频域卷积定理证明
傅里叶变换性质证明
傅里叶变换性质证明性质一：线性性质F[a*f(t)+b*g(t)]=a*F[f(t)]+b*F[g(t)]其中F表示傅里叶变换。
这个性质的证明非常简单，我们只需将傅里叶变换的定义代入到等式中即可。
性质二：时移性质时移性质指的是时域上的移动会导致频域上的相位变化。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[f(t - a)] = e^(-2πiaω) * F[f(t)]其中a是常数，ω是角频率。
这个性质的证明可以通过将f(t-a)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。
性质三：频移性质频移性质指的是频域上的移动会导致时域上的相位变化。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[e^(2πiaω0) * f(t)] = F[f(t - a)]其中a是常数，ω0是角频率。
这个性质的证明可以利用傅里叶变换的定义以及欧拉公式进行推导。
性质四：尺度变换性质尺度变换性质指的是时域上的信号缩放会导致频域上的信号压缩。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[f(a*t)]=，a，^(-1)*F[f(t/a)]其中a是常数。
这个性质的证明可以通过将f(a*t)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。
性质五：卷积定理卷积定理是傅里叶变换中最重要的性质之一、它指出卷积在频域上等于两个函数的傅里叶变换的乘积。
设f(t)和g(t)是两个函数，f(t)*g(t)表示它们的卷积，F[f(t)]和F[g(t)]表示它们的傅里叶变换，则有：F[f(t)*g(t)]=F[f(t)]*F[g(t)]其中*表示卷积，乘法表示两个函数的傅里叶变换的乘积。
这个性质的证明可以通过将卷积展开成积分形式，然后利用傅里叶变换的定义进行推导得到。
以上是傅里叶变换的几个重要性质及其证明。
这些性质使得傅里叶变换具有很强的分析和应用能力，在信号处理、图像处理、通信等领域得到广泛应用。
这些性质的正确性和证明对于理解和应用傅里叶变换非常重要。
卷积定理证明
卷积定理证明卷积定理是数字信号处理中的重要定理，它表明了时域卷积可以转换为频域乘积。
具体的定理表述如下：设x(n)、y(n)为有限长离散时间信号，它们的长度为N，Z为离散时间复频率单位周期，那么它们的离散卷积为：x(n)*y(n)=∑（k=0~N-1）x(k)y(n-k) (1)其离散傅里叶变换为：DFT[x(n)*y(n)]=X(k)Y(k)(2)其中X(k)和Y(k)分别为x(n)和y(n)的DFT系数。
证明：为了证明卷积定理，我们需要用到离散傅里叶变换（DFT）的性质：DFT[∑（n=0~N-1）x(n)y(n)]=X(k)Y(k)也就是说，如果我们将时域中的卷积转换为频域中的乘积，那么对于一个周期N 的离散序列，在频域中的DFT变换结果是两个序列的DFT系数的乘积。
这一性质是离散傅里叶变换的基本理论之一，在这里不再做深入的讨论。
我们现在考虑两个序列x(n)和y(n)的卷积，它的离散傅里叶变换为：DFT[x(n)*y(n)]=∑（k=0~N-1）DFT[x(k)y(n-k)]根据DFT的性质，我们可以将上面的式子改写为：DFT[x(n)*y(n)]=∑（k=0~N-1）X(k)Y(n-k)进行下面的变换：∑（k=0~n）X(k)Y(n-k)+∑（k=n+1~N-1）X(k)Y(n-k)根据卷积的定义，式子左侧的第一项实际上就是x(n)和y(n)的卷积，因此可以将它改写为：∑（k=0~n）x(k)y(n-k)同样，式子左侧的第二项可以改写为：∑（k=0~N-1）x(k)y(n-k)-∑（k=0~n）x(k)y(n-k)因此，前一项等式右侧就是DFT[x(n)*y(n)]，后一项可以继续变换为：∑（k=n+1~N-1）x(k)y(n-k)这样就得出了卷积定理的证明：∑（k=0~N-1）X(k)Y(n-k)=DFT[x(n)*y(n)]。
§3.8 卷积特性(卷积定理)
二．卷积定理的应用
用时域卷积定理求频谱密度函数。 例3-8-1 用时域卷积定理求频谱密度函数。
的傅里叶变换。 求∫ f (τ ) dτ的傅里叶变换。
t −∞
∫ f (τ )dτ = ∫ f (τ )u(t −τ )dτ
t
∞
1 F(ω) ∫−∞ f (τ )dτ ↔F(ω) ⋅ πδ(ω) + jω =π F(0)δ (ω) + jω 求系统的响应。 求系统的响应。 f (t) g(t )
f1(t )
E
Eτ
F (ω) 1
−
τ
2
O
τ2t−Fra bibliotek2π 0
E2τ
f1(t ) ∗ f1(t )
τ
E2τ 2
τ F(ω)
2π
4π
τ
ω
−τ
O
τ
