一元线性回归系数比值不确定度的评定
一元线性回归模型检验
对于所有样本点，则需考虑这些点与样本均值离 差的平方和，可以证明：
记：
总体平方和（Total Sum )2
回归平方和（Explained Sum of Squares）
三、一元线性回归模型的统计检验
1、拟合优度检验 2、变量的显著性检验 3、方差分析
回归分析是要通过样本所估计的参数来代替总体的真实 参数，或者说是用样本回归线代替总体回归线。
尽管从统计性质上已知，如果有足够多的重复抽样，参 数的估计值的期望(均值)就等于其总体的参数真值，但 在一次抽样中，估计值不一定就等于该真值。
R 2 ˆ12
xi2 (0.777)2 7425000 0.9766
yi2
4590020
注：可决系数是一个非负的统计量。它也是随着抽样 的不同而不同。为此，对可决系数的统计可靠性也应进行 检验，这将在第3章中进行。
2、变量的显著性检验
回归分析是要判断解释变量X 是否是被解释变量Y 的一个显著性的影响因素。
而Y 的第i个观测值与样本均值的离差 yt (Yt Y ) 可分解为两部分之和
yi Yi Y (Yi Yˆi ) (Yˆi Y ) ei yˆi
yˆt (Yˆt Y ) 是样本回归拟合值与观测值的平均值 之差，可认为是由回归直线解释的部分，称为可解释偏 差或回归偏差；
et (Yt Yˆi )是实际观测值与回归拟合值之差，是回 归直线不能解释的部分，称为残差或随机偏差；
那么，在一次抽样中，参数的估计值与真值的差异有多 大，是否显著，这就需要进一步进行统计检验。
主要包括拟合优度检验、变量的显著性检验及方差分析。
2.3 一元线性回归模型的统计检 ...
2、统计准则检验。 统计准则检验就是依据统计学理论确定参数估计值 的统计可靠性。 估计标准误差评价 估计标准误差：依据样本资料计算的，用业反映被解 释变量的实际值Y与估计值Y的平均变异程序的指 标，称为估计标准误差。
(Yi Y ) ˆ1 X ( ie s = ˆ = = n2 n2
该统计量服从自由度为n－2的t分布，因此可用该 统计量做为对参数β1显著检验的t 统计量。
检验步骤
（1）对总体参数提出假设
H0： 1=0， H1：10
（2）以原假设H0构造t 统计量，并由样本计算其值
t=
（3）给定显著性水平，查t分布表，得临界值t /2 (n-2) （4） 比较，判断 若 若 |t|> t /2 (n-2)，则拒绝H0 ，接受H1 ； |t| t /2 (n-2)，则拒绝H1 ，接受H0 ；
SRF
^
Y
Xi
X
如果Yi=Ŷi 即实际观测值落在样本回归“线”上，则拟合 最好。可认为，“离差”全部来自回归线，而与“残差”无关。
对于所有样本点，则需考虑这些点与样本均值 离差的平方和,即：
而 其中
y = yi + e2 + 2 yi ei ye i = (Y i Y )ei = Y i ei Yei i ˆ + ˆ X )e Y e = ( ˆ 0 ei +ˆ1 ei X i = 0 由OLS性质 =
简单回顾几种常用的检验方法
1、经济准则检验。 经济准则检验就是依据经济理论判断估计参数的正 负符号是否合理、大小是否适当。经济准则的检验要 求具备扎实的经济理论基础。
例1 消费函数（Yi为消费支出，Xi为收入水平）
Yˆi = 290 0.7 X i
一元线性校准曲线不确定度评定与适用条件的讨论
一元线性校准曲线不确定度评定与适用条件的讨论一、引言校准曲线是物质定量分析中最为基础的测量方法之一，常用于化学分析、光谱分析、质谱分析等领域中。
在进行定量分析时，对于复杂的样品或者低浓度测量的样品，我们常常需要使用校准曲线来进行定量分析。
而校准曲线的精确度和可信度直接决定了测量结果的准确性和可靠性，因此，对于校准曲线的不确定度评定与适用条件的讨论，具有重要的理论意义和实际应用价值。
二、一元线性校准曲线的基本原理一元线性校准曲线是一种非常常用的校准曲线，其基本原理是利用已知浓度的标准溶液制备一系列不同浓度的溶液，并以这些溶液的反应值或者信号强度等作为样品中物质的含量来制备一条曲线。
一元线性校准曲线是一条直线，其表达式为：y = ax + b其中，y 代表样品测量值或反应值的大小，x 代表样品中物质的浓度，a 和b 分别是校准曲线的斜率和截距。
三、一元线性校准曲线的不确定度评定1.样品准备误差样品准备误差是样品制备过程中的误差，包括样品的称量误差、体积误差、混匀误差等。
这些误差会导致校准曲线中样品测量值的误差，从而影响到定量测量的准确性。
在确定校准曲线的不确定度时，需要对样品准备误差进行评估，计算其贡献值。
2.样品分析误差样品分析误差是样品测量过程中的误差，包括仪器误差、测量方法误差、操作误差等。
样品分析误差的大小直接影响到校准曲线的精确度和可信度，因此在评定校准曲线的不确定度时，需要对样品分析误差进行评估。
3.校准曲线斜率和截距误差校准曲线的斜率和截距是校准曲线的两个重要参数，它们的大小直接影响到样品浓度与测量值的转换关系。
在进行校准曲线的不确定度评定时，需要对校准曲线的斜率和截距误差进行评估。
4.样品测量值偏差样品测量值偏差是样品测量中产生的偏差，包括零位偏差、系统偏差、随机误差等。
样品测量值偏差的大小会直接影响到校准曲线的精确度和可信度，因此在进行校准曲线的不确定度评定时，需要对样品测量值偏差进行评估。
线性回归中被测样不确定度评定的几种方法及其分歧根源
线性回归引入的不确定度
一般化学检测中，是通过观察激励值（例如浓
度）戈和响应值（信号）），之间的关系，来实现被测样 戈。。。的间接检测的。在大多数情况下，菇和ｙ认为是 线性关系（限于直线线性段），即
