：221u x ax a =-++x a =若函数在区间上递减，只需在区间上单调()()2lg 21f x x ax a =-++(],1-∞221u x ax a =-++]1∞（-，递减，由图象可知，当对称轴时，在区间上单调递减， 1a ≥221u x ax a =-++]1∞（-，又真数，且在上单调递减， 2210x ax a -++>221u x ax a =-++]1∞（-，故只需当时， ，1x =2210x ax a -++>代入解得，所以a 的取值范围是[1，2）1x =2a <故答案为：.[)1,2四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. （1）计算：； 1213lg15lg 42-⎛⎫++- ⎪⎝⎭（2）已知，求的值． 4cos sin 13sin 2cos 4αααα-=+tan α【答案】（1）1（2）2【解析】【分析】（1）利用指数、对数的运算及其运算性质计算求解.（2）分子分母同时除以，把弦化切进行求解. 4cos sin 13sin 2cos 4αααα-=+cos α【详解】（1）原式= ()121233122lg 1523-⨯⨯⎛⎫⎛⎫+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= ()1112lg102-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=221-+=1（2）因为，且， 4cos sin 13sin 2cos 4αααα-=+cos 0α≠所以分子分母同除以有： cos α， 4cos sin 4tan 13sin 2cos 3tan 24αααααα--==++即，3tan 2164tan αα+=- 7tan 14α=解得 .tan 2α=18. 已知，且. 0,022ππαβ<<<<3cos ,cos()5ααβ=+=（1）求的值； sin 24πα⎛⎫+⎪⎝⎭（2）求的值. β【答案】（1； （2）.4πβ=【解析】 【分析】（1）由同角平方关系可得，再由二倍角正余弦公式有、，4sin 5α=7cos 225α=-24sin 225α=最后利用和角正弦公式求值.（2）由题设可得，结合差角余弦公式求出对应三角函数sin()αβ+=()βαβα=+-β值，由角的范围确定角的大小.【小问1详解】 由，，则， 02πα<<3cos 5α=4sin 5α=所以，， 27cos 22cos 125αα=-=-24sin 22sin cos 25ααα==而. 17sin 22cos 2)425αααπ⎛⎫+=+== ⎪⎝⎭【小问2详解】由题设，而 0αβ<+<πcos()αβ+=sin()αβ+=而. cos cos[()]cos()cos 3sin (45)si 5n βαβααβααβα=+-=+++==又，则. 02βπ<<4πβ=19. 已知关于的不等式的解集为.x ()233log 2log 30x x --≤M （1）求集合；M（2）若，求函数的最值． x M ∈()()33log 3log 81x f x x ⎛⎫=⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭【答案】（1）；（2），. 1,273⎡⎤⎢⎥⎣⎦()min 254f x =-()max 0f x =【解析】 【分析】（1）由得，可解出实数的范围，即可得出集合； ()233log 2log 30x x --≤31log 3x -≤≤x M （2）换元，可得出，则，问题转化为求二次函数3log t x =13t -≤≤()()()14f x t t =+-在上的最值问题，然后利用二次函数的性质求解即可.()()14y t t =+-[]1,3t ∈-【详解】（1）由，得，解的， ()233log 2log 30x x --≤31log 3x -≤≤1273x ≤≤因此，； 1,273M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）， ()()()()()23333log log 3log log 811434f x x x t t t t =+-=+-=--Q ，则，二次函数， 1,273x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q []3log 1,3t x =∈-223253424y t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭当时，， 32t =()min min 254f x y ==-又当时，，当时，，.1t =-0y =3t =4y =-()max 0f x ∴=因此，函数在区间上的最大值为，最小值为. ()y f x =M 0254-【点睛】本题考查对数不等式的求解，同时也考查了对数型函数的最值问题，解题的关键就是利用换元法将对数型函数的最值问题转化为二次函数的最值问题来求解，考查化归与转化思想，属于中等题.20. 已知函数. ()9π3π19πsin 2sin 246f x x x ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1），求函数的单调区间；()0,πx ∈()f x（2）求函数的解集. ()f x ≤【答案】（1）单增区间是，单减区间是； 3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π7π0,,,π88⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭（2）. π17ππ,π,Z 2424k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用诱导公式及三角函数恒等变换可得，然后根据三角函数的性质()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即得；（2）根据余弦函数的图象和性质即得.【小问1详解】因为 ()9π3π19πsin 2sin 246f x x x ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122x x x ⎛⎫⎛⎫=++⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin cos 2cos 1x x x =-+-cos2sin 2x x =-， π24x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令，得， π2ππ22π2π,Z 4k x k k +≤+≤+∈37,Z 88k x k k πππ+≤≤π+∈令，得， π2π22ππ,Z 4k x k k ≤+≤+∈3,Z 88k x k k πππ-≤≤π+∈故函数的递调递增区间为，单调递减区间为， ()f x 37,,Z 88k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦3,,Z 88k k k ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦又，()0,πx ∈所以函数的单增区间是，单减区间是； ()f x 3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π7π0,,,π88⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【小问2详解】由， ()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π1cos 242x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭所以， ππ5π2π22π,Z 343k x k k +≤+≤+∈即， π17πππ,Z 2424k x k k +≤≤+∈所以不等式的解集是. π17ππ,π,Z 2424k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦21. 某创业团队拟生产A 、B 两种产品，根据市场预测，A 产品的利润与投资额成正比（如图1），B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2），（注：利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将A 、B 两种产品的利润、表示为投资额x 的函数；()f x ()g x （2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A 、B 两种产品的生产，问：当B 产品的投资额为多少万元时，生产A 、B 两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？【答案】（1）， 1()(0)4f x x x =≥()0)g x x =≥（2）6.25万元，4.0625万元【解析】【分析】（1）设，，代入点的坐标，求出解析式；()()0f x kx x =≥()0)g x x =≥（2）设B 产品的投资额为x 万元，创业团队获得的利润为y 万元，列出，换元后，配方得到时，y 取得最大值4.0625. 1(10)(010)4y x x =-≤≤ 6.25x =【小问1详解】因为A 产品的利润与投资额成正比，故设，()()0f x kx x =≥将代入，解得：， ()1,0.2514k =故， 1()(0)4f x x x =≥因为B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比，故设，()0)g x x =≥将，解得：， ()4,2.5 2.5=54m =故； ()0)g x x =≥【小问2详解】设B 产品的投资额为x 万元，则A 产品的投资额为万元，创业团队获得的利润为y 万元，()10x -则. 1()(10)(10)(010)4y g x f x x x =+-=+-≤≤，可得， (0t t =≤≤2155(0442y t t t =-++≤≤即. 21565(04216y t t ⎛⎫=--+≤≤ ⎪⎝⎭当，即时，y 取得最大值4.0625. 52t = 6.25x =答：当B 产品的投资额为6.25万元时，生产A ，B 两种产品能获得最大利润.获得的最大利润为4.0625万元.22. 已知函数是定义在上的奇函数且 ()()2,R x b f x a b x a +=∈+[]1,1-()112f =（1）求函数的解析式；()f x （2）判断函数的单调性；并利用单调性定义证明你的结论；()f x （3）设，当，使得成立，试求()()12g x f x =-+121,,12x x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦()()()21112100g mx x g x f x -+->实数的所有可能取值.m 【答案】（1） ()21x f x x =+（2）函数在上增函数，证明见解析()f x []1,1-（3）.25<≤m 【解析】【分析】（1）利用题给条件列出关于a 、b 的方程，解之即可求得a 、b 的值，进而得到函数的解析()f x 式；（2）利用函数单调性定义去证明函数在上为增函数；()f x []1,1-（3）利用函数在上为增函数，构造关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围. ()f x 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦m m 【小问1详解】由在上的奇函数， ()f x []1,1-所以，则，则 ()00b f a ==0b =()2x f x x a=+由，得，所以.经检验符合题意； ()11112f a ==+1a =()21x f x x =+【小问2详解】函数在上增函数，证明如下： ()f x []1,1-设，且， []12,1,1x x ∀∈∈-12x x <则， ()()()()()()121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++又，所以，因为，所以， 12x x <120x x -<[]12,1,1x x ∈-1210x x ->所以，则， ()()()()121222121011x x x x x x --<++()()12f x f x <故函数在上增函数；()f x []1,1-【小问3详解】，使得成立， 121,,12x x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦()()()21112100g mx x g x f x -+->即，使得成立， 121,,12x x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦()()()21112111040f mx x f x f x --+--+>即， ()()()2111211104f mx x f x f x --+->-∵，即， ()2min 1225f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭11,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得成立， ()()211121110405f mx x f x --+->⨯-=，使得， 11,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦()()211111f mx x f x -->-即，且， 11,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦211111mx x x -->-1111mx x -≤--≤1即且， 11min 21m x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭1max 211m x ⎛⎫≤≤+ ⎪⎝⎭当时，， 11,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦11min 212x x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭1max 215x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即且，解得：.m>215m ≤≤25<≤m。
山东省潍坊市高一上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则集合A ，B 的关系是（ ） {}N A x y x =∈{}4,3,2,1B =A ． B ． C ．D ．B A ⊆A B =B A ∈A B ⊆【答案】A【分析】计算得到，据此得到集合的关系.{}0,1,2,3,4A =【详解】，，故错误； {}{N}0,1,2,3,4A xy x ==∈=∣{}4,3,2,1B =A B =集合中元素都是集合元素，故正确；B A B A ⊆是两个集合，不能用“”表示它们之间的关系，故错误；A B ，∈B A ∈集合中元素存在不属于集合的元素，故错误. A B A B ⊆故选：A2．函数的定义域为（ ）()()2ln 2f x x x =-A ． B ． (,0)(2,)-∞+∞ (,0][2,)-∞⋃+∞C ． D ．()0,2[]0,2【答案】C【分析】根据对数型函数的定义域运算求解. 【详解】令，解得，220x x ->02x <<故函数的定义域为.()()2ln 2f x x x =-()0,2故选：C.3．命题“，”的否定形式是（ ） 2x ∀>240x -≠A ．， B ．， 2x ∃>240x -≠2x ∀≤240x -=C ．， D ．，2x ∃>240x -=2x ∃≤240x -=【答案】C【分析】根据全称命题的否定形式可直接得到结果.【详解】由全称命题的否定可知：原命题的否定为，. 2x ∃>240x -=故选：C.4．已知，，，则（ ） 0.13a =30.3b =0.2log 3c =A ． B ．C ．D ．a b c <<c b a <<b a c <<c<a<b 【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值即可判断出结果.0,1【详解】，.3000.10.20.2log 3log 100.30.3133<=<<==< c b a ∴<<故选：B.5．某市四区夜市地摊的摊位数和食品摊位比例分别如图、图所示，为提升夜市消费品质，现用12分层抽样的方法抽取的摊位进行调查分析，则抽取的样本容量与区被抽取的食品摊位数分别6%A 为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，21024210272522425227【答案】D【分析】根据分层抽样原则，结合统计图表直接计算即可.【详解】根据分层抽样原则知：抽取的样本容量为；()1000800100014006%252+++⨯=区抽取的食品摊位数为.A 10006%0.4527⨯⨯=故选：D.6．小刚参与一种答题游戏，需要解答A ，B ，C 三道题．已知他答对这三道题的概率分别为a ，a ，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为1214（ ） A ． B ．C ．D ．12131415【答案】C【分析】记小刚解答A ，B ，C 三道题正确分别为事件D ，E ，F ，并利用D ，E ，F 构造相应的事件，根据概率加法公式与乘法公式求解相应事件的概率.【详解】记小刚解答A ，B ，C 三道题正确分别为事件D ，E ，F ，且D ，E ，F 相互独立， 且. ()()()1,2P D P E a P F ===恰好能答对两道题为事件，且两两互斥， DEF DEF DEF ++DEF DEF DEF ，，所以()()()()P DEF DEF DEF P DEF P DEF P DEF ++=++()()()()()()()()()P D P E P F P D P E P F P D P E P F =++，()()11111112224a a a a a a ⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪⎝⎭整理得，他三道题都答错为事件，()2112a -=DEF 故.()()()()()()22111111224P DEF P D P E P F a a ⎛⎫==--=-= ⎪⎝⎭故选：C.7．定义在上的奇函数满足：对任意的，，有，且R ()f x ()12,0,x x ∈+∞12x x <()()21f x f x >，则不等式的解集是（ ） ()10f =()0f x >A ． B ． ()1,1-()()1,01,-⋃+∞C ． D ．()(),10,1-∞-⋃()(),11,-∞-⋃+∞【答案】B【分析】根据单调性定义和奇函数性质可确定的单调性，结合可得不等式()f x ()()110f f -=-=的解集.【详解】对任意的，，有， ()12,0,x x ∈+∞12x x <()()21f x f x >在上单调递增，又定义域为，， ()f x \()0,∞+()f x R ()10f =在上单调递增，且，；()f x \(),0∞-()()110f f -=-=()00f =则当或时，， 10x -<<1x >()0f x >即不等式的解集为. ()0f x >()()1,01,-⋃+∞故选：B.8．已知函数，若函数有七个不同的零点，()11,02ln ,0x x f x x x +⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩()()()()24433g x f x t f x t =-+⎤⎦+⎡⎣则实数t 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭{}10,12⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】先以为整体分析可得：和共有7个不同的根，再结合的图象()f x ()34f x =()f x t =()f x 分析求解.【详解】令，解得或， ()()()()244330g x f x t f x t =-+⎦+⎤⎣=⎡()34f x =()f x t =作出函数的图象，如图所示，()y f x =与有4个交点，即方程有4个不相等的实根，()y f x =34y =()34f x =由题意可得：方程有3个不相等的实根，即与有3个交点， ()f x t =()y f x =y t =故实数t 的取值范围是.{}10,12⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解． （2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解．二、多选题9．下列说法正确的是（ ） A ．的最小值为 B ．无最小值 ()4f x x x=+4()4f x x x=+C ．的最大值为D ．无最大值()()3f x x x =-94()()3f x x x =-【答案】BC【分析】结合基本不等式和二次函数性质依次判断各个选项即可.【详解】对于AB ，当时，（当且仅当时取等号）； 0x >44x x +≥=2x =当时，（当且仅当时取等号）， 0x <()444x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2x =-的值域为，无最小值，A 错误，B 正确； ()4f x x x∴=+(][),44,-∞-⋃+∞对于CD ，，()()22393324f x x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭当时，取得最大值，最大值为，C 正确，D 错误. ∴32x =()f x 94故选：BC.10．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（ ） (0,)+∞A ． B ．C ．D ．y x =||e x y =-12log y x =13y x -=【答案】BC【分析】A 选项不满足单调性；D 不满足奇偶性，B 、C 选项均为偶函数且在上单调递减正(0,)+∞确.【详解】在上单调递增，A 选项错误；y x =()0,∞+，故为偶函数，当时为单调递减函数，B()e ,)()e (xxf x f x f x =--==-||e x y =-()0,x ∈+∞e x y =-选项正确；，故为偶函数，当时为单调递1122()()log ,log ()g g g x x x x x =-==12log y x =()0,x ∈+∞12log y x =减函数，C 选项正确；是奇函数，D 选项错误. 13y x -=故选：BC11．如图，已知正方体顶点处有一质点Q ，点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的1111ABCD A B C D -某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q 的初始位置位于点A 处，记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为，则下列n P 说法正确的是（ ）A ．B ． 123P =259P =C ．D ．点Q 移动4次后恰好位于点的概率为012133n n P P +=+1C 【答案】ABD【分析】根据题意找出在下或上底面时，随机移动一次仍在原底面及另一底面的概率即可逐步分Q 析计算确定各选项的正误.【详解】依题意，每一个顶点由3个相邻的点，其中两个在同一底面.所以当点在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为：， Q 23在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为：，13所以，故A 选项正确； 123P =对于B ：，故B 选项正确；22211533339P =⨯+⨯=对于C ：，故C 选项错误； ()1211113333n n n n P P P P +=+-=+对于D ：点由点移动到点处至少需要3次， Q A 1C 任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能 到达点，所以点Q 移动4次后恰好位于点的概率为0. 1C 1C 故D 选项正确； 故选：ABD.12．已知实数a ，b 满足，，则（ ） 22a a +=22log 1b b +=A ． B ． C ． D ．22a b +=102a <<122a b->5384b <<【答案】ACD【分析】构建，根据单调性结合零点存在性定理可得，再利用指对数互()22xf x x =+-13,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭化结合不等式性质、函数单调性分析判断. 【详解】对B ：∵，则，22a a +=220a a +-=构建，则在上单调递增，且，()22xf x x =+-()f x R 3413350,202244f f ⎛⎫⎛⎫=<=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故在上有且仅有一个零点，B 错误；()f x R 13,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对A ：∵，则， 22log 1b b +=222log 20b b +-=令，则，即，22log t b =22t b =220t t +-=∴，即，故，A 正确； 2lo 2g a t b ==22a b =22a b +=对D ：∵，则，D 正确； 22a b +=253,284a b -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭对C ：∵，且在上单调递增， 23211224a a ab a ---=-=>->-2x y =R ∴，C 正确. 11222a b-->=故选：ACD.【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，则方程解的个数即为零点的个数．（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a ，b ]上是连续的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．（3）数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三、填空题13．已知一元二次方程的两根分别为和，则______． 22340x x +-=1x 2x 1211x x +=【答案】## 340.75【分析】利用韦达定理可直接求得结果.【详解】由韦达定理知：，，. 1232x x +=-122x x =-1212121134x x x x x x +∴+==故答案为：. 3414．已知函数（且）的图象恒过定点M ，则点M 的坐标为______．1log (2)3a y x =-+0a >1a ≠【答案】13,3⎛⎫⎪⎝⎭【分析】函数存在参数，当时所求出的横纵坐标即是定点坐标． log (2)0a x -=【详解】令，解得，此时，故定点坐标为． log (2)0a x -=3x =13y =13,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：13,3⎛⎫⎪⎝⎭15．将一组正数，，，…，的平均数和方差分别记为与，若，1x 2x 3x 10x x 2s 10214500i i x ==∑250s =，则______． x =【答案】20【分析】列出方差公式，代入数据，即可求解.【详解】由题意得，()10221110i i s x x ==-∑， 102211105010i i x x =⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑代入数据得，， ()214500105010x -=解得.20x =故答案为：2016．已知两条直线：和：，直线，分别与函数的图象相交1l 1y m =+2l ()221y m m =+>-1l 2l 2x y =于点A ，B ，点A ，B 在x 轴上的投影分别为C ，D ，当m 变化时，的最小值为______． CD【答案】()2log 2-【分析】分别求出直线，与函数的图象交点的横坐标，再根据对数运算与基本不等式求1l 2l 2x y =最值.【详解】由与函数相交得，解得，所以，1y m =+2x y =21x m =+()2log 1x m =+()()2log 1,0C m +同理可得，()()22log 2,0D m +所以，()()222222log 2log 1log 1m CD m m m +=+-+=+令，()2231211m g m m m m +==++-++因为， 所以,当且仅当时取最小值. 1m >-()31221g m m m =++-≥-+1m =所以 ()()22min log 2log 2CD ==所以的最小值为. CD ()2log 2-故答案为:()2log 2【点睛】利用基本不等式求最值时要注意成立的条件，一正二定三相等，遇到非正可通过提取负号转化为正的；没有定值时可对式子变形得到积定或和定再用基本不等式；取不到等号时可借助于函数的单调性求最值.四、解答题17．设全集，已知集合，． U =R {}11A x a x a =-+≤≤+401x B xx -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭(1)若，求；3a =A B ⋃(2)若，求实数a 的取值范围． A B ⋂=∅【答案】(1)或；{1x x <}2x ≥(2). 23a ≤≤【分析】（1）由已知解出集合A ，B ，根据并集的运算即可得出答案； （2）若，根据集合间关系列出不等式，即可求出实数a 的取值范围. A B ⋂=∅【详解】（1）当，， 3a ={}24A x x =≤≤由得，所以或， 401x x ->-(4)(1)0x x -->{1B x x =<}4x >或；{1A B x x ∴⋃=<}2x ≥（2）已知， {}11A x a x a =-+≤≤+由（1）知或， {1B x x =<}4x >因为，且， A B ⋂=∅B ≠∅∴且， 11a -+≥14a +≤解得，23a ≤≤所以实数a 的取值范围为.23a ≤≤18．已知函数．()22f x x ax a =-+(1)若的解集为，求实数的取值范围； ()0f x ≥R a (2)当时，解关于的不等式． 