一阶电路的时域分析
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第5章 一阶电路的时域分析
5.1 换路定则及初始值
5.2 三要素法 5.3 一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应 5.4 RC微分电路和积分电路
概 述
• “稳态”与 “暂态”的概
K 念:R
+ _
R
+
E
uC
C
E _
uC
电路处）过程 :
旧稳态 新稳态
uC
E
暂态
稳态 t
RC uC () 0
t0
t
时RC电路
uC (t ) uC () [uC (0 ) uC ()]e
0 [U S 0]e U Se
t RC t RC
t0
u C 曲线与时间常数τ的关系
2. RL电路的零输入响应
US i L ( 0 ) i L (0 ) R L R iL () 0
uC、iL 不能突变。其它电量均可
电容相当于恒压 u (0 ) U0 0， 源，其值等于 U 0 ；uC (0 ) 0， 电容相当于短
3. 换路瞬间， L
i (0 ) I0 0
电感相当于恒流源，
其值等于
I 0 ；iL (0 ) 0
，电感相当于断路。
例2 电路如图所示。 t 0 时电路处于稳态，t 0 时开关S断开。已知：R1 = 3 ，R2 = 4 ，R3 = 8 ，R4
有储能元件（L、C）的电路在电路状态发生 变化（换路）时（如：电路接入电源、从电源断 开、电路参数改变等）存在过渡过程； 没有储能作用的电阻（R）电路，不存在过渡 过程。 电路中的 u、i 在过渡过程期间，从“旧稳态”进
入“新稳态”，此时u、i 都处于暂时的不稳定状态，
所以过渡过程又称为电路的暂态过程。
(t ) uC ()(1 e ) uC
U S1 (1 e
t ( R1 R2 ) C
t
)
t
t0
（3）全响应
uC (t ) uC () [uC (0 ) uC ()]e
U S1 (U S2 U S1 )e U S2 e
t ( R1 R2 ) C t ( R1 R2 ) C
iL (0 ) iL (0 ) 0
L R US i L ( ) R
iL (t ) iL () [iL (0 ) iL ()]e
t
R t t US US R U [0 ]e L S (1 e L ) R R R
t0
uL (t ) U S RiL
R t U iL (t ) iL () [iL (0 ) iL ()]e S e L R
t
A
t0
电感电压的零输入响应为
t diL u L (t ) L U S e L dt R
V
t0
例1 电路如图a所示，已知： uC (0 ) 20V, R1 10k, R2 R3 5k, C 10F, t 0 时开关S1闭合，t 0.1s 时S2闭合。试求 t 0 时电容电压 uC (t ) 和电阻R2上的端 和电阻R2上的端电压 u 2 (t ) ，并画出 uC (t ) 的变化曲线。 解 uC (0 ) uC (0 ) 20V
t
A
t
t 0
i3 (t ) i3 () i3 (0 ) i3 ()e
1000 t 15 0.5 (0.333 0.5)e A
0.5 0.167e
200 t 3
A
t 0
5.3.3 一阶电路的全响应 全响应 当一阶电路的外加激励源和初始状态都不为零 时，由此产生的电路响应。
R R t t US U S R[ (1 e L )] U S e L R
t0
例2 电路如图a所示， t＜0时电路为稳态。已知： US 100V, C 100F, R1 R2 R3 100 。当 t 0 时开关 S闭合。试求 t 0 时电流 iC (t ) 和 i3 (t ) 。 解
uC (0 ) uC (0 ) U S1
根据 t 0 时所示的RC电路图b，列KVL方程为
du C RC u C U S2 dt 令 RC
du C 1 1 u C U S2 dt
2. RL一阶电路分析
U S1 iL (0 ) iL (0 ) RS R
V V
0 t 0.1s t 0.1s
0 u 2 (t ) 20 ( t 0.1) 3679 e
