斐波那契与斐波那契数列
Fibonacci数列(斐波那契数列)PPT课件
指数形式。不妨设为 f n n 进行尝试。将
n 代入差分方程：
fn2 fn1fn
得到 n2 n1 n
-
11
3.Fibonacci数列的通项公式
消去因子有 2 1
解得
1
1
2
5
2
1 2
5
由此可知这两个都是差分方程的解。
-
12
3.Fibonacci数列的通项公式
-
6
2.观察Fabonacci数列
如何求它的通项呢？（粗略地求） 拟合法
利用excel拟合 先绘制散点图 利用拟合方法拟合
-
7
2.观察Fabonacci数列
利用matlab拟合
直接拟合有点难！
把数列的前20个数取对数，然后再绘散点图， 看看有什么规律？
取对数后散点图 为直线，可以利 用线性回归知识 拟合直线了！
-
2
1. 提出问题
-
3
1. 提出问题
越往后就越复杂，最后归纳得
数列{Fn}称为Fibonacci数列.直到1634年， 才有数学家奇拉特发现此数列具有非常简单的 递推关系：
F1=F2=1, Fn=Fn-2+Fn-1.
由于这一发现，此问题引起了人们的极大兴趣， 后来又发现了该数列的更多性质
2an 8
-
26
-
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4.自然界中的斐波那契数列
医学研究已表明，秋季是人的免疫力最佳的 黄金季节。因为7月至8月时人体血液中淋巴 细胞最多，能生成大量的抵抗各种微生物的 淋巴因子，此时人的免疫力强.
-
22
4.自然界中的斐波那契数列
在我们的生活环境中，就随处可见了，如建 处门窗、橱柜、书桌；我们常接触的书本、 报纸、杂志；现代的电影银幕。电视屏幕， 以及许多家用器物都是近似这个数比关系构 成的。它特别表现艺术中，在美术史上曾经 把它作为经典法则来应用。有许多美术家运 用它创造了不少不朽列
周期数列的五种常见形式
周期数列的五种常见形式周期数列指的是数列中出现的元素具有一定的规律性，按照一定的模式循环出现。
常见的周期数列有以下五种形式：1.等差数列：等差数列是指数列中的相邻元素之间的差值是常数。
即每项与前一项的差值相等。
例如：1,4,7,10,13,...这个数列的公差是3，每一项与前一项之间的差是32.等比数列：等比数列是指数列中的相邻元素之间的比值是常数。
即每项与前一项的比值相等。
例如：2,4,8,16,32,...这个数列的公比是2，每一项与前一项之间的比值是23.斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中的每一项等于其前两项之和。
即从第三项开始，每一项等于前两项的和。
例如：1,1,2,3,5,8,...这个数列的特点是，从第三项开始，每一项等于前两项的和。
4.周期为两个数的和：这种数列的每一项等于其前两项之和。
但是相比斐波那契数列，前两项可以不是1，1，而可以是任意两个正整数。
例如：3,5,8,13,21,...这个数列的特点是，从第三项开始，每一项等于前两项的和。
5.等差等比数列交替：这种数列是由等差数列和等比数列交替组成。
即相邻两个数列的元素分别满足等差和等比的规律。
例如：1,2,4,7,11,16,22,...这个数列的特点是，前两个元素满足等差规律（每一项与前一项之间的差是1），后两个元素满足等比规律（每一项与前一项之间的比是2）。
这些是周期数列的五种常见形式。
每个数列都有自己的特点和规律，通过观察数列中元素之间的关系，可以找到数列的规律并预测后续的元素。
周期数列的应用非常广泛，不仅在数学中有重要的地位，还在其他领域如物理、经济等中有着重要的应用价值。
斐波那契数列研究
斐波那契数列研究一、斐波那契生平斐波那契（1175年-1250年），意大利数学家，西方第一个研究斐波那契数，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。
有感使用阿拉伯数字比罗马数字更有效，斐波那契前往地中海一带向当时著名的阿拉伯数学家学习，约于1200年回国。
1202年, 27岁的他将其所学写进计算之书。
这本书通过在记帐、重量计算、利息、汇率和其他的应用，显示了新的数字系统的实用价值。
这本书大大影响了欧洲人的思想，可是在三世纪后印制术发明之前，十进制数字并不流行。
欧洲数学在希腊文明衰落之后长期处于停滞状态，直到12世纪才有复苏的迹象。
这种复苏开始是受了翻译、传播希腊、阿拉伯著作的刺激。
对希腊与东方古典数学成就的发掘、探讨，最终导致了文艺复兴时期（15～16世纪）欧洲数学的高涨。
文艺复兴的前哨意大利，由于其特殊地理位置与贸易联系而成为东西方文化的熔炉。
意大利学者早在12～13世纪就开始翻译、介绍希腊与阿拉伯的数学文献。
欧洲，黑暗时代以后第一位有影响的数学家斐波那契，其拉丁文代表著作《算经》、《几何实践》等也是根据阿拉伯文与希腊文材料编译而成的，斐波那契，早年随父在北非从师阿拉伯人习算，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后即写成《算经》。
《算经》最大的功绩是系统介绍印度记数法，影响并改变了欧洲数学的面貌。
现传《算经》是1228年的修订版，其中还引进了著名的“斐波那契数列”。
《几何实践》则着重叙述希腊几何与三角术。
斐波那契其他数学著作还有《平方数书》、《花朵》等，前者专论二次丢番图方程，后者内容多为菲德里克二世宫廷数学竞赛问题，斐波那契论证其根不能用尺规作出，他还未加说明地给出了该方程的近似解。
微积分的创立与解析几何的发明一起，标志着文艺复兴后欧洲近代数学的兴起。
微积分的思想根源部分（尤其是积分学）可以追溯到古代希腊、中国和印度人的著作。
在牛顿和莱布尼茨最终制定微积分以前，又经过了近一个世纪的酝酿。
二、《算盘原理》《算盘原理》中的“算盘”并非仅仅指罗马算盘或某种计算工具。
