专题三角形总复习(含答案)

三角形知识

【知识精读】

1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2. 三角形中的几条重要线段：

（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心）

（2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心）

（3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心）

3. 三角形的主要性质

（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；

（2）三角形的内角之和等于180°

（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和；

（4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；

（5）三角形具有稳定性。

4. 补充性质：在∆ABC中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则

⋅=⋅。

S S S S

ABE CDE BDE CAE

∆∆∆∆

5. 三角形边角关系、性质的应用

1）. 三角形的内角和定理与三角形的外角和定理；

2）. 三角形中三边之间的关系定理及其推论； 3）. 全等三角形的性质与判定；

4）. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）； 5）. 直角三角形的性质与判定。

三角形一章在平面几何中占有十分重要的地位。从知识上来看，许多内容应用十分广泛，可以解决一些简单的实际问题；从证题方法来看，全等三角形的知识，为我们提供了一个及为方便的工具，通过证明全等，解决证明两条线段相等，两个角相等，从而解决平行、垂直等问题。因此，它揭示了研究封闭图形的一般方法，为以后的学习提供了研究的工具。因此，在学习中我们应该多总结，多归纳，使知识更加系统化，解题方法更加规范，从而提高我们的解题能力。 【分类解析】

1. 三角形内角和定理的应用

例1. 如图1，已知∆ABC 中，∠=︒⊥BAC AD BC 90，于D ，E 是AD 上一点。 求证：∠>∠BED C

证明：由AD ⊥BC 于D ，可得∠CAD ＝∠ABC 又∠=∠+∠ABD ABE EBD

则∠∠ABD EBD > 可证∠∠CAD EBD > 即∠∠BED C >

说明：在角度不定的情况下比较两角大小，如果能运用三角形内角和都等于180°间接求得。 2. 三角形三边关系的应用

在∆CMA 和∆BMD 中，AM DM AMC DMB CM BM ===，∠∠，

∴≅∴=∆∆CMA BMD

BD AC

在∆ABD 中，AB BD AD -<，而AD AM =2

()

∴-<∴>-AB AC AM AM AB AC 21

2

说明：在分析此问题时，首先将求证式变形，得2AM AB AC >-，然后通过倍长中线的方法，相当于将∆AMC 绕点旋转180°构成旋转型的全等三角形，把AC 、AB 、2AM 转化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系，达到解决问题的目的。很自然有()()121

2

AB AC AM AB AC -<<+。请同学们自己试着证明。 3. 角平分线定理的应用

例3. 如图3，∠B ＝∠C ＝90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC 。 求证：AM 平分DAB 。

证明：过M作MG⊥AD于G，∵DM平分∠ADC，MC⊥DC，MG⊥AD

∴MC＝MG（在角的平分线上的点到角的两边距离相等）

∵MC＝MB，∴MG＝MB 而MG⊥AD，MB⊥AB

∴M在∠ADC的平分线上（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）

∴DM平分∠ADC

说明：本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MG＝MB。同时要注意不必证明三角形全等，否则就是重复判定定理的证明过程。

4. 全等三角形的应用

（1）构造全等三角形解决问题

例4. 已知如图4，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角（∠BDC）为

AC于N，连结

的长，只需证=+。采用旋转构造全等的方法来解决。

MN BM CN

证明：以点D为旋转中心，将∆DBM顺时针旋转120°，点B落在点C的位置，点M落在

M'点的位置。

得：∠MBD ＝∠NCD ＝90°

∴≅∴==︒

Rt MBD Rt M CD DCM DBM ∆∆''∠∠90

∴∠NCD 与∠DCM'构成平角，且BM ＝CM'，DM ＝DM'，∠NDM'＝∠NDC ＋∠CDM'＝∠NDC ＋∠BDM ＝120°－60°＝60° 在∆MDN 和∆M DN '中，

DM DM MDN M DN DN DN ===︒=''，∠∠，60

∴≅∴==+=+∴=+∆∆MDN M DN SAS MN M N M N M C CN BM CN MN BM CN

'()

'''

∴∆AMN 的周长=++=+++=+=AM AN MN AM AN BM CN AB AC 2 说明：通过旋转，使已知图形中的角、线段充分得到利用，促进了问题的解决。 （2）“全等三角形”在综合题中的应用

例5. 如图5，已知：点C 是∠FAE 的平分线AC 上一点，CE ⊥AE ，CF ⊥AF ，E 、F 为垂足。点B 在AE 的延长线上，点D 在AF 上。若AB ＝21，AD ＝9，BC ＝DC ＝10。求AC 的长。

分析：要求AC 的长，需在直角三角形ACE 中知AE 、CE 的长，而AE 、CE 均不是已知长度的线段，这时需要通过证全等三角形，利用其性质，创设条件证出线段相等，进而求出AE 、CE 的长，使问题得以解决。

解：∵AC 平分∠FAE ，CF ⊥AF ，CE ⊥AE