0 t 0.1s V t 0.1s
uC(t)的变化曲线
5.3.2 一阶电路的零状态响应 零状态响应 是指一阶电路换路瞬间，储能元件C、L 上储存的能量为零，换路后电路由外加激励源所引起 的电压、电流响应。 1. RC电路的零状态响应
uC (0 ) uC (0 ) U S2
( R1 R2 )C
uC () U S1
（1）零输入响应
uC () 0
(t ) uC (0 )e uC
U S2 e
t
t ( R1 R2 ) C
t0
（2）零状态响应
uC (0 ) 0
5.2.2 三要素法
f (t ) f () [ f (0 ) f ()]e
t
t 0
f (0 ) 、 f ( ) 和 称为一阶电路的三要素
其中三要素为:
初始值 ---稳态值 ----
f (0 )
f ( )
时间常数 ----
利用求三要素的方法求解过渡过程，称为三要 素法。只要是一阶电路，就可以用三要素法。
5.1 换路定则及初始值
5.1.1换路定则
换路定则:
在换路瞬间，电容上的电压、 电感中的电流不能突变。
设：t=0 时换路
0 ---
换路前稳态终了瞬间
0 --- 换路后暂态起始瞬间
则：
uC (0 ) uC (0 )
iL (0 ) iL (0 )
例1 电路如图所示，已知 R1 R2 4, US 10V, C 2F, 开关S动作前电路已处于稳态，在 t 0 时开关 S由b点联接到a点，试求 u C (0 ) 解
根据换路定则，有
uC1 (0 ) uC1 (0 ) 10V uC2 (0 ) uC2 (0 ) 4V
t 0 时的等效电路
U (0 )
uC2 (0 ) U u (0 ) R4 uC1 (0 ) S C1 R2 13.31V R3 R4 R1 R2
0 t 0.1s 1 R1C 0.1s
t
uC (t ) uC (0 )e
20e10t V 0 t 0.1s 当 t 0.1s 时 2 [ R1 //(R2 R3 )]C 0.05s
uC (0.1 ) 20e 100.1 V 7.358V uC (0.1 ) uC (0.1 ) 7.358V
uC (0 ) uC (0 ) 0
i3 (0 ) = iC (0 )
0.333A US 1 iC (0 ) = ( R2 // R3 ) 0.333 A R1 R2 // R3 R2
US 100 i3 () = A 0.5 A R1 R3 100 100
= 12 ， R5 = 1 ，US = 20 V。试求电路的初始电流 i (0 ) 解
US I5 2A R1 R5 R4 //( R3 R2 ) I5 I0 1A 2 uC1 (0 ) R5 I 5 R3 I 0 10 V uC2 (0 ) R2 I 0 4 V
三要素法求解过渡过程要点：
. 分别求初始值、稳态值、时间常数；
初始值 ---稳态值 ---时间常数----
f (0 ) f ( )
t
.将以上结果代入过渡过程通用表达式；
f (t ) f () [ f (0 ) f ()] e
R3 30k, C 1000pF, US1 12V, U S2 8V 。试求电 路响应 u C (t ) 、 i1 (t ) 和 iC (t )
uC (0 ) U S 10V
uC (0 ) uC (0 ) 10V
5.1.2 初始值 1. 计算 2. 画
u C (0 )、 iL (0 ) 值
t 0 瞬间的等效电路
3. 计算其它初始值
小结
1. 换路瞬间，
能突变，变不变由计算结果决定； 2. 换路瞬间， C 路；
uC (0 ) uC (0 ) 0 uC () U S RC
uC U S [0 U S ]e U S (1 e
t RC
t RC
)
t
t0
t0
U S u C U S RC iC e R R
uC零状态响应曲线
2. RL电路的零状态响应
根据 t 0 时所示的RL电路图b，列KVL方程为
L 令 R
di L RiL L U S2 dt diL 1 1 iL U S2 dt R
可得一阶电路微分方程解的通用表达式：
f (t ) f () [ f (0 ) f ()] e
式中
t
