一阶电路的时域分析
第6章 一阶和二阶电路的时域分析
其余的称为 非独立的初始条件
6-20
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第6章 一阶和二阶电路的时域分析
5. 求初始条件的步骤：
1、根据换路前的电路求出uC (0 )、 iL (0 )
画出 t=0- 时的等效电路，直流电路稳定时 ic=0，uL=0，即C→开路，L→短路。
求uc(0-)、iL(0-)
6-12
经典法
状态变量法
卷积积分 数值法
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第6章 一阶和二阶电路的时域分析
四、换路定理和初始条件
1、换路（switching）
结构或参数的改变使得电路的工作状态发生变化。 换路是在瞬间完成的 假设 t = 0 时发生换路，规定：
t 0 表示换路前的最终时刻 t 0 表示换路后的最初时刻 换路经历的时间：0 到 0 t= 0- 和 t= 0 之间的时间间隔趋于零
R + Us
i
根据KVL可得：
uR uC us
Ri uc U S
duc RC uc U S dt
uC
–
C
duC iC dt
6-8
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第6章 一阶和二阶电路的时域分析
RL 电路
求 iL
Is
iL
根据KCL可得：
R
L
iR iL is
1 uL iL is R
V 10 10V
i
3K
iL
iu LL
L uC iC C
L
i2 i3 R3 4K
i uC R2
K
2 ⑶ 画出 t=0+ 时的等效电路 K t=0+ 时电容相当于一个 4V的电压源 R1 R1 mA的电流源 iL(0 ) i 电感相当于一个 2 K L 3 R1 → t=0+ + R2 iL(0+) i (0 ) i (0 ) i (0 ) uC(0-) US i K K V 3 C 2 3 10 L 3 R1 uL(0 ) → 2K + R2 R3 V 10 uC(0 ) R U S 2 uC(0-) K iC(02 ) i2 (0+) i3(0+) 4K + 3K 1 2 K u (0 ) L + 2 S + + R2 R3 V U0 i U 10 u (0 ) S R i R C + S - C uC R K K 2 4 uR + 1 2 + R0 uC uR C
32一阶系统的时域分析
k(0)=
1 T
h’(0)=1/T
K’(0)=
1
Th2(TT)=0.632h(∞)
h(2T)=0.865h(∞)
响应应
h(3T)=0.95h(∞)
问应
1 、3个图各如何求T？ h(42T、)=调0.节98时2h间(∞ts=)？
3 、r(t)=vt时，?ess=？
4、求导关系
小结: t d 1（t） d 2 t 1t
什么是二阶系统？凡以二阶微分方程作为运动方 程的控制系统，即为二阶系统。 研究二阶系统的意义:
1. 二阶系统的典型应用极为普遍 2. 不少高阶系统的特性在一定条件下可用二阶系 统特性来表征。
本节主要内容： 一、继续讲二阶系统的时域分析中的几种工作状态。 二、二阶系统的性能改善，关键是改变了阻尼比和
ch(t()t=)1=-1e－e-t/T
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3%
t
0
T
2T 3T 4T 5T
稳态性能指标:
图 3-4指 数 响 应 曲 线
一阶惯性系统的单位阶跃响没有静态误差
ess
lim r (t )
t
h(t)
1
h()
11
0
讨论：动态指标与时间常数T有关，T越小，其响应过
dt
T dc(t) c(t) r(t)
(3-2)
dt
其中，T＝RC为时间常数；取拉氏变换
TsC(s) C(s) R(s)
TsC(s) C(s) R(s)
则一阶系统的传递函数为：
i(t) R
(s) C(s) 1 R(s) Ts 1
(3-3)
r(t)
C c(t)
实验十五 一阶电路的时域响应(电路分析基础)
ui
R C
uo
2）选取R=500Ω,C=0.1µF, 2）选取R=500Ω,C=0.1µF, 电源频率f =1000Hz,观察波 电源频率 观察波 形输出，并记录结果。 形输出，并记录结果。
1）选取R=1000Ω,C=0.1µF,电 ）选取 电 源频率f 源频率 =1000Hz，观察波形 ， 输出，并记录结果。 输出，并记录结果。
1).选取 选取R=200Ω,C=0.05µF, 选取 电源频率f 电源频率 =1000Hz,观察 观察 波形输出，并记录结果。 波形输出，并记录结果。
Cui≈ RCR Nhomakorabeauo
2).选取 选取R=300Ω,C=0.05µF, 选取 电源频率f 电源频率 =1000Hz,观察 观察 波形输出，并记录结果。 波形输出，并记录结果。
2、积分电路。 、积分电路。 时间常数τ远远大于方波周期 时间常数 远远大于方波周期T 。 远远大于方波周期 1).选取 选取R=10kΩ,C=0.1µF,电 选取 电 源频率f 源频率 =1000Hz,观察波 观察波 形输出，并记录结果。 形输出，并记录结果。
R
ui
C
uo
3、微分电路。 、微分电路。 时间常数τ远远小于方波周期 时间常数 远远小于方波周期T 。 远远小于方波周期
duC u R = iR = RC dt du
i
dt
ui = uC + uR ≈ uC
四.实验报告要求
参考《实验指导书》书写。 参考《实验指导书》书写。
实验十五 一阶电路的时域响应
一.实验目的 实验目的
参考《实验指导书》书写。P93 参考《实验指导书》书写。
二.实验设备 实验设备
ui
R C
第4章 一阶电路的时域分析
