由平行线截得比例线段
《由平行线截得的比例线段》教学设计
《4.2 由平行线截得的比率线段》教课方案一、教课内容剖析《由平行线截得的比率线段》是浙教版九年级上册第四章的第二节课。
本节课要求掌握一个基本领实：“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比率” 。
这个基本领实又被称为“平行线截割定理” 。
它属于客观存在的事实性知识，因为其证明过程比较复杂，在教课中对学生不作要求。
所以教材中是以基本领实的形式进行表现的，经过实验让学生感觉，并无给出严格的证明过程。
而后教材经过两个例题的应用帮助学生稳固对定理使用条件和结论的认识，特别是例 2 要经过增添协助线来知足定理使用的条件，表现了数学转变思想。
二、教课目的1、知识与技术：能应用平行线截割定理找出比率线段并解决有关计算问题，能利用定理将线段随意平分。
2、过程与方法：经历平行线截割定理的发现过程，能利用转变思想联合定理解决相应问题。
3、感情态度、价值观：培育学生独立思虑能力及团结协作意识，加强研究数学识题的信心。
三、学情剖析学生在学习本节课前已经学习了比率的基天性质、比率线段的观点，能依据线段的长度计算比率和利用比率计算有关线段的长度，拥有益用转变思想解决问题的经验。
要完成本节课的教课目的，学生需要具备从教课活动中发现并概括出数学规律的能力；能依据比率线段计算有关线段的长度；在不知足定理使用条件的问题中，能先合理的创建定理使用条件，再利用定理解决问题。
四、要点难点要点：学生在经历数学活动后发现和概括出平行线截割定理。
难点：例 2 的作法思路不易形成，是本节的难点。
关于要点，教师能够设计合理的问题串来指引学生一步步发现平行线截割定理，经过相互议论增补的形式帮助学生概括出定理。
关于难点，依据支架式教课策略，教师能够设计出更为特别简单的支架型问题，帮助学生利用特别到一般的思想过程形成例 2 的解题思路，以此来打破难点。
五、教课策略依据以上剖析，本节课将采纳支架式教课策略和小组合作学习策略。
本节课的定理需要学生去概括发现，但学生发现问题与概括小结的能力有差距，所以经过小组合作学习策略，让能力强的学生有更多的表现时机，经过生生互动让能力衰的学生也能获取成长。
数学4.2 由平行线截得的比例线段教学设计
4.2 由平行线截得的比例线段教材简介平行线分线段成比例定理是本章的重点。
它是研究相似三角形的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比来证明。
教学目标1．了解平行线分线段成比例定理的证明，掌握定理的内容。
2．能应用定理证明线段成比例、平行等问题，并会进行有关的计算。
教学重点：平行线分线段成比例定理及其理解。
教学难点：平行线分线段成比例定理及其应用。
教学关键： 1.恰当运用类比。
2.比例式的变形。
教学方法：类比启发、探索发现教学用具：教学多媒体课件教学内容设计意图教学过程一、创设问题情境，导入新课:1．平行线等分线段定理的内容是什么？2．如图1，l1//l2//l3，AB＝BC, AB/BC＝？，DE/EF＝?，AB/BC与DE/EF有什么关系？A D A DB EB EC F C F图1 图2二、问题类比，提出猜想：问题一、如图2，l1//l2//l3,AB≠BC,AB/BC＝2/3,DE/EF＝?,AB/BC与DE/EF有什么关系？创设问题情境，导入新课的二个问题由教学多媒体集成。
1.是起到创设问题情景的作用。
2.是为了引入新课。
3．为问题一的类比做好铺垫。
问题一是为引导学生发现“平行线分线段成比例定理”而设计的。
１教学过程引导学生类比问题2进行猜想。
将学生分组，讨论上述第三个问题。
可以提出一个猜想（命题）：命题：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
（学生对命题的叙述不一定准确，教师引导学生得出叙述准确的命题，并提出应对命题的正确性加以说明。
）学生根据问题2的结果可以猜想出DE/EF＝2/3,AB/BC＝DE/EF，为什么呢？说明：设线段AB的中点为P1，线段BC的三等分点为P2、P3，这时AP1＝P1B＝BP2＝P2P3＝P3C。
分别过点P1、P2、P3作直线P1P4、P2P5、P3P6平行于l1，与l4交于点P4、P5、P6。
九年级数学上册《由平行线截得的比例线段》教案、教学设计
（四）课堂练习
课堂练习环节旨在巩固学生对比例线段知识的应用。我会设计以下几类题目：
1.基础题：让学生运用比例线段的概念和性质，解决简单的几何问题。
2.提高题：设计一些综合性的题目，让学生运用所学知识解决实际问题。
3.挑战题：针对学有余力的学生，设计一些具有挑战性的题目，激发学生的求知欲。
在练习过程中，我会巡回指导，关注学生的解题思路和方法，及时纠正错误，鼓励学生相互讨论，共同解决问题。
（五）总结归纳
在总结归纳环节，我会让学生回顾本节课所学的内容，总结比例线段的知识点和解题方法。然后，我进行点评，强调以下几点：
1.比例线段的定义和性质。
2.比例线段在实际问题中的应用。
3.解题过程中要注意的问题，如识别比例线段、避免计算错误等。
4.学生在课堂讨论和练习中的优点和不足，以及如何改进。
总字数：2533字
4.培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，使学生认识到数学在现实生活中的重要性，增强学生的社会责任感。
总字数：1015字
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的几何基础，掌握了平行线的性质和判定方法，但在解决实际问题时，可能还未能熟练运用比例线段的概念。此外，学生在空间想象力、逻辑思维能力和问题解决能力方面存在一定的差异。因此，在本章节的教学中，要注意以下几点：
-采用总结性评价，通过单元测试、期中考试等形式，评估学生对比例线段知识的掌握程度。
4.教学资源：
-利用学校图书馆、网络资源等，为学生提供丰富的学习资料，拓展学生的知识视野。
-结合实际生活，设计富有情境的教学活动，让学生在实践中学习，增强知识的现实意义。
5.教学关注点：
平行线截得比例线段定理
平行线截得比例线段定理简介平行线截得比例线段定理是数学中的一条重要定理，它描述了平行线所截线段的比例关系。