f (t ) 代表一阶电路中任一待求电压、电流响应。
uC (t ) uC () [uC (0 ) uC ()]e
t
4 2e
1.5105 t
V
t 0
du C iC (t ) C dt d 1.510 5 t C ( 4 2e ) dt
0.3e
1.5105 t
mA
t 0
U S1 u C (t ) i1 (t ) R1
解 u C (0 )
U S2 R2 R2 R3
例1电路如图a所示，当 t＜0时电路为稳态，t＝0时开关 S1闭合、S2断开。已知： R1 20k, R2 10k,
uC (0 ) uC (0 ) 2V
U S1 u C ( ) R2 4V R1 R2 2 20 RC 10 5 s R R1 // R2 k 3 3
0.4 0.1e
1.5105 t
mA
t 0
5.3一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应 5.3.1 一阶电路的零输入响应 零输入响应 是指一阶电路换路以后，当外加激励源为 零时，由储能元件C、L的初始储能所引起的响应。
1. RC电路的零输入响应 由三要素法得
uC (0 ) uC (0 ) U S
由三要素法解得
uC (t ) uC (0.1 )e
t 0.1
7.358e 20(t 0.1)
V t 0.1s
V
t 0.1s
u C (t ) u 2 (t ) 3.679e 20 (t 0.1) 2
10 t 20e u C (t ) 20 ( t 0.1) 7.358e
t=0+瞬间电路
iC () = 0
( R1 // R3 ) R2 C
100 6 ( 100) 100 10 s 15m s 2
iC (t ) iC () iC (0 ) iC ()e
0.333e
200 t 3
R0 R3 // R4 R1 // R2 6.51
t 0 瞬时的等效电路
U (0 ) 13.31V
戴维南等效电路
R0 6.51
U (0 ) 13.31 i (0 ) A 1.77A R0 R5 6.51 1
5.2 三要素法 5.2.1 一阶电路微分方程的建立 1. RC一阶电路分析
5.1 换路定则及初始值
5.2 三要素法 5.3 一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应 5.4 RC微分电路和积分电路
概 述
• “稳态”与 “暂态”的概
K 念:R
+ _
R
+
E
uC
C
E _
uC
电路处）过程 :
旧稳态 新稳态
uC
E
暂态
稳态 t
RC uC () 0
t0
t
时RC电路
uC (t ) uC () [uC (0 ) uC ()]e
0 [U S 0]e U Se
t RC t RC
t0
u C 曲线与时间常数τ的关系
2. RL电路的零输入响应
US i L ( 0 ) i L (0 ) R L R iL () 0
uC、iL 不能突变。其它电量均可
电容相当于恒压 u (0 ) U0 0， 源，其值等于 U 0 ；uC (0 ) 0， 电容相当于短
3. 换路瞬间， L
i (0 ) I0 0
电感相当于恒流源，
其值等于
I 0 ；iL (0 ) 0
，电感相当于断路。
例2 电路如图所示。 t 0 时电路处于稳态，t 0 时开关S断开。已知：R1 = 3 ，R2 = 4 ，R3 = 8 ，R4
有储能元件（L、C）的电路在电路状态发生 变化（换路）时（如：电路接入电源、从电源断 开、电路参数改变等）存在过渡过程； 没有储能作用的电阻（R）电路，不存在过渡 过程。 电路中的 u、i 在过渡过程期间，从“旧稳态”进
入“新稳态”，此时u、i 都处于暂时的不稳定状态，
所以过渡过程又称为电路的暂态过程。
(t ) uC ()(1 e ) uC
U S1 (1 e
t ( R1 R2 ) C
t
)
t
t0
（3）全响应
uC (t ) uC () [uC (0 ) uC ()]e
U S1 (U S2 U S1 )e U S2 e
t ( R1 R2 ) C t ( R1 R2 ) C
iL (0 ) iL (0 ) 0