第4章 一阶电路的时域分析基础与提高题P4-1 uF 2电容器的端电压是V 10时，存储电荷是多少？ 解：uC 20101026=⨯⨯==-CU qP4-2 充电到V 150的uF 20电容器，通过一个M Ω3电阻器放电，需要多长时间？何时的放电电流最大？最大值多少？解：s RC 60102010366=⨯⨯⨯==-τ，放电完毕约等于s 3005=τ 刚开始放电时电流最大，最大电流为uA 501031506=⨯ P4-3 当uF 2电容器电压如图P4-3所示时，画出流过此电容器的电流波形图。
假设电压与电流为关联参考方向。
图P4-3 图1解：关联参考方向，则电容电流dtt du C t i c c )()(=，分段求解如下： （1）A t i V t u ust c c 0)(,0)(,0=∴=≤（2）()A t i Vt t u us t c c 401020102)(,1020)(,10666=⨯⨯⨯=∴⨯=≤≤-（3）A t i V t u us t c c 0)(,20)(,41=∴=≤≤（4）()A t i V t t u us t c c 40)1020(102)(,1001020)(,64666-=⨯-⨯⨯=∴+⨯-=≤≤-（5）()A t i Vt t u us t c c 201010102)(,801010)(,86666=⨯⨯⨯=∴-⨯=≤≤-（6）A t i V t u ust c c 0)(,0)(,8=∴=≥ 电容的电流如图1所示。
P4-4 0.32tA 电流流过150mH 电感器，求s t 4=时，电感器存储的能量。
解：电感器存储的能量()23232.0101502121t Li W ⨯⨯⨯==- 当s t 4=时，电感器存储的能量为0.123WP4-5 由20V 电源与Ω2电阻、H 6.3电感组成的串联电路，合上开关后经过多长时间电流达到其最大值，最大值多少？设合上开关前电感无初始储能。
电路分析基础一阶动态电路的时域分析
动态电路 的过渡过程
电路的零输入、 零状态分析法
一阶电路响应 的三要素分析法
6.1
一阶电路的三要素分析法
(t=0)
1.过渡过程的的概念
US (t=t1)
R C
uc
-
+
换路：电路结构或参数发生突然变化。
稳态：在指定条件下电路中的电压、电流已 达到稳定值。 暂态：电路换路后从一种稳态到另一种稳态 的过渡过程。
6
iL
6 1H
1 F -
10 uC ( ) 5 55 5V
6 i L ( ) 6 66 3 mA
(3) 时间常数 的计算
对于一阶RC电路
R0C
L 对于一阶RL电路 R0
注意：
对于较复杂的一阶电路， R0为换路后的电路 除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的 无源二端网络的等效电阻。
uC ( t 0 ) uC ( t 0 ) i L ( t 0 ) i L ( t 0 ) uC (0 ) uC (0 ) i L (0 ) i L (0 )
换路时刻，iC和uL为有限值，uC和iL在该处连续，不可跃变。
除过uC和iL，电路中其他的u、i可以在换路前后发生跃变。
t=0 S R1
+
R1
R3
C
-
U
R2
R2
R3 R0
R0
+
R0 ( R1 // R2 ) R3 R0C
C R0的计算类似于应用戴维 南定理解题时计算电路等效 电阻的方法。即从储能元件 两端看进去的等效电阻。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-
U0
第7章 一阶电路和二阶电路时域分析例题
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-
解 ①先求 iL (0 ) 1 4 + 10V 电感 iL 短路 -
+ uL -
10 iL (0 ) 2A 1 4
例6 求 iC(0+) , uL(0+)
Uo
t RC
p 1 RC
t RC
代入初始条件得： k
uc (t ) U oe
明确
在动态电路分析中，初始条件是得 到确定解答的必需条件。
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②电容的初始条件
1 t uC (0 ) 0 i ( )d C 0 0 1 t = 0+ 时刻 u (0 ) u (0 ) i ( ) d C C C 0
解 这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有：
uC U 0 e
t RC
t0
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U 0 24 V RC 5 4 20 s
S
5F + uC －
i1 2 3 i3
i2 6
t 20
5F +
uC 4 －
i1
uc 24e V
t0
t 20
i1 uC 4 6 e A
wR 0 Ri dt 0 250 10 (80e ) dt 800 J
2 3 t 2
t
5800 5000 J
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例11 t=0时,打开开关S，求uv 。电压表量程：50V
S(t=0) + R=10 uV 10V V RV 10k –
电路分析基础 第4章 一阶电路的时域分析
时域模型：
电路模型中，元件用R、L、C等参数表征，激励 用电压源电压、电流源电流的时间t的函数表征。
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《电路分析基础》
第四章 一阶电路的时域分析
第4章 一阶电路的时域分析
知识
能力
建立并深刻理解电路的暂态和稳态、 根据给定电路问题合理选择分析方
电路的换路、电路的零输入响应、
