《热力学与统计力学》

《热力学与统计力学》作业
一. 填空题
1. 准静态过程是指过程进行的________，使得其每一步都可看作是__________。
2. 自然界与热现象有关的一切实际宏观过程都是____________过程，无摩擦的准静态过程是_____ 过程。
3. 二级相变的特征是：相变时两相的化学势及其________连续，但_______不连续。
n0
e / 2 1 e
；
U
3N
ln
Z1
3N
2
3N e 1
3. 解：T＝0K 时
f=1
ε＜μ0
f=0
ε＞μ0
μ0 是 0K 是电子的最大能量，由下式确定：
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0 4V
0 h3
(2m)2/3 1/ 2d
N
2
则与温度有关的内能为U
N 有效
3 kT 2
3Nk 2T 2 20
，电子气对热容量的贡献为 CVe
T
。
(2)在常温下, 由于 kT 1 ，所以电子气对金属热容量的贡献很小。 0
3. 大致画出固体热容量随温度变化的曲线（(1)经典理论；(2)爱因斯坦理论；(3)德拜理论），并简述固体的
三种理论模型。
与________无关。
19. 物理量可分为广延量和强度量。压强是______量，质量是______量。
20. 自由粒子在体积 V，能量ε－ε+dε中的量子态数为__________。
21. μ 空间中得一个代表点表示_____________。
Γ 空间中得一个代表点表示_____________。
8. 熵增加原理是说，对于绝热过程，系统的熵_____________________________。
9. 三维自由粒子在体积 V，能量ε—ε+dε中的微观态数为__________________________。
10. 统计系综是指_____________________________________________________。
S
＝P T
0
S V
3. T V S 1； V S S T T V
T V
S
T T S
S V
T
T CV
p T
V
T
4.
T p
H
p H
T
H T
Baidu Nhomakorabea
p
1 ;
T p
H
H p
T
H T p
又，
Cp
H T
; p
H p
T
V
T
V T
，代入上式后，原题得证。 p
可得
S T
p
S T
V
S V
T
V T
p
Cp
CV
T
S V
T
V T
p
，
利用麦氏关系
结果得证。
S V
T
p T
V
四. 计算题 1. 试由玻色－爱因斯坦分布导出黑体幅射的普朗克公式。 2. 设固体可视为由 3N 个近独立的可辩一维谐振子所组成, 频率均为ν，其能级为 En =(n+1/2) hν (n = 0, 1, 2, ... , ...), 其中，n 是振动量子数。求振子的配分函数和固体的内能。 3. 由费米分布导出 T=0K 时电子的最大能量（即费米能量）。 4. 今有由 A 和 B 两种分子组成的混合理想气体，处于平衡态。试用正则分布证明混合理想气体的状态方程
2/3
5.
解： Z1 V
2 m h 2
利用热力学得，U
N
ln Zl
＝3NkT；
S
Nk ln
Zl
ln Z
3 2
Nk
lnT
Nk
lnV
3 2
Nk
1
ln
2 mk h2
和
p
N
V
ln Zl
NkT V
6. 解：在极端相对论条件下，电子的动量能量关系为ε＝c p 。
在体积 V 内，能量在ε到ε+dε范围内，电子的量子态数为
11. 玻色和费米统计过渡到玻尔兹曼统计的条件是___________。
12. 热力学第二定律的数学表达式是____________。
13. 克拉泊龙方程是描述相平衡曲线的________的方程， 其表达式为_________。
14. 由 HO2、NaCl 和 BaCl2 组成的系统，处在气相、液相和一个固相共存的平衡态中，它的独立强度量个数
曲线如图所示。
25
20
(1)经典：固体视为 3N 个线性谐振子的集合，遵守能均分定律； 15
(2)爱因斯坦：固体视为 3N 个频率相同的线性谐振子的集合，遵守量子规 10
律；
5
(3)德拜：固体视为 3N 个频率不相同的线性谐振子的集合，遵守量子规律。
0.5
1
1.5
2
4. 试说明卡诺循环效率公式的意义。
场等。
2. 试用定性与半定量方法说明电子气的热容量与温度 T 成正比，并说明在常温下电子气对金属热容量贡献
很小的原委。
(1)由于电子是费米子，遵守泡利不相容原理，所以在常温下只有受热激发跃迁到较高能级上的少数电子对
热容量有贡献，设其数量为 N 有效，它与总电子数 N 之比为 N有效 ＝kT ，设每个有效电子对能量的贡献为 3 kT ，
g( )d 8V 2d (ch) 3
考虑到 T=0K 时的电子分布函数
f ＝1
ε≤μ0
f ＝0
ε≥μ0
费米能量由下式决定
N
f ( )g( )d
g( )d
8V (ch)3
0
2d
8V (ch)3
1 3
03
0
0
0
由上式得
0
hc
3N 8V
1/ 3
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N
将上式积分，得
0
h2 3
2m
8
N V
2/3
4. 解： Z Z AZ B
ZA
Z1NAA N A!
V NA N A!
2m A kT h2
3NA /2
ZB
Z
NB 1B
NB!
V NB
NB!
2mB kT h2
3NB /2
由
ln Z
ln
Z
A
ln
ZB
和
p
kT
V
ln
Z
，得
pV (N A NB )kT
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为 pV (N A N B )kT ,
其中，P 为气体压强，NA 和 NB 为两种气体的分子数。 5. 试由玻尔兹曼分布导出理想气体的内能，熵和状态方程。 6. 试求在极端相对论条件下（ε=cp），自由电子气体在 0K 时的费米能量和内能。 7. 已知量子谐振子的能量可能值为
n
(n
1 ) 2
(n = 0,1,2,......)
