历年考研数学线代真题1987-2016(最新最全)
历年考研数学一真题1987-2016
1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 三、(本题满分7分)
(2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014??
??=??????
A 求矩阵.
B 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(4)设A 为n 阶方阵,且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵,则*||A 等于 (A )a
(B )1
a
(C )1n a -
(D )n a
九、(本题满分8分)
问,a b 为何值时,现线性方程组
123423423412340
221(3)2321
x x x x x x x x a x x b
x x x ax +++=++=-+--=+++=-
有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.
1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)
(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _______.
三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤αααL 线性无关的充要条件是
(A )存在一组不全为零的数12,,,,s k k k L 使11220s s k k k +++≠αααL (B )12,,,s αααL 中任意两个向量均线性无关
(C )12,,,s αααL 中存在一个向量不能用其余向量线性表示
(D )12,,,s αααL 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 七、(本题满分6分)
已知,=AP BP 其中100100000,210,001211????
????==-????
????-????B P 求5,.A A 八、(本题满分8分)
已知矩阵20000101x ????=??????A 与20000001y ??
??=??
??-??
B 相似. (1)求x 与.y
(2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(5)设矩阵300100140,010,003001????
????==????
????????
A I 则矩阵1(2)--A I =_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式0,=A 则A 中
(A )必有一列元素全为0 (B )必有两列元素对应成比例
(C )必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D )任一列向量是其余列向量的线性组合 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) 七、(本题满分6分)
问λ为何值时,线性方程组1312312
34226423
x x x x x x x x λλλ+=++=+++=+??
???有解,并求出解的一般形式.
八、(本题满分8分)
假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明 (1)1λ为1-A 的特征值.
(2)λ
A
为A 的伴随矩阵*A 的特征值.
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα 则该向量组的秩是_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组
=AX b 的通解(一般解)必是
(A )1211212()2
k k -+++ββααα
(B )1211212()2
k k ++-+ββααα
(C )1211212()2
k k -+++ββαββ
(D )1211212()2
k k ++-+ββαββ
七、(本题满分6分) 设四阶矩阵
1100213401100
213,0011002100010
002-????
????-?
???==????
-????
????
B C 且矩阵A 满足关系式
1()-''-=A E C B C E
其中E 为四阶单位矩阵1,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A
八、(本题满分8分) 求一个正交变换化二次型222
12312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(5)设4阶方阵52002100,00120011????
?
?=??-????
A 则A 的逆阵1-A =_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有 (A )=ACB E (B )=CBA E (C )=BAC E (D )=BCA E 七、(本题满分8分)
已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).b =+β (1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?
(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式. 八、(本题满分6分)
设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1.
1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(5)设111212121212,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ????
??=??????
A L L L L L L L 其中0,0,(1,2,,).i i a b i n ≠≠=L 则矩阵A 的秩()r A =_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(5)要使12100,121???? ? ?
== ? ? ? ?-????ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为
(A )[]212-
(B )201011-??
?
??? (C )102011-??
??
-??
(D )01142
201
1-????--??????
八、(本题满分7分)
设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问: (1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论.
(2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论. 九、(本题满分7分)
设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为
1231111,2,3,149?????? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ???????ξξξ又向量12.3?? ?= ? ???β
(1)将β用123,,ξξξ线性表出.
(2)求(n n A β为自然数).
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(5)已知12324,369t ??
??=??
????Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则 (A )6t =时P 的秩必为1 B )6t =时P 的秩必为2
(C )6t ≠时P 的秩必为1 (D )6t ≠时P 的秩必为2 七、(本题满分8分)
已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形222
12325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵. 八、(本题满分6分)
设A 是n m ?矩阵,B 是m n ?矩阵,其中,n m
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (5)已知11[1,2,3],[1,,],23
==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则n A =_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组 (A )12233441,,,++++αααααααα线性无关
(B )12233441,,,----αααααααα线性无关
(C )12233441,,,+++-αααααααα线性无关 (D )12233441,,,++--αααααααα线性无关 八、(本题满分8分)
设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为 12240
x x x x +=-=,
又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k +- (1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.
(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.
九、(本题满分6分)
设A 为n 阶非零方阵*,A 是A 的伴随矩阵,'A 是A 的转置矩阵,当*
'=A A 时,证明0.
≠A
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(5)设三阶方阵,A B 满足关系式1
6,-=+A BA A BA 且1003100,41007??
????
??=????
??
????
A 则
B =_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(5)设11121311121321222321222312313233313233010100,,100,010,001101a a a a a a a a a a a a a a a a a a ????????
????????====????????
????????????????A B P P 则必有 (A )12AP P =B
(B )21AP P =B (C )12P P A =B
(D )21P P A =B
八、(本题满分7分)
设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1,λλλ=-==对应于1λ的特征向量为101,1??
??=??????
ξ求.A 九、(本题满分6分)