3a ≠-x ()()43f x a a x >-+【答案】(1) []0,1(2)答案见解析【分析】（1）由一元二次不等式在上恒成立可得，由此可解得结果；R 0∆≤（2）将所求不等式化为，分别在和的情况下解不等式即可. ()()30x x a +->3a >-3a <-【详解】（1）由题意知：在上恒成立，，解得：， 220x ax a -+≥R 2440a a ∴∆=-≤01a ≤≤即实数的取值范围为.a []0,1（2）由得：；()()43f x a a x >-+()()()23330x a x a x x a +--=+->当时，的解为或； 3a >-()()30x x a +->3x <-x a >当时，的解为或；3a <-()()30x x a +->x a <3x >-综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为3a >-()(),3,a -∞-+∞ 3a <-.()(),3,a -∞-+∞ 19．受疫情影响年下半年多地又陆续开启“线上教学模式”．某机构经过调查发现学生的上课2022注意力指数与听课时间（单位：）之间满足如下关系：()f t t min ，其中，且．已知在区间上的最大()()224,016log 889,1645a mt mt n t f t t t ⎧-++≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩0m >0a >1a ≠()y f t =[)0,16值为，最小值为，且的图象过点． 8870()y f t =()16,86(1)试求的函数关系式；()y f t =(2)若注意力指数大于等于时听课效果最佳，则教师在什么时间段内安排核心内容，能使学生听85课效果最佳？请说明理由．【答案】(1) ()()2121370,0168log 889,1645t t t f t t t ⎧-++≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩(2)教师在内安排核心内容，能使学生听课效果最佳1224t ⎡⎤∈-⎣⎦【分析】（1）根据二次函数最值和函数所过点可构造不等式求得的值，由此可得； ,,m n a ()f x （2）分别在和的情况下，由可解不等式求得结果.016t ≤<1645t ≤≤()85f t ≥【详解】（1）当时，，[)0,16t ∈()()()222412144f t m t t n m t m n =--+=--++，解得：； ()()()()max min 1214488070f t f m n f t f n ⎧==+=⎪∴⎨===⎪⎩1870m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩又，，解得：， ()16log 88986a f =+=log 83a ∴=-12a =.()()2121370,0168log 889,1645t t t f t t t ⎧-++≤<⎪∴=⎨-+≤≤⎪⎩（2）当时，令，解得：；16t ≤<21370858t t -++≥1216t -≤<当时，令，解得：；1645t ≤≤()12log 88985t -+≥1624t ≤≤教师在内安排核心内容，能使学生听课效果最佳.∴1224t ⎡⎤∈-⎣⎦20．已知函数，函数． ()()33log log 39x f x x =⋅()1425x x g x +=-+(1)求函数的最小值；()f x (2)若存在实数，使不等式成立，求实数x 的取值范围．[]1,2m Î-()()0f x g m -≥【答案】(1) 94-(2)或 109x <≤27x ≥【分析】（1）将化为关于的二次函数后求最小值；()f x 3log x （2）由题意知，求得后再解关于的二次不等式即可.min ()()f x g m ≥min ()g m 3log x 【详解】（1） ()()3333()log log (3)log 2log 19x f x x x x =⋅=-+ ()233log log 2x x =--， 2319log 24x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴显然当即, ， 31log 2x =x =min 9()4f x =-∴的最小值为. ()f x 94-（2）因为存在实数，使不等式成立，[]1,2m Î-()()0f x g m -≥所以， 又，min ()()f x g m ≥()()21421524x x x g x +=-+-=+所以，()()2124m g m -=+又，显然当时，，[]1,2m Î-0m =()()02min 2414g m -=+=所以有，即，可得， ()4f x ≥()233log log 24x x --≥()()33log 2log 30x x +-≥所以或，解得 或. 3log 2x ≤-3log 3x ≥109x <≤27x ≥故实数x 的取值范围为或. 109x <≤27x ≥21．某中学为了解高一年级数学文化知识竞赛的得分情况，从参赛的1000名学生中随机抽取了50名学生的成绩进行分析．经统计，这50名学生的成绩全部介于55分和95分之间，将数据按照如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得[)55,60[)60,65[]90,95到的频率分布直方图的一部分．已知第一组和第八组人数相同，第七组的人数为3人．(1)求第六组的频率；若比赛成绩由高到低的前15%为优秀等级，试估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数（精确到0.1）；(2)若从样本中成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他们的成绩分别为x ，y ，从下面两个条件中选一个，求事件E 的概率．()P E ①事件E ：；[]0,5x y -∈②事件E ：．(]5,15x y -∈注：如果①②都做，只按第①个计分．【答案】(1)0.08；81.8(2)选①：；选②： 715815【分析】（1）根据频率之和为1计算第六组的频率；先判断优秀等级的最低分数所在区间，再根据不低于此分数所占的频率为0.12求得此分数.（2）分别求出第六组和第八组的人数，列举出随机抽取两名学生的所有情况，再求出事件E 所包含事件的个数的概率，根据古典概型求解.【详解】（1）第七组的频率为， 30.0650＝所以第六组的频率为，()10.0650.00820.0160.0420.060.08--⨯++⨯+=第八组的频率为0.04，第七、八两组的频率之和为0.10，第六、七、八组的频率之和为0.18，设优秀等级的最低分数为，则，m 8085m <<由，解得， 850.040.060.080.155m -++⨯=81.8m ≈故估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数.81.8（2）第六组的人数为4人，设为,，第八组的人数为2人，设为， [80,85),a b ,c d [90,95],A B 随机抽取两名学生，则有共15种情况，,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad bc bd cd aA bA cA dA aB bB cB dB AB选①：因事件发生当且仅当随机抽取的两名学生在同一组，[]:0,5E x y -∈所以事件包含的基本事件为共7种情况，E ,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 故. 7()15P E =选②：因事件发生当且仅当随机抽取的两名学生不在同一组，(]:5,15E x y -∈所以事件包含的基本事件为共8种情况，E ,,,,,,,aA bA cA dA aB bB cB dB 故. 8()15P E =22．已知函数的定义域为D ，对于给定的正整数k ，若存在，使得函数满足：()f x [],a b D ⊆()f x 函数在上是单调函数且的最小值为ka ，最大值为kb ，则称函数是“倍缩函()f x [],a b ()f x ()f x 数”，区间是函数的“k 倍值区间”．[],a b ()f x (1)判断函数是否是“倍缩函数”？（只需直接写出结果）()3f x x =(2)证明：函数存在“2倍值区间”；()ln 3g x x =+(3)设函数，，若函数存在“k 倍值区间”，求k 的值． ()2841x h x x =+10,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦()h x 【答案】(1)是，理由见详解(2)证明见详解(3){}4,5,6,7k ∈【分析】（1）取，结合题意分析说明；1,1,1k a b ==-=（2）根据题意分析可得至少有两个不相等的实根，构建函数结合零点存在性定理分析ln 32x x +=证明；（3）先根据单调性的定义证明在上单调递增，根据题意分析可得在内()h x 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2841x kx x =+10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦至少有两个不相等的实根，根据函数零点分析运算即可得结果.【详解】（1）取，1,1,1k a b ==-=∵在上单调递增，()3f x x =[]1,1-∴在上的最小值为，最大值为，且， ()3f x x =[]1,1-()1f -()1f ()()()1111,1111f f -=-=⨯-==⨯故函数是“倍缩函数”.()3f x x =（2）取，2k =∵函数在上单调递增，()ln 3g x x =+[],a b 若函数存在“2倍值区间”，等价于存在，使得成立， ()ln 3g x x =+0a b <<ln 32ln 32a a b b+=⎧⎨+=⎩等价于至少有两个不相等的实根，ln 32x x +=等价于至少有两个零点，()ln 23G x x x =-+∵，且在定义内连续不断， ()()()332e 0,110,2ln 210e G G G -=-<=>=-<()G x ∴在区间内均存在零点，()G x ()()3e ,1,1,2-故函数存在“2倍值区间”.()ln 3g x x =+（3）对，且，则， 121,0,2x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦12x x <()()()()()()12121212222212128148841414141x x x x x x h x h x x x x x ---=-=++++∵，则， 12102x x ≤<≤221212120,140,410,410x x x x x x -<->+>+>∴，即，()()120h x h x -<()()12h x h x <故函数在上单调递增， ()h x 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦若函数存在“k 倍值区间”，即存在，使得成立， ()h x *10,2a b k ≤<≤∈N 22841841a ka ab kb b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩即在内至少有两个不相等的实根， 2841x kx x =+10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦∵是方程的根，则在内有实根， 0x =2841x kx x =+2841k x =+10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦若，则，即，且， 10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦[)284,841x ∈+[)4,8k ∈*k ∈N ∴，即.4,5,6,7k ={}4,5,6,7k ∈【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解．（2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．。
(山东省通用)高一上学期期末考试数学试题(扫描版)
（山东省通用）高一上学期期末考试数学试题（扫描版）高一数学试卷参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
DCBDD BCABB CA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 1415．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ 16．3 三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．本小题满分10分解：（1）由题知，{}2B x x =≤，{}2U B x x ∴=>ð …………………………2分 {|13}A x x =-≤<{}()23U A B x x ∴=<<ð ……………………………………5分 （2）函数)2lg()(a x x f +=的定义域为集合2a C x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，………………………6分 A C ⊆，∴12a -<-，………………………………………………………………8分 ∴2a >． …………………………………………………………………………9分 故实数的取值范围为(2,)+∞………………………………………………………10分 18．本小题满分12分解：（1）由2404350x y x y -+=⎧⎨++=⎩解得21x y =-⎧⎨=⎩，∴点的坐标为(2,1)- ………4分 （2）设过点且与A 、距离相等的直线为l ，则有以下两种情况：①//l AB 时，311312AB k -==---,不妨设直线l 方程为：12y x b =-+ ∵直线l 过点∴11(2)2b =-⨯-+，得0b = ∴直线方程为：12y x =- .即02=+y x ………………………………………8分 ②当l 过线段AB 中点时，不妨设线段AB 中点为M ，则由中点坐标公式得(1,2)M - ∵12121l PM k k -===-+， ∴所求的直线方程为：21y x -=+，即30x y -+= ………………………11分综上所述，所求直线方程为：02=+y x 或30x y -+= ………………………12分19．本小题满分12分（1）证明：因为,PA PD =为AD 中点，所以.PE AD ⊥…………………………………..2分因为PAD ABCD ⊥平面平面， =,PAD ABCD AD 平面平面,PE PAD Ì平面 P NME DC BA所以.PE ABCD ⊥平面………………………..4分因为,CD ABCD ⊂平面所以PE CD ⊥. ………………………………..6分（2）证明：因为,2,AD BC AD BC ∥=为AD 中点，所以=.BC ED BC ED ，∥所以BCDE 是平行四边形.所以BE CD ∥.………………..……………….……………………………………………..8分 因为,,BE BEM CD BEM ⊂⊄平面平面所以.CD BEM 平面∥ …………………………………………………………………..10分 因为平面BEM 平面,PCD MN = ,CD PCD Ì平面所以MN CD ∥. …………………………………………………………………….12分 20．本小题满分12分解：（1）因为△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，AB CE ⊥所以E 为AB 的中点，所以)3,2(E …………………………2分因为1-=AB k ，所以1=CE k ………………………………4分所以直线CE ：23-=-x y ，即01=+-y x所以AB 边上的高CE 所在直线的方程为01=+-y x ；…6分（2）⎩⎨⎧=+-=+-06201y x y x ，解得⎩⎨⎧==54y x 是，所以)5,4(C …7分 所以直线AC ：141454--=--x y ， 即0113=+-y x ……………………………………………9分又因为)3,0(D ，所以点D 到直线AC 的距离510102==d ……………………10分 又10=AC ……………………………………………………………………………11分 所以1105102121=⋅⋅=⋅=∆d AC S ACD ……………………………………………12分21．本小题满分12分（1）法一:连接AC ,设,AC BD O =四边形ABCD 为矩形,则为AC 的中点. …………2分在ASC ∆中，为AS 的中点，,//OE SC ∴………………………………………………4分又⊂OE 平面BDE ,⊄SC 平面BDE ,//SC ∴平面BDE .………………………………………6分法二：如图，将三菱锥ABCD S -补形为三菱柱DCP ABS -取DP 的中点，连接,,,FS FE FC∴ES DF // 四边形DESF 为平行四边形，.//DE FS ∴.//BE CF ∴又DE ⊂平面,BDE FS ⊄平面,BDE//FS ∴平面.BDE ………………………………………2分 //EF BC ,四边形BCFE 为平行四边形，//CF BE ∴ ,又因为BE ⊂平面,BDE CF ⊄平面BDE ,//CF ∴平面BDE , ……………………………………………………………………4分 ⊂=FS F CF FS , 平面⊂CF SCF ,平面,SCF平面//BDE 平面.SCF又⊂SC 平面,SCF//SC ∴平面.BDE …………………………………………………………………………6分（2）法一：AB BC ⊥ 且,,B SB AB SB BC =⊥⊥∴BC 平面SAB ，又⊥∴AD AD BC ,//平面.SAB …………………………………8分 //SC 平面BDE ，点与点到平面BDE 的距离相等.SBE D BDE S BDE C V V V ---==∴在ABC ∆中,,32,2===AB SB SA .313221=⨯⨯=∴∆ABS SE 为AS 中点,.2321==∴∆∆ABS BES S S ………………………………………………10分 又点到平面BES 的距离为.AD11333D BES BES V S AD -∆∴=⋅==,23=∴-BDE C V 即三菱锥BDE C -的体积为.23……………………………………12分 法二:过作,AB EH ⊥垂足为.H,,,BC AB BC SB AB SB B ⊥⊥=⊥∴BC 平面,ABS⊂EH 平面,ABS ,BC EH ⊥∴又,,B BC AB AB EH =⊥⊥∴EH 平面.ABCD …………………………………9分在SAB ∆中，取AB 中点M ，连接SM ，则AB SM ⊥，1=∴SM,2121,21//==∴SM EH SM EH ,3332321=⨯⨯=∆BCD S.2321333131=⨯⨯=⋅==∴∆--EH S V V BCD BCD E BDE C所以三棱锥BCE C -的体积为.23………………………………………………………12分 22．本小题满分12分解：(1) 2522)1(=+=a f ， a=1 ………………………………………………………2分 (2) 任取120x x <<，则11121()()(2)2x x f x f x -=+221(2)2x x -+21121222(22)22x x x x x x -=-+⋅ 121212(21)(22)2x x x x x x ++-=- . ………………………………………………………………5分 120,x x << 12122x x ∴<<,1221x x +> , 12()()0f x f x -< 12()()f x f x <，f (x )在(0，＋∞)上是增函数. ………………………………………………………………8分 (3)17(0)2,(2)4f f ==，5(1)2f -= ,()f x 在[-1,0]为减函数,在[0，2]为增函数， ()f x 的值域为[2，174] ………………………………………………………………12分。
2022-2023学年山东省菏泽市高一上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年山东省菏泽市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}2N log 2A x x =∈≤，{}381xB x =<，则集合A B ⋂的真子集个数为（ ）A ．7B ．8C ．15D ．32【答案】A【分析】利用对数函数和指数函数的单调性求出{}1,2,3,4A =，{}4B x x =<，求出交集，得到真子集个数.【详解】{}{}{}2N log 2N 041,2,3,4A x x x x =∈≤=∈<≤=，{}{}3814xB x x x =<=<，故{}1,2,3A B =，故集合A B ⋂的真子集个数为3217-=. 故选：A2．在使用二分法计算函数()lg 2f x x x =+-的零点的近似解时，现已知其所在区间为(1，2)，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来需要计算（ ）次区间中点的函数值. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【解析】根据二分法定义计算即可得到答案.【详解】因为区间()1,2的长度为1，每次二等分都使长度变为原来的12， 3次取中间值后，区间()1,2的长度变为311=0.128⎛⎫> ⎪⎝⎭，不满足题意， 4次取中间值后，区间()1,2的长度变为411=0.1216⎛⎫< ⎪⎝⎭，满足题意.故选：C3．已知1lg 2a =，cos1b =，322c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b<c<a【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数和余弦函数单调性，结合临界值10,2进行判断即可.【详解】31211πlg lg1022cos cos1223--<=<<==<，a c b ∴<<.故选：B.4．2021年12月，考古工作者又公布了关于北京建城的一件重要文字证据。
2022-2023学年 山东省临沂市第四中学高一上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】集合M中元素是实数，集合N中元素是整数，先化简集合M再与集合N取交集即可解决.
【详解】方程 有两根 或 ，则由不等式 可得
【详解】对于A：
函数 的图像经过第一、三象限，故A正确；
对于B：
函数 的定义域为 ，
单调递增区间为 ，故B错误；
对于C：
若 在 的图象上，则 在 的图象上，所以图象关于y轴对称，故C正确；
对于D：
由于 与 互为反函数，所以图象关于 对称，故D正确.
故选：ACD
10.已知 为第一象限角，下述正确的是（）
【详解】 等价于 ，解得： ； 等价于 ，解得： ， 可以推出 ，而 不能推出 ，所以 是 的必要不充分条件，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件
故选：B
7.已知 都是正实数，若 ，则 的最小值为（）
A.2B.4C.6D.8
【答案】D
【解析】
【分析】均值定理连续使用中要注意等号是否同时成立.
【详解】由 可知
A. B. 为第一或第三象限角
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据 为第一象限角，可得 ，即可判断A，求出 的范围，从而可判断B，结合商数关系即可判断C，根据余弦函数的性质即可判断D.
【详解】解：因为 为第一象限角，所以 ，故A错误；
，
当 时， ，为第一象限角，
当 时， ，为第三象限角，
所以 为第一或第三象限角，故B正确；
山东省高一上学期期末数学试题(解析版)
一､单选题（每题5分，只有一个选项正确）1. 已知集合，则（）(){}{}ln 1,21x A x y x B x ==-=>∣∣A B = A. B.C.D.()1,+∞()0,∞+()0,1()1,2【答案】A 【解析】【分析】先解出集合A 、B ，再求.A B ⋂【详解】因为，， (){}{}ln 11A xy x x x ==-=>∣∣{}{}210xB x x x =>=>∣∣所以. A B = ()1,+∞故选：A2. 某校高一、高二、高三年级分别有学生1100名、1000名、900名，为了了解学生的视力情况，现用分层抽样的方法从中随机抽取容量为60的样本，则应从高二年级抽取的学生人数为（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24【答案】B 【解析】【分析】根据分层抽样，可计算出抽取容量为60的样本时各层所抽取的人数． 【详解】根据分层抽样，抽取容量为60的样本时， 应从高二年级抽取的学生人数为（人．1000602011001000900⨯=++)故选：．B 3. 函数的零点所在的一个区间是（ ） ()152xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭A. B.C.D.()3,2--()2,1--()1,0-()0,1【答案】B 【解析】【分析】由零点的存在性定理求解即可 【详解】∵，，()360f -=>()210f -=>，，()120f -=-<()040f =-<根据零点的存在性定理知，函数的零点所在区间为．()f x ()2,1--故选：B4. 从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，那么互斥而不对立的事件是（ ）A. 至少有一名男同学与都是男同学B. 至少有一名男同学与都是女同学C. 恰有一名男同学与恰有两名男同学D. 至少有一名男同学与至少有一名女同学 【答案】C 【解析】【分析】利用互斥事件和对立事件的定义直接求解. 【详解】从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，在A 中，至少有一名男同学与都是男同学能同时发生，不是互斥事件，故错误； 在B 中，至少有一名男同学与都是女同学是对立事件，故错误；在C 中，恰有一名男同学与恰有两名男同学不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的事件，故正确；在D 中，至少有一名男同学与至少有一名女同学能同时发生，不是互斥事件，故错误. 故选：C .【点睛】本题主要考查互斥事件和对立事件的判断以及定义的应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5. 已知是定义在上的增函数，，则a ，b ，c 的大()y f x =(0,)+∞()()()0.3555,0.3,0.2a f b f c f ===小关系是（ ） A. B.C.D.a b c >>b a c >>a c b >>c a b >>【答案】A 【解析】【分析】利用幂函数以及指数函数的单调性判断的大小关系，结合是定义在550.30.3,0.2,5()y f x =上的增函数，即可判断出答案.(0,)+∞【详解】因为函数为R 上单调增函数，故，而，5y x =5510.30.20>>>0.351>由于是定义在上的增函数，故， ()y f x =(0,)+∞()()()0.35550.30.2f f f >>即. a b c >>故选：A.6. 函数在上的大致图象为（ ）()2e e 1x xf x x --=+[]3,3-A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由函数的奇偶性，可排除B ；由时，可排除选项CD ，可得出正确答案()21f >【详解】，所以函数是奇函数，排除选项B ，()()2e e 1x xf x f x x ---==-+()y f x =又CD ，()22e e 215f --=>故选：A7. 近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便某共享单车公司计划在甲、乙两座城市．共投资万元，根据行业规定，每座城市至少要投资万元由前期市场调研可知：甲城市收益单12040．(P位：万元与投入单位：万元满足，乙城市收益单位：万元与投入单位：万元)(a )6P =-(Q )(A )满足，则投资这两座城市收益的最大值为 （ ） 124Q A =+A .万元B. 万元C. 万元D. 万元26444872【答案】B 【解析】【分析】根据题意列出收益的表达式，结合换元法、二次函数的性质进行求解即可. 【详解】由题意可知：，40120408040120120a a a ≤<⎧⇒≤≤⎨≤-<⎩设投资这两座城市收益为，y则有， 11162(120)426444y A a a =++=+--=-+，则有，t t =⇒∈21()264f t t =-++该二次函数的对称轴为，且开口向下， t =所以， 2max 1()26444f t f ==-++=故选：B8. 已知是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，()f x R x ∈R ()()4f x f x +=[]2,0x ∈-，若在区间内方程有三个不同的实数根，则实数()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(]2,6-()()()log 201a f x x a -+=>a 的取值范围为（ ） A.B. ()1,2(2,)+∞C.D.()2【答案】D 【解析】【分析】利用函数的奇偶性、周期性和对称性，作出函数的图像，将方程的解转化为两个函()f x ()f x 数图像的交点，利用数形结合以及交点个数列出不等式组，即可得出的取值范围. a 【详解】由，所以函数的周期为， ()()4f x f x +=()f x 4又函数为偶函数，所以，()f x ()()()2=22f x f x f x --=+即函数的图像关于直线对称；所以，()f x =2x ()()()21622132f f f -⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭由（）得：，令（）； ()()log 20a f x x -+=1a >()()log 2a f x x =+()()log 2a g x x =+1a >作出函数和函数的图像，如图所示：()=y f x ()=y g x由图像可知，要使方程（）恰有3个不同的实数根，()()log 20a f x x -+=1a >则有，即，所以， ()()()()2<26>6g f g f ⎧⎪⎨⎪⎩log 4<3log 8>3a a ⎧⎨⎩33log 4<log log 8>log a aa a a a ⎧⎨⎩2a <<故选：D.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高都处在A ，B ，C ，D ，E 五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则样本中（ ）A. 女生人数多于男生人数B. D 层次男生人数多于女生人数C. B 层次男生人数为24人D. A 层次人数最少 【答案】AC 【解析】【分析】根据表中数据依次讨论各选项即可求解.