2014第十四届中环杯五年级决赛详解

第十四届中环杯五年级决赛

一、填空题（每小题5分，共50分） 1. 计算：11.99×73+1.09×297+

2

1

×(32-12)=_________ 【分析】原式=11×1.09×73+1.09×11×27+4=11×1.09×100+4=1199+4=1203

2. 420×814×1616除以13的余数为__________

【分析】420×814×1616≡4×8×4≡128≡11(mod13)

3.五年级有甲乙两班，甲班学生人数是乙班学生人数的5/7，如果从乙班调3人去甲班，甲班学生人数就是乙班学生人数的4/5，甲班原有学生_________人

【分析】原来人数比为甲：乙=5: 7=15: 21，人数调整后人数比为甲：乙=4 : 5=16 : 20，前后两次总人数不变，因此将总人数变为[(5+7),(4+5)]=36份，比例调整如上，发现人数调整为1份，因此1份为3人，所以甲班原有学生15×3=45人。

4. 已知990×991×992×993=4091966428B A ，则AB = 【分析】由于99丨990，所以99 丨4091966428B A 所以99 丨96+64+28+9A +B 1+40→99 丨AB +247→AB=50

5. 如图，△ABC 面积为60，E 、F 分别为AB 和AC 上的点，满足AB=3AE ，AC=3AF ，点D 是线段BC 上的动点，设△FBD 的面积为S 1, △EDC 的面积为S 2，则S 1×S 2的最大值为__________.

【分析】由于

3

1

==AC AF AB AE ，所以EF ∥ BC

所以S EBD = S FBD =S 1→S 1+S 2=S EBC =3

2

S ABC =40

和一定时，差越小，积越大，所以当 S 1 =S 2 时，即D 为中点时，S 1×S 2最大为20×20=400

6．如图，在每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立，则这个算式乘积的最大值和最小值的之差为__________.

【分析】易得，乘数中下方数的十位为1，因为十位数字乘上面的数得到的积为三位数，为百位上的2乘上面的数得到的积为四位数。由于1乘上面的数得到的积十位为1，因此上面数的十位也为1。由于百位上的2乘以上面的数得到的个位为4，所以上面的数个位为2或7。

先考虑乘积的最大值，要使乘积大，则两个乘数要大。考虑上面的数百位为9，经枚举，无论个位是几，917、912均无法乘出百位为0的乘积。

所以考虑上面的数百位为8，则下面为5符合要求。

所以乘积最大为817×215=175655。

再考虑乘积的最小值，要使乘积小，则两个乘数要小，考虑上面的数百位最小为5，否则乘以2无法得到四位数，则下面为2符合要求，

所以乘积最小为512×212=108544

所以乘积的最大值与最小值之差为175655-108544=67111

7. 有15位选手参加一个围棋锦标赛，每两个人之间需要比赛一场，赢一场得2分，平一场各得1分，输一场得0分，如果一位选手的得分不少于20分，他就能获得一份奖品，那么，最多有_______位选手获得奖品。

C×2=210分，210÷20=10 (10)

【分析】比赛结束后，15位选手总得分为2

15

所以理论上最多有10名选手得分能不低于20分

若有10位选手获得奖品，则剩余5名选手得分不能大于10分

而事实上，这5名选手之间共比赛10场，总共能产生20分

所以这5名选手的得分不会少于20分，矛盾

所以10位选手获得奖品的情况不存在

考虑9名选手获得奖品，则剩余6名选手得分不能大于30分

这是可行的，前9名选手两两之间都和棋，各得8分，这9名选手均战胜剩余6名选手，各得12分，则这9名选手均得20分，而剩余6名选手每人已负9场，得分不能大于10分。综上，最多有9位选手能获得奖品。

8. 在一场1000米的比赛中，一个沙漏以相同的速率在漏沙了，漏出来的沙子都掉入一个杯中（这个沙漏是在比赛进行了一段时间后才开始漏沙的），小明以匀速进行跑动，当他跑到200米的时候，第a颗沙子正好掉入杯中，当他跑到300米的时候，第bc颗沙子正好掉入

杯中, 当他跑到400米的时候，第de颗沙子正好掉入杯中, 当他跑到500米的时候，第fg颗沙子正好掉入杯中(a、b、c、d、e、f、g都是0-9的数字，并且它们的值可以相等)，我们发现：（1）a是2的倍数，（2）bc是一个质数；（3）de是5的倍数；（4）fg是3的倍数，那么四位数debc=__________(如果有多个解，需要将多个解都写在横线上)。

【分析】由沙漏匀速漏沙子，可知fg-de=de-bc=bc-a

所以，不妨设bc=a+k，de=a+2k ，fg=a+3k ，

由3丨fg→3丨a+3k→3丨a，又a是2的倍数，所以a是2、3的公倍数

所以a=0或6

若a=0，则由5丨de→5 丨a+2k→5 丨k ，即5丨bc，与bc是个质数矛盾

故a=6

由bc=6+k→k≥4，由fg=6+3k→k≤31

由5丨de→5丨6+ 2k→k 的个位为2或7

而bc=6+k是个质数，所以k 为奇数，且不能是3的倍数

于是k 的个位为7，且在4~31之间，且不能是3的倍数

所以，k 的取值可能有7、17

当k=7时，a=6，bc=13，de=20，fg=27，符合要求，此时debc=2013

当k=17时，a=6，bc=23，de=40，fg=57，符合要求，此时debc=4023

综上，debc=2013或4023

9. 如图a,7个汉字写在图中的7个圆圈中，要求从某一个圆圈开始，沿着线段一笔画这个图形（所有圆圈都要走到，而且只能走一次），将这个一笔画路径上的字连成字串（如图b,从“中”开始一笔画，得到的字串为“中环难杯真的好”）。那么能够组成的不同字串有_________个。