高中数学讲义 复合函数零点问题
高考函数-复合函数的零点-含答案
结合图象可知
a
a
f f
3 3 4 8
，可得 3 a
8
（2）若 a 0 ，则关于的不等式 0 f x a 恰有一个整数解．
结合图象可知{
a a f
f 1 1 1 3
，可得 3 a 1
综上， 3 a 1或3 a 8 ．
例
5.已知函数
f
(x) (x2
3)ex
，当 m
，恰好有 4 个不相等实数根
∴关于 的方程
在和
上各有一解
∴
，解得
，
综上：答案为
；
例 2.（13 安徽）若函数 f x x3 ax2 bx c 有极值点 x1, x2 ，且 f x1 x1 ，
则关于 x 的方程 3 f x2 2af x b 0 的不同实根的个数是（
）
A．3
的 4 个公共点，由图象可知 7 b 2 ． 4
8 6 4 2
15
10
5 2
5
10
15
4
6
8
例
7.（13
江西改编） 设函数
f
(x)
1 a
x
,
1
1 a
0 xa,
1 x , a
x
（ 1
a
为常数且
a
0,1
）．
若 x0 是 f f x x 的零点但不是 f x x 的零点，则称 x0 为 f (x) 的二阶周期点，
二 题型攻略·深度挖掘 1.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出 现，一般综合性强，难度大．
2.【技能方法】求解复合函数 y g f x 零点问题的技巧： （1）借助数形结合思想，处理问题作出 u f x, y g u 的图像
复合函数零点问题
复合函数零点问题例1：设定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x b f x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则222123x x x ++=______ 思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >≠）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。
所以()1i f x =，可解得：1230,1,2x x x ===，所以2221235x x x ++=答案：5例2：关于x 的方程()22213120x x ---+=的不相同实根的个数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 8思路：可将21x -视为一个整体，即()21t x x =-，则方程变为2320t t -+=可解得：1t =或2t =，则只需作出()21t x x =-的图像，然后统计与1t =与2t =的交点总数即可，共有5个 答案：C 例3：已知函数11()||||f x x x x x=+--，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ． 思路：所解方程2()()0f x a f x b ++=可视为()()20f x a f x b ++=，故考虑作出()f x 的图像：()2,12,012,102,1x x x x f x x x x x⎧>⎪⎪<≤⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎪⎩， 则()f x 的图像如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有()()122,02f x f x =<<，所以()()()122,4a f x f x -=+∈，解得42a -<<-答案：42a -<<-例4：已知定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的实数根个数为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9思路：已知方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦可解，得()()1211,23f x f x ==-，只需统计11,23y y ==-与()y f x =的交点个数即可。
千题百炼高考数学个热点问题第炼复合函数零点问题
第12炼 复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设()y f t =;()t g x =;且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集;那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数;称y 是x 的复合函数;记为()y f g x =⎡⎤⎣⎦2、复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =⎡⎤⎣⎦函数值遵循“由内到外”的顺序;一层层求出函数值..例如：已知()()22,x f x g x x x ==-;计算()2g f ⎡⎤⎣⎦解：()2224f == ()()2412g f g ∴==⎡⎤⎣⎦3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解;则遵循“由外到内”的顺序;一层层拆解直到求出x 的值..例如：已知()2x f x =;()22g x x x =-;若()0g f x =⎡⎤⎣⎦;求x解：令()t f x =;则()2020g t t t =⇒-=解得0,2t t == 当()0020x t f x =⇒=⇒=;则x ∈∅ 当()2222x t f x =⇒=⇒=;则1x = 综上所述：1x =由上例可得;要想求出()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根;则需要先将()f x 视为整体;先求出()f x 的值;再求对应x 的解;这种思路也用来解决复合函数零点问题;先回顾零点的定义：4、函数的零点：设()f x 的定义域为D ;若存在0x D ∈;使得()00f x =;则称0x x =为()f x 的一个零点5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦根的个数;在解此类问题时;要分为两层来分析;第一层是解关于()f x 的方程;观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应;将x 的个数汇总后即为()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根的个数6、求解复合函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦零点问题的技巧：1此类问题与函数图象结合较为紧密;在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像2若已知零点个数求参数的范围;则先估计关于()f x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦中()f x 解的个数;再根据个数与()f x 的图像特点;分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应;从而确定()i f x 的取值范围;进而决定参数的范围 复合函数： 二、典型例题例1：设定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩;若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ;则222123x x x ++=______ 思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ;满足()0y f x =的x 的个数分别为2个000,1y y >≠和3个01y =;已知有3个解;从而可得()1f x =必为 ()()20f x bf x c ++=的根;而另一根为1或者是负数..所以()1i f x =;可解得：1230,1,2x x x ===;所以2221235x x x ++= 答案：5例2：关于x 的方程()22213120x x ---+=的不相同实根的个数是A. 3B. 4C. 5D. 8思路：可将21x -视为一个整体;即()21t x x =-;则方程变为2320t t -+=可解得：1t =或2t =;则只需作出()21t x x =-的图像;然后统计与1t =与2t =的交点总数即可;共有5个 答案：C 例3：已知函数11()||||f x x x xx=+--;关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=,a b R ∈恰有6个不同实数解;则a 的取值范围是 ．思路：所解方程2()()0f x a f x b ++=可视为()()20f x a f x b ++=;故考虑作出()f x 的图像：()2,12,012,102,1x x x x f x x x x x⎧>⎪⎪<≤⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎪⎩; 则()f x 的图像如图;由图像可知;若有6个不同实数解;则必有()()122,02f x f x =<<;所以()()()122,4a f x f x -=+∈;解得42a -<<-答案：42a -<<-例4：已知定义在R 上的奇函数;当0x >时;()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩;则关于x 的方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的实数根个数为A. 6B. 7C. 8D.9思路：已知方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦可解;得()()1211,23f x f x ==-;只需统计11,23y y ==-与()y f x =的交点个数即可..由奇函数可先做出0x >的图像;2x >时;()()122f x f x =-;则(]2,4x ∈的图像只需将(]0,2x ∈的图像纵坐标缩为一半即可..正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像..通过数形结合可得共有7个交点 答案：B小炼有话说：在作图的过程中;注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间..例5：若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ;且()11f x x =;则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根的个数是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6思路：()'232f x x ax b =++由极值点可得：12,x x 为2320x ax b ++= ①的两根;观察到方程①与()()()2320f x af x b ++=结构完全相同;所以可得()()()2320f x af x b ++=的两根为()()1122,f x x f x x ==;其中()111f x x =;若12x x <;可判断出1x 是极大值点;2x 是极小值点..且()()2211f x x x f x =>=;所以()1y f x =与()f x 有两个交点;而()2f x 与()f x 有一个交点;共计3个；若12x x >;可判断出1x 是极小值点;2x 是极大值点..且()()2211f x x x f x =<=;所以()1y f x =与()f x 有两个交点;而()2f x 与()f x 有一个交点;共计3个..综上所述;共有3个交点 答案：A例6：已知函数()243f x x x =-+;若方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根;则实数b 的取值范围是A. ()2,0-B. ()2,1--C. ()0,1D. ()0,2思路：考虑通过图像变换作出()f x 的图像如图;因为()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦最多只能解出2个()f x ;若要出七个根;则()()()121,0,1f x f x =∈;所以()()()121,2b f x f x -=+∈;解得：()2,1b ∈--答案：B例7：已知函数()xx f x e=;若关于x 的方程()()210f x mf x m -+-=恰有4个不相等的实数根;则实数m 的取值范围是A. ()1,22,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,1e⎛⎫+ ⎪⎝⎭D. 1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭思路：(),0,0x xxx e f x x x e ⎧≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩;分析()f x 的图像以便于作图;0x ≥时;()()'1x f x x e -=-;从而()f x 在()0,1单调递增;在()1,+∞单调递减;()11f e=;且当,0x y →+∞→;所以x 正半轴为水平渐近线；当0x <时;()()'1x f x x e -=-;所以()f x 在(),0-∞单调递减..由此作图;从图像可得;若恰有4个不等实根;则关于()f x 的方程()()210f x mf x m -+-=中;()()12110,,,f x f x e e ⎛⎫⎛⎫∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;从而将问题转化为根分布问题;设()t f x =;则210t mt m -+-=的两根12110,,,t t e e ⎛⎫⎛⎫∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;设()21g t t mt m =-+-;则有()20010111100g m m m g e e e >⎧->⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎛⎫-⋅+-=< ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩;解得11,1m e ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭ 答案：C小炼有话说：本题是作图与根分布综合的题目;其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图;在作图的过程中还要注意渐近线的细节;从而保证图像的准确.. 例8：已知函数()21,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩;则下列关于函数()()1y f f x =+的零点个数判断正确的是A. 当0a >时;有4个零点；当0a <时;有1个零点B. 当0a >时;有3个零点；当0a <时;有2个零点C. 无论a 为何值;均有2个零点D. 无论a 为何值;均有4个零点思路：所求函数的零点;即方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦的解的个数;先作出()f x 的图像;直线1y ax =+为过定点()0,1的一条直线;但需要对a 的符号进行分类讨论..当0a >时;图像如图所示;先拆外层可得()()12210,2f x f x a =-<=;而()1f x 有两个对应的x ;()2f x 也有两个对应的x ;共计4个；当0a <时;()f x 的图像如图所示;先拆外层可得()12f x =;且()12f x =只有一个满足的x ;所以共一个零点..结合选项;可判断出A 正确 答案：A例9：已知函数()()()232211,0231,31,0x x f x x x g x x x ⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=-+=⎝⎭⎨⎪-++≤⎩;则方程()0g f x a -=⎡⎤⎣⎦a 为正实数的实数根最多有___________个思路：先通过分析()(),f x g x 的性质以便于作图;()()'23632f x x x x x =-=-;从而()f x 在()(),0,2,-∞+∞单增;在()0,2单减;且()()01,23f f ==-;()g x 为分段函数;作出每段图像即可;如图所示;若要实数根最多;则要优先选取()f x 能对应x 较多的情况;由()f x 图像可得;当()()3,1f x ∈-时;每个()f x 可对应3个x ..只需判断()g f x a =⎡⎤⎣⎦中;()f x 能在()3,1-取得的值的个数即可;观察()g x 图像可得;当51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时;可以有2个()()3,1f x ∈-;从而能够找到6个根;即最多的根的个数 答案：6个例10：已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图像如下;给出下列四个命题：1方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且只有6个根 2方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且只有3个根 3方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有5个根 4方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且只有4个根 则正确命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4思路：每个方程都可通过图像先拆掉第一层;找到内层函数能取得的值;从而统计出x 的总数..1中可得()()()()()1232,1,0,1,2g x g x g x ∈--=∈;进而()1g x 有2个对应的x ;()2g x 有3个;()3g x 有2个;总计7个;1错误；2中可得()()()()122,1,0,1f x f x ∈--∈;进而()1f x 有1个对应的x ;()2f x 有3个;总计4个;2错误；3中可得()()()()()1232,1,0,1,2f x f x f x ∈--=∈;进而()1f x 有1个对应的x ;()2f x 有3个;()3f x 有1个;总计5个;3正确；4中可得：()()()()122,1,0,1g x g x ∈--∈;进而()1g x 有2个对应的x ;()2g x 有2个;共计4个;4正确 则综上所述;正确的命题共有2个 答案：B。