t
−
2π o
τ
2π
ω
τ
返回
•频域卷积定理 若 f1 (t ) ↔ F (ω), f2 (t ) ↔ F2 (ω) 1 1 则 f1(t ) ⋅ f2 (t ) ↔ F (ω) ∗ F2 (ω) 1 2 π 1 π 时间函数的乘积 ↔各频谱函数卷积的 2 倍。 卷积定理揭示了时间域 频率域的运算关系 时间域与 的运算关系， 卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信 系统和信号处理研究领域中得到大量应用。 系统和信号处理研究领域中得到大量应用。
∞
因此
−∞
卷积 定义
∞ f (τ ) f (t −τ ) dτ e−jω t dt F[ f1 (t ) ∗ f2 (t )] = ∫−∞ ∫−∞ 1 2
∞
∞ f (t −τ )e−jωt dt dτ = ∫ f1(τ ) ∫ 2 −∞ −∞
杨晓非信号与系统第3章(2)
f (t ) (t nT ) f (t ) T (t )
n
14
3-3 抽样定理
F(j) 引例：信号数字处理
(Sampling theorem)
S(j)
开关 信号
一、抽样(采样、sampling)： 利用开关信号s(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程。
11
例：图（a）所示系统，频率特性如图(b)所示，求响应y(t)。其中
f (t ) 2 4 cos5t 4 cos10t
【解】
方法1：
H ( j 0) 1
1 H ( j 5) 2
(a)
(b)
H ( j10) 0
y(t ) 2 2 cos5t
方法2： f (t )
t
8
j j 2 t j j 2 t 1 y (t ) 1 e e 1 sin 2t 2 2
3.2 连续时间LTI系统对复指数信号的响应
f(t)
LTI系统 H(p)
t
y(t)
f (t ) e
y f (t ) f (t )* h(t ) h(t )* f (t ) h( ) f (t )d
1 Fs ( j) F ( j) * S ( j) f s (t ) f (t ) s(t ) 2 f (t )的全部信息？ 需解决的问题： f s (t )能否包含
Fs ( j)与F ( j)的关系？
如何进行抽样？
15
复习：周期信号的傅立叶变换
fT (t )
两边同取傅立叶变换
解：
1 H ( j ) 2 j
F ( j )
信号与系统7-2卷积定理课件
一般的求法：f (t) f (t) y(t)，先求 y(t)的频谱Y ( j)
t y(t)dt Y ( j) Y (0) ()
j
其中：
Y (0)
y(t)dt f (t)dt f (t) f () f ()
t y(t)dt Y ( j) [ f () f ()] ()
3
时域微分和积分性质
时域微分性质
df (t) jF ( j)
dt
时域积分性质
f (n) (t) ( j)n F( j)
当 F(0) F( j) f (t)dt 0 时，
0
t f ( )d F( j)
j
f (n) (t) 1 F ( j ) ( j)n
4
时域微积分性质的公式
已知：
G
(t
)
Sa(
2
)
，根据对偶性：
Sa(
t
2
)
2
G
(
)
将
换成2c，得：
C
Sa(Ct)
G2c
( )
又已知： cos0t [ ( 0 ) (
Sa(Ct)
0 )]
C
G2c
( )
根据频域卷积定理：
f
(t)
1
2
ห้องสมุดไป่ตู้
C
G2C
() [ (
0 )
(
0 )]
f
(t)
2C
[G2C
(
0 )
G2C
(
0 )]
cos
2
t
[
(
2
)
(
2
)]
根据频域卷积定理：
1
cos
3.8 卷积特性(卷积定理)
一、时域抽样
FT [ f s (t )] = Fs (ω ) FT [ f (t )] = F (ω ) FT [ p (t )] = P(ω )
f s (t ) = f (t ) p ((ω ) P(ω ) 2π
P(ω) = 2π ∑Pδ (ω nωs ) n
π π πt FT [cos( )] = π [δ (ω + ) + δ (ω )] τ τ τ
2
2
1 πt F (ω ) = G (ω ) FT [cos( )] 2π τ
G (ω ) = Eτ Sa (
ωτ
2
)
πt π π FT [cos( )] = π [δ (ω + ) + δ (ω )] τ τ τ
1
ω1 ω 0
0 ω2 ω0
ω0
2ω 0 ω 0 + ω1 ω 0 + ω 2
ω
10
ω2 ω0
ω1
ω1
ω0
ω2
1 FT[ f (t) cosω1t] = [F(ω +ω1) + F(ω ω1)] 2
1 2
ω1 ω 2 2 ω 1 ω 1 ω1 ω 2
0
ω 2 ω1 ω 1
2 ω 1 ω1 + ω 2
6
∫
∞
∞
F (ω )
2 sin ω
ω
e
j 2ω
dω = ?