这个定理可以帮助我们解决许多几何问题，特别是与平行线和线段相关的问题。
下面将详细介绍这个定理及其应用。
定理表述平行线截得比例线段定理，又称为Thales定理，它表述如下：定理：如果在两条平行直线上有一组交叉线段，那么这些交叉线段的长度比是相等的。
按照数学表达式来表示，设有两条平行线l和m，它们被一组交叉线段AB和CD分别截取，AB与CD之间的交叉线段分别为AE和CF。
那么，根据平行线截得比例线段定理，我们有以下等式成立：$\\frac{AB}{CD} = \\frac{AE}{CF}$其中，AB和CD为已知线段，AE和CF为待求线段。
证明平行线截得比例线段定理的证明可以基于数学的初等几何和比例关系。
这里简要概述一下该定理的证明过程。
首先，我们可以利用平行线之间的性质证明交叉线段的比例相等性质。
可以通过使用平行线上的内错角定理来证明同位角相等。
然后，我们可以利用对应角相等以及相似三角形的性质来证明线段的比例关系。
具体证明过程可能会涉及到对角线进行延长、三角形的相似性质以及比例的性质等。
不过，由于本篇文档的限制，无法将具体的证明过程呈现给读者。
如果你对该定理的证明感兴趣，可以通过查阅相关数学教材或资料进行深入学习。
应用示例平行线截得比例线段定理在几何问题中的应用非常广泛。
下面我们通过一个应用示例来进一步说明它的用途。
假设我们有三条平行线l，m和n，它们分别被交叉线段AB和CD截取。
已知AB与CD的比例为2:3，我们可以利用平行线截得比例线段定理来求解其他线段的长度。
假设平行线l与m之间截取的线段为AE，平行线m与n之间截取的线段为CF。
根据平行线截得比例线段定理，我们可以设立如下比例等式：$\\frac{AB}{CD} = \\frac{AE}{CF}$代入已知比例和线段长度，我们可以得到：$\\frac{2}{3} = \\frac{AE}{CF}$根据上述等式，我们可以解出AE和CF的比例关系，从而求解出AE和CF的具体长度。
第31讲 由平行线截得的比例线段(原卷版)
32第31讲 由平行线截得的比例线段一、平行线截线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例已知如图，直线l 1、l 2、l 3是一组等距离的平行线，l 4、l 5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A ，B ，C ，D ，E ，F ，则比例式,,,,A B D E A B D E B C E F B C E FB C E F A C D F A B D E A C D F==== 成立.要点：上图的变式图形：分A 型和X 型；A 型 X 型则常用的比例式：依然成立.二、把已知线段AB 五等分.已知线段AB ，请利用尺规作图把线段AB 五等分.作法1.以A 为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=A 4A 5.2.连结A 5B ，并过点A 1，A 2，A 3，A 4分别作A 5B 的平行线，依次交AB 于点B 1，B 2，B 3，B 4.则点B 1，B 2，B 3，B 4就是所求作的把线段AB 五等分的点.依据：实际上，过点A 作l ∥A 5B ，根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式,,AD AE AD AE DB ECDB EC AB AC AB AC===11223344112233445.A B B B B B B B B BA A AA A A A A A A ====∵ AA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=A 4A 5，∴ AB 1=B 1B 2=B 2B 3=B 3B 4=B 4B,∴点B 1，B 2，B 3，B 4把线段AB 五等分.要点：在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规,不能使用直尺进行量取,尺规作图中的直尺是没有刻度的,它的用途是画线或者连线.例1．如图，已知//,2,3,6AB CD AO BO CO ===，那么DO =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6例2．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若23AD DB =，则AE EC等于( )A ．13B ．25C ．23D ．35例3．已知线段a 、b 、c ，求作线段ab x c=，下列作法中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．例4．如图，点D 、E 分别在AB 、AC 上，以下能推得DE BC ∥的条件是（ ）．A ．::AD AB DE BC=B ．::AD DB DE BC=C ．::AD DB AE EC =D ．::AE AC AE DB=例5．如图，若l 1∥l 2∥l 3，则下列各式错误的是（ ）A ．BC EFAC DF=B ．AB DEAC DF=C ．AB ACDE DF=D ．AB DEAC EF=例6．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，AD ：BD=5：3，CF=6，则DE 的长为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12例7．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC 分别交l1，l2，l3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l1，l2，l3于点D 、E 、F ，AC 与DF 相交于点H ，且AH=2，HB=1，BC=5，则DEEF=（ ）A ．35B ．2C ．25D ．12例8．如图，点G 、F 分别是BCD △的边BC 、CD 上的点，BD 的延长线与GF 的延长线相交于点A ，//DE BC 交GA 于点E ，则下列结论错误的是（ ）A ．AD AEBD EG =B ．DE DF CG CF=C ．AE DEAG BC=D ．