线性时不变电容：库伏特性曲线为q-u平面上一条过
原点的直线，且不随时间而变的电容元件。 q(t)=Cu(t)
（2） 符号： q(t) C
i(t) + u(t)
关联参考方向 系数C ：电容；
单位：法[拉], F； μF 10-6F ； pF 10-12F；
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《电路分析基础》
《电路分析基础》
第四章 一阶电路的时域分析
动态电路的时域分析
集总电路分：电阻电路和动态电路。 动态电路：至少含有一个动态元件的电路。 动态元件：元件的VCR关系均要用微分或积分来表示的元件。
时域分析： 在时域模型中，以时间为主变量列写电路的 微分方程并确定初始条件，通过求解微分方 程获得电压、电流的时间函数(变化规律)。
即：仅以电场方式存储能量，并可将此能量释放出去，电容本身并不消耗 能量；电容电压反映了电容的储能状态，称电容电压为状态变量。
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《电路分析基础》 5、电容电路的分析 第四章 一阶电路的时域分析
例1 设0.2F电容流过的电流波形如图a所示，
i
5A
已知 u(0) 3。0V试计算电容电压的
C uc(t0)=U0
uc(t) U0
uc1(t) u1(t0)=0
一阶电路和二阶电路的时域分析
一阶电路和二阶电路的时域分析一、一阶电路的时域分析：一阶电路指的是由一个电感或电容与线性电阻串联或并联而成的电路。
对于串联的一阶电路，其特征方程为：L di(t)/dt + Ri(t) = V(t) ---------- (1)其中，L是电感的感值，R是电阻的电阻值，i(t)是电路中的电流，V(t)是电路中的输入电压。
通过对上述方程进行求解可以得到电路中电流与时间的关系。
对于并联的一阶电路，其特征方程为：1/R C dq(t)/dt + q(t) = V(t) ---------- (2)其中，C是电容的电容值，q(t)是电路中电荷的变化，V(t)是电路中的输入电压。
同样，通过对上述方程进行求解可以得到电路中电荷与时间的关系。
一阶电路的响应可以分为自由响应和强迫响应两部分。
自由响应指的是由于电路中初始条件的存在，电流或电荷在没有外部输入电压的情况下的变化。
强迫响应指的是由于外部输入电压作用而产生的电流或电荷的变化。
对于一个初始处于稳定状态的电路，在有外部输入电压作用时，电路中电流或电荷会从初始值开始发生变化，最终趋于一个新的稳定状态。
这一过程可以由电流或电荷的指数递减或递增的形式表示。
在分析一阶电路的时域特性时，可以利用巴塞尔函数法或拉普拉斯变换法。
巴塞尔函数法主要是通过巴塞尔函数的表达式计算电压或电流的变化情况；拉普拉斯变换法则通过将时域的微分方程转化为复频域的代数方程，然后求解代数方程，最后再对求得的结果进行逆变换获得电流或电压的表达式。
二、二阶电路的时域分析：二阶电路是指由两个电感或电容与线性电阻串联或并联而成的电路。
对于串联的二阶电路，其特征方程为：L₁L₂ d²i(t)/dt² + (L₁R₁+L₂R₂+L₁R₂+L₂R₁) di(t)/dt + R₁R₂i(t) = V(t) ---------- (3)其中，L₁和L₂分别是两个电感的感值，R₁和R₂分别是两个电阻的电阻值，i(t)是电路中的电流，V(t)是电路中的输入电压。
阶电路和二阶电路的时域分析.outpu
全响应是零输入响应和零状态响应的叠加。在响应过程中，电压或电流既包含瞬态分量（ 由初始状态引起），也包含稳态分量（由外部激励引起）。
分析方法
通过求解电路的一阶微分方程，可以得到全响应的数学表达式。根据初始条件、激励源的 形式和电路参数，可以确定响应的具体形式。同时，可以利用叠加原理将全响应分解为零 输入响应和零状态响应两部分进行分析。
冲激响应
01
定义
冲激响应是指电路在冲激信号作用下的响应。冲激信号是 一种在某一时刻瞬间出现并立即消失的信号，具有极短的 持续时间和极大的幅度。
02 03
性质
冲激响应具有瞬态性质，表现为电路在冲激信号作用下的 瞬间反应。冲激响应的幅度和持续时间取决于电路的结构 和参数。
分析方法
对于一阶电路和二阶电路，可以通过求解电路微分方程得 到冲激响应的解析表达式。同时，也可以利用电路仿真软 件进行数值分析。在实际应用中，常常利用卷积定理将冲 激响应与输入信号进行卷积运算，从而得到电路的零状态 响应。
两者之间的关系
联系
阶跃响应和冲激响应都是描述电路在 特定信号作用下的时域行为。它们都 可以通过求解电路微分方程得到，并 且可以利用电路仿真软件进行数值分 析。
区别
阶跃响应描述的是电路在阶跃信号作 用下的响应，而冲激响应描述的是电 路在冲激信号作用下的响应。阶跃信 号是一种持续存在的信号，而冲激信 号是一种瞬间出现的信号。因此，阶 跃响应和冲激响应在时域上具有不同 的特性。
探索新的数学工具和分析方法， 提高时域分析的精度和效率。
结合实际应用需求，研究电路的时域 响应特性和稳定性问题，为电路设计 提供更加全面和深入的理论指导。
THANKS
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有广泛的适用性。
第7章 一阶电路的时域分析
Chapter 7 一阶电路主要内容1.动态电路的方程及其初始条件；2.一阶电路（RC 电路、RL 电路）的时间常数；3.零输入响应、零状态响应、全响应、瞬态分量、稳态分量；4.三要素法；5.阶跃响应、冲激响应。
§7-1 动态电路的方程及其初始条件一、动态电路的方程1.动态电路：含有动态元件（电容或电感）的电路。
2.动态电路的方程： 电路中有储能元件（电容或电感）时，因这些元件的电压和电流的约束关系是通过导数（或积分）表达的。