复合函数的零点问题
复合函数的零点问题I ．题源探究·黄金母题例1设函数()1,0,()11,11x x a af x x a x a⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪-⎩a 为常数且()0,1a ∈．若0x 是()()f f x x -的零点但不是()f x x -的零点;则称0x 为()f x 的二阶周期点;求函数()f x 的二阶周期点．答案函数()f x 有且仅有两个二阶周期点;121a x a a =-++;2211x a a =-++． 解析2222221,0,1(),,(1)(())1(),1,(1)1(1),1 1.(1)x x a a a x a x a a a f f x x a a x a a a x a a x a a ⎧≤≤⎪⎪⎪-<≤⎪-⎪=⎨⎪-<<-+-⎪⎪⎪--+≤≤-⎪⎩当20x a ≤≤时;由21x x a=解得0x =;由于()00f =;故0x =不是()f x 的二阶周期点；当2a x a <≤时;由1()(1)a x x a a -=-解得21a x a a =-++2(,),a a ∈因222211()1111a a af a a a a a a a a a =⋅=≠-++-++-++-++;故21ax a a =-++是()f x 的二阶周期点； 精彩解读试题来源2013年高考江西卷改编．母题评析本题以新定义的形式考查复合函数、分段函数的零点;难度较大．新定义信息题是近几年来高考的一个热点． 思路方法理解定义;写出复合函数的解析式;再利用函数与方程思想、分类分类讨论思想、数形结合思想解题．当21a x a a <<-+时;由21()(1)x a x a -=-解得12x a=-2(,1)a a a ∈-+;因111112122f a a a a⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭故12x a =-不是()f x 的二阶周期点；当211a a x -+≤≤时;1(1)(1)x x a a -=-解得211x a a =-++ 2(1,1)a a ∈-+;因22221111()(1)11111a f a a a a a a a a a =•-=≠-++--++-++-++; 故211x a a =-++是()f x 的二阶周期点． 综上：函数()f x 有且仅有两个二阶周期点;121a x a a =-++;2211x a a =-++． II ．考场精彩·真题回放 例22017年高考江苏卷设()f x 是定义在R 且周期为1的函数;在区间[0,1)上;2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D xx n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ;则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ．答案8解析由于()[0,1)f x ∈ ;则需考虑110x ≤< 的情况在此范围内;x Q ∈ 且x ∈Z 时;设命题意图本题主要考查复合函数的零点．本题能较好的考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力等．考试方向这类试题在考查题型上;通常基本以选择题或填空题的形式出现;综合性强;难度大． 难点中心解答此类问题;关键在于 “抽茧剥丝”;把复合函数问题转化为单函数问题;准确作出函数图象;利用图象解决问题．*,,,2qx p q p p=∈≥N ;且,p q 互质 若lg x Q ∈ ;则由lg (0,1)x ∈ ;可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ;且,m n 互质 因此10n mq p =;则10()n m qp= ;此时左边为整数;右边非整数;矛盾;因此lg x Q ∉因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等;只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点;画出函数图象;图中交点除()1,0外其它交点横坐标均为无理数;属于每个周期x D ∉的部分;且1x =处()11lg 1ln10ln10x x '==<;则在1x =附近仅有一个交点;一次方程解的个数为8．例32015年高考天津已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ;其中b R ∈;若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点;则b 的取值范围是A ．7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭答案D ． 解析由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩; 222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪∴=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩;即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--;所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解;即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点;由图象可知724b <<． III ．理论基础·解题原理1．复合函数定义：设()y f t =;()t g x =;且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集;那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数;称y 是x 的复合函数;记为()y f g x =⎡⎤⎣⎦．2．复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =⎡⎤⎣⎦函数值遵循“由内到外”的顺序;一层层求出函数值．例如：已知()()22,x f x g x x x ==-;计算()2g f ⎡⎤⎣⎦． 解析()2224f ==;()()2412g f g ∴==⎡⎤⎣⎦．3．已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解;则遵循“由外到内”的顺序;一层层拆解直到求出x 的值．例如：已知()2x f x =;()22g x x x =-;若()0g f x =⎡⎤⎣⎦;求x ．由上例可得;要想求出()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根;则需要先将()f x 视为整体;先求出()f x 的值;再求对应x 的解;这种思路也用来解决复合函数零点问题;先回顾零点的定义．4．函数的零点：设()f x 的定义域为D ;若存在0x D ∈;使得()00f x =;则称0x x =为()f x 的一个零点．5．复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦根的个数;在解此类问题时;要分为两层来分析;第一层是解关于()f x 的方程;观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应;将x 的个数汇总后即为()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根的个数． IV ．题型攻略·深度挖掘 考试方向这类试题在考查题型上;通常基本以选择题或填空题的形式出现;一般综合性强;难度大． 技能方法求解复合函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦零点问题的技巧：1此类问题与函数图象结合较为紧密;在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像 2若已知零点个数求参数的范围;则先估计关于()f x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦中()f x 解的个数;再根据个数与()f x 的图像特点;分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应;从而确定()i f x 的取值范围;进而决定参数的范围． 易错指导1．函数零点—忽视单调性的存在．例如：若函数fx 在区间－2;2上的图象是连续不断的曲线;且fx 在－2;2内有一个零点;则f －2·f2的值 A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不能确定解答：若函数fx 在－2;2内有一个零点;该零点可分两种情况：1该零点是变号零点;则f －2·f2<0；2该零点是非变号零点;则f －2·f2>0;因此选D ． 易错警示： 警示1：错误认为该零点是变号零点；警示2：不知道非变号零点这种情况．方法剖析：方程的根或函数零点的存在性问题;可以根据区间端点处的函数值的正负来确定;但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性;在给定的区间上;如果函数是单调的;它至多有一个零点;如果不是单调的;可继续细分出小的单调区间;再结合这些小的区间的端点处函数值的正负;作出正确判断．本题的解答错误在于没有正确理解函数零点的含义及存在性;事实上;当fx 在－2;2内有一个零点时;f －2·f2的符号不能确定．2．要注意对于在区间a;b 上的连续函数fx;若x 0是fx 的零点;却不一定有fa·fb<0;即fa·fb<0仅是fx 在a;b 上存在零点的充分条件;而不是必要条件． 注意以下几点：①满足零点存在性定理的条件的零点可能不唯一； ②不满足零点存在性定理条件时;也可能有零点．③由函数)(x f y =在闭区间[],a b 上有零点不一定能推出)(a f ·)(b f 0<;如图所示．所以)(a f ·)(b f 0<是)(x f y =在闭区间[],a b 上有零点的充分不必要条件． 注意：①如果函数在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线;并且函数在区间[],a b 上是一个单调函数;那么当)(a f ·)(b f 0<时;函数在区间),(b a 内有唯一的零点;即存在唯一的(,)c a b ∈;使0)(=c f ．②如果函数在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线;并且有)(a f ·)(b f 0>;那么;函数在区间),(b a 内不一定没有零点．③如果函数在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线;那么当函数在区间),(b a 内有零点时不一定有)(a f ·)(b f 0<;也可能有)(a f ·)(b f 0>．V ．举一反三·触类旁通 例12018四川绵阳一诊函数满足;且当时;．若函数的图象与函数;且的图象有且仅有4个交点;则的取值集合为 A ．B ．C ．D ．答案C()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ()f x例22018南宁高三毕业班摸底联考设函数是定义在上的偶函数;且;当时;;若在区间内关于的方程且有且只有4个不同的根;则实数的取值范围是A． B． C． D．答案D解析由题意可得函数fx的对称轴为x=2;周期为T=4;原方程变形为;;所以只需画出;两个函数在区间-2;6的图像;根据图像求a的范围;图像如下;一定过-1;0点;当时;显然只有一个交点;所以;只需要对数从点B;点C下面穿过就有4个零点;所以解得;选D．点睛对于求不同类的两个函数构成的方程;我们常把方程变形为fx=gx;然后根据y=fx与y=gx的两个图像交点个数来判断原方程根的个数．如本题把方程变形为;再画出两个函数的图像;根据两个图像有4个交点;求出参数a的范围．例32018河南天一大联考已知函数若关于的方程有3个实数根;则实数的取值范围是A． B． C． D．答案D解析作图如下：因此要使方程有3个;实数的取值范围是;选D．名师点睛对于方程解的个数或函数零点个数问题;可利用函数的值域或最值;结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点;分析函数的最值、极值；从图象的对称性;分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势;分析函数的单调性、周期性等．例42018广西桂林柳州高三综合模拟已知函数()3log ,03{4,3x x f x x x <≤=->;若函数()()2h x f x mx =-+有三个不同的零点;则实数m 的取值范围是A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．[)1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦答案AA0;﹣2;B3;1;C4; 0;则g x 的图象介于直线AB 和AC 之间;介于k AB ＜m ＜k AC ;可得12＜m ＜1．故答案为：12;1．点睛:函数h x=f x ﹣mx+2有三个不同的零点;即为f x ﹣mx +2=0有三个不同的实根;可令y=f x;y =g x=mx ﹣2;分别画出y=f x 和y=g x 的图象;通过图象观察;结合斜率公式;即可得到m 的范围．例52018广东珠海一中等六校第一次联考已知函数()()222,12{log 1,1x x f x x x +≤=->;则函数()()()322F x f f x f x =--的零点个数是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案A解析解：令t=fx;Fx=0;则ft ﹣2t ﹣32=0;名师点睛本题关键是找出内外层函数的对应关系;找准一个t 对应几个x ． 例62018安徽阜阳临泉一中上学期二模已知;若关于的方程恰好有 个不相等的实数根;则实数的取值范围是______________． 