AD DEAB BG=例9．如图，DE 、NM 分别是V ABC 、V ADE 的中位线，NM 的延长线交BC 于点F ，则DMN S V ：S 四边形MFCE等于（ ）A ．1：5B ．1：4C ．2：5D ．2：7例10．如图，四条平行直线1l 、2l 、3l 、4l 被直线5l 、6l 所截，::1:2:3AB BC CD =，若3FG =，则线段EF 和线段GH 的长度之和是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8例11．如图，直线123////l l l ，直线AC 分别交1l 、2l 、3l 于点A 、B 、C ，直线DF 分别交1l 、2l 、3l 于点D 、E 、F ，AC 与DF 相交于点H ，如果5,1,2AB BH CH ===，那么EFDE的值等于（ ）A ．15B ．13C ．25D ．35例12．如图，AB ∥CD ∥EF ，AC 与BD 相交于点E ，若CE =5，CF =4，AE =BC ，则CD AB的值是（ ）A ．23B ．12C ．13D ．14例13．如图，////AB GH CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，2AB =，3CD =，则GH 的长为 ．例14．如图，AD 是△ABC 的中线，AE ＝EF ＝FC ，BE 交AD 于点G ，则AG AD＝_________．例15．如图，在ABC V 中，D 为AC 上一点，且12CD AD =，过点D 作//DE BC 交AB 于点E ，连接CE ，过点D 作//DF CE 交AB 于点F ．若15AB =，则EF =______．例16．如图ABC V 中，E 、F 为BC 的三等份点，M 为AC 的中点，BM 与AE 、AF 分别交于G 、H ，则::BG GH HM =________．一、单选题1．如图，△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 的反向延长线上，且DE ∥BC ．若AE =2，AC =4，AD =3，则AB 为（ ）A ．9B ．6C ．3D ．322．如图，在ABC V 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE BC ∥．若:3:1AD DB =，则:AE EC 等于（ ）A ．3:1B ．3:4C ．3:5D ．2:33．如图，1l ∥2l ∥3l ．若23=AB BC ，DE =4，则EF 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．94．如图，点A ，E ，F ，C 在同一条直线上，AD BC ∥，BE 的延长线交AD 于点G ，且BG DF ∥，则下列结论中错误的是（ ）A ．AG AD ＝AE AFB ．AG GD＝AEEF C ．AE AC＝AGAD D ．AFFC ＝DF FH5．如图，l 1∥l 2∥l 3，且ADDF ＝32，则错误的是（ ）A ．35AD AF =B ．32BC CE =C ．23AB EF =D ．35BC BE =6．如图，在ABC V 中，AC ，AB 两边上的中线BE ，CD 相交于点O ，则DOEEOCS S =△△（ ）A ．23B ．14C ．13D ．127．如图是一架梯子的示意图，其中1111∥∥∥AA BB CC DD ，且AB BC CD ==．为使其更稳固，将A ，1D 间加一条安全绳（线段1AD ），1AD 分别交1BB ，1CC 于点E ，F ，量得0.4m =AE ．则1AD 的长为（ ）A ．0.8mB ．1mC ．1.2mD ．1.4m8．如图，在ABC V 中，AD DE EF FB ===，AG GH HI IC ===，已知2BC =，则DG EH FI ++的长是( )A ．52B ．3C ．32D ．49．如图，在ABC D 中，点D ,点E 为边AB 的三等分点，////EF DG AC AF ，与DG 交于点H ，则下列比例式正确的是（）A ．AD HGDE AC=B ．BF FGBE FH=C ．DH BFEF BG=D ．AH EFHF DG=10．如图，正方形ABCD 的边AB ，CD 上各有一个点I ，E ，连结EI ，且//EI BC ，点F ，G ，H 分别在AD ，AB ，BC 边上，连结GF ，FE ，EH ，H G ，其中EI 与GF 相交于点J ，IJ AI =，为求出平行四边形EFGH 的面积，只需知道下列哪条边的长度（ ）A ．IGB ．AFC ．BGD ．AG二、填空题11．如图，已知AE BC ∥，AC 、BE 交于点D ，若23AD DC =，则DEBE=______．12．如图，////,::2:3:4DE FG BC AD DF FB =，如果4EG =，那么AC =________．13．如图，AB ∥CD ∥EF ，若12=AC CE ，则BD DF_____．14．如图，已知//DE BC ，:3:2BF EF =，则:AC AE =______，:AD DB =______.15．如图，已知//a b ，35AF BF =，3BC CD=，则:AE EC =______.16．如图，在ABC V 中，AD 是中线，G 是重心，过点G 作//EF BC ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，若18AC =，则AF =____________．17．如图，在ABC V 中，90,8,6,ACB AC BC AD Ð=°==为边BC 上的中线，BE 是ABC V 的角平分线，,AD BE 交于点F ．则EF 的长为______．18．如图，在ABC V 中，点D 是边BC 的中点，直线DF 交边AC 于点F ，交AB 的延长线于点E ，如果::CF CA a b =，那么:BE AE 的值为____．（用含a 、b 的式子表示）三、解答题19．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别与AB、AC交于点D、E，若AE：EC=2：3，DB-AD=3，求AD 和DB的长．20．如图，已知AD∥EB∥FC，AC=12，DB=3，BF=7，求EC的长．