根据KCL 、KVL 和支路方程式（VAR ）所建立的电路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微分-积分方程。
一阶动态电路：仅含一个动态元件的电路（RC 电路、RL 电路）。
3.动态电路的特征：当电路的结构或元件的参数发生改变时（如电源或无源元件的断开或接入，信号的突然注入等），可能使电路改变原来的工作状态，而转变到另一个工作状态。
换路：电路或参数的改变引起的电路变化。
0=t ：换路时刻，换路经历的时间为 0_ 到 +0；-=0t ：换路前的最终时刻； +=0t ：换路后的最初时刻；4.经典法（时域分析法）：根据KCL ，KVL 和VAR 建立描述电路的以时间为自变量的线性常微分方程，然后求解常微分方程，从而得到所求变量（电流或电压）的方法。
用经典法求解常微分方程时，必须根据电路的初始条件确定解答中的积分常数。
电路独立初始条件：)0(+C u 和 L i )0(+。
二、电路的初始条件1.电容的电荷和电压⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⎰⎰ξξξξd tt i C t u t u d tti t q t q C C C C C C 0000)(1)()()()()(取 +-==0 ,00t t , 则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⎰⎰+-+--+-+ξξξξd i c u u d i q q C C C C C C 0000)(1)0()0()()0()0(若有限）( M i C ≤， 则 0)(00=⎰+-ξξd i C ，且⎩⎨⎧==-+-+)0()0()0()0(C C C C u u q q 电容上电荷和电压不发生跃变！① 若 -=0t 时，0)0(q q C =-, 0)0(U u C =-, 则有 0)0(q q C =+,)0(U u C =+, 故换路瞬间，电容相当于电压值为 0U 的电压源；② 若 -=0t 时，0)0( ,0)0(==--C C u q , 则应有)0( ,0)0(==++C C u q , 则换路瞬间，电容相当于短路。
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析PPT课件
U 63.2%U
uC
u
' C
o -36.8%U
u
" C
t
-U
§7-3 一阶电路的零状态响应
uRR iUet
稳态分量(强制分量)：电 路到达稳定状态时的电压， 其变化规律和大小都与电 源电压U有关。 瞬态分量(自由分量)：仅 存在于暂态过程中，其变 化规律与电源电压U无关， 但其大小与U有关。
§7-3 一阶电路的零状态响应
讲课7学时，习题1学时。
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
一、动态电路的有关概念
⒈ 一阶(动态)电路 仅含一个动态元件，且无源元件都是线性和时不
变的电路，其电路方程是一阶线性常微分方程。
⒉ 二阶(动态)电路 含两个动态元件的电路，其电路方程是二阶微分
方程。
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
⒊ 过渡过程 当电路的结构或元件的参数发生变化时，可能使
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-1 动态电路的方程及其初始条件 §7-2 一阶电路的零输入响应 §7-3 一阶电路的零状态响应 §7-4 一阶电路的全响应 §7-5 二阶电路的零输入响应 §7-6 二阶电路的零状态响应和全响应
§7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 §7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应 *§7-9 卷积积分 *§7-10 状态方程 *§7-11 动态电路时域分析中的几个问题
dt
t=0
+
所以
eL
L
di dt
很大
+
U-
R uRL
eL可能使开关两触点之
L-
间的空气击穿而造成电弧以
1S
i
延缓电流的中断，开关触点
一阶电路动态过程的时域分析
一阶电路动态过程的时域分析1、典型一阶电路一阶电路仅包含一个动态元件,假设将动态元件别离出来,那么由戴维南或诺顿定理 可得到如下两种典型一阶电路:注意：图中N 是线性含源单口网络.2、一阶电路的电路方程及其一般形式一阶RC 电路:一阶RL 电路一阶电路方程的一般形式从上可知,一阶电路的电路方程都是一阶常系数微分方程. 励为x(t),响应为y ⑴,那么一阶电路方程一般形如:誓 y(t) = x(t)式中,七因具有时间的单位而称为一阶电路的时间常数 (time constant).并且,对 于一阶RC 电路,①关于u c 的电路方程: RC臂…US②关于i c 的电路方程: RCd Ci c "皿dt ③关于U R 的电路方程:RC ®R dtdtU R = RC 眄 dt①关于i L 的电路方程: 丹 iL 4US②关于U L 的电路方程: L dU L __ L dU s U L — R dt R dt5+L 5 tt L③关于U R 的电路方程:L d^R U R = U SR dt并且,假设记电路的激典型一阶RL 电路+ 1 +h]=[RCi欧雌…欧情卜欧]芳卜秒]对于一阶RL电路,=[秒]3、常系数一阶微分方程的经典时域解法对于常系数一阶微分方程七婴+ y(t) = x(t),其解(即电路的响应)由通解和特解dt 两局部构成通解：是对应齐次方程的解,与鼓励无关,称为电路的自由响应.管+ ；y(t)=0=通解y h(t) = Ae pt = Ae 之式中,A为待定积分系数,可根据初始条件来确定.