《斐波那契数列》课件
特征方程
特征方程
对于斐波那契数列，其特征方程为x^2=x+1。通过解这个方程，可以得到斐波 那契数列的通项公式。
通项公式
斐波那契数列的通项公式为F(n)=((φ^n)-(-φ)^-n))/√5，其中φ=(1+√5)/2是黄 金分割比。这个公式可以用来快速计算斐波那契数列中的任意数字。
03
斐波那契数列的数学模型
在生物学中的应用
遗传学研究
在遗传学中，斐波那契数列可以用于 描述DNA的碱基排列规律，有助于深 入理解遗传信息的传递和表达。
生物生长规律
许多生物体的生长和繁殖规律可以用 斐波那契数列来描述，如植物的花序 、动物的繁殖数量等。
在计算机图形学中的应用
图像处理
在图像处理中，斐波那契数列可以用于生成复杂的图案和纹理，增加图像的艺术感和视觉效果。
斐波那契数列的递归算法
F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。
03
递归算法的时间复杂度
O(2^n)，因为递归过程中存在大量的重复计算。
迭代算法
迭代算法的基本思想
迭代算法的时间复杂度
从问题的初始状态出发，通过一系列 的迭代步骤，逐步逼近问题的解。
O(n)，因为迭代过程中没有重复计算 。
实际应用价值
斐波那契数列在计算机科指导 意义。
对未来研究的展望
深入探索斐波那契数列的性质
01
随着数学研究的深入，可以进一步探索斐波那契数列的性质和
规律，揭示其更深层次的数学原理。
跨学科应用研究
02
未来可以将斐波那契数列与其他学科领域相结合，如生物学、
表示方法
通常用F(n)表示第n个斐波那契数 ，例如F(0)=0，F(1)=1，F(2)=1 ，F(3)=2，以此类推。
斐波那契数列
斐波那契数列百科名片“斐波那契数列”是意大利数学家列昂纳多·斐波那契首先研究的一种递归数列，它的每一项都等于前两项之和。
此数列的前几项为1，1，2，3，5等等。
在生物数学中，许多生物现象都会呈现出斐波那契数列的规律。
斐波那契数列相邻两项的比值趋近于黄金分割数。
此外，斐波那契数也以密码的方式出现在诸如《达芬奇密码》的影视书籍中。
目录[隐藏]【奇妙的属性】【影视链接】【相关的数学问题】【斐波那契数列别名】斐波那契数列公式的推导【C语言程序】【C#语言程序】【Java语言程序】【奇妙的属性】【影视链接】【相关的数学问题】【斐波那契数列别名】斐波那契数列公式的推导【C语言程序】【C#语言程序】【Java语言程序】∙【JavaScript语言程序】∙【Pascal语言程序】∙【PL/SQL程序】∙【数列与矩阵】∙【数列值的另一种求法】∙【数列的前若干项】∙【斐波那契数列的应用】“斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leo nardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列通项公式斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为:(见图)（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。
）有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
[编辑本段]【奇妙的属性】随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.61803 39887……从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积少1，每个偶数项的平方都比前后两项之积多1。
斐 波 那 契 数 列 _ 数 据 结 构 与 算 法
多种方法实现Fibonacci（斐波那契）数列的生成斐波那契（Fibonacci）数列问题，是一个非常经典的问题。
1、What is Fibonacci sequence?斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。
【摘选自百度百科】2、How to create Fibonacci sequence?———————————-华丽丽的分割线———————————-此方法是博主在一次java作业期间想到的，当时作业是一个运用斐波那契数列、黄金分割率做文章的题目。
期间，博主还运用了BigDecimal、BigInteger两个java类来实现任意精度下的斐波那契数列、黄金分割率。
详细java代码见博主GitHub-**代码实现（由于int类型的承载的范围有限，因此我们通过此种方法穷举出int类型范围内的所有斐波那契数列项）**- Three f = new Three(1);while (f.getTwo() 0) {f = new Three(i);System.out.println(f.getOne());System.out.println("现有条件(int)下能够存储的所有斐波那契数列见上");-**Three.java**-public class Three {private int one = 0;private int two = 1;public Three(int i) {for (int j = 1; j i; j++) {forward();public void forward() {this.one = this.two;this.two = this.three;this.three = this.one + this.two;public int getOne() {return this.one;public int getTwo() {return this.two;public int getThree() {return this.three;方法二：（当然是传统的递归调用啦^_^）--由于递归方法的时间消耗比较大，所以这里只递归到40项（再往后程序将会一直卡住，许久才会出结果）for(int i = 1;i = 40;i++){System.out.print(fibonacci(i)+" ");void fibonacci(int n){return 0;return 1;return fibonacci(n) + fibonacci(n-1);方法三：（其他方法^_^）其实大多数方法都是通过改良递法而产生的，我们能够明显的看出递归法时间成本较高的原因是因为没有存储。