21．如图，已知AD//BE//CF，它们依次交直线1l、2l于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．（1）求DEDF的值；（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．22．如图，B、C、D、N分别是⊿AMO边AO、MO上的点，MC∥ND，OB ODAB CD=，求证：NB∥MA23．如图，在△ABC中，点D、F是在边AB 上，点E在边AC上，且FE∥CD，线段AD是线段AF与AB 的比例中项．求证：DE∥BC24．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：2CF GF EF=×．25．如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3．（1）求EC的值；（2）求证：AD•AG=AF•AB．26．已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，且EF∥BD，AE、AF分别交BD于点G和点H，BD=12，EF=8．求：（1）DFAB的值；（2）线段GH的长.27．如图，MN 经过D ABC 的顶点A ，MN ∥BC ，AM=AN ，MC 交AB 于D ，NB 交AC 于E ．（1）求证：DE ∥BC ；（2）联结DE ，如果DE=1，BC=3，求MN 的长．28．如图，在Rt ABC △中，90ABC Ð=°，BA BC =，点D 为BC 边上的中点，连接AD ，过点B 作BE AD ^于点E ，延长BE 交AC 于点F ，求AF FC的值．29．如图，已知在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点M 在线段OD 上，联结AM 并延长交边DC 于点E ，点N 在线段OC 上，且ON ＝OM ，联结DN 与线段AE 交于点H ，联结EN 、MN ．（1）如果EN ∥BD ，求证：四边形DMNE 是菱形；（2）如果EN ⊥DC ，求证：AN 2＝NC •AC ．。
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理:两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例。
推论:平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例。
定理定义三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
这一定理被称为"平行线分线段成比例定理"。
如图，因为AD∥BE∥CF，所以AB:BC=DE:EF;AB:AC=DE:DF;BC:AC=EF:DF。
也可以说AB:DE=BC:EF;AB:DE=AC:DF;BC:EF=AC:DF。
上述图样只是平行线分线段的一种特殊情况。
事实上，直线AC和直线DF可以在平行线之间相交，同样有定理成立。
定理证明设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点。
连结AE、BD、BF、CE根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE，S△BCE=S△BEF∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得:AB/BC=DE/EF由更比性质、等比性质得:AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF定理推论过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例。
平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
•平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
推广:过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
定理推论:①平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例。
②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
•证明思路:该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它(用相似三角形可以证明它，在这里要用到平移和设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点法1:过A作平行线的垂线交另两条平行线于M、N,过D作平行线的垂线交另两条平行线于P、Q,则四边形AMPD、ANQD均为矩形。
平行线分线段成比例定理
左 左 = 右 右
L5 L4 A D B E C
L5
L4 D
L1
L2
E A
L1
L2
B C 数学符号语言 L3 数学符号语言 ∵ DE∥BC ∵ DE∥BC
L3
AD AE AB AC
AD AE AB AC
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的 延长线），所得的对应线段的比相等.
例1 如图: l1∥l2∥l3 ,
A1 A 要把表示对应角顶点的 字母写在对应的位置上。 注意 B1 C
B
C1
当 ∠A =∠A1，∠B =∠B1， ∠C =∠C1， AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时， 则△ABC 与△A1B1C1 相似，
记作△ABC ∽ △A1B1C1。
平行线分线段成比例定理：
(1)若AB=3 , DE=2, EF=4,求 BC. 解: l ∥l ∥l A
一般把所求线段 BC EF AB DE 写成比例第一项.
即:
BC EF BCDE 4 AB
1
2
3
B C
D E
F
l1 l2 l3
3
2
BC=6
(2)若AC=8,DE=2,EF=3,求AB.