ｙ＝口＋ｋ
（１）
前，对拟合直线中的参数，斜率６和截距口的不确 定度公式基本无分歧，但对线性回归结果不确定 度Ｍ（石。。）的评定，分歧较大，也是本文讨论的
［８］龚思维，等．分光光度法测定磷的测量不确定度的评定［Ｊ］．化
学分析计量，２００４，１３（６） ［９］郭兰典，等．仪器分析中线性回归标准曲线法分析结果不确定 度评估［Ｊ］．检验检疫科学，２００ｌ（４） ［１０］罗颖．一元线性回归系数比值不确定度的评定［Ｊ］．赣南师范 学院学报，２０１１（６） ［１１］唐象能，戴俭华．数理统计［Ｍ］．北京：机械工业出版 社，１９９４ ［１２］宋妲音，等．化学检测实验室线性最小二乘法校准的不确定度 评定［Ｊ］．环境监测管理与技术，２００３（６） ［１３］金正一，李风岐．一元线性参数最小二乘法中斜率及截距的不 确定度．沈阳工业学院学报，２０００，１９（１）
（ｏ，６）＝一１。
由于方法Ｉ中截距口和斜率６的相关性是通过 统计学推导得出的，由式（７）得到的线性回归不确 定度也更为科学合理，为《指南》等权威参考资料所 采用。而方法Ⅱ和方法Ⅲ中，在缺乏理论依据的基 础上，为了方便计算分别直接采用截距口和斜率６ 为正强相关或不相关，这是不科学的，需要摒弃。
・６５・
简化为：
方法Ｉ
《化学分析中不确定度评估指南（ＣＮＡＳ・ＧＬ 的被测样戈删的不确定度Ⅱ（ｚ删）为［１’３］：
２：
２００６）》（下文简称《指南》）指出，由线性回归引人
线性回归的不确定度问题
r
c0VL d f acid f time f temp aV
-2
式中： r ---每单位面积镉溶出量 (mg﹒dm )
c 0 ---浸取液中镉含量
d ---稀释系数 V L ---浸取液体积
(mg﹒l )
-1
(l)
2
aV
----容器的表面积 (dm ) ----酸浓度的影响 ----浸泡时间的影响
3
中，溶液高度距陶瓷器皿上口 1mm;; ③ 记录 4%醋酸溶液的量，本例 VL=332ml; ④ 样品在（22±2）℃的条件下放置 24h(黑暗中) ⑤ 搅拌溶液使其均匀。取一部分溶液稀释，稀释系数为 d。 ⑥ 选用适当的波长在 AAS 上进行分析。校准直线已事先建立； 。 ⑦ 计算结果，报告在总浸取液中镉的含量（mg/dm ） 3 数学模型
ˆ ˆ) / b x0 ( y0 a s 1 1 ( x0 x ) 2 uc ( x0 ) n ˆ b p n ( x x )2
i 1 i
n为测量次数，s为标准偏差 p和u本别是什么？
1 1 ( x0 x ) 2 u c ( y0 ) s n p n ( x x )2
第 j 个响应值(观测值)
y1.m
y2.m
y3.m y
ym
y4 y2 y1
yn.m
y a b x
x1
x2
x3
xn
x
散点图（说明：由于本人在计算机上作图的能力有限，所以此 图有很多信息未表达甚至有误，请注意。 ） 用这一系列输入值与观测值， 根据最小的乘法原理可以回归出一 条最佳直线：
ˆx ˆa ˆb y
s余 ˆi )2 ( yi y s n2 n2
一元线性回归中的不确定度分析
２ Ｏ ． ０ ６
２ ２ ． １ ０ ２ ２ ． ５ ３ ２ ２ ． ７ ８ ２ １ ． ５ ４ ２ ２ ． Ｏ １ ２ ２ ． ６ １
３ ４ ． １ ５ ３ ３ ． ２ ８
３ ２． ９ ８ ３ ５ ． ８ ３ ３ ４ ． ８１ ３ ３ ． ４ ３
第１ 期
煤 质 技 术
２ ０ １ ４ 年１ 月
一
元 线 性 回 归 中 的 不 确 定 度 分 析
米 娟 层
（ 陕 西省 能 源 质 量 监 督 检 验 所 ， 陕 西 西安 ７ １ ０ ０ ５ ４ ）
摘 要 ：介 绍 了一 元线 性 回 归方程 回 归残余 标 准差 ｓ 的计 算方 法及 其显 著性检 验 ，并通 过 回 归方程
该 文介 绍 一元 线性 回归方 程残 余标 准 差的 计算
３５ ． ５５
３７ ． ９ ９ ３ ２ ． ９１
验 公式 。经验 公式 对 于煤 质检 验 、煤质 管 理及科 学
研 究 等方 面 都有很 大 的 帮助 。
３ ４ ． １ ５ ３ ４． ７ ６
３ ３． １ ３ ３ ４ ． ４ ８ ３ ７ ． １ ８
在 已有 的 回归公 式 中 ，有 的给 出了 回归 的残余
Ｑ ， ＭＪ・ ｋ ｇ 。
２ ３ ． ２ ３ ２ １ ． ９ ０ ２ ２ ． １ ４ ２ ２ ． ３ Ｏ
就 称 为一 元 线 性 回 归 ，一 元 线 性 回归 就 是 要 建 立 Ｙ＝ａ＋ｂ 方 程 ，该 方程 称 为 对 的 回归 方程 。
一
元 线 性 回归 在煤 质 检 验 中的 应 用 非常 广 泛 ，
回归 分析 就 是将 所关 心 的特 性 的性能 与潜 在 的 原 因联 系起 来 。 一 元 回归 是 处 理 ２个 变 量 和 之 间 的关 系 ，假如 ２个 变 量之 间 的关 系是 线 性 的 ，
杨氏模量实验中不确定度的评定方法
Interference pattern of convergent light for a uniaxial crystal with optical axis parallel to surface
SH EN W ei min
( Department of O ptoelectronic Info rmation Eng ineering, China Jiliang U niversity , Hangzhou 310018, China)
参考文献:
[ 1] 杨述武. 普 通物理 实验 力 学及热 学部分[ M ] . 第 3 版. 北京: 高等教育出版社, 2000. 30~ 31.
