八年级上册数学(人教版)专题训练：分式的运算技巧

合集下载

八年级上册数学(人教版)专题训练：分式的运算技巧

分式的运算技巧一、条件求值的三种技巧条件求值与常规的化简求值这两类问题的相同点：都是求某个式子的值．不同点：(1)前者给出的是字母满足的条件，后者给出的是字母的值，因此前者不能直接代入计算；(2)前者中待求式子通常不需要化简，而后者则侧重于化简．► 技巧一整体法为了把已知条件和待求的式子联系起来，我们常把a ＋b ，a －b ，ab ，a 2＋b 2等当作整体，因为根据题目的条件有时不能求出a ，b 的值，即使能求出a 或b 的值，也没必要求出，那样会“走弯路”或把问题复杂化．选择某个式子作为整体不是固定不变的，应视具体条件而定，只要它能把已知和未知“沟通”起来，就可把它当作整体．1．已知实数x 满足x ＋1x ＝3，则x 2＋1x 2的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．92．已知a 2＋3ab ＋b 2＝0(a≠0，b ≠0)，则b a ＋a b的值等于________． 3．已知x ＋y ＝xy ，求1x ＋1y－(1－x)(1－y)的值．4．已知x 2－4x ＋1＝0，求2（x －1）x －4－x ＋6x的值．► 技巧二倒数法ab a ＋b 的倒数是a ＋b ab ，而a ＋b ab 可拆成1a 与1b 的和，即a ＋b ab ＝1b ＋1a.这种先取倒数后拆项的方法可使某些束手无策的问题迎刃而解．5．若x 2－5x ＋1＝0，则x 2x 4＋1的值为________． 6．已知三个数x ，y ，z 满足xy x ＋y ＝－2，yz y ＋z ＝43，zx z ＋x ＝－43，求xyz xy ＋yz ＋zx的值．► 技巧三转化法利用分式的基本性质和已知条件，把异分母的加减法转化为同分母的加减法．7．已知a ，b 为实数，且ab ＝2，则a a ＋1＋b b ＋2的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．若ab ＝1，则31＋a 2＋31＋b 2＝________． 9．已知a ，b ，c 为实数，且abc ＝1，求a ab ＋a ＋1＋b bc ＋b ＋1＋c ca ＋c ＋1的值．二、异分母分式的加减法的两种技巧异分母分式的加减法的常规做法：先确定各分式的最简公分母，再通分，这样即可把异分母分式的加减转化为同分母分式的加减．但是对于某些特殊的异分母分式的加减运算，可以采取约分或运用分配律等方法转化为同分母分式的加减运算或整式的运算，从而达到异曲同工的效果．► 技巧一约分10．计算x 2－1x 2＋2x ＋1＋2x ＋1的结果是( )A ．1B ．2C ．3D ．411．计算：x 2＋9x x 2＋3x ＋x 2－9x 2＋6x ＋9＝________． 12．计算：x 2－y 2x ＋y －4x （x －y ）＋y 22x －y.13．先化简，再求值：(a 2－4a 2－4a ＋4－12－a )÷2a 2－2a，其中a 满足a 2＋3a ＋1＝0.► 技巧二运用分配律含有括号的分式混合运算，通常先算括号里面的，但对有些算式运用分配律，既可以达到去括号的目的，又可以把异分母分式的加减运算转化为整式运算．14．计算(a a －2－a a ＋2)÷a 4－a 2的结果是( ) A ．－4 B ．4 C ．2a D ．－2a15．先化简，再求值：a 2－1a ·(3a a －1－a a ＋1)，其中a ＝2.16．先化简，再求值：(x2－16x2＋8x＋16＋xx－4)÷1x2－16，其中x＝3.17．化简并求值：12a －1a－b·(a－b2a－a2＋b2)，其中a＝10，b＝5.详解详析1．[解析] B 原式＝(x ＋1x)2－2＝32－2＝7.故选B. 2．[答案] －3[解析] b a ＋a b ＝b 2＋a 2ab ，又a 2＋b 2＝－3ab ，故原式＝－3ab ab＝－3. 3．解：∵x ＋y ＝xy ，∴原式＝y ＋x xy －(1－x －y ＋xy )＝x ＋y xy－1＋x ＋y －xy ＝1－1＋0＝0. 4．解： 2（x －1）x －4－x ＋6x ＝2x （x －1）－（x －4）（x ＋6）x （x －4）＝x 2－4x ＋24x 2－4x. ∵x 2－4x ＋1＝0，∴x 2－4x ＝－1. ∴原式＝x 2－4x ＋24x 2－4x ＝－1＋24－1＝－23. 5．[答案] 123[解析] 显然x ＝0不是方程x 2－5x ＋1＝0的解，由此可将方程x 2－5x ＋1＝0的两边同时除以x ，得x 2－5x ＋1x ＝0，左边拆开得x －5＋1x ＝0，即x ＋1x ＝5，两边同时平方，得x 2＋2＋(1x )2＝25，∴x 2＋1x ＝23，即x 4＋1x ＝23，∴x 2x ＋1＝123. 6．解：依题意，得1x ＋1y ＝－12，1y ＋1z ＝34，1z ＋1x ＝－34，以上三个方程相加，得2(1x ＋1y ＋1z )＝－12. 即xy ＋yz ＋zx xyz ＝－14，∴xyz xy ＋yz ＋zx＝－4. 7．[解析] A 将第一个分式的分子和分母同时乘b ，得原式＝ab ab ＋b ＋b b ＋2. ∵ab ＝2，∴原式＝2b ＋2＋b b ＋2＝b ＋2b ＋2＝1.故选A. 8．[答案] 3[解析] 将第二个分式的分子和分母同时乘a 2，得原式＝31＋a 2＋3a 2a 2＋（ab ）2. ∵ab ＝1，∴原式＝31＋a 2＋3a 21＋a 2＝3（1＋a 2）1＋a 2＝3.9．解：将第二个、第三个分式的分子和分母分别乘a ，ab ，得原式＝a ab ＋a ＋1＋ab abc ＋ab ＋a ＋abc a 2bc ＋abc ＋ab . ∵abc ＝1，∴原式＝a ab ＋a ＋1＋ab 1＋ab ＋a ＋1a ＋1＋ab ＝ab ＋a ＋1ab ＋a ＋1＝1. 10．[解析] A 原式＝（x －1）（x ＋1）（x ＋1）2＋2x ＋1＝x －1x ＋1＋2x ＋1＝x ＋1x ＋1＝1.故选A. 11．[答案] 2[解析] 原式＝x （x ＋9）x （x ＋3）＋（x －3）（x ＋3）（x ＋3）2＝x ＋9x ＋3＋x －3x ＋3＝2（x ＋3）x ＋3＝2. 12．解：原式＝（x ＋y ）（x －y ）x ＋y －（2x －y ）22x －y＝x －y －(2x －y )＝－x . 13．解：原式＝[（a －2）（a ＋2）（a －2）2－12－a ]÷2a 2－2a ＝(a ＋2a －2＋1a －2)·a （a －2）2＝12(a 2＋3a )． ∵a 2＋3a ＋1＝0，∴a 2＋3a ＝－1，∴原式＝12×(－1)＝－12. 14．[解析] A 原式＝a a －2·4－a 2a －a a ＋2·4－a 2a ＝－(a ＋2)＋(a －2)＝－4.故选A. 15．解：原式＝a 2－1a ·3a a －1－a 2－1a ·a a ＋1＝3(a ＋1)－(a －1)＝2(a ＋2)．当a ＝2时，原式＝2×(2＋2)＝8.16．解：原式＝[（x －4）（x ＋4）（x ＋4）2＋x x －4]÷1x 2－16＝(x －4x ＋4＋x x －4)·(x ＋4)(x －4)＝(x －4)2＋x (x ＋4)＝2x 2－4x ＋16.当x ＝3时，原式＝22.17．解：原式＝12a －1a －b ·a －b 2a ＋a 2－b 2a －b＝12a －12a ＋a ＋b ＝a ＋b .当a ＝10，b ＝5时，原式＝10＋5＝15.。