L R US i L ( ) R
iL (t ) iL () [iL (0 ) iL ()]e
t
R t t US US R U [0 ]e L S (1 e L ) R R R
t0
uL (t ) U S RiL
R t U iL (t ) iL () [iL (0 ) iL ()]e S e L R
t
A
t0
电感电压的零输入响应为
t diL u L (t ) L U S e L dt R
V
t0
例1 电路如图a所示，已知： uC (0 ) 20V, R1 10k, R2 R3 5k, C 10F, t 0 时开关S1闭合，t 0.1s 时S2闭合。试求 t 0 时电容电压 uC (t ) 和电阻R2上的端 和电阻R2上的端电压 u 2 (t ) ，并画出 uC (t ) 的变化曲线。 解 uC (0 ) uC (0 ) 20V
t
A
t
t 0
i3 (t ) i3 () i3 (0 ) i3 ()e
1000 t 15 0.5 (0.333 0.5)e A
0.5 0.167e
200 t 3
A
t 0
5.3.3 一阶电路的全响应 全响应 当一阶电路的外加激励源和初始状态都不为零 时，由此产生的电路响应。
R R t t US U S R[ (1 e L )] U S e L R
t0
例2 电路如图a所示， t＜0时电路为稳态。已知： US 100V, C 100F, R1 R2 R3 100 。当 t 0 时开关 S闭合。试求 t 0 时电流 iC (t ) 和 i3 (t ) 。 解
uC (0 ) uC (0 ) U S1
根据 t 0 时所示的RC电路图b，列KVL方程为
du C RC u C U S2 dt 令 RC
du C 1 1 u C U S2 dt
2. RL一阶电路分析
U S1 iL (0 ) iL (0 ) RS R
V V
0 t 0.1s t 0.1s
0 u 2 (t ) 20 ( t 0.1) 3679 e
0 t 0.1s V t 0.1s
uC(t)的变化曲线
5.3.2 一阶电路的零状态响应 零状态响应 是指一阶电路换路瞬间，储能元件C、L 上储存的能量为零，换路后电路由外加激励源所引起 的电压、电流响应。 1. RC电路的零状态响应
uC (0 ) uC (0 ) U S2
( R1 R2 )C
uC () U S1
（1）零输入响应
uC () 0
(t ) uC (0 )e uC
U S2 e
t
t ( R1 R2 ) C
t0
（2）零状态响应
uC (0 ) 0
5.2.2 三要素法
f (t ) f () [ f (0 ) f ()]e
t
t 0
f (0 ) 、 f ( ) 和 称为一阶电路的三要素
其中三要素为:
初始值 ---稳态值 ----
f (0 )
f ( )
时间常数 ----
利用求三要素的方法求解过渡过程，称为三要 素法。只要是一阶电路，就可以用三要素法。
5.1 换路定则及初始值
5.1.1换路定则
换路定则:
在换路瞬间，电容上的电压、 电感中的电流不能突变。
设：t=0 时换路
0 ---
换路前稳态终了瞬间
0 --- 换路后暂态起始瞬间
则：
uC (0 ) uC (0 )
iL (0 ) iL (0 )
例1 电路如图所示，已知 R1 R2 4, US 10V, C 2F, 开关S动作前电路已处于稳态，在 t 0 时开关 S由b点联接到a点，试求 u C (0 ) 解
根据换路定则，有
uC1 (0 ) uC1 (0 ) 10V uC2 (0 ) uC2 (0 ) 4V
t 0 时的等效电路
U (0 )
uC2 (0 ) U u (0 ) R4 uC1 (0 ) S C1 R2 13.31V R3 R4 R1 R2
0 t 0.1s 1 R1C 0.1s
t
uC (t ) uC (0 )e
20e10t V 0 t 0.1s 当 t 0.1s 时 2 [ R1 //(R2 R3 )]C 0.05s
uC (0.1 ) 20e 100.1 V 7.358V uC (0.1 ) uC (0.1 ) 7.358V
uC (0 ) uC (0 ) 0