F (ω) = F(ω) 1
2sin ω
ω
e j 2ω
f1(t) = f (t) FT 1[2Sa(ω)e j 2ω ]
∫
∞
∞
F(ω)
1
2sin ω
证明二维函数的卷积定理
证明二维函数的卷积定理卷积定理是线性时不变系统中的一个基本定理，它描述了卷积在时域与频域之间的转换关系。
在二维函数中，卷积定理同样适用，它告诉我们在二维空间中的卷积操作可以通过对应的傅里叶变换来实现。
在本文中，我们将详细讨论并证明二维函数的卷积定理。
首先，我们先简单回顾一下一维函数的卷积定理。
对于两个一维函数f(x)和g(x)的卷积运算，定义为：(f * g)(x) = ∫f(t)g(x-t)dt其中，符号*表示卷积操作。
根据卷积的定义，我们可以将其进行傅里叶变换。
利用傅里叶变换的线性性质以及卷积操作的定义，可以得到卷积定理的表达式：F(f * g)(ω) = F(f)(ω)F(g)(ω)其中，F表示傅里叶变换的操作，ω是频域上的变量。
这个定理告诉我们，在频域上，两个函数的卷积等于它们的傅里叶变换的乘积。
接下来，我们来证明二维函数的卷积定理。
对于两个二维函数f(x, y)和g(x, y)的卷积运算，定义为：(f * g)(x, y) = ∬f(u, v)g(x-u, y-v)dudv其中，符号*同样表示卷积操作。
我们的目标是证明，在频域上，二维卷积等于两个函数的傅里叶变换的乘积。
首先，我们将两个二维函数分别进行傅里叶变换，得到它们的频域表达式：F(f)(ω1, ω2) = ∬f(x, y)e^(-j(ω1x+ω2y))dxdyF(g)(ω1, ω2) = ∬g(x, y)e^(-j(ω1x+ω2y))dxdy其中，F表示傅里叶变换的操作，ω1和ω2是频域上的变量。
接下来，我们将二维卷积运算在频域中进行，得到：F(f * g)(ω1, ω2) = ∬(f * g)(x, y)e^(-j(ω1x+ω2y))dxdy将卷积运算的定义带入上式，得到：F(f * g)(ω1, ω2) = ∬∬f(u, v)g(x-u, y-v)e^(-j(ω1x+ω2y))dudv重新调整积分顺序，得到：F(f * g)(ω1, ω2) = ∬∬f(u, v)g(x-u, y-v)e^(-j(ω1(x-u)+ω2(y-v)))dudv进一步变换，可得：F(f * g)(ω1, ω2) = ∬∬f(u, v)g(x-u, y-v)e^(-j(ω1u+ω2v))e^(-j(ω1x+ω2y))dudv根据傅里叶变换的性质，我们可以将上式中的第一个傅里叶变换重新表达为F(f)(ω1, ω2)，第二个傅里叶变换重新表达为F(g)(ω1, ω2)，得到：F(f * g)(ω1, ω2) = F(f)(ω1, ω2)F(g)(ω1, ω2)这个结果和一维情况下的卷积定理非常相似，告诉我们在频域上，二维函数的卷积等于它们的傅里叶变换的乘积。
s域卷积定理
s域卷积定理S域卷积定理是信号处理中的一项重要定理，它描述了在频域中对两个信号的乘积进行变换后，等于这两个信号分别在时域中进行卷积之后的结果。
在本文中，我将详细介绍S域卷积定理的定义、表达式以及其在信号处理中的应用。
S域卷积定理是基于傅里叶变换的，因此在介绍S域卷积定理之前，我们需要了解一些傅里叶变换的基本概念。
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，可以将一个信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波。
傅里叶变换的表达式如下：F(s) = ∫[−∞,+∞] f(t)e^(-st) dt其中，F(s)为信号f(t)的傅里叶变换，s为复数变量，e^(-st)为指数函数。
根据傅里叶变换的定义，S域可以表示为复变量s的平面，其中实轴代表频率，虚轴代表衰减系数。
在S域中，两个信号的乘积可以表示为傅里叶变换的卷积，即：F(1) * F(2) = ∫[−∞,+∞] f(1)(t)f(2)(τ) e^(-sτ) dτ其中，F(1)和F(2)分别为信号f(1)和f(2)的傅里叶变换。
根据以上表达式，我们可以得出S域卷积定理的定义：在S域中，两个信号的乘积的傅里叶变换等于这两个信号分别在时域中进行卷积后的结果的傅里叶变换。
这个定理的重要性在于，它提供了在频域中处理信号的一种有效方法，使得我们可以将复杂的卷积操作转换为简单的乘积操作。
S域卷积定理在信号处理中有着广泛的应用。
首先，它可以用于解决卷积运算的计算问题。
在时域中进行复杂的卷积计算往往非常耗时，而在S域中进行乘积运算则更加简便。
通过将信号进行傅里叶变换转换到S域，进行乘积运算后再进行逆傅里叶变换，可以快速得到卷积结果。
其次，S域卷积定理也可以应用于滤波器的设计。
在滤波器设计中，我们可以通过乘积的方式将输入信号与滤波器的频率响应进行卷积，从而获得滤波器的输出结果。
通过在S域中对输入信号和滤波器的频率响应进行傅里叶变换后进行乘积运算，再进行逆傅里叶变换，可以得到滤波器的时域响应。
时域卷积定理和频域卷积定理
时域卷积定理和频域卷积定理
时域卷积定理和频域卷积定理是信号处理领域中常用的两个定理，用于描述信号在时域和频域之间的卷积关系。
1. 时域卷积定理：
时域卷积定理表明，两个信号的卷积在时域中等于它们的傅里叶变换的乘积在频域中。
具体表达式如下：
若x(t)和h(t)的傅里叶变换分别为X(f)和H(f)，则它们的卷积y(t)的傅里叶变换Y(f)满足以下关系：
Y(f) = X(f) * H(f)
其中"*"表示频域中的乘积运算。
2. 频域卷积定理：
频域卷积定理则是时域卷积定理的逆定理，表明两个信号的乘积在时域中等于它们的傅里叶变换的卷积在频域中。
具体表达式如下：若x(t)和h(t)的傅里叶变换分别为X(f)和H(f)，则它们的乘积z(t)的傅里叶变换Z(f)满足以下关系：
Z(f) = X(f) · H(f)
其中"·"表示频域中的卷积运算。
时域卷积定理和频域卷积定理的应用通常涉及信号处理、滤波器设计、系统分析等领域。