人教版八年级数学上册-专训-分式运算的八种技巧

－7,
x
所以
x2
－1 .
x4－9 x2＋1
7
技巧 8 消元法
8．已知4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0，且xyz≠0，求 5x2＋2 y2－z2 的值． 2x2－3 y2－10z2
解：以x，y为主元，将已知的两个等式化为 4x－3y＝6z， x＋2y＝7z.
所以x＝3z，y＝2z(z≠0)．所以原式＝ 5 9z2＋2 4z2－z2
= 4x3 ＋ 4x3 x4 1 x4＋1
4x3 x4＋1 ＋4x3 x4 1 =
x4 1 x4＋1 = 8x7 .
x8 1
此类题在计算时，采用“分步通分相加”的方法，逐步递进进行计算，达到化繁为简的目的．在解题时既要看到局部特征，又要全局考虑．
技巧 3 整体通分法
3．化简：a－b－
a＋b 2 .
技巧 2 顺次相加法
2．计算：
x
1
＋ 1
1＋ x＋1
2x ＋ x 2＋1
4x3 x4＋1
.
解：原式
=
x＋1 ＋ x2 1
x x2
1 ＋ 2x ＋ 4x3 1 x2＋1 x4＋1
= 2x ＋ 2x ＋ 4x3 x2 1 x2＋1 x4＋1
2x x2＋1 ＋2x x2 =
x2 1 x2＋1
1 ＋ 4x3 x4＋1
ab
解：原式
a =
b2
ab
a＋b 2 ab
a b 2 a＋b 2 =
ab
= 4ab . ab
本题将a－b看成一个整体进行通分，使解题简捷．
技巧 4 换元通分法
3m 2n 3
4．计算：(3m－2n) ＋ 3m

分式方程应用题专题训练2024-2025学年人教版数学八年级上册+附答案

2023-2024学年人教版数学八年级上册分式方程应用题专题训练1．甲、乙两人加工同一种零件，乙每天加工的数量比甲每天加工数量多50%，两人各加工600个这种零件，甲比乙多用5天．(1)求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？(2)现有3000个这种零件的加工任务，由甲单独加工m天后剩余任务由乙单独完成，试用含m的代数式表示乙单独完成剩余任务的天数（结果要求化简）；(3)已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是120元和150元，在（2）的情况下，如果总加工费不超过7800元，那么甲最多加工多少天？2．“走，去永州，品道州脐橙”，道州脐橙果大形正，橙红鲜艳，肉质脆嫩化渣，风味浓甜芳香．2023年11月29日在“道州脐橙”品牌推介活动上，某水果批发商用40000元购进一批道州脐橙后，供不应求，该水果批发商又用90000元购进第二批这种道州脐橙，所购数量是第一批数量的2倍，但每箱贵了10元(1)有水果批发商购进的第一批道州脐橙每箱多少元？(2)若两次购进的道州脐橙按同一价格售出，两批脐橙全部销售完后，获利不低于17000元，则销售单价至少是多少元？3．元宵节是中国的传统节日之一，元宵节主要有赏花灯、吃汤圆、猜灯谜等习俗，某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的汤圆．已知购进甲种汤圆的金额是1200元，购进乙种汤圆的金额是800元，购进的甲种汤圆比乙种汤圆多20袋．甲种汤圆的单价是乙种汤圆单价的1.2倍．(1)求甲、乙两种汤圆的单价分别是多少元；(2)为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种汤圆共120袋，若总金额不超过1300元，最多购进______袋甲种汤圆．4．甲、乙两人分别从距目的地8km和12km的两地同时出发，甲、乙的速度比是4：5，结果甲比乙提前2h5到达目的地，求甲、乙的速度.5．某工程队承接了45万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前了15天完成了这一任务．(1)用含x的代数式填表（结果不需要化简）；工作效率（万平方米/天）工作时间（天）总任务量（万平方米）原计划x______45实际____________45(2)求（1）的表格中的x的值．6．“阅读陪伴成长，书香润泽人生”．万年县某学校为了开展学生阅读活动，计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，且用1600元购买甲种图书比用900元购买乙种图书可多买20本．(1)甲种图书和乙种图书的价格各是多少？(2)根据学校实际情况，需一次性网购甲、乙两种图书共300本，购买时得知：一次性购买甲乙两种图书超过100本时，甲种图书可按九折优惠，乙种图书可按八折优惠．若该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元，那么学校最多可购进甲种图书多少本？7．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．长沙某汽车销售决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．(1)A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元；(2)该公司决定用不多于1220万元购进A型和B型汽车共100辆，最多可以购买多少辆A 型汽车？8．为开展特色体育，致远中学上学期购买了甲、乙两种不同足球，购买甲种足球用了3000元，购买乙种足球用了2100元，购买甲种足球数量恰好是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个甲种足球比购买一个乙种足球少花20元．(1)求购买一个甲种足球和一个乙种足球各需多少元；(2)为了加大开展力度，学校决定本学期再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢商场对两种足球售价进行调整，甲种足球售价比上学期购买时提高了10%，乙种足球售价比上学期购买时降低了10%，如果本学期购买甲、乙两种足球的总费用不超过2800元，并且乙种足球至少要购买5个，那么该校本学期有几种不同购买足球的方案？9．中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．某茶店1月份第一周绿茶的销售总额为1500元，红茶的销售总额为900元，且红茶每克售价是绿茶每克售价的1.2倍，红茶的销售量比绿茶的销售量少3000克，设绿茶每克销售价格为x 元．(1)请用含x的代数式填表：售价（元/克）销售量（克）销售总额（元）绿茶x______1500红茶____________900(2)请列出方程，并求出绿茶、红茶每克的售价分别是多少元？10．期末考试在即，某学校准备购进A、B两种奖品对进步学生进行奖励，已知一盒A 种奖品的单价比一盒B种奖品的单价多1元，且花600元购买A种奖品和花500元购买B种奖品的盒数相同．(1)求A，B两种奖品一盒的单价各是多少元？(2)若计划用不超过1100元的资金购进A、B两种奖品共200盒，求A种奖品最多能购进多少盒？11．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用12万元购买A型充电桩与用18万元购买B型充电桩的数量相等．(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？(2)该停车场计划共购买20个A，B型充电桩，购买总费用不超过15万元，且A型充电桩购买数量不超过12个．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？12．长寿重百商场用50000元从外地购回一批T恤衫，由于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采购回是第一次进货件数3倍的T恤衫，但第二次比第一次进价每件贵12元，商场在出售时统一按每件80元的标价出售，为了缩短库存时间，最后的400件按6.5折处理并很快售完．求：(1)商场第一次购买了多少件T恤衫？(2)商场在这两次生意中共盈利多少元？13．某商店购进篮球、足球两种商品，已知每个篮球的价格比每个足球的价格贵16元，用2400元购买篮球的个数恰好与用2000元购买足球的个数相同．求篮球，足球每个的价格各是多少元？14．节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．(1)求汽车行驶中每千米用电费用是多少元？(2)甲、乙两地的距离是多少千米？(3)若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，要使行驶总费用不超过60元，求至少需要用电行驶多少千米？15．列方程（组）解应用题：綦江区某校为举行六十周年校庆活动，特定制了系列文创产品，其中花费了312000元购进纪念画册和保温杯若干．已知纪念画册总费用占保温杯总费用的3 10．(1)求纪念画册和保温杯的总费用各是多少元？(2)若每本纪念画册的进价比每个保温杯的进价多20%，而保温杯数量比纪念画册数量的3倍多1200个．求每本纪念画册和每个保温杯的进价各是多少元？。