AB DE DE AB 2 16 AB AC DF DE EF 8 2 3 5
过点E作EF∥AB，EF交BC于点F. ∵DE∥BC，EF∥AB，
AD AE BF AE , . AB AC BC AC DE . BC
E
C
∵四边形DEFB是平行四边形， DE AE AD AE , ∴DE=BF，
BC AC AB AC
中考数学复习专题4.2 由平行线截得的比例线段(解析版)
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A． ＝
B． ＝
C． ＝
D． ＝
【思路点拨】首先证明四边形 DECH 是平行四边形，再利用平行线分线段成比例定理一一判断即可． 【答案】解：∵DE∥BC，DH∥AC， ∴四边形 DECH 是平行四边形， ∴DH＝CE，DE＝CH， ∵DE∥BC， ∴ ＝ ＝ ，故选项 A 正确，不符合题意，
∴AC∥DB．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）
所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边是解题的关键．
6．（2019•萧山区模拟）如图，直线 l1∥l2∥l3，直线 AC 分别交 l1，l2，l3 于 A，B，C；直线 DF 分别交 l1，
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【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用，作出辅助线，利用中间量 EF 即可得出结论．
14．（2018 秋•杨浦区期中）如图，AD、BC 相交于点 O，点 E、F 分别在 BC、AD 上，AB∥CD∥EF，如果
∵DH∥CG， ∴ ＝ ＝ ，故 C 正确，不符合题意，
∵DE∥BC， ∴＝，
∴ ＝ ，故 D 正确，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握 基本知识，属于中考常考题型． 9．（2019 春•兴宾区校级月考）如图，点 F 是平行四边形 ABCD 的边 CD 上一点，直线 BF 交 AD 的延长线 于点 E，则下列结论正确的有（ ） ① ＝ ；② ＝ ；③ ＝ ；④ ＝ ．
4.2由平行线截得的比例线段课件
研一研
类型之一
例1
利用平行线分线段成比例定理计算
如图7，直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线
l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，已知EF∶DF＝5∶8，AC＝24.
(1)求AB的长； (2)当AD＝4，BE＝1时，求CF的长．
图7
解：(1)∵l1∥l2∥l3，EF∶DF＝5∶8， AC＝24， EF BC 5 ∴ ＝ ＝ ， DF AC 8 BC 5 ∴ ＝ ， 24 8 ∴BC＝15， ∴AB＝AC－BC＝24－15＝9. (2)∵l1∥l2∥l3，
【知识管理】
平行线分线段成比例定理 定理：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所 成比例 ． 得的对应线段__________ 如图1
图1
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)， 对应线段 的比相等． 所得的____________
图2
注意：(1)平行线分线段成比例定理没有逆定理． (2)判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线 段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例)． (3)由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与
【点悟】本Байду номын сангаас应用了平行四 边形的性质和平行线分线段 成比例定理，解此题的关键 BD 是能通过 AD 这个 “ 桥 ” 来 推出结论．
图12
1.如图13，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，
DF∥AC，若AC＝10，BC＝20，DE＝12，求DF的长．
图13
图14
2．如图 14，在△ABC 中，AM 是 BC 边上的中线，直线 DN∥AM，交 AB 于点 D，交 CA 的延长线于点 E，交 BC AD AE 于点 N.求证： AB＝ AC.
初中数学初三数学上册《由平行线截得的比例线段》教案、教学设计
1.作业难度要适中，既要保证学生对基础知识的巩固，又要适当提高，激发学生的思维潜能。
2.作业量要合理，避免过多导致学生负担过重，影响作业质量。
3.鼓励学生独立完成作业，培养其自主学习能力。
4.对于作业中的疑问，鼓励学生在课堂上提问，及时解决学习中遇到的问题。
2.创设情境：接着，我会通过一个实际情境问题来引出本节课的主题。
例如：“在我们的城市规划中，设计师经常需要考虑到道路的宽度和建筑物的比例关系。如果有一条马路被两条平行的绿化带截成了三段，我们知道这些截得的线段之间是否存在某种关系呢？这就是我们今天要学习的《由平行线截得的比例线段》。”
3.提出问题：通过情境创设，我会提出问题，引导学生思考。
例如：在建筑设计中，如何利用平行线截得的比例线段来计算建筑物的比例关系？
2.自主探究，合作交流：鼓励学生自主探究比例线段的性质，小组内分享交流，培养学生的合作意识和沟通能力。
教学活动：
（1）引导学生观察平行线截得的线段，探讨其比例关系。
（2）组织学生分组讨论，总结平行线截得的比例线段的性质。
（3）各小组汇报研究成果，其他小组进行评价和补充。
学生在学习本章节之前，已经掌握了比例线段的基本概念，具有一定的几何图形识别和推理能力。此外，通过前面的学习，学生对平行线的性质有了较为深入的了解，这为学习平行线截得的比例线段奠定了基础。
然而，学生在解决实际问题时，可能还未能将比例线段的知识与生活实际有效结合，需要教师在教学过程中加强引导。此外，学生在小组合作、讨论交流等方面的能力有待提高，教师在教学过程中应注重培养学生的合作意识和沟通能力。
3.精讲精练，突破难点：针对教学难点，教师进行针对性讲解，并设计有层次的练习题，帮助学生巩固所学知识。
初中数学由平行线截得的比例线段PPT课件
你还能找出一组比例线段吗？若平行线 a，b，
c间的距离是任意的，比例式
AB A'B' 还成立吗？
BD B'D'
图2
图3
问题二：
如图4，已知AБайду номын сангаас∥CD∥EF，那么下列结论中， 正确的是（ ）
A. CD AC EF AE
C. AC CE BD DF
B. AC BD AE DF
D. AC DF BD CE
问题一: 1.观察有横格线的练习簿页，这些横线有什么特征？ 在图1中任意画一条截线AB，分别与平行线a，b，c， d，e交于点A,B,C，D,E,则截得的线段AB,BC，CD,DE 有什么数量关系？
图1
2.若在图1中再任意画一条截线 A'B' （如图2），
你能找出一组比例线段吗？
3.如果在图2中去掉直线c，e(如图3)，那么
图6
例1 如图，直线 l1 // l2 // l3 ，直线AC分别交
l1,l2 ,l3 于点A,B,C；直线DF分别交 l1,l2 ,l3
于点D,E,F.已知DE=3，EF=6，AB=4， 求AC的长.