斐波那契数列求和公式
斐波那契数列求和公式
斐波那契数列求和公式：
1. 什么是斐波那契数列：斐波那契数列是一种数学分支，由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonarda Fibonacci）于 1202 年提出。
它描述的是一个递推关系，即下一个数是前两个数之和，这样形成一列数字：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、...... 每一个数字都是它前面两个数字之和，普遍存在于自然界的很多现象，如螺旋状排列的花瓣、植物叶的轮廓等。
2. 斐波那契数列求和：斐波那契数列求和是一种计算前 n 个斐波那契数列序列（形如 1、1、2、3、5、8、13、21、34）求和的技术。
一般情况下，求和的公式有这么几种：
（1）递推公式：f（n）=f（n-1）+f（n-2）
（2）简单的求和公式：S=1/√5*（（1+√5）^n-(1-√5）^n）
（3）二项式定理：S1=Cn+2-1/√5*{（1+√5）^n-(1-√5）^n）
（4）数论性质：S2=3/2(f（n+1）-1)
（5） Lucas定理：L（m，n）=截取集合{m+r-1-r*n|r=0,1,2,...,n}中最大的那个数。
S3=L（2，n）
可见，求和斐波那契数列比较复杂，要实现它，我们应该根据不同的场景来使用不同的方法。
比如，当n很大时，可以使用简单的求和公式；当 n 很小时，可以使用递推公式；当 n 比较大或者末尾和首尾都要求时，可以使用 Lucas 定理。
总之，斐波那契数列求和涉及到数论性质、Lucas 定理和递推公式等，理解其原理及应用经验，就能很好地使用这些求和方法，实现斐波那契数列之和。
神奇的斐波那契数列
神奇的斐波那契数列⼀、斐波那契数列中世纪最有才华的数学家斐波那契（1175年～1259年）出⽣在意⼤利⽐萨市的⼀个商⼈家庭。
因⽗亲在阿尔及利亚经商，因此幼年在阿尔及利亚学习，学到不少时尚未流传到欧洲的阿拉伯数学。
成年以后，他继承⽗业从事商业，⾛遍了埃及、希腊、叙利亚、印度、法国和意⼤利的西西⾥岛。
斐波那契是⼀位很有才能的⼈，并且特别擅长于数学研究。
他发现当时阿拉伯数学要⽐欧洲⼤陆发达，因此有利于推动欧洲⼤数学的发展。
他在其他国家和地区经商的同时，特别注意搜集当地的算术、代数和⼏何的资料。
回国后，便将这些资料加以研究和整理，编成《算经》（1202年，或叫《算盘书》）。
《算经》的出版，使他成为⼀个闻名欧洲的数学家。
继《算经》之后，他⼜完成了《⼏何实习》（1220年）和《四艺经》（1225年）两部著作。
《算经》在当时的影响是相当巨⼤的。
这是⼀部由阿拉伯⽂和希腊⽂的材料编译成拉丁⽂的数学著作，当时被认为是欧洲⼈写的⼀部伟⼤的数学著作，在两个多世纪中⼀直被奉为经典著作。
在⾥⾯，记载着⼤量的代数问题及其解答，对于各种解法都进⾏了严格的证明。
斐波那契发现了⼀组对世界产⽣深远影响的神奇数字。
这组数字为0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946，......这组数字存在着许多神奇⽽有趣的规律，其中的规律直到今天还在被源源不断地挖掘出来。
1、从第三个数字开始，后⼀个数字都等于前两个数字之和。
如2+3=5，3+5=8，34+55=89……2、随着数列项数的增加，每⼀个数字与后⼀个数字的⽐值⽆限接近于0.618。
如2/3=0.666，5/8=0.625，21/34=0.6176，34/55=0.6181，55/89=0.6179……⼆、黄⾦分割在各领域的⼴泛运⽤由斐波那契数列引发的0.618是个神奇的数字，它具有严格的⽐例性、艺术性、和谐性，蕴藏着很深的美学价值。
斐波那契数列
“斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列通项公式斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为:(见图)（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。
）有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
斐波那契数列在自然界中的体现“斐波那契数列(Fibonacci)”的发现者，是意大利数学家列昂纳多•斐波那契。
斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、1 3、21、……仔细观察这个数列，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列是怎么得到的呢？它与自然界又有什么样的关系？>>斐波那契数列别名斐波那契数列又因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。