人教版八年级上册数学15.2.1分式的乘除第1课时分式的乘除课件

分数
概念意义
基本性质
加减乘除运算
应用
数
般
类
类
类
类
类式
方法
比
一般
分式
比
概念意义
比
基本性质
比
加减乘除运算
比通性
应用
探究新知
知识点1 分式的乘法问题1 一个长方体容器的容积为V，底面的长为a，宽为b，
当容器内的水占容积的 m 时，水面的高度为多少？ n
V 长方体容器的高为___a_b_____.
b
C. ab
D. a
知识点2 分式的除法问题2 大拖拉机m 天耕地a hm2，小拖拉机n天耕地b hm2，
大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？
大拖拉机的工作效率为 a hm2/天； m
小拖拉机的工作效率为 b hm2/天. n
大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的 a b 倍. mn
例2 计算（1）：
a2 4a 4
a2 2a 1
a 1 a2 4
a 22 a 12
a
a 1
2 a
2
分子、分母是多项式时，先分解因式便于约分.
xx
a 22 a 1
a 12 a 2 a 2
a
a2
1 a
2
< 针对训练 >
计算 a2
b a3
的结果为（
D）
A. b B. -b
【选自教材P138 练习第2题】
(2)12xy 8x2 y 5a 3 10ax
(4) x y y x x y x y
1
3. 计算：
【选自教材P138 练习第3题】

新人教版八年级数学上册第7讲第2课时技巧训练分式运算中的十二种常用技巧

期末提分练案 12．已知 4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0，且 xyz≠0，求
25xx2－2＋32y2y－2－1z02z2的值．
【点拨】遇到多元问题时，常将一元视为已知数，通过解方程组将其他未知元用该元表示出来，问题即可得解．
期末提分练案
解：以 x，y 为主元，将已知的两个等式化为4xx＋－23y＝y＝7z6，z，所以 x＝3z，y＝2z(z≠0)．所以原式＝25××9z92z－2＋3×2×44z2z－2－1z02z2＝－13.
期末提分练案
x＋yy＋z＋x＋xy＋z＋x＋zy＋z＝0. 则有(x＋y＋z)1x＋1y＋1z＝0. 因为1x＋1y＋1z≠0，所以 x＋y＋z＝0.
期末提分练案
10．已知1a＋1b＝16，1b＋1c＝19，1a＋1c＝115，求ab＋abbcc＋ac的值．解：1a＋1b＝16，1b＋1c＝19，1a＋1c＝115. 上面各式两边分别相加，得(1a＋1b＋1c)×2＝16＋19＋115，所以1a＋1b＋1c＝13810. 易知 abc≠0，
1 （x＋2 019）（x＋2 020）.
期末提分练案
解：1x－x（x1＋1）－（x＋1）1（x＋2）－…－
（x＋2
1 019）（x＋2
020）＝1x－1x－x＋1 1－(x＋1 1－x＋1 2)－…
－(x＋21 019－x＋21 020)＝1x－1x＋x＋1 1－x＋1 1＋x＋1 2－…－
期末提分练案 3．计算：x－1 1＋x＋1 1＋x22＋x 1＋x44＋x31. 解：原式＝xx2＋－11＋xx2－－11＋x22＋x 1＋x44＋x31＝x22－x 1＋x22＋x 1＋x44＋x31 ＝2x（（x2x＋2－1）1）＋（2xx（2＋x12－）1）＋x44＋x31＝x44－x31＋x44＋x31＝ 4x3（（x4x＋4－1）1）＋（4xx34（＋x14）－1）＝x88－x71.

人教版八年级上册数学15章分式-分式运算的技巧

人教版八年级上册数学15章分式-分式运算的技巧【精练】计算：【分析】本题中有四个分式相加减，如果采用直接通分化成同分母的分式相加减，公分母比较复杂，其运算难度较大.不过我们注意到若把前两个分式相加，其结果却是非常简单的.因此我们可以采用逐项相加的办法.【解】===【知识大串联】1．分式的有关概念设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简2、分式的基本性质（M为不等于零的整式）3．分式的运算(分式的运算法则与分数的运算法则类似)．(异分母相加，先通分)；4．零指数5．负整数指数注意正整数幂的运算性质可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m、 n可以是O或负整数．分式是初中代数的重点内容之一，其运算综合性强，技巧性大，如果方法选取不当，不仅使解题过程复杂化，而且出错率高．下面通过例子来说明分式运算中的种种策略，供同学们学习参考．1．顺次相加法例1：计算：【分析】本题的解法与例1完全一样.【解】===2．整体通分法【例2】计算：【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a-1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式.【解】==.3．化简后通分分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多．4．巧用拆项法例4计算：.分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a是整数），联想到，这样可抵消一些项.解：原式====5．分组运算法例5：计算：分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便.解：=====【错题警示】一、错用分式的基本性质。

八年级数学上册期末专题复习例谈分式运算过程中的常用技巧(,含解析变式和课外选练)