特解：与电路鼓励x(t)有关,Mt)不同,特解形式就不同.因此特解也称为强制响应.在高等数学中,特解一般可以采用常数变异法求得,即：令非齐次微分方程的解为y(t) = m(t)eT ,求出誓后代入原微分方程,得到m⑴：m(t) =1 x(t)e dtX所以,常系数一阶微分方程7黎十y(t) = x(t)的解为t 上Ae -；1e x(t)e dty(t)=通解自由响应)解(强制响应)4、直流鼓励下的一阶电路时域分析同时考虑电路的外部鼓励和动态元件的初始储能, 直流一阶电路的响应存在以下3种情况:①零输入响应(Zero-input response)无外部鼓励(x(t)=0)但动态元件有初始储能时,仅由初始储能引起的电路响应^dy(y + y(t)= 0 [ + -t Tdty(t) = y(0 )e+y(0 ) ;0RC 里u c = 0』 」dtu c (t) = u c (0 )e^C =Uo e+u c (0 )= U 0 =0i c (t)=cdu^=UCpe -工 = dt * U R (t) = -u c (t) = -U °e一阶RL 电路零输入响应波形分析及结论: 无论一阶RC 还是一阶RL,也无论电路的响应是何变量,一阶电路的零输入响 应都具有如下特点:所有变量的零输入响应与其初始值成正比.例如,一阶RC 电路的零输入响应 一阶RC 电路零输入响应波形又如,一阶RL 电路的零输入响应—dL i L= 0 + -占 --R dt i 0= i L (t) = i L (0+)eE =1论 i L (0+) = l 0 =0di L (t) 」U L (t) = L = - RI 0e 二 dt上U L (t)= —RI»cK ⑴=火色〞F同一电路,所有变量的零输入响应按同一指数规律衰减,并最终必衰减至00所有变量零输入响应的衰减快慢取决于电路的时间常数T,或者说,一阶电路过渡过程时间的长短取决于电路的时间常数To并且,E大一过渡过程时间长；T小一过渡过程时间短.由于所以,E是响应衰减到原来电压36.8%所需的时间.并且工程上可以认为,经过3 T- 57,过渡过程即可结束.另外,可以证实,T等于响应衰减指数曲线的次切距长.②零状态响应(Zero-state response)有外部鼓励(x(t)用)但动态元件无初始储能时,仅由外部鼓励引起的电路响应.-皿(t) _____________M __________ _ ________ Me_t ° _________忑出+y⑴=M>= y(t)特解,强制(稳态)分量通解自由(暂态)分量y(0+)=0 J =y(8)(1 -e-t)例如,一阶RC电路直流鼓励下的零状态响应iRCdUC(t ) + U C (t ) = U S J dtlu c (0+) = 0分析及结论：一阶动态电路的零状态响应由稳态〔强制〕和暂态〔自由〕两局部构成. 同一电路,不同变量的零状态响应中的暂态分量按同一指数规律衰减,并 且衰减快慢取决于电路的时间常数丁.E 越大,响应变化越慢,否那么响应变化越快.③全响应〔complete response 〕既有外部鼓励〔x 〔t 〕力〕,也有动态元件初始储能时,由两者共同作用引起的电路响应ottu c (t) = U s —U s e飞.,i c (t) = U S e-c又如,一阶RL 电路直流鼓励下的零状态响应I L diL(t) + i L (t )= u S* ** *R R dt - R = i L (t)=谭--j^e II i L (0+) = 0R R_ t,U L (t) = U s e L R一阶RC 电路零状态响应波形一阶RL 电路零状态响应波形y(t) = M I y(s)(=M) ［y(0 +)_y(g)］门 『y(t)-特解,强制(稳态)分量+通解,自由(暂态)分量注1:上述一阶电路的全响应是从微分方程解结构角度进行分解的.除此以外, 一阶电路的全响应还可以按鼓励与响应间的因果关系进行如下分解:v(t)= y(0+)…+ y9)(i-e -『八 零输入响应零状态响应因此,零输入响应和零状态响应都是全响应的特例.注2:假设定义时间常数T 、响应初值y(0+)和响应稳态值y(8为一阶电路的三要素, 那么一阶电路的全响应可直接根据以上公式得到. 这种求解全响应的方法称为三要 素解法.并且,三要素法的一般步骤为:除去动态元件,求取所得网络的等效电阻R,并计算动态电路的时间常数T :R 是除掉动态元件后所得网络的等效电阻.利用换路定那么及0+等效电路,求取响应初值 y(0+); 根据换路并稳定后的电路,求取响应的稳态值 y(3 ；按三要素法公式,写出全响应的表达式.例1：(零输入响应问题)：1) t=0时,翻开开关S,求u v .2)假设电压表量程为50V,试判断其是否会被损坏 3)讨论电路的改良举措dy(t) + + ----- + dt y(0)= 0时间常数广RC 电路：r^RC. RL 电路：HRq H & "H .*)H 0］：产0, 〞40+) H 0u s w 0,尸 05、正弦鼓励下一阶电路的时域分析电路方程仍为常系数一阶微分方程：F 彗詈+ y(t) = x(t),故x(t)= Msin (乳+,dt时,_t t工_t.y(t) = Ae .+1e 〞Msin(8t + *)e z dt = Ae .十——Mr^[sin(^t + ^) -COT cos ®t+*)] 122根据初始条件可求得A = y(0+)-M 2 2bin 中一⑴lUcoS 】1+⑴7于是,正弦鼓励下一阶动态电路的响应为:例2 (零状态响应问题)：t=0开关K 翻开,求t >0后i L 、UL 及电流源的电压.例3(全响应问题)：t=0时开关由1-2,求换路后的u c (t)Mc(O + ) = Ug 或MO* ) = Io换路时,电路如何响应? 以.).。
自动控制实验一一阶系统的时域分析二阶系统的瞬态响应