通过在时域和频域之间进行变换，可以简化复杂信号处理问题的计算和分析过程，提高效率和准确性。
同时，这些定理也为我们提供了理解信号在时域和频域之间相互转换的基础框架。
卷积证明及研究卷积在时域-频域信号中的应用
研究卷积在时域-频域信号中的应用卷积定义：若已知函数()1f t ，()2f t ，称积分()()12d f f t τττ+∞-∞-⎰为函数()1f t ，()2f t 的卷积，记为()()12f t f t *，即()()()()1212d f t f t f f t τττ+∞-∞*=-⎰卷积积分是一种数学方法，它是沟通时域-频域的一个桥梁，在信号与系统的理论研究中占有重要的地位。
在很多情况下，卷积积分的计算比较困难，但是根据卷积的特性可以将卷积积分变成乘法运算，从而使信号分析人工化。
变成的乘法运算即若()(f)x t X ⇔ ()(f)y t Y ⇔ 则()()(f)Y(f)xt y t X *⇔，()()(f)Y(f)x t y t X ⇔*※现给出卷积定理在时域-频域中应用的证明 ()()()()1212d f t f t f f t τττ+∞-∞*=-⎰上式两边进行傅里叶变换，有 ()()()()j 1212d e d F t f t f t f f t t ωτττ+∞+∞--∞-∞⎡⎤=⎡⎤⎣*-⎢⎥⎣⎦⎦⎰⎰ 交换积分次序 ()()()()j 1212e d d F t f t f t f f t t ωτττ+∞+∞--∞-∞=⎡⎡⎤*-⎢⎥⎣⎤⎣⎦⎦⎰⎰()()j j ()12e e d()d t t f f t t ωωτττττ+∞+∞----∞-∞⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰根据时移特性，上式的中括号内的积分就是()2f t 的傅里叶变换，即 ()()()j 1212F e F ()d t f t f t f ωτωτ+∞--∞*=⎡⎤⎣⎦⎰()j 21F ()e d t f ωωττ+∞--∞=⎰同理，上式中的积分就是()1f t 的傅里叶变换，即()()122112F F ()F ()F ()F ()f t f t ωωωω*==⎡⎤⎣⎦ 因此，()()1212F ()F ()f t f t ωω*⇔总结：时域中的信号卷积，对应着频域乘积；而时域中的信号乘积，对应着频域卷积，即若()(f)x t X ⇔ ()(f)y t Y ⇔ 则()()(f)Y(f)x t y t X *⇔，()()(f)Y(f)x t y t X ⇔*。
dft频域循环卷积定理证明
dft频域循环卷积定理证明好啦，今天咱们来聊一聊 DFT频域循环卷积定理，嗯，听上去有点儿复杂对吧？但其实并没有想象的那么让人头疼。
你可以把它当成一道数学的“魔法题”，它的背后隐藏着一些挺有意思的规律，只要捋顺了，你会觉得它其实挺简单。
说实话啊，这个定理就像你在厨房里做菜，手头有了一个食材，突然发现原来可以加点其他的材料，最后结果不仅不怪异，反而更加丰富美味。
好，咱们先摆出基本情况，咱不急，慢慢聊。
先给你个简单的画面，你可能已经玩过《超级马里奥》之类的游戏，游戏的关卡不是分成了好多小部分吗？每一关就像是一个信号，而你通关的过程，就好比你在做卷积操作。
然后，游戏的最终效果，可以用频域来描述，频域可不是什么高大上的东西，它其实就是你“分拆”出来的，所有信号背后的频率成分。
如果把这些频率看作是“电台广播”，你就能理解在不同的频率下，信号之间是如何交织和混合的。
哎，咱们得先解释一下啥叫DFT（离散傅里叶变换）。
你知道傅里叶变换其实就是一种将信号从“时域”转到“频域”的工具。
可以想象，时域就像我们看世界的普通眼睛，频域呢，则是用“放大镜”来看你眼睛看不清的那些细节。
估计有些小伙伴已经有点迷糊了，这不怪你，咱们继续。
DFT，就是把信号给“拆解”到一个个频率的成分，然后把这些成分重新组合在一起，你会发现它的变化原来这么简单。
而卷积，就好比你在做某个任务时，要把“两个信号”揉合在一起，弄清楚它们怎么一起运作，最终产生什么结果。
在频域里，我们做的就是把两个信号的频率成分一一叠加、混合。
卷积操作往往是时域里的问题，但这也就带来了个小难题——频域里怎么来表示呢？好啦，接下来才是精彩的部分。
我们需要一个定理——DFT频域循环卷积定理，它告诉你，实际上，频域的卷积操作和时域的卷积操作是一样的。
也就是说，只要我们把信号转化到频域里，做的只是简单的“乘法”而非“卷积”，你看是不是特别妙？举个例子：假设有两个信号，你需要在时域里把它们合并在一起，你可能会想着这个过程很复杂吧，要一个个数值算过去。
函数的卷积及其公式的应用
函数卷积及其应用摘要 卷积是一个很重要的数学概念．它描述了对两个（或多个）函数之积进行变换的运算法则，是频率分析的最有效的工具之一。
本文通过对卷积的概念，性质，具体应用以及对卷积公式，卷积定理等方面进行较为全面和系统的论述和总结，使得对卷积的内涵有更全面更深刻的理解和认识。
关键词 卷积 卷积公式 性质 应用1引言卷积是在信号与线性系统的基础上或背景中出现的。
狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出了“冲击函数”这一符号，而卷积的诞生正是为了研究“冲击函数”服务的；卷积是一种数学积分变换的方法，也是分析数学中一种重要的运算。
卷积在物理学，统计学，地震预测，油田勘察等许多方面有十分重要的应用。
本文通过对卷积的概念，性质，应用等方面进行较为全面和系统的论述和总结，使得对卷积的内涵有更全面更深刻的理解和认识。
2卷积的定义和性质2.1卷积的定义（基本内涵）设:)(),(x g x f 是1R 上的两个可积函数，作积分:()()τττd x g f -⎰+∞∞- 随着x 的不同取值，这个积分就定义了一个新函数)(x h ，称为函数()x f 与)(x g 的卷积，记为)(x h =)()(x g x f * (或者()()x g f *) .注(1)如果卷积的变量是序列()()n h n x 和，则卷积的结果：∑+∞-∞=*=-=i n h n x i n h i x n y )()()()()(，其中星号*表示卷积。