【详解】解：对于A 选项，由题可知，女生层次的有18人，层次的有48人，层次的有30人，A B C D层次的有18人，层次的有6人，故女生共有人，男生有E 184830186120++++=20012080-=人，所以女生人数多于男生人数，故A 选项正确；对于B 选项，由扇形图知，男生层次的有人，而女生有18人，故女生多于男生，错误； D 8020%16⨯=对于C 选项，层次的有人人，故正确；B ()80120%25%15%10%8030%24⨯----=⨯=对于D 选项，层次的有人，层次的有人，故层次的人数不是A 188010%26+⨯=E 68015%18+⨯=A 最少的. 故选：AC10. 下列说法正确的有（ ） A. “，”的否定是“，”0x ∃∈R 0202x x >x ∀∈R 22x x ≤B. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 x ∃∈R 240x x m ++=m ()4,+∞C. 若，，，则“”的充要条件是“” a b c ∈R 22ab cb >a c >D. “”是“”的充分不必要条件 1a >11a<【答案】ABD 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可判断A ；由命题为假命题可得方程240x x m ++=无解，则，即可判断B ；根据充分条件和必要条件的定义即可判断CD. Δ0<【详解】解：对于A ，因为存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以“，”的否定是“，”，故A 正确；0x ∃∈R 0202x x >x ∀∈R 22x x ≤对于B ，若命题“，”为假命题， x ∃∈R 240x x m ++=则方程无解， 240x x m ++=所以，解得，1640m ∆=-<4m >所以实数的取值范围是，故B 正确；m ()4,+∞对于C ，当时，，则由不能推出， 0b =22ab cb =a c >22ab cb >所以“”的充要条件不是“”，故C 错误； 22ab cb >a c >对于D ，若，则， 1a >101a<<故由可以推出， 1a >11a<若当时，，则由不可以推出， 1a =-11a <11a<1a >所以“”是“”的充分不必要条件，故D 正确.1a >11a<故选：ABD .11. 下列说法正确的是（ ）A. 甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5，0.25，则题被解出的概率是0.125B. 若，是互斥事件，则，A B ()()()P A B P A P B =+ ()0P AB =C. 某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%，中级占比50%，初级占比30%，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取10人 D. 一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是 23【答案】BCD 【解析】【分析】先求此题不能解出的概率，再利用对立事件可得此题能解出的概率可判断A ；由，可判断B ；计算出高级教师应抽取的人数可判断C ；由列举法得()()()P A B P A P B =+ ()0P AB =出两位女生相邻的概率可判断D.【详解】对于A ，∵他们各自解出的概率分别是，，则此题不能解出的概率为 1214，则此题能解出的概率为，故A 错；11311248⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭35188-=对于B ，若，是互斥事件，则，，故B 正确； A B ()()()P A B P A P B =+ ()0P AB =对于C ，高级教师应抽取人，故C 正确； 5020%10⨯=对于D ，由列举法可知，两位女生相邻的概率是，故D 正确. 23故选：BCD.12. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图像恒过定点()12x f x a-=-0a >1a ≠()1,2-B. 若不等式的解集为或，则220ax x c ++<{1x x <-}2x >2a c +=C. 函数6()f x =D. 函数的单调增区间为 ()12g x ⎛= ⎪⎝⎭1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】BD 【解析】【分析】选项A ，根据指数函数的性质即可判断； 选项B ，根据一元二次不等式的性质即可判断；选项C ，根据基本不等式的性质，验证等号成立的条件，即可判断； 选项D ，根据复合函数的单调性即可判断. 【详解】选项A ，函数（且）的图像恒过定点为，与不符，故A()12x f x a -=-0a >1a ≠(1,1)-()1,2-错；选项B ，不等式的解集为或，故必有，220ax x c ++<{1x x <-}2x >2122a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得，进而得到，故B 正确； 24a c =-⎧⎨=⎩2a c+=选项C ，，当且仅当，方程无解，故等号不可成立，故C 错()f x =6≥2169x +=误；选项D ，函数是复合函数，由和，以及，三个函数复()12g x ⎛= ⎪⎝⎭1(2uy =12u v =22v x x =--+合而成，故所求函数的单调增区间为函数的单调递减区间，且要求，而函数的单调递减区()g x v 0v ≥v 间为，又因为，故，解得，得，综上，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭0v ≥220x x --+≥(2)(1)0≤x x +-21x -≤≤函数的单调增区间为，故D 正确 ()12g x ⎛= ⎪⎝⎭1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：BD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 今年5月1日，某校名教师在“学习强国”平台上的当日积分依次为，，，，，则这54349505256个数据的方差是________．5【答案】 18【解析】【分析】求出均值，再由方差公式计算． 【详解】，4349505256505x ++++==．222222(4350)(4950)(5050)(5250)(5650)185s -+-+-+-+-==故答案为：18．14. 已知函数是幂函数，若，则实数的最大值是______．()()2mf x m x =-()()23980f k f k ++-≤k 【答案】6 【解析】【分析】根据幂函数的定义求出参数的值，再根据幂函数的奇偶性和单调性解不等式即可. m 【详解】解：因为函数是幂函数，()()2mf x m x =-所以，解得，210m m -=⎧⎨≠⎩3m =所以，()3f x x =因为，()()3f x x f x -=-=-所以函数是上的奇函数，()3f x x =R 又函数在上递增，且在定义域内连续，()3f x x =()0,∞+所以函数在上递增，()3f x x =R 不等式，即为不等式，()()23980f k f k ++-≤()()2389f k f k +≤-所以，解得， 2389k k +≤-26k ≤≤所以实数的最大值是6. k 故答案为：6.15. 一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等），若，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为”{},,1234a b c ∈，，，有缘数”的概率是__________．【答案】 12【解析】【详解】试题分析：由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个； 同理由1，2，4组成的三位自然数共6个； 由1，3，4组成的三位自然数也是6个； 由2，3，4组成的三位自然数也是6个． 所以共有6＋6＋6＋6＝24个．由1，2，3组成的三位自然数，共6个”有缘数”． 由1，3，4组成的三位自然数，共6个”有缘数”． 所以三位数为”有缘数”的概率． 121242P ==考点：1．分类加法；2．古典概型．16. 函数为定义在上的奇函数，且，对于任意，()f x -00∞⋃+∞（，）（，）(2)1f =()1212,0x x x x ∈+∞≠，，都有成立.则的解集为_________112212()()0x f x x f x x x ->-2()f x x≤【答案】 (](]20,2-∞-⋃，【解析】【分析】由题意，设函数，得函数在上的单调递增函数，进而得到()()g x xf x =()()g x xf x =()0,+∞函数为偶函数，即可求解当时，不等式等价于的解集，以及当时，()g x 0x >()2g x ≤0x <()2g x ≥的解集，即可得到答案.【详解】由题意，设函数，由对于任意，都有成立，()()g x xf x =()12,0x x ∈+∞，()()1122120x f x x f x x x ->-则可得函数在上的单调递增函数， ()()g x xf x =()0,+∞又由函数为定义在上的奇函数， ()f x 00（，）（，）-∞⋃+∞则函数，即函数为偶函数， ()()()()g x xf x xf x g x -=--==()g x 又由，则，且， ()21f =()()2222g f =⋅=()22g -=又由，可知： ()2f x x≤当时，不等式等价于，即，解得；0x >()2xf x ≤()2g x ≤02x <≤当时，不等式等价于，即，解得0x <()2xf x ≥()2g x ≥2x ≤-即不等式的解集为. (](]20,2-∞-⋃，【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，以及利用函数的性质求解不等式的解集，其中解答其中熟练应用函数的基本性质，合理转化不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 化简下列式子并求值:（1）; 7lg142lglg7lg183-+-（2）. 0.5232027492(0.2)(0.081)8925--⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】（1）0（2） 89-【解析】 【分析】(1)将式子用对数运算公式等log log log ,log log log ,c c c cc c a ab a b a b b =+=-log log b c c a b a =展开合并化简即可求值;(2)将式子用分数指数幂运算公式等,进行化简求值即可.11,mm n a a -===【小问1详解】解:原式为 7lg142lg lg7lg183-+-()()lg 2lg72lg7lg3lg7lg 2lg9=+--+-+lg 2lg 72lg 72lg3lg 7lg 22lg3=+-++--;0=【小问2详解】原式为 0.5232027492(0.2)(0.081)8925--⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2225125-+⨯-=47193=-+. 89=-18. 某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩.经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照，，，，的分组作出频率分布[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)直方图如图所示.（1）求频率分布直方图中的值，并估计本次竞赛成绩的第80百分位数：a （2）若按照分层随机抽样从成绩在，的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，[50,60)[90,100)求至少有1人的成绩在内的概率.[50,60)【答案】（1），第80百分位数；（2）. 0.020a =8535【解析】【分析】（1）利用频率之和为1，列式求，由百分位数的定义求解第80百分位数即可；a （2）先求出从，和，中抽取的人数，然后利用列举法求出总的基本事件数以及符合条件[5060)[90100)的基本事件数，由古典概型的概率公式求解即可．【详解】解：（1）由题意得，，()100.0050.0300.0350.0101a ++++=所以0.020a =因为，，，， 100.0050.05⨯=100.0300.3⨯=100.0350.35⨯=100.010.1⨯=，所以成绩在80分以下的频率为，100.020.2⨯=0.050.30.350.70.8++=<成绩在90分以下的频率为，0.050.30.350.20.90.8+++=>所以第80百分位数，即. (80,90)p ∈0.80.78010850.2p -=+⨯=（2）因为，的频率之比为，[50,60)[90,100)0.005:0.010=1:2所以从中随机抽取人， [50,60)1623⨯=从中随机抽取 [90,100)2643⨯=从中抽取的2人记为，，从中抽取的4人记为1，2，3，4，[50,60)a b [90,100)从这6人中随机抽取2人的样本空间为，共有15个样本点，{12,13,14,1,1,23,24,2,2,34,3,3,4,4,}a b a b a b a b ab Ω=设事件表示“至少有1人的成绩在内”，A [50,60)则共有9个样本点，{1,1,2,2,3,3,4,4,}A a b a b a b a b ab =所以至少有1人在内的概率为. [50,60)93()155P A ==19. 已知幂函数在上单调递增 2242()(1)mm f x m x -+=-(0,)+∞（1）求m 的值；（2）若，且，求的最小值. 00a b >>，1a b m +=+4b a b +【答案】（1）0m =（2）8【解析】【分析】(1)用幂函数的定义可求得的值，又由上单调递增确定.m (0,)+∞m (2)结合第一问的结论，用基本不等式中的乘1法可以解决.【小问1详解】由幂函数的定义得：，或，2(1)1m -=0m ⇒=2m =当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去；2m =2()f x x -=(0,)+∞当时，在上单调递增，符合题意；0m =2()f x x =(0,)+∞综上可知：. 0m =【小问2详解】11a b m +=+=44()4448b b a b b a a b a b a b++=+=++≥=当且仅当且时，即时，的最小值为8. 4b a a b =1a b +=1323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4b a b +20. 小宁某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率.【答案】（1）0.398；（2）0.994.【解析】【分析】结合独立事件的乘法公式即可.【详解】解：用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达的事件.则P (A )＝0.8，P (B )＝0.7，P (C )＝0.9，所以P ()＝0.2，P ()＝0.3，P ()＝0.1.A B C （1）由题意得A ，B ，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P 1＝P ()＋P ()＋P ()＝P ()P (B )P (C )＋P (A )P ()P (C )＋P (A )P (B )P ()ABC ABC ABC A BC ＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为P 2＝1－P ()＝1－P ()P ()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.A B C A C 21. 已知函数.()()()()log 12log 120,1a a f x x x a a =+-->≠（1）求的定义域；()f x （2）判断的奇偶性并给予证明；()f x （3）求关于的不等式的解集.x ()0f x >【答案】（1）；11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）函数为奇函数，证明见解析；()f x （3）见解析.【解析】【分析】（1）根据对数函数真数大于0见解析即可；（1）根据奇偶性证明步骤进行即可；（3）分类讨论，单调性不同两种情况即可. 1a >01a <<【小问1详解】根据题意，函数，()()()log 12log 12a a f x x x =+--所以，解可得， 120120x x +>⎧⎨->⎩1122x -<<所以函数的定义域为； ()f x 11,22⎛⎫-⎪⎝⎭【小问2详解】由（1）得函数的定义域为，关于原点对称， ()f x 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭因为函数，()()()log 12log 12a a f x x x =+--所以，()()()()()()log 12log 12log 12log 12a a a a f x x x x x f x ⎡⎤-=--+=-+--=-⎣⎦所以函数为奇函数.()f x 【小问3详解】根据题意，即，()()log 12log 120a a x x +-->()()log 12log 12a a x x +>-当时，有，解可得，此时不等式的解集为； 1a >1201201212x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩102x <<10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，有，解可得，此时不等式的解集为 01a <<1201201212x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+<-⎩102x -<<1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭所以当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 1a >10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭01a <<1,02⎛⎫-⎪⎝⎭22. 已知函数.()2(R)x f x x =∈（1）解不等式；()(2)1692x f x f x ->-⨯（2）若关于x 的方程在上有解，求m 的取值范围；()(2)0f x f x m --=[1,1]-（3）若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任()()()f x g x h x =+()g x ()h x ()(22)0ag x h x ≥+意恒成立，求实数a 的取值范围.[1,2]x ∈【答案】（1） (1,3)（2）1[2,4-（3） 17[,)12-+∞【解析】【分析】（1）由换元法求解，（2）参变分离后转化为求值域问题，（3）由函数的奇偶性先求出，的解析式，再由换元法与参变分离求解，()g x ()h x 【小问1详解】设，则不等式可化为，解得，2x t =2169t t t ->-28t <<则，故原不等式的解集为13x <<(1,3)【小问2详解】即在上有解， 240x x m --=21142(2)24x x xm =-+=--+[1,1]-而，，故， [1,1]x ∈-12[,2]2x ∈1[2,4m -∈即m 的取值范围是 1[2,4-【小问3详解】由题意得，， 2()()x g x h x =+1()()()()2xg x h x g x h x =-+-=-+解得，， 11()(2)22x x h x =+11()(2)22x x g x =-故原不等式即对恒成立， 111(2(4)0224x x x x a -++≥[1,2]x ∈令，不等式可化为对恒成立， 13152[,224x x k =-∈21(2)02ak k ++≥315[,]24k ∈，而，由对勾函数性质得当时取最大值， max 12[()]2a k k ≥-+32>32k =12()2k k-+则，实数a 的取值范围是 1712a ≥-17[,)12-+∞。
山东省济南市2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题含答案
济南市2024年高一学情检测数学试题（答案在最后）本试卷共6页，满分150分.考试时间为120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5mm 黑色签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.据教育部统计，2024届全国普通高校毕业生规模达1179万人，将数字11790000用科学记数法表示为（）A.71.17910⨯B.81.17910⨯C.611.7910⨯ D.80.117910⨯【答案】A【解析】【分析】由科学记数法要求可得.【详解】711790000 1.17910=⨯，故选：A .2.下列运算正确的是（）A.232a a a -=B.222()a b a b +=+C.322a b a a÷= D.2224()a b a b =【答案】D【解析】【分析】举例说明判断ABC ；利用幂的运算法则判断D.【详解】对于A ，()233a a a a -=-，A 错误；对于B ，()2222a b a ab b +=++，B 错误；对于C ，3222a b a ab ÷=，C 错误；对于D ，2222242()()a b a b a b ==，D 正确.故选：D3.小刚同学一周的跳绳训练成绩（单位：次/分钟）如下：156，158，158，160，162，165，169.这组数据的众数和中位数分别是（）A.160，162B.158，162C.160，160D.158，160【答案】D【解析】【分析】根据众数和中位数的定义易得.【详解】因在156，158，158，160，162，165，169这组数据中，158出现了2次，次数最多，故众数是158；根据中位数的定义知，按照从小到大排列的七个数据中，第四个数160为这组数据的中位数.故选：D.4.某几何体是由四个大小相同的小立方块搭成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的主视图是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三视图的相关概念分析即可.【详解】由题意可知从前方看第一排有3个正方体，且从左到右依次有2个、1个，第二排有1个正方体在左侧，故A 正确.故选：A5.已知点()13,A y -，()2,3B -，()21,C y -，()32,D y 都在反比例函数k y x=0k ≠）的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A.213y y y << B.312y y y <<C.231y y y << D.132y y y <<【答案】B【解析】【分析】首先代入点B 的坐标，得到函数的解析式，再代入其他点的坐标，即可判断.【详解】将点()2,3B -代入反比例函数32k =-，得6k =-，即反比例函数的解析式是6y x -=，将点,,A C D 的坐标代入函数解析式，得12y =，26y =，33y =-，即312y y y <<.故选：B6.如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，P 是AD 上不与A 和D 重合的一个动点，过点P 分别作AC 和BD 的垂线，垂足为E ，F ，则PE PF +的值为（）A.125 B.245 C.5 D.285【答案】B【解析】【分析】连接OP ，利用勾股定理列式求出BD ，再根据矩形的对角线相等且相互平分求出,OA OD ，然后根据AOD AOP DOP S S S =+△△△列式求解即可.【详解】如图，连接OP ，四边形ABCD 为矩形，6AB =，8AD =，10BD ∴===，11052OA OD ∴==⨯=，AOD AOP DOP S S S =+ ，11112222AD AB AO PE OD PF ∴⨯⨯=⨯⋅+⨯⋅，111168552222PE PF ∴⨯⨯⨯=⨯⋅+⨯⋅，解得245PE PF +=，故选：B.7.如图，在ABCD 中，2AB =，3AD =，60ABC ∠= ，在AB 和AD 上分别截取()AE AE AB <，AF ，使AE AF =，分别以,E F 为圆心，以大于12EF 的长为半径作弧，两弧在DAB ∠内交于点G ，作射线AG 交BC 于点H ，连接DH ，分别以,D H 为圆心，以大于12DH 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ，作直线MN 交CD 于点K ，则CK 的长为（）A.34 B.23 C.35 D.12【答案】C【解析】【分析】利用角平分线、垂直平分线的作法与性质确定相应线段长度，利用全等三角形、相似三角形的判定与性质计算即可.【详解】如图所示，设直线MN 分别交直线,,BC AD HD 于,,P Q S ，作HR AD ⊥，垂足为R ，根据题意易知,AG MN 分别为BAD ∠的角平分线，线段DH 的垂直平分线，所以60BAH ABC ∠=∠= ，所以ABH 为正三角形，则2,1,2,AH BH AR CH DR HR ======，所以2DH SD ==，而3tan 2QS ADH SD ∠==，则217,44QS DQ ==，易证HSP DSQ ≅ ，故73,44DQ HP CP HP CH ===-=，易知CKP DKQ ，故372CP CK CK QD KD CK =⇒=-，解之得35CK =.故选：C 8.如图，抛物线24y x x =-+，顶点为A ，抛物线与x 轴正半轴的交点为B ，连接AB ，C 为线段OB 上一点（不与O ，B 重合），过点C 作//CD AB 交y 轴于点D ，连接AD 交抛物线于点E ，连接OE 交CD 于点F ，若34DOF DEF S S =△△，则点C 的横坐标为（）A.43 B.65 C.76 D.87【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出点,A B 坐标，设点0(,0)C x 并表示点,,D E F 的坐标，再利用三角形面积关系列式计算即得.【详解】抛物线2(2)4y x =--+的顶点(2,4)A ，由0,0y x =>，得4x =，即点(4,0)B ，设直线AB 方程为y kx b =+，由4204k b k b=+⎧⎨=+⎩，解得2,8k b =-=，则直线:28AB y x =-+，设点00(,0),04C x x <<，由//CD AB ，设直线CD 方程为2y x c =-+，由0x x =，得02c x =，由0x =，得02y c x ==，即点0(0,2)D x ，直线0:22CD y x x =-+，设直线AD 的方程为y mx n =+，则0242x n m n=⎧⎨=+⎩，解得002,2m x n x =-=，即直线00:(2)2AD y x x x =-+，由002(2)24y x x x y x x =-+⎧⎨=-+⎩，解得02004x x y x x =⎧⎨=-+⎩，即点2000(,4)E x x x -+，显然DOE DOC S S = ，由34DOF DEF S S =△△，得37DOF DOE S S = ，则37DOF DOC S S = ，因此点0038(,)77F x x ，由37DOF DOE S S = ，得||3||7OF OE =，因此020083747x x x =-+，解得043x =，所以点C 的横坐标为43.故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.小明周六从家出发沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，资料查阅完毕后沿原路匀速返回，速度与来时相同，途中遇到同学小亮，交谈一段时间后以相同速度继续行进，直至返回家中，如图是小明离家距离y （km ）与时间x （h ）的关系，则（）A.小明家与图书馆的距离为2kmB.小明的匀速步行速度是3km/hC.小明在图书馆查阅资料的时间为1.5hD.小明与小亮交谈的时间为0.4h【答案】AD【解析】【分析】由图象可判断A 选项；结合图象可求小明的匀速步行速度，可判断B 选项；通过计算点C 到D 所需的时间，可判断C 选项；通过计算点E 到F 所需的时间，可判断D 选项.【详解】对于A ：由图象可知小明家与图书馆的距离为2km ，故A 正确；对于B ：因为小明沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，所以小明的匀速步行速度是()24km /h 0.5=，故B 错误；对于C ：小明返回的路上走()20.8 1.2km -=后遇到小亮，则走1.2km 所需的时间为()1.20.3h 4=，所以小明在图书馆查阅资料的时间为()2.60.50.3 1.8h --=，故C 错误；对于D ：走0.8km 所需的时间为()0.80.2h 4=，所以小明与小亮交谈的时间为()3.2 2.60.20.4h --=，故D 正确.故选：AD.10.如图，点B 在线段AD 上，分别以线段AB 和线段BD 为边在线段AD 的同侧作等边三角形ABC 和等边三角形BDE ，连接AE ，AE 与BC 相交于点G ，连接CD ，CD 与AE ，BE 分别相交于点F ，H ，连接BF ，GH ，则（）A.//GH ADB.FB 平分GFH ∠C.GE BD= D.ABE CBD≅△△【答案】ABD【解析】【分析】结合图形和题设条件，易得ABE CBD ≅△△，可推得D 项；由此得到ABE CBD ∠=∠，可证GBE HBD ≅ ，可得GB HB =，从而得到正三角形BGH ，由60GHB HBD ∠==∠ 易得A 正确；再由全等三角形的对应边上的高相等，易得点B 到AFD ∠的两边距离相等，故得B 项正确；对于C 项，可采用反向推理，假设结论正确，经过推理产生矛盾，即得原命题不成立，排除C 项.【详解】因ABC V 和BFD △都是正三角形，故,,60AB BC BE BD ABC EBD ==∠=∠= ，则ABC CBE FBD CBE ∠+∠=∠+∠,即ABE CBD ∠=∠，由AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩可得ABE CBD ≅△△，故D 正确；由ABE CBD ≅△△可得，AEB CDB ∠=∠,因18026060CBE ∠=-⨯= ，由GBE HBD BE BD GEB HDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩可得，GBE HBD ≅ ,则有GB HB =，故BGH V 为正三角形，则60GHB HBD ∠==∠ ,故//GH AD ，即A正确；如图，分别作,BM AE BN CD ⊥⊥,垂足分别是,M N ，由上知，ABE CBD ≅△△，故BM BN =，由角平分线的性质定理，可得FB 平分GFH ∠，故B 正确；对于C 项，假设GE BD =，则GE BE =,故60EGB EBG ∠=∠= ，而在ACG 中，60,60ACG CAG CAB ∠=∠<∠= ,故60CGA EGB ∠=∠>产生矛盾，故假设不成立，即C 错误.