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uA =
i= 1
9- 2
= 0 000 13 m
3 2 n 的不确定度B 分量
1) 标尺不确定度 uB1 标尺的误差限[ 4] :
N = 0 1 mm ( 设均匀分布)
uB1 =
(
N
3
)
一元线性回归模型的统计检验
三、参数的置信区间
假设检验可以通过一次抽样的结果检验总体参 假设检验 数可能的假设值的范围（如是否为零），但它并 没有指出在一次抽样中样本参数值到底离总体参 数的真值有多“近”。 要判断样本参数的估计值在多大程度上可以 “近似”地替代总体参数的真值，往往需要通过 构造一个以样本参数的估计值为中心的“区间”， 来考察它以多大的可能性（概率）包含着真实的 参数值。这种方法就是参数检验的置信区间估计 置信区间估计。 置信区间估计
1、总离差平方和的分解
已知由一组样本观测值（Xi,Yi），i=1,2…,n 得到如下样本回归直线
Yi = β 0 + β 1 X i
y i = Yi Y = (Yi Yi ) + (Yi Y ) = ei + y i
如果Yi=i 即实际观测值落在样本回归“线”上，则拟合最好 拟合最好。 拟合最好 可认为，“离差”全部来自回归线，而与“残差”无关。
对于所有样本点，则需考虑这些点与样本均值离 差的平方和,可以证明：
记 TSS = ∑ yi2 = ∑ (Yi Y ) 2
ESS = ∑ yi2 = ∑ (Yi Y ) 2 RSS = ∑ ei2 = ∑ (Yi Yi ) 2
总体平方和（ 总体平方和（Total Sum of Squares） ） 回归平方和（ 回归平方和（Explained Sum of Squares） ） 残差平方和（ 残差平方和（Residual Sum of Squares ）
一、拟合优度检验 拟合优度检验： 拟合优度检验：对样本回归直线与样本 观测值之间拟合程度的检验。 度量拟合优度的指标：判定系数 判定系数（可决 度量拟合优度的指标 判定系数 可决 系数）R2 系数 问题： 问题：采用普通最小二乘估计方法，已 经保证了模型最好地拟合了样本观测值， 为什么还要检验拟合程度？
直线回归分析及其不确定度评定
直线回归分析及其测量不确定度评定第一节 一元线性回归分析当输入量X i 的估计值x i 是由实验数据用最小二乘法拟合的曲线上得到时，曲线上任何一点和表征曲线拟合参数的标准不确定度，可以用有关的统计程序评定。
例如有两个估计值x ，y 有线性关系y =a +bx ，对其独立测得若干对数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，⋯，(x n ,y n )，n >2，欲求取参数a ，b 及其标准不确定度，以及预期估计值及其标准不确定度，则需要应用最小二乘法。
最小二乘法是以“残差平方和最小”为条件求得最佳值并拟合成最佳直线、最佳曲线。
图13.1给出了直线拟合的最小二乘法示意图。
图中，x i ，y i 是观测数据，v i 是残差，a 是拟合直线的截距，b 是拟合直线的斜率。
呈直线的标准曲线用下式表示：y a bx =+ (13.1)式中b 是直线的斜率（回归系数），a 是截距。
各实验数据点可表示为（x i ，y i ）i =1,2,…,n 。
误差方程可用残差v i 表示为：)()()(222111n n n bx a y v bx a y v bx a y v +-=+-=+-=需要使残差平方和最小[]∑∑=+-=m in )(22i i i bx a y v 因此须同时对a 和b 求偏导数并使其为零，得到联立方程[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=---=∂∂=-+=---=∂∂∑∑∑∑∑∑====0222)(2,0222)(21121212ni i i n i i n i i i i n i i i i y x x b x na x bx a y b v y n x nb na bx a y a v式中，1111,nnii i i x x y y n n ====∑∑首先用联立方程求解b0112=+-⋅-⋅∑∑==ni ni i i i y x x b x y n x x nby i y i x ixv i a拟合直线测量数据 图13.1 最小二乘法示意图∑∑==⋅--=ni i ni i i xx n x yx n y x b 121式中，以上各式中，x 是x 值的平均值，y 是y 值的平均值。
线性回归标准曲线法不确定度(检验检疫)
仪器分析中线性回归标准曲线法分析结果不确定度评估一、前言对测试方法制定不确定度评估程序是ISO/IEC 17025对实验室的要求[1]，也是检验工作的需要。
由ISO 等7个国际组织联合发布的《测量不确定度表达指南》[2]采用当前国际通行的观点和方法，使涉及测量的技术领域和部门可以用统一的准则对测量结果及其质量进行评定、表示和比较，满足了不同学科之间交往的需要[3]。
采用《测量不确定度表达指南》对测试结果不确定度进行评估，也是检验工作同国际标准接轨的需要。
线性回归标准曲线法是仪器分析中最常用的方法，这类仪器包括原子吸收分光光度计、发射光谱仪、分光光度计、气相（液相）色谱仪等。
这类分析测定结果的不确定度都有相似的来源，可概括为仪器精密度、标准物质不确定度及溶液制备过程中带来的不确定度等。
因此，可用相似的方法对它们进行评估。
本文以ICP-AES 法测定钢铁中磷为例，推导了仪器分析中线性回归标准曲线法测定不确定度的计算方法，并提供了计算过程所需的各参数的采集和计算方法，评估了标准不确定度、自由度和扩展不确定度的数值。