A
D
若在上题的基础上，增加 OE=2，则OB的长是 .
B
E
O
F
C
问题四： 如何将线段AB两等分？ 例2 已知线段AB.把线段AB五等分.
变式：
图4
1.如图4，已知AB∥CD∥EF，若
AC 3 ,求 BD . CE 4 BF
2.将上图中的直线l向左平移，使点B与点A重合 (如图5)，已知AC:CE=3:4,BF=14， 求BD的长.
图5
3.若将上图中的直线继续向左平移，使点D与 点C重合（如图6），请写出一个成比例线段 和相应的比例式.
42由平行线截得的比例线段课件-浙江省嘉兴市秀洲区高照实验学校浙教版九年级上册数学(共20张PPT)
课堂练习
2.如图,AB∥CD∥MN,点M,N分别在线段AD,BC上.写出成比例线 段和相应的比例式.
课堂练习
3.如图,在△ABC中,DE∥BC,AD＝EC,BD＝4,AE＝3.求AB的长.
典例精讲
例2.已知线段AB.把线段AB五等分.
Ａ
Ｂ
课堂练习
4.已知线段a(学习的难点.
合作探究
1.观察有横格线的练习簿页,这些横格线有什么特征?在图中任意画
几条直线,使之与横格线相交.这些横格线在每一条所画的直线上截
得的线段有什么规律?
特征1.互相平行
特征2.间隔 的距离相等
测一测，从比值 的角度你发现什 么规律？
合作探究
合作探究
归纳总结
基本事实： 两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例.
对 应 很 关 键
典例精讲
例1.如图，直线l1∥l2∥l3 ，直线AC分别交l1，l2，l3于点A， B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．已知DE=3，
EF=6，AB=4，求AC的长.
课堂练习
1.如图，AB//CD//MN,AC与BD相交于点P.写出成比例线段和相应 的比例式.
第4章 相似三角形
4.2 由平行线截得的比例线段
教学目标
1.经历基本事实：两条直线被一组平行线（不少3条）所截，所 得的对应线段成比例的发现过程.
2.掌握上述的基本事实，会运用上述基本事实进行有关的计算 和作图.
重点与难点
本节学习的重点是基本事实：两条直线被一组平行（不少3条） 所截，所得的对应线段成比例.
于点E,F,G. 求证:AE:AF:AG＝BE:DF:CG.