答案解析∵;∴;∴∴当或时;;当时;∴在上单调递增;在上单调递减;在上单调递增可作出大致函数图象如图所示： 令;则当时;方程有一解；当时;方程有两解；时;方程有三解∵关于的方程;恰好有4个不相等实数根 ∴关于的方程在和上各有一解∴;解得;故答案为名师点睛已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式;再通过解不等式确定参数的范围；②分离参数法：先将参数分离;转化成求函数值域问题加以解决；③数形结合法：先对解析式变形;在同一平面直角坐标系中画出函数的图象;然后数形结合求解． 例72018湖南株洲醴陵第二中学、醴陵第四中学高三上学期两校期中联考已知函数()2log ,02{ 2,22x x f x x x x <<=+≥;若0＜a ＜b ＜c ;满足fa =fb =fc ;则()abf c 的范围为__． 答案1;20a b c ＜＜＜;满足()()()f a f b f c ==;22log log a b ∴-=;即1ab =;()21122c f c c c +==+;()112f c ∴<<;故()()112ab f c f c <=<;故答案为()12，． 名师点睛画出函数()f x 的图象;由图象可知有相等时的取值范围;这里2log x 由的图象和计算得1ab =;可以当作结论;这样三个未知数就只剩下c ;由反比例即可求出结果．例82018江西宜春丰城九中、高安二中、宜春一中、万载中学、樟树中学、宜丰中学六校联考已知函数()ln 1||f x x =-; ()f x m -的四个零点1x ; 2x ; 3x ; 4x ;且12341111k x x x x =+++;则()k f k e -的值是__________． 答案2e -例92018山西山大附中等晋豫名校第四次调研已知函数()()21,0{11,0x x f x f x x -≤=-+>;把方程()0f x x -=的根按从小到大顺序排成一个数列;则该数列的前n 项和n S =__________．答案()12n n -解析当01x <≤时;有110x -<-≤;有()()1112x f x f x -=-+= ; 当12x <≤时;有011x <-≤ ;有()()21121x f x f x -=-+=+ 当23x <≤时;有112x <-≤ ;有()()31122x f x f x -=-+=+ 当34x <≤时;有213x <-≤ ;有()()31123x f x f x -=-+=+ 依次类推;当()1n x n n N <≤+∈时;则()()1112x n f x f x n --=-+=+ ; 所以()()12x n g x f x x n x --=-=+- ;故21n a n +=+ ;所以通项公式1n a n =-;()12n n n S -=．点睛本题考查对分段函数的处理方法;分段函数要分段处理;根据分段函数的解析式找出各段函数的零点;从而得出各个零点与项数的关系;写出数列的通项公式;根据数列是特殊的等差数列;利用等差数列求和公式;求出数列的前n 项的和．例102018江苏南通如皋第一次联考已知函数()211{ 52128lnx x xf x m x mx x +>=-++≤，，，，若()()g x f x m =-有三个零点;则实数m 的取值范围是________．答案714⎛⎤ ⎥⎝⎦，例112018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学第一次调研已知定义在R 上的函数()()2,0{1,0x x x f x ln x x +≤=+>;若函数()()()1g x f x a x =-+恰有2个零点;则实数a 的取值范围是_________．答案()1,1,1e⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭． 解析数形结合;由直线()1y a x =+与曲线()y f x =的位置关系可得当()1,1,1a e ⎛⎫∈-∞-⋃ ⎪⎝⎭时有两个交点;即函数()y g x =恰有两个零点．名师点睛涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题;一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等;再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况;归根到底还是研究函数的性质;如单调性、极值;然后通过数形结合的思想找到解题的思路．例122018江苏淮安盱眙中学第一次学情调研已知函数()22f x x m =+的图象与函数()ln g x x =的图象有四个交点;则实数m 的取值范围为________．答案1,ln22⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭数()22ln h x x m x =+-最小值为21112ln 222h m ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;令102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭ ;可得1ln22m <-;此时函数()22ln h x x m x =+-有两个零点;故函数()22f x x m =+的图象与函数()ln g x x =的图象有四个交点;实数m 的取值范围为1,ln22⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭;故答案为1,ln22⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭． 方法点睛本题主要考查函数图象的交点、函数的零点、方程的根;属于难题．函数图象的交点、函数的零点、方程的根往往是“知一求二”;解答时要先判断哪个好求解就转化为哪个;判断函数()y f x =零点个数的常用方法：1 直接法： 令()0,f x =则方程实根的个数就是函数零点的个；2 零点存在性定理法：判断函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线;且()()0,f a f b <再结合函数的图象与性质如单调性、奇偶性、周期性、对称性 可确定函数的零点个数；3 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题;画出两个函数的图象;其交点的个数就是函数零点的个数;在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点;在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性;确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理;有时可结合函数的图象辅助解题． 跟踪练习1．2018辽宁庄河高中、沈阳二十中高三上学期第一次联考函数()()()820{ 1022sin x x f x f x x π-≤=⎛⎫-> ⎪⎝⎭;则函数()()4log h x f x x =-的零点个数为 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 答案D解析函数的零点满足： ()4log f x x =;则原问题等价于考查函数4log y x =与函数()f x 的交点的个数．()114sin22sin22222f x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 当32x ππ<≤时; 22x πππ<-≤;据此可得： ()112sin2sin22222f x f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=⨯--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；当54x π=时; 55sin 2144f ππ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; 而445log log 414π<=; 则函数4log y x =与函数()f x 在区间3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有2个交点; 很明显;当32x π>时;函数图象没有交点;绘制函数图象如图所示;观察可得： 函数()()4h x f x log x =-的零点个数为5个． 名师点睛函数零点的求解与判断方法：1直接求零点：令fx ＝0;如果能求出解;则有几个解就有几个零点． 2零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a ;b 上是连续不断的曲线;且fa ·fb ＜0;还必须结合函数的图象与性质如单调性、奇偶性才能确定函数有多少个零点．3利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差;画两个函数的图象;看其交点的横坐标有几个不同的值;就有几个不同的零点．2．2018江西上饶高三下学期一模已知()f x 是定义域为()0,+∞的单调函数;若对任意的()0,x ∈+∞;都有()13log 4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦;且方程()323694f x x x x a -=-+-+在区间(]0,3上有两解;则实数a 的取值范围是A ．05a <≤B ．5a <C ．05a <<D ．5a ≥ 答案A即有3213log 694x x x x a =-+-+在区间(]0,3上有两解;由()32694g x x x x a =-+-+;可得()23129g x x x =-+';当13x <<时; ()0g x '<; ()g x 递减；当01x <<时; ()0g x '>; ()g x 递增． ()g x 在1x =处取得最大值a ; ()04g a =-; ()34g a =-;分别作出13log y x =;和32694y x x x =-+-的图象;可得两图象只有一个交点()1,0;将32694y x x x =-+-的图象向上平移;至经过点()3,1;有两个交点;由()31g =;即41a -=;解得5a =;当05a <≤时;两图象有两个交点;即方程两解．故选A ．3．201甘肃兰州西北师范大学附属中学一调若函数()3,0{ ,0xx e x f x e x x+≤=>;则方程()()330f f x e -=的根的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 答案C解析方法点睛本题主要考查分段函数的解析式及图象、函数与方程思想、数形结合思想的应用;属于难题．数形结合是根据数量与图形之间的对应关系;通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法;是中学数学四种重要的数学思想之一;尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效;大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换．充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简;并迎刃而解．4．2018安徽滁州高三9月联合质量检测已知()()11,011{ ,10x f x f x x x +<<-=-<≤;若方程()()200f x ax a a -+=≠有唯一解;则实数a 的取值范围是__________．答案1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 解析当01x <<时; 110x -<-<;所以()11f x x -=-．()()111111f x f x x =+=+--． 若方程()()200f x ax a a -+=≠有唯一解;即() 2f x ax a =-;有唯一解． 作出()y f x =和y 2ax a =-的图象;根据题意两函数图象有唯一交点． 由图可知： 13a ≤．名师点睛根据函数零点求参数取值;也是高考经常涉及的重点问题; 1利用零点存在的判定定理构建不等式求解；2分离参数后转化为函数的值域最值问题求解;如果涉及由几个零点时;还需考虑函数的图象与参数的交点个数；3转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题;从而构建不等式求解． 5．2018山西45校高三第一次联考已知(),01,{ 11,1.x e x f x e x e x<≤=+-<≤若方程()f x kx e=+有且仅有3个实数解;则实数k 的取值范围是__________． 答案211,4e e -⎛⎤- ⎥⎝⎦设()0,A e ;AB 为()y f x =的切线;B 为切点; 1,1C e e e⎛⎫+- ⎪⎝⎭;观察可知;当位于切线AB和割线AC 之间时; y kx e =+图象与()y f x =的图象有三个交点;设()00,B x y ．由2111'e x x ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭;可得切线AB: ()02001110y e x x x ⎛⎫-+-=-- ⎪⎝⎭;解得02x =;故14AB k =-;又2111ACe ee e k e e+---==;所以当方程()f x kx e =+在(]0,e 上有三个实数解;实数k 的取值范围为211,4e e -⎛⎤- ⎥⎝⎦．名师点睛根据函数零点求参数取值;也是高考经常涉及的重点问题; 1利用零点存在的判定定理构建不等式求解；2分离参数后转化为函数的值域最值问题求解;如果涉及由几个零点时;还需考虑函数的图象与参数的交点个数；3转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题;从而构建不等式求解． 6．2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学第一次调研已知()2,0{2,0lnx x f x x x x ->=+≤;若()=f x a 有4个根1234,,,x x x x ;则1234x x x x +++的取值范围是________________．答案10,2e e⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 解析因为1234342x x x x x x +++=-++;所以;故答案为10,2e e⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 7．2018河郑州一中模拟已知函数()222,0{ 2,0x x x f x x x x -+≥=-<;若关于x 的不等式()()220f x af x b ⎡⎤+-<⎣⎦恰有1个整数解;则实数a 的取值范围是__________．答案38a <≤解析画出()f x 的图象如图所示 当()0f x =时;得x 0=或x 2=此时()()220f x af x b ⎡⎤+-<⎣⎦化为; 20b -< 若b 0≠;则此时有两解x 0=或x 2=;违背题意; 故b 0=此时()()a 0f x f x ⎡⎤+<⎣⎦若a 0>;则关于的不等式()a 0f x -<<恰有一个整数解． 结合图象可知()()33{48a f a f -<=--≥=-;可得3a 8<≤若a 0<;则关于的不等式()0a f x <<-恰有一个整数解． 结合图象可知()()11{13a f a f ->=-≤-=;可得3a 1-≤<-综上; 3a 13a 8-≤<-<≤或．8．2018江苏南京高三数学上学期期初学情调研已知函数()22,0{ ,313,0x x f x x x ≤=--+>若存在唯一的整数x ;使得()0f x a x->成立;则实数a 的取值范围为______．答案0;2∪3;8满足()00f x a x ->-符合题意;当8a >时;至少存在两点()()()()1,1,2,2f f ----满足()00f x a x ->-不合题意;故答案为[][]0,23,8⋃名师点睛对于方程解的个数或函数零点个数问题;可利用函数的值域或最值;结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点;分析函数的最值、极值；从图象的对称性;分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势;分析函数的单调性、周期性等 9．