如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；两个月后，生下一对小兔子共有两对；三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对；依次类推可以列出下表：经过月数：--1--2--3--4--5--6--7---8---9---10--11---12兔子对数：--1--1--2--3--5--8--13--21--34—55--89--1 44表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个数列。
斐波那契数列
斐波那契数列一、简介斐波那契数列（Fibonacci），又称黄金分割数列，由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖问题”引入，推动了数学的发展。
故斐波那契数列又称“兔子数列”。
斐波那契数列指这样的数列：1,1,2,3,5,8,13,……，前两个数的和等于后面一个数字。
这样我们可以得到一个递推式，记斐波那契数列的第i项为F i，则F i=F i-1+F i-2.兔子繁殖问题指设有一对新生的兔子，从第三个月开始他们每个月都生一对兔子，新生的兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。
按此规律，并假定兔子没有死亡，10个月后共有多少个兔子？这道题目通过找规律发现答案就是斐波那契数列，第n个月兔子的数量是斐波那契数列的第n项。
二、性质如果要了解斐波那契数列的性质，必然要先知道它的通项公式才能更简单的推导出一些定理。
那么下面我们就通过初等代数的待定系数法计算出通项公式。
令常数p,q满足F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)。
则可得：F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)=q2(F n-2-pF n-3)=…=q n-2(F2-pF1)又∵F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)∴F n-pF n-1=qF n-1-pqF n-2F n-1+F n-2-pF n-1-qF n-1+pqF n-2=0(1-p-q)F n-1+(1+pq)F n-2=0∴p+q=1,pq=-1是其中的一种方程组∴F n-pF n-1= q n-2(F2-pF1)=q n-2(1-p)=q n-1F n=q n-1+pF n-1=q n-1+p(q n-2+p(q n-3+…))=q n-1+pq n-2+p2q n-3+…+p n-1不难看出，上式是一个以p/q为公比的等比数列。
将它用求和公式求和可以得到：F n=q n−1[(pq)n−1]pq−1=p n−q np−q而上面出现了方程组p+q=1,pq=-1，可以得到p(1-p)=-1,p2-p-1=0，这样就得到了一个标准的一元二次方程，配方得p2-p+0.25=1.25,(p-0.5)2=1.25,p=±√1.25+0.5。
斐波那契数列(fibonacci sequence),从1,1开始,后面每一项等于前面两项之和。输出
斐波那契数列(fibonacci sequence)斐波那契数列是一个非常有趣和有用的数学概念，它在自然界、艺术、计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍斐波那契数列的定义、性质、算法和应用，希望能给你带来一些启发和乐趣。
定义斐波那契数列是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）在1202年的著作《计算之书》中提出的，他以兔子繁殖为例子，发现了一个数列，即每个月的兔子对数等于前两个月的兔子对数之和。
这个数列就被称为斐波那契数列，或者兔子数列，又或者黄金分割数列。
斐波那契数列的前几项如下：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...可以看出，这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
用数学符号表示，就是：F(0) = 0F(1) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n >= 2)其中，F(n)表示第n项的值。
性质斐波那契数列有许多有趣和重要的性质，下面列举一些常见的：奇偶性：斐波那契数列中，从第三项开始，每三项中有两个奇数和一个偶数。
也就是说，F(n)是奇数当且仅当n是3的倍数或者比3的倍数大1。
相邻项之比：斐波那契数列中，相邻两项之比会逐渐接近一个常数值，这个常数值就是黄金分割比φ≈1.618。
也就是说，当n趋向于无穷大时，F(n+1)/F(n)趋向于φ。
前n项之和：斐波那契数列中，前n项之和等于第n+2项减去1。
也就是说，F(0)+F(1)+...+F(n) = F(n+2)-1。
奇偶项之和：斐波那契数列中，所有奇数项之和等于最后一个奇数项的下一项减去1；所有偶数项之和等于最后一个偶数项的下一项减去2。
也就是说，如果F(m)是最后一个奇数项，则F(1)+F(3)+...+F(m) = F(m+1)-1；如果F(m)是最后一个偶数项，则F(0)+F(2)+...+F(m) = F(m+1)-2。
简单而有趣的数列
简单而有趣的数列数列作为数学中的一个重要概念，是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
在我们的日常生活中，数列也能带给我们许多乐趣和惊喜。
本文将介绍一些简单而有趣的数列，并探索它们背后的数学原理。
1. 斐波那契数列斐波那契数列是一种非常著名且有趣的数列，它的特点是每一项都是前两项的和。