故选：ABD .11.如图1，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，4BC =，动点D 从点A 开始沿AB 边以每秒0.5个单位长度的速度运动，同时，动点E 从点B 开始沿BC 边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接DE ，F 为DE 中点，连接AF ，CF ，设时间为t （s ），2DE 为y ，y 关于t 的函数图象如图2所示，则（）A.当1t =时， 2.5DE = B.2AB =C.DE 有最小值，最小值为2 D.AF CF +【答案】BD【解析】【分析】设AB a =，列出y 关于t 的函数式，结合图2，列方程求出a 的值，判断B 项，继而代值检验A 项；利用二次函数的图象性质，即可得到DE 的最小值，判断C 项；最后通过建系，将AF CF +转化为14+，利用距离的几何意义，借助于点的对称即可求得其最小值.【详解】设AB a =，则0.5,0.5,0.5AD t BD a t BE t ==-=，则22222(0.5)(0.5)0.5y DE a t t t at a ==-+=-+（*），由图2知，函数220.5y t at a =-+经过点(1,2.5)，整理得，220a a --=，解得2a =或1a =-（舍去），故B 正确；由B 项知，20.524y t t =-+，当1t =时，0.524 2.5y =-+=，即2 2.5DE =,故A 错误；对于C ，由题意易得，04t ≤≤，由220.524=0.5(2)2y t t t =-+-+可得，当2t =时，min 2y =，即DE 故C 错误；对于D ，如图，以点B 为原点,,OA OC 所在直线分别为,x y 轴建立直角坐标系.则(2,0),(0,4),(20.5,0),(0,0.5)A C D t E t -，因F 为DE 中点，故11(1,)44F t t -，于是AF CF +=+14=+结合此式特点，设(,),(4,0),(4,16)P t t M N -,则1()4AF CF PM PN +=+,作出图形如下.作出点(4,0)M -关于直线y x =的对称点1(0,4)M -，连接1M N ,交直线y x =于点P ，则点P 即为使PM PN +取得最小值的点.(理由：可在直线y x =上任取点(,)P t t '''，利用对称性特点，即可证明P M P N PM PN ''+>+,即得)，此时22min 1()4(164)426PM PN M N +==++=即AF CF +的最小值为26.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在平面直角坐标系中有五个点，分别是()1,3A ，()3,4B -，()2,3C --，()4,3D ，()3,5E -，从中任选一个点，选到的这个点恰好在第一象限的概率是______.【答案】25##0.4【解析】【分析】利用概率公式求解即可求得答案.【详解】五个点中在第一象限的点有A 和D 两个，从中任选一个点共有5种等可能的结果，这个点恰好在第一象限有2种结果，所以从中任选一个点恰好在第一象限的概率是25.故答案为：25.13.在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，6AB =，ABC V 的周长为14，则AB 边上的高为________.【答案】73##123【解析】【分析】利用勾股定理和完全平方公式以及三角形面积可得结果.【详解】根据题意可设,BC a AC b ==，所以146BC C AB A a b =++++=，可得8a b +=，又90ACB ∠=︒，利用勾股定理可得222226BC AC a b ++==；可得2236a b +=；所以()222228236a b a b ab ab +=+-=-=，即14ab =；设AB 边上的高为h ，由三角形面积可得6ab AB h h =⋅=，解得14763h ==.故答案为：7314.如图，在矩形纸片ABCD 中，4AB =，6AD =，E 为AD 中点，F 为边CD 上一点，连接EF ，将DEF 沿EF 翻折，点D 的对应点为D ¢，G 为边BC 上一点，连接AG ，将ABG 沿AG 翻折，点B 的对应点恰好也为D ¢，则BG =________.【答案】6-【解析】【分析】过D ¢作SU AD ⊥，交AD 于S ，交BC 于U ，过E 作EH AD '⊥，利用等积法可求3D S '=，再根据Rt D GU '△可求BG 的长度.【详解】由题设3,4AE D E AD AB ==='='，过D ¢作SU AD ⊥，交AD 于S ，交BC 于U ，过E 作EH AD '⊥，则2AH HD ='=，则EH ==，故1122AD AE D S '=⨯'，所以3D S '=，故83AS ==，故83BU =，设BG x =，则D G x '=，故222845433x x ⎛⎛⎫-+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，故6x =-故答案为：6-四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.先化简再求值：（1）求22111244x x x x x x x ---÷+--+的值，其中3x =；（2）求222x y y x y x y x y---+-的值，其中2x y =.【答案】（1）12（2）43【解析】【分析】（1）先因式分解进行化简，进而代入3x =即可求解；（2）先同分母进行化简并转化x y 的表达式，进而代入2x y=即可求解.【小问1详解】()()()2222111=12441211x x x x x x x x x x x x x x -----÷-⋅+--++--+121x x x x --++=()21x x x --=+21x =+.即3x =代入可得21312=+.【小问2详解】()()()()222222x x y y x y x y y y x y x y x y x y x y x y +----=--+--+-22222x xy xy y y x y +-+-=-222x x y =-221x y x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭.即2x y =代入可得2224213=-.16.某超市销售,A B 两种品牌的牛奶，购买3箱A 种品牌的牛奶和2箱B 种品牌的牛奶共需285元；购买2箱A 种品牌的牛奶和5箱B 种品牌的牛奶共需410元.（1）求A 种品牌的牛奶，B 种品牌的牛奶每箱价格分别是多少元？（2）若某公司购买,A B 两种品牌的牛奶共20箱，且A 种品牌牛奶的数量至少比B 种品牌牛奶的数量多6箱，又不超过B 种品牌牛奶的3倍，购买,A B 两种品牌的牛奶各多少箱才能使总费用最少？最少总费用为多少元？【答案】（1）A 种品牌的牛奶，B 种品牌的牛奶每箱价格分别是55元、60元.（2）最小费用为12005151125-⨯=（元），此时购买,A B 两种品牌的牛奶分别为15箱、5箱.【解析】【分析】（1）设A 种品牌的牛奶，B 种品牌的牛奶每箱价格分别是,x y 元，根据题设列方程组后可求各自的单价；（2）购买A 品牌的牛奶a 箱，则购买总费用12005C a =-，由题设条件可得a 可为13,14,15中的某个数，故可求最小费用及相应的箱数.【小问1详解】设A 种品牌的牛奶，B 种品牌的牛奶每箱价格分别是,x y 元，则3228525410x y x y +=⎧⎨+=⎩，故5560x y =⎧⎨=⎩.故A 种品牌的牛奶，B 种品牌的牛奶每箱价格分别是55元、60元.【小问2详解】设购买A 品牌的牛奶a 箱，则购买B 品牌的牛奶20a -箱，此时总费用()55602012005C a a a =+-=-，而()206320a a a a ≥-+⎧⎨≤-⎩，故1315a ≤≤，而a 为整数，故a 可为13,14,15中的某个数，故C 的最小费用为12005151125-⨯=（元），此时购买,A B 两种品牌的牛奶分别为15箱、5箱.17.如图，在O 中，AB 是直径，点C 是O 上一点，9AC =，3BC =，点E 在AB 上，2AE BE =，连接CE 并延长交O 于点D ，连接AD ，AF CD ⊥，垂足为F .（1）求证：ADF ABC △△；（2）求DF 的长.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角可判断90AFD ACB ︒∠=∠=，再利用同弧所对的圆周角相等，可得ADF ABC ∠=∠，从而证明ADF ABC △△；（2）在Rt ABC △中，求出tan 3ABC ∠=，AB =利用tan tan 3ABC ADF ∠=∠=，设DF x =，把Rt ADF 的三边表示出来，再利用CBE ADE 求出103DE x =，最后在Rt AEF 中求出x 的值，也即是DF 的长.【小问1详解】AB 是O 的直径，BC AB ∴⊥，90AFD ACB ︒∴∠=∠=，又ADF ABC ∠=∠ ,ADF ABC ∴ .【小问2详解】在Rt ABC △中，9tan 33AC ABC BC ∠===，AB ==又2AE BE =，则AE =BE =，又ABC ADF ∠=∠，tan tan 3ABC ADF ∴∠=∠=，在Rt ADF 中，设DF x =，则3AF x =，故AD ==，又CEB AED ∠=∠，CBE ADE ∴ ，BC BE DA DE ∴=10DE=，解得103DE x =，10733EF DE DF x x x ∴=-=-=，在Rt AEF 中，222AF EF AE +=，即()(222733x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得x =，即DF =.18.已知抛物线223y mx mx =--（0m >），根据以上材料解答下列问题：（1）若该抛物线经过点(3,0)A ，求m 的值；（2）在（1）的条件下，B ，C 为该抛物线上两点，线段BC 的中点为D ，若点(2,1)D ，求直线BC 的表达式；以下是解决问题的一种思路，仅供大家参考：设直线BC 的表达式为：y kx b =+，(,),(,)B B C C B x y C x y ，则有223B B B y mx mx =--①，223C C C y mx mx =--②.①-②得：()()()()()2222B C B C B C B C B C B C y y m x x m x x m x x x x m x x -=---=+---，两边同除以()B C x x -，得()2B C B C B Cy y k m x x m x x -==+--……；（3）该抛物线上两点E ，F ，直线EF的表达式为：()2y mx n =+（0n ≥）.(ⅰ).请说明线段EF 的中点在一条定直线1l 上；(ⅱ).将ⅰ中的定直线1l 绕原点O 顺时针旋转45°得到直线2l ，当13x <<时，该抛物线与2l 只有一个交点，求m 的取值范围.【答案】（1）1m =（2）23y x =-（3）ⅰ.线段EF的中点在定直线1:2l x =上；ⅱ.1m ≥或12m =或103m <≤.【解析】【分析】（1）将点坐标代入函数解析式，计算即得m 的值；（2）按照题中的思路先求出2B C k x x =-+，再由线段BC 的中点为(2,1)D 求得k 的值，利用直线BC 经过点(2,1)D 即可求得直线BC 的表达式；（3）(ⅰ)由22)23y mx n y mx mx ⎧=+⎪⎨=--⎪⎩消去y ，利用韦达定理即可得到线段EF的中点在定直线1:2l x =上；(ⅱ)根据题意，作出图形，利用平面几何知识即可求得2:5l y x =-；根据函数223y mx mx =--与2:5l y x =-在13x <<时的图象特点，依题意可得34332m m --<-⎧⎨->-⎩，解之即得.【小问1详解】因223y mx mx =--经过点(3,0)A ，则9306m m --=，解得，1m =；【小问2详解】1m =时，2223(1)4y x x x =--=--，设直线BC 的表达式为：y kx b =+，(,),(,)B B C C B x y C x y ,则223B B B y mx mx =--①，223C C C y mx mx =--②.由①-②：222((2))()B C B C B C B C B C y y x x x x x x x x -=---=--+，两边同除以()B C x x -，则2B C B C B Cy y k x x x x -=+--=，因线段BC 的中点为(2,1)D ，则22C B x x +=，即2222k =⨯-=，则2y x b =+，将点(2,1)D 代入解得，3b =-，故直线BC 的表达式为：23y x =-；【小问3详解】（i）由22)23y mx n y mx mx ⎧=+⎪⎨=--⎪⎩消去y，整理得，230mx n ---=，依题意，设(,),(,)E E F F E x y F x y ,EF 的中点为(,)M M M x y ,则E F x x +=22F M E x x x =+=，即线段EF的中点在定直线1:2l x =上；(ⅱ)如图，将定直线1:2l x =绕原点O 顺时针旋转45°得到直线2l ,则点(,0)2A 转到了点1A ,则1522OA OA ==,设点111(,)A x y ，2(,0)B x 则11525525cos45,sin 45,2222x y ===-=-oo 215x ==,即155(,)22A -，(5,0)B ,设2:l y mx n =+，则得，505522m n m n +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得，15m n =⎧⎨=-⎩，即得2:5l y x =-；因抛物线2223(1)3y mx mx m x m =--=---的对称轴为1x =，故该函数在13x <<时，y 随着x 的增大而增大，且1x =时，3y m =--，3x =时，33y m =-，要使抛物线与2:5l y x =-只有一个交点，可分以下种情况讨论：①当抛物线顶点在直线下方时，如上图可得，34332m m --<-⎧⎨->-⎩，解得1m >；②抛物线顶点在直线上，如上图，即1m =时，由2235y x x y x ⎧=--⎨=-⎩，解得1x =或2x =，因13x <<，故符合题意；③抛物线与直线相切，且切点横坐标满足13x <<，如上图，由2235y mx mx y x ⎧=--⎨=-⎩消去y ，可得2(21)20mx m x -++=，由2(21)80m m ∆=+-=解得，12m =，代入方程可得2440x x -+=，解得2x =，符合题意；④如上图，抛物线顶点在直线上方，但在13x <<内只有一个交点，须使34332m m -->-⎧⎨-≤-⎩，又0m >，解得103m <≤.综上可得m 的取值范围为：1m ≥或12m =或103m <≤.19.在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒.（1）如图1，在ACE △中，120CAE ∠=︒，2AE AC =，F 是AE 中点，连接BF .若1BC =，求线段BF 的长；（2）如图2，在BCD △中，120BDC ∠=︒，2BD CD =，F 是AB 中点，连接DF ，求BF DF的值；（3）如图3，在CDE 中，120CDE ∠=︒，2DE CD =，E 是AB 中点，F 是AE 中点，连接BD ，DF ，求DF BD的值.【答案】（17（221（3）32【解析】【分析】（1）由90BAF ∠=︒，2AB =，3AF =，可求BF 的长；（2）将BCD △绕点C 顺时针旋转60︒得FCD '△，证明,,B D D '三点共线，FD BD '⊥，设1CD DD '==，勾股定理求出FD 和BF 即可；（3）将CDE 绕点C 顺时针旋转60︒，得CD B '△，证明,,B D D '三点共线，ED BD '⊥，//ED FD '，设1CD =，求出BD 和FD 即可.【小问1详解】在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒.若1BC =，则2AB =，AC =，如图1，在ACE △中，120CAE ∠=︒，由30BAC ∠=︒，得90BAF ∠=︒2AE AC =，F 是AE 中点，则AF AC ==Rt ABF中，BF ==.【小问2详解】在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，F 是AB 中点，连接FC ，则BFC △为等边三角形，如图所示，将BCD △绕点C 顺时针旋转60︒，得FCD '△，CD CD '=，60DCD '∠=︒，则CDD '△为等边三角形，60CDD '∠=︒，又120BDC ∠=︒，则,,B D D '三点共线，120FD C BDC '∠=∠=︒，60CD D '∠=︒，则60FD D '∠=︒，2BD CD =，则2FD D D ''=，FDD '△中，60FD D '∠=︒，2FD D D ''=，H 为FD '中点，连接DH ，则有DD HD ''=，DHD ' 为等边三角形，DH FH HD '==，60DHD ︒'∠=，30HFD HDF =︒∠=∠，所以FDD '△为直角三角形，FD BD '⊥，不妨设1CD DD '==，则2FD BD '==，223FD FD D D ''=-=227BF FD BD =+=所以72133BF DF ==；【小问3详解】在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，CDE 中，120CDE ∠=︒，2DE CD =，E 是AB 中点，F 是AE 中点，将CDE 绕点C 逆时针旋转60︒，得CD B '△，如图所示，由（2）同理可得CDD '△为等边三角形，,,B D D '三点共线，ED BD '⊥，由2DE CD =，有2BD D D ''=，又2BE EF =，则有//ED FD '，得FD BD ⊥，不妨设1CD DD CD ''===，则2BD ED '==，3BD =。
(完整版)山东省高一数学第一学期期末考试试卷(必修1与必修2)及参考答案
山东省高一数学第一学期期末考试试卷（必修1、必修2）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分）1、若集合}22|{-<>=x x x M 或,}|{m x x N >= ,R N M =Y ,则m 的取值范围是（ ）A ．2-≤mB ．2-<mC ．2->mD ．2-≥m2、幂函数)(x f 的图象过点)21,4(，那么)8(f 的值为（ ） A.42 B. 64 C. 22 D. 641 3、已知直线l 、m 、n 与平面α、β给出下列四个命题：①若m ∥l ，n ∥l ，则m∥n ； ②若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；③若m ∥α，n ∥α，则m∥n ；④若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α其中，假命题的个数是（ ）A 1B 2C 3D 44、若奇函数()x f 在[]3,1上为增函数，且有最小值0，则它在[]1,3--上（ ）A.是减函数，有最小值0B.是增函数，有最小值0C.是减函数，有最大值0D.是增函数，有最大值05、若直线03)1(:1=--+y a ax l 与直线02)32()1(:2=-++-y a x a l 互相垂直，则a 的值是（ ）A.3-B. 1C. 0或23-D. 1或3-6、如图所示，四边形ABCD 中，AD//BC ，AD=AB ，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A —BCD ，则在三棱锥A —BCD 中，下列命题正确的是（ ）A 、平面ABD ⊥平面ABCB 、平面ADC ⊥平面BDCC 、平面ABC ⊥平面BDCD 、平面ADC ⊥平面ABC7、如右图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，A 1B 1=2，AA 1=4，则该几何体的表面积为（ ） A. 6+3 B. 24+3C. 24+23D. 328、点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD ，则PA 与BD 所成角的度数为（ ）A.30°B.45°C.60°D.90°9、已知函数⎩⎨⎧>≤=)0(log )0(3)(2x x x x f x ，那么)]81([f f 的值为（ ） A ． 27 B ．271 C ．27- D ．271- 10、函数 54x x )(2+-=x f 在区间 [0,m]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是（ ）A . ),2[+∞B .[2,4]C .(]2,∞- D.[0,2]11、已知函数y=f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)=2x -2x 则f(x)是（ ）(A)f(x)=x(x-2) (B)f(x)=|x|(x-2)(C)f(x)= |x|(|x|-2)(D)f(x)=x(|x|-2) 12、如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，Ｐ为中截面的中心，则△ＰＡ1Ｃ1在该正方体各个面上的射影可能是（ ）A ．以下四个图形都是正确的B ．只有（1）（4）是正确的C ．只有（1）（2）（4）是正确的D ．只有（2）（3）是正确的一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）．13、函数y ＝－(x －2)x 的递增区间是_______________________________.14、函数12-=x y 的定义域是_______________________________.15、若圆锥的表面积为a 平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为_______________________________.16、经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点，且平行于直线x+2y-3=0的直线方程是_______________________________.三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17、（本小题满分14分）已知△ABC 的三个顶点分别为A （2,3）,B （-1，-2），C （-3，4），求（Ⅰ）BC 边上的中线AD 所在的直线方程；（Ⅱ）△ABC 的面积。
山东省威海市2023-2024学年高一上学期期末考试 数学含答案
高一数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{12345}U =,,,,，{13}A =,，{35}B =,，则()U A B = C A.{24}, B.{5}C.{1245},,, D.{3}2.命题“x Q ∀∈，x A.x Q ∃∈，x + B.x Q ∃∈，x +C.x Q ∃∉，x +D.x Q ∃∉，x +3.函数()f x =的定义域为A.[0)+∞,B.(0)+∞,C.(]0-∞,D.()0-∞,4.已知幂函数2()(214)k f x k k x =--在(0)+∞,上单调递增，则k =A.3- B.3C.5- D.55.甲、乙两校各有2名教师报名支教，若从报名的4名教师中任选2名，则选出的2名教师来自不同学校的概率为A.14B.13C.23D.346.已知343(4a -=，5log 3b =，6log 3c =，则A.a b c <<B.c b a <<C.b c a <<D.b a c<<7.掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件1A ：红骰子的点数为2，2A ：红骰子的点数为3，3A ：两个骰子的点数之和为7，4A ：两个骰子的点数之和为9，则A.1A 与2A 对立 B.3A 与4A 不互斥C.1A 与3A 相互独立D.2A 与4A 相互独立8.已知函数()lg 1f x x =-，若()()f a f b =，且a b <，则2[()](10)f a f b -的最小值为A.3- B.54-C.94-D.134-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年山东省临沂高一上学期期末数学质量测试题(含答案)
2023-2024学年山东省临沂高一上册期末数学质量测试题一、单选题1．已知1sin3α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tanα的值为（）A．4BC．-D．【正确答案】A根据同角三角函数的基本关系求出cosα，tanα；【详解】解：因为1sin3α=，22sin cos1αα+=，所以cos3α=±，因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos3α=-，所以1sin3tancos43ααα==-故选：A2．已知命题:0p x∀>，2log2x x>，则命题p的否定为（）A．0x∀>，2log2x x≤B．00x∃>，002log2x x≤C．00x∃>，002log2x x<D．00x∃≤，002log2x x≤【正确答案】B根据全称命题的否定是特称命题，可得选项．【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题:0p x∀>，2log2x x>，则命题p的否定为“00x∃>，002log2x x≤”，故选：B．3．已知函数()xf x a=（0a>且1a≠）在(0,2)内的值域是2(1,)a，则函数()y f x=的函数大致是（）A ．B．C ．D ．【正确答案】B【详解】试题分析：由题意可知21a>，所以1a>，所以()f x是指数型的增函数.故选B.指数函数的图象与性质.4．若正实数a ，b ，c 满足1b a c c c <<<，则a ，b 的大小关系为（）A ．01a b <<<B ．01b a <<<C ．1b a <<D ．1a b<<【正确答案】A【分析】根据已知可得01c <<，根据指数函数的单调性，即可得出答案.【详解】因为c 是正实数，且1c <，所以01c <<，则函数x y c =单调递减.由1b a c c c <<<，可得10b a c c c c <<<，所以01a b <<<．故选：A.5．若0a >且1a ≠，函数()(),140.52,1x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩，满足对任意的实数12x x ≠都有11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(1,)+∞B ．(1,8)C ．(4,8)D ．[4,8)【正确答案】D【分析】由已知可得函数()f x 在R 上单调递增，根据分段函数的单调性列出不等式组，即可求得实数a 的取值范围.【详解】解：11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ ，∴对任意的实数12x x ≠都有1212()[()()]0x x f x f x -->成立，可知函数()f x 在R 上单调递增，1140.50(40.5)12a a a a >⎧⎪∴->⎨⎪≥-⨯+⎩，解得[4,8)a ∈，故选：D.6．已知1:12p x ≥-，:2q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（）A ．(],4-∞B ．[]1,4C ．(]1,4D ．()1,4【正确答案】C【分析】求出p 、q 中的不等式，根据p 是q 的充分不必要条件可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】解不等式112x ≥-，即131022x x x --=≤--，解得23x <≤，解不等式2x a -<，即22x a -<-<，解得22a x a -<<+，由于p 是q 的充分不必要条件，则(]2,3()2,2a a -+，所以2223a a -≤⎧⎨+>⎩，解得14a <≤.因此，实数a 的取值范围是(]1,4.故选：C.本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了分式不等式和绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于中等题.7．已知函数π()cos()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且当π3x =时，函数()f x 取最小值，若函数()f x 在[,0]a 上单调递减，则a 的最小值是（）A ．π6-B ．5π6-C ．2π3-D ．π3-【正确答案】A【分析】根据最小正周期求出2ω=，根据当π3x =时，函数取最小值，求出π3ϕ=，从而π()cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由[,0]x a ∈得到22,33πππ3x a ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，由单调性列出不等式，求出06π,a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，得到答案.【详解】因为0ω>，所以2π2π2πT ω===，故13πcos(2)ϕ⨯+=-，所以2ππ2π,Z 3k k ϕ+=+∈，解得：ππ,Z k k ϕ=+∈23，因为π||2ϕ<，所以只有当0k =时，π3ϕ=满足要求，故π()cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为[,0]x a ∈，所以22,33πππ3x a ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，故π2,33π0a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭+，解得：06π,a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，故a 的最小值为π6-.故选：A8．