2018浙江温州一模已知函数有六个不同零点;且所有零点之和为3;则的取值范围为__________． 答案单调递增;且取值范围是;当时;函数的导函数;考虑到是上的单调递增函数;且;于是在上有唯一零点;记为;进而函数在上单调递减;在上单调递增;在处取得极小值;如图：接下来问题的关键是判断与的大小关系;注意到;;函数;在上与直线有个公共点;的取值范围是;故答案为．10．2018湖南永州高三上学期一模定义函数()()(),{,f x x a h x g x x a≤=>; ()f x x =;()224g x x x =--;若存在实数b 使得方程()0h x b -=无实数根;则实数a 的取值范围是__________． 答案()(),54,-∞-⋃+∞解析11．2018河北石家庄二中八月高三模拟已知()22,{ 2,x x af x x x a-≥=+<;若函数()1ln g x f x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭有零点;则实数a 的取值范围是__________．答案[][)1,23,-⋃+∞综上可得： 1a 2-≤≤或a 3≥ 故答案为： [][)1,23,-⋃+∞名师点睛已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式;再通过解不等式确定参数范围；2分离参数法：先将参数分离;转化成求函数值域问题加以解决；3数形结合法：先对解析式变形;在同一平面直角坐标系中;画出函数的图象;然后数形结合求解．12．2018广东茂名高三五大联盟学校9月份联考若函数至少有3个零点;则实数的取值范围是__________． 答案解析由可得;则问题转化为函数的图像有至少三个交点;结合图像可以看出当时;即时满足题设;应填答案．名师点睛本题的求解过程体现了数形结合的数学思想的巧妙运用;求解时先在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图像;进而借助图像的直观建立不等式;进而通过解不等式求出参数的取值范围．13．2018山东齐河晏婴学校一模已知()1x f x e =-;又()()()()2g x f x tf x t R =-∈;若满足()1g x =-的x 有三个;则t 的取值范围是__________． 答案()2,+∞解析由题意作函数()1x f x e =-的图象：名师点睛本题考查方程根的个数问题的转化;一元二次方程根的分布问题;以及换元法的应用;考查数形结合思想;转化思想；由题意作函数()1x f x e =-的图象;令()m f x =;由图求出m 的范围;代入方程()1g x =-化简;由条件和图象判断出方程的根的范围;由一元二次方程根的分布问题列出不等式;求出t 的取值范围．14．2018浙江名校协作体上学期考试已知函数()()22,0{,14,0x x f x x ln x x +>=-+≤则关于x 的方程()246f x x -=的不同实根的个数为________． 答案4个解析函数 ()f x 图像如图所示; ()22424t x x x =-=-- ;由图15．2018河南郑州一中模拟已知函数()f x 满足()()22f x f x +-=;当(]0,1x ∈时;()2f x x = ;当(]1,0x ∈-时;()()221f x fx +=+;若定义在()1,3-上的函数()()()1g x f x t x =-+有三个不同的零点;则实数t 的取值范围是__________．答案()0,627-解析当(]1,0011x x ∈-⇒<+时;则(11f x x +=+;故()221f x x =-+；当(]1,2021x x ∈⇒≤-<时;则()()222f x x -=-;故()()222f x x =--；当()2,3120x x ∈⇒-<-<时;则()()()()22224213f x f x f x f x⎡⎤⎥=--=-=-⎥-+-⎦;又因为()2,3031x x ∈⇒<-<;所以33f x x -=-;则()224433f x x x =-=+--．所以()222+1{ 2(243xx x f x x -=-+-; (](](](),1,0,0,1,1,2,2,3x x x x ∈-∈∈∈;画出函名师点睛解答本题的关键是充分运用题设条件先将函数()y f x =在区间()1,3-上的解析表达式求出来;再画出其图像数形结合;从而将问题转化为方程()()()2212242=0t x x x t x t +=--⇒+-++有唯一解;可求得627t =-;通过数形结合;求得当0627t <<-时;函数()y f x =在区间()1,3-上的图像与直线()1y t x =+的图像有且只有三个不同的交点;即定义在()1,3-上的函数()()()1g x f x t x =-+有三个不同的零点．16．2018江苏南京师范大学附属中学模拟函数()()()({ 4x x x t f x xx t ≤=>其中0t >;若函数()()1g x f f x ⎡⎤=-⎣⎦有6个不同的零点;则实数t 的取值范围是__________．答案()3,4解析314{ 34127t t t<⇒<<>时;两直线1,1y t y =+=与函数()y f x =共有六个不同交点;应填答案()3,4．名师点睛解答本题的关键关节有两个：其一是将函数的零点问题进行等价转化；其二是要巧妙运用数形结合思想建立不等式组．求解时还要综合运用导数知识确定函数的极值点和极值．灵活运用所学知识和重要是数学思想进行分析问题和解决问题是本题一大特征;体现了数学思想在解决数学问题中四两拨千斤的功能．。
1复合函数、零点问题
学之导教育中心教案学生: 康洋 授课时间: 8.15 课时: 4 年级: 高二 教师： 廖课 题 复合函数、零点问题教学构架一、 知识回顾 二、错题再现 三、知识新授 四、小结与预习 教案内容 一、 知识回顾1、必修1函数知识梳理二、错题再现1、已知实数a,b 满足等式11()()23a b ，下列5个关系式正确的有：（1）0<a<b;(2)a<b<0;(3)0<a<b;(4)b<a<0;(5)a=b2、如果函数y=a 2x+2ax-1(a>0,且a ≠1)[-1,1]上的最大值为14，求a 值3、求值（1）（log 43+log 83）（log 32+log 92） （2）本次内容掌握情况 总结教 师 签 字学 生 签 字三、知识新授（一）对数函数的定义:（二）对数函数图象及性质：在同一坐标中画出下列函数的图像：（1）y=log 2x （2）y=log 3x （3）y=log 21x （4）y=log 31x练习：1 求下列函数的定义域（1）y=log 5(1-x) (2)y=log 7x311a>10<a<1 图 像性质 （1）定义域： 值域:（2）过定点： （3）奇偶性：(4)单调性：（4）单调性：（5）当x>0时，y>1;当x<0时，0<y<1 (5)(3)y=)34(lo 5.0-x g (4)y=)31(log 2x -(5)y=log x+1(16-4x) (6) y=)32lg(422---x x x2、比较下列各值的大小（1）log 1.51.6,log 1.51.4 (2) log 1.12.3和log 1.22.2 (3) log 0.30.7和log 2.12.9 (4) 8.2log 7.2log 2121和3、已知集合A={2≤x ≤π},定义在集合A 上的函数y=log a x 的最大值比最小值大1，求a 值4、求211221(log )log 52y x x =-+在区间[2,4]上的最大值和最小值5.求函数y=log a (2-ax-a 2x )的值域。
高中数学讲义： 复合函数零点问题
复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设()y f t =，()t g x =，且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集，那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是x 的复合函数，记为()y f g x =éùëû2、复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =éùëû函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。
例如：已知()()22,x f x g x x x ==-，计算()2g f éùëû解：()2224f ==()()2412g f g \==éùëû3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x 的值。
例如：已知()2x f x =，()22g x x x =-，若()0g f x =éùëû，求x 解：令()t f x =，则()2020g t t t =Þ-=解得0,2t t ==当()0020xt f x =Þ=Þ=，则x ÎÆ当()2222x t f x =Þ=Þ=，则1x =综上所述：1x =由上例可得，要想求出()0g f x =éùëû的根，则需要先将()f x 视为整体，先求出()f x 的值，再求对应x 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义：4、函数的零点：设()f x 的定义域为D ，若存在0x D Î，使得()00f x =，则称0x x =为()f x 的一个零点5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =éùëû根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =éùëû的根的个数6、求解复合函数()y g f x =éùëû零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于()f x 的方程()0g f x =éùëû中()f x 解的个数，再根据个数与()f x 的图像特点，分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应，从而确定()i f x 的取值范围，进而决定参数的范围复合函数：二、典型例题例1：设定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ì¹ï-=íï=î，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则222123x x x ++=______思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >¹）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。
专题七复合函数的零点问题
专题七 复合函数的零点问题一、确定复合函数零点的个数或方程解的个数 【例题选讲】A ．3B ．7C ．10 D．14(2)关于x 的方程(x 2－1)2－3|x 2－1|＋ ) A ．3 B ．4 D ．8答案 C 解析 可将|x 2－1|t 2－3t ＋2＝0可解得，t ＝1或t ＝2，则只需作出t (x )＝|x 2－1|5个．(3)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点个数是________．答案 5 解析 由2[f (x )]2－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1，作出函数y ＝f (x )的图象．由图象知y ＝12与y ＝f (x )的图象有2个交点，y ＝1与y ＝f (x )的图象有3个交点．因此函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点有5个．(4)已知定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －1|－1，0<x ≤2，12f (x －2)，x >2，则关于x 的方程6f 2(x )－f (x )－1＝0的实数根个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B 解析 已知方程6f 2(x )－f (x )－1＝0可解，得f 1(x )＝12，f 2(x )＝－13，只需统计y ＝12，y ＝－13与y ＝f (x )的交点个数即可．由奇函数可先做出x >0的图像，x >2时，f (x )＝12f (x －2)，则x ∈(2，4]的图像只需将x ∈(0，2]的图像纵坐标缩为一半即可．正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像．通过数形结合可得共有7个交点．(5)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于的方程3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0的不同实根的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 A 解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 由极值点可得，x 1，x 2为3x 2＋2ax ＋b ＝0①的两根，观察到方程①与3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0结构完全相同，所以可得3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0的两根为f 1(x )＝x 1，f 2(x )＝x 2，其中f 1(x )＝x 1，若x 1<x 2，可判断出x 1是极大值点，x 2是极小值点．且f 2(x )＝x 2> x 1＝f 1(x )，所以y ＝f 1(x )与f (x )有两个交点，而f 2(x )与f (x )有一个交点，共计3个；若x 1>x 2，可判断出x 1是极小值点，x 2是极大值点．且f 2(x )＝x 2<x 1＝f 1(x )，所以y ＝f 1(x )与f (x )有两个交点，而f 2(x )与f (x )有一个交点，共计3个．综上所述，共有3个交点．[题后悟通] 确定复合函数零点的个数或方程解的个数问题：关于复合函数y ＝f (g (x ))的零点的个数或方程解的个数问题，先换元解套，令t ＝g (x )，则y ＝f (t )，再作出y ＝f (t )与t ＝g (x )的图像．由y ＝f (t )的图象观察有几个t 的值满足条件，结合t 的值观察t ＝g (x )的图象，求出每一个t 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为y ＝f (g (x ))的根的个数，即“从外到内”．此法称为双图象法(换元法＋数形结合)．图1图2【对点训练】1．已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2，2]的图像如下，给出下列四个命题： (1)方程f [g (x )]＝0有且只有6个根；(2)方程g [f (x )]＝0有且只有3个根； (3)方程f [f (x )]＝0有且只有5个根；(4)方程g [g (x )]＝0有且只有4个根．则正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．41．答案 C 解析 每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出x 的总 数．(1)中可得g 1(x )∈(－2，－1)，g 2(x )＝0，g 3(x )∈(1，2)，进而g 1(x )有2个对应的x ，g 2(x )有2个，g 3(x )有2个，总计6个，(1)正确；(2)中可得f 1(x )∈(－2，－1)，f 2(x )∈(0，1)，进而f 1(x )有1个对应的x ，f 2(x )有3个，总计4个，(2)错误；(3)中可得f 1(x )∈(－2，－1)，f 2(x )＝0，f 3(x )∈(1，2)，进而f 1(x )有1个对应的x ，f 2(x )有3个，f 3(x )有1个，总计5个，(3)正确；(4)中可得g 1(x )∈(－2，－1)，g 2(x )∈(0，1)，进而g 1(x )有2个对应的x ，g 2(x )有2个，共计4个，(4)正确．则综上所述，正确的命题共有3个．2．已知f (x )＝3 0|lg()| 0x x x x ⎧≥⎨-<⎩则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )的零点个数为________．2．答案 5 解析 令y ＝2f 2(x )－3f (x )＝0，则f (x )＝0或f (x )＝32．