二次根式总复习典型题加练习汇总PPT课件
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初三二次根式复习课件
a
b
ab ( a 0 , b 0 )
a 1 a 2 a 3 ....... a n ( a 1 0 ,a 2 0 ,..... a n 0 )
乘法公式的推广：
a 1 a 2 a 3 ........ a n
a
;
a b
(a 0, b 0)
2. 二次根式的性质
1. a ≥0(a≥0)(双重非负性) 2．( a)2 ＝a(a≥0)； 3.
a (a 0) a ＝|a|＝ ； a (a 0)
2
4. ab＝ a· b(a≥0，b≥0)； 5. a a ＝ (a≥0，b>0)． b b
3.二次根式的运算:
①加减法：先化为最简二次根式，然后合并 同类二次根式； ② 乘法和积的算术平方根可互相转化:
作业布置：试卷
如图，实数在数轴上的位置， 化简 ：
a
2
a
b
2
(a b )
2
、
b
（2011山东）实数a在数轴上的位置如图所 示，则 ( a 4 ) ( a 1 1) 化简后为
2 2
0
5
a 10
a＋2 [2011· 州 ] 要使式 子 鄂 有意义， 则 a 的 取值范围 为 a _____．
[2011· 乌兰察布]
x＋1＋(y－2011) ＝0，则 x ＝____.
2
y
y
2x 3
3 2 x 1,
2x y
化简:
最简二次根式应满足的条件:
（1）被开方数中不含有能开得尽的因 数或因式． （2）根号内不含分母. （3）分母上没有根号.
二次根式复习课PPT课件ppt
米（树与地面垂直）。 C
A
B
-
2、如图，正方形花坛ABCD的面积为x-1,
那么它的边长是
。
A
D
B
C
-
3、如图，3×3的正方形网格中，请你只用无刻度的 直尺，画出一条长度为无理数的格点线段。
-
① (3)2 (3 2)2
②
125 45 1
5
③ 18• 3 9
④ (1 3 )2 2(3 1 )2(2 3 )2
(1)式子表达的意义不同 (2)a 的取值范围不同
-
请你来化简
( 2a)2 (a3)2
-
本领3: 会正确应用性质3、4
（1） 174174
（2） 17 17
44
（3） 1 7 4 1 7 4（4）
17 17 4 4
（5）17417 4 （6）174174
-
(2) (x 3 )5 ( x)x 3•5 x成 立的条件是_3_ __x_5 a ba•b(a0,b0)
3
-
1 若 （ a2） 22a，a则 的取值 范
2.化（ 简 2： 3） 2（ 32） 2 3化简 1 32： 42
-
(1) 2 12 1 48; 3
(2) 80.521255
-
学校决定在一块长为 54 米，宽为 6
米的长方形空地上种植草皮，问：
⑴ 铺满这块空地,需要购买多少平方米的 草皮? ⑵ 草坪的长是宽的多少倍?
a a(a0,b0) bb
-
（3）已知长方形的面积是 6 cm2,长是 3 cm， 则它的宽是___2___cm,周长为_(_2__3__2___2_)cm
a a(a0,b0) bb
a•ba(b a0,b0)
A
B
-
2、如图，正方形花坛ABCD的面积为x-1,
那么它的边长是
。
A
D
B
C
-
3、如图，3×3的正方形网格中，请你只用无刻度的 直尺，画出一条长度为无理数的格点线段。
-
① (3)2 (3 2)2
②
125 45 1
5
③ 18• 3 9
④ (1 3 )2 2(3 1 )2(2 3 )2
(1)式子表达的意义不同 (2)a 的取值范围不同
-
请你来化简
( 2a)2 (a3)2
-
本领3: 会正确应用性质3、4
（1） 174174
（2） 17 17
44
（3） 1 7 4 1 7 4（4）
17 17 4 4
（5）17417 4 （6）174174
-
(2) (x 3 )5 ( x)x 3•5 x成 立的条件是_3_ __x_5 a ba•b(a0,b0)
3
-
1 若 （ a2） 22a，a则 的取值 范
2.化（ 简 2： 3） 2（ 32） 2 3化简 1 32： 42
-
(1) 2 12 1 48; 3
(2) 80.521255
-
学校决定在一块长为 54 米，宽为 6
米的长方形空地上种植草皮，问：
⑴ 铺满这块空地,需要购买多少平方米的 草皮? ⑵ 草坪的长是宽的多少倍?