例谈分式运算中的一些常用技巧赵化中学郑宗平在数式的相关运算中，分式的运算是同学们感到比较头疼的，含分式的综合解答题的正确率也比较低；其实分式的运算涵盖知识点多，技巧性强，是很能考查数学素养的.分式的运算之所以容易计算错误，除了知识上原因，方法技巧也很重要；我觉得除了要掌握常规的计算方法，有必要掌握一些计算的技巧，下面我精选一部分含分式的解答题，让我们共同来探究.1、先约分、再计算：例.计算：444242222++-+++x x x x x x x分析：按常规的解法本题应先找出两个分式分母的最简公分母()2x x 2+后通分，化成同分母的分式后再相加；细心的同学会发现，若把两个分式的分子、分母分解因式后，先约分就已经是同分母了，就“省去”了通分的过程；相比较先约分、再相加显得更为简捷.解：原式=()()()()()2x x 4x 2x 2x 4x 22x 2x x 2x 2x 2x 2++-+-++=+=++++ 变式训练：2222a 93a 6a 3a 2a 3a 1--+----2、分步通分：例.计算：4214121111xx x x ++++++- 分析：本题中原所有分式的最简公分母是()()()()241x 1x 1x 1x -+++，若按此通分解答过程的繁琐性就不用说了；如果我们进行分组、分步通分就不会因为出现“庞大”的分子导致在计算中出错；比如，若我们先计算111x 1x +-+，最简公分母为()()1x 1x -+即21x -，则111x 1x+-+ 2221x 1x 21x 1x 1x+-=+=---，后面的如法炮制，过程清楚，计算简便. 解:原式()()=22222422444421x 21x 1x 1x 2422441x 1x 1x 1x 1x 1x 1x 1x 1x 1x +-+-+++=++=++--++-++-++ =()()444488841x 41x 4481x 1x 1x 1x 1x+-+=+=-+---变式训练：①.1684211618141211x x x x x --+++++++；②.1111x 4x 6x 5x 7+--++++.3、整体通分法：例.计算：242++-a a 分析：本题若把a 2-分成两项与后面的通分在想加减，要多一些计算的过程；若把a 2-看成一个整体，即a 21-再与后面的通分显然更简单.解：原式=()()222a 2a 24a 44a 44a a 2a 2a 2a 2a 2a 2-+--++=+==++++++ 变式训练：4a 2a 2-+-4、巧用裂“项”法：例. 计算：()()()()()()()10099132121111--++--+--+-x x x x x x x x分析：本题若将原式通分再相加，进行手工计算的式子有多长，时间耗费多少就不言而喻了.仔细分析，我们类比小学的：;;;11111111111162323123434204545==-==-==-⨯⨯⨯这个裂“项”的技巧，有：()()()()();;;111111111x x 1x 1x x 1x 2x 2x 1x 2x 3x 3x 2=-=-=-----------，以此类推，最后互为相反数特征的不和为0，最后计算就简便了.真可谓是“四两破千斤”.解：原式=1111111111x 1x x 2x 1x 3x 2x 99x 98x 100x 99-+-+-++-+----------=+1111111111x x 1x 1x 2x 2x 3x 98x 99x 99x 100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+--+-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪---------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =11x x 100-+-=()()x 100xx x 100x x 100--+-- =()100x x 100-变式训练：()()()()()()()()()11111x x 1x 1x 2x 2x 3x 2014x 2015x 2015x 2016++++++++++++++5、利用分配律：例.计算：1x 11x x 1x x22-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-- 分析：本题有两种解法.其一、按常规解法先算括号里面的，见下面的方法1；其二、用分配律进行运算，见下面的解法2.两种方法比较方法2更简单. 略解：（方法1：先算括号里的）原式=()()()()()()1x 11x 1x 1x x 1x 1x 1x x 22-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+-+ =()()()()1x 1x 11x 1x x x x 2x 222-+÷+-+-+=()()()()11x 1x 1x 1x x3x 2-+⨯+-+ =x 3x 2+（方法2：利用分配律）原式=()()11x 1x 1x x 1x x 2-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-- =()()()()1x 1x 1x x1x 1x 1x x 2-+⨯+--+⨯-=()()1x x 1x x 2--+=x x x 2x 222+-+ =x 3x 2+变式训练：x 2x 24x 4x 1x 2x 1222-÷⎪⎭⎫⎝⎛+---6、巧代换：例.设abc 1=，求1c ac c1b bc b 1a ab a ++++++++的值？分析：由abc 1=，可知1abc =，且c 0≠；若将题中最前面的分式分子、分母都乘以c ，中间的分式的分母1换成abc ，本题的三个式子就将非常巧妙化成了同分母的分式，一切问题便都迎刃而解了.解：∵abc 1=∴1abc =，且c 0≠∴原式 =()ac b c ac b cabc ac c bc b abc ac c 11ac c b ac c 1ac c 1++=++++++++++++++ =ac 1cac c 1ac c 1ac c 1ac c 1ac c 11++++++++++=++= 点评：本题在破解题上有些特殊性，须从1abc =才能看的出些端倪；当我们把中间分式的1换成abc 后，就很容易看得出后面两个是同分母的分式了，在通过第一个分式的变形、代换来“服从”另外两个分式.从本题我们得到的启发是代数式的变形除了要顺逆两用、加减乘除等来帮忙、还要注意数式之间的相互转换.7、设参法（辅助未知数法）：例.已知5z4y 3x ==，求2222yxy 2x 3y 2xy 3x -++-的值？分析：本题通过5z4y 3x ==的条件可以找出x y z 、、之间的关系，然后变换代入进行分式的约分，但过程繁杂.若设x y zk 345===，则,,x 3k y 4k z 5k ===，代入后进行计算就比较简单了（这里k起个辅助作用，最后会约去的）.解：设x y zk 345===，则,,x 3k y 4k z 5k ===，代入：()()()()22222222222222223k 33k 4k 25y x 3xy 2y 9k 36k 50k 23k 23263x 2xy y 27k 24k 25k 26k 33k 23k 4k 5y -⨯⋅+⨯-+-+====+-+-+⨯⋅-变式训练：已知::::a b c 235=，求22222a ab b 3a 2ab 2b-++-的值.8、“因式分解”法：例.计算：()()()()11221122---------÷-++÷-b a b a b a b a分析：本题若按常规解法，就要先算括号里面的，也就是要分别通分后相加减后再进行后面的运算，步骤是比较多的.我们发现()()222211a b a b -----=-，可以借用整式中分解因式的技巧，将()()222211a b a b -----=-分解成()()1111a b a b ----+-，然后进行约简.解：原式=()()()()()()111111111111a b a b a b a b a b a b ------------+-÷+++-÷- =1111a b a b -----++=12a -=2a变式训练：2121212m m m m 2m 2m 1m 1------------+-9、乘方法、倒数法：例.已知51=+x x ，求①、221xx +；②、44-+x x ；③、1242++x x x .分析：本题按常规解法将要求的式子配方，然后再整体代入求值.有的同学对于配方一类的题显得有些吃力，基础较弱的同学对积的2倍是个常数觉得抽象.其实根据本题的条件和要求的代数式①和②，若用等式两边同时同次方的乘方法仍是在意义条件范围内；③题可以用倒数（分子、分母颠倒）的办法解决.略解：,,2222111x 5x 5x 225x x x ⎛⎫+=∴+=∴++= ⎪⎝⎭①. 221x 25223x +=-=②. 221x 23x+=22244244111x 23x 2529x 5292527x x x ⎛⎫∴+=∴++=∴+=-= ⎪⎝⎭，， ③.设242x m x x 1=++，则422221x x 11x 123124m x x ++==++=+=∴1m 24=，即242x 124x x 1=++. 变式训练：⑴.若1m 7m -=，求①. 22m m --；②. 441m m+；③.242m m m 1++ 的值.⑵.若221a 5a+=，试求1a a -的值.10、去分母法：例.已知：a b 、都是正实数，且ba b a +=-211，求22b 2ab 3a 2ab7-+的值？分析：两头凑，从已知出发通过去分母或通分很容易得出ab 与22a b -之间的关系而要求的代数式变形后是以ab 与22a b -为结构的.解：()()22112b a 2b a a b 2ab a b 2ab a b a b ab a b--=∴=∴-+=∴-=-++∴()()()227ab 7ab 7ab 7ab 7ab722ab 3ab 22ab 3ab 4ab 3ab ab2a b 3ab ======-⨯-+⨯-+-+--+原式变式训练：若331x y -=，求+2225x y 3x 2x y 3xy-的值.11、分类讨论：例.已知k bca a cbc b a =+=+=+，判断一次函数y kx k =-一定经过那些象限？分析：要判断一次函数y kx k =-一定经过那些象限的关键是要确定k 的取值情况，而k 的取值和a b c 、、有关，由于本题未给定a b c 、、的条件，所以要进行讨论. 在当a b c 、、均不等于0的情况下，分为a b c 0++=和a b c 0++≠进行讨论，见下面的解答.解：⑴.当a b c 、、均不等于0且a b c 0++≠时，有()()()()a b b c a c 2a b c k 2c a b a b c+++++++===++++，即y 2x 2=-，此时一次函数的图象经过一、三、四象限.⑵.当当a b c 、、均不等于0，但a b c 0++=时，此时,,a b c a c b b c a +=-+=-+=-，代入c a b k 1c a b---====-，即y x 1=-+，此时一次函数的图象经过一、二、四象限.变式训练：已知a b c 、、均是不等于0的有理数，试求：b ab ac a c bc abca b c ab bc ac abc ++++++的值？课外选练：一、计算或化简：;ba a 2ab b a a b b a .1-÷⎪⎭⎫⎝⎛-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛- ;ba b2a b a b a 1a 2.2---+-+();3x x 13x 4x 1x 2x 1x 2x x x 2x .322222+÷-++++--⋅---()()()();6a a a a 3a 4a a a 2.42222-++++- ;1a 44a 44a 2a 4.5⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯-;21a 1a 44a 14a 81.622⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--- ;1a 4a 4a 2a a 4a 21a a 4a .732222++++--+⋅+--;y xy 2x y x y x xy xy 2x x y x .8222232+-+⋅-÷++- ()()()1x 2x xx 1x x 1x 2x .92222--+⋅-÷+-()().4x 2x 4x x 2x 4x .1022-+-+-+二、解答题：1.如果的值？求zx zy x ,04z 3y 2x -+++≠== 2.已知x 为整数，且9x 18x 2x 322x 22-++-++的值也为整数，求所有符合条件的x 值的和？ 3.先化简,再求值:⎪⎪⎭⎫⎝⎛--÷-x y xy x x y x 22，其中,x 2y 1==-. 4.先化简,再求值:若,1xx =求⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅-÷+-323434x x x x x x x 的值？ 5.在三个整式,-222x 1x 2x 1x x +++，中，请你从中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个进行化简，再求当x 2= 时分式的值？6.阅读题：当a b 0->时，有a b >; a b 0-=时，有a b =; 当a b 0-<时，有a b <. 请运用上面的结论解答下面的问题：,x 0y 0>>时，计算()22222x 2y y y xy 4x 4x 4--+-的值，并比较222y xy 4x 4x 4+-与()22x 2y y -的大小？7.阅读下面题目的解答过程，然后回答问题，计算：().x 42x 2x 4x 4x 122-⋅-+÷+- 解：原式=()()()21x 22x 2x x 2x 2+÷⋅-+--…… 第一步 =()()()21x 22x 2x x 2x 2-⨯⋅-++- …… 第二步 =1 …… 第三步回答：⑴.上述过程中，第一步使用的公式的字母表达式为； ⑵.第二步使用的法则的字母的表达式； ⑶.由第二步到第三步所用的运算方法是； ⑷.在以上三步中，第步有错误，请写出正确答案.8.下课了，老师给大家布置了一道作业题：当31+=x 时，求代数式()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++÷-+-x 21x 1xx 1x 1x 222的值，雯雯一看，感慨道：“今天的作业要算得久啊！”你能找到简单的方法帮雯雯快速解决这个问题吗？请写出你的求解过程.9.有这样一道试题：“先化简，再求值.,4x 14x x 42x 2x 22-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-其中3-=x .”马虎做该题时把“3-=x ”错抄成“3=x ”，但他的计算结果却是正确的，你能解释一下其中的原因吗？10.”“x1x + 模式题组; ⑴、已知：,41=-x x 求xx 1+的值？⑵、已知：-2x 4x 10+=,求221x x +的值？⑶、已知：1,2142422++=+-x x x x x x 求的值?。