自动控制实验一一阶系统的时域分析二阶系统的瞬态响应实验目的：1.了解一阶系统的时域分析方法。
2.掌握二阶系统的瞬态响应特性。
3.学习使用实验仪器进行实验操作。
实验仪器和材料：1.一台一阶系统实验装置。
2.一台二阶系统实验装置。
3.示波器、函数发生器等实验仪器。
实验原理：一阶系统的时域分析：一阶系统的传递函数形式为：G(s)=K/(Ts+1)，其中K为增益，T为系统的时间常数。
一阶系统的单位阶跃响应可以用下式表示：y(t)=K(1-e^(-t/T))，其中t为时间。
通过绘制单位阶跃响应曲线的方法可以得到一阶系统的时域参数。
二阶系统的瞬态响应：二阶系统的传递函数形式一般为：G(s) = K/(s^2 + 2ξωns +ωn^2)，其中K为增益，ξ为阻尼系数，ωn为自然频率。
二阶系统的单位阶跃响应可以用下式表示：y(t) = (1 - D)e^(-ξωnt)cos(ωnd(t - φ))，其中D为过渡过程的衰减因子，φ为过渡过程的相角。
实验步骤：一阶系统的时域分析：1.将一阶系统实验装置连接好，并接通电源。
2.设置函数发生器的输出信号为单位阶跃信号，并将函数发生器连接到一阶系统实验装置的输入端。
3.调节函数发生器的幅值和时间参数，使得单位阶跃信号满足实验要求。
4.将示波器的探头连接到一阶系统实验装置的输出端。
5.调节示波器的时间和幅值参数，观察并记录单位阶跃响应信号。
6.根据记录的单位阶跃响应信号，计算得到一阶系统的时域参数。
二阶系统的瞬态响应：1.将二阶系统实验装置连接好，并接通电源。
2.设置函数发生器的输出信号为单位阶跃信号，并将函数发生器连接到二阶系统实验装置的输入端。
3.调节函数发生器的幅值和时间参数，使得单位阶跃信号满足实验要求。
4.将示波器的探头连接到二阶系统实验装置的输出端。
5.调节示波器的时间和幅值参数，观察并记录单位阶跃响应信号。
6.根据记录的单位阶跃响应信号，计算得到二阶系统的瞬态响应特性，包括过渡过程的衰减因子和相角。
电路 第九章 一阶电路的时域分析
初始条件
iL
(0
)
iL
(0
)
US R0
I0
，确定常数 A I0 ，于是可得
iL
R t
iL (0 )e L
US R0
R t
eL
R t
I0e L
uL
L diL dt
R t
RI 0e L
iL iL (0 )et I 0et uL RI 0et
在RL放电过程中，电感储存的磁场能全部变成了电阻消耗的能量。
uC uR Ri
i C duC dt
一阶线性齐次微分方程
RC duC dt
uC
0
§9-2 一阶电路的零输入响应
令 uC Ae pt得相应的特征方程
RCp 1 0
其特征根
p 1 RC
t
则
uC Ae RC
式中常数A要由初始条件来确定，将 uC (0 ) U，0 代入上式，得 A于 U 0
暂态分量或自由分量。
L diL dt
RiL
US
S U S
R iL
L
图9-16 充电电路
§9-3 一阶电路的零状态响应
iL
US R
US R
et
US R
(1 et )
uL
L diL dt
U S et
零状态电路的动态过程，其能量转换关系是电源提供的能量，一部分
被电阻消耗，一部分转换成电容储存电场能或电感储存磁场能。
RC duC dt
uC
RIS
因RIS是常数，故恒定值可以满足公式
uC RI S uC ()
§9-3 一阶电路的零状态响应
通解应满足
它的解应为 所以全解为 代入后得 最后可得
一阶电路的时域分析.
S
R1
U0
U0 i L (0 ) i L (0 ) R1 R2
uR2 L iL
+
R2 +C uL -
iC + uC -
t=0+等效电路如图
uR2 (0+)
uL(0+)
iC(0+) R2
uC(0+)
iL(0+)
Req 60 80 / 2 100
ReqC 100 0.02 106 2s
i (0 ) 120/ 100 1.2 A
u0 (0 ) (1.2 / 2) 60 36 V
故 i(t ) 1.2e
0.5106 t
A
t 0
u0 (t ) 36e
时间常数： RC
uC (t ) U 0e
t
t 0
t U0 i(t ) e R
t 0
t 0时，uC (0) U 0 e 0 U 0 t 时，uC ( ) U 0 e 1 0.368U 0
理论上要经过 ∞ 的时间 uC(t) 才能衰减为零 值。但工程上一般认为换路后，经过 3~5 时 间过渡过程即告结束。
时间常数的几何意义 在电容电压曲线上经过横坐标为t1的一点P做 切线与横轴交于t2 ，从而得到P点的次切距 （ t1 – t2 ），即等于时间常数。
uC ( t1 ) U 0e t1 duC ( t ) 1 U 0e dt t t1
t1
在放电过程中，电容不断放出能量为电阻所 消耗；最后，原来储存在电容的电场能量全部为 电阻吸收而转换成热能。 时间常数愈小，放电过程愈快；反之，则愈慢。
电路基础第13章一阶电路时域分析
VS
赫尔维茨稳定判据
通过判断一阶电路的特征方程的根是否在 复平面的左半部分，来判断系统是否稳定 。
一阶电路的稳定性分析方法
时域分析法
通过求解一阶电路的微分方程，观察其时间 响应特性，如超调和调节时间等，从而判断 其稳定性。
频域分析法
通过将一阶电路的传递函数进行频率域变换， 分析其频率响应特性，如相角和幅值裕度等， 从而判断其稳定性。
时间响应
描述一阶电路随时间变化的响应，包括上升时间、峰值时间 、下降时间和过冲等。
一阶电路的零输入响应和零状态响应
零输入响应
在输入信号为零的情况下，一阶电路的响应。
零状态响应
在电路初始状态为零的情况下，一阶电路的响应。
一阶电路的全响应和稳态响应
全响应
一阶电路在输入信号和初始状态共同 作用下的总响应，包括暂态分量和稳 态分量。
02
03
模拟电路
一阶电路是模拟电路中最 基本的单元之一，广泛应 用于模拟信号处理、放大 器、滤波器等。