a a(a0,b0) bb
-
（3）已知长方形的面积是 6 cm2,长是 3 cm， 则它的宽是___2___cm,周长为_(_2__3__2___2_)cm
a a(a0,b0) bb
a•ba(b a0,b0)
人教版初中数学八年级下册《二次根式复习课》PPT课件
┃ 知识归类
3．二次根式的运算
a· b＝ ab
(a≥0，b≥0)；
a＝ b
a b (a≥0，
b>0)．
二次根式加减时，可以先将二次根式化成 最简二次根式 ，
再将
被开方数相同 的二次根式进行合并．
分母 开得尽方
课标（RJ）
考易点混攻辨略析: a2 与 a2的区别：(1)表示的意义不同. a2 表示非负实数 a 的
二次根式复习课
知识归类
┃知识归纳┃
1．二次根式的概念
一般地，形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式；
注意： a (a≥0)是非负数，即 a≥0.(双重非负性) [易错点] (1)二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有 意义； (2) 9是二次根式，虽然 9＝3，但 3 不是二次根式．因此二次 根式指的是某种式子的“外在形态”．
算术平方根的平方； a2表示实数 a 的平方的算术平方根．(2)运算 的顺序不同. a2 是先求非负实数 a 的算术平方根，然后再进行平 方运算；而 a2则是先求实数 a 的平方，再求 a2 的算术平方根．(3) 取值范围不同．在 a2 中，a 只能取非负实数，即 a≥0；而在 a2中， a 可以取一切实数．
课标（RJ）
考点攻略
┃考点攻略┃
► 考点一 二次根式的概念
课标（RJ）
┃ 知识归类
2．二次根式的性质
( a)2＝ a
(a≥0)
a a>0， ； a2＝a＝ 0 a＝0，
-a a<0.
化简二次根式时注意: ab＝ a· b (a≥0，b≥0)
ab＝
a b
(a≥0，b>0)
课标（RJ）
┃ ►考点考攻点略二 二次根式性质的运用
二次根式复习课(29张PPT)
特殊二次根式
总结词
特殊二次根式是指具有特殊形式或意义的二次根式，如算术平方根、完全平方 根等。
详细描述
算术平方根是指非负数的平方根，即$sqrt{a}$（$a geq 0$）；完全平方根是 指一个数的平方等于给定值的平方根，即$sqrt{x^2}$。此外，还有一些特殊的 二次根式，如勾股定理中的勾股数、几何图形中的边长等。
二次根式的加减法
总结词
掌握二次根式的加减法规则
示例
$sqrt{2} + sqrt{3}$ 不能合并；$sqrt{2} + sqrt{2} = 2sqrt{2}$。
04
二次根式的应用
实际问题中的二次根式
计算物体的高度和长度
通过已知的长度和角度，利用二次根式计算物体的 高度或长度。
速度和加速度的计算
03
二次根式的化简与运算
二次根式的化简
总结词
掌握化简二次根式的方法
示例
$sqrt{25x^{2}}$ 可以化简为 $5x$；$sqrt{9a^{2} + 6ab + b^{2}}$ 可以化简为 $3a + b$。
二次根式的乘除法
总结词
掌握二次根式的乘除法规则
示例
$sqrt{2} times sqrt{3} = sqrt{6}$；$frac{sqrt{2}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{2} times sqrt{3}}{sqrt{3} times sqrt{3}} = frac{sqrt{6}}{3}$。
与平面几何的结合
03
在解决平面几何问题时，有时需要用到二次根式的性质和运算
法则。
05
习题与解答
习题
第16章二次根式单元复习ppt课件
知识点4.二次根的乘除
（1）、积的算术平方根的性质
ab a b (a 0, b 0)
（2）、二次根式的乘法法则
a b ab (a 0, b 0)
（3）、商的算术平方根的性质
a a (a 0, b 0) bb
商的算术平方根等于被除式的算 术平方根除以除式的算术平方根
（4）、二次根式的除法法则
t 的 式 子 ， 它 们 都 是 用 基本 运 算 符 号 （ 基 本 运 算 包 括 加 、 减 、 乘 、除 、 乘 方 和 开 方 ） 把 数 和 表 示 数 的 字 母 连接 起 来 的 式 子 ，
我 们 称 这 样 的 式 子 为代 数 式 .