数列的开始是0和1，接下来的项依次为1、2、3、5、8、13等。
这个数列在自然界中广泛存在，比如植物的枝叶数目、兔子的繁殖等。
斐波那契数列不仅仅因为其规律性而著名，还能带给我们许多有趣的数学问题，比如如何判断一个数是否为斐波那契数。
2. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变。
例如，1、3、5、7、9就是一个公差为2的等差数列。
等差数列在我们的生活中随处可见，比如每天温度的变化、银行利率的计算等。
我们可以通过求和公式来快速计算一个等差数列的和，这在实际问题中会非常有用。
3. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持不变。
例如，2、6、18、54就是一个公比为3的等比数列。
等比数列在很多领域中都有应用，比如复利的计算、生物的繁殖等。
通过求和公式，我们也可以快速计算一个等比数列的和。
4. 平方数列平方数列是指数列中的每一项都是某个整数的平方。
例如，1、4、9、16、25就是一个平方数列。
平方数列不仅仅是数学上的概念，它也可以体现在几何图形上，比如正方形的边长依次为1、2、3、4。
5. 素数数列素数数列是指数列中的每一项都是素数。
素数是指大于1且只能整除1和自身的自然数。
素数数列是数学中一个具有挑战性的问题，至今仍然没有找到一种简单而通用的方法来生成素数数列。
然而，素数数列在密码学和计算机科学中有重要的应用。
总结：数列作为数学中的一个重要概念，不仅仅是在纸上的数字序列，它还存在于我们的现实生活中。
从斐波那契数列到素数数列，每一种数列都承载着数学的美妙和深奥。
通过研究和探索这些简单而有趣的数列，我们能够更好地理解数学的原理，同时也享受到数学带来的乐趣和挑战。
斐波那契数列
斐波那契数列姓名：林秋照学号：092312113比萨的列奥纳多，又称斐波那契（Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo，1175年-1250年），意大利数学家，是西方第一个研究斐波那契数的人，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲，1202年，莱昂纳多斐波那契向世人介绍了斐波那契数列，是为了解决“兔子繁殖问题”提出的。
斐波那契在《算盘书》中提出了一个有趣的兔子问题：一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。
如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；两个月后，生下一对小兔总数共有两对；三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对；……依次类推可以列出下表：表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个序列。
这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。
这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在《算盘书》中提出的，这个级数的通项公式，除了具有an+2=an+an+1的性质外，还可以证明通项公式为：an=1/√5 [（1/2+√5/2）^ n-（1/2-√5/2）^n](n=1,2,3.....）（√5表示根号5）这个通项公式中虽然所有的an都是正整数，可是它们却是由一些无理数表示出来的。
即在较高的序列，两个连续的“斐波纳契数”的序列相互分割将接近黄金比例（1.618:1或1:0.618）。
例如：233/144，987/610、、、、斐波那契数列还有两个有趣的性质⒈斐波那契数列中任一项的平方数都等于兔子问题跟它相邻的前后两项的乘积加1或减1;⒉任取相邻的四个斐波那契数，中间两数之积（内积）与两边两数之积（外积）相差1.同样我们还可以有t阶斐波那契数列，通过递推数列a(n+t)=a(n+t-1）+a(n+t-2）+...+a(n），其中a⑴=a⑵=1，以及对于3-t<=n<=0，有a(n)=0.给出了t阶斐波那契数列的通项公式：[r^(n-1）（r-1）/((t+1）r-2t)]，其中r是方程x^{t+1}-2x^t+1=0的唯一一个大于1的正数根（可以看出r非常接近2）斐波那契数列（意大利语：Successione di Fibonacci)，又称黄金分割数列、费波那西数列、费波拿契数、费氏数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n>=2，n∈N*），用文字来说，就是斐波那契数列由0 和1 开始，之后的斐波那契数列系数就由之前的两数相加。
斐波那契数列
如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。
斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
halt;
end;
if n=2 then
begin
writeln(1);
halt;
end;
cc:=getcc(n-2);
end;
procedure work;
begin
writeln(cc[1,1]+cc[1,2]);
end;
begin
init;
work;
end.
【数列值的另一种求法】
F(n) = [ (( sqrt ( 5 ) + 1 ) / 2) ^ n ]
设1为B，1 1为C
1 1 0
可以用迭代得到:
斐波那契数列的某一项F(n)=(BC^(n-2))1
这就是斐波那契数列的矩阵乘法定义.
另矩阵乘法的一个运算法则A¬^n(n为偶数)=A^(n/2)* A^(n/2).
