几何多结论选择题
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【1】.(2013•齐)在锐角三角形ABC中,AH是BC边上的高,分别以AB、AC为一边,向外作正方形ABDE和ACFG,连接CE、BG和EG,EG与HA的延长线交于点M,下列结论:①BG=CE;②BG⊥CE;③AM是△AEG的中线;④∠EAM=∠ABC,其中正确结论的个数是()A.4个B.3个C.2个D.1个
考点:全等三角形的判定与性质;正方形的性质.
专题:压轴题.
分析:根据正方形的性质可得AB=AE,AC=AG,∠BAE=∠CAG=90°,然后求出∠CAE=∠BAG,再利用“边角边”证明△ABG和△AEC全等,根据全等三角形对应边相等可得BG=CE,判定①正确;设BG、CE相交于点N,根据全等三角形对应角相等可得∠ACE=∠AGB,然后求出∠CNG=90°,根据垂直的定义可得BG⊥CE,判定②正确;过点E作EP⊥HA的延长线于P,过点G作GQ⊥AM于Q,根据同角的余角相等求出∠ABH=∠EAP,再利用“角角边”证明△ABH和△EAP全等,根据全等三角形对应角相等可得∠EAM=∠ABC判定④正确,全等三角形对应边相等可得EP=AH,同理可证GQ=AH,从而得到EP=GQ,再利用“角角边”证明△EPM和△GQM全等,根据全等三角形对应边相等可得EM=GM,从而得到AM是△AEG的中线.
解答:解:在正方形ABDE和ACFG中,AB=AE,AC=AG,∠BAE=∠CAG=90°,
∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC,即∠CAE=∠BAG,∵在△ABG和△AEC中,AB=AE,∠CAE =∠BAG, AC=AG,∴△ABG≌△AEC(SAS),∴BG=CE,故①正确;
设BG、CE相交于点N,∵△ABG≌△AEC,∴∠ACE=∠AGB,∵∠NCF+∠NGF=∠ACF+∠AGF=90°+90°=180°,∴∠CNG=360°-(∠NCF+∠NGF+∠F)=360°-(180°+90°)=90°,∴BG⊥CE,故②正确;过点E作EP⊥HA的延长线于P,过点G作GQ⊥AM于Q,∵AH⊥BC,∴∠ABH+∠BAH=90°,∵∠BAE=90°,∴∠EAP+∠BAH=180°-90°=90°,∴∠ABH=∠EAP,∵在△ABH和△EAP中,∠ABH=∠EAP,∠AHB=∠P=90°,AB=AE,∴△ABH≌△EAP(AAS),∴∠EAM=∠ABC,故④正确,EP=AH,同理可得GQ=AH,∴EP=GQ,∵在△EPM和△GQM中,∠P=∠MQG=90°,∠EMP=∠GMQ,EP=GQ,∴△EPM≌△GQM(AAS),∴EM=GM,∴AM是△AEG的中线,故③正确.综上所述,①②③④结论都正确.故选:A.
点评:本题考查了正方形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,在解答时作辅助线EP⊥HA的延长线于P,过点G作GQ⊥AM于Q构造出全等三角形是难点,运用全等三角形的性质是关键.
【2】.(2012•)Rt△ABC中,AB=AC,点D为BC中点.∠MDN=90°,∠MDN绕点D旋
转,DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点.下列结论:
①CE=BD;②△ADC是等腰直角三角形;③∠ADB=∠AEB;④CD=EF.一定正确的结论有()A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
考点:等腰直角三角形;等腰三角形的判定与性质;平行四边形的性质.
专题:证明题.
分析:①利用SAS证明△BAD≌△CAE,可得到CE=BD,
②利用平行四边形的性质可得AE=CD,再结合△ADE是等腰直角三角形可得到△ADC是等腰直角三角形;
③利用SAS证明△BAE≌△BAD可得到∠ADB=∠AEB;
④由②△ADC是等腰直角三角形和四边形ACDE是平行四边形,可得EF=CF,AF=DF,所以得△CFD为等腰直角三角形且∠CFD=90°,即得CD≠CF,即CD≠EF.
解答:解:①∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,即:∠BAD=∠CAE,∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∴AB=AC,AE=AD,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴CE=BD,∴故①正确;②∵四边形ACDE是平行四边形,∴∠EAD=∠ADC=90°,AE=CD,∵△ADE都是等腰直角三角形,∴AE=AD,∴AD=CD,∴△ADC是等腰直角三角形,
∴②正确;③∵△ADC是等腰直角三角形,∴∠CAD=45°,∴∠BAD=90°+45°=135°,∵∠EAD=∠BAC=90°,∠CAD=45°,∴∠BAE=360°-90°-90°-45°=135°,又AB=AB,AD=AE,∴△BAE≌△BAD(SAS),∴∠ADB=∠AEB;故③正确;
④已知四边形ACDE是平行四边形,∴EF=CF,AF=DF,又证得②△ADC是等腰直角三角形,∴△CFD为等腰直角三角形且∠CFD=90°,∴CD≠CF,即CD≠EF,故④CD=EF错误;所以一定正确的结论有①②③,故选A.