课堂测评
2024年浙教版数学九年级上册4.2《由平行线截得的比例线段》教学设计
2024年浙教版数学九年级上册4.2《由平行线截得的比例线段》教学设计一. 教材分析《由平行线截得的比例线段》是浙教版数学九年级上册4.2节的内容，主要讲述了通过平行线截得的线段之间的比例关系，进一步引导学生探索和发现平行线之间的性质。
本节内容是学生学习了平行线的基本性质后的进一步拓展，对于学生来说，具有一定的挑战性。
教材通过具体的实例，引导学生发现平行线截得的比例线段之间的关系，从而培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平行线的基本性质，对于图形的观察和分析有一定的基础。
但是，对于通过平行线截得的比例线段的性质，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、分析、归纳，从而发现平行线截得的比例线段的性质。
三. 教学目标1.理解平行线截得的比例线段的性质。
2.能够运用比例线段的性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
四. 教学重难点1.重点：平行线截得的比例线段的性质。
2.难点：如何引导学生发现平行线截得的比例线段的性质。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析、归纳，发现平行线截得的比例线段的性质。
同时，运用小组合作的学习方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、黑板、粉笔等。
2.准备一些实际的例子，用于引导学生发现平行线截得的比例线段的性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引发学生对平行线截得的比例线段的性质的思考。
例如，给出一个矩形，让学生找出其中两条平行线截得的比例线段。
2.呈现（10分钟）通过PPT或者黑板，展示一些平行线截得的线段，引导学生观察和分析这些线段之间的比例关系。
同时，提出问题，引导学生思考平行线截得的比例线段的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，自己找出一些平行线截得的线段，并计算它们之间的比例。
通过实际操作，让学生更深入地理解平行线截得的比例线段的性质。
平行线截得比例线段定理
平行线截得比例线段定理介绍在几何学中，平行线截得比例线段定理是一种简单而又常用的几何定理。
这个定理描述了两条平行线之间的线段的比例关系，是解决平行线与线段问题的有效工具。
定理表述设有两条平行线l和m，在这两条平行线上任意选取三个点A、B、C，其中B是线段AC上的一点。
则有以下定理成立：定理：直线l和m所截线段AC、AB分别与直线m所截线段BC的比值相等。
即AB / BC = AC / CB证明下面给出该定理的简单证明：我们可以假设直线l和m的交点为O，并画出AO和CO两条直线。
由于AC是两条平行线l和m所切割的交线段，所以根据相似三角形的性质，我们可以得到如下比例关系：AO / CO = AB / CB进一步，我们可以对上面的比例式进行变形，得到：AB / CB = AC / CO再观察三角形ACO，我们可以发现，BC是CO的外部一部分，所以我们可以用AC减去CO得到CB的长度。
将这一点代入上式，我们可以得到：AB / CB = AC / (AC - CB)接下来，我们将等式两边的比例的分子和分母都乘以CB，得到：AB * CB / CB = AC * CB / (AC - CB)化简后可得：AB = AC * CB / (AC - CB)我们可以将分子视为AC和AB之间可乘的比例系数。
当分子为负时，我们可以观察到AC和AB位于点O的同一侧。
所以，这个比例关系对于任意选择的点B都是成立的。
因此，根据我们的证明，我们可以得出结论：直线l和m所截线段AC、AB分别与直线m所截线段BC的比值相等。
应用平行线截得比例线段定理有很多实际应用，特别是在几何证明和计算问题中。
在几何证明中，平行线截得比例线段定理是解决平行线问题的重要工具。
它可以帮助我们推导出其他与平行线相关的性质和定理。
在计算问题中，平行线截得比例线段定理可以用来计算未知比例线段的长度。
只要已知其他三个线段的长度和相对位置，我们就可以通过这个定理得出未知线段的长度。
4.2由平行线截得的比例线段
A
B
观察有横格线的练习簿页，这些横格线有 什么特征？在练习簿页上任意画几条直线，使 之与横格线相交。这些横格线在每条所画的直 线上截得的线段有什么规律？
请观察：
平行线截得比例线段定理： 两条直线被一组平行线（不少于3条）所截， 所得的对应线段成比例。
1.如图,AB∥CD∥MN,点M,N分别在线段 AD,BC上.写出成比例线段和相应的比例式.
H M
如图，DE∥AB，EF∥BC，AF = 5cm, FB = 3cm,CD=2cm,求BD的值。
A
5
F
ห้องสมุดไป่ตู้
E
3
B
?
D
2
C
常 规
4 6
3
例2.已知线段AB，把线段AB五等分.
作法：
1.以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取 线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5. 2.连接A5B,并过点A1、A2、A3、A4、分别作A5B的 平行线，依次交AB于点B1, B2, B3 ,B4.
1.已知线段a(如图),把它六等分.
2.已知线段a(如图),把它分成3:4的两条线段.
3. 在△ABC中，已知DE∥BC，分别交
AD AE AD AE AB,AC于点D,E. 求证： , . BD EC AB AC
F
A
E C
G
D B
4.如图,在△ABC中,DE∥BC,AD＝EC, BD＝4,AE＝3.求AB的长. 解:过点A作直线l∥DE, 则l∥DE∥BC,
DM CN ＝ , MA NB DM CN ＝ , DA CB AM BN ＝ . AD NC
3 DM 3 CN 若 , ? MA 4 CB 7
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L5
L4Biblioteka L1L2L3
由平行线截得比例线段
8字L形5 L4
E
D
L1
A
L2
B
C
L3
由平行线截得比例线段
数学符号语言
DE // BC E D
A
AD AE
AB =AC B
C
由平行线截得比例线段
L5 L4
L5 L4
A
L1
ED
L1
DE
L2
A
L2
B
C L3 B
C
L3
数学符号语言 数学符号语言
∵ DE∥BC
a
几何语言
A
L1//L2//L3
B
AB
DE
=
C
BC
EF
(平行线分线段成由平比行线截例得比例定线段理)
b
D L1
E L2
F
L3
平行线分线段成比例定理与平行线等分线 段定理有何联系？
AD
B
E
当 AB 1
A
D
BC
B
E
C
F
当 AB 1 BC
C
F
结论：后者是前者的一种特殊情况！
由平行线截得比例线段
L4 L5 L1 L2 L3
—AADB—
＝
—2 —5 —
A B
C
由平行线截得比例线段
例题2
已知：DE//BC, AB=15,AC=9, BD=4 . 求：AE=?