函数f (x )＝3 0|lg()| 0x x x x ⎧≥⎨-<⎩的图象如图所示：由图可得，f (x )＝0有2个根，f (x )＝32有3个根，故函数y ＝2f 2(x )－3f (x )的零点个数为5．3．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1|x －1|，x ≠1，1，x ＝1，若关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的解x 1，x 2，x 3，则x 12＋x 22＋x 32＝________．3．答案 5 解析 先作出f (x )的图像如图，观察可发现对于任意的t ，满足t ＝f (x )的x 的个数分别为2个 (t ＞0，t ≠1)和3个(t ＝1)，已知有3个解，从而可得f (x )＝1必为f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0的根，而另一根为1或者是负数．所以f (x i )＝1，可解得，x 1＝0，x 2＝1，x 3＝2．所以x 12＋x 22＋x 32＝5．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．14．答案 A 解析 由f (f (x ))＋1＝0，得f (f (x ))＝－1，由f (－2)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1，得f (x )＝－2或f (x )＝12．若f (x ) ＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝2．综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是4．故选A ．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，，则下列关于函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数判断正确的是( )A ．当a >0时，有4个零点；当a <0时，有1个零点B ．当a >0时，有3个零点；当a <0时，有2个零点C ．无论a 为何值，均有2个零点D ．无论a 为何值，均有4个零点5．答案 A 解析 所求函数的零点，即方程f (f (x ))＝－1的解的个数，令t ＝f (x )，先作出y ＝f (t )的图像， 直线y ＝ax ＋1为过定点(0，1)的一条直线，但需要对a 的符号进行分类讨论．当a >0时，如图1所示，先拆外层可得t 1＝－2a ＜0，t 2＝12，如图2所示，而t 1有两个对应的x ，t 2也有两个对应的x ，共计4个；当a <0时，如图3所示，先拆外层可得t ＝12，如图4所示，t ＝12只有一个满足的x ，所以共1个零点．结合选项，可判断出A 正确．图1(a >0)图2(a >0)t6．已知[x ]表示不超过x 的最大整数，当x ∈R 时，称y ＝[x ]为取整函数，例如[1.6]＝1，[－3.3]＝－4，若f (x )＝[x ]，g (x )的图象关于y 轴对称，且当x ≤0时，g (x )＝－x 2－2x ，则方程f (f (x ))＝g (x )解的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．答案 D 解析 根据已知条件可知，当x >0时，－x <0，又函数g (x )的图象关于y 轴对称，故g (x )为 偶函数，所以g (x )＝g (－x )＝－(－x ＋1)2＋1＝－(x －1)2＋1.由f (x )＝[x ]，得f (f (x ))＝[x ]．在同一平面直角坐标系中画出y ＝f (f (x ))与y ＝g (x )的图象如图所示，由图象知，两个图象有4个交点，交点的纵坐标分别为1，0，－3，－4，当x ≥0时，方程f (f (x ))＝g (x )的解是0和1；当x <0时，g (x )＝－(x ＋1)2＋1＝－3得x ＝－3，由g (x )＝－(x ＋1)2＋1＝－4得x ＝－1－5．综上，f (f (x ))＝g (x )的解的个数为4．7．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0的不 同实根的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．67．答案 A 解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由极值点定义可得，x 1，x 2为3x 2＋2ax ＋b ＝0 ①的两根，观察 到方程①与3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0结构完全相同，可得3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0的两根为f 1(x )＝x 1，f 2(x )＝x 2，其中f (x 1)＝x 1．若x 1<x 2，可判断出x 1是极大值点，x 2是极小值点，且f 2(x )＝x 2>x 1＝f (x 1)，所以y ＝f 1(x )的图象与y ＝f (x )的图象有两个交点，而y ＝f 2(x )的图象与y ＝f (x )的图象有一个交点，共计3个交点(如图(1)所示)；若x 1>x 2，可判断出x 1是极小值点，x 2是极大值点，且f 2(x )＝x 2<x 1＝f (x 1)，所以y ＝f 1(x )的图象与y ＝f (x )的图象有两个交点，而y ＝f 2(x )的图象与y ＝f (x )的图象有一个交点，共计3个交点(如图(2)所示)．综上所述，共有3个交点．故选A ．二、已知函数零点的个数，求参数的取值范围 【例题选讲】图3(a <0)图4(a <0)t[例2](1)已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －12)2＋1，x ＞0，－(x ＋3)2＋1，x ≤0，，则方程g [f (x )]－a ＝0（a 为正实数）的实数根最多有______个．答案 6 解析 先通过分析t ＝f (x )，y ＝g (t )的性质以便于作图，f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，从而f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)单增，在(0，2)单减，且f (0)＝1，f (2)＝－3，y ＝g (t )为分段函数，作出每段图像即可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选取t ＝f (x )能对应x 较多的情况，由t ＝f (x )图像可得，当t ∈(－3，1)时，每个t 可对应3个x ．只需判断g (t )＝a 中，t 能在(－3，1)取得的值的个数即可，观察y ＝g (t )图像可得，当a ∈(1，54)时，可以有2个t ∈(－3，1)，从而能够找到6个根，即最多的根的个数．(2)已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|，若方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－2，－1)C ．(0，1)D ．(0，2)答案 B 解析 考虑通过图像变换作出t ＝f (x )的图像（如图），因为[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0最多只能解出2个f (x )，若要出七个根，则t 1＝1，t 2∈(0，1)，所以－b ＝t 1＋t 2∈(1，2)，解得b ∈(－2，－1)．(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg (－x )|，x <0，x 3－6x ＋4，x ≥0，若关于x 的函数y ＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围为( )A ．(2，8)B ．[2，174)C ．(2，174] D ．(2，8]分析 本题应先求方程t 2－bt ＋1＝0的根，设为t 1，t 2，再根据t 1＝f (x )，t 2＝f (x )的解的个数确定函数y ＝f 2(x )－bf (x )＋1的零点个数．已知函数y ＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零点，先确定两个实数t 的范围，再转化为一元二次方程t 2－bt ＋1＝0根的分布问题来解决．答案 C 解析 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg (－x )|，x <0，x 3－6x ＋4＝(x －2)(x 2＋2x －2)，x ≥0，作出f (x )的简图，如图所示．由图象可得，f (x )在(0，4]上任意取一个值，都有四个不同的x 值与之对应．再结合题中函数y ＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零点，可得关于t 的方程t 2－bt ＋1＝0有两个不同的实数根t 1，t 2，且0<t 1≤4，0<t 2≤4，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4>0，0<b 2<4，0－b ×0＋1>0，42－4b ＋1≥0，解得2<b ≤174．归纳总结 本题结合图象可知，一元二次方程t 2－bt ＋1＝0的两个根0<t 1≤4，0<t 2≤4，结合二次函数图象的特点可知，对称轴0<b2<4，且Δ>0，另外t ＝0时的函数值为正，t ＝4时的函数值非负．当涉及二次方程根的分布问题时，一般结合图象从判别式、对称轴位置以及特殊点函数值的符号来讨论．(4)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≤0，log 12x ，x >0.若关于x 的方程f (f (x ))＝0有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，0)∪(0，1) 解析 若a ＝0，当x ≤0时，f (x )＝0，故f (f (x ))＝f (0)＝0有无数解，不符合题意，故a ≠0.显然当x ≤0时，a ·2x ≠0，故f (x )＝0的根为1，从而f (f (x ))＝0有唯一根，即为f (x )＝1有唯一根，而x >0时，f (x )＝1有唯一根12，故a ·2x ＝1在(－∞，0]上无根．当a ·2x ＝1在(－∞，0]上有根时，可得a ＝12x ≥1，故由a ·2x ＝1在(－∞，0]上无根可知a <0或0<a <1． (5)已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0.若方程g (f (x ))－a ＝0有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫1，54 解析 令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t ＜1)的图象如图，由图象可知，当1≤a ＜54时，函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54．(6)已知函数f (x )＝|x |e x ，若关于x 的方程f 2(x )－mf (x )＋m －1＝0恰有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(1e ，2)∪(2，e)B ．(1e ，1)C ．(1，1＋1e )D ．(1e，e)答案 C 解析 f (x )＝⎩⎨⎧xe x，x ≥0，－xe x，x ＜0，分析t ＝f (x )的图像以便于作图，x ≥0时，f ′(x )＝(1－x )e －x ，从而f (x )在(0，1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减，f (1)＝1e ，且当x →＋∞，y →0，所以x 正半轴为水平渐近线；当x <0时，f ′(x )＝(x －1)e －x ，所以f (x )在(－∞，0)单调递减．由此作图，从图像可得，若恰有4个不等实根，则关于f (x )的方程f 2(x )－mf (x )＋m －1＝0中，t 1∈(0，1e )，t 2∈(1e ，＋∞)，从而将问题转化为根分布问题，则t 2－mt ＋m －1＝0的两根t 1∈(0，1e )，t 2∈(1e，＋∞)，设g (t )＝t 2－mt ＋m －1，则有⎩⎪⎨⎪⎧g (0)> 0，g (1e )<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1> 0，1e 2－m e ＋m －1<0，，解得m ∈(1，1＋1e)．本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。
高中数学讲义：零点存在的判定与证明
零点存在的判定与证明一、基础知识：1、函数的零点：一般的，对于函数()y f x =，我们把方程()0f x =的实数根0x 叫作函数()y f x =的零点。
2、零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ×<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内必有零点，即()0,x a b $Î，使得()00f x =注：零点存在性定理使用的前提是()f x 在区间[],a b 连续，如果()f x 是分段的，那么零点不一定存在3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。
因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调4、几个“不一定”与“一定”（假设()f x 在区间(),a b 连续）（1）若()()0f a f b ×<，则()f x “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。
要分析()f x 的性质与图像，如果()f x 单调，则“一定”只有一个零点（2）若()()0f a f b ×>，则()f x “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。
如果()f x 单调，那么“一定”没有零点（3）如果()f x 在区间(),a b 中存在零点，则()()f a f b ×的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。
如果()f x 单调，则()()f a f b ×一定小于05、零点与单调性配合可确定函数的符号：()f x 是一个在(),a b 单增连续函数，0x x =是()f x 的零点，且()0,x a b Î，则()0,x a x Î时，()0f x <；()0,x x b Î时，()0f x >6、判断函数单调性的方法：（1）可直接判断的几个结论：① 若()(),f x g x 为增（减）函数，则()()f x g x +也为增（减）函数② 若()f x 为增函数，则()f x -为减函数；同样，若()f x 为减函数，则()f x -为增函数③ 若()(),f x g x 为增函数，且()(),0f x g x >，则()()f x g x ×为增函数（2）复合函数单调性：判断()()y f g x =的单调性可分别判断()t g x =与()y f t =的单调性（注意要利用x 的范围求出t 的范围），若()t g x =，()y f t =均为增函数或均为减函数，则()()y f g x =单调递增；若()t g x =，()y f t =一增一减，则()()y f g x =单调递减（此规律可简记为“同增异减”）（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像7、证明零点存在的步骤：（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数()f x （3）分析函数()f x 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间（4）利用零点存在性定理证明零点存在例1：函数()23x f x e x =+-的零点所在的一个区间是（ ）A.1,02æö-ç÷èø B.10,2æöç÷èø C.1,12æöç÷èø D.31,2æöç÷èø思路：函数()f x 为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可解：1211234022f e -æöæö-=+×--=-<ç÷ç÷èøèø，()020f =-<11232022f æö=+×-=-<ç÷èø()12310f e e =+-=->()1102f f æö\×<ç÷èø01,12x æö\Îç÷èø，使得()00f x =答案：C例2：函数()()ln 1f x x x =-+的零点所在的大致区间是（ ）A.31,2æöç÷èø B.3,22æöç÷èøC.()2,eD.(),e +¥思路：先能判断出()f x 为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。