当时序n=0时，序列h(-i)是)(i h 的时序i 取反的结果;时序取反使得)(i h 以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积.另外，n 是使)(i h -位移的量，不同的n 对应不同的卷积结果.（2）如果卷积的变量是函数)(t x 和)(t h ，则卷积的计算变为：)()()()()(t h t x dp p t h p x t y *=-=⎰+∞∞-，其中p 是积分变量，积分也是求和，t 是使函数)(p h -位移的量，星号*表示卷积.（3）由卷积得到的函数g f *一般要比g f 和都光滑.特别当g 为具有紧致集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积g f *也是光滑函数.2.2卷积的性质性质2.2.1（交换律）设)(x f ,)(x g 是1R 上的两个可积函数，则)()()()(x f x g x g x f *=*. 证 =*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-令τ-=x u ，则u x -=τ，τd du -= 所以=*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-=()()du u g u x f ⎰-∞∞+--=()()du u x f u g ⎰+∞∞--=)()(x f x g *性质2.2.2（分配律）设)(),(x g x f )(x h 是1R 上的三个可积函数，则()()[]x h x g x f +*)()()()()(x h x f x g x f *+*=.证 根据卷积定义()()[]x h x g x f +*)(=()()()[]ττττd x h x g f -+-⎰+∞∞-=()()τττd x g f -⎰+∞∞-+()()τττd x h f -⎰+∞∞-)()()()(x h x f x g x f *+*= 性质2.2.3（结合律）设)(),(x g x f )(x h 是1R 上的三个可积函数，则()()[]()x h x g x f **()()()[]x h x g x f **=.证 令()()=*=x g x f x m )(()()τττd x g f -⎰+∞∞-，()()()()()dv x h v x g x h x g x s ⎰+∞∞--=*=，则()()[]()x h x g x f **=()()x h x m *=()()du u x h u m -⎰+∞∞-=()()()du u t h d u g f -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰⎰+∞∞-+∞∞-τττ=()()τττd du u t h u g f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰⎰+∞∞-+∞∞-)(令v x u u x v -=-=则,，上式=()()τττd dv v h v x g f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰⎰+∞∞-+∞∞-)(=()()du u x s f -⎰+∞∞-τ=()()x s x f *()()()[]x h x g x f **=性质2.2.4 ()()x g x f x g x f *≤*)()(. 证明 =*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-≤()()τττd x g f -⋅⎰+∞∞-=()()x g x f *.性质2.2.5（微分性）设)(),(x g x f 是1R 上的两个可积函数，则())()()()()()(x g x f x g x f x g x f dxd'*=*'=*. 证明 ()()()()()τττττd h dxx df d dx x dg x f x g x f dx d⎰⎰∞+∞-∞+∞-=-=*-)()( 即())()()()()()(x g x f x g x f x g x f dxd'*=*'=* 意义 卷积后求导和先对其任一求导再卷积的结果相同.性质2.2.6（积分性） 设()()()x h x g x f *=，则()()()()()()()x h x g x h x g x f11)1(---*=*=.意义 卷积后积分和先对其任一积分再卷积的结果相同. 推广 ()()()()()()()()x h x g x h x g x fn n n *=*=.性质2.2.7（微积分等效性）设)(x f ,)(x g 是1R 上的两个可积函数，则()()ττd g x f x g x f x⎰∞-*'=*)()(.例2.1 设()0010≥<⎩⎨⎧=x x x f ，()000≥<⎩⎨⎧=-x x e x g x ，求()x g x f *)(.解 由卷积定义知()x g x f *)(=()()τττd x g f -⎰+∞∞-=()()t t t tx e e e d e-----=-=⋅⎰1110ττ例2.2 设函数()()()()()t e t f t t t f t μμμ-=--=21,3试计算其卷积()()()t f t f t y 21*=. 解 由卷积定义知()()()其他300131<<⎩⎨⎧=--=ττμτμτf()()()tte t ef t t ><⎩⎨⎧=-=----τττμτττ0)(2 所以()()()t f t f t y 21*==()()τττd t f f -⎰+∞∞2-1显然这个积分值与函数()ttt ><⎩⎨⎧=-τττμ01，所取非零值有关，即与参数t 的取值有关.