特殊数列的生成与数学分析解读
特殊数列的生成与数学分析解读在数学领域中，数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
常见的数列有等差数列和等比数列等。
然而，除了这些常规的数列之外，还存在一些特殊数列，它们具有独特的生成方式和数学特性。
本文将探讨特殊数列的生成方法以及对其进行数学分析的解读。
一、斐波那契数列斐波那契数列是一种非常著名的特殊数列，它的生成规律是每一项都等于前两项的和。
也就是说，斐波那契数列的前两项是1，后面的每一项都是前两项的和。
数学上可以用递推公式表示为：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(n)表示第n项的值。
斐波那契数列的前几项依次是：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...这个数列在自然界中有许多出现的规律，比如植物的花瓣数、螺旋线的形状等都与斐波那契数列有关。
斐波那契数列还有许多有趣的数学性质，比如黄金分割比例等。
二、素数数列素数数列是由一系列素数按照顺序排列而成的数列。
素数是只能被1和自身整除的正整数，比如2、3、5、7等。
素数数列中的数具有很多有趣的性质，比如无穷性和间隔性。
素数数列的生成方法一直是数学界的难题之一。
目前还没有找到一种简单的公式能够直接生成所有的素数。
素数数列的发现往往需要经过复杂的计算和筛选过程。
然而，素数数列在密码学、通信等领域有着重要的应用价值。
三、三角数列三角数列是由一系列三角形按照顺序排列而成的数列。
第n个三角数表示由n 个点组成的三角形的总点数。
三角数列的生成规律是每一项都比前一项多一个等差数列的项数。
数学上可以用递推公式表示为：T(n) = T(n-1) + n，其中T(n)表示第n 项的值。
三角数列的前几项依次是：1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...三角数列在数学中有着广泛的应用，比如在组合数学中的排列组合问题中经常会涉及到三角数列。
四、幂次数列幂次数列是由一系列按照幂次递增的数所组成的数列。
斐波那契数列的由来
斐波那契数列的由来斐波那契数列是一串数字的序列，这个序列的定义其实很简单：前两个数字都是1，之后的每个数字都是前两个数字之和。
这个数列的由来可以追溯到公元1202年，当时一位叫斐波那契的意大利数学家写了一本名为《算盘书》的著作。
在这本书中，斐波那契详细介绍了一种关于增长率的数学模型。
斐波那契数列的由来始于斐波那契在书中提出的一个问题：假设有一对刚出生的兔子，它们一个月后就能生育，每个月都能生一对兔子。
而每对兔子出生后的一个月内都不能再次生育。
那么，每个月的兔子总数如何增长呢？斐波那契通过观察和推理，得出了一个惊人的结论：兔子的数量按照斐波那契数列的规律增长！也就是说，第一个月有1对兔子，第二个月也有1对兔子，第三个月开始，每个月的兔子总数都等于前两个月的总数之和。
这个发现让斐波那契非常兴奋，他开始研究这个数列的性质，发现它在自然界中随处可见。
例如，树叶的排列方式、植物的生长规律，甚至是螺旋线的形状等等，都与斐波那契数列有关。
斐波那契数列的由来和应用远远超出了斐波那契当初的预期。
如今，斐波那契数列在金融、自然科学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
例如，在金融领域，斐波那契数列被用来预测股市走势、计算利率等；在自然科学领域，斐波那契数列被用来研究动物群体的增长规律、植物的排列方式等；在计算机科学领域，斐波那契数列被用来解决各种问题，如优化算法、图像压缩等。
斐波那契数列的由来给我们带来了很多启示和思考。
它告诉我们，自然界中存在着很多隐藏的规律和模式，而数学是揭示这些规律和模式的有力工具。
通过研究斐波那契数列，我们可以更好地理解和解释世界的运行方式，从而为人类的发展和进步做出贡献。
斐波那契数列的由来是一个精彩的故事，它展示了人类对数学的探索精神和智慧。
正是这种探索精神和智慧，推动着人类不断前进，不断超越自我。
希望我们能继续保持这种精神，不断探索和创新，为人类的未来开辟更加美好的道路。
数列的规律寻找
数列的规律寻找数列是数学中一种常见的数值序列，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。
在数学和实际问题中，找到数列的规律是非常重要的，可以帮助我们解决各种数学难题和实际应用中的计算问题。
本文将探讨数列的规律寻找方法，并提供一些常见数列的示例。
一、等差等差数列是最常见的数列类型之一，其规律可以很容易地寻找到。
等差数列的特点是每一项与前一项之差都相等。
我们可以通过观察数列中连续的几个数之间的关系来找到等差数列的规律。
例如，给定以下等差数列：2, 5, 8, 11, 14, ...我们可以观察到每一项与前一项之差都是3。
因此，该数列的公差为3。
我们可以根据公差来确定等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
对于上述数列，首项a1为2，公差d为3，因此通项公式为an = 2 + (n-1)3。
二、等比等比数列是另一种常见的数列类型，其规律也可以通过观察数列中连续的几个数之间的关系来寻找。
例如，给定以下等比数列：2, 4, 8, 16, 32, ...我们可以观察到每一项与前一项之比都是2。
因此，该数列的公比为2。
我们可以根据公比来确定等比数列的通项公式：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
对于上述数列，首项a1为2，公比r为2，因此通项公式为an = 2 * 2^(n-1)。
三、斐波那契斐波那契数列是一种特殊的数列，它的规律更为复杂。
斐波那契数列的特点是每一项是前两项的和。
例如，给定以下斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, ...我们可以观察到每一项都是前两项的和。
因此，该数列的通项公式可以表示为an = an-1 + an-2，其中an表示第n项。
对于上述数列，第三项（即2）可以表示为1+1，第四项（即3）可以表示为1+2，以此类推。
四、其他除了等差数列、等比数列和斐波那契数列外，数学中还有许多其他类型的数列，它们的规律寻找方法也各不相同。
斐波那契与斐波那契数列