速解复合函数中的零点个数问题
分析：本题没有直接指明复合函数的存在，但原函数不可
能直接画出判断根，仍要设出中间变量，变为复合函数便讨论。
解：设 f(x)=|x2 1|=u，画出图像 F(x)=u2 u+k。方程 u2 u+
k，△=1 4k，
k
＞
1 4
时，△＜
0，无解
时
k=
1 4
时，u=
1 2
，x
有
4
解，
当k＜
1 4
时，有 u1，u2 两解，设 u1 ＜ u2，且 u1
u2=k，此时：
0＜
k＜
1 4
时，u1
u2 ＞ 0，u1
u2=1，（下转第
214 页）
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— 科教导刊（电子版）· 2017 年第 24 期/8 月（下）—
经|法|纵|览
商标被他人侵权时，应采取法律手段维护权益，减少损失及不 良影响。
2.3.2 加强合同管理法律风险防范与控制 合同是约束双方责任和义务的具有法律效应的协议，一 旦合同管理不到位，就会产生各种纠纷问题。因此，企业应重 视合同管理工作。企业可以根据自身的业务特征，编制不同 类型的合同示范文本，例如：采购、运输、咨询代理等合同示范 文本，在实际的应用中就能够更好的规避商务法律存在的风 险，还能够提升工作效率与质量。在正式签订合同时，应当经 由承办、审计、财务等部门及法务人员进行会审，以此来确保 合同的合法合规性。如果合同存在不符合法规的情况时，应 要求其及时补办相关手续，或是通过协商的手段中止合同效 力。对于未签订或者越职签订合同等问题，应针对具体情况 采取相应的补救措施。另外，随着时代的进步，信息化技术被 应用到企业的各个领域，企业合同管理人员也应该顺应时代 潮流，努力打造合同管理信息化，实现合同立项、审批、履行、 归档等网络运行，这样不仅能够保障业务的完整性，才还能更 好地规避法律风险，提高工作效率。 2.3.3 加强法律纠纷风险防范与控制 企业在生产经营中经常会遇到各种法律纠纷问题，进而 给企业带来损失。因此，需要采取有效措施，最大限度地规避 法律纠纷。首先，诚实守信既是为人之道，也是企业立足之本，
数形结合解复合函数的零点个数的常见解法
数形结合解复合函数的零点个数的常见解法
在学习数学的过程中，复合函数是学习者必须要掌握的重要知识之一。
然而，
求解复合函数的零点个数往往是极为复杂的，尤其对初学者来说，可能会困扰很长时间。
本文就简单介绍一种求解复合函数零点个数的常见解法——参数形式结合法。
首先，看到复合函数时，要分析此函数是由哪些函数叠加而成的，并找出复合
函数中有几个部分函数。
其次，把复合函数进行拆分，把每个部分函数的参数构造成一组参数形式，便于进行函数的乘法和分解。
最后，通过用参数形式结合在一起，用一定 means 来分解复合函数的零点个数，主要是根据复合函数中的参数的关系，分析各部分函数的零点；之后再综合考虑其他因素，如在此前讨论的参数构造，从而可以从不同角度求出复合函数的零点个数。
通过以上步骤，学习者就可以很好地通过参数形式结合解决复合函数零点个数
的问题，从而减少数学学习过程中的困惑和困难，达成更高的预期效果。
复合函数的零点问题
由图可得，当 k＞－3 时，f(t)＝k 有两个根 t1，t2，且 t1＜－2，t2＞12，即 t＝f(x)＜－2 或 t＝f(x)＞12，此时方程 f(f(x))＝k 最多有 5 个根； 当－4＜k≤－3 时，f(t)＝k 有三个根 t1，t2，t3，且－2≤t1＜－1，－1＜t2≤0，14＜t3≤12， 即－2≤f(x)＜－1 或－1＜f(x)≤0 或14＜f(x)≤12，此时方程 f(f(x))＝k 最多有 6 个根； 当 k＝－4 时，f(t)＝k 有两个根 t1，t2，且 t1＝－1，t2＝14，即 f(x)＝－1 或 f(x)＝14，此 时方程 f(f(x))＝k 有 4 个根； 当 k＜－4 时，f(t)＝k 有一个根 t，且 0＜t＜14，即 0＜f(x)＜14，此时方程 f(f(x))＝k 有 2 个根．
设 f(x)＝t，由图可知，当 t＜0 或 t＞2 时，t＝f(x)有且仅有 1 个实根．当 t＝0 或 1≤t≤2 时，t＝f(x)有 2 个实根；当 0＜t＜1 时，t＝f(x)有 3 个实根，则 g(x)恰有 4 个不同的零 点等价于a0－ ＜1a＜ ＋01， ＜1或a1－ ≤1a＝ ＋01， ≤2或0a＜ ＋a1－ ＞12＜1，或11≤ ≤aa－ ＋11≤ ≤22， ，解得－1＜a＜ 0 或 1≤a＜2．
图(2)
由图可知 y＝f(t)与 y＝3t＋12的图象有两个交点，横坐标
分别在(0，1)和(1，2)之间，不妨设交点横坐标为 t1∈(0，
1)，t2∈(1，2)．如图(3)，当 t1＝f(x)时，由 f(x)图象和直
线 y＝t1，t1∈(0，1)可知，二者有两个交点，此时 F(x) ＝f(f(x))－3f(x)－12有两个零点；当 t2＝f(x)时，由 f(x)图
高考 复合函数的零点问题
函数专题（复合函数的零点问题）一、相关概念及有关结论 1.复合函数的定义设函数()u x ϕ=的定义域为是A ，值域是B ；又设函数()y f u =的定义域是C ，且B C y M ⊆∈，，这时对A 内每一个x ，通过ϕ，得到B 内唯一的一个u 与此x 对应，再通过f 又得到M 内唯一的一个y 与此x 对应．因此对于A 内的每一个x 先通过ϕ再通过f ，得到M 内唯一的一个y 与此x 对应，这就确定了一个从A 到M 的函数，称它是由()u x ϕ=与()y f u =合成的复合函数（也称嵌套函数），记为()y f x ϕ⎡⎤=⎣⎦．称u 为中间变量，为了叙述方便起见，不妨将()u x ϕ=称为内层函数，称()y f u =为外层函数． 2.有关命题与结论函数的零点问题不仅与函数、方程、不等式、导数等知识交汇融合，同时还涉及“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类与讨论”等数学思想．以下引入上述思想的相关命题，以便为下面的分析与求解提供理论支撑． 二、常见复合函数零点问题的考察类型 1．“()()=f f x k ”型问题 例11．设函数()2log f x x =，则函数()()()1g x f f x =−的零点为 ． 【答案】4【分析】由题知2log 2x =，即求.【详解】函数()g x 的零点即为方程()0g x =的解，也即()22log log 10x −=的解.()22log log 1x =，即2log 2x = 解得4x =，即函数()g x 的零点为4． 故答案为：4 例22．设函数f (x )＝22,0,0x x x x x ⎧+<⎨−≥⎩若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是 .【答案】a ≤【分析】对()f a 的符号进行分类讨论，带入相应的解析式求解不等式，可得f (a )≥－2，再对a 的符号进行分类讨论代入相应解析式求解不等式即可.【详解】当()0f a <时，f (f (a ))≤2即为2()()2f a f a +≤，()()[1][2]0f a f a −+≤， 解得()21f a −≤≤，所以()20f a −≤<；当()0f a ≥时，f (f (a ))≤2即为2()2f a −≤，因为2()2f a ≥−恒成立，所以()0f a ≥满足题意.所以f (a )≥－2，则202a a a <⎧⎨+≥−⎩或22a a ≥⎧⎨−≥−⎩，解得a ≤故答案为：a ≤【点睛】本题考查利用分段函数的性质解不等式，考查分类讨论思想，属于较难题. 2.“()()=f g x k ”型问题 例33．设函数()()3221014680x x f x x x g x x x x x ⎧+>⎪=−+=⎨⎪−−−≤⎩，，，，，则函数()()()1h x f g x =−的零点为 ．【答案】14322−−−，，， 【分析】由题可知求()()1f g x =的解，再利用分段函数求方程的解即可. 【详解】函数()h x 的零点即为方程()0h x =的解，也即()()1f g x =的解． 令()t g x =，则原方程的解变为方程组()()1t g x f t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解． 由方程②可得320t t −=， 解得0t =或1t =，将0t =代入方程①，而方程104x x+=无解， 由方程2680x x −−−=解得4x =−或2x =−；将1t =代入方程①，而方程114x x +=，解得12x =， 由方程2681x x −−−=，解得3x =−．综上，函数()h x 的零点为14322−−−，，，，共四个零点． 故答案为：14322−−−，，，. 3.复合函数()⎡⎤=−⎣⎦y f f x x 的零点问题一般地，关于复合函数()y f f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点有如下结论：若()f x 单调，则()()0000f f x x f x x ⎡⎤=⇔=⎣⎦．证明 一方面，若()00f f x x ⎡⎤=⎣⎦，不妨设()f x 单调递增，若()00f x x >，则()()000f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦，与()00f f x x ⎡⎤=⎣⎦矛盾，同理可证()00f x x <的情形； 另一方面，若()00f x x =，则()()000f f x f x x ⎡⎤==⎣⎦，综上可知结论成立． 例44．设函数()f x a ∈R ，e 为自然对数的底数），若曲线sin y x =上存在点()00x y ，使得()()00f f y y =，则a 的取值范围是（ ）． A ．[]1e ， B ．111e ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦， C ．[]1e 1+， D ．11e 1e ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦，【答案】A【分析】由题可得2e x x a x +−=，再利用函数的单调性即求.【详解】显然()f x =于是()()00f f y y =等价于()00f y y =，即00y =≥， 又00sin 1y x =≤，故001y ≤≤，从而0200e y a y y =+−，令()2e x g x x x =+−， 则()()'e 12''e 20x xg x x g x =+−=−=，，令()''0g x =，则ln2x =，可知当[]0ln2x ∈，时，()'g x 单调递减，当[]ln21x ∈，时，()'g x 单调递增， 从而()()''ln232ln20g x g ≥=−>， 故()g x 在[]01，上单调递增， 从而()()][011e a g g ⎡⎤∈=⎣⎦，，. 故选：A ．4.复合函数()⎡⎤=−⎣⎦y f g x x 的零点问题一般地，关于复合函数()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点有如下结论：()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦有零点()y g f x x ⎡⎤⇔=−⎣⎦有零点．证明 设()00f g x x ⎡⎤=⎣⎦，则(){}()00g f g x g x ⎡⎤=⎣⎦，可知()0g x 为()y g f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点，反之若0x 为()y g f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点，则同理可得()0f x 为()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点． 例55．若()f x 和()g x 都是定义在实数集R 上的函数，且方程()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦有实数根，则()g f x ⎡⎤⎣⎦不可能是A ．215x x +−B ．215x x ++C ．215x −D ．215x +【答案】B【详解】试题分析：设0x 为方程的 ()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦的一个根，∴00[()]f g x x =，∴{}00()[()]g x g f g x =，再令0()t g x =，故有 [()]t g f t =，从而可知方程[()]g f x x =至少有一个实数根 t ，A ，C ，D 选项中的函数均符合条件，而B 选项：215x x x ++=无解，故选B ． 【点睛】本题考查的是抽象函数与方程的问题，需挖掘条件中的隐含信息，对已知条件中的式子()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦进行等价变形，可以得到 [()]g f x x =至少也有一个实数根，分别考察四个选项中的函数，判断根的情况，从而可知选B ． 5.含参二次函数复合型零点问题 例66．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4,16,64}【答案】D【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项.【详解】设关于()f x 的方程()()20mf x nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=−对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2bx a =−对称．而选项D 中41616422++≠.故选D. 【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f t g x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征. 例77．若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()232f x af x +0b +=的不同实根个数是A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】由题意求导结合极值点的性质可得原方程等价于1()f x x =或2()f x x =，按照12x x <、12x x >分类，作出函数图象，数形结合即可得解.【详解】由题意2()32f x x ax b '=++，1x ，2x 为函数()f x 的极值点， 所以2()320f x x ax b '=++=有两解12,x x ，所以方程()()()232f x af x +0b +=等价于1()f x x =或2()f x x =，当12x x <时，则1x 为函数()f x 的极大值点，且()11f x x =，2x 为函数()f x 的极小值点，画出函数图象，如图：此时1()f x x =有两个不同实根，2()f x x =有一个实根，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根；当12x x >时，则1x 为函数()f x 的极小值点，且()11f x x =，2x 为函数()f x 的极大值点， 画出函数图象，如图：此时1()f x x =有两个不同实根，2()f x x =有一个实根，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根；综上，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根. 故选：A.【点睛】本题考查了导数与函数极值的关系、函数与方程的综合应用，考查了逻辑推理能力与数形结合思想，属于中档题.6.其他型 例88．已知定义在()0+∞，上的单调函数()f x ，若对任意()0x ∈+∞，都有()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则方程()2f x =的解集为 ．