质数也叫素数，17世纪法国数学家马林·梅森曾对“21p -”（p 是素数）型素数作过较为系统而深入的研究，因此数学界将“21p -”（p 是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第6个梅森素数为1721M =-，第14个梅森素数为60721N =-，则下列各数中与NM最接近的数为（）（参考数据：lg 20.3010≈）A ．18010B ．17710C ．14110D ．14610【正确答案】B【分析】根据题意，得到6076075901717212==2212N M -≈-，再结合对数的运算公式，即可求解.【详解】由第6个梅森素数为1721M =-，第14个梅森素数为60721N =-，，可得6076075901717212=212N M -≈-，令5902k =，两边同时取对数，则590lg 2lg k =，可得lg 590lg 2k =，又lg 20.3010≈，所以lg 5900.3010177.59k ≈⨯=，17710k ≈与NM最接近的数为17710.故选：B.二、多选题9．下列结论正确的是（）A ．若,a b 为正实数，a b ¹，则3223+a b a b b a +>B ．若,,a b m 为正实数，a b <，则a m ab m b+<+C ．若,a b R ∈，则“0a b >>”是“11a b <”的充分不必要条件D ．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2sin sin x x +的最小值是【正确答案】AC利用作差法可考查选项A 是否正确；利用作差法结合不等式的性质可考查选项B 是否正确；利用不等式的性质可考查选项C 是否正确；利用均值不等式的结论可考查选项D 是否正确.【详解】对于A ，若a ，b 为正实数，a b ¹，()()()233220a b a b ab a b a b +-+=-+>，3322a b a b ab ∴+>+，故A 正确；对于B ，若a ，b ，m 为正实数，a b <，()()0m b a a m a b m b b b m -+-=>++，则a m ab m b+>+，故B 错误；对于C ，若11a b <，则110b aa b ab--=<，不能推出0a b >>，而当0a b >>时，有0>0b a ab -<，，所以0b aab -<成立，即11a b<，所以“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件，故C 正确；对于D ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0sin 1x <<，2sin sin x x +≥=，当且仅当()sin 0,1x =时取等号，故D 不正确.故选：AC.易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10．已知关于x 的方程23xm -=有两个不等实根，则实数m 的取值可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【正确答案】CD【分析】化简方程得23x m =±，利用指数函数的值域，列式求解得出答案.【详解】23xm -= ，23x m ∴-=±，23x m -= 有两个不等实根，即23x m =±有两个不等实根，则3030m m +>⎧⎨->⎩，解得3m >，显然选项A ，B 不满足，选项C ，D 满足.故选：CD.11．定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =+，当[3,5]x ∈时，()2|4|f x x =--，则下列说法正确的是（)A ．ππsin cos 66f f⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎝⎭⎝⎭B ．(sin1)(cos1)f f <C ．2π2πcos sin 33f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．(cos 2)(sin 2)f f >【正确答案】BD【分析】根据函数的周期性可得()f x 在[]1,1-上的解析式以及函数在[0,1]上的单调性.比较自变量的大小，即可根据单调性判断A 、B 项；又易知()f x 在[1,1]-上为偶函数，则根据()()f x f x =，可将[1,0]-上的自变量转化为[0,1]上，进而根据单调性，即可判断C 、D 项.【详解】当[1,1]x ∈-时，则[45]3,x +∈，于是()(2)(4)2||f x f x f x x =+=+=-，当01x ≤≤时，()2f x x =-，所以函数()f x 在[0,1]上单调递减；当10x -≤<时，()2f x x =+，所以函数()f x 在[1,0]-上是增函数.()f x 的定义域[1,1]-关于原点对称，且此时()()22-=--=-=f x x x f x则()f x 在[1,1]-上为偶函数.对于A 项，因为ππ0sincos 166<<<，所以ππsin cos 66f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B 项，因为0cos1sin11<<<，所以(cos1)(sin1)f f >，故B 正确；对于C项，因为2π12π0cossin 1323<==<，所以2π2πcossin 33f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，所以2π2πcos sin 33f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；因为ππ0|cos 2|cos sin |sin 2|144<<=<<，所以(|cos2|)(|sin 2|)f f >，所以(cos 2)(sin 2)f f >，故D 正确．故选：BD.12．已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，21,01()1,121x x x f x x x ⎧-+<≤⎪=⎨>⎪-⎩，下列说法中错误的是（）A ．当121122x x -<<<时，恒有()()12f x f x >B ．若当(0,]x m ∈时，()f x 的最小值为34，则m 的取值范围为17,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．存在实数k ，使函数()()F x f x kx =-有5个不相等的零点D ．若关于x 的方程3()[()]04f x f x a ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦所有实数根之和为0，则34a =-【正确答案】ACD【分析】根据奇函数的定义确定()f x 在(1,0)-上单调性与性质，然后由函数值大小可判断A ，由函数解析式分段求函数值的范围后可判断B ，由直线y kx =与函数()f x 的图象交点个数判断C ，求出3()4f x =的根是17,26，然后确定a 值使()f x a =根的和为53-即可判断D ．【详解】选项A ，()f x 是奇函数，10x -≤<时，22()()[()()1]1f x f x x x x x =--=----+=---213()24x =-+-，在1(,0)2-上递减，且()0f x <，()f x 是奇函数，则(0)0f =，01x <≤时，2213()1()24f x x x x =-+=-+，在1(0,)2上递减，但()0f x >，因此()f x 在11(,)22-上不是增函数，A 错；选项B ，当01x <≤时，2213()1()24f x x x x =-+=-+，13()24f =，因此12m ≥，当1m >时，1()21f x x =-是减函数，由13214x =-得76x =，因此76m ≤，综上有1726m ≤≤，B 正确；选项C ，易知0x =是()F x 的一个零点，由于(1)1f =，y kx =过点(1,1)时，1k =，此时由21y xy x x =⎧⎨=-+⎩得21x x x -+=，2(1)0x -=，121x x ==，即直线y x =与21y x x =-+在点(1,1)处相切，因此1k >时，直线y kx =与21(01)y x x x =-+<<的图象只有一交点，在01k <<时，直线y kx =与1(1)21y x x =>-只有一个交点，从而0k >时，直线y kx =与()F x 的图象有三个交点，而0x >时，()0f x >，因此0k ≤，直线y kx =与()F x 的图象无交点，所以直线y kx =与()F x 的图象不可能是5个交点，即函数()()F x f x kx =-不可能有5个不相等的零点，C 错；选项D ，由上讨论知3()4f x =的解为12x =和76x =，因此若关于x 的方程3()[()]04f x f x a ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦所有实数根之和为0，由()f x 是奇函数知若34a =-，则()f x a =的解是12x =-和76x =-，符合题意，但513(537213f ==⨯-（由此讨论知3()7f x =只有一解），即53()37f -=-，即37a =-时，关于x 的方程3()[()]04f x f x a ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦所有实数根之和也为0，D 错．故选：ACD ．方法点睛：解决分段函数的零点与交点问题，把零点问题转化为直线与函数图象交点问题进行处理，从而利用函数的性质确定出函数解析式，作出函数图象，观察出结论并找到解题思路．三、填空题13．已知弧长为πcm 3的弧所对圆周角为6π，则这条弧所在圆的半径为____________cm ．【正确答案】1【分析】由弧度制公式lrα=求解即可得出答案.【详解】已知弧长为πcm 3的弧所对圆周角为6π，则所对的圆心角为π3，lrα=，313l r ππα∴===，故1.14．已知函数()()22,1log 1,1x ax f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，若()02f f ⎡⎤=⎣⎦，则实数a 的值为_________．先求()03f =，再代入求()3f ，求实数a 的值.【详解】()00223f =+=，()()03log 22a f f f ⎡⎤===⎣⎦，即22a =，又0a >，且1a ≠，所以a =15．若函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为m，函数()(32g x m =+[0,)+∞上是增函数，则a m -的值是____________．【正确答案】3【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，再结合已知进行求解得出a 和m 的值，最后根据()g x 的单调性检验即可得到.【详解】当1a >时，函数()log a f x x =是正实数集上的增函数，而函数()log a f x x =在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，因此有(4)log 42a f ==，解得2a =，所以21log 12m ==-，此时()g x =[)0,∞+上是增函数，符合题意，因此()213a m -=--=；当01a <<时，函数()log a f x x =是正实数集上的减函数，而函数()log a f x x =在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，因此有11log 222a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，a =44m ==-，此时()g x =-在[)0,∞+上是减函数，不符合题意.综上所述，2a =，1m =-，3a m -=.故3.16．若函数()()()sin cos 0f x x x ϕϕ<π=++<的最大值为2，则常数ϕ的值为_______．【正确答案】2π根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得()()f x x θ=+，可得2=，即可解出.【详解】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，因为0ϕπ<<，所以2ϕπ=.故答案为.2π四、解答题17．在①22{|1}1x A x x -=<+，②{||1|2}A x x =-<，③23{|log }1xA x y x -==+这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题.设全集U =R ，______，22{|0}.B x x x a a =++-<(1)若2a =，求()()U UC A C B ；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)1{}1|x x x ≤-≥或(2)(][),34,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据除法不等式，绝对值不等式，对数函数的定义域即可分别求出三种情形下的集合A ；（2）对集合B 中不等式进行因式分解，再根据充分必要条件和集合包含关系即可求解.【详解】（1）若选①：222213{|1}{|0}{|0}{|13}1111x x x x A x x x x x x x x x --+-=<=-<=<=-<<++++，()22{|0}{|()10}{|(2)(1)0}B x x x a a x x a x a x x x ⎡⎤=++-<=++-<=+-<⎣⎦，所以{|2<1}B x x =-<，{|13}U C A x x x =≤-≥或，{|21}U C B x x x =≤-≥或，故()()U U C A C B ⋃=1{}1|x x x ≤-≥或.若选②：{|12}{|212}{|13}A x x x x x x =-<=-<-<=-<<()22{|0}{|()10}{|(2)(1)0}B x x x a a x x a x a x x x ⎡⎤=++-<=++-<=+-<⎣⎦，所以{|2<1}B x x =-<，{|13}U C A x x x =≤-≥或，{|21}U C B x x x =≤-≥或，故()()U U C A C B ⋃=1{}1|x x x ≤-≥或.若选③：()(){}233{|log }031011x x A x y x x x x x x ⎧⎫--====-+=⎨⎬++⎩⎭{|13}x x -<<，()22{|0}{|()10}{|(2)(1)0}B x x x a a x x a x a x x x ⎡⎤=++-<=++-<=+-<⎣⎦，所以{|2<1}B x x =-<，{|13}U C A x x x =≤-≥或，{|21}U C B x x x =≤-≥或，故()()U U C A C B ⋃=1{}1|x x x ≤-≥或.（2）由（1）知{|13}A x x =-<<，()22{|0}{|()10}B x x x a a x x a x a ⎡⎤=++-<=++-<⎣⎦，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，（i ）若(1)a a -<--，即12a >，此时{|(1)}B x a x a =-<<--，所以1,3(1)aa -≥-⎧⎨≤--⎩等号不同时取得，解得4a ≥.故4a ≥.（ii ）若(1)a a -=--，则B =∅，不合题意舍去；（iii ）若(1)a a ->--，即12a <，此时{|(1)}B x a x a =--<<-，1(1),3a a -≥--⎧⎨≤-⎩等号不同时取得，解得3a ≤-.综上所述，a 的取值范围是(][),34,-∞-⋃+∞.18．（1）已知sin 2cos 0αα-=，求22sin cos sin 3sin cos 2cos αααααα--的值；（2）已知4sin()5απ+=，且sin cos 0αα<，求()()()2sin 3tan 34cos παπααπ----的值.【正确答案】（1）12-；（2）73.【分析】（1）先求出tan 2α=，再进行弦化切代入即可求解；（2）先求出4sin 5α=-，3cos 5α=，得到4tan 3α=-，再进行诱导公式和弦化切变换，代入即可求解.【详解】（1）由sin 2cos 0αα-=知tan 2α=∴原式=2tan 21tan 3tan 24622ααα==-----（2） 4sin()5απ+=∴4sin 05α=-<又sin cos 0αα<∴cos 0α>∴3cos 5α==∴4tan 3α=-原式=()()2sin 3tan 4cos απαπα---=2sin 3tan 4cos ααα+-=44237533345⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⨯19．已知函数()323log 1x f x x -=-．(1)求函数()f x 的解析式及定义域；(2)求函数()f x 在()(),00,2x ∈-∞⋃时的值域．【正确答案】(1)()()12031xf x x =-≠-，()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U (2)()15,3,8⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用换元法求得函数的解析式，根据函数定义域的求法，求得函数的定义域.（2）结合3x 的取值范围来求得()f x 在()(),00,2x ∈-∞⋃时的值域．【详解】（1）对于3log x ，需0x >；对231x x --，需1x ≠；则()()3log ,00,x ∈-∞⋃+∞，令3log t x =，则0t ≠，3t x =，()()231123312313131tt t t t f t ⋅--⋅-===----，所以()()12031x f x x =-≠-，即()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U .（2）当0x <时，11031,1310,1,13131x xxx <<-<-<<-->--，12331x ->-.当02x <<时，1111139,0318,,318318x xx x <<<-<>-<---，1115223188x-<-=-.所以()f x 在()(),00,2x ∈-∞⋃时的值域为()15,3,8⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.20．已知函数()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.【正确答案】（1）最小正周期为π，单调减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）max ()f x =，此时8x π=，min ()1f x =-，此时2x π=.【分析】（1）直接利用周期公式计算周期，再利用整体代入法求余弦型函数的单调减区间即可；（2）先求出24x π-的取值范围，再利用余弦函数的性质求最值及取最值的条件即可.【详解】解：（1）()f x 的最小正周期22||2T πππω===.令2224k x k ππππ≤-≤+，解得588k x k ππππ+≤≤+，Z k ∈，此时时，()f x 单调递减，()f x ∴的单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）,82x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则32,424x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故cos 2,142x π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()24f x x π⎛⎫⎡=-∈- ⎪⎣⎝⎭，max ()f x ∴=cos 214x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即204x π-=，即8x π=；min ()1f x =-，此时cos 242x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即3244x ππ-=，即2x π=.方法点睛：解决三角函数()cos y A x ωϕ=+的图象性质，通常利用余弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.21．2022年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度(y 单位：毫克/立方米)随着时间(x 单位：小时)变化的关系如下：当04x 时，1618y x =--；当410x <时，15.2y x =-若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用.(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒(14)a a 个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a 的最小值.(精确到0.1取1.4)【正确答案】(1)8(2)1.6【分析】（1）根据喷洒4个单位的净化剂后浓度为()644,048202,410x f x x x x ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩，由()4f x ≥求解；（2）得到从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤小时后，浓度为()()116251286g x x a x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，化简利用基本不等式求解.【详解】（1）解：因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以其浓度为()644,0448202,410x f x y x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩，当04x ≤≤时，64448x-≥-，解得0x ≥，此时04x ≤≤，当410x <≤时，2024x -≥，解得8x ≤，此时48x <≤，综上08x ≤≤，所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时；（2）设从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤小时后，其浓度为()()116251286g x x a x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，1616101441414a ax a x a x x=-+-=-+----，因为[][]144,8,1,4x a -∈∈，所以161444414a x a a a x -+--≥--=---，当且仅当161414ax x-=-，即14x =-时，等号成立；所以其最小值为4a --，由44a -≥，解得244a -≤，所以a 的最小值为24 1.6-≈.22．我们知道，指数函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）与对数函数()log a g x x =（0a >，且1a ≠）互为反函数.已知函数()2xf x =，其反函数为()g x .(1)求函数()()()223F x g x tg x =-+⎡⎤⎣⎦，[]2,8x ∈的最小值；(2)对于函数()x ϕ，若定义域内存在实数0x ，满足()()00x x ϕϕ-=-，则称()x ϕ为“L 函数”.已知函数()()()223,1,3,1f x mf x x h x x ⎧⎡⎤--≥-⎪⎣⎦=⎨-<-⎪⎩为其定义域上的“L 函数”，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)答案见解析(2)[)1,∞-+【分析】（1）利用换元法令2log ,[1,3]p x p =∈，可得所求为关于p 的二次函数，根据二次函数的性质，分析讨论，即可得答案.（2）根据题意，分别讨论在[1,1]-、(,1)-∞-和(1,)+∞上存在实数0x ，满足题意，根据所给方程，代入计算，结合函数单调性，分析即可得答案.【详解】（1）由题意得2()log g x x=所以()()()()222223log 2log 3F x g x tg x xt x =-+=-+⎡⎤⎣⎦，[]2,8x ∈，令2log ,[1,3]p x p =∈，设2()23,[1,3]M p p tp p =-+∈则()M p 为开口向上，对称轴为p t =的抛物线，当1t ≤时，()M p 在[1,3]上为单调递增函数，所以()M p 的最小值为(1)42M t =-；当13t <<时，()M p 在(1,)t 上单调递减，在(,3)t 上单调递增，所以()M p 的最小值为2()3M t t =-；当3t ≥时，()M p 在[1,3]上为单调递减函数，所以()M p 的最小值为(3)126M t =-；综上，当1t ≤时，()F x 的最小值为42t -，当13t <<时，()F x 的最小值为23t -，当3t ≥时，()F x 的最小值为126t-（2）①设在[1,1]-上存在0x ，满足()()00x x ϕϕ-=-，则0000114234230x x x x m m +--+-⋅-+-⋅-=，令0022x x t -=+，则2t ≥=，当且仅当00x =时取等号，又0[1,1]x ∈-，所以115222t -≤+=，即52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以00001124234232260x x x x m m t mt +--+-⋅-+-⋅-=---=，所以28471,2220t t m t t -⎡⎤==---⎢⎥⎣⎦所以71,20m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦②设在(,1)-∞-存在0x ，满足()()00x x ϕϕ-=-，则00134230x x m --+-+-⋅-=，即001232x x m --=-⋅有解，因为1232x x y --=-⋅在(,1)-∞-上单调递减，所以12m >-，同理当在(1,)+∞存在0x ，满足()()00x x ϕϕ-=-时，解得12m >-，所以实数m 的取值范围[)1,∞-+解题的关键是理解新定义，并根据所给定义，代入计算，结合函数单调性及函数存在性思想，进行求解，属难题。
