灰色预测GM(1, 1)模型实现过程

灰色系统预测模型GM(1,1)实现过程

灰色系统预测模型GM(1,1) 1. GM(1,1)的一般形式

设有变量X (0)＝{X (0)(i)，i=1,2，...，n}为某一预测对象的非负单调原始数据列，为建立灰色预测模型：首先对X (0)进行一次累加(1—AGO, Acumulated Generating Operator)生成一次累加序列：

X (1)＝{X (1)(k )，k ＝1，2，…，n}

其中

X (1)(k )＝

∑

=k

i 1

X (0)(i)

＝X (1)(k －1)+ X (0)(k ) (1) 对X (1)可建立下述白化形式的微分方程：

dt

dX )1(十)

1(aX ＝u (2)

即GM(1,1)模型。

上述白化微分方程的解为(离散响应)： ∧

X (1)(k +1)＝(X (0)(1)－

a u )ak e -＋a

u

(3)

或

∧

X (1)(k )＝(X (0)(1)－a u ))1(--k a e ＋a

u (4) 式中：k 为时间序列，可取年、季或月。

2. 辩识算法

记参数序列为∧

a , ∧

a

＝[a,u]T ,

∧

a 可用下式求解:

∧

a ＝(B T B)-1B T Y n (5)

式中:B —数据阵；Y n —数据列

B ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++- 1 (n))X 1)-(n (X 21 ... 1 (3))X (2)X (211 (2))X (1)X (21(1)1(1)

(1)(1)

(1)）（－－ (6) Y n ＝(X (0)(2), X (0)(3),…, X (0)(ｎ))T (7)

3. 预测值的还原

由于GM 模型得到的是一次累加量，k ∈{n+1,n+2,…}时刻的预测值，必须将GM 模型所得数据∧X

(1)

(k +1)(或∧

X

(1)

(k ))经过逆生成即累减生成(I —AGO)还原为∧

X (0)(k +1)(或

∧

X (0)(k ))，即：

∧

X (1)

(k )＝∑=k

i 1

∧

X (0)(i)

＝

∑

-=1

1

k i ∧

X

(0)(i)＋∧

X (0)(k )

∧

X

(0)(k )＝∧

X

(1)(k )－

∑

-=1

1

k i ∧

X (0)(i)

因为∧

X

(1)(k -1)＝

∑

-=1

1

k i ∧

X

(0)(i)，所以∧

X (0)(k )＝∧

X (1)(k )－∧

X (1)(k -1)。

4. 灰色系统模型的检验

检验方法一：残差合格（相对误差）

定义：设原始序列

{})(,),2(),1()0()0()0()0(n x x x X =

相应的模型模拟序列为

{

}

)(ˆ,),2(ˆ),1(ˆˆ)0()0()0()0(n x x x X

= 残差序列

{})(),2(),1()0(n εεεε =

{

}

)(ˆ)(,),2(ˆ)2(),1(ˆ)1()0()0()0()0()

0()0(n x n x x

x x x ---= 相对误差序列

⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧=∆)()(,,)2()2(,)1()1()0()0()0(n x n x x εεε

{}n

k 1∆=

1.对于k ＜n,称)

()

()0(k x k k ε=

∆为k 点模拟相对误差，称)

()

()0(n x n n ε=

∆为滤波相对误差，

称∑=∆=∆n

k k n 1

1为平均模拟相对误差；

2.称∆-1为平均相对精度，n ∆-1为滤波精度；

3.给定α，当α<∆，且α<∆n 成立时，称模型为残差合格模型。 检验方法二：关联合格

定义：设)

0(X 为原始序列，)

0(ˆX

为相应的模拟误差序列，ε为)

0(X 与)

0(ˆX

的绝对关

联度，若对于给定的00,0εεε>>，则称模型为关联合格模型。

检验方法三：均方差比合格、小误差概率合格

定义：设)0(X 为原始序列，)

0(ˆX

为相应的模拟误差序列，)

0(ε

为残差序列。

∑==n k k x n x 1

)

0()(1为)0(X 的均值，

21)0(2

1))((1x k x n s n k -=∑=为)0(x 的方差，

∑==n

k k n 1)(1εε为残差均值，

∑=-=n k k n s 122

2))((1εε为残差方差，

1. 称1

2s s

c =为均方差比值；对于给定的00>c ，当0c c <时，称模型为均方差比合格模

型。 2. 称()16745.0)(s k P

p <-=εε为小误差概率，

对于给定的00>p ,当0p p >时，称模型为小误差概率合格模型。

表1 精度检验等级参照表

精度等级

相对误差 关联度 均方差比值 小误差概率

一级 0.01 0.90 0.35 0.95 二级 0.05 0.80 0.50 0.80 三级 0.10 0.70 0.65 0.70 四级 0.20 0.60 0.80

0.60

一般情况下，最常用的是相对误差检验指标。

5. GM(1,1)预测应用举例

设原始时间序列为：{}

)5(),4(),3(),2(),1()0()0()0()0()0()

0(x x x x x X

=

()679.3,390.3,337.3,278.3,874.2=

建立GM(1,1)模型，并进行检验。 解：1）对)0(X

作1-AGO ，得

[D 为)

0(X 的一次累加生成算子，记为1-AGO]

{

}

)5(),4(),3(),2(),1()1()1()1()1()1()

1(x x x x x X

= ()558.16,579.12,489.9,152.6,874.2=

2)对)

1(X

作紧邻均值生成，令

)1(5.0)(5.0)()1()1()1(-+=k x k x k Z

{}

)5(),4(),3(),2(),1()1()1()1()1()1()1(z z z z z Z =

()718.14,84.11,820.7,513.4,874.2=

于是，