变式练习：
1、式子 (a 1)2 a 1 成立的条件
例10、计算
(1)2 18 1 18 1 32
2
4
(2)(3 5 4 2) (2 5 3 2)
(3) a2b ab2 a2 b ab a
例11、计算
(1)(2 6 7 2) (7 2 2 6)
(2)(2 3 5)(2 3 5) (3)(2 3 5)2 (2 3 5)2 (4)(3 10 )2005 (3 10 )2005
的式子叫做二次根式，“ ”称为二
次根号， a 称为被开方数。
二次根式
被开方数a≥0；
根指数为2. ( 双重非负性)
典型例题
例1、找出下列各根式中的二次根式。
4
a2 2a 1
3 27
a2 2
(4) 2a 1(a 1)
2
典型例题
例2、x为何值时，下列各式在实数范围内有 意义。
(1) 2x 3 (2) 1 3x (3) (x 5)2
a a (a 0,b 0) bb
二次根式复习ppt14 通用
第六讲 二 次 根 式
1.了解：二次根式的概念. 2.理解：最简二次根式和同类二次根式的概念. 3.掌握二次根式的性质. 4.会：进行有关实数的简单四则运算(不要求分母有理化).
一、二次根式的有关概念
a 1.二次根式的定义：形如___(a≥0)的式子 .
2.最简二次根式的条件：
分母 (1)被开方数中不含_____. 小于2 (2)被开方数中所有因式的幂的指数都______. 被开方数 相同的 3.同类二次根式:化成最简二次根式后,_________ 二次根式.
2 ， 【解析】依题意，可得|x+y+1|+ x y =0
1 x ,3 3 x y 1 0 , 2 ∴ ∴ (3x-y) =3 =27. x y 2 0, y 3 , 2
答案：27
1 1 x=(x+y)2，则2x-y的值为 7.(2013·吴中模拟)若 x
2.下列二次根式与 2 是同类二次根式的是( C )
A. 4
B.2
C. 8
D. 1 6
3.下列等式一定成立的是( B )
＝ 5 A. 9 4
3 1 5 B. 5
C. 9 =±3
D.-
9 =9
2
4.若最简二次根式-2 2 x 与
1 x=__.
4 2 5.化简： 3 2 =____.
同类二次根式 再合并_____________.
ab 2.二次根式的乘法: a b =____(a≥0，b≥0).
3.二次根式的除法:
a a =____(a≥0， b>0). b b
1.式子 x 1 在实数范围内有意义，则x的取值范围是( D ) A.x＜1 B.x≤1
1.了解：二次根式的概念. 2.理解：最简二次根式和同类二次根式的概念. 3.掌握二次根式的性质. 4.会：进行有关实数的简单四则运算(不要求分母有理化).
一、二次根式的有关概念
a 1.二次根式的定义：形如___(a≥0)的式子 .
2.最简二次根式的条件：
分母 (1)被开方数中不含_____. 小于2 (2)被开方数中所有因式的幂的指数都______. 被开方数 相同的 3.同类二次根式:化成最简二次根式后,_________ 二次根式.
2 ， 【解析】依题意，可得|x+y+1|+ x y =0
1 x ,3 3 x y 1 0 , 2 ∴ ∴ (3x-y) =3 =27. x y 2 0, y 3 , 2
答案：27
1 1 x=(x+y)2，则2x-y的值为 7.(2013·吴中模拟)若 x
2.下列二次根式与 2 是同类二次根式的是( C )
A. 4
B.2
C. 8
D. 1 6
3.下列等式一定成立的是( B )
＝ 5 A. 9 4
3 1 5 B. 5
C. 9 =±3
D.-
9 =9
2
4.若最简二次根式-2 2 x 与
1 x=__.
4 2 5.化简： 3 2 =____.
同类二次根式 再合并_____________.
ab 2.二次根式的乘法: a b =____(a≥0，b≥0).
3.二次根式的除法:
a a =____(a≥0， b>0). b b
1.式子 x 1 在实数范围内有意义，则x的取值范围是( D ) A.x＜1 B.x≤1
二次根式总复习ppt课件
式
三个性质
( a )2 a
a2
a
{a,a0 a ,a 0
四种运算
加 、减、乘、除
2
最简二次根式
• 满足下列两个条件的二次根式，叫做最 简二次根式：
• (1)被开方数的因数是整数，因式是 整式；
• (2)被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式．
▲
3
同类二次根式
• 化成最简二次根式后，被开方数相同。 这样的二次根式叫做同类二次根式. 一个
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP C
16
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
(1) - x (2) (x 3)2 (3) 3x 3x
(4) x (5) 1
(6) x 1
x3 2 x
3 x
变式1、已知y 2 x x 2 5，则 y __
x
变式2、如果 (1 x)2 (x 2)2 (x 1) (x 2)，
则x的取值范围是_______ .