斐波那契与斐波那契数列作者：赵学刚赵春霞来源：《读写算》2014年第25期斐波那契是一位闻名欧洲的数学家斐波那契（Leoanrdo Fibonacci，约1170-1250），意大利著名数学家，他出生在比萨市的一个商人家庭.因父亲在阿尔及利亚经商，因此幼年在阿尔及利亚学习，学到了不少当时尚未流传到欧洲的阿拉伯数学.成年以后，他子承父业，走遍了埃及、希腊、叙利亚、印度、法国和意大利的西西里岛.斐波那契是一位很有才能的人，并且特别擅长数学研究.他发现当时的阿拉伯数学比欧洲大陆发达，因此有利于推动欧洲大陆数学的发展.他在其他国家和地区经商的同时，特别注意搜集当地的算数、代数和几何方面的资料.约于1200年回国.两年后年，他将其所学写进《算经》（Liber Abaci ，亦译作《算盘书》）.这本书通过在记帐、重量计算、利息、汇率和其他的应用，显示了新的数字系统的实用价值.这本书改变了欧洲数学的面貌，大大影响了欧洲人的思想.《算经》的出版，使他成为一位闻名欧洲的数学家.现传《算经》是1228年的修订版，其中还引进了著名的“斐波那契数列”.斐波那契还著有《几何实习》， 1220）、《四艺经》， 1225）等，前者着重叙述希腊几何与三角术，后者专论二次丢番图方程和菲德里克（Frederick）二世宫廷数学竞问题.在斐波那契的《算经》中，记载着大量的代数问题及其解答，并且对于各种解法都进行了严格的证明.下面是书中记载的一个有趣的问题：有人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对，于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面.已知一对兔子一个月可以生一对小兔子，而一对小兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖多少对？现在我们先找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有一对成年兔子；第二个月它们生下一对小兔，因此有二对兔子：一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子生下一对小兔子，第二对已成年，因此有三对兔子：二对成年，一对未成年.月月如此.第1个月到第6个月兔子的对数：1，2，3，5，8，13.我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：从第3个数起，每一个数都是前面两个数的和.若继续按规律写下去，一直写到第12个数，就得到：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233.显然，第12个数就是一年内兔子的总对数.所以一年内1对兔子能繁殖成233对.在解决这个有趣的代数问题过程中，斐波那契得到了一个数列.人们为纪念他的这一发现，在这个数列前面增加了一项“1”后得到数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……将其命名为“斐波那契数列”，这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”.大自然中的斐波那契数列首先，我们从等比数列，，，，，，中寻求满足斐波那契数列递推关系的解答.令（），因，解得：， .令α β，可知：α β ，α β .解得：α ，β .从而， .以上公式是由法国数学家比内首先证明的，一般称之为比内公式.令人奇怪的是，比内公式中的un是以无理数的幂表示的，然而所得的结果完全是整数.不信，你可以找几个的值代进去试试看！显然，在现实的自然世界中，《算经》里那样神奇的兔子是找不到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列.在起绒草椭球状的花头上，你可以看见许多螺旋.很容易想象，如果从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向的，还有些是逆时针方向的.另一种具有类似特点的植物蓟.它的头部几乎呈球状.我们可以数一下，顺时针旋转的螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有21条.这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样.似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉.叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.618，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生.向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条.1922年，两位法国科学家通过对花瓣形成过程的计算机仿真实验，证实了在系统保持最低能量的状态下，花朵会以斐波那契数列长出花瓣.另外，观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数：3、5、8、13、21、……，其中百合花花瓣数目为3，梅花5瓣，飞燕草8瓣，万寿菊13瓣，向日葵21或34瓣，雏菊有34、55和89三个数目的花瓣.由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害，你并不总能找到完美的斐波那契螺旋.即使生长的很健康的植物，也难免会有这样或那样的缺陷.。
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斐波那契与斐波那契数列（初一、初二、初三）
（519015）广东省珠海市第四中学陈湘平斐波那契（Leonardo Fibonacci，约1170-约1250），12、13世纪欧洲数学界的代表人物，生于比萨的列奥纳多家族，是一位意大利海关设在南部非洲布吉亚的官员的儿子。
早年在北非受教育，由于他父亲的工作，成年后曾到埃及、叙利亚、希腊西西里、法国等地游学，并拜访过各地著名的学者，也熟悉了各国在商业上的所用的算术体系，掌握了印度－阿拉伯的十进制系统，该系统具有位置值并使用了零的符号。
斐波那契看到了这种美丽的印度－阿拉伯数字的价值，并积极提倡使用它们。
1202年他写了《算盘书》一书（注：“算盘”指的是当时欧洲人用来计算的沙盘，而非中国的算盘），这是一本广博的工具书，其中说明了怎样应用印度－阿拉伯数字，以及如何用它们进行加、减、乘、除计算和解题。
此外还对代数和几何进行了进一步的探讨。
此外他还出版了《几何实习》等书，书中首次引用了阿拉伯数字，这对当时盛行的罗马数字来讲也是一种挑战。
后来人们通过对阿拉伯数字的不断接触，加上斐波那契和其他数学家的工作，终于使印度－阿拉伯数字系统被慢慢地接受，并得以推广。
很有意思的是，斐波那契在今天的出名，是缘于一个数列，而这个数列则来自于他的《算盘书》中一道并不出名的问题。
他当时写这道题只是考虑作为一个智力练习。
然而，到了19世纪，法国数学家E.