八年级数学上册解题技巧专题分式运算中的技巧(新版)新人教版

x －y 的结果是() x A ．－ y 6 ．先化简，再求值： x 2－2x ＋1÷ 1－ 3 ⎫ ⎪，其中 x ＝0.C .2x －y 2 ．化简 m2⎛ 2x x －1⎫ 1 7．计算 2 ⎪÷ 2⎝x －1 x ＋1⎭ x －1的结果是 A .18 ．化简： 2 － 1 ⎫ ⎝a －1 a ＋1⎭·(a － 1) ＝ 9 ．先化简，再求值：1a解题技巧专题：分式运算中的技巧——观特点，定顺序，灵活计算◆类型一按常规步骤运算1 11．计算－2x ＋yx （x －y ） B .x （x －y ）⎝ x ＋1⎭x 2－1x （x －y ）D.yx （x －y ）6 2 m ＋3 ＋ m 2－9 ÷ m －3 的结果是________．3．(2015－2016·祁阳县校级期中 )先2a ＋1 a 2－2a ＋1 1化简，再求值： a 2－1 · a 2－a －a ＋1，1其中 a ＝－ .◆类型二先约分再化简a 2－1 a 2－a4．化简： 2＋2a ＋1÷ a ＋1 ＝________．9－a 25 ．化简求值： (a －3)· a 2－6a ＋9 ＝________，当 a ＝－3 时，该代数式的值为________．◆类型三混合运算中灵活运用分配律＋( )1x 2＋1 B .x 2－1 C ．x 2＋1 D ．x 2－12________．2x－· x 2－y 2＋x ＋y ⎫ 2x ⎭x ＋y ⎝ 10．若 xy －x ＋y ＝0 且 xy≠0，则分式1y A . 1a 12．先化简，再求值： ⎛x －1 x －2⎫ ⎝ x －x ＋1⎭1 ⎛ ⎪，其中 x ＝2，y ＝3.◆类型四分式化简求值注意整体代入x1－的值为( )xy B ．xy C ．1 D ．－1111．已知：a 2－3a ＋1＝0，则 a ＋－2的值为( )A . 5＋1B ．1C ．－1D ．－5⎪ 2x 2－x ÷x 2＋2x ＋1，其中 x 满足 x 2－x －1＝0.参考答案与解析1．A 2.1 3 ．解：原式＝2a ＋1 （a －1）2 1（a ＋1）（a －1） · a （a －1）－ a ＋1 ＝a （a ＋1） a ＋1 a （a ＋1） a 当 a ＝－时，原式＝－2.4. 5.－a －3 06．解：原式＝ ÷ ＝ .当 x2 2x x ＋y 2x x （x ＋1） x （2x －1） x 22a ＋1 1 a ＋1 1－＝＝ .121ax －1 x －2 x －1x ＋1 x ＋1 x －21＝0 时，原式＝ .7．C 8.a ＋31 x 2－y2 19．解：原式＝－－＝－x ＋y .当 x ＝2，y ＝3 时，原式＝1.10．D 11.B12 ．解：原式＝x 2－1－x 2＋2x （x ＋1）2 x ＋1· ＝ x －1＝0，∴x 2＝x ＋1，∴原式＝1..∵x 2 －。

八年级数学上册15-2-1分式的乘除第2课时分式的乘方及乘除混合运算习题新版新人教版

正确.
【解】明明的说法正确.
−
−

理由：
÷
· ＝
＋+
＋＋ +
(+)(−) ( ＋+)

·
·
＝1，

(−)
+
＋+
当 x ≠0且 x ≠±2时，分式的值都是1，
所以明明的说法是正确的.
14. 通常购买同一种西瓜时，西瓜的质量越大，花费越高，

·−

倍.