27
变式3、已知x，y为实数，y x2 4 4 x2 1， x2
A.3
B.-3
C.1
D.-1
9
抢答:判断下列二次根式是否是最简二次根式, 并说明理由。
(1) 50
(2) a2bc
(3) x2 y
(4) 0.75
(5) (a b)(a2 b2) (6) 1 6
二次根式的复习PPT课件(华师大版)
例2、计算
(1)3 5 2 15
(2) 40 45
(3)3 m6n5 5 m4n2 (m、、 为正数）
(4) 1 48 1
2
8
三、二次根式的乘除 1、积的算术平方根的性质
ab a b(a 0,b 0)
2、二次根式的乘法法则
a b ab(a 0,b 0)
3、商的算术平方根的性质
而 2a b2 0
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 (a 2)2 b2 ( 2 2)2 22
4
练一练 :
1.如果最简根式 ba 3b 和 2b a 2
是同类二次根式，那么a、b的值分别是（ ） A．a=0，b=2 B．a=2，b=0 C．a=-1，b=1 D．a=1，b=-2
3 的整数部分 1 ，小数部分 3 1 。 15 的整数部分 3 ，小数部分 15 3。
2、化简： ( 15 3)2 ( 15 4)2
3、若a、b分别是 6 13 的整数部分和 小数部分2a-b的值是 13 。
拓展2
细心视察图形,认真分析,思考下列问题.
（1）你能求出哪些线段的长？
OA2=___S1=___ OA3=___S2=___
2.实数a在数轴上的位置如图所示,化简
a
a 1 (a 2)2 =
-1 0 1 2
.
3.若代数式 (2 a)2 (a 4)2 的值是常数2,
则a的取值范围是( )
A. a 2
C. 2 a 4
B. a 2
D. a 2或a 4
4、把 a 1 根号外的因式移到根号内得 a
（） 5、若化简 1 x x24
S4
…… …… A6
S5
OAn=___
九年级数学总复习课件：二次根式(共29张PPT)
2 问: ( 1) 请仿照例中的分类讨论的方法, 分析二次根式 a 的各种展开的情况;
2 ( 2) 猜想 a 与| a| 的大小关系.
2 【思路点拨】 (1)仿照例题的文字描述分类讨论 a 的三种情况.
2 (2)比较 a 与| a| 的三种情况, 得出结论.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
8. (2012·厦门九上质检)计算: 2 × ( 3+ 2) -2 6 . 【解析】 原式= 6 +2-2 6 =2- 6 .
x 1 2 6 9 x 9. (2011·福州九上质检)计算: 3 + 4 -2x x .
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
【解析】
b 3. 二次根式的除法: a =
( a≥0, b>0) .
➡特别提醒: 二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式. 【答案】 一、1. a ( a≥0) 2. 因数或因式 3. 被开方数
b 4. a
a 3. b
二、1. a≥0 2. -a 3. a · b
三、1. 最简二次根式 同类
2. ab
复习目标
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
所以综合起来一个数的绝对值要分三种情况, 即:
a | a | 0 a
(当a 0) (当a 0) (当a 0)
.
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.
复习目标
知识回顾
重点解析
(a 1) 2
2 ( 2) 猜想 a 与| a| 的大小关系.
2 【思路点拨】 (1)仿照例题的文字描述分类讨论 a 的三种情况.
2 (2)比较 a 与| a| 的三种情况, 得出结论.
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真题演练
8. (2012·厦门九上质检)计算: 2 × ( 3+ 2) -2 6 . 【解析】 原式= 6 +2-2 6 =2- 6 .
x 1 2 6 9 x 9. (2011·福州九上质检)计算: 3 + 4 -2x x .
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
【解析】
b 3. 二次根式的除法: a =
( a≥0, b>0) .
➡特别提醒: 二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式. 【答案】 一、1. a ( a≥0) 2. 因数或因式 3. 被开方数
b 4. a
a 3. b
二、1. a≥0 2. -a 3. a · b
三、1. 最简二次根式 同类
2. ab
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第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
复习目标
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探究拓展
真题演练
所以综合起来一个数的绝对值要分三种情况, 即:
a | a | 0 a
(当a 0) (当a 0) (当a 0)
.
