2020届高考数学二轮复习专题《与数列奇偶项有关的问题》

专题23 与数列奇偶项有关的问题

有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等．本专题主要研究与数列奇偶项有关的问题，并在解决问题中让学生感悟分类讨论等思想在解题中的有效运用.已知数列{a n }满足，a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)．

(1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值；

(2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n .

本题中的数列具有特点：数列本身并不是等差或等比数列，但此数列的奇数项与偶数项分别成等差或等比数列，此类数列的求和，往往采用奇、偶项分开求和再合并的方法，这时可直接运用等差或等比数列的求和公式，考虑到整个数列求和时的项数奇偶性不确定，因而往往需要分项数为奇数与偶数两种情况求解.

设函数f (x )＝2x ＋33x (x >0)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a n －1(n ∈N *，且n ≥2)．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1，若T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，求实数t 的取值范围．

已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 3＝13，S 4＝16.

(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；

(2)设T n ＝∑i ＝1n

(－1)i ·a i ，若对一切正整数n ，不等式λT n <[a n ＋1＋(－

1)n ＋1a n ]·2n －1恒成立，求实数λ的取值范围．

已知数列{a n }的前n 项和为S n ，∀n ∈N *

，

满足S n ＋1n

＋1－S n n ＝12，且a 1＝1，并且正项数列{b n }满足b 2n ＋1－b n ＋1＝b 2n ＋b n (n ∈N *)，其前7

项和为42.

(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；

(2)令c n ＝b n a n ＋a n b n

，数列{c n }的前n 项和为T n ，若对任意正整数，都有T n ≥2n ＋a ，求实数a 的取值范围；

(3)将数列{a n }，{b n }的项按照“当n 为奇数时，a n 放在前面；当n 为偶数时，b n 放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，b 3，b 4，a 4，a 5，b 5，b 6，…，求这个新数列的前n 项和P n .

(2020·徐州模拟)在数列{}a n 中，a 1＝0，且对任意k ∈N *，a 2k －1，a 2k ，a 2k ＋1成等差数列，其公差为d k .

(1)若d 1＝2，求a 2，a 3的值；

(2)若d k ＝2k ，证明a 2k ，a 2k ＋1，a 2k ＋2成等比数列(k ∈N *)；

(3)若对任意k ∈N *，a 2k ，a 2k ＋1，a 2k ＋2成等比数列，其公比为q k ，

设q 1≠1，证明数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1q k －1是等差数列．

(本小题满分16分)(2020·苏州模拟)已知数列{}a n 的奇数项

是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列{}a n 前n 项和为S n ，且满足S 3＝a 4，a 5＝a 2＋a 3.

(1)求数列{}a n 的通项公式；

(2)若a m a m ＋1＝a m ＋2，求正整数m 的值；

(3)是否存在正整数m ，使得S 2m S 2m －1

恰好为数列{}a n 中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值；若不存在，说明理由．

(1)a n ＝⎩⎨⎧

n ，n 为奇数2·3n 2－1，n 为偶数)； (2)m ＝2；(3)m ＝1或m ＝2.

(1)设奇数项的等差数列公差为d ，偶数项的等比数列公比为q .

∴数列{}a n 的前5项依次为：1,2,1＋d ,2q ,1＋2d .

∵{ S 3＝a 4a 5＝a 2＋a 3)，∴{ 4＋d ＝2q 1＋2d ＝3＋d )，解得：{ d ＝2q ＝3).

………………………………………………………………………………………2分(求出d ，q )

∴a n ＝⎩⎨⎧

n ，n 为奇数2·3n 2－1，n 为偶数).……………………………4分(写出通项公式)

(2)∵a m a m ＋1＝a m ＋2.

1° 若m ＝2k (k ∈N *)， 则a 2k a 2k ＋1＝a 2k ＋2，∴2·3k －1×(2k ＋1)＝2·3k ，即2k ＋1＝3，

∴k ＝1，即m ＝2. …………………………………………………………6分(求出k ＝1，m ＝2)

2° 若m ＝2k －1(k ∈N *), 则a 2k －1a 2k ＝a 2k ＋1，∴(2k －1)×2·3k －

1＝2k ＋1，

∴2·3k －1＝2k ＋12k －1＝1＋22k －1.∵2·3k －1为整数，∴22k －1

必为整数，∴2k －1＝1，

∴k ＝1，此时2·30≠3.不合题意.

综上可知：m ＝2. ……………………………8分(推证m 为奇数时，无解，

从而得m ＝2)

(3)∵S 2m ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2m －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2m )＝

m (1＋2m －1)2＋2(1－3m )1－3

＝3m ＋m 2－1. S 2m －1＝S 2m －a 2m ＝3m ＋m 2－1－2×3m －1＝3m －1＋m 2－

1. ………………10分(求出S 2m ，S 2m －1)

∴S 2m S 2m －1＝3m ＋m 2－13m －1＋m 2－1＝3－2(m 2－1)3m －1＋m 2－1

≤3. ……………………………12分(导出S 2m S 2m －1

≤3) 若S 2m S 2m －1

为数列{}a n 中的项，则只能为a 1，a 2，a 3. 1°若 S 2m S 2m －1＝1，则3－2(m 2－1)3m －1＋m 2－1

＝1，∴3m －1＝0，m 无解. ……………………………………………………………………………………13分(验证S 2m

S 2m －1

＝1时，m 无解)

2° 若S 2m S 2m －1＝2，则3－2(m 2－1)3m －1＋m 2－1

＝2，∴3m －1＋1－m 2＝0.当m ＝1时，等式不成立；当m ＝2时，等式成立；

当m ≥3时，令f (x )＝3x －1＋1－x 2

＝13·3x ＋1－x 2.∴f ′(x )＝ln33·3x