【答案】{}416，． 【分析】由题可求()122log f x x =−，再利用数形结合即求.【详解】∵定义在()0+∞，上的单调函数()f x ，对任意()0x ∈+∞，都有()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 令()12log f x x c +=，则()3f c =，在上式中令x c =，则()1122log log 3f c c c c c +==−，，解得2c =，故()122log f x x =−，由()2f x =122log 2x −=2log x =在同一坐标系中作出函数2log y x =和y可知这两个图像有2个交点，即()42，和()164，，则方程()2f x ={}416，． 故答案为：{}416，. 例99．已知函数()12f x x x=+−，如果关于x 的方程()4213021xx f t ⎛⎫ ⎪−+−= ⎪−⎝⎭有三个相异的实数根，求t 的范围．【答案】104t −<<．【分析】令21xm −=，由题得()232410m t m t −+++=，再采用数形结合法及二次方程根的分布即求．【详解】令21xm −=，则()430f m t m ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭，即14230m t m m ⎛⎫+−+−= ⎪⎝⎭，去分母得：()232410m t m t −+++=，此方程最多有两个根，由函数21xm =−图像可知，方程()232410m t m t −+++=的两根必须有一根m 1≥，另一根01m <<，才能保证原方程有三根，设()()23241g m m t m t =−+++，因此由根的分布知识得：()()041011(32)410g t g t t ⎧=+>⎪⎨=−+++<⎪⎩或()()11(32)410041032012g t t g t t ⎧⎪=−+++=⎪=+>⎨⎪+⎪<<⎩，，，解得：104t −<<．7.零点求和问题 例1010．定义域为R 的函数()12212x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩，，，，若关于x 的函数()()()212h x f x af x =++有5个不同的零点1x 、2x 、3x 、4x 、5x ，则2222212345x x x x x ++++等于（ ）．A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【分析】结合函数的图象可知1102a ++=，进而可得()1f x =或()12f x =，即求. 【详解】作函数()12212x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩，，，的图象如图所示，则由函数()()()212h x f x af x =++有5个不同的零点知1102a ++=，解得32a =−．解()()231022f x f x −+=得()1f x =或()12f x =．若()1f x =，则2x =或3x =或1x =； 若()12f x =，则0x =或4x =． 故222221234530x x x x x ++++=.故选：C ． 同步练习11．设函数()210log 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，若函数()()()g x f f x a =−有三个零点，则实数a 的范围为 ．【答案】(]01，． 【分析】令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =，采用数形结合法即求．【详解】函数()g x 的零点即为方程()0g x =的解，令()t f x =， 则原方程的解变为方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =的图象，由图象可知，当1t >时，有唯一的x 与之对应；当1t ≤时，有两个不同的x 与之对应． 由方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②有三个不同的x 知，需要方程②有两个不同的t ，且一个1t >，一个1t ≤，结合图象可知，当(]01a ∈，时，满足一个(]10t ∈−，，一个(]12t ∈，，符合要求， 综上，实数a 的取值范围为(]01，． 故答案为：(]01，12．设函数()()2210230x x f x x x g x x x x ⎧+>⎪=+=⎨⎪−+≤⎩，，，，，若函数()()()h x g f x a =−有六个不同的零点，则实数a 的取值范围为 ．【答案】(]23，． 【分析】利用数形结合即求.【详解】函数()h x 的零点即为方程()0h x =的解，也即()()g f x a =的解， 令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x g t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =和直线y t =的图象如图所示． 由图可知，当1t >−时，有两个不同的x 与之对应；当1t =−时，有一个x 与之对应，当1t <−时，没有x 与之对应．由方程组()()t f x g t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②有六个不同的x 解知，需要方程②有三个不同的t ，且都大于1−，作出函数()y g t =和直线y a =的图象如图所示，由图可知当(]23a ∈，时满足要求， 综上，实数a 的取值范围为(]23，． 故答案为：(]23，13．已知函数2()(1)x f x x x e =−−，设关于x 的方程25()()()f x mf x m R e−=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为 A ．3 B ．1或3 C ．4或6 D ．3或4或6【答案】A【详解】()()()()'12,xf x x x e f x =−+∴在(),2−∞−和()1,+∞上单增，()2,1−上单减，又当x →−∞时，()0,f x x →→+∞时，()f x →+∞故()f x 的图象大致为：令()f x t =，则方程250t mt e −−=必有两个根，12,t t 且125t t e=−，不仿设120t t << ，当1t e=−时，恰有225t e −=，此时()1f x t =，有1个根，()2f x t =，有2个根，当1t e <−时必有2205t e −<<，此时()1f x t =无根，()2f x t =有3个根，当10e t −<<时必有225t e −>，此时()1f x t =有2个根，()2f x t =，有1个根，综上，对任意m R ∈，方程均有3个根，故选A.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .14．已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【详解】试题分析：求导得，显然是方程的二不等实根，不妨设，于是关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的解就是或，根据题意画图：所以有两个不等实根，只有一个不等实根，故答案选A.考点：导数、零点、函数的图象15．设定义域为R 的函数2lg ,0(){2,0x x f x x x x >=−−≤, 若关于x 的函数有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是 ． 【答案】【详解】关于的二次方程至多有两个实数根，设()2,2210f x t t bt =++=，要使得有8个零点，就是()f x t =有4个解，由图象知()f x t =，(0,1)t ∈内有4个解． 二次方程22210t bt ++=在内有两个不等的实数根，故有故填16．已知定义在R 上的函数()y f x =存在零点，且对任意R m n ∈，都满足()()()()2f mf m f n f x n +=+，若关于x 的方程()()31log (01)a f f x x a a −=−>≠，恰有三个不同的根，求a 的取值范围． 【答案】（3，+∞）．【分析】令函数()y f x =的零点为m ，即f （m ）＝0，则由对任意m ，n ∈R 都满足f [mf （m ）+f （n ）]＝f 2（m ）+n ．可得f [f （x ）]＝x ，进而x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，可转化为|x ﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，根据对数函数的图象和性质分类讨论后，可得答案．【详解】令函数y ＝f （x ）的零点为m ，即f （m ）＝0， ∵对任意m ，n ∈R 都满足f [mf （m ）+f （n ）]＝f 2（m ）+n ． 则f [f （n ）]＝n 恒成立， 即f [f （x ）]＝x ，若关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根， 即|x ﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，当0＜a ＜1时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有两个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有两个不同的根，不满足条件； 当1＜a ＜3时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有一个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有一个不同的根，不满足条件； 当a ＝3时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有两个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有两个不同的根，不满足条件； 当a ＞3时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有三个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，满足条件； 综上所述，实数a 的取值范围是（3，+∞）.17．定义在R 上的函数1,22()1,2x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩若关于x 的方程2()()3f x af x b ++=有三个不同的实数解1x ， 2x ，3x ，且 123x x x <<，则下列结论错误的是A ．22212314x x x ++= B ．2a b += C ．134x x += D ．1322x x x +>【答案】D【详解】试题分析：当2x ≠时，()1()0,2f x x =∈+∞−且关于y 轴对称， 因为方程2()()3f x af x b ++=有三个不同的实数解， 所以当时，，必为方程的一个解，代入方程得，即选项B 正确；因为()()131f f ==，所以，所以选项A 、C 正确，而选项D 错． 故正确答案选D ．。
高考数学经典常考题型第12专题 复合函数零点问题
高考数学经典常考题型第12专题复合函数零点问题第12专题训练：复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设 $y=f(t),t=g(x)$，且函数 $g(x)$ 的值域为 $f(t)$ 的定义域的子集，那么 $y$ 通过 $t$ 的联系而得到自变量 $x$ 的函数，称 $y$ 是 $x$ 的复合函数，记为$y=f(g(x))$。
2、复合函数函数值计算的步骤：求 $y=g(f(x))$ 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。
例如：已知$f(x)=2x,g(x)=x^2-x$，计算 $g(f(2))$。
解：$f(2)=2\times 2=4$，$\therefore g(f(2))=g(4)=12$3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 $x$ 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出 $x$ 的值。
例如：已知 $f(x)=2x,g(x)=x^2-2x$，若 $g(f(x))=0$，求 $x$。
解：令 $t=f(x)$，则 $g(t)=0$，$\therefore t=0$ 或 $t=2$。
当 $t=0$ 时，$f(x)=0$，XXX；当 $t=2$ 时，$f(x)=2$，$\therefore x=1$。
综上所述，$x=1$。
由上例可得，要想求出 $g(f(x))=0$ 的根，则需要先将$f(x)$ 视为整体，先求出 $f(x)$ 的值，再求对应 $x$ 的解。
这种思路也用来解决复合函数零点问题。
先回顾零点的定义：4、函数的零点：设 $f(x)$ 的定义域为 $D$，若存在 $x\in D$，使得 $f(x)=0$，则称 $x$ 是 $f(x)$ 的一个零点。
5、复合函数零点问题的特点：考虑关于 $x$ 的方程$g(f(x))=0$ 的根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析。
第一层是解关于 $f(x)$ 的方程，观察有几个 $f(x)$ 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层 $f(x)$ 的值求出每一个$f(x)$ 被几个 $x$ 对应，将 $x$ 的个数汇总后即为$g(f(x))=0$ 的根的个数。
高二文科数学春季讲义 第5讲 复合函数与函数的零点 教师版
341．复合函数的概念一般地，若y 是t 的一个函数()y f t =，而t 又是x 的一个函数()t g x =，记函数()y f t =的定义域为A ，函数()t g x =的值域为B ，若A B ≠∅，则y 也是x 的一个函数，即()[()]y f t f g x ==，称为复合函数，记作[()]y f g x =．当x a =时，函数y 的值记作[()]f g a ．对于复合函数[()]y f g x =来讲，我们叫()g x 为内层函数，把()f x 叫外层函数． 2．复合函数的定义域⑴ [()]f g x 的定义域为[]a b ，，指的是x 的取值范围为[]a b ，，而不是()g x 的范围为[]a b ，； ⑵ 已知函数()f x 的定义域为D ，求函数[()]f g x 的定义域，只需由()g x D ∈解不等式，求出x ； 3．复合函数的单调性内层函数和外层函数的单调性联合决定复合函数的单调性同增异减：当内外层函数的单调性一致（相同）时，复合函数单调递增；当内外层函数的单调性不一致（不相同）时，复合函数单调递减．<教师备案> 在求复合函数的单调区间问题时，要时刻关注定义域．考点：复合函数的概念【例1】 ⑴ 已知函数()f x 定义域为(02)，，求下列函数的定义域：① 2()2f x +；②2()()3f x f x +-；③212log (2)y x =-⑵ 已知函数()2f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域： ①()2f x -；②(32)()1f x f x -+-；③12log (2)y x =-【解析】 ⑴ ①定义域为()()2002-，；②定义域为(02，； ③定义域为(12，．经典精讲知识点睛5.1复合函数第5讲复合函数与 函数的零点35⑵ ①(04)，②定义域为223⎛⎫⎪⎝⎭，；③定义域为()12，．尖子班学案1【拓1】 若函数()y f x =的定义域为122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则2(log )f x 的定义域为__________【解析】4⎤⎦目标班学案1【拓2】 已知函数()f x 的定义域为[12]-，，求下列函数的定义域：⑴()()f x f x --；⑵()()f x a f x a ++-，(0)a >【解析】 ⑴函数定义域为[11]-，；⑵12121212x a a x ax a a x a-+---⎧⎧⇔⎨⎨---++⎩⎩≤≤≤≤≤≤≤≤；①当12a a -+<-，即302a <<时，定义域为[12]a a -+-，；②当12a a -+=-，即32a =时，定义域为1|2x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；③当12a a -+>-，即32a >时，定义域为∅．