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.
复习目标
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(a 1) 2
二次根式期末复习PPT课件
（三）二次根式的除法
把被开方数的商作为商的被开方数．
a b
a b
(a 0, b 0)
练习：计算 ① 3 1 3 ② 3 21 6
2
③
48 6
④
27 3
2 ⑤ 2
(四）二次根式的运算
① 6
2
25 (3)2
② 2 12 3 48 ③ ( 2 3)(2 2 1)
C 4 A E
10
D 4 F B
1 ④ 2 ( 80 20 ) 10 2
⑤ ( 2 1) 2 ( 5 2 )( 5 2 )
如图，等边三角形的边长为a，则面积为
.
如图，等边三角形的面积为s，则边长为
.
一段防洪堤的横截面如图，已知CD=10m， AC的坡比（CE与AE的比）为2：1，BD的 坡比为1：2，堤高CE=DF=4m，要修筑 500m这样的防洪堤，共需多少土石方？
（一）二次根式的概念
练习：下列各式中，不是二次根式的是（ B） A． 45 B． 3 C． a 2
2
1 D． 2
练习：求下列二次根式中字母x的取值范围： ①
2x
② 2x 1
③
3 x
④
x3
1 5 x
⑤
x2 3
(二）二次根式的简单性质
( a ) a (a 0)
2
练习：计算
练习：把下列非负数写成一个数的平方的形式
(1)5；
(2)11；
(二）二次根式的简单性质
a | a |
2
a (a 0) a (a 0)
练习：计算
(1) (4)
2
实数与二次根式复习课件
总结
实数与二次根式的重点内容
总结实数与二次根式的关键概念和性质，帮助复习时重点关注。
复习策略建议
提供一些建议和技巧，帮助学生高效复习实数和二次根式。
二次根式的概念与性质
• 二次根式的定义 • 二次根式的化简 • 二次根式的乘法 • 二次根式的除法
二次根式的应用
• 解决实际问题中的应用题 • 二次根式在几何中的应用
练习题
实数练习题
提供一系列实数相关练习题，帮助巩固对实数概念的理解。
二次根式练习题
练习化简、乘法和除法技巧，以及运用二次根式根式的概念、分类、基本性质，以及二次根式的化 简、乘法、除法，应用于实际问题和几何中的场景，并提供练习题和复习策 略建议。
实数的概念与分类
• 实数的定义 • 有理数与无理数 • 实数的分类：正数、负数、零
实数的基本性质
• 实数的四则运算 • 实数的比较大小 • 实数的绝对值 • 实数的相反数与倒数
相关主题
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.
22
(1) (7)2( 7)2
(2)(5)21 6 (2)2
(3)( a)2 a2(a0)
(4) 3( 31) 3
.
23
例3 计算：
1
3 5
2 3
2
|
4 5
2 3
|;
2
2 7
3 5
2
4 5
3 7
2
.
.
24
化简：
(1) 2 4
(2) a 4
(3) a 2 b 2 (a＜0,b＞0)
0 2 0_ _ _ ,
| 0 | 0_ _ _ .
请比较左右两边的式子,想一想:
1、a 2 与 | a 有| 什么关系?
2、
当 时a , 0
a2 __a __;
当 a 时0,
a2 . __a__ .
16
一般地，二次根式又有下面的 性质:
aa 0 a2 | a | a a 0
.
17
大
2 a 0, b20
a 2, b2
原 式 a 2 b 1 2a 2 b 1 22 1 3
.
12
一个概念：二次根式 形如 a (a 0)的代数式
两类题型：1. 求代数式所含字母的取值范围
列不等式（组）
2. 求二次根式的值 三点注意：1. 二次根式的双重非负性
a 0 a0
2. 分母不能为0
1. x 3 2. 25x
3. 1 x
4. a2 1
5. x3 4x
6. x 1 x2
.
7
例2. 当 x = –4时，求二次根式 1 2 x 的值。
若二次根式 2 x 2 1 的值为3，求x的值。
解：由题意，得：2x2 1 3 两边同时平方，得：2x2 1 9
x2 4 x 2
.
8
求出下列二次根式中字母a的取值范围：
3. 分类讨论思想
.
13
一般地,二次根式有下面的性质:
2
a aa0
.