i3 (0 ) = iC (0 )
0.333A US 1 iC (0 ) = ( R2 // R3 ) 0.333 A R1 R2 // R3 R2
US 100 i3 () = A 0.5 A R1 R3 100 100
= 12 ， R5 = 1 ，US = 20 V。试求电路的初始电流 i (0 ) 解
US I5 2A R1 R5 R4 //( R3 R2 ) I5 I0 1A 2 uC1 (0 ) R5 I 5 R3 I 0 10 V uC2 (0 ) R2 I 0 4 V
三要素法求解过渡过程要点：
. 分别求初始值、稳态值、时间常数；
初始值 ---稳态值 ---时间常数----
f (0 ) f ( )
t
.将以上结果代入过渡过程通用表达式；
f (t ) f () [ f (0 ) f ()] e
R3 30k, C 1000pF, US1 12V, U S2 8V 。试求电 路响应 u C (t ) 、 i1 (t ) 和 iC (t )
uC (0 ) U S 10V
uC (0 ) uC (0 ) 10V
5.1.2 初始值 1. 计算 2. 画
u C (0 )、 iL (0 ) 值
t 0 瞬间的等效电路
3. 计算其它初始值
小结
1. 换路瞬间，
能突变，变不变由计算结果决定； 2. 换路瞬间， C 路；
uC (0 ) uC (0 ) 0 uC () U S RC
uC U S [0 U S ]e U S (1 e
t RC
t RC
)
t
t0
t0
U S u C U S RC iC e R R
uC零状态响应曲线
2. RL电路的零状态响应
根据 t 0 时所示的RL电路图b，列KVL方程为
L 令 R
di L RiL L U S2 dt diL 1 1 iL U S2 dt R
可得一阶电路微分方程解的通用表达式：
f (t ) f () [ f (0 ) f ()] e
式中
t
f (t ) 代表一阶电路中任一待求电压、电流响应。
uC (t ) uC () [uC (0 ) uC ()]e
t
4 2e
1.5105 t
V
t 0
du C iC (t ) C dt d 1.510 5 t C ( 4 2e ) dt
0.3e
1.5105 t
mA
t 0
U S1 u C (t ) i1 (t ) R1
解 u C (0 )
U S2 R2 R2 R3
例1电路如图a所示，当 t＜0时电路为稳态，t＝0时开关 S1闭合、S2断开。已知： R1 20k, R2 10k,
uC (0 ) uC (0 ) 2V
U S1 u C ( ) R2 4V R1 R2 2 20 RC 10 5 s R R1 // R2 k 3 3
0.4 0.1e
1.5105 t
mA
t 0
5.3一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应 5.3.1 一阶电路的零输入响应 零输入响应 是指一阶电路换路以后，当外加激励源为 零时，由储能元件C、L的初始储能所引起的响应。
1. RC电路的零输入响应 由三要素法得
uC (0 ) uC (0 ) U S
由三要素法解得
uC (t ) uC (0.1 )e
t 0.1
7.358e 20(t 0.1)
V t 0.1s
V
t 0.1s
u C (t ) u 2 (t ) 3.679e 20 (t 0.1) 2
10 t 20e u C (t ) 20 ( t 0.1) 7.358e
t=0+瞬间电路
iC () = 0
( R1 // R3 ) R2 C
100 6 ( 100) 100 10 s 15m s 2
iC (t ) iC () iC (0 ) iC ()e
0.333e
200 t 3
R0 R3 // R4 R1 // R2 6.51
t 0 瞬时的等效电路
U (0 ) 13.31V
戴维南等效电路
R0 6.51
U (0 ) 13.31 i (0 ) A 1.77A R0 R5 6.51 1
5.2 三要素法 5.2.1 一阶电路微分方程的建立 1. RC一阶电路分析