数字电路
在数字电路中，一阶元件 可以用于构建逻辑门、触 发器等基本逻辑单元。
控制系统
在控制系统中，一阶电路 可以用于模拟系统的传递 函数，用于系统的分析和 设计。
02
一阶电路的数学模型
电容电流和电感电压的一阶微分方程
电容电流的一阶微分方程
$i_c = Cfrac{du_c}{dt} + i_{in}$
电感电压的一阶微分方程
$u_l = Lfrac{di_l}{dt} + u_{in}$
一阶微分方程的求解方法
初始条件
在时间$t=0$时，电容电 压$u_c(0)$和电感电流 $i_l(0)$的初始值。
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析ppt课件
IS
iR
R
S(t=0)
iL uL L
t
t
★
iL I S I S e I S (1 e )(t 0)
其中 L
R
2.参数曲线
IS
3.能量转换
WL=WR=½LIS2
O
注：➢零状态响应是激励的
iL"
线性函数： 可加性：
―IS
f1(t)y(1)，f2(t)y(2)， 则 f1(t)+f2(t)y=y(1)+y(2) 齐次性：
• 充好电的电容向电阻放电：
S(t=0)
i
U0 uC
C R uR
t≥0
uC
R0
i C R uR
1.求解t ≥0+时的电路
i
• 当t ≥0时 uC(0+)=U0 • 由KVL得 uC―uR=0
uC C R uR
• 又 uR=Ri i C duC
uC
RC duC dt
0(t
dt
0)
解微分方程可得
+
uS
+
L uL
Ri
L di dt
Um
sin(t
u )
-
iL(0-)=0
– 强制分量(稳态分量)
i i' i"
自由分量(暂态分量)
i"
t
Ae
用相量法计算稳态解 i
R
I
Im
Um
R2 (L)2
+
-
U S
j L
arctgL
R
i' Im sin(t u )
i
i'
i"
一阶电路时域分析
+
i
u
Ceq
_
n个电容串联
等效电容
由KVL，有 u (t) u 1 (t) u 2 (t) u n (t) 代入各电容的电压、电流关系式，得
1t
1t
1t
u ( t ) C 10 i () d u 1 ( 0 ) C 20 i () d u 2 ( 0 ) C n 0 i () d u n ( 0 )
iL
1 L
t
u()d
iLL 1 0 u()dL 10 tu())d
iL(0)L 10tu()d
(0) t u()d 0
当u为有限值时
iL(0+)= iL(0-)
L (0+)= L (0-)
磁链守恒
换路定律成立的条件!!!
三、电路初始值的确定
(1) 由0-电路求 uC(0-)
+ 10k
+
10V
若uL为有限值
总结: q(t0+)= q(t0-) uc(t0+)= uc(t0-)
(t0+)= (t0-) iL(t0+)= iL(t0-)
若换路时刻t =0时刻，则为:
q(0+)= q(0-)
(0+)= (0-)
uc(0+)= uc(0-) iL(0+)= iL(0-)
对于联接有多个电容的结点（但不含电压源）， 换路前后电荷守恒：
– – – – –q
线性定常电容元件
C 电路符号
电容以电场形式存储能量。
1. 元件特性 i
+
u
+ C
–
–
描述电容的两个基本变量: u, q
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5.1 换路定则及初始值
5.2 三要素法 5.3 一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应 5.4 RC微分电路和积分电路
概 述
• “稳态”与 “暂态”的概
K 念:R
+ _
R
+
E
uC
C
E _
uC
电路处）过程 :
旧稳态 新稳态
uC
E
暂态
稳态 t
RC uC () 0
t0
t
时RC电路
uC (t ) uC () [uC (0 ) uC ()]e
0 [U S 0]e U Se
t RC t RC
t0
u C 曲线与时间常数τ的关系
2. RL电路的零输入响应
US i L ( 0 ) i L (0 ) R L R iL () 0
uC、iL 不能突变。其它电量均可
电容相当于恒压 u (0 ) U0 0， 源，其值等于 U 0 ；uC (0 ) 0， 电容相当于短
3. 换路瞬间， L
i (0 ) I0 0
电感相当于恒流源，
其值等于
I 0 ；iL (0 ) 0
，电感相当于断路。
例2 电路如图所示。 t 0 时电路处于稳态，t 0 时开关S断开。已知：R1 = 3 ，R2 = 4 ，R3 = 8 ，R4
有储能元件（L、C）的电路在电路状态发生 变化（换路）时（如：电路接入电源、从电源断 开、电路参数改变等）存在过渡过程； 没有储能作用的电阻（R）电路，不存在过渡 过程。 电路中的 u、i 在过渡过程期间，从“旧稳态”进
入“新稳态”，此时u、i 都处于暂时的不稳定状态，
所以过渡过程又称为电路的暂态过程。
(t ) uC ()(1 e ) uC
U S1 (1 e
t ( R1 R2 ) C
t
)
t
t0
（3）全响应
uC (t ) uC () [uC (0 ) uC ()]e
U S1 (U S2 U S1 )e U S2 e
t ( R1 R2 ) C t ( R1 R2 ) C
iL (0 ) iL (0 ) 0
L R US i L ( ) R
iL (t ) iL () [iL (0 ) iL ()]e
t
R t t US US R U [0 ]e L S (1 e L ) R R R
t0
uL (t ) U S RiL
R t U iL (t ) iL () [iL (0 ) iL ()]e S e L R
t
A
t0