山东省高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ）． {}24,R A x x x =<≤∈{}24,Z B x x x =≤<∈A B = A ． B ．C ．D ．[)2,4()2,4{}2,3{}3【答案】D【分析】直接利用交集的概念求解即可.【详解】，又，{}{}24,Z 2,3B x x x =≤<∈={}24,R A x x x =<≤∈. {}3A B ∴=I 故选：D. 2．“”是“”的（ ）． 39x >112x <A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先分别解出指数不等式和分式不等式，再利用充分性和必要性的概念得答案. 【详解】，或， 392x x >⇔>1102x x <⇔<2x >可以推出或，2x >0x <2x >当或不能推出， 0x <2x >2x >故“”是“”的充分不必要条件. 39x >112x <故选：A.3．已知是定义域为的偶函数，则（ ）．()21f x ax bx =-+[],1a a +2b a a -=A ．0 B ．CD ．3414-【答案】B【分析】根据偶函数的性质列方程求出，代入计算即可.,a b 2b a a -【详解】由是定义域为的偶函数得()21f x ax bx =-+[],1a a +，解得， 1002a a ba++=⎧⎪⎨-=⎪⎩120a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩.022113224ba a ⎛⎫⎛⎫∴-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.4．在使用二分法计算函数的零点的近似解时，现已知其所在区间为，如果()222x f x x -=+-()1,2要求近似解的精确度为0.1，则接下来至少需要计算（ ）次区间中点的函数值． A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】根据二分法的性质可知，开区间的长度等于1，每经过一次二分法计算，区间长度为()1,2原来的一半，经过次二分法计算后，区间长度变为，根据精确度即可求得关于的不等式，从n 12n n 而得到答案.【详解】开区间的长度等于1，每经过一次二分法计算，区间长度为原来的一半， ()1,2经过次二分法计算后，区间长度变为， n 12n又使用二分法计算函数的在区间上零点的近似解时，要求近似解的精确度为()222x f x x -=+-()1,20.1， 所以，则，又，所以，又，故， 10.12n ≤12log 0.1n ≥110.1168<<()12log 0.13,4∈*N n ∈4n ≥所以接下来至少需要计算你次区间中点的函数值． 4故选：C. 5．函数的图像大致为（ ）． ()()2022x x x f x x --=≠+A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据函数奇偶性和区间内的值域，用排除法得到图像. 【详解】函数，，所以函数为偶函()()2022x xx f x x --=≠+()()222222x x x x x x f x f x ------===++()f x 数，图像关于轴对称，排除AB 选项； y 当时，，排除D 选项；2x >()0f x >故选：C6．已知函数，则不等式的解集为（ ）． ()211,022,0xx f x x x ⎧⎛⎫+<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩()()22134f a f a ->+A ． B ．或 512-<<a 1a <-52a >C ．D ．()5,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据已知得出函数在定义域上单调递减，即可根据单调性解不等()211,022,0xx f x x x ⎧⎛⎫+<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩R 式得出答案.【详解】函数中， ()211,022,0xx f x x x ⎧⎛⎫+<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩在上单调递减，在上单调递减，且， 112xy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0x <22y x =-0x ≥0211202⎛⎫+=- ⎪⎝⎭则函数在定义域上单调递减， ()211,022,0xx f x x x ⎧⎛⎫+<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩R ， ()()22134f a f a ->+ ，解得：， 22134a a ∴-<+512x -<<即不等式的解集为.()()22134f a f a ->+51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：D.7．七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为的正方形木板制作4dm 了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出3个，则这3个三角形的面积之和不大于另外2个三角形面积之和的概率是（ ）．A ．B ．C ．D ．1101531025【答案】C【分析】分别计算出五个三角板的面积，且得出总面积为，5个三角形中任取出3个的取法212dm 有10种，3个三角形的面积之和不大于另外2个三角形面积之和即是3个三角形的面积之和不大于，由此得出对应取法种数，即可得出答案.26dm 【详解】五个等腰三角形的面积由大到小分别为：1号板，2号板，3号板，4号24dm 24dm 22dm 板，5号板，21dm 21dm 5个三角形中任取出3个的取法有种，其中3个三角形的面积之和不大于另外2个三角形面35C 10=积之和的取法有：145、245、345三种取法，故若该同学从5个三角形中任取出3个，则这3个三角形的面积之和不大于另外2个三角形面积之和的概率是. 310故选：C8．对于函数和，设，，若存在，，使得()f x ()g x (){}0x f x α∈=(){}0x g x β∈=αβ1αβ-≤，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与互为()f x ()g x ()()ln 12f x x x =-+-()24=-+g x x ax “零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．B ． 134,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]4,5C ．D ．13,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦[)4,+∞【答案】B【分析】求出的零点，得出的零点的范围，根据二次函数的性质列不等式组得出a 的范()f x ()g x 围．【详解】，函数定义域为，()()ln 12f x x x =-+-()1,+∞任取，有，，，121x x <<12011x x <-<-()()12ln 1ln 1x x -<-1222x x -<-则，即，所以在上单调递增， ()()1122ln 12ln 12x x x x -+-<-+-()()12f x f x <()f x ()1,+∞由，∴只有一个零点，()20f =()f x 2x =函数与互为“零点相邻函数”，则在上存在零点． ()f x ()g x ()24=-+g x x ax []13，，解得或2160a ∆=-≥4a ≥4a ≤-（1）当，即 ，存在唯一零点，时， 符合题意；时，Δ0=4a =±()g x 4a =[]21,3x =∈4a =-不符合题意；[]21,3x =-∉（2）当，即 或 ，，；，； 0∆>4a >4a <-()10g =5a =()03g =133a =若在 上只有1个零点，则， ()g x ()13，()()130g g <即，解得． ()()51330a a --<1353a <<若在 上有两个零点，则 ，解得， ()g x ()13，(1)50132(3)1330g a ag a =->⎧⎪⎪<<⎨⎪=->⎪⎩1343a <<综上，实数a 的取值范围是. []4,5故选：B【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解9．若，使得成立是假命题，则实数可能取值是（ ）．01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦200310x x λ-+<λA ．B ．C ．4 D ．5【答案】B【分析】由题意得到，成立是真命题，转化为在上恒1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦2310x x λ-+≥13x x λ+≥1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立，由基本不等式得到.13x x+≥λ≤【详解】由题意得：，成立是真命题，1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦2310x x λ-+≥故在上恒成立，13x x λ+≥1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由基本不等式得：，13y x x =+≥=13x x =即时，等号成立， 1,22x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦故λ≤故选：B.二、多选题10．已知一组不全相等的数据的平均数为，若在这组数据中添加一个数据，得到一12,n x x x 0x 0x 组新数据，则（ ） 012,,n x x x x A ．这两组数据的平均数相同 B ．这两组数据的中位数相同 C ．这两组数据的极差相同 D ．这两组数据的标准差相同【答案】AC【分析】根据平均数的计算即可判断A 正确；举例数据判断B ；根据极差的计算方法1,2,3,11,14,15说明判断C; 根据标准差与方差的关系及方差的计算公式判断D. 【详解】对于A 选项，，，，120nx x x x n+++= 120n x x x nx ∴+++= ，平均数不变，所以A 选项正确；01200011n x x x x x nx x n n +++++==++ 对于B 选项，取一组数据，中位数为7，平均数为， 1,2,3,11,14,15233加上一个，中位数为，所以B 选项错误； 2332373≠对于C 选项，数据不全相等时，既不是最大值也不是最小值，极差不变，所以C 选项正确；0x 对于D 选项，原来数据的方差，()22011n i i s x x n ==-∑后来数据的方差，因为方差不相等，所以()()()2222210000111111n n i i i i s x x x x x x s n n ==⎡⎤=-+-=-≠⎢⎥++⎣⎦∑∑标准差也不相同，所以D 选项错误. 故选：AC.11．设，，，以下四个命题中正确的是（ ）． ,x y R +∈S x y =+P xy =A ．若为定值，则有最大值 P m S B ．若，则有最大值4 S P =P C ．若，则有最小值4S P =S D ．若总成立，则的取值范围为 2S kP ≥k 4k ≤【答案】CD【分析】对A ，利用均值不等式判断；对B ，C 构造不等式，解不等求得最值，判断是否正确；对D ，分离变量，转化为恒成立，再用基本不等式求的最小值，求得的范围，得到是否正2S k P ≤2S P k 确.【详解】为定值时，应有最小值，∴A 不正确； P m S当时，S P =x y xy xy +=⇒≥，∴B 不正确；min 244xy P ⇒≥⇒≥⇒=，2min ()444x y S P x y xy x y S +=⇒+=≤⇒+≥⇒=当且仅当，等号成立，∴C 正确；2x y ==由，又， 22S S kP k P⇒≤≥2222224S x y xy xy xy P xy xy +++=≥=∴，∴，∴D 正确． 2min 4S P ⎛⎫= ⎪⎝⎭4k ≤故选：CD.【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，构造不等式求最值，属于中档题.12．我们把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：（1）对任意的[)0,∞+()f x Ω，总有；（2）若，，则有成立.下列判断正确[)0,x ∈+∞()0f x ≥0x ≥0y ≥()()()f x y f x f y +≥+的是（ ）A ．若为“函数”，则()f x Ω()00f =B ．函数在上是“函数”()0,1,x Qg x x Q ∈⎧=⎨∉⎩[)0,∞+ΩC ．函数在上是“函数”()2g x x x =+[)0,∞+ΩD ．若为“函数”，，则 ()f x Ω120x x >≥()()12f x f x ≥【答案】ACD【分析】根据“函数”的定义，使用赋值法可判断AB ；按照“函数”的定义直接判断可知C ；利ΩΩ用定义作差，可判断D.()()()()()121222f x f x fx x x f x -=-+-【详解】A 选项，由（1）知，由（2）得时，，即，()00f ≥0x y ==()()()000f f f ≥+()00f ≤∴，故A 正确；()00f =B 选项，显然满足（1），若x ，，则，，若x ，()g x y ∈Q ()0g x y +=()()000g x g y +=+=y ∉Q ，设，则，，与（2）不符，故B 不正确； x y ()1g x y +=()()112g x g y +=+=C 选项，，∵，∴，满足（1），()()21g x x x x x =+=+[)0,x ∈+∞()0g x ≥，满足（2），故C 正确；()()()()22220g x y g x g y x y x y x x y y xy +--=+++----=≥D 选项，∵， 120x x >≥∴()()()()()121222f x f x fx x x f x -=-+-，()()()()122212f x x f x f x f x x ≥-+-=-∵，∴，∴，故D 正确. 120x x ->()120f x x -≥()()12f x f x ≥故选：ACD.三、填空题13．幂函数在区间上单调递增，则实数的值为______．()()222mf x m m x =--()0,∞+m 【答案】3【分析】根据幂函数的定义与单调性可得出关于的等式与不等式，即可解得实数的值.m m 【详解】因为幂函数在区间上单调递增，则，解得()()222mf x m m x =--()0,∞+22210m m m ⎧--=⎨>⎩.3m =故答案为：.314．函数的单调递增区间为______()2lg 28y x x =--【答案】()4,+∞【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数单调性分析求解. 【详解】令，解得或，2280x x -->>4x <2x -故函数的定义域为.()2lg 28y x x =--()(),24,-∞-+∞ ∵在R 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，lg y u =228u x x =--(),2-∞-()4,+∞∴在上单调递减，在上单调递增，()2lg 28y x x =--(),2-∞-()4,+∞故函数的单调递增区间为.()2lg 28y x x =--()4,+∞故答案为：.()4,+∞15．已知，若，则___________.1a b >>5log log ,2b aa b b a a b +==2+a b =【答案】8【分析】利用指数函数、对数函数的性质、运算法则直接求解． 【详解】解：由，且 5log log 2a b b a +=log log 1a b b a ⋅=所以是方程的两根， log ,log a b b a 25102x x -+=解得或， log 2b a =1log 2b a =又，所以，即，又 1a b >>log 2b a =2a b =b a a b =从而，且，则，． 22b a b b a b =⇒=2a b =2b =4a =所以. 28a b +=故答案为：8.16．已知函数，关于x 的方程恰有2个不同实数()11f x x x x x+--=()()()240f x a f x a -+=∈R 解，则a 的值为__________． 【答案】4【分析】由已知可得有两组解，分析函数的性质，作函数的图象，结合图()240t f x t at ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩()f x ()f x 象确定2必须为方程（）的一个解，由此确定的值. 240t at -+=R a ∈a 【详解】令，()t f x =则方程可化为()()()240f x a f x a -+=∈R 240t at -+=()R a ∈因为方程恰有2个不同实数解，()()()240f x a f x a -+=∈R 所以有两组解，()240t f x t at ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩因为， 11()()f x x x f x x x-=-+---=--所以函数为偶函数， ()f x 当时，； 1x >2()f x x=当时，.01x <≤()2f x x =所以当时，，又函数为偶函数， 0x >()0f x >()f x 所以， ()()f x f x =作函数的图象如下，()f x所以当时，没有解， 1t >()t f x =当时，有两个解， 2t =()t f x =当时，有四个解， 02t <<()t f x =当时，有没有解，0t ≤()t f x =因为有两组解，()240t f x t at ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩2必须为方程（）的一个解， 240t at -+=R a ∈所以，故,4420a -+=4a =当时，由可得4a =()()2440f x f x -+=()2f x =所以或，满足条件； 1x ==1x -所以， 4a =故答案为：4.四、解答题17．已知集合，或． {}2A x m x m =<<{5B x x =≤-}4x >(1)当时，求；3m =()A B ⋃R ð(2)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在（2）问中的横线A B ⊆R ðA B ⋂=∅()A B A =R ð上，并求解，若__________，求实数的取值范围． m （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)(){}56A B x x ⋃=-<<R ð(2)条件选择见解析，2m ≤【分析】（1）当时，利用补集和并集可求得集合；3m =()A B ⋃R ð（2）若选①，分、两种情况讨论，根据可得出关于的不等式组，综合可A =∅A ≠∅A B ⊆R ðm 得出实数的取值范围；m 若选②，分、两种情况讨论，在时直接验证即可，在时，根A =∅A ≠∅A =∅A B ⋂=∅A ≠∅据可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围；A B ⋂=∅m m 若选③，分析可得，同①.A B ⊆R ð【详解】（1）解：当时，，或，3m ={}36A x x =<<{5B x x =≤-}4x >所以，，因此，.{}54B x x =-<≤R ð(){}56A B x x ⋃=-<<R ð（2）解：若选①，当时，则时，即当时，成立，A =∅2m m ≥0m ≤AB ⊆R ð当时，即当时，即当时， A ≠∅2m m <0m >由可得，解得，此时. A B ⊆R ð524m m ≥-⎧⎨≤⎩52m -≤≤02m <≤综上，；2m ≤若选②，当时，则时，即当时，成立，A =∅2m m ≥0m ≤AB ⋂=∅当时，即当时，即当时，A ≠∅2m m <0m >由可得，解得，此时. AB ⋂=∅524m m ≥-⎧⎨≤⎩52m -≤≤02m <≤综上，；2m ≤若选③，由可得，()A B A =R ð()A B ⊆R ð当时，则时，即当时，成立，A =∅2m m ≥0m ≤AB ⊆R ð当时，即当时，即当时，A ≠∅2m m <0m >由可得，解得，此时. AB ⊆R ð524m m ≥-⎧⎨≤⎩52m -≤≤02m <≤综上，.2m ≤18．已知定义域为R 的函数（a 为常数）是奇函数． ()221x x a f x -+=+(1)求实数a 的值，并用定义证明的单调性；()f x (2)求不等式的解集．()()22210f x x f x -+-<【答案】(1)；单调性的证明见解析1a =(2)()11,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，【分析】（1）利用奇函数的定义计算可得的值，再任取，通过计算()()0f x f x +-=a 12x x >的正负可得单调性；()()12f x f x -（2）先利用奇函数将不等式变形为，再利用单调性去掉，然后解二次不等()()2122f x x x f -<-f 式即可.【详解】（1）函数（a 为常数）是奇函数， ()221x x a f x -+=+， ()()()1122221202121211212x x x x x x x x x xa a a a a a f x f x ---+-⋅-+-+-+-+⋅∴+-=+=+==+++++，得，10a ∴-=1a =， ()2121x x f x -+∴=+， ()2121x f x ∴=-+任取，12x x >则， ()()()()()21121212222221121212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，，即，12x x > 12220x x ∴>>2121220,210,210x x x x -<+>+>，即，()()120f x f x ∴-<()()12f x f x <为上的单调递减函数；()f x \R （2）由（1）得，()()()21221f x x f x f x <-=---，2122x x x ->-∴解得或 12x <1x >即不等式的解集为.()()22210f x x f x -+-<()11,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，19．新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权．新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次历史测试成绩（满分100分）按照，，，，分成5组，制成如图所示的频[)0,20[)20,40[)40,60[)60,80[]80,100率分布直方图．(1)求图中a 的值并估计这100名学生本次历史测试成绩的中位数．(2)据调查，本次历史测试成绩不低于60分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考历史科目．按分层抽样的方法从测试成绩在，的学生中选取5人，再[)0,20[]80,100从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率．【答案】(1)；0.00751603(2)910【分析】（1）根据和频率总和为1计算出a 的值；频率分布直方图中中位数左右=⨯频率组距频率组距两边的直方图面积相等都为0.5，由此列式即可计算出中位数；（2）根据频率分布直方图计算出成绩在，的学生频数，根据分层抽样规则计算出对[)0,20[]80,100应区间人数，最后列式计算或用列举法即可得出答案.【详解】（1），解得()0.0050.010.0150.0125201a ++++⨯=0.0075a =设中位数为x ，因为学生成绩在的频率为，在的频率为[)0,40()200.0050.010.30.5⨯+=<[)0,60()200.0050.010.0150.60.5⨯++=>所以中位数满足等式，解得 ()0.005200.01200.015400.5x ⨯+⨯+⨯-=1603x =故这100名学生本次历史测试成绩的中位数为. 1603（2）成绩在的频数为[)0,200.0052010010⨯⨯=成绩在的频数为[]80,1000.00752010015⨯⨯=按分层抽样的方法选取5人，则成绩在的学生被抽取人，在的学生被抽取[)0,20105225⨯=[]80,100人 155325⨯=从这5人中任意选取2人，都不选考历史科目的概率为，故这2人中至少有1人高考选考2225C 1C 10=历史科目的概率为. 1911010P =-=20．已知函数．()2x f x =(1)设，求函数的值域；()()()2F x f x f x =+()F x (2)函数的图像与函数的图像关于对称，把函数的图像向上平移一个单位长度()h x ()f x y x =()h x 得到函数的图像，对任意的，恒成立，求实数m 的取值范()g x 1,28x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()260m x g g x --≤⎡⎤⎣⎦围．【答案】(1)()0,∞+(2)[]1,1-【分析】（1）根据函数解析式，由指数函数的值域求函数的值域；()F x （2）根据对称和平移，得到函数的解析式，原不等式转化为二次函数在区间内小于等于0恒()g x 成立问题，结合二次函数的图像与性质求解.【详解】（1），，()2x f x =()()()2222x x F x f x f x ==++由，， 的值域为.20x >220x >()F x ()0,∞+（2），函数的图像与函数的图像关于对称，则，()2x f x =()h x ()f x y x =()2log h x x =函数的图像向上平移一个单位长度得到函数的图像，则，()h x ()g x ()2log 1g x x =+当，有，则，令， 1,28x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[]2log 3,1x ∈-()[]2,2g x ∈-()t x g =任意的，恒成立，即任意的，恒成立， 1,28x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()260m x g g x --≤⎡⎤⎣⎦[]2,2t ∈-260t mt --≤设，则有，解得，实数m 的取值范围为. ()26t t mt ϕ=--()()2426024260m m ϕϕ⎧-=+-≤⎪⎨=--≤⎪⎩11m -≤≤[]1,1-21．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕.该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长.对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价P (x )（元/套）与时间x （被调查的一个月内的第x 天）的函数关系近似满足.该款冰雪运动装备的日销售量Q (x )（套）与时间x 的部分()2000P x =0k >数据如下表所示： x3 8 15 24 Q （x ）（套）12 13 14 15已知第24天该商品的日销售收入为32400元.(1)求k 的值；(2)给出以下两种函数模型：①；②，请你依据上表中的数据，从()x Q x ta b =+()Q x n =以上两种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来描述该商品的日销售量Q （x ）与时间x 的关系，说明你选择的理由.根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（元）在哪一天达到最低.()(130,N )f x x x +≤≤∈【答案】(1)；800k =(2)②，理由见解析；第3天达到最低.【分析】（1）将即可得出答案； ()24,2000x P x ==()1532400P x =（2）根据表中数据结合三个模型应选模型②，将，代入模型②，求对应模型解析()3,12()8,13式，检验即可得出结论，再根据结合基本不等式即可得出答案.()()()f x Q x P x =⋅【详解】（1）由题意，得，解得； 152********⎛⨯= ⎝800k =（2）表格中对应的数据递增速度不符合指数模型，排除模型①．()Q x 对于模型②，将，代入②，，解得， ()3,12()8,13212313m n m n +=⎧⎨+=⎩110m n =⎧⎨=⎩此时，经验证，均满足，故选模型②， ()10Q x =()15,14()24,15()()())10200020800f x Q x P x ⎛=⋅==+ ⎝，20800208002400028800≥+=+⨯=当且仅当时等号成立，故日销售收入在第3天达到最低． 3x =22．已知函数3()log f x x =(1)设函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式；()g x R 0x >()()g x f x =()g x (2)已知集合(){}239=3log 20log +30A x x x -≤①求集合； A ②当时，函数的最小值为，求实数的值． x A ∈()39a x x h x f f ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2-a 【答案】(1) ()()33log ,>0=0,=0log ,<0x x g x x x x --⎧⎪⎨⎪⎩(2)①；②的值为5A =a 2-【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可；（2）①由题知解得，再解对数不等式即可得答案； ()()333log 1log 30x x --≤31log 33x ≤≤②由题知，进而结合①还原，转化为求()()233log (2)log 2h x x a x a =-++，的最小值问题，再分类讨论求解即可. ()222(2)24a a m t t +-⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【详解】（1）解：根据题意，当时，，0x >3()log g x x =当时，，则，0x <0x ->3()log ()g x x -=-因为函数是定义在上的奇函数，()g x R 所以，，()00g =3()()log ()g x g x x =--=--所以， ()()33log ,>0=0,=0log ,<0x x g x x x x --⎧⎪⎨⎪⎩（2）解：①，即 ()2393log 20log 30x x -+≤()2393log 10log 30x x -+≤所以， ()()333log 1log 30x x --≤所以， 31log 33x ≤≤27x ≤≤所以，27A ⎤=⎦② ()()()2333333()log log log log 2log (2)log 239a x x h x x a x x a x a ⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由①可得 31log ,33t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦所以，函数等价转化为，， ()h x ()222(2)24a a m t t +-⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦下面分三种情况讨论求解： 当，即，在上是增函数，所以，，2123a +≤43a ≤-()t ϕ1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦min min 155()()2339h x t a ϕϕ⎛⎫===-=- ⎪⎝⎭解得，与矛盾，舍； 1315a =-43a ≤-当，即时，在上是减函数，所以，解得232a +≥4a ≥()t ϕ1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦min min ()()(3)32h x t a ϕϕ===-=-，满足题意；=5a当，即时，，解得12332a +<<443a -<<2min min (2)()()24a h x t ϕ-==-=-2a =-2a =+（舍）综上：的值为或5 a 2-。
山东省济南市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(解析版)
因为 ， ，所以 ，故B正确；
因为 的最大值为 ，故C正确；
因为 的最小正周期为 ，故D正确.
故选：BCD
10.若 ，则下列不等式成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由不等式性质可以判断A正确，B错误，利用指数函数和对数函数的单调性可以判断CD正确.
综上所述： 或 .
故选：AC
12.已知函数 定义域为 ，且函数图象连续不间断，假如存在正实数 ，使得对于任意的 ， 恒成立，称函数 满足性质 .则下列说法正确的是（）
A.若 满足性质 ，且 ，则
B.若 ，则存在唯一 正数 ，使得函数 满足性质
C.若 ，则存在唯一的正数 ，使得函数 满足性质
D.若函数 满足性质 ，则函数 必存在零点
则 ， ，所以 ，
则 .
故答案为： .
15.已知函数 ，则 的值为______.
【答案】5
【解析】
【分析】利用分段函数解析式代入求值即可.
【详解】函数 ， ， .
故答案为：5
16.已知函数 定义域为 ， ，对任意的 ，当 时，有 （e是自然对数的底）.若 ，则实数a的取值范围是______.
【答案】
由 的面积为2，得 ，即 .
所以 ，
又 ，故 ，
即 ，解得 ；
【小问2详解】
由题意 是锐角，则 ，
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 的最小值为16.
'eeb是2022年卡塔尔世界杯足球赛吉祥物，该吉祥物具有非常鲜明的民族特征，阿拉伯语意为“高超的球员”，某中国企业可以生产世界杯吉祥物La'eeb，根据市场调查与预测，投资成本x（千万）与利润y（千万）的关系如下表
山东省日照市2023-2024学年高一上学期期末校际联合考试数学试题
间
x
（单位：天）的函数关系近似满足
P
(
x
)
=
2
+
1 x
，该商品的日销售量
Q
(
x)
（单位：
个）与时间 x 部分数据如下表所示：
x
5 10 15 20 25 30
（天）
Q ( x) 205 210 215 220 215 210
（个）
(1)给出以下三种函数模型：① Q ( x) = ax + b ，② Q ( x) = a x - 20 + b ，③
若命题 p ：“ "x > 1， x2 -1 > 0 ”，则 Øp 为“ $x > 1， x2 -1 £ 0 ”， 故选：C. 3．A 【分析】分析给定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得.