解: ∵ DE∥BC
∴ —AB— ＝ —AC— （推论）
BD CE
即 —15—＝—9—
B
4 CE ∴ CE ＝ 1—52
D
∴ AE= AC+CE=9由+平行线1—截5得2比例=线段11—25
由平行线截得比例线段
L5L4 L1 L2 L3
由平行线截得比例线段
L5 L4 L1 L2 L3
由平行线截得比例线段
L5 L4 L1 L2 L3
由平行线截得比例线段
A字形L5 L4
A
L1
D
E
L2
B
C
L3
由平行线截得比例线段
数学符号语言
DE // BC
D
AD AB
=AACE
B
A
E
C
由平行线截得比例线段
ＨＣ
Ｇ
Ｆ
Ｍ
Ｅ
Ｄ
五等分点。
Ａ ＩＪＫ Ｌ Ｂ
Ｎ 作法：１）作射线ＡＣ。
２）在射线ＡＣ上顺次截取
ＡＤ＝ＤＥ＝ＥＦ＝ＦＧ＝ＧＨ。
３）连结ＨＢ。
４）过点Ｇ、Ｆ、Ｅ、Ｄ分别作ＨＢ的平行线ＧＬ、ＦＫ、 ＥＪ、ＤＩ，分别交ＡＢ于点Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ。
Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ就是所求的五等分点
由平行线截得比例线段
A
1、判断题:
如图:DE∥BC, 下列各式是否正确
A: —AA—DB ＝ —AAEC— ( )B: —ABDD—＝ —AC—EE ( ) D
E
C:—AA—CD ＝ —AA—BE ( ) D: —AA—ED ＝ —AA—CB ( )B
C
2、填空题:
ED
如图:DE∥BC,
已知:
—AACE—
＝
—2 5
求:
a A B
C
b D
(1) AB DE BC EF
上上 下 =下
E L1
L2
(2) AB DE AC DF
上 全
上 =全
F L3
L4
(3) BC EF 下 AC DF 全
下 =全
两条直线被一组平行线（不少于3条） 所截，所得的对由应平行线线截得段比例线成段 比例。
平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线（不少于3条） 所截，所得的对应线段成比例。
A
C E
探究
已知：如图,DE//BC,DE分别交AB、AC于点D、E
求证：AD AE DE AB AC BC
A
D
E
DE//BC EF//AB
AD AE
B
F
C
AB AC
AE BDFE
AC BC
BF=DE
由平行线截得比例线段
AD AE DE AB AC BC
例题讲解：
已知：线段ＡＢ 求作：线段ＡＢ的
如果一组平行线在一条直线上截得的线
段相等， 那么在其他直线上截得的线段也
相等.
如何来证明？ 由平行线截得比例线段
平行线等分线段定理: 如果一组平行线在 一条直线上截得的线段相等， 那么在其 他直线上截得的线段也相等.
已知：如图，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC
求证： DE=EF 证明：
l1
A
l2
L4 L5
A
D
L1
B
E
L2
C
F
L3
由平行线截得比例线段
L4 L5 L1 L2 L3
由平行线截得比例线段
L5L4 L1 L2 L3
由平行线截得比例线段
L5 L4 L1 L2 L3
由平行线截得比例线段
L5 L4 L1 L2 L3
由平行线截得比例线段
L5 L4 L1 L2 L3
由平行线截得比例线段
∵ DE∥BC
∵
AD AB
=
AE AC
∵
AD AB
=
AE AC
由平行线截得比例线段
推论：
A
平行于三角形一边的直 线截其他两边(或两边的
D
E
延长线），所得的对应
线段成比例。
B
C
推论的数学符号语言： E D
∵ DE∥BC
A
∴ —AD— ＝ —AE— （推论）
AB AC
B
C
由平行线截得比例线段
练习一:
已知：如图，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC,那么下 列各式成立吗？
(1) AB DE BC EF
(2) AB DE AC DF
(3) BC EF AC DF
上上 下 =下 上上 全 =全
下下 全 =全
l1
A
l2
B
l3
C
D E F
什么是对应线段？ 由平行线截得比例线段
如果平行线间的距离不相等呢？
B
l3 C
D E F
注意
实际上相邻两平行线间的 距由平行离线截相得比例等线段的情况下得到的。
平行线等分线段定理:
如果一组平行线在一条直线上截得
的线段 相等 ，那么在其他直线上截得
的线段也 相等
l1
A
D
l2
B
？E
几何语言:
l3
C
？F
∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC
∴ DE=EF
由平行线截得比例线段
4.2由平行线截得的比例线段
l1
A
l2
B
l3 C
A1 B1 C1
A E
B
D F
C
由平行线截得比例线段
做一做：
（1）在有横格线的练习本 a 画直线a，使得a与横线垂 直 ，观察a被各条横线分成 的线段是否相等。
b l1 l2 l3 l4
（2）再画一条直线b，那么b被各条横线 分成的线段有何关系？
猜想：