电感电压的零输入响应为
t diL u L (t ) L U S e L dt R
V
t0
例1 电路如图a所示，已知： uC (0 ) 20V, R1 10k, R2 R3 5k, C 10F, t 0 时开关S1闭合，t 0.1s 时S2闭合。试求 t 0 时电容电压 uC (t ) 和电阻R2上的端 和电阻R2上的端电压 u 2 (t ) ，并画出 uC (t ) 的变化曲线。 解 uC (0 ) uC (0 ) 20V
t
A
t
t 0
i3 (t ) i3 () i3 (0 ) i3 ()e
1000 t 15 0.5 (0.333 0.5)e A
0.5 0.167e
200 t 3
A
t 0
5.3.3 一阶电路的全响应 全响应 当一阶电路的外加激励源和初始状态都不为零 时，由此产生的电路响应。
R R t t US U S R[ (1 e L )] U S e L R
t0
例2 电路如图a所示， t＜0时电路为稳态。已知： US 100V, C 100F, R1 R2 R3 100 。当 t 0 时开关 S闭合。试求 t 0 时电流 iC (t ) 和 i3 (t ) 。 解
uC (0 ) uC (0 ) U S1
根据 t 0 时所示的RC电路图b，列KVL方程为
du C RC u C U S2 dt 令 RC
du C 1 1 u C U S2 dt
2. RL一阶电路分析
U S1 iL (0 ) iL (0 ) RS R
V V
0 t 0.1s t 0.1s
0 u 2 (t ) 20 ( t 0.1) 3679 e
0 t 0.1s V t 0.1s
uC(t)的变化曲线
5.3.2 一阶电路的零状态响应 零状态响应 是指一阶电路换路瞬间，储能元件C、L 上储存的能量为零，换路后电路由外加激励源所引起 的电压、电流响应。 1. RC电路的零状态响应
uC (0 ) uC (0 ) U S2
( R1 R2 )C
uC () U S1
（1）零输入响应
uC () 0
(t ) uC (0 )e uC
U S2 e
t
t ( R1 R2 ) C
t0
（2）零状态响应
uC (0 ) 0
5.2.2 三要素法
f (t ) f () [ f (0 ) f ()]e
t
t 0
f (0 ) 、 f ( ) 和 称为一阶电路的三要素
其中三要素为:
初始值 ---稳态值 ----
f (0 )
f ( )
时间常数 ----
利用求三要素的方法求解过渡过程，称为三要 素法。只要是一阶电路，就可以用三要素法。
5.1 换路定则及初始值
5.1.1换路定则
换路定则:
在换路瞬间，电容上的电压、 电感中的电流不能突变。
设：t=0 时换路
0 ---
换路前稳态终了瞬间
0 --- 换路后暂态起始瞬间
则：
uC (0 ) uC (0 )
iL (0 ) iL (0 )
例1 电路如图所示，已知 R1 R2 4, US 10V, C 2F, 开关S动作前电路已处于稳态，在 t 0 时开关 S由b点联接到a点，试求 u C (0 ) 解
根据换路定则，有
uC1 (0 ) uC1 (0 ) 10V uC2 (0 ) uC2 (0 ) 4V
t 0 时的等效电路
U (0 )
uC2 (0 ) U u (0 ) R4 uC1 (0 ) S C1 R2 13.31V R3 R4 R1 R2
0 t 0.1s 1 R1C 0.1s
t
uC (t ) uC (0 )e
20e10t V 0 t 0.1s 当 t 0.1s 时 2 [ R1 //(R2 R3 )]C 0.05s
uC (0.1 ) 20e 100.1 V 7.358V uC (0.1 ) uC (0.1 ) 7.358V
uC (0 ) uC (0 ) 0
i3 (0 ) = iC (0 )
0.333A US 1 iC (0 ) = ( R2 // R3 ) 0.333 A R1 R2 // R3 R2
US 100 i3 () = A 0.5 A R1 R3 100 100
= 12 ， R5 = 1 ，US = 20 V。试求电路的初始电流 i (0 ) 解
US I5 2A R1 R5 R4 //( R3 R2 ) I5 I0 1A 2 uC1 (0 ) R5 I 5 R3 I 0 10 V uC2 (0 ) R2 I 0 4 V
三要素法求解过渡过程要点：
. 分别求初始值、稳态值、时间常数；
初始值 ---稳态值 ---时间常数----
f (0 ) f ( )
t
.将以上结果代入过渡过程通用表达式；
f (t ) f () [ f (0 ) f ()] e
R3 30k, C 1000pF, US1 12V, U S2 8V 。试求电 路响应 u C (t ) 、 i1 (t ) 和 iC (t )
uC (0 ) U S 10V
uC (0 ) uC (0 ) 10V
5.1.2 初始值 1. 计算 2. 画
u C (0 )、 iL (0 ) 值
t 0 瞬间的等效电路
3. 计算其它初始值
小结
1. 换路瞬间，
能突变，变不变由计算结果决定； 2. 换路瞬间， C 路；
uC (0 ) uC (0 ) 0 uC () U S RC
uC U S [0 U S ]e U S (1 e
t RC
t RC
)
t
t0
t0
U S u C U S RC iC e R R
uC零状态响应曲线
2. RL电路的零状态响应
根据 t 0 时所示的RL电路图b，列KVL方程为
L 令 R
di L RiL L U S2 dt diL 1 1 iL U S2 dt R
可得一阶电路微分方程解的通用表达式：
f (t ) f () [ f (0 ) f ()] e
式中
t
f (t ) 代表一阶电路中任一待求电压、电流响应。
uC (t ) uC () [uC (0 ) uC ()]e