初中数学竞赛教程

初中数学竞赛教程 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

七年级 第一讲 有理数（一） 一、【能力训练点】

1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。

2、有理数的两种分类：

3、有理数的本质定义，能表成m n

（0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）；

② 四则运算的封闭性（0不作除数）；

③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。

5、绝对值的意义与性质：

① (0)||(0)

a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。ii ）几个非负数的和

为0，则他们都为0。

二、【典型例题解析】：

1． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ）

A.相反数

B.倒数

C.绝对值

D.平方

2.已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求

220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。

3.如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ）

A.2a

B.2a - D.2b

4.有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,a b b c c a b c c a a b

------中有几个负数？

5.设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，b a

，b 的形式，求20062007a b +。

6.三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且

||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac

=+++++则321ax bx cx +++的值是多少？

7.若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。

第二讲 有理数（二）

一、【能力训练点】：

1、绝对值的几何意义

① |||0|a a =-表示数a 对应的点到原点的距离。② ||a b -表示数a 、b 对应的两点间的距离。

2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。

二、【典型例题解析】：

1．若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++- 2．试化简|1||2|x x +--

3.若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。

4.已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++-求()f x 的最小值。

5．若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。

6.如果0abc ≠，求||||||a b c a b c

++的值。 7.x 是什么样的有理数时 |(2)(4)||2||4|x x x x -+-=-+-等式成立

第三讲 有理数（三）

一、【能力训练点】：

1、运算的分级与运算顺序；

2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。

3、巧算的一般性技巧：

① 凑整（凑0）； ② 巧用分配律 ③ 去、添括号法则； ④ 裂项法

4、综合运用有理数的知识解有关问题。

二、【典型例题解析】：

1．计算：237970.71 6.6 2.20.7 3.31173118

⨯-⨯-÷+⨯+÷ 2．1111111111(1)()(1)2319962341997231997

----⨯++++-----1111()2341996

⨯++++ 3．计算：2222222221314112131411

n n S n ++++=++++---- 4.比较1234248162

n n n S =+++++与2的大小。 5.计算（1）1111142870130208++++ （2）222133599101

+++⨯⨯⨯ 第四讲 代数式（一）

一、【能力训练点】：

（1）列代数式； （2）代数式的意义；

（3）代数式的求值（整体代入法）

二、【典型例题解析】：

1.求代数式的值：

（1）已知25a b a b -=+，求代数式2(2)3()2a b a b a b a b

-+++-的值。 （2）已知225x y ++的值是7，求代数式2364x y ++的值。

（3）已知113b a -=，求222a b ab a b ab

---+的值。 （4）已知：当1x =时，代数式31Px qx ++的值为2007，求当1x =-时，代数式31Px qx ++的值。

（5）已知等式(27)(38)810A B x A B x -+-=+对一切x 都成立，求A 、B 的值。

（6）已知223(1)(1)x x a bx cx dx +-=+++，求a b c d +++的值。

（7）当多项式210m m +-=时，求多项式3222006m m ++的值。

2. 已知多项式222259337y x xy x nxy my +-++-+经合并后，不含有y 的项，求2m n +的值。

3.当250(23)a b -+达到最大值时，求22149a b +-的值。

4.若,,a b c 互异，且x y a b b c c a

Z ==---，求x y Z ++的值。 5.已知2215,6m mn mn n -=-=-，求2232m mn n --的值。

6.已知1abc =，求111

a b c ab a bc b ac c ++++++++的值。 7.已知1ab =，比较M 、N 的大小。

1111M a b =+++， 11a b N a b

=+++。 8.已知210x x --=，求321x x -+的值。

9.已知x y z K y z x z x y

===+++，求K 的值。 10.5544333,4,5a b c ===，比较,,a b c 的大小。

11.已知22350a a --=，求432412910a a a -+-的值。

第五讲 一元一次方程（一）

一、【能力训练点】：

1、等式的性质。

2、一元一次方程的定义及求解步骤。

3、一元一次方程的解的理解与应用。

4、一元一次方程解的情况讨论。

二、【典型例题解析】：

1. 能否从(2)3a x b -=+；得到32b x a +=

-，为什么？反之，能否从32

b x a +=-得到(2)3a x b -=+，为什么？ 2.若关于x 的方程

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kx m x nk +-=+，无论K 为何值时，它的解总是1x =，求m 、n 的值。 3.若5545410(31)x a x a x a x a +=++++。求543210a a a a a a -+-+-的值。

4.已知1x =是方程11322

mx x =-的解，求代数式22007(79)m m -+的值。 5.关于x 的方程(21)6k x -=的解是正整数，求整数K 的值。