卢卡斯出版了一部四卷本的有关娱乐数学方面的著作时，才把斐波那契的名字，加到该问题的解答和所出现的数列上去。
《算盘书》中“兔子问题”，题目假定一对大兔子（一雌一雄）每一个月可以生一对小兔子（一雌一雄），而小兔子出生后两个月就有生育能力，问从一对小兔子开始，一年后能繁殖成多少对兔子？”由此引出了一个重要的数列――“斐波那契数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，…，其规律是每一项（从第3项起）都是前两项的和。
斐波那契用顺推的办法解算如下：
第一个月：只有一对小兔。
第二个月：小兔尚未成熟，仍然是一对兔子。
第三个月：这对兔子生了一对小兔，这时共有兔子两对。
第四个月:原来的兔子又生了一对小兔，但上月出生的小兔仍未成熟，这样小兔共有三对。
…………
如此分析下去，可以得到一年后的兔子数为144对。
上面顺推的办法着实有点笨，下面我们换一种思路推推看，我们容易发现：
从第三个月起兔子可以分为两类：一类是上个月的兔子，一类是当月新生的兔子，而这些兔子的对数恰好等于前两个月时的兔子对数，因为那个月份的的兔子在该月均能生小兔，这就是说：从第三个月起每月兔子数均为前两个月（上月和上上月）的兔子对数之和。
这样一、二、三……诸月兔子数依次为：
1，1，2（=1+1），3（=1+2），5（=2+3），8（=3+5），13（=5+8），21（=8+13），……
如此一来，我们不仅能算得一年后的兔子数，还可以算出若干年后的兔子数。
斐波那契数列1,1，2,3，5，……有许多有趣的性质（详见：《斐波那契数列》，吴振奎编著，辽宁教育出版社，1987）比如：
（1）从第三项开始，每一项都是它前面两项的和：
13＝5＋8,34＝13＋21，……
（2）数列相邻两项的比越来越接近0.618……
21＝0.5，32＝0.67，53＝0.6，85＝0.625，13
8＝0.615，…… （3）数列的通项公式为
f n =])251()251[(5
1n n --+ 这里是用无理数表示有理数的典例(意外的结果！)。
斐波那契数列在许多方面有着广泛的应用，这数列不仅与后来的“优选法”有密切关系，而且还应用在生物、物理、化学上。
为了研究这种数列的性质，1960年起美国还出版了专门研究它的杂志《斐波那契季刊》。
比如它在金融分析中就有重要应用。
1934年美国经济学家艾略特在通过大量资料分析研究发现股票指数增减的微妙规律，并提出了颇有影响的“波浪理论”。
该理论认为：股指波动的一个完整过程（周期）是由波形图（股指变化的图象）上的5（或8）个波组成，其中3上2下（或5上3 下）。
（注意这里的2、3、5、8都是斐波那契数列中的项！）同时，每次股指的增长幅度都应循斐波那契数列中数字规
律完成。
比如：如果某日股指上升8点，则股指下一次攀升点数为13；若股指回调，其幅度应该在5点左右（注意这里的5、8、13是斐波那契数列中相邻三项！）。
更有趣的是自然界也存在许多与斐波那契数列有关的现象。
在20世纪80年代以前人们普遍认为固态物质仅存在于两种形态：晶体和玻璃体结构形式。
玻璃内的粒子间排布是杂乱无序的，而晶体粒子间是以格架形式规则地排布着，而自然界不存在介于二者之间的形式的物质。
直到1984年美国科学家Shechman借助电子显微镜发现了介于晶体与玻璃体之间的物质——准晶体，这才打破了上面的观点，他发现了这种准晶体粒子的排布与斐波那契数列有着密切的联系。
人们还发现斐波那契数列出现在为数众多的领域——包括松果、菠萝，叶子的排列、某些花瓣数，与黄金均值的联系、拟黄金矩形、等角螺线等等，比如说有很多花草的花瓣数都是斐波那契数列中的项，如延龄草叶子、野玫瑰、大波斯菊的花瓣数就分别是3、5、8。
如果我们广为寻找，那么斐波那契数列还会出现在特殊的对象中，比如说一台钢琴，在一个音阶中白色键数为8，黑色键数为5。
等等这些是巧合呢，还是斐波那契当时就早已心有灵犀呢？这就不得而知了。
（作者E-mail：cxp_97@）。