二、测定过程和数学模型仪器分析中线性回归标准曲线测定方法，利用被测物质相应的信号强度与其浓度成正比关系，通过测定已知浓度的溶液（即标准溶液）的信号强度，回归出浓度-信号强度标准曲线，从标准曲线上得到被测定溶液信号强度相应的浓度。
计算过程的数学模型如下：用y i 和y t 分别表示标准溶液和被测溶液的信号线强度，以x i 和x t 分别表示第i 个标准溶液和被测样品溶液的浓度，i=1~n ，n 表示标准溶液个数，则：y a bx t t =+ (1)其中，b xx y y xx ii i nii n=---==∑∑()()()121(2)a y bx =- (3) （1）式也可表示成：x y abt t =- (4) 把式（2）、（3）代入式（4）得：x y y xx xx y y x t t ii nii i n=----+==∑∑()()()()211（5）式（5）表明了被测量x t 与输入量x 1,x 2...x n 和y 1,y 2...y n 、y t 的函数关系，可简写成：x t f x x x n y y y n y t=(,...,,...,)1212 由上式可知，样品溶液浓度测定结果不确定度可分成标准溶液浓度不确定度分量及其信号强度不确定度分量和被测定溶液信号强度不确定度分量，其中标准溶液浓度不确定度分量可由标准样品标称含量不确定度和配制过程引入的不确定度合成得到，而信号强度不确定度分量是由仪器测量的误差引起的，可从仪器的精密度数据得到。
统计学B02-第四节一元线性回归模型的评价与检验
简捷计算公式
y 2 b y b xy
s
0
1
yx
n2
相关与回归分析
一元线性回归模型
拟合优度的计算
以2000-2015年杭州市城镇 居民年人均可支配收入与年 人均消费支出数据资料为例， 已经拟合城镇居民年人均消 费支出倚年人均可支配收入 的回归方程。
y 1806.9 0.629 x c
20698.9
230318.41
2011
34065 22642
23233.8
350209.49
2012
37511 22800
25401.3
6766860.5
2013
39310 24833
26532.9
2889626
2014
44632 32165
29880.4
5219269.2
2015
48316 33818
yx
n2
14
相关与回归分析
一元线性回归模型
解：
一元线性回归方程计算表
年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 合计
X 9668 10896 11778 12898 14565 16601 19027 21689 24104 26864 30035 34065 37511 39310 44632 48316 401959
相关与回归分析
一元线性回归模型
估计标准误
估计标准误（standard error of estimate） 是对各观测数据在回归直线周围分散程度的一个度量值，反映了 用估计的回归方程拟合因变量Y时平均误差的大小。可以证明， Syx 是对误差项ε的标准差σ的无偏估计。
利用回归方程进行不确定度评定
利用回归方程进行不确定度评定黄焕钧 张晋东莞市荣昌化工有限公司摘要本实验通过ICP法测定油漆样品中Ba元素为例，应用数理统计学中的最小二乘法建立其回归方程，同时针对校准曲线引入的不确定度进行评定。
该评定方法在实际工作中可以作为利用回归方程计算检测结果这一类型的不确定度评定的参考。
一切测量结果都不可避免的具有不确定度，一份完整的检测报告应包括对其不确定度的评定。
利用回归方程计算检测结果是分析化学中最常用的计算方法。
本文根据国家技术监督局发布的《测量不确定度评定和表示》(JJF1059-1999)，以使用ICP法测定考核样品中Ba元素为例，利用数理统计学中的最小二乘法进行直线回归计算。
同时由于实验中产生不确定度的因素通常包括检测仪器、实验环境、标准物质、人员操作和分析方法，而本次主要对校准曲线的非线性引起输出值得不确定度U(C)进行评定与评估。
1 实验部分1.1 主要仪器和试剂岛津ICPE-9000，德国利曼的微波消解系统，HNO3（AR）。
浓度为1000μg/mL的Ba单元素标准溶液（从国家有色金属及电子材料分析测试中心购买）。
1.2 标准使用液的配制用2mL移液管吸取浓度为1000μg/mL的Ba标准溶液到100 mL量瓶中，加入3％（v/v）的HNO3介质定容至刻度线，从而得到20μg/mL单元素标准溶液；用13%（v/v）的HNO3分别稀释100、50、33、25和20倍，分别得到浓度为0.2、0.4、0.6、0.8与1.0μg/mL的标准溶液。
1.3 实验方法及过程简述将湿的油漆样品喷在玻璃板上，烘干，用小刀刮取，称量0.1g左右，然后加入约8mL HNO3放入微波消解系统进行消解。
消解完成待冷却后，将其过滤定容于50mL容量瓶中。
然后利用ICPE-9000光谱仪，对标准使用溶液进行测试，测出Ba标准系列的强度值A，计算强度值A与浓度关系的回归方程，然后测量样品溶液中的强度值，由回归方程可计算出样品溶液中被测组分中Ba的浓度。
一元线性回归方程检验
回归方程的概念是在统计学中被广泛使用的概念，它用于预测和解释变量之 间的关系。
一元线性回归方程的定义
回归方程
一元线性回归方程是描述两个变量之间线性关系的数学模型。
变量关系
它表示一个变量如何随着另一个变量的变化而变化。
斜率和截距
通过回归方程的斜率和截距可以计算两个变量之间的线性关系。
归方程是否显著。
3
计算F统计量
通过计算F统计量，可以评估整个回归方 程的显著性。
拒绝或接受