()1当t 0<时，因30<<<τt ，所以()0=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==003)(=⋅⎰--ττd e t()2当30<<t 时，只有t <<τ0时，有()1=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==t tt e d e ----=⎰10)(ττ()3当3>t 时，因为t <<<30τ，所以()1=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==()t t e e d e ----=⎰133)(ττ综上所述，有()()()t f t f t y 21*==()33001-103><<<⎪⎩⎪⎨⎧⋅---t t t e e ett3.卷积定理3.1 时域卷积定理设两函数)(),(21t f t f ，的傅里叶变换分别为：[],)()(1~1t f s F =ω [],)()(1~1t f s F =ω则两函数卷积的傅里叶变换为：[]),()()()(2121~ωωF F t f t f s ⋅=*上式称为时域卷积定理，它表明两信号在时域的卷积积分对应于在频域中该两信号的傅立叶变换的乘积.证明 []=*)()(21~t f t f s ()()dt e d t f f t j ωτττ-+∞∞-+∞∞-⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21=()()τττωd dt e t f f t j ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰⎰+∞∞--+∞∞-21=()()τωτωd e F f t j -+∞∞-⎰21=()()ττωωd e f F t j -+∞∞-⎰12=()()=⋅ωω12F F ),()(21ωωF F ⋅ 3.2频域卷积定理设两函数)(),(21t f t f ，的傅里叶变换分别为：[],)()(1~1t f s F =ω [],)()(1~1t f s F =ω则两函数卷积的傅里叶变换为：[]),()(21)()(2121~ωωπF F t f t f s *=上式称为频域卷积定理，它表明两信号在时域的乘积对应于这两个函数傅氏变换的卷积除以π2.证明 ()()()()ωππωωπωd e du u w F u F F F s tj ⎰⎰∞+∞-∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡*21211-~212121 ()du d e u F u F tj ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰∞+∞-∞+∞-ωωππω2121)(21()()()t f t f du e t f u F jut 1221)(21⋅==⎰+∞∞-π于是[])()(21)()(2121~ωωπF F t f t f s *= 例3.1 求积分方程()()()()τττd t g f t h t g -+=⎰+∞∞-的解，其中()()t f t h ,为已知函数，且()()()t h t f t g 和,的Fourier 变换都存在. 解 假设()[](),ωG t g F =()[](),ωH t h F =()[](),ωF t f F =由卷积定义知()()()()t g t f d t g f *=-⎰+∞∞-τττ现对积分方程两端取Fourier 变换可得 ()()()()ωωωωG F H G ⋅+=解得()()()ωωωF H G -=1所以原方程的解为()()()ωωωπωd e F H t g ti ⎰∞+∞--=121例3.2 求常系数非齐次线性微分方程()()()t f t y t y dtd -=-22的解，其中()t f 为已知函数. 解 设()[]()[]()ωωF t f F Y t y F ==),(现对原方程两端取Fourier 变换，并根据Fourier 变换的性质可得 ()()()()ωωωωF Y Y i -=-2解得()()21ωωω+=F Y 所以原方程的解 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=-∞+∞-⎰ωωωωωπωF F d e F t y t i 212111121 由卷积定理得()()[]ωωF F F t y 12111--*⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==()()τττd e f t f et t--∞+∞--⎰=*212.例3.3 求微分积分方程()()()()t h dt t x c t bx t x a t=++'⎰∞-的解.其中c b a t ,,,+∞<<∞-均为常数.解 设()[]()()[]()ωωH t h F X t x F ==,现对原方程两端取Fourier 变换，并根据Fourier 变换的性质可得 ()()()()ωωωωωωH X i c bX X ai =++解得()()()⎪⎭⎫⎝⎛-+=++=ωωωωωωωc a i b H i c b ai H X ，所以原方程的解 ()()dt e c a i b H t x ti ωωωωπ⎰∞+∞-⎪⎭⎫⎝⎛-+=214.卷积公式及其应用与推广4.1卷积公式设X 和Y 的联合密度函数为）y x f ,(，则Y X Z +=得概率密度为⎰+∞∞--='=dx x z f x fZ F Z f Y Xz z )()()()(⎰+∞∞--='=dy y f y z fZ F Z f Y Xz z )()()()(证明 Y X Z +=的分布函数是：⎰⎰=≤+=≤=Dz xy f p z Z p Z F )()z Y X ()()(其中D ={}z y x y x ≤+:),(于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-∞-+=+∞∞--∞-≤+-===zy x u yz zy x Z dudy y y u f dxdyy x f dxdy y x f Z F ),(),(),()(=⎰⎰∞-+∞∞--z dydu y y u f ),(从而⎰+∞∞--='=dy y y z f Z F Z f z z ),()()(由X 和Y 的对称性知⎰+∞∞--='=dx x x z f Z F Z f z z ),()()(。