＝3，那么 a12 b4等于

÷ M3＝1，则 M 的值为
81 .
⁠
－

.
【点拨】
−

·−

3
1，∴ M ＝－

÷ M3 ＝

·
−

，则 M ＝－ .

÷ M3＝－
3＝
÷
M

12.
−
−

(1)若 A ＝
·
÷
，化简 A ；
( a －1) 2 ≠0， a －1≠0.∴ a ≠－2且 a ≠1.
∴ a ＝0.将 a ＝0代入 a －2，得 A ＝ a －2＝0－2
＝－2.
【点方法】
(1)理解法则，若是除法运算，先转化成乘法运
算.(2)分子、分母能分解因式的先分解因式，然后再
约分.(3)运算的结果要化为最简分式或整式.(4)自选数
−

7. 计算

人教版八年级数学上解题技巧专题：分式运算中的技巧.docx

桑水初中数学试卷桑水出品解题技巧专题：分式运算中的技巧——观特点，定顺序，灵活计算◆类型一按常规步骤运算1．计算1x －1x －y 的结果是( )A ．－yx （x －y ） B .2x ＋y x （x －y ）C .2x －y x （x －y ）D .y x （x －y ） 2．化简m m ＋3＋6m 2－9÷2m －3的结果是________．3．(2015－2016·祁阳县校级期中)先化简，再求值：2a ＋1a 2－1·a 2－2a ＋1a 2－a －1a ＋1，其中a ＝－12.◆类型二先约分再化简4．化简：a 2－1a 2＋2a ＋1÷a 2－aa ＋1＝________．5．化简求值：(a －3)·9－a 2a 2－6a ＋9＝________，当a ＝－3时，该代数式的值为________．6．先化简，再求值：x 2－2x ＋1x 2－1÷⎝⎛⎭⎫1－3x ＋1，其中x ＝0.◆类型三混合运算中灵活运用分配律7．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2－1＋x －1x ＋1÷1x 2－1的结果是( )A .1x 2＋1B .1x 2－1C ．x 2＋1D ．x 2－1桑水8．化简：⎝⎛⎭⎫2a －1－1a ＋1·(a 2－1)＝________． 9．先化简，再求值：12x －1x ＋y ·⎝⎛⎭⎫x 2－y 2＋x ＋y 2x ，其中x ＝2，y ＝3.◆类型四分式化简求值注意整体代入10．若xy －x ＋y ＝0且xy ≠0，则分式1x －1y 的值为( )A .1xyB ．xyC ．1D ．－1 11．已知：a 2－3a ＋1＝0，则a ＋1a －2的值为( )A .5＋1B ．1C ．－1D ．－512．先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －x －2x ＋1÷2x 2－xx 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0.参考答案与解析1．A 2.13．解：原式＝2a ＋1（a ＋1）（a －1）·（a －1）2a （a －1）－1a ＋1＝2a ＋1a （a ＋1）－1a ＋1＝a ＋1a （a ＋1）＝1a. 当a ＝－12时，原式＝－2.桑水4.1a5.－a －3 0 6．解：原式＝x －1x ＋1÷x －2x ＋1＝x －1x －2.当x ＝0时，原式＝12.7．C 8.a ＋39．解：原式＝12x －x 2－y 2x ＋y －12x ＝－x ＋y .当x ＝2，y ＝3时，原式＝1.10．D 11.B12．解：原式＝x 2－1－x 2＋2x x （x ＋1）·（x ＋1）2x （2x －1）＝x ＋1x 2.∵x 2－x －1＝0，∴x 2＝x ＋1，∴原式＝1.。

八年级上册数学分式的乘除

在八年级上册的数学课程中，我们学习了一个重要的主题——分式的乘除。

分式是一种特殊的数学表达式，它包含了一个或多个字母，这些字母表示未知数。

分式的乘除运算与整数和小数的乘除运算有所不同，需要遵循一定的规则。

首先，我们来学习分式的乘法。

分式的乘法是将两个分式相乘，得到一个新的分式。

在进行乘法运算时，我们需要先将分子与分子相乘，然后将分母与分母相乘。

例如，计算2/3乘以4/5，我们可以得到(2*4)/(3*5)=8/15。

接下来，我们来学习分式的除法。

分式的除法是将一个分式除以另一个分式，得到一个新的分式。

在进行除法运算时，我们需要先将被除数的倒数乘以除数，然后进行乘法运算。

例如，计算2/3除以4/5，我们可以得到(2*5)/(3*4)=10/12=5/6。

在学习分式的乘除时，我们需要掌握一些基本的技巧和规律。

例如，我们可以将复杂的分式化简为最简形式，这样可以简化计算过程。

此外，我们还需要注意约分和通分的概念，这对于解决实际问题非常重要。

人教版八年级上册数学分式混合运算的技巧专题

∴原式＝22＝1.ຫໍສະໝຸດ 原式＝－1 2＋2－
2＝－12.
[2019·枣庄]先化简，再求值：x2x－2 1÷x－1 1＋1，其中，x 为整数且满足不等式组x5－－12＞x≥1，－2.
解：原式＝（x＋1）x（2 x－1）÷1＋x－x－1 1＝（x＋1）x（2 x－1）·x－x 1＝x＋x 1，
解不等式组，得 2＜x≤72，∵x 为整数，∴x＝3， ∴原式＝x＋x 1＝3＋3 1＝34.
[2019·遂宁]先化简，再求值：a2－a22－abb＋2 b2÷a2－a ab－a＋2 b，其中 a，b 满
足(a－2)2＋ b＋1＝0. 解：原式＝（a＋（ba）－（b）a－2 b）÷a（a－ a b）－a＋2 b＝aa－＋bb·a－1 b－a＋2 b＝－a＋1 b.
∵(a－2)2＋ b＋1＝0， ∴a＝2，b＝－1，∴原式＝－1.
[2019·本溪]先化简，再求值：(a2－a2－4a4＋4－2－1 a)÷a2－2 2a.其中 a 满足 a2 ＋3a－2＝0.
解：原式＝（a－（2a）－（2）a＋2 2）＋a－1 2·a（a－ 2 2）＝aa＋－22＋a－1 2·a（a－ 2 2）＝aa＋－32·a（a－ 2 2）＝a（a2＋3）＝a2＋2 3a， ∵a2＋3a－2＝0，∴a2＋3a＝2，
[2019·达州]先化简：(xx2＋－22x－x2＋x－4x1＋4)÷4－x x，再选取一个适当的 x 的值代入求值．
解：原式＝x（xx－＋22）－（xx＋－21）2·4－x x ＝xx2－（4x－＋x22）＋2x·4－x x ＝x（xx－＋42）2·4－x x＝（x－＋12）2.
当 x＝1 时，原式＝－19.
计算：(1)x－3x4y＋4xy＋－yx－x－7y4y； (2)x－x2 1－x－1；