根据F统计量的大小和显著性水平，可以 拒绝或接受回归方程的显著性。
使用t检验进行回归方程的参数估计
t检验
t检验可用于估计回归方程的参数，并检验这些参数 的显著性。
参数估计
通过t检验可以得到一元线性回归方程的截距和斜率 的估计值。
回归方程的假设检验
1 零假设
回归方程的假设检验需要 建立一个零假设，来测试 回归方程参数的显著性。
2 显著性水平
根据显著性水平确定的临 界值，可以判断回归方程 的参数估计是否符合显著 性要求。
3 统计检验
使用统计检验方法，如t检 验，对回归方程进行显著 性检验。
检验回归方程的显著性
1
F分布
2
将F统计量与F分布进行比较，以确定回
数据分析
通过数据分析，计算回归方程的 参数估计和回归方程的显著性。
假设检验
使用假设检验方法，对回归方程 的参数进行显著性检验。
对一元线性回归方程做显著性检验
假设检验
使用t检验对回归方程的截距 和斜率进行显著性检验，以 确定其是否显著。
计算标准误差
通过计算标准误差，可以评 估回归方程的参数估计的可 靠性。
针对JJF 1305-2011校准规范中几点问题的探讨
针对JJF 1305-2011校准规范中几点问题的探讨
解岩;曹春;张曦文
【期刊名称】《计测技术》
【年(卷),期】2016(0)S1
【摘要】针对JJF 1305-2011《线位移传感器校准规范》中一元线性回归参数公
式存在的问题,本文基于最小二乘法从方差角度给出了其正确表达式,并对回归系数
的无偏性加以论证。
同时,从考量线位移传感器重要指标出发,利用不确定度传递率,计算线性度的不确定度,并讨论其回归系数及其重复性等因素引起的不确定度分量。
【总页数】3页(P232-234)
【关键词】元线性参数;线性度;不确定度
【作者】解岩;曹春;张曦文
【作者单位】中航工业第一飞机设计研究院
【正文语种】中文
【中图分类】TB97
【相关文献】
1.《JJF 1057-1998数字存储示波器校准规范》中扫描时间因数校准过程及存在问题探讨 [J], 宋剑波;李坚;刘洪贺;寇琼月
2.对 JJF1064－2010《坐标测量机校准规范》有关问题的探讨 [J], 陈龙;颜宇;李
钢
3.对现行JJF 1066-2000《测长机校准规范》中问题的探讨 [J], 孙云霞;孙友群;周
红光;樊瑞昕;刘瑞峰
4.关于JJF1255-2010《厚度表校准规范》和JJF1488-2014《橡胶、塑料薄膜测厚仪校准规范》几点理解 [J], 王艳;刘钊
5.JJF(浙)1096-2014《药物溶出度仪校准规范》问题探讨 [J], 韩素超;张红中;祖振涛;王昊苏;孙若男
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线性回归的不确定度问题
校准直线的公式为：
Aj Ci B1 B0
Aj ----对第 i 个标准溶液的第 j 次吸光度测量值 Ci ----第 i 个标准溶液的浓度
B1 ----斜率 B0 ---（用 15 个观测值
回归所得）
分别对回归直线求得）
B1
0.2410
1.2
残余标准偏差为：
N
[ AJ (B0 B1ci )]2
s J 1
0.005486
N 2
N
sxx (ci c)2 1.2 J 1
式中： P ---测量 c0 的总次数（ P 2 ）
N ---测量校准溶液的总次数（ N mn 15 ）（ m 3 ， n 5）
J ---测量校准溶液的序数（ J 1、2、3N ），注意： J 与 j 不同。
i ----校准溶液的序数（ i 1、2、3、4、5）
c ---- n 5个校准溶液浓度的平均值
B1 ----斜率 c的浓度
注：在《化学分析中不确定度的评估指南》第 78 页中，上述 3 个公式可能有错误或表
达混乱！第 111 页最后一个公式可能也有错误。（编者自注，仅供参考）
0.0050
B0
0.0087
0.0029
用 AAS 测量浸泡陶瓷容器的溶液两次,得到浓度 c0 0.26 mgl-1, 而标准不确定度：
u(c0 )
s B1
1 1 (c0 c)2 0.005486 1 1 (0.26 0.5)2 0.018 mgl-1
PN
sxx
0.241 2 15
yi 的总的分散程度
i 1
②
S
n
回= ( yˆi
y)2 ——反映了回归值
yˆi 的分散程度
一元线性回归系数比值不确定度的评定
一元线性回归系数比值不确定度的评定罗颖【摘要】In this paper regression coefficient correlation was analyzed and the formula of uncertainty of regression coefficient ratio in one dimensional linear regression equation was derived. The shortcomings in some documents about the evaluation of uncertainty of regression coefficient ratio were pointed out in this paper.%分析一元线性回归系数的相关性，导出一元线性回归系数比值不确定度的计算公式，指出了某些文献中有关回归系数比值不确定度评定存在的问题．【期刊名称】《赣南师范学院学报》【年(卷),期】2011(032)006【总页数】4页(P92-95)【关键词】线性回归;回归系数比值;相关系数;不确定度【作者】罗颖【作者单位】赣南师范学院物理与电子信息学院,江西赣州341000【正文语种】中文【中图分类】O212在大学物理实验中，经常遇到二物理量x、y间存在线性关系，常选择线性模型用最小二乘法对测量数据进行拟合(一元线性回归)，得到回归方程y=a+bx中参数的最佳估计值a、b(称为回归系数)以及它们的标准偏差sa、sb，然后根据回归系数比值求出有关物理量. 