频域卷积定理
2E /
/2
j 2 ESa sin 4 4
/ 2
0
t
f 2 t f t
2E
பைடு நூலகம்
t 2 2 t t 2
4E /
f t 如图2-21(c)所示
j j 2E 2 2 e F2 e 2 2E 2 cos 2 2 8E 2 sin 4
利用积分特性可以简化由折线组成的信号频谱的求解。
例2-6 求如图2-21(a)所示 f t 的频谱函数 F 。
f t
E
/ 2
0
/2
t
（a）
解：
2 E 1 t f t 0
t t
2 2
2E / f1 t f t 2 E /
1 / 2
f1 t 的振幅、相位频谱函数、如图2-16所示。
F
4
2
0
2
2
4
4
…
4
2
0
…
3、频移性 傅里叶变换的频移(调制)特性表示为 若 f t F 则 证：
j t f t e F 0
dF jt f t 则 d 一般频域微分特性的实用形式为
dF j tf t d
对频谱函数的高阶导数亦成立
dF n n jt f t 或 n d
n d F n n t f t j d n
3-4卷积定理和相关定理
1 2π
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统— 信号与系统—signals and systems
3．利用频域卷积定理求傅立叶变换 ． [例1]： f (t ) = G2 (t ) cos( t ) 的傅立叶变换 例 ： 2 1 π 解：ℱ[ f (t )] = ℱ[cos t ] ∗ ℱ[G2 (t )] 2π 2 1 π π = π [δ (ω − ) + δ (ω + )] ∗ 2Sa(ω ) 2π 2 2
t < −2 0 −2 ≤ t < 0 t + 2 −2 ≤ t < 0 = 0 ≤ t < 2 2 − t 0 ≤ t < 2 0 t>2 t>2
2
f1 (t ) ∗ f 2 (t )
t < −2
F (ω ) = Sa(ω )Sa(ω ) = Sa 2 (ω )
-2 0 2
t
R12 (τ ) = ∫ f 1 (t ) f 2 (t − τ )dt = ∫ f 1 (t + τ ) f 2 (t )dt
−∞ −∞ +∞ +∞ +∞ +∞
R21 (τ ) = ∫ f 1 (t − τ ) f 2 (t )dt = ∫ f 1 (t ) f 2 (t + τ )dt
−∞ −∞
④复能量信号的相关函数： 复能量信号的相关函数：
R12 (τ ) = ∫
+∞ −∞
f1 (t ) f 2* (t − τ ) dt
⑤复功率信号的相关函数： 复功率信号的相关函数：
1 T R12 (τ ) = lim ∫ 2T f1 (t ) f 2* (t − τ )dt T →∞ T − 2
傅里叶变换频域卷积定理
傅里叶变换频域卷积定理傅里叶变换频域卷积定理傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，它可以将一个信号表示为许多不同频率的正弦和余弦函数的加权和。
在信号处理中，卷积是一种常见的操作，它可以将两个信号合并成一个新的信号。
傅里叶变换频域卷积定理是指，在频域中进行卷积运算等价于在时域中进行乘法运算。
一、时域卷积时域卷积是指两个函数f(x)和g(x)进行卷积运算后得到的新函数h(x)，其数学表达式为：h(x) = ∫f(t)g(x-t)dt其中，t为时间变量，x为空间变量。
该式表示了在x处的新函数值是由f(t)和g(x-t)在所有时间t上的乘积之和得到的。
这个过程可以看作是f(x)与g(x)之间的“混合”过程，通常用于滤波、降噪等应用。
二、傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域信号转化为频域信号的方法。
它可以将一个函数表示为不同频率正弦和余弦函数加权后得到的函数。
傅里叶变换的数学表达式为：F(ω) = ∫f(x)e^(-iωx)dx其中，f(x)为原始函数，F(ω)为傅里叶变换后的函数，i为虚数单位，e 为自然对数的底数。
三、频域卷积频域卷积是指在频域中进行卷积运算。
它可以将两个信号在频域中进行乘法运算得到新的频率分量，从而得到新的信号。
频域卷积的数学表达式为：H(ω) = F(ω)G(ω)其中，H(ω)表示两个函数F(ω)和G(ω)在频域中进行卷积运算后得到的新函数。
四、傅里叶变换频域卷积定理傅里叶变换频域卷积定理是指，在时域中进行卷积运算等价于在频域中进行乘法运算。
具体表达式为：h(x) = f(x)*g(x)H(ω)=F(ω)G(ω)其中，h(x)表示两个函数f(x)和g(x)在时域中进行卷积运算后得到的新函数；H(ω)表示两个函数F(ω)和G(ω)在频域中进行乘法运算后得到的新函数。
该定理的证明涉及到傅里叶变换的性质和卷积运算的定义，可以通过求解上述两个式子的傅里叶逆变换来证明。
具体证明过程略。
五、应用傅里叶变换频域卷积定理在信号处理中有着广泛的应用。
傅里叶变换频域卷积定理证明
傅里叶变换频域卷积定理证明傅里叶变换频域卷积定理是信号处理领域中的一个重要定理，它建立了时域和频域之间的联系，为信号处理提供了有力的工具。
下面，我将对该定理进行证明。
一、傅里叶变换的定义首先，我们需要了解傅里叶变换的定义。
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法，其公式为：F(ω)=∫f(t)e^(-jωt)dt其中，f(t)是时域信号，F(ω)是频域信号，j是虚数单位，ω是角频率。
二、卷积定理的表述卷积定理的表述如下：两个时域信号的卷积的傅里叶变换等于这两个时域信号的傅里叶变换的乘积。