部编数学八年级上册专题01运算能力课之分式的化简求值综合专练(解析版)(人教版)含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题01运算能力课之分式的化简求值综合专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．（2021·山西八年级期末）先化简：221a a +-÷（a ＋1）＋22121a a a --+，然后让a 在－1、1、5三个数中选一个合适的数代入求值．【答案】31a a +-；当a ＝5时，原式值为2【分析】先化除法为乘法，然后利用提取公因式、完全平方公式、平方差公式进行因式分解，通过约分对已知分式进行化简，最后代入求值．【详解】解：原式()()()()221111213111111a a a a a a a a a a a ++-++=´+=+=-+----由题意可知：21010210a a a a -¹ìï+¹íï-+¹î解得a ≠±1．所以当a ＝5时，原式＝5325-1+=．【点睛】本题考查了分式的化简求值．分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．就本节内容而言，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．2．（2021·辽宁阜新市·八年级期末）（1）因式分解：22()9()a x y b y x -+-．（2）解不等式组10213(1)x x x ì-<ïíï-£+î．（3）先化简，再求值：2244111x x x x x x -+æö+¸ç÷---èø，其中5x =．【答案】（1）()(3)(3)x y a b a b --+；（2）22x -£<；（3）11,23x -【分析】（1）先提公因式，再用公式法因式分解；（2）分别解不等式①②，再求不等式组的解集；（3）先化简分式，再将x 的值代入求解【详解】（1）原式()2222()9()()9a x y b x y x y a b =---=--()(3)(3)x y a b a b =--+（2）10213(1)x x x ì-<ïíï-£+î①②由①得，2x <，由②得，2x ³-，∴原不等式组解集为22x -£<．（3）原式2211(2)x x x x --æö=´ç÷--èø2(2)(1)1(2)x x x x ----=´--12x =-当5x =时，原式11523==-．【点睛】本题考查了多项式的因式分解，解一元一次不等式组，分式的化简求值，熟练运用以上知识是解题的关键．3．（2021·甘肃）先化简，再求值：22242244x x x x x -æö-¸ç÷--+èø，请在2-、0、2中选择一个适合的x 的值，代入求值．【答案】42x -+；-2【分析】把括号内通分，把除法转化为乘法约分化简，然后取一个使原分式有意义的数代入计算．【详解】解：原式2224244224x x x x x x x --+æö=-×ç÷---èø2242(2)2(2)(2)x x x x x x ---æö=×ç÷-+-èø24(2)(2)(2)(2)x x x x --=×-+-42x =-+，∵当x =2或-2时原分式无意义，∴x =0，∴原式4202=-=-+．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．4．（2021·安徽七年级期末）先化简，再求值：25(3)(222x x x x +--¸++，其中x ＝4．【答案】33x x -+，17【分析】先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出答案即可．【详解】解：25(3)(222x x x x +--¸++＝2(2)(2)522(3)x x x x x -+-+++g 2292=2(3)x x x x -+++g ()()2332=2(3)x x x x x +-+++g 3=3x x -+，当x ＝4时，原式＝4343-+＝17．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则，正确进行化简是解题关键．5．（2021·安徽七年级期末）先化简，再求值：21(1)11x x x x --¸++，其中x 是16的算术平方根．【答案】11x --，1-3．【分析】先求出x 的值，再运用分式的四则混合运算法则进行化简，将x 的值代入计算即可．【详解】解：4，∴x ＝4．21(1)11x x x x --¸++＝111()11(1)x x x x x x ++-×++-＝11(1)x x x x x +-×+-＝11x --．当x =4时，原式＝11x --＝11413-=--．【点睛】本题主要考查了算术平方根、分式的化简求值，正确的运用分式的四则混合运算法则进行化简是解答本题的关键．6．（2021·安徽七年级期末）观察以下等式：①111112212-==´；②111123623-==´；③1111341234-==´…，按以上规律解决下列问题：（1）第⑤个等式是．（2）探究：111122334++´´´…+1(1)n n ´+＝（用含的等式表示）；（3）计算：若111133557++´´´+…1(21)(21)n n -´+＝1633，求n 的值．【答案】（1）1115656-=´；（2）1n n +；（3）16【分析】（1）根据规律写出第5个等式即可；（2）根据规律裂项相消即可；（3）根据（2）的规律整理出n 的方程，解出n 值即可．【详解】解：（1）根据规律可知，第⑤个等式是1115656-=´故答案为：1115656-=´；（2）由规律可得，()1111111111111223341223341n n n n ++=-+-+-++-´´´´++L L 111n =-+1nn =+故答案为：1n n +；（3）∵11111323æö=-ç÷´èø，111135235æö=-ç÷´èø，111157257æö=-ç÷´èø∴可以得到()()1111212122121n n n n æö=-ç÷-´+-+èø∴()()11111335572121n n ++´´´-´+1111111112335572121n n æö=-+-+-++-ç÷-+èøL 111221n æö=-ç÷+èø21n n =+∵()()111116133557212133n n ++=´´´-´+∴162133n n =+解得n ＝16，经检验n ＝16，是该分式方程的解，故n 的值为16．【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，利用规律化简分式是解题的关键.7．（2021·山东八年级期末）先化简再求值：2222a b ab b b a ab æö+--¸ç÷èø，已知4a b =-．【答案】2a b -，-2【分析】先将括号内两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把4a b =-代入计算即可就求出值．【详解】解：原式222=()22()a b ab ab a a b a b +-×-2()2a b a a a b-=×-2a b -=． ∵4a b =-，∴a -b =-4．∴原式=-2．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．8．（2021·无锡市天一实验学校八年级期中）先化简再求值：23331111x x x x x -¸--++，其中2x =-．【答案】()11x x +，12【分析】先把除法化为乘法，再进行约分，然后算分式的减法，再代入求值，即可求解．【详解】解：原式=()3(1)111(1)31x x x x x x -+×-+-+=111x x -+=()()111x x x x x x +-++=()11x x +，当x =-2时，原式=()1221-´-+=12．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的约分和通分是解题的关键．9．（2021·安徽）先化简，再求值（1﹣22221m m m +++）÷（11m -），其中m ＝2．【答案】1m m +，23【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把m 的值代入计算即可．【详解】解：22211121m m m m +æöæö-¸-ç÷ç÷++èøèø222122121m m m m m m m æö++---æö=¸ç÷ç÷++èøèø221121m m m m m æö--=¸ç÷++èø()()()21111m m mm m +-=-+g 1mm =+把2m =代入上式中原式221213m m ===++【点睛】本题考查分式的化简求值．注意运算顺序和约分法则．还需注意分式的分母不能为0．10．（2021·云南）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．229216926x x x x x -+-+++ 2(3)(3)21(3)2(3)x x x x x +-+=-++ 第一步32132(3)x x x x -+=-++ 第二步2(3)212(3)2(3)x x x x -+=-++ 第三步26(21)2(3)x x x --+=+ 第四步26212(3)x x x --+=+ 第五步526x =-+ 第六步任务一填空在以上化简步骤中，其中有一步是根据分式的基本性质：“分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，”对分式进行通分．