比如弹簧振子中弹簧的有效质量m有效是回归直线的截距与斜率的比值, 即折合系数文献[1](2000年，第3版)给出了折合系数c的不确定度公式：显然，上式的成立条件是a、b是线性无关的. 回归系数a、b线性无关吗？文献[2](2007年，第4版)修订了上式，给出了折合系数c的不确定度公式：式中的相关系数为回归系数a,b之间的相关系数ra,b等于测量量x,y之间的相关系数r吗？如何计算回归系数a,b之间的相关系数？本文将讨论一元线性回归系数的相关性和评定一元线性回归系数比值C=a/b的不确定度.1 间接测量量的标准偏差传递公式为简单起见，设间接测量量f是直接测量量x,y的函数，即f=f(x,y)(1)在相同的条件下，对x,y作了n次测量：xi,yi(i=1,2,…,n)，其平均值分别为真值分别为X，Y. 则间接测量量的真值为F=f(X,Y).将式(1)在X,Y附近作泰勒展开(只保留到一阶小量)，得令上式移项后在对n次测量值求平方和，得等式两边同除以n，可得引入标准误差(2)将上式可改写为(3)式中rx,y为x,y的相关系数(4)上式中的cov(x,y)称为协方差, cov(x,y)=∑(xi-X)(yi-Y), 式(3)是关于标准误差的方和根法合成公式. 如果x和y彼此独立，则有rx,y=0，这时，式(3)可简化为(5)上述公式只具有理论意义，无法通过测量来实现，因为真值未知，也不可能作无限多次测量.在有限次测量中，直接测量量x,y的最佳值分别为间接测量量f的最佳值为可以取标准偏差(6)作为标准误差σ(X)、σ(Y)的估计值，则式(3)、式(4)可分别改写为(7)(8)相关系数的绝对值│rx,y│≤1，相关系数的数值大小表示了相关程度的好坏.rx,y=±1表示变量x、y完全线性相关，拟合(回归)直线通过全部实验点. 当rx,y=1时，拟合直线的斜率大于零；当rx,y=-1时，拟合直线的斜率小于零；当│rx,y│<1时，实验点之间的线性不大好，│rx,y│越小线性越差，rx,y=0表示变量x与y完全不相关.2 一元线性回归系数的相关性用最小二乘法得到的一元线性回归系数a、b是相关变量，可以证明它们的协方差[3]为(9)式中sy是yi的标准偏差(10)r为x,y之间的相关系数(11)回归直线截距a和斜率b的标准偏差分别为(12)(13)回归直线截距a和斜率b之间的相关系数为(14)由上式可知，回归直线截距与斜率之间的相关系数ra,b<0，表明截距与斜率是相关变量，且呈负相关. 当ra,b=-1时，表示多次“组合测量”得到的回归直线截距ai与斜率bi，在a-b图上描绘的实验点(ai，bi)均在一条斜率小于零的直线上；当│ra,b│<1时，实验点之间的线性不大好，│ra,b│越小线性越差.3 回归直线截距与斜率比值的不确定度令回归直线截距a与斜率b的比值为(15)根据式(7)，有设回归系数a、b不确定度的B类分量较小，可略去不计，则u(a)=sa，u(b)=sb，u(C)=s(C)，令ur(a)=u(a)/a， ur(b)=u(b)/b， ur(C)=u(C)/C，有(16)又根据式(14)，有(17)或(18)式(16)～式(18)是回归直线截距与斜率比值的相对不确定度的计算公式. 回归直线截距与斜率是负相关的，交叉项的相对不确定度分量为(19)4 应用举例4.1 回归直线截距与斜率之间的相关系数不等于零文献[1]的测量举例中，折合系数c=a/(bm0)=C/(m0)，回归系数a、b不确定度的B类分量较小，略去不计，m0是在分析天平上测出的，其不确定度也较小，也略去不计.在此取u(a)=sa，u(b)=sb.应用公式(20)计算结果分别为锥形弹簧振子：r=0.999 992，u(c)=0.002 4(文献[1]中u(c)=0.000 8为笔误)柱形弹簧振子：r=0.999 93，u(c)=0.003由于回归直线截距与斜率是相关变量，若忽略弹簧质量m0的不确定度，则折合系数c=a/(bm0)的不确定度u(c)的计算公式应为(21)笔者根据式(14)、式(21)处理文献[1]的实验数据，正确结果分别为：锥形弹簧振子：r=0.999 992，ra,b=-0.885 12，u(c)=0.002 7,其中折合系数c 的相对不确定度ur(c)及其分量分别为柱形弹簧振子：r=0.999 940，ra,b=-0.904 68，u(c)=0.004 5,其中折合系数c 的相对不确定度ur(c)及其分量分别为显然，回归直线截距与斜率是负相关的，此例的计算结果表明，交叉项的相对不确定度分量是不能忽略不计的，式(20)并不成立.4.2 回归直线截距与斜率之间的相关系数ra,b不等于测量量x,y之间的相关系数r 文献[2]的测量举例中，取u(a)=sa，u(b)=sb，ra,b=r. 应用公式(22)计算结果分别为锥形弹簧振子：ra,b=rx,y=r=0.999 992,u(c)=0.001 9柱形弹簧振子：ra,b=rx,y=r=0.999 93, u(c)=0.000 7笔者根据式(14)、式(21)处理文献[2]的实验数据，正确结果分别为：锥形弹簧振子：rx,y=r=0.999 992，ra,b=-0.885 12，u(c)=0.002 7柱形弹簧振子：rx,y=r=0.999 940，ra,b=-0.904 68，u(c)=0.004 5显然，回归直线截距与斜率的相关系数ra,b不等于测量量x,y的相关系数rx,y=r. 此例中两者是异号的，即测量量x,y之间的相关系数rx,y>0，表明测量量x,y是正相关，回归直线截距与斜率之间的相关系数ra,b<0，表明回归直线截距与斜率是负相关. 