【详解】函数 f (x) = 2x + 3x - 4 在 R 上单调递增，而 f (0) = -3 < 0, f (1) = 1 > 0 ，
【详解】设试验任务不成功的的概率是
Q ( x) = ax + b + c ，请你根据上表中的数据，从中选择最合理的一种函数模型来描述
该商品的日销售量 Q ( x) 与时间 x 的关系，并求出该函数的解析式；
(2)求该商品的日销售总收入T ( x)(1 £ x £ 30, x Î N+ ) （单位：元）的最小值（注：日销
售总收入＝日销售价格×日销售量）．
所有零点的乘积为
1，则实数
a 的取值范围为（ ）
A． ( 2, 3)
B．(0, 2]U (3, +¥) C．(3, +¥)
D．[1, 2]U (3, +¥)
山东省高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知全集，集合，，则（ ） {}1,2,3,4,5U ={}3,4A ={}2,4B =()U A B = ðA ． B ． C ． D ．{}2,3,4{}1,3,4,5{}1,3,5{}1,2,3,4,5【答案】B【分析】先求出，进而求出. {}1,3,5U B =ð()U A B ⋃ð【详解】，故 {}1,3,5U B =ð()U A B = ð{}1,3,4,5故选：B 2．函数） y =A ． B ．C ．D ．[]0,4(]0,4[)0,4()0,4【答案】D【分析】根据对数的真数部分大于零，分母不等于零，被开方数不小于零列不等式求解. 【详解】由已知，解得，4000x x ⎧->⎪≥⎨≠04x<<即函数y =()0,4故选：D.3．下列各式正确的是（ ） AB ．CD ．2=-=34()x y =+2122n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据幂运算的规则逐项分析即可. 【详解】对于A ，正确；2==-对于B ， ，错误；==对于C ，错误；()()133344x yx y =+≠+对于D ， ，错误；222n n m m -⎛⎫= ⎪⎝⎭A 故选：A.4．的值为（ ） sin 600︒A ．B ．C ． D12-12【答案】C【分析】利用诱导公式求得正确答案.【详解】()sin 600sin 180360sin 60︒=︒⨯+︒=-︒=故选：C5．已知角的终边经过点，且，则实数m 的值是（ ）θ()8,3P m --4cos 5θ=-A ． B ． 12932C ．或D ．或 1212-932932-【答案】A【分析】利用三角函数的定义列方程求解即可. 【详解】由三角函数的定义得cos θ=405m =->，解得12m =故选：A6．设，，定义运算，则函数的最大值是（ ）a Rb ∈,,b a ba b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩()sincos f x x x =⊗A ．1 B C ．D ．012【答案】B【分析】根据给定的定义，求出函数的解析式，再求其最大值作答. ()f x 【详解】当时，，当时，sin cos x x ≥522,Z 44k x k k ππππ+≤≤+∈sin cos x x < 322,Z 44k x k k ππππ-<<+∈因为，，定义运算，而，a Rb ∈,,b a ba b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩()sin cos f x x x =⊗因此， 3sin ,2244(),Z 5cos ,2244x k x k f x k x k x k ππππππππ⎧-<<+⎪⎪=∈⎨⎪+≤≤+⎪⎩当时，， 322,Z 44k x k k ππππ-<<+∈1sin x -≤<当时，，522,Z 44k x k k ππππ+≤≤+∈1cos x -≤≤所以函数的值域为. ()f x [-故选：B7．已知某幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）132,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】设幂函数为，根据函数过点，代入求出，即可得到函数解析式，再()f x x α=132,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭α根据幂函数的性质判断即可.【详解】解：设幂函数为，由函数过点，()f x x α=132,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，即，所以，解得，1324α=5222α-=52α=-25α-=所以，则函数的定义域为，且，()25f x x -={}|0x x ≠()()()2255f x x xf x ---=-==故为偶函数，且函数在上单调递减，则函数在上单调递增， ()25f x x -=()0,∞+(),0∞-故符合题意的为D ； 故选：D8．已知是定义在R 上的奇函数，为偶函数，且当时，，则()f x ()1f x -01x <≤()2log 2f x x =（ ）()()20232022f f +=A ．2 B ．1 C ． D ．01-【答案】C【分析】根据给定的条件，探讨函数的周期性，再结合函数解析式计算作答.()f x【详解】因为是定义在R 上的奇函数，则，且， ()f x ()()f x f x -=-(0)0f =又为偶函数，则，()1f x -()()11[(1)](1)f x f x f x f x -=--=-+=-+于是得，，因此函数是周期为4的周期函数， (2)()f x f x +=-(4)(2)()f x f x f x +=-+=()f x 当时，，则，01x <≤()2log 2f x x =(2023)(45061)(1)(1)1f f f f =⨯-=-=-=-， (2022)(45052)(2)(0)0f f f f =⨯+==-=所以. ()()202320221f f +=-故选：C【点睛】思路点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)或是定义域()f x ()()f x f x --＝()()f x f x -＝上的恒等式．二、多选题9．下列说法正确的是（ ） A ．钝角大于锐角B ．时间经过两个小时，时针转了60°C ．三角形的内角必是第一象限角或第二象限角D ．若是第三象限角，则是第二象限角或第四象限角α2α【答案】AD【分析】利用锐角、钝角范围判断A ；利用正负角的意义判断B ；利用象限角的意义判断CD 作答. 【详解】对于A ，因为锐角，钝角，因此钝角大于锐角，A 正确；1(0,)2πα∈2(,)2παπ∈对于B ，时间经过两个小时，时针转了，B 不正确； 60- 对于C ，当三角形的一个内角为时，该角不是第一象限角，也不是第二象限角，C 不正确；2π对于D ，因为是第三象限角，即，则，α22,Z 2k k k πππαπ-<<-∈,Z 224k k k παπππ-<<-∈当为奇数时，是第二象限角，当为偶数时，是第四象限角，D 正确.k 2αk 2α故选：AD10．已知命题，，若p 为真命题，则实数a 的值可以是（ ）:p x ∃∈R 210ax x -+=A ．B ．0C ．D ．14-1412【答案】ABC【分析】根据条件，可知方程有实根，分和两种情况，求出的范围，再210ax x -+=0a =0a ≠a 结合选项得到的值即可.a 【详解】因为，为真命题，所以方程有实根. x ∃∈R 210ax x -+=210ax x -+=当时，符合题意；0a =1x =当时，由方程有实根，可得，所以. 0a ≠210ax x -+=2(1)40a ∆=--≥14a ≤综上，实数的值可以是，和.a 14-014故选:ABC.11．在斜三角形中，的三个内角分别为，，，若，是方程ABC ABC A A B C tan A tan B 的两根，则下列说法正确的是（ ）23610x x -+=A ． B ．是钝角三角形 tan 3C =ABC A C ． D ．sin cos B A <cos sin B A <【答案】BC【分析】利用韦达定理得到，，再根据两角和的正切公式求出，tan tan A B +tan tan A B ⋅()tan A B +利用诱导公式求出，即可判断A 、B ，再利用诱导公式及正弦函数的性质判断C 、D. tan C 【详解】解：因为，是方程的两根， tan A tan B 23610x x -+=所以，， tan tan 2A B +=1tan tan 3A B ⋅=所以，，则，，tan 0A >tan 0B >π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以， ()tan tan 2tan 311tan tan 13A B A B A B ++===--所以，又，()()tan tan πtan 30C A B A B =-+=-+=-<⎡⎤⎣⎦()0,πC ∈所以，即为钝角，则是钝角三角形，故A 错误，B 正确；π,π2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ABC A 因为，所以或，π2A B +<π2A B <-π2B A <-所以，则，故D 错误；πsin sin 2A B ⎛⎫<- ⎪⎝⎭sin cos A B <，即，故C 正确；πsin sin 2B A ⎛⎫<- ⎪⎝⎭sin cos B A <故选：BC12．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O 的圆心在原点，若函数的图像将圆O 的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O 的一个“太极函数”，则（ ）A ．对于圆O ，其“太极函数”有1个B ．函数是圆O 的一个“太极函数”()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩C ．函数不是圆O 的“太极函数”()33f x x x =-D ．函数是圆O 的一个“太极函数”())ln f x x =【答案】BD【分析】根据题意，只需判断所给函数的奇偶性即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，圆O ，其“太极函数”不止1个，故错误；对于B 选项，由于函数，当时，，当()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩0x ≥()()2f x x x f x -=-+=-0x <时，，故为奇函数，故根据对称性可知函数()()2f x x x f x +-==-()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩为圆O 的一个“太极函数”，故正确；()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩对于C 选项，函数定义域为，，也是奇函数，故为圆O 的一个“太极函R ()()33f x x x f x -=-+=-数”，故错误；对于D 选项， 函数定义域为，R，故为奇函数，故函数()))()ln ln ln x x f x f x =-==-=--是圆O 的一个“太极函数”，故正确.())lnf x x =故选：BD三、填空题13．已知扇形的圆心角为，弧长为1，则此扇形的面积为______. 5π6【答案】35π【分析】先求出半径，再用扇形的面积公式计算即可.【详解】由已知扇形的半径为，165π5π6=则此扇形的面积为 163125π5π⨯⨯=故答案为：. 35π14．已知，，，其中e 为自然对数的底数，则实数a ，b ，c 用“”连接的顺1ln e a =1e e b =1sin ec =>序为______. 【答案】b c a >>【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数的性质及正弦函数的性质，结合“媒介”数比较大小作答.【详解】因为，则有，，， 101e <<1ln ln10e a =<=10e e e 1b =>=10sin 0sin sin1sin 1e 2π=<<<=因此，所以. 01a c b <<<<b c a >>故答案为：b c a >>15．已知，则______. ()cos tan 3,090f x x x =︒<<︒()sin 40f ︒=【答案】【分析】由于，将代入计算即可. sin 40cos50︒=︒50x =︒()cos tan 3f x x =【详解】， sin 40cos50︒=︒ 令得 50x =︒()cos50tan150f ︒=︒=即 ()sin 40f ︒=故答案为：16．后疫情时代，人们的健身需求更加多样化和个性化.某健身机构趁机推出线上服务，健身教练进入直播间变身网红，线上具有获客、运营、传播等便利，线下具有器械、场景丰富等优势，线上线下相互赋能，成功吸引新会员留住老会员.据机构统计，当直播间吸引粉丝量不低于2万人时，其线下销售健身卡的利润y （单位：万元）随粉丝量x （单位：万人）的变化情况如下表所示.根据表中数据，我们用函数模型进行拟合，建立y 关于x 的函数解析式.请你按此模()log a y x m b =++型估测，当直播间的粉丝量为33万人时，线下销售健身卡的利润大约为______万元. （万人）x 3 5 9（万元）y 4373103 【答案】##163153【分析】根据给定的数表及函数模型，列出方程组，求出函数解析式即可求解作答.【详解】依题意，，消去b 得，，解得，则4log (3)37log (5)310log (9)3aa a mb m b m b ⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩(3)50(5)90a m m a m m +=+>⎧⎨+=+>⎩1,2m a =-=， 13b =因此函数模型为，当时，，21log (1)3y x =-+33x =163y =所以线下销售健身卡的利润大约为万元. 163故答案为：163四、解答题17．（1）求值：；31log20lg 42lg 5π3+++-（2）若3π2π2α<<【答案】（1）；（2） 3-2sin α-【分析】（1）利用对数的运算性质计算即可； （2=角三角函数的平方关系及三角函数值的符号进行整理化简.【详解】（1）331log 2log 20lg 42lg 5π3lg 4lg 25133+++-=++-⨯;lg1001322163=+-⨯=+-=-（2）若，则，3π2π2α<<1sin 0,0cos 1αα-<<<<===+1cos 1cos sin sin αααα-+=+1cos 1cos 2sin sin sin ααααα-+=+=---18．已知函数是定义在R 上的偶函数，其最小正周期为2，若时，()y f x =01x ≤≤，且满足. ()231xf x a =++()10f =(1)当时，求函数的解析式；34x ≤≤()f x (2)请判断函数在上的单调性（只判断不证明）.()y f x =[]3,4【答案】(1)；()()231343812x x f x x ⨯=-≤≤+(2)单调递增，理由见解析.【分析】（1）根据给定条件，求出a 值及函数在上的解析式，再利用周期求出当()f x [1,0]-时，的解析式作答.34x ≤≤()f x （2）利用指数函数、反比例函数的单调性，结合复合函数单调性判断作答. 【详解】（1）因为时，，且，则，解得01x ≤≤()231xf x a =++()10f =21(1)0312f a a =+=+=+，有，12a =-()21312x f x =-+又函数是定义在R 上的偶函数，则当时，，有()y f x =10x -≤≤01x ≤-≤，()()21231312312x x x f x f x -⨯=-=-=-++而函数的最小正周期为2，当时，，()f x 34x ≤≤140x -≤-≤，()()4423123143123812x x x x f x f x --⨯⨯=-=-=-++所以当时，函数的解析式为.34x ≤≤()f x ()2313812x x f x ⨯=-+（2）由（1）知，当时，， 34x ≤≤()231316238122381x x xf x ⨯=-=-++因为函数在上单调递增，，函数在上单调递381x u =+[3,4][]108,162u ∈16232y u =-+[]108,162u ∈增，所以函数在上单调递增. ()y f x =[]3,419．已知，且满足______.请从以下三个条件中选择一个条件补充在前面的横线中，①22ππα-<<②③，然后作答.注：如果选择多个条件分别解sin α=cos sin αα+=1tan 3α=-答，按第一个解答计分. (1)求的值；cos sin αα-(2)角与角均以x 轴的非负半轴为始边，若角的终边与角的终边关于x 轴对称，求βαβα的值.sin cos sin cos ββββ+-【答案】(1)； (2). 2-【分析】（1）选①，利用同角正余弦平方和为1求出计算作答；选②，利用与cos αcos sin αα±的关系计算作答；选③，由正切求出正余弦值即可作答.sin cos αα（2）求出角与角的关系式，再利用诱导公式结合（1）的结论计算作答. βα【详解】（1）选①，因为，22ππα-<<sin α=cos α==所以cos sin αα-=选②，由，解得，cos sin αα+=212cos sin 5αα+=32cos sin 05αα=-<因为，则，必有，22ππα-<<cos 0α>sin 0α<所以cos sin αα-==选③，因为，，则，，，22ππα-<<1tan 03α=-<02πα-<<cos 0α>sin 0α<由及，解得sin 1cos 3αα=-22cos sin 1αα+=sin α=cos α=所以cos sin αα-=（2）由（1）知， sin α=cos α=因为角与角均以x 轴的非负半轴为始边，若角的终边与角的终边关于x 轴对称， βαβα则有，即，，2,Z k k βαπ+=∈2,Z k k βπα=-∈sin sin ,cos cos βαβα=-=所以. sin cos sin cos cos sin 2sin cos sin cos cossin ββααααββαααα+-+-==-==----+20．已知函数.()2sin cos f x x xx =(1)求函数的最小正周期T ；()f x (2)求函数的最大值，并求出使该函数取得最大值时的自变量x 的值.()f x 【答案】(1)πT =(2)最大值 15ππ,Z 12x k k =+∈【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式变形化简，然后根据公式可得周期. 2πT ω=（2）利用正弦函数的性质可得的最大值及取最大值时x 的值.()f x 【详解】（1）由已知 ())21πsin cos sin 21cos 2sin 223f x x x x x x x ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭所以函数的最小正周期； ()f x 2ππ2T ==（2）由（1）得 ()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭函数的最大值为 ∴()f x 1此时有，即. ππ22π,Z 32x k k -=+∈5ππ,Z 12x k k =+∈21．已知函数图象的一个对称中心是. ()tan 2x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭02πϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)当时，求不等式的解集； 5,22x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭()1f x ≥(2)已知，求的值.()f m α=()01m <<tan α【答案】(1)或 73{42x ππ-≤<-3}42x ππ-≤<-(2) 212m m -【分析】（1）根据函数的对称中心为，求出的值，再结合正切函数的性质解不等式()f x (,0)2πϕ即可；()1f x ≥（2）根据条件，求出，再由二倍角的正切公式求出的值.tan 2αtan ϕ【详解】（1）函数, ()tan 022x f x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭由,可得, ,22x k k πϕ+=∈Z 2,x k k πϕ=-∈Z 则的对称中心为.()f x (2,0),k k πϕ-∈Z 因为的一个对称中心为， ()f x (,0)2π所以,所以. 2,2k k ππϕ-=∈Z ,24k k ππϕ=-∈Z 因为，所以，所以. 02πϕ-<<4πϕ=-()tan()24x f x π=-由，可得，所以. ()1f x ≥tan()124x π-≥,42k x k k ππππ+≤<+∈Z 因为，所以或， 5,22x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭7342x ππ-≤<-342x ππ-≤<-所以不等式的解集为或. ()1f x ≥73{42x ππ-≤<-3}42x ππ-≤<-（2）由（1）知，，因为， ()tan(24x f x π=-()(01)f m m α=<<所以=， tan tan 24tan()241tan tan 24απαπαπ--=+tan 121tan2m αα-=+所以，所以. 1tan 21m m α+=-2222(1)2tan 112tan 211tan 121m m m m m m ααα+--===+⎛⎫-- ⎪-⎝⎭22．已知函数是定义域上的奇函数，且. ()21x f x ax b+=+()12f -=-(1)令函数，若在上有两个零点，求实数m 的取值范围；()()g x f x m =-()g x ()0,∞+(2)已知函数在上单调递减，在上单调递增，令，1z x x =+(]0,1[)1,+∞()()2212h x x tf x x=+-()0t <，若对，，都有，求实数t 的取值范围. 1x ∀21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12154h x h x -≤【答案】(1)；m>2(2). 302t -≤<【分析】（1）根据给定条件，求出函数的解析式，再利用一元二次方程在上的实根分()f x ()0,∞+布求解作答.（2）求出的解析式，并用表示出，结合对勾函数、二次函数性质求出的最大、最小()h x z ()h x 值，再列式求解作答. 【详解】（1）因为函数是定义域上的奇函数，且，有， ()21x f x ax b+=+()12f -=-()1(1)2f f =--=则，解得，函数， 2222b a a b⎧=-⎪⎪-⎨⎪=⎪+⎩1,0a b ==()211,0x f x x x x x +==+≠显然，即函数是定义域上的奇函数，则， ())1(f x x f x x-=--=-()f x (,0)(0,)-∞+∞ 1,0a b ==，函数在上有两个零点，等价于方程有两个()()1x m x g x f x m =-=+-()g x ()0,∞+210x mx -+=不等的正根，12,x x 于是得，解得，21212Δ40010m x x m x x ⎧=->⎪+=>⎨⎪=>⎩m>2所以实数m 的取值范围是.m>2（2）由（1）知， 2221111()2()()2(2h x x t x x t x x x x x=+-+=+-+-而，当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 1z x x =+1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1z x x =+1[,1]2[1,2]5[2,2z ∈函数图象的对称轴，因此函数在上单调递增， 222y z tz =--0z t =<222y z tz =--5[2,]2z ∈则当，即时，，当，即或时，， 2z =1x =min 42y t =-+52z =12x =2x =max 1754y t =-+从而当时，，当或时，， 1x =min ()42h x t =-+12x =2x =max 17()54h x t =-+对，，都有，等价于， 1x ∀21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12154h x h x -≤max min 15()()4h x h x -≤即，解得，而，即有， 17155(42)44t t -+--+≤32t ≥-0t <302t -≤<所以实数t 的取值范围是. 302t -≤<【点睛】思路点睛：含参数的二次函数在指定区间上的最值问题，按二次函数对称轴与区间的关系分类求解，再综合比较即可.。
山东省重点名校高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ）{}260A x x x =-->{}lg(1)1B x x =+≤()R A B ⋂=ðA ． B ． {39}x x <≤{}23x x -≤≤C ． D ．{}29x x -≤≤{13}x x -<≤【答案】D【分析】求出集合、、，再进行交集运算即可. A B R A ð【详解】由题意得:或，{}{260|2A x x x x x =-->=<-}3x >所以，{}23R A x x =-≤≤ð，{}{}{}lg(1)1011019B x x x x x x =+≤=<+≤=-<≤故. (){13}R A B x x ⋂=-<≤ð故选：D【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集运算，涉及解一元二次不等式、对数不等式，属于基础题.2．设，，，则、、的大小关系（ ）．0.512a ⎛⎫= ⎪⎝⎭0.50.3b =0.3log 0.2c =a b c A ． B ． C ． D ．b ac <<a b c <<a b c >>a c b <<【答案】A【分析】利用对数函数，幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】解：因为在上单调递增， 12y x =[0,)+∞110.32>>所以，即0.50.50.5110.32⎛⎫> ⎪⎝⎭>0.50.5110.32⎛⎫>> ⎪⎝⎭因为 0.30.3log 0.2log 0.31>=所以 b a c <<故选：A【点睛】本题主要考查了利用对数函数，幂函数的单调性比较大小，是中档题. 3．已知为第二象限角，，则（ ） α5sin 13α=tan 11tan αα-=+A ．B ．C ．D ． 177717177-717-【答案】C【分析】根据为第二象限角，，利用同角三角函数的基本关系求出，进而α5sin 13α=12cos 13α=-得到，代入计算即可求解. 5tan 12α=-【详解】因为为第二象限角，且，所以， α5sin 13α=12cos 13α==-则，所以， sin 5tan cos 12ααα==-51tan 1171251tan 7112αα---==-+-故选：.C 4的结果为（ ）A ．B ．C D 【答案】A【分析】结合指数幂的运算性质，可求出答案. 【详解】由题意，可知， 0a ≥()11111116363623a a a a a a +=-⋅=-⋅=-=-=故选：A.5．设函数，，若实数，满足，，则()237xf x x =+-()ln 26g x x x =+-a b ()0f a =()0g b =（ ）A ．B ．C ．D ．()()0f b g a <<()()0g a f b <<()()0f b g a <<()()0g a f b <<【答案】B【分析】利用的单调性和零点存在定理可得到，继而得到答案 (),()f x g x 12a <<23,b <<【详解】是单调递增函数，且， ()237x f x x =+- (1)20f =-<(2)30,f =>又()0,f a = 12,a ∴<<因为在是单调递增函数，且，， ()ln 26g x x x =+-(0,)+∞(2)ln 2460g =+-<(3)ln 30g =>又()0,g b = 23,b ∴<<，()ln 26(2)ln 220g a a a g ∴=+-<=-<，2()237(2)232730b f b b f =+->=+⨯-=> ()0().g a f b ∴<<故选：B ．6．为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（参考数据：，） lg1.20.079≈lg 20.301≈A ．2023年 B ．2024年 C ．2025年 D ．2026年【答案】C【分析】根据指数型函数模型，求得投入资金的函数关系式，由此列不等式，解不等式求得经过的年份，进而求得开始超过亿元的年份.1.28【详解】由题意，可设经过年后，投入资金为万元，则.n y ()5000120%ny =+由题意有，即，则，所以()5000120%12800n+> 1.2 2.56n >8lg1.2lg 2.56lg 22n >=-A ，所以，即2025年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元.80.30125.160.079n ⨯->≈6n =故选C.【点睛】本小题主要考查指数函数模型在实际生活中的运用，考查指数不等式的解法，属于中档题.7．已知函数为上的偶函数，当时，，则关于的不等式()f x R 0x ≥())2020log f x x =x 的解集为（ ）． ()()122f x f -<A ．B ．C ．D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】分析出函数在区间上为增函数，由可())2020log f x x =[)0,∞+()()122f x f -<得，由此可得出，进而可得出原不等式的解集. ()()122f x f -<122x -<【详解】由于函数在上为增函数， u x =+[)0,∞+所以，函数在区间上为增函数，())2020log f x x =[)0,∞+由于函数为上的偶函数，由可得，()y f x =R ()()122f x f -<()()122f x f -<，可得，解得. 122x ∴-<2212x -<-<1322x -<<因此，关于的不等式的解集为.x ()()122f x f -<13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：C.【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性解函数不等式，考查计算能力，属于中等题.8．已知函数，若，，互不相等，且，则()2016112,012log,1x x f x x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪>⎩a b c ()()()f a f b f c ==a b c++的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．()1,2016[]1,2016()2,2017[]2,2017【答案】C【分析】根据题意，做出函数的图像，结合图像即可得到结果.()f x 【详解】因为，即()2016112,012log ,1x x f x x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪>⎩()201612,02122,12log ,1x x f x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪>⎪⎪⎩当，；当，； 12x =112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭2016x =()20161f =不妨设，做出函数的大致图像，如下图所示，a bc <<()f x结合图像可得：，， 1,12016a b c +=<<1a b c c ∴++=+即，的取值范围是 212017c <+<a b c ∴++()2,2017故选:C9．若，，则（ ） 104a =1025b =A ． B ．C ．D ．2a b +=1b a -=2ab =lg 6b a ->【答案】A【分析】指数式改写为对数式，利用对数的运算法则判断．【详解】由已知，， lg 4a =lg 25b =；lg 4lg 25lg1002a b +=+==； 25lg 25lg 4lg 14b a -=-=≠；lg 4lg 252ab =≠， 25lg 25lg 4lg14b a -=-=<故选：A ．二、多选题10．下列说法正确的是（ ）A ．命题p ：x ，y (0，1)，x ＋y ＜2，则p ：x 0，y 0 (0，1)，x 0＋y 0≥2 ∀∈⌝∃∈B ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”成立的充分不必要条件C ．“|x |＞|y |”是“x ＞y ”的必要条件D ．