点评:本题主要考查了全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质及等腰三角形的判定与性质,注意细心分析,熟练应用全等三角形的判定以及平行四边形的性质及等腰三角形的判定与性质,是解决问题的关键.
【3】.如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,四边形ACDE
是平行四边形,连接CE交AD于点F,连接BD交CE于点G,连接BE,下列结论中:
①CE=BD;②△ADC是等腰直角三角形;③∠ADB=∠AEB;④CD•AE=EF•CG.
【分析】
①利用SAS证明△BAD≌△CAE,可得到CE=BD,
②利用平行四边形的性质可得AE=CD,再结合△ADE是等腰直角三角形可得到△ADC是等腰直角三角形;
③利用SAS证明△BAE≌△BAD可得到∠ADB=∠AEB;
④利用得出∠GFD=∠AFE,以及∠GDF+GFD=90°,进而得出△CGD∽△EAF,得出比例式.【解答】
①∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,即:∠BAD=∠CAE,∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∴AB=AC,AE=AD,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴CE=BD,∴故①正确;
②∵四边形ACDE是平行四边形,∴∠EAD=∠ADC=90°,AE=CD,
∵△ADE都是等腰直角三角形,∴AE=AD,∴AD=CD,∴△ADC是等腰直角三角形,∴②正确;③∵△ADC是等腰直角三角形,∴∠CAD=45°,∴∠BAD=90°+45°=135°,
∵∠EAD=∠BAC=90°,∠CAD=45°,∴∠BAE=360°-90°-90°-45°=135°,又AB=AB,AD=AE,∴△BAE≌△BAD(SAS),∴∠ADB=∠AEB;故③正确;④∵△BAD≌△CAE,
△BAE≌△BAD,∴△CAE≌△BAE,∴∠BEA=∠AEC=∠BDA,∵∠AEF+∠AFE=90°,
∴∠AFE+∠BEA=90°,∵∠GFD=∠AFE,∴∠GDF+GFD=90°,∴∠CGD=90°,
∵∠FAE=90°,∠GCD=∠AEF,∴△CGD∽△EAF,∴CD/EF=CG/AE,∴CD•AE=EF•CG.故④正确,故正确的有4个.
【4】.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=45°,CD=2,BD⊥CD.过点C作CE⊥AB 于E,交对角线BD于F,点G为BC中点,连接EG、AF.
(1)求EG的长;(2)求证:CF=AB+AF.
解答:1)解:∵BD⊥CD,∠DCB=45°,∴∠DBC=45°=∠DCB,∴BD=CD=2,在Rt△BDC 中BC= DB2+CD2 =2 2 ,∵CE⊥BE,点G为BC的中点,∴EG=1 2 BC= 2 .答:EG的长是 2 .
2)证明:在线段CF上截取CH=BA,连接DH,∵BD⊥CD,BE⊥CE,∴∠EBF+∠EFB=90°,∠DFC+∠DCF=90°,∵∠EFB=∠DFC,∴∠EBF=∠DCF,∵DB=CD,BA=CH,∴△ABD≌△HCD,∴AD=DH,∠ADB=∠HDC,∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC=45°,∴∠HDC=45°,∴∠HDB=∠BDC-∠HDC=45°,∴∠ADB=∠HDB,∵AD=HD,DF=DF,∴△ADF≌△HDF,∴AF=HF,∴CF=CH+HF=AB+AF,∴CF=AB+AF.
(解法二)
证明:延长BA与CD延长线交于M,∵△BFE和△CFD中,∠BEF=∠CDF=90°,∠BFE=∠CFD,∴∠MBD=∠FCD,∵△BCD中∠DCB=45°,BD⊥CD,∴BD=CD,△BMD和△CFD中,∵BD=CD,∠BDM=∠CDF=90°,∠MBD=∠FCD,∴△BMD≌△CFD,∴CF=BM=AB+AM,DM=DF,∵AD∥BC,∠ADF=∠DBC=45°∠BDM=90°,∴∠ADM=∠ADF=45°,∴△AFD≌△AMD,∴AM=AF,∴CF=BM=AB+AM=AB+AF,即CF=AB+AF.
【5】. (2009•)如图,△ABC与△AEF中,AB=AE,BC=EF,∠B=∠E,AB交EF于D.给出下列结论:①∠AFC=∠C;②DE=CF;③△ADE∽△FDB;