由此可知，式(22)并不成立. 根据式(21)计算u(c)值必定大于文献[1]的值.由于文献[2]错误地认为ra,b=rx,y=r，故导致u(c)值反而比文献[1]的还小.综上所述，回归直线截距与斜率之间的相关系数ra,b<0，截距与斜率是负相关变量，其相关系数ra,b不等于测量量x,y的相关系数rx,y.在评定回归系数比值的不确定度时，由于回归直线截距与斜率是相关变量，所以，不仅要计算截距a和斜率b的偏差对总不确定度的贡献，而且必须计入其交叉项对总不确定度的贡献.【相关文献】[1]杨述武,马葭生,贾玉民,等.普通物理实验(一、力学及热学部分)[M].北京:高等教育出版社，2000：143-147.[2]杨述武,赵立竹,沈国土.普通物理实验1力学及热学部分[M].北京:高等教育出版社，2007：95-99.[3]唐象能,戴俭华.数理统计[M].北京: 机械工业出版社，1994：154-167.。
一元线性回归方程中回归系数的几种确定方法
2) 在模型 (1) 下检验 y 与 x 之间是否线性相关·
3) 利用求得的经验回归直线 ,通过 x 对 y 进行预测或控制·
下面给出 3 种确定一元线性回归方程中回归系数的方法 :
设在一次试验中取得 n 对数据 ( x i , yi) ( i = 1 ,2 , …, n) ,其中 yi 是随机变量 y 对应于 x i 的观察值·
i =1
i =1
n
6 达到最小·使偏差平方和 Q =
yi - a + bx i) 2 最小的方法称为最小二乘法·
i =1
1 方法一
将偏差平方和展开 ,得
n
6 Q =
( yi - a) - bx i 2 =
i =1
n
n
n
n
n
6 6 6 6 6 y
2 i
-
2a
yi + na2 - 2 b
x iyi + 2 ab
Abstract : This article discusses t hree met hods which to determine t he regression coefficient a , b of regression equation y^ = a
+ bx^ . There are two ways in which only needs elementary mat hematical knowledge. First is expansion t he deviation square to a quadratic function wit h t he coefficient a , b , using t he extreme value t heory of quadratic function to determine ; Second is expansion t he deviation square and lead into t he correlation coefficient , using t he distribution Met hod to determine ; Third is using t he t heory of partial derivatives to determine. The research on determination t he regression coefficient of regression equation , which is contribute to study and application.
CNAS总含量不确定度报告
依据JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》和CNAS-CL10：2006《检测和校准实验室能力认可准则在化学检测领域的应用说明》。
应用现代统计学理论对于整个过程的不确定度的来源评定和评估，确定了测试结果的置信区间。
以及对于用同一种制样方法不同的样品的不确定度评定只要考虑样品基体对于测试的影响就可以，具有很强的代表性。
1. 分析方法和测试程序第一步：刮下样品涂层，称取样品重量0.2394g 到烧杯中。
第二步：加入10ml 浓硝酸进行电热板消解（剩下约3-4ml ），将样品过滤后，定容到50ml 的容量瓶中，摇动容量瓶使其混合均匀。
第三步：利用标准溶液采用最小二乘法对仪器ICP 校准。
第四步：用ICP —OES 测试由此得到溶液中各元素的含量，计算材料中可溶性元素的含量。
第五步：计算结果并出具测试报告。
2.被测量及其数学模型样品中重金属含量即为被测量，报告要求结果用每千克样品中含重金属的质量R 来表示：R = 0ml sample C Vd m ⨯其附加参数为：R ：每千克样品中含重金属的质量R （mg/kg ）V ml ：消解液的体积（mL ） m ：样品的质量（g ）d ：稀释因子，由于样品没有稀释，因此d=1.C 0：在消解溶液中各重金属的浓度（mg/L ） 其中：0C =100)(B B A -mg/L其中： C 0：在消解溶液中各重金属的浓度（mg/L ）B 0：校准曲线的截距 B 1：校准曲线的斜率A 0：消解溶液中金属的吸光度3.测量不确定度来源分析产生不确定的因素通常包括检测仪器、实验环境、标准物质、前处理方法、人员操作和分析方法。
本次评定主要考虑A类不确定度（测试重复性的标准偏差）和B类不确定度（包括天平误差和分辨率引入的不确定度、标准物质引入的不确定度、容量瓶误差引入的不确定度、测试设备引入的不确定度、温度变化引入的不确定度等）。
4.不确定度分量的评定4.1样品质量的测量不确度以FA2004N电子天平为例来计算，通常称量先扣除皮重后由天平直接读数给出，此时，称量的不确定度主要包括：测量重复性、分辨率(数字天平的量化误差)及误差，而误差产生的不确定度主要是其线性分量。
