斐波那契与斐波那契数列

斐波那契与斐波那契数列（初一、初二、初三）

（519015）广东省珠海市第四中学陈湘平斐波那契（Leonardo Fibonacci，约1170-约1250），12、13世纪欧洲数学界的代表人物，生于比萨的列奥纳多家族，是一位意大利海关设在南部非洲布吉亚的官员的儿子。早年在北非受教育，由于他父亲的工作，成年后曾到埃及、叙利亚、希腊西西里、法国等地游学，并拜访过各地著名的学者，也熟悉了各国在商业上的所用的算术体系，掌握了印度－阿拉伯的十进制系统，该系统具有位置值并使用了零的符号。斐波那契看到了这种美丽的印度－阿拉伯数字的价值，并积极提倡使用它们。1202年他写了《算盘书》一书（注：“算盘”指的是当时欧洲人用来计算的沙盘，而非中国的算盘），这是一本广博的工具书，其中说明了怎样应用印度－阿拉伯数字，以及如何用它们进行加、减、乘、除计算和解题。此外还对代数和几何进行了进一步的探讨。此外他还出版了《几何实习》等书，书中首次引用了阿拉伯数字，这对当时盛行的罗马数字来讲也是一种挑战。后来人们通过对阿拉伯数字的不断接触，加上斐波那契和其他数学家的工作，终于使印度－阿拉伯数字系统被慢慢地接受，并得以推广。

很有意思的是，斐波那契在今天的出名，是缘于一个数列，而这个数列则来自于他的《算盘书》中一道并不出名的问题。他当时写这道题只是考虑作为一个智力练习。然而，到了19世纪，法国数学家E.

卢卡斯出版了一部四卷本的有关娱乐数学方面的著作时，才把斐波那契的名字，加到该问题的解答和所出现的数列上去。

《算盘书》中“兔子问题”，题目假定一对大兔子（一雌一雄）每一个月可以生一对小兔子（一雌一雄），而小兔子出生后两个月就有生育能力，问从一对小兔子开始，一年后能繁殖成多少对兔子？”由此引出了一个重要的数列――“斐波那契数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，…，其规律是每一项（从第3项起）都是前两项的和。

斐波那契用顺推的办法解算如下：

第一个月：只有一对小兔。

第二个月：小兔尚未成熟，仍然是一对兔子。

第三个月：这对兔子生了一对小兔，这时共有兔子两对。

第四个月:原来的兔子又生了一对小兔，但上月出生的小兔仍未成熟，这样小兔共有三对。

…………

如此分析下去，可以得到一年后的兔子数为144对。

上面顺推的办法着实有点笨，下面我们换一种思路推推看，我们容易发现：

从第三个月起兔子可以分为两类：一类是上个月的兔子，一类是当月新生的兔子，而这些兔子的对数恰好等于前两个月时的兔子对数，因为那个月份的的兔子在该月均能生小兔，这就是说：从第三个月起每月兔子数均为前两个月（上月和上上月）的兔子对数之和。这样一、二、三……诸月兔子数依次为：

1，1，2（=1+1），3（=1+2），5（=2+3），8（=3+5），13（=5+8），21（=8+13），……

如此一来，我们不仅能算得一年后的兔子数，还可以算出若干年后的兔子数。

斐波那契数列1,1，2,3，5，……有许多有趣的性质（详见：《斐波那契数列》，吴振奎编著，辽宁教育出版社，1987）比如：

（1）从第三项开始，每一项都是它前面两项的和：

13＝5＋8,34＝13＋21，……

（2）数列相邻两项的比越来越接近0.618……

21＝0.5，32＝0.67，53＝0.6，85＝0.625，13

8＝0.615，…… （3）数列的通项公式为

f n =])251()251[(5

1n n --+ 这里是用无理数表示有理数的典例(意外的结果！)。

斐波那契数列在许多方面有着广泛的应用，这数列不仅与后来的“优选法”有密切关系，而且还应用在生物、物理、化学上。为了研究这种数列的性质，1960年起美国还出版了专门研究它的杂志《斐波那契季刊》。比如它在金融分析中就有重要应用。1934年美国经济学家艾略特在通过大量资料分析研究发现股票指数增减的微妙规律，并提出了颇有影响的“波浪理论”。该理论认为：股指波动的一个完整过程（周期）是由波形图（股指变化的图象）上的5（或8）个波组成，其中3上2下（或5上3 下）。（注意这里的2、3、5、8都是斐波那契数列中的项！）同时，每次股指的增长幅度都应循斐波那契数列中数字规

律完成。比如：如果某日股指上升8点，则股指下一次攀升点数为13；若股指回调，其幅度应该在5点左右（注意这里的5、8、13是斐波那契数列中相邻三项！）。

更有趣的是自然界也存在许多与斐波那契数列有关的现象。在20世纪80年代以前人们普遍认为固态物质仅存在于两种形态：晶体和玻璃体结构形式。玻璃内的粒子间排布是杂乱无序的，而晶体粒子间是以格架形式规则地排布着，而自然界不存在介于二者之间的形式的物质。直到1984年美国科学家Shechman借助电子显微镜发现了介于晶体与玻璃体之间的物质——准晶体，这才打破了上面的观点，他发现了这种准晶体粒子的排布与斐波那契数列有着密切的联系。人们还发现斐波那契数列出现在为数众多的领域——包括松果、菠萝，叶子的排列、某些花瓣数，与黄金均值的联系、拟黄金矩形、等角螺线等等，比如说有很多花草的花瓣数都是斐波那契数列中的项，如延龄草叶子、野玫瑰、大波斯菊的花瓣数就分别是3、5、8。如果我们广为寻找，那么斐波那契数列还会出现在特殊的对象中，比如说一台钢琴，在一个音阶中白色键数为8，黑色键数为5。

等等这些是巧合呢，还是斐波那契当时就早已心有灵犀呢？这就不得而知了。

（作者E-mail：cxp_97@）