14
1
32_3_____,2
722__72____,3
2132_2 __13_____
4
52__5______,5
232____23____.
.
15
2 2 _2_ _ ,
5 2 _5_ _ ,
| 2 | _2_ _ ; | 5 | _5_ _ ;
方法:将被开方数中的平方数因数先分解再开方 结果:被开方数中不含能开. 得尽方的因数或因式 30
1.计 算 (1) 2 0 5 ; (2)3 2 2 8 ; (3) 8 18 ; (4) 6a 3 3a (a 0) 2
初中数学九年级上册
二次根式总复习
.
1
（1）3的平方根是____3__
（2）3的算术平方根是____3 ___
（3） 5 有意义吗？为什么？
0呢？
（4）一个非负数a的算术平方根应表示为___a___a____0
正数有两个平方根且互为相反数；
平方根的性质：0有一个平方根就是0；
负数没有平方根。
算术平方根的性质 正数和0都有算术平方根；
家 抢 答
x 1 43527125(22222x 2 ____1 __52__)1_72__3___ __5___4______,_x__152__ _1_4
.
18
合作探究:
( a)2与 a2有区别吗 ?
.
19
2
比较分析 a 和 a 2
2
a
a2
读法
根号a的平方 根号下a平方
运算顺序 先开方,后平方 先平方,后开方
(4) 12aa2 ( a＞1 )
.
25
二次根式的性质及它们的应用:
2
（1） a a,(a0)
（2） a 2 a
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
.
26
一般地, a b ab(a 0,b 0)
两个非负数的算术平方根的 积等于它们积的算术平方根
.
27
例1：计算:
.
5
例1 求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a1 3 1 1 2a
2 a32
4
7a
(5)
| x | 1
3a
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数大于或等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
.
6
练习
口答
求下列二次根式中字母a的取值范围：
1 a3;2 1;3 a21.
3a
要使下列各式有意义，字母的取值必须满足什么条件？
而 2x22x 3
这类代数式，应把 2 , 3 这些二次根式看 做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。
.
4
随堂练习 1
1、判断：下列各式中那些是二次根式？
6, 3 m2, m21
a 2、思考：如 3 ， （a＜0）
是不是二次根式？为什么？
二次根式根号内字母的取值范围必须满足:
被开方数大于或等于零
负数. 没有算术平方根。
2
a2 2500 S
2S
这些代数式有什么共同的特点？
像
a2
2500
，
S
， 2 S 这样表
示的算术平方根，且二次根号内含有字
母的代数式叫做二次根式。
为了方便起见，我们把一个数的算术平
方根（如 5 ，
）2 也叫二次根式。
3
.
3
如： a 1 这类代数式只能称为含有二次根
式的代数式，不能称之为二次根式；
a的取值范围
a≥0
a取全体实数
运算结果
a
பைடு நூலகம்
.
∣a∣
20
例1
计算：
二次根式性质1:
(1)
2
8
2
a aa0
二次根式性质2:
(2) (1.5)2
aa aa 00
a2 | a | aa (aaa 000)
.
21
例2
计算：
(1) (10)2( 15)2
(2) [ 2(2)2] 222 (3 ) (7)22 5 (9)
1
a2 2a3
1 a
3 2a a 1
.
9
l1.已知 y x4 4，x 你2能求出 的x值 吗y ？ 切入点：从字母的取值范围入手。
l2.已知 x 2y 与9 x y互为3相反数，
求 x 、 y的值.
切入点：从代数式的非负性入手。
l3.已知 x ，1 你能求出 的x 取值范围吗？
3 x
切入点：分类讨论思想。
(1) 2 32; (3) 2a 8a(a0)
试一试
(1) 1 8 (2) 27a5 4a (a0)
2
3
.
28
结论：
由 a b ab(a 0,b 0)
反过来得: ab a b(a 0,b 0)
利用这个等式可以化简一些二次根式
.
29
例2：化简:
(1) 1 2 (2) a3 (a 0) (3) 4a 2b3 (a 0,b 0) (4) 132 122
l4.已知 1 0 为a一个非负整数，试求非负整数 的a 值
.
10
讨论:求式子 x＋1－5－x 有意义时x的取值范围。
解:由题意得,
x1 0
5
|
x
|
0
x 5
|
1 x|
得
x 1
5
x
5
5 x 1
.
11
若a.b为实数,且| 2a| b20 求 a2 b2 2b1的值。
解:Q 2 a 0, b 2 0 而2a b20