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礤
显然 ， 上式 的成立 条件 是 。 ｂ是线 性无 关 的．回归 系数 ｏ ｂ线性 无关 吗？ 、 、
文献 ［ ］ ２ ０ ２ （ ０ ７年 ， ４版 ）修 订 了上式 ， 出了折合 系数 ｃ的不 确定 度公 式 ： 第 给
式 中 的相 关 系数为
， 一 一
二
：
二墨：
√∑（ ∑（ 一 ） √ 一２ √ 一。 一 ）√ ｙ （ ｙ （ 夕 ｃ ） ）
进行 拟合 （ 一元 线性 回归 ） 得到 回归 方程 ＝ｏ＋ｂ ， ｘ中参数 的最佳 估计 值 ｎ ｂ 称 为 回归 系数 ）以及 它们 的 、（
标 准偏差 ｓ 、 ， 。ｓ 然后 根据 回归 系数 比值求 出有关 物 理量．比如弹 簧振子 中弹簧 的有 效质 量 ｍ有 效是 回归 直线
为简单 起见 ， 间接 测量 量 ｌ 直 接测量 量 ， 设 厂 是 Ｙ的函数 ， 即
ｆ ＝ｆ ，） （ Ｙ （） １
在相 同 的条件 下 ， 对 ， 作 了 ｎ次测 量 ： ， ｉ：１ ２ … ， ） 其 平均 值分 别为 ， 真 值分 别为 ， ．则 Ｙ Ｙ（ ，， ｒ ， ｂ ， ｙ 问接 测量量 的真值为 Ｆ ＝Ｉ ， ） 厂 Ｙ． （
上式中的ｃ （， 称为 。 ｙ ｖ ） 协方差，ｏ（， ：∑ （ ｘ （ 一 ） 式（） 关于标 误差的 根 合成 ｃ ） ｖ ， ） 一 ）ｙ ｙ， ３ 是 准 方和 法
公 式．如果 和 Ｙ彼 此独立 ， 有 ｒ ＝０， 时 ， （ ） 则 这 式 ３ 可简 化为
， （） ㈩＋ ） ｙ ）芸 ＝ （ （ ）
（） ６
作 为标 准 误差 ｏ（ 、 Ｙ ｒ ） （ ）的估 计值 ， 式 （ ） 式 （ ） 则 ３ 、 ４ 可分别 改写 为
ｓ ＝（ ｓ ＋ ）ｙ２（（ｓｓ √ ） （ ｓ ＋ ｃ 髻 ｒ ）） ｃ ｃ ｃ ｙ ｃ
收 稿 日期 ：０ １ ９—１ ２ １ —０ ８
作者 简 介 ： 颖 （９ ０一） 女 ， 罗 １８ ， 江西 信 丰人 ， 南 师 范 学 院 物 理 与 电子 信 息 学 院实 验 师 、 士 ， 赣 硕 主要 从 事物 理 实 验 的 教 学 与 研 究 工 作
第 ６期
罗 颖
一元 线性 回归系数 比值 不 确定 度 的评 定
关键词 ： 线性 回 归 ； 归 系数 比值 ； 关 系数 ； 确 定 度 回 相 不
中图 分 类 号 ： ２２ Ｏ １
文 献标 识 码 ： Ａ
文 章 编 号 ：０４— ３ ２ ２ １ ） ６— ０ ２— ４ １０ ８ ３ （ ０ １ ０ ０ ９ ０
在大 学物 理实 验 中 ， 经常 遇到 二物 理量 、 间存 在线 性关 系 ， Ｙ 常选择 线性模 型 用最小 二乘 法对测 量数 据
：
簿
（ ２ ）
（ ３ ）
（） ４
将 上 式可 改写 为
（＝（１（＋ ）（＋ ￣ ）ｙ √Ｏ （ ｙ ２（（， ） ） 。 ｒ ／ｏ （ （ ｘ ／ ） 、 ］ ，／ ｓ ｙ
式 中 ．为 ， Ｙ的相关 系数
：
二
： 测 量 量 。 的 最 佳 值 分 别 为 。 间 接 测 量 量 ｆ 最 佳 值 为 厂 ） 可 以 取 标 准 偏 差 直 ， 的 （ ． ，
（ ５ ）
上述 公式 只 具有 理论 意义 ， 无法 通 过测 量来 实现 ， 为真 值 未 知 ， 不可 能 作 无 限多 次 测量 ． 因 也 在有 限 次测 量
９ ３
∑ （ Ｆ ＝∑ （） 一 ） ［
等式 两边 同除 以 ｎ 可得 ，
＋ ） 一） ２ （ ｘｙ ｙ （ ｙ ＋Ｏｙ ）． ） Ｏ ｘ （ ］ Ｊ
二 ： ） （ ．
引入 标 准误 差
Ｏ（ ＝ ｒ ）
＋） （ 二 ２ ） ） 二 ・ ＋鬈（ （
（ 南 师 范 学 院 物 理 与 电子 信 息 学 院 ， 西 赣 州 赣 江 ３ １０ ） ４ ０ ０
摘 要 ： 分析 一元 线性 回 归 系数 的相 关性 ， 出一 元 线 性 回 归 系数 比 值 不 确 定 度 的计 算 公 式 ， 出 了某 些 文 献 导 指 中有 关 回 归 系数 比值 不 确 定 度 评 定 存 在 的 问题 ．
回归系数 。 ｂ之 间的相关 系数 ｒ 等于测 量量 ， 间的相关 系数 ｒ ？ 何计算 回归系数 ｏ ｂ之间 的相关 ， 。 Ｙ之 吗 如 ，
．
系数 ？
本 文将 讨论一 元 线性 回归 系数 的相关性 和评 定一 元线性 回归系数 比值 Ｃ ＝ａ ｂ的不确 定 度． ／
１ 间接测 量量 的标 准偏差传 递公 式
将 （在 ， 近 泰 展 （保 到 阶 量， ＝ ， ＋ ）（ ＋ ） ｙ 式１ ｌ 作 勒 开只 留 一 小 ） ｌ （ ¨ ）（ （ ） ） ， 附 得 ， — — ）
令 ） ，） ＇ 移后对次量求方 ， （ ＝ （ ＝ 上 项在 ｎ测值平和 髻 Ｏ式 ｙ 得
２０１ １年
赣 南 师 范 学 院 学 报
Ｊ ｕ ｎａ ｆＧａ ｎ ｎ Ｎｏ ｍａ ｉｅ ｓｔ ｏ ｒ ｌｏ ｎ ａ ｒ ｌＵｎ ｖ ｒｉ ｙ
Ｎ ６ ｏ．
Ｄｅ ． ｅ ２０１ １
第六 期
－
教学改革研究 ・
一
元 线性 回归 系数 比值 不 确 定 度 的评 定
罗 颖
（ ） ｎ ＋ｂ ， ＝４－ｍ 有效 ， ，＝ ｘａ ， ／ ． ／ － ２ ６
＝ ４７
Ｋ
ｒ２
） 截 与 率 比 ， ｍ效 詈 折 系 ｃ ＝ ，献 的 距 斜 的 值 即 有＝ ． 合 数 ＝ 文
［ ］ ２０ １ （ ０ ０年 ， ３版 ）给 出 了折合 系数 ｃ 第 的不 确定 度公式 ：