“m ＜0”是“关于x 的方程x 2－2x ＋m =0有一正一负根”的充要条件 【答案】ABD【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题可以判断选项A ，举反例可以判断BC ，根据方程根的分布可以判断D.【详解】选项A ：命题p ：x ，y (0，1)，x ＋y ＜2， ∀∈否定为：x 0，y 0 (0，1)，x 0＋y 0≥2 ∃∈故A 选项正确；选项B ：由时，所以充分性成立， 1,1a b >>1ab >当时，，但是，故必要性不成立 13,2a b ==1ab >1,1a b ><所以“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”成立的充分不必要条件 故B 选项正确；选项C ：，但是， 32->32-<所以|x |＞|y |不一定推出x ＞y 反之，，但是， 34<-34<-所以x ＞y 不一定推出|x |＞|y所以“|x |＞|y |”是“x ＞y ”的既不充分也不必要条件 故C 错误；选项D ：关于x 的方程x 2－2x ＋m =0有一正一负根设为 ，则 12,x x ()212Δ241000m m x x m ⎧=--⨯⨯>⎪⇔<⎨⋅=<⎪⎩所以“m ＜0”是“关于x 的方程x 2－2x ＋m =0有一正一负根”的充要条件 故选项D 正确； 故选：ABD.11．函数的图象关于直线对称，那么（ ） ()f x 1x =A ．B ． (2)()f x f x -=()()11f x f x -=+C ．函数是偶函数D ．函数是偶函数(1)y f x =+(1)=-y f x 【答案】ABC【解析】根据满足的函数的对称性，确定AB 选项的正确性，利用函数图像变()()f a x f b x +=-换以及偶函数的性质，判断CD 选项的正确性.【详解】若函数满足，则的图象关于对称. ()f x ()()f a x f b x +=-()f x 2a bx +=对于A 选项，，则的图象关于对称，符合题意； (2)()f x f x -=()f x 1x =对于B 选项，，则的图象关于对称，符合题意；()()11f x f x -=+()f x 1x =对于C 选项，的对称轴为轴，图象向右平移一个单位得到图象，所以()1f x +y ()1f x +()f x ()f x 的图象关于对称，符合题意；1x =对于D 选项，的对称轴为轴，图象向左平移一个单位得到图象，所以()1f x -y ()1f x +()f x ()f x 的图象关于对称，不符合题意； =1x -故选：ABC【点睛】本小题主要考查函数图象的对称性，考查函数图像变换，考查函数的奇偶性，属于基础题.12．已知实数，，满足，则下列关系式中可能成立的是（ ） x y z 1ln e yx z==A ．B ．C ．D ．x y z >>x z y >>z x y >>z y x >>【答案】ABC【分析】令，则表示与，，交点的横坐标，采用数形1ln e yx zt ===,,x y z y t =ln y x =e x y =1y x =结合的方式可得结论.【详解】令，则表示与，，交点的横坐标，1ln e yx zt ===,,x y z y t =ln y x =e x y =1y x =不妨记，，，x a =y b =z c =在平面直角坐标系中做出，，图像，ln y x =e x y =1y x=当与，，位置关系如下图所示时，，即；y t =ln y x =e x y =1y x=b<c<a x z y >>当与，，位置关系如下图所示时，，即；y t =ln y x =e x y =1y x=c b a <<x y z >>当与，，位置关系如下图所示时，，即；y t =ln y x =e x y =1y x=b a c <<z x y >>综上所述：关系式可能成立的是或或.x y z >>x z y >>z x y >>故选：ABC.三、填空题13．计算______.31log 225lg 2lg 230.252-+++=【答案】5【解析】运用对数，指数的运算性质求解运算. 【详解】31212log 222551lg 2lg 230.25lg lg 22222--⎡⎤⎛⎫+++=+++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦151lg 42lg10414522-⎛⎫=⨯++=+=+= ⎪⎝⎭故答案为：514．若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为____________.()133x mg x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭m 【答案】1m ≥-【分析】图象不经过第一象限,只需,代入解析式,解出不等式即可.()00g ≤【详解】解:由题知,()133x mg x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭若函数单调递减，其图象不经过第一象限,必有图象与y 轴交点不在y 轴正半轴上， ()g x 只需即可, ()00g ≤即, 1303m⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭解得: . 1m ≥-故答案为:1m ≥-15．函数的单调递增区间是________．1y=2⎛ ⎪⎝⎭【答案】 1[2]2【分析】欲求函数得单调递增区间，根据指数函数的单调性，只须求函数y=1(2y =的单调减区间即可．【详解】令，得函数定义域为， 220t x x ≥＝－＋＋[]12－，所以在上递增，在递减．根据“同增异减”的原则， 22t x x ＝－＋＋11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦122⎡⎤⎢⎥⎣⎦函数． 1y=2⎛ ⎪⎝⎭122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【点睛】本小题主要考查函数的单调性及单调区间、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．当遇到函数综合应用时，处理的优先考虑“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域．16．设定义在上的函数满足，则___________.()0,∞+()g x ()11g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()g x =1(0)3x >【分析】利用方程组法求函数解析式，将换成，两式联立即可求解. x 1x【详解】因为定义在上的函数满足，()0,∞+()g x ()11g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭将换成可得：，将其代入上式可得： x 1x 1(()1g g x x -，()11()1]14()1g x g g x g x x ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭所以， 1()(0)3g x x =+>. 1(0)3x >四、解答题17．已知集合.{}{}23180,3|22|A x x x B x m x m =--≤=-≤≤+（1）当时，求；0m =()R A B ð（2）若，求实数m 的取值范围.()R B A ⋂=∅ð【答案】（1）；（2）或.{}6|2x x <≤{4|0m m ≤≤5}m >【分析】（1）化简集合，，根据集合的补集和交集运算可得结果； A B （2）分类讨论集合，根据交集运算的结果列式可得解. B 【详解】（1）时，， {}360|,A x x m =-≤≤={}|32B x x =-≤≤∴或；.3{|R B x x =<-ð2}x >{}26()|R A B x x =<≤ ð（2）或，且， 3{|R A x x =<-ð6}x >()R B A ⋂=∅ð∴①时，，解得；B =∅232m m ->+5m >②时，，解得，B ≠∅523326m m m ⎧⎪-≥-⎨⎪+⎩……04m ≤≤综上得，实数m 的取值范围为或. {4|0m m ≤≤5}m >18．已知幂函数是奇函数，且.()()223mm f x x m Z -++=∈()()12f f <（1）求的值，并确定的解析式；m ()f x （2）求，的值域. ()()2212log log 2y f x f x ⎡⎤=+⎣⎦1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】（1）， ；（2）.0m =()3f x x =5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）先由题意，得到幂函数单调递增，推出，解得，根据()f x 2230-++>m m 312m -<<，得到或；分别将和代入函数解析式，判断函数奇偶性，即可得出结m Z ∈0m =1m =0m =1m =果；（2）先由（1）化简为，令，将函()()2212log log 2y f x f x ⎡⎤=+⎣⎦()2229log 13log =--y x x 2log t x =数化为，根据二次函数单调性，即可求出结果.2215319649⎛⎫--=-- ⎪=⎝⎭y t t t 【详解】（1）因为幂函数 ，()()223mm f x x m Z -++=∈()()12f f <所以单调递增，所以，即， ()f x 2230-++>m m ()23(1)0-+<m m 解得，又，所以或， 312m -<<m Z ∈0m =1m =当时，，满足，因此是奇函数；0m =()3f x x =()3()=--=-f x f x x ()3f x x =当时， ，显然是偶函数； 1m =()2213-++==f xx x 所以，；0m =()3f x x =（2）因为，所以，()3f x x =()()()2233212229log log 2log 13log =+--=y xx x x 令，因为，所以，2log t x =1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[]1,1t ∈-所以，2215319649⎛⎫--=-- ⎪=⎝⎭y t t t所以在上单调递减，在上单调递增， 2193-=-y t t 11,6⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭t 1,16⎛⎤ ⎥⎝⎦因此；又当时，；当时，； min 54=-y 1t =-11931-==+y 1t =3591=--=y 因此，所求函数值域为：. max 11y =5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查由幂函数奇偶性求参数与函数解析式，以及求复合函数的值域，熟记函数奇偶性，以及二次函数的性质即可，属于常考题型.19．（1）已知，为第三象限角，求的值； 3cos 5α=-αsin α（2）已知，计算的值. tan 3α=4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+【答案】（1）；（2）. 4sin 5α=-57【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系可求得的值；sin α（2）利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】解：（1）因为为第三象限角，则； α4sin 5α==-（2）. 4sin 2cos 4tan 243255cos 3sin 53tan 5337αααααα--⨯-===+++⨯20．定义在上的奇函数，已知当时，． [4,4]-()f x [4,0]x ∈-1()43x x a f x =+(1)求在上的解析式；()f x [0,4](2)若使不等式成立，求实数m 的取值范围． [2,1]x ∃∈--11()23x x m f x -≤-【答案】(1)()34x x f x =-(2)[)5,+∞ 【分析】（1）结合奇函数在原点有意义时，有，即可求出的值，然后根据奇函数的定义(0)0f =a 即可求出结果；（2）参变分离后构造函数，根据函数的单调性即可求出最小值，从而()12223x x g x ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x 可以求出结果.【详解】（1）（1）因为是定义在上的奇函数，时，， ()f x [4,4]-[4,0]x ∈-1()43x x a f x =+所以，解得， 001(0)043a f =+=1a =-所以时，， [4,0]x ∈-11()43x x f x =-当时，，[0,4]x ∈[4,0]x -∈-所以， 11()4343x x x x f x ---=-=-又，()()f x f x -=-所以，，()43-=-x x f x ()34x x f x =-即在上的解析式为.()f x [0,4]()34x x f x =-（2）因为时，， [2,1]x ∈--11()43x x f x =-所以可化为，整理得， 11()23x x m f x -≤-11114323x x x x m --≤-1121222323+⎛⎫⎛⎫≥+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x x x m 令，根据指数函数单调性可得， ()12223x x g x ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与都是减函数， 12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭23x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以也是减函数，()g x ， ()()11min 1212523g x g --⎛⎫⎛⎫=-=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，5m ≥故实数的取值范围是.m [)5,+∞21．为鼓励居民节约用水，某市自来水公司对全市用户采用分段计费的方式计算水费，收费标准如下：不超过10t 的部分为2.20元/t ；超过10t 不超过18t 的部分为2.80元/t ；超过18t 部分为3.20元/t.(1)试求居民月水费（元）关于用水量（t ）的函数关系式；y x (2)若某户居民6月份、7月份共用水36t ，且6月份水费比7月份水费少12元，则该户居民6、7月份各用水多少？【答案】(1) []()(]()()()2.2,0,102.86,10,183.213.2,18,x x y x x x x ∞⎧∈⎪⎪=-∈⎨⎪-∈+⎪⎩(2)6月份用水16吨，7月份用水20吨.【分析】（1）根据的不同取值范围列出表达式，即可得到结果；x （2）两个月共用水吨，说明一个月比吨多，一个月比18吨少，但都不会少于10吨，又6月3618份水费少，因此6月份少于18吨，7月份多于18吨，由此列方程即可.【详解】（1）根据题意可得:当时，；010x ≤≤22y x =.当时，；1018x <≤()2.21010 2.8 2.86y x x =⨯+-⨯=-当时，18x >()()221810 2.818 3.2 3.213.2y x x =+-⨯+-⨯=-综上， []()(]()()()2.2,0,102.86,10,183.213.2,18,x x y x x x x ∞⎧∈⎪⎪=-∈⎨⎪-∈+⎪⎩（2）因为两个月共用水吨，说明一个月比吨多，一个月比18吨少，3618设6月份用水吨，因为6月份水费少，则，x 18x ≤又因为，且，显然2.818644.4⨯-=44.41222->10x >所以，解得，()2.8612 3.23613.2x x -+=⨯--16x =所以6月份用水吨，7月份用水吨.16361620-=22．设，函数为常数，． a R ∈()(x x e a f x e e a+=- 2.71828)e =⋯（1）若，求证：函数为奇函数；1a =()f x （2）若．a<0①判断并证明函数的单调性；()f x ②若存在，，使得成立，求实数的取值范围．[1x ∈2]22(2)(4)f x ax f a +>-a 【答案】（1）证明见解析；（2）①为上的单调增函数，证明见解析；②.()f x R (,3)-∞-【解析】（1）把代入得，且定义域为，求出并化简并判断与1a =1()1x x e f x e +=-()f x {|0}x x ≠()f x -的关系，根据奇函数的定义，即可得出结论；()f x -（2）①结合单调性的定义，先设，利用作差法比较与的大小关系即可判断； 12x x <1()f x 2()f x ②结合命题的否定，然后结合不等式的恒成立，利用单调性进行转化，即可求解实数的取值范a 围．【详解】解：（1）当时，函数， 1a =1()1x x e f x e +=-因为，则，10x e -≠0x ≠所以定义域为，()f x {|0}x x ≠对任意，， 0x ≠1e ()e 1e 11()e xx xx f f x x --+==---+-=所以是奇函数． 1()1x x e f x e +=-（2）①当时，为上的单调增函数，证明如下：a<0()f x R 证明：时，恒成立，故函数定义域为，a<00x e a ->()f x R 任取，，且，则，1x 2x R ∈12x x <12x x e e <因为， 21121212222()()()(1)(1)0()()x x x x x x a a a e e f x f x e a e a e a e a --=+-+=<----所以为上的单调增函数.()f x R ②设命题：存在，，使得成立，p [1x ∈2]22(2)(4)f x ax f a +>-下面研究命题的否定：p ，，恒成立，:[1p x ⌝∀∈2]22(2)(4)f x ax f a +-…若为真命题，由①，为上的单调增函数，p ⌝()f x R 故，，恒成立．[1x ∀∈2]2224x ax a +-…设，，，22()24g x x ax a =++-[1x ∈2]则，解得，0(1)0(2)0a g g <⎧⎪⎨⎪⎩……30a -<…因为为真，则为假命题，p p ⌝所以实数的取值范围为．a (,3)-∞-【点睛】本题考查函数奇偶性及单调性定义和判断，以及利用单调性解决不等式恒成立问题从而求参数范围，函数性质的综合应用是求解问题的关键.。
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山东省滕州市第三高一上学期期末考试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{2,3,4}U =,若集合{2,3}A =，则U C A =A ．1B ．2C ．3D ．42．知函数()f x 在[5,5]-上是偶函数，且在[0,5]上是单调函数，若(4)(2)f f -<-，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．(1)(3)f f -<B ．(2)(3)f f <C ．(3)(5)f f -<D ．(0)(1)f f >3．在R 上定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗，若不等式0)()(>-⊗-b x a x 的解集是)3,2(，则b a +的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．84．下列说法正确的是A ．幂函数的图象恒过(0,0)点B ．指数函数的图象恒过(1,0)点C ．对数函数的图象恒在y 轴右侧D ．幂函数的图象恒在x 轴上方5．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为A ．2B ．3C ．4D ．66．13(01)a b a a =>≠且，则 A ．1log 3ab =B ．1log 3a b =C ．13log b a =D ．1log 3ba = 7．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为A ．333R π B ．336R π C ．3324R π D ．316R π8．下列函数在(0,)+∞上单调递增的是 A ．11y x =+ B ．2(1)y x =- C ．12xy -=D ．lg(3)y x =+9．用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥，截得的棱台上、下底面面积比为1:4，截去的棱锥的高是3cm ，则棱台的高是 A ．12cmB ．9cmC ．6cmD ．3cm10．已知函数22()log (34)f x x x =--，若对于任意12,x x I ∈，当12x x <时，总有12()()f x f x <，则区间I 有可能是A ．(,1)-∞-B ．(6,)+∞C ．3(,)2-∞D ．3(,)2+∞11．已知平面,αβ，直线,l m ，且有,l m αβ⊥⊂，则下列四个命题正确的个数为 ①若α∥β则l m ⊥； ②若l ∥m 则l ∥β； ③若αβ⊥则l ∥m ； ④若l m ⊥则l β⊥； A ．1B ．2C ．3D ．412．已知减函数(1)y f x =-是定义在R 上的奇函数，则不等式(1)0f x ->的解集为A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．请用0．5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2．不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．3．第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．函数2()6f x x mx =+-的一个零点是6-，则另一个零点是_________．14．若2|log |12a a=，则a 的取值范围为________________． 15．现要用一段长为l 的篱笆围成一边靠墙的矩形菜园（如图所示），则围成的菜园最大面积是___________________．16．经过点)1,3(-P ，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是__________________________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 集合12{|21},{|log (3)2}x A x B x x -=≥=-<，求,)()R R AB AB C A C B ，(．18．（本小题满分12分）计算 （Ⅰ）22271log log 6log 28722-； （Ⅱ）2133642730.008131282-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭． 19．（本小题满分12分）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()21x f x =-． （Ⅰ）求(3)(1)f f +-； （Ⅱ）求()f x 的解析式；（Ⅲ）若,()[7,3]x A f x ∈∈-，求区间A ．20．（本小题满分12分）已知直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，2AB AC ==，13AA D =，是BC 中点，E 是1AA 中点．（Ⅰ）求三棱柱111ABC A B C -的体积； （Ⅱ）求证：1AD BC ⊥； （Ⅲ）求证：DE ∥面11A C B ．21．（本小题满分12分）已知平面内两点(8,6)(22)A B -，，． （Ⅰ）求AB 的中垂线方程；（Ⅱ）求过(2,3)P -点且与直线AB 平行的直线l 的方程；（Ⅲ）一束光线从B 点射向（Ⅱ）中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在的直线方程．22．（本小题满分14分）一次函数()f x 是R 上的增函数，()()()g x f x x m =+,已知[()]165f f x x =+．（Ⅰ）求()f x ；（Ⅱ）若()g x 在(1,)+∞单调递增，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）当[1,3]x ∈-时，()g x 有最大值13，求实数m 的值．数学试题参考答案一、选择题1~12 D D C C A, B C D D B, A B 二、填空题13．1 14．01a <≤ 15．28l 16．210x y +-=或30x y +=三、解答题17．（本小题满分12分） 解：∵121x -≥，∴10x -≥，解得1x ≥，∴{|1}A x x =≥ ---------------------------------3分 ∵2log (3)2x -<，∴034x <-<，解得13x -<<，∴{|13}B x x =-<< ---------------------------------6分 ∴ {|13}AB x x =≤< ---------------------------------8分{|1}A B x x =>- ---------------------------------10分)()(){|13}R R R C A C B C AB x x x ==<≥(或 ---------------------------------12分18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）32----------------------------------6分 （Ⅱ）25790---------------------------------12分19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵()f x 是奇函数，∴3(3)(1)(3)(1)21216f f f f +-=-=--+= ------------------------3分 （Ⅱ）设0x <，则0x ->，∴()21x f x --=-∵()f x 为奇函数，∴()()21x f x f x -=--=-+ -------------------------5分∴210()210x xx f x x -⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，， -----------------------------6分（Ⅲ）根据函数图象可得()f x 在R 上单调递增 ------------------------------7分当0x <时，7210x --≤-+<解得30x -≤< ------------------------------9分 当0x ≥时，0213x ≤-≤解得02x ≤≤ ----------------------------11分 ∴区间A 为[3,2]-． ----------------------------12分20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）1122332ABC V S AA ∆=⋅=⨯⨯⨯= ---------------------------------3分 （Ⅱ）∵2AB AC ==,∴ABC ∆为等腰三角形∵D 为BC 中点，∴AD BC ⊥ ---------------------------------4分 ∵111ABC A B C -为直棱柱，∴面ABC ⊥面1BC ------------------------5分 ∵面ABC面1=BC BC ,AD ⊂面ABC ，∴AD ⊥面1BC ---------------------------------6分 ∴AD ⊥1BC ---------------------------7分 （Ⅲ）取1CC 中点F ，连结DF ，EF ，--------8分∵,,D E F 分别为11,BC CC AA ，的中点 ∴EF ∥11A C ，DF ∥1BC ，-----------------9分1111A C BC C DFEF F ==，∴面DEF ∥面11A C B -----------------------11分DE ⊂面DEF∴DE ∥面11A C B ． -----------------------------12分21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）8252+=，6222-+=-，∴AB 的中点坐标为(5,2)-----------------------1分 624823AB k --==--，∴AB 的中垂线斜率为34 ----------------------------2分∴由点斜式可得32(5)4y x +=- ------------------------------3分∴AB 的中垂线方程为34230x y --= ------------------------------4分（Ⅱ）由点斜式43(2)3y x +=-- ---------------------------------5分 ∴直线l 的方程4310x y ++= ---------------------------------6分 （Ⅲ）设(2,2)B 关于直线l 的对称点(,)B m n ' ---------------------------------7分∴232422431022n m m n -⎧=⎪⎪-⎨++⎪⨯+⨯+=⎪⎩， ---------------------------------8分解得14585m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩---------------------------------10分 ∴148(,)55B '--，86115142785B A k '-+==-+ ---------------------------------11分 由点斜式可得116(8)27y x +=--，整理得1127740x y ++= ∴反射光线所在的直线方程为1127740x y ++=． ---------------------------------12分 法二：设入射点的坐标为(,)C x y431034230x y x y ++=⎧⎨--=⎩， ---------------------------------8分 解得135195x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩---------------------------------10分∴196115132785CAk -+==-- ---------------------------------11分 由点斜式可得116(8)27y x +=--，整理得1127740x y ++= ∴反射光线所在的直线方程为1127740x y ++=．---------------------------------12分 22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵()f x 是R 上的增函数，∴设(),(0)f x ax b a =+>---------------------1分2[()]()165f f x a ax b b a x ab b x =++=++=+∴2165a ab b ⎧=⎨+=⎩， ---------------------------------3分 解得41a b =⎧⎨=⎩或453a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩（不合题意舍去） ---------------------------------5分∴()41f x x =+ ---------------------------------6分（Ⅱ）2()()()(41)()4(41)g x f x x m x x m x m x m =+=++=+++ ---------------7分 对称轴418m x +=-，根据题意可得4118m +-≤， ---------------------------------8分解得94m ≥-∴m 的取值范围为9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭---------------------------------9分 （Ⅲ）①当4118m +-≤时，即94m ≥-时 max ()(3)391313g x g m ==+=，解得2m =-，符合题意； -------------------------11分②当4118m +->时，即94m <-时 max ()(1)3313g x g m =-=-=，解得103m =-，符合题意；----------------------------13分 由①②可得2m =-或103m =- ------------------------------14分。