【备选】 已知1()log ()x a f x ka a +=-，(1a >，k ∈R )．⑴ 当1k =时，求()f x 的定义域；⑵ 若()f x 在区间[0，10]上总有意义，求k 的取值范围．【解析】 ⑴ 定义域为(0)+∞，；⑵ k 的取值范围为()1+∞，．【例2】 ⑴ 已知2()3f x x x =++，求()2f x，f的解析式．⑵ 已知2()21f x x =+，()1g x x =-，则[()]f g x =__________：[()1]g f x -=________⑶ 已知函数2()0xx f x xx ->⎧=⎨⎩≤,2()3g x x =-，则[()]g f x =______；[()]f g x =_______． 【解析】 ⑴ 242()3f x x x =++；3f x =⑵ 22[()]2(1)1243f g x x x x =-+=-+；22[()1](211)121g f x x x -=+--=-⑶ 2430[()]30x x g f x x x ⎧->⎪=⎨-⎪⎩，，≤；()0g x x >⇔2223[()](3)x x f g x x x ⎧->⎪=⎨-⎪⎩，，，即2423[()]69x x x f g x x x x ⎧-><⎪=⎨-+⎪⎩，，36考点：求函数的解析式<教师备案>求函数解析式常用代入法，拼凑法，换元法，待定系数法． 【例3】 ⑴ 已知()2122f x x x +=++，则()f x =________；⑵ 已知2211f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x =________；⑶ 已知221111x xf x x--⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则()f x =________ 【解析】 ⑴ 21x +⑵ 22x +．⑶ 221x x+尖子班学案2【拓1】 ⑴ 函数3()232cx f x x x ⎛⎫=≠- ⎪+⎝⎭，满足[()]f f x x =，则常数c =_______ ⑵ 若一次函数()f x 满足[()]12f f x x =+，则()f x =________⑶ 已知3311f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x =________．【解析】 ⑴ 3-⑵1或1-⑶ ())2333f x x x x x =-=-，(][),22,x ∈-∞-+∞目标班学案2 【拓2】 ⑴已知fx =，则()f x =________；⑵ 已知()31f x x =-，()23g x x =+，且[()]()f h x g x =，则()h x = 。
微难点2 复合函数的零点问题
微难点2 复合函数的零点问题
x3＋e，x≤0，
3.若函数f(x)＝exx，x>0，
则方程3f(f(x))－e3＝0的根的个数为( C )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【解析】当x>0时，函数f(x)＝
ex x
在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单
调递增，且f(1)＝e，函数图象如图所示．由f(f(x))＝
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微难点2 复合函数的零点问题
1.复合函数的定义：设y＝f(t)，t＝g(x)，且函数g(x)的值域为f(t)定义域的子集， 那么y通过t的联系而得到自变量x的函数，称y是x的复合函数，记为y＝f[g(x)]．
2.复合函数函数值计算的步骤：求y＝g[f(x)]函数值遵循“由内到外”的顺序， 一层层求出函数值．
【解答】方程f(|2x－1|)＋k
|2x－2 1|－3
＝0化为|2x－1|＋
1＋2k |2x－1|
－(2＋3k)＝0，即|2x
－1|2－(2＋3k)|2x－1|＋(1＋2k)＝0，|2x－1|≠0.
令|2x－1|＝t，则方程化为t2－(2＋3k)t＋(1＋2k)＝0(t≠0)． 因为方程|2x－1|＋12＋x－21k－(2＋3k)＝0有三个不同的实数解，
(第2题) 【解析】考虑通过图象变换作出f(x)的图象(如图)，因为[f(x)]2＋bf(x)＋c＝0最多 只能解出2个f(x)，若要有七个根，则f1(x)＝1，f2(x)∈(0,1)，所以－b＝f1(x)＋f2(x)∈ (1,2)，则b∈(－2，－1)．
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微专题12 复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设()y f t =，()t g x =，且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集，那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是x 的复合函数，记为()y f g x =⎡⎤⎣⎦2、复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =⎡⎤⎣⎦函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。
例如：已知()()22,x f x g x x x ==-，计算()2g f ⎡⎤⎣⎦ 解：()2224f == ()()2412g f g ∴==⎡⎤⎣⎦3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x 的值。
例如：已知()2xf x =，()22g x x x =-，若()0g f x =⎡⎤⎣⎦，求x解：令()t f x =，则()2020g t t t =⇒-=解得0,2t t ==当()0020xt f x =⇒=⇒=，则x ∈∅当()2222xt f x =⇒=⇒=，则1x =综上所述：1x =由上例可得，要想求出()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根，则需要先将()f x 视为整体，先求出()f x 的值，再求对应x 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义： 4、函数的零点：设()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得()00f x =，则称0x x =为()f x 的一个零点5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根的个数6、求解复合函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于()f x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦中()f x 解的个数，再根据个数与()f x 的图像特点，分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应，从而确定()i f x 的取值范围，进而决定参数的范围复合函数： 二、典型例题例1：设定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则222123x x x ++=______思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >≠）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。
所以()1i f x =，可解得：1230,1,2x x x ===，所以2221235x x x ++= 答案：5例2：关于x 的方程()22213120x x ---+=的不相同实根的个数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 8思路：可将21x -视为一个整体，即()21t x x =-，则方程变为2320t t -+=可解得：1t =或2t =，则只需作出()21t x x =-的图像，然后统计与1t =与2t =的交点总数即可，共有5个 答案：C例3：已知函数11()||||f x x x x x=+--，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ．思路：所解方程2()()0f x a f x b ++=可视为()()20f x a f x b ++=，故考虑作出()f x 的图像：()2,12,012,102,1x x x x f x x x x x⎧>⎪⎪<≤⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎪⎩， 则()f x 的图像如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有()()122,02f x f x =<<，所以()()()122,4a f x f x -=+∈，解得42a -<<- 答案：42a -<<-例4：已知定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的实数根个数为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9 思路：已知方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦可解，得()()1211,23f x f x ==-，只需统计11,23y y ==-与()y f x =的交点个数即可。
由奇函数可先做出0x >的图像，2x >时，()()122f x f x =-，则(]2,4x ∈的图像只需将(]0,2x ∈的图像纵坐标缩为一半即可。
正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。
通过数形结合可得共有7个交点 答案：B小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。
例5：若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6思路：()'232f x x ax b =++由极值点可得：12,x x 为2320x ax b ++= ①的两根，观察到方程①与()()()2320f x af x b ++=结构完全相同，所以可得()()()2320f x af x b ++=的两根为()()1122,f x x f x x ==，其中()111f x x =，若12x x <，可判断出1x 是极大值点，2x 是极小值点。
且()()2211f x x x f x =>=，所以()1y f x =与()f x 有两个交点，而()2f x 与()f x 有一个交点，共计3个；若12x x >，可判断出1x 是极小值点，2x 是极大值点。
且()()2211f x x x f x =<=，所以()1y f x =与()f x 有两个交点，而()2f x 与()f x 有一个交点，共计3个。
综上所述，共有3个交点 答案：A例6：已知函数()243f x x x =-+，若方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（ ）A. ()2,0-B. ()2,1--C. ()0,1D. ()0,2 思路：考虑通过图像变换作出()f x 的图像（如图），因为()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦最多只能解出2个()f x ，若要出七个根，则()()()121,0,1f x f x =∈，所以()()()121,2b f x f x -=+∈，解得：()2,1b ∈--答案：B例7：已知函数()xx f x e=，若关于x 的方程()()210fx mf x m -+-=恰有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A. ()1,22,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭ C.11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D.1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭思路：(),0,0x xxx ef x x x e ⎧≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，分析()f x 的图像以便于作图，0x ≥时，()()'1x f x x e -=-，从而()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，()11f e=，且当,0x y →+∞→，所以x 正半轴为水平渐近线；当0x <时，()()'1x f x x e -=-，所以()f x 在(),0-∞单调递减。
由此作图，从图像可得，若恰有4个不等实根，则关于()f x 的方程()()210fx mf x m -+-=中，()()12110,,,f x f x e e ⎛⎫⎛⎫∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而将问题转化为根分布问题，设()t f x =，则210t mt m -+-=的两根12110,,,t t e e⎛⎫⎛⎫∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()21g t t mt m =-+-，则有()20010111100g m m m g e e e >⎧->⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎛⎫-⋅+-=< ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩，解得11,1m e ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭ 答案：C小炼有话说：本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。
例8：已知函数()21,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则下列关于函数()()1y f f x =+的零点个数判断正确的是（ ）A. 当0a >时，有4个零点；当0a <时，有1个零点B. 当0a >时，有3个零点；当0a <时，有2个零点C. 无论a 为何值，均有2个零点D. 无论a 为何值，均有4个零点思路：所求函数的零点，即方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦的解的个数，先作出()f x 的图像，直线1y ax =+为过定点()0,1的一条直线，但需要对a 的符号进行分类讨论。
当0a >时，图像如图所示，先拆外层可得()()12210,2f x f x a =-<=，而()1f x 有两个对应的x ，()2f x 也有两个对应的x ，共计4个；当0a <时，()f x 的图像如图所示，先拆外层可得()12f x =，且()12f x =只有一个满足的x ，所以共一个零点。
结合选项，可判断出A 正确 答案：A例9：已知函数()()()232211,0231,31,0x x f x x x g x x x ⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=-+=⎝⎭⎨⎪-++≤⎩，则方程()0g f x a -=⎡⎤⎣⎦（a 为正实数）的实数根最多有___________个思路：先通过分析()(),f x g x 的性质以便于作图，()()'23632f x x x x x =-=-，从而()f x 在()(),0,2,-∞+∞单增，在()0,2单减，且()()01,23f f ==-，()g x 为分段函数，作出每段图像即可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选取()f x 能对应x 较多的情况，由()f x 图像可得，当()()3,1f x ∈-时，每个()f x 可对应3个x 。