用数学公式表示为：F{f1(t)*f2(t)}=F1(ω)F2(ω)其中，*表示卷积运算，F1(ω)和F2(ω)分别是f1(t)和f2(t)的傅里叶变换。
三、证明过程为了证明卷积定理，我们可以按照以下步骤进行推导：第一步，根据傅里叶变换的定义，我们可以将f1(t)*f2(t)的傅里叶变换表示为：F{f1(t)*f2(t)}=∫f1(t)*f2(t)e^(-jωt)dt第二步，根据卷积的定义，我们可以将f1(t)*f2(t)表示为：f1(t)*f2(t)=∫f1(τ)f2(t-τ)dτ第三步，将第二步的结果代入第一步的公式中，得到：F{f1(t)*f2(t)}=∫∫f1(τ)f2(t-τ)dτe^(-jωt)dt第四步，交换积分次序，得到：F{f1(t)*f2(t)}=∫f1(τ)∫f2(t-τ)e^(-jωt)dtdτ第五步，根据傅里叶变换的定义，我们可以将内层积分表示为F2(ω)e^(-jωτ)，于是得到：F{f1(t)*f2(t)}=∫f1(τ)F2(ω)e^(-jωτ)dτ=F1(ω)F2(ω)至此，我们完成了卷积定理的证明。
需要注意的是，这里的证明是基于傅里叶变换的定义和卷积的定义进行的，因此要求读者对这些概念有一定的了解。
四、结论通过对卷积定理的证明，我们可以看到傅里叶变换在信号处理中的重要作用。
频域卷积定理证明
频域卷积定理证明：
函数卷积的傅立叶变换是函数傅立叶变换的乘积。
具体分为时域卷积定理和频域卷积定理，时域卷积定理即时域内的卷积对应频域内的乘积；频域卷积定理即频域内的卷积对应时域内的乘积，两者具有对偶关系。
扩展资料：
卷积与傅里叶变换有着密切的关系。
利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。
由卷积得到的函数f*g一般要比f和g都光滑。
特别当g为具有紧致集的光滑函数，f为局部可积时，它们的卷积f * g也是光滑函数。
利用这一性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出一列逼近于f的光滑函数列fs，这种方法称为函数的光滑化或正则化。
卷积定理的证明
卷积定理的证明今天终于搞明⽩了卷积定理的证明，以前⼀直拿来就⽤的“时域卷积等于频域点积”终于得以揭秘：直接证明⼀下连续情况好了，很容易推⼴到离散域（我不会）：傅⾥叶变换的定义是： FT(f) = integrate [-inf,+inf] f(t)*e^(-i*w*t) dt卷积的定义是(先⽤@冒充⼀下卷积的算符qwq,学完latex⼀定改)：f @g = integrate [-inf,+inf] f(k)*g(t-k) dk很容易证明傅⾥叶变换的时移(Time Shift)性质： FT( f(t-ts) ) = integrate [-inf,+inf] f(t-ts)*e^(-i*w*t) dt 令u = (t-ts) = integrate [-inf,+inf] f(u)*e^(-i*w*(u+ts)) dt = e^(-i*w*ts)* integrate [-inf,+inf] f(u) du = FT(f)*e^(-i*w*ts) 综上： FT( f(t-ts) ) = FT(f)*e^(-i*w*ts)利⽤此引理可以很容易地证明卷积定理。
⾸先把卷积定理"时域卷积等于频域点积"化为数学语⾔： FT(f @ g) = FT(f)*FT(g)下⾯对它进⾏证明： FT(f @ g) = integrate[-inf,+inf] [integrate[-inf,+inf] f(k)*g(t-k) dk ] *e^(-i*w*t) dt = double_integrate [-inf,+inf] f(k)*g(t-k)*e^(-i*w*t) d(k,t) = integrate [-inf,+inf] f(k)* [ integrate [-inf,+inf] g(t-k)*e^(-i*w*t) dt ] dk = integrate [-inf,+inf] f(k)*FT(g)*e^(-i*w*k) dk = FT(f)*FT(g) 证毕就是这么简单，抽离⽆关变量，交换积分顺序，利⽤时移就可以轻松证明了~后记： 学latex是不可能的，这辈⼦是不可能学latex的。
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频域卷积定理证明
具体回答如图：
函数卷积的傅立叶变换是函数傅立叶变换的乘积。
具体分为时域卷积定理和频域卷积定理，时域卷积定理即时域内的卷积对应频域内的乘积；频域卷积定理即频域内的卷积对应时域内的乘积，两者具有对偶关系。
扩展资料：
卷积与傅里叶变换有着密切的关系。
利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。
由卷积得到的函数f*g一般要比f和g都光滑。
特别当g为具有紧致集的光滑函数，f为局部可积时，它们的卷积f * g也是光滑函数。
利用这一性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出一列逼近于f的光滑函数列fs，这种方法称为函数的光滑化或正则化。
在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。
即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作其周期延拓的变换。
在实际应用中通常采用快速傅里叶变换计算DFT。
下面给出离散傅里叶变换的变换对：对于N点序列，它的离散傅里叶变换（DFT）为其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。
通常以符号表示这一变换，即离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）为：可以记为：实际上，DFT和IDFT 变换式中和式前面的归一化系数并不重要。
在上面的定义中，DFT和IDFT前的系数分别为1 和1/N。
有时会将这两个系数都改成。