其中，n 是振动量子数，求振子的配分函数。
8. 用正则分布的能量涨落公式，求单原子分子理想气体的能量涨落。
9. 考虑一极端相对论性理想气体，粒子的静止质量可忽略，能量动量关系为 ε=cp。其中，
c 为光速，p 为粒子的动量，求气体的物态方程、内能和熵。 10. 已知极端相对论性电子的能量 = c p，试求 T=0K 时电子气的内能 U0 和费米能级 μ0。
5. dU TdS pdV
U p
T
T
S p
T
p
V p
T
T
V
T
p
p
V p
T
6. dU=TdS-pdV, 设 S=S(T,V),
dS
S T
V
dT
S V
T
dV
dU
CV dT
T
p T
V
pdV
7. 证： 设 S(T, p) S(T, (V (T, p)) ，
30. 不变、增加 31. Ｔ、ｐ 32. 等焓 33. 最大能量 34. 玻色
二. 简述题
1. 近独立粒子的最概然统计包含那三种统计分布？它们各自处理什么系统？试分别举例说明。
近独立粒子的最概然分布包括玻耳兹曼分布、费米分布和玻色分布，它们分别处理定域子系统、费米子系统
和玻色系统。定域子系统的例子有固体等，费米子系统的例子金属中的电子气等，玻色子系统的例子与辐射
22. 能量均分定理说：对于处在温度为 T 的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个________的平均值等于
____________。
23. 根据可逆过程的定义，无摩擦的准静态过程是______________过程。
24. 在____和_____条件下，系统中发生的不可逆过程总是朝着吉布斯函数减小的方向进行。
29. 孤立系统的_______________性质不随____________变化的状态称为热力学平衡态。
30. 对于绝热的可逆过程，系统的熵_________；对于绝热的不可逆过程，系统的熵_______。
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11. 某复合系统有 A 和 B 两个子系组成，A,B 之间仅有微弱相互作用，于是整个系统的能量可
写为：E=EA+EB。试由正则分布证明复合系统的熵具有可加性，即 S=SA+SB。 12. 如果黑体辐射只占满二维空间，面积为 A，在温度 T 时达到平衡，试导出二维空间的普朗克公式。
1.
解：对于光子气体，α＝0，
答：卡诺循环效率公式的意义如下：
(1) 为提高实际热机效率指明了方向，即要提高高温热源温度，降低低温热源温度；
尽量减少摩擦和漏热。
（2）由于卡诺循环效率公式与工质无关，所以为引入绝对热力学温标奠定了基础
5. 答：热力学第零定律的意义有两点：
（1）定义了温度，即温度是达成热平衡的诸热力学系统的共同宏观性质；
4. 焓的定义式是_________, 其物理意义是_____________。
5. 热力学第二定律的克劳修斯表述是： _____________。
6. 玻尔兹曼关系式为___________。由此知，熵是系统____________的量度。
7. 特性函数是指当__________选择自变量时，能够表达系统__________的函数。
25. 自由能 F 在以______和________为自变量时是特性函数。
26. 气体经绝热自由膨胀后，其态函数_________保持不变。
27. 某种刚性双原子分子的理想气体处于温度为 T 的平衡态，则分子的平均总能量为________。
28. 绝对零度时电子的最大能量称为___________________。
9. D( )d
2V h3
(2m)3/ 2 1/ 2d
10.大量的性质完全相同的系统的集合 11. e-α<< 1 12. dS≥dQ/dT
13. 斜率 dP
L
dT T (v2 v1 )
14. 2
15. 力学参量、几何参量、化学参量、电磁参量
16. 不可逆的 可逆的
17. ωl/al>>1 18. 相等 ， 工作物质无关 19. 强度 ， 广延
由 B-E 统计有
al
l el 1
在 p-p+dp 内，光子的量子态数为
8 V h3
p 2 dp
在ω－ω＋dω内，光子的量子态数为
V 2c
3
2
d
平均光子数为 V 2c3
2d e / kT 1
辐射场的内能为
U(,T )d
V 2c3
3d e / kT 1
2. 解：
Z1
e (n1/ 2)
20.
2V h3
(2m)3/ 2 1/ 2d
21. 粒子在某一时刻的运动状态 系统在某一时刻的运动状态
22. 平方项 1 kT 2
23. 可逆
24. 温度、压强
25. T、ｐ
26. H。
27. 5KT/2
28. 费米能量
29. 宏观性质、时间
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是___________。
15. 描述平衡态的状态参量有四类，它们分别是
、______、______、______。
16. 自然界的一切实际宏观过程都是_______过程，无摩擦的准静态过程是_______过程。
17. 量子统计过渡到玻尔兹曼统计的条件是__________。
18. 卡诺定理指出：工作于相同的高温热源和相同的低温热源之间的一切可逆机，其效率都____,
31. 吉布斯函数 G 在以______和________为自变量时是特性函数。 32. 根据热力学分析知，节流过程是_____________过程。 33. 费米能量是绝对零度时电子的________________能量。 34. 光子气体服从_____________分布。 1. 非常缓慢，平衡态 2. 不可逆，可逆 3. 一级偏导，二级偏导 4. H=U+PV，（dQ）P = dH 5. 不可能将热量从低温物体传到高温物体而不产生任何其他影响 6. S＝klnΩ，混乱度 7. 适当，所有热力学性质 8. 永不减少
（2）为制造温度计提供了依据。
三. 证明题
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1. dH TdS VdP 2． dU TdS PdV
H T S V = T V V
P T P T
T P
U
S V
U
V U