这是第__________步；任务二订正请写出该分式化简的正确过程；任务三求值当114x -æö=ç÷èø时，求该分式的值．【答案】任务一：三；任务二：见解析；任务三：12-【分析】任务一：根据分式的基本性质即可判断；任务二：依据分式的加减运算法则计算可得；任务三：将x 的值化简代入计算即可．【详解】解：任务一：以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质，故答案为：三；任务二：解：原式2(3)(3)21(3)2(3)x x x x x +-+=-++32132(3)x x x x -+=-++2(3)212(3)2(3)x x x x -+=-++26(21)2(3)x x x --+=+ 26212(3)x x x ---=+ 726x =-+．任务三：解：当11()44x -==时，原式71=2462=--´+．【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式的基本性质．11．（2021·苏州市景范中学校九年级二模）先化简，再求值：2222(1)32111x x x x x x x x ++-¸--+--，其中1x =+．【答案】31x -【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x 的值代入原式即可求出答案．【详解】解：原式=22(1)(1)3(1)(1)(1)1x x x x x x x x ++-¸--+--=22(1)(1)(1)3(1)(1)1x x x x x x x x ++--´--+-=311x x x x ----=31x x x -+-=31x -；当1x =时，原式=【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．12．（2021·山东）化简和化简求值（1）21(11a a a a+¸--；（2）先化简2221(21)11x x x x x x -+¸++-+，再从-1，0，1中选择合适的x 值代入求值．【答案】（1）a -（2）11x -；当0x =时，原式1=-【分析】（1）先将括号里通分计算，再算除法；（2）先运用通分法则计算括号内部分，然后将除法转换为乘法计算化简后，挑一个使分式有意义的值代入计算即可．【详解】解：（1）原式11=(+)11(1)a a a a a a -¸---1(1)1a a a ´--=a =-；（2）原式2221(1)()11(1)(1)x x x x x x x -+=-+++-g 1111x x x +=+-g ，11x =-，由分式可知：1x ¹±，当0x =时，原式1=-．【点睛】本题主要考查分式的化简求值以及分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键．13．（2021·江苏八年级期末）化简或解方程：（1）化简：21442a a a+--；（2）先化简再求值：222()111a a a a a ++¸+--，其中a 1．（3）解分式方程：11322x x x -=---．【答案】（1）124a +；（2）31a +；（3）原方程无解．【分析】（1）先把分式的分母分解因式，再通分，最后根据同分母的分式相加的法则求出答案即可；（2）先算括号内的加法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可；（3）方程两边都乘以x ﹣2得出方程1＝x ﹣1﹣3（x ﹣2），求出方程的解，再进行检验即可．【详解】解：（1）解：原式＝()()()12222a a a a -+--，＝()()()22222a a a a -++-，＝()()2222a a a -+-，＝()122a +，＝124a +；（2）222()111a a a a a ++¸+--解：原式＝()()221111a a a a a a éù+-+×êú++-êúëû，＝()()()()()21211111a a a a a a a a éù-+-+×êú+-+-êúëû，＝()()3111a a a a a -×+-，＝31a + ，当a 1- （3）11322x x x -=---，解：方程两边都乘以x ﹣2，得1＝x ﹣1﹣3（x ﹣2），解得：x ＝2，检验：当x ＝2时，x ﹣2＝0，所以x ＝2是增根，即原方程无解．【点睛】本题主要考查分式化简求值和解分式方程，解决本题的关键是要熟练掌握分式化简求值和解分式方程的方法.14．（2021·湖北八年级期末）先化简，再求值：2222b b a a b a b ab bæö-¸ç÷--+èø，其中a ＝，b1．【答案】2,3b a b-【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a 、b 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：2222b b a a b a b ab bæö-¸ç÷--+èø=()()()()2b a b b b a b a b a b a +-+´+-=ab a b b a -´=2b a b-当a时，3===．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，代值计算要仔细．15．（2021·福建莆田二中）先化简，再求值：（1﹣2a a a +）÷22121a a a -++，其中2a =．【答案】1a a -，2【分析】利用通分,因式分解,运算法则细心计算即可．【详解】解：原式=()()()222111a a a a a a a a +-+-¸++=()()()()221·111a a a a a a +++-=1a a -，当2a =时，原式2221==-．【点睛】本题考查了分式的化简，熟练运用分式的通分，因式分解，约分进行化简是解题的关键．16．（2021·河南八年级期末）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务：22112221x x x x x ---+++＝2(1)(1)12(1)(1)x x x x x +---++…第一步＝1112(1)x x x x ---++…第二步＝2(1)12(1)2(1)x x x x ---++…第三步＝2(1)(1)2(1)x x x ---+…第四步＝2212(1)x x x ---+…第五步＝322x x -+…第六步任务一：填空：（1）以上化简步骤中，第一步进行的运算是．A ．整式乘法B ．因式分解（2）以上化简步骤中，第步是进行分式的通分，通分的依据：．（3）第步开始出现错误，这一步错误的原因：．任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果，并从不等式组211102x x +³ìïí-+>ïî的解集中选择一个合适的整数作为x 的值，代入求值；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．【答案】任务一：（1）B ；（2）四，分式的基本性质；（3）五，去括号没有变号；任务二：122x x -+，12-或0；任务三：分式化简时需要注意分母的取值不为零．【分析】任务一：分式化简的要先因式分解，再通分；任务二：解不等式组，求得解集，选取合适的值，代入计算即可；任务三：在运算时，去括号要注意变号，代入求值时，注意分母的取值．【详解】解：（1）第一步进行因式分解，故选：B ；（2）第四步分式通分，通分根据分式的基本性质，故答案为：四，分式的基本性质；（3）第五步出现错误，原式2(1)(1)2(1)x x x ---=+2212(1)x x x --+=+，在去括号时符号错误，故答案为：五，去括号没有变号；任务二：22112221x x x x x ---+++2(1)(1)1(1)2(1)x x x x x +--=-++1112(1)x x x x --=-++2(1)12(1)2(1)x x x x --=-++2(1)(1)2(1)x x x ---=+2212(1)x x x --+=+122x x -=+，解不等式组2 1 110 2x x +³ìïí-+>ïî①②，由①得，x ≥﹣1，由②得，x ＜2，∴不等式组的解集为﹣1≤x ≤2，∵x ≠﹣1，∴x 可以取0，1，当x =0时，原式=12-，当x =1时，原式=0；任务三：分式化简时需要注意分母的取值不为零．【点睛】本题考查了分式的化简，解不等式组，熟练掌握分式化简的方法，掌握分式的基本性质，注意分母的取值不为零的情况是解题的关键．17．（2021·贵州八年级期末）先化简，再求值：（x ﹣2122x -+）42x x -¸+，其中x ＝5．【答案】﹣x ﹣4，﹣9．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算即可．【详解】解：(x ﹣2122x -+)42x x -¸+()()22122x x x -+-=+•24x x +-2162x x -=+•24x x +- ()()442x x x +-=+•()24x x +-- ＝﹣(x +4)＝﹣x ﹣4，当x ＝5时，原式＝﹣5﹣4＝﹣9．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．18．（2021·湖南师大附中博才实验中学八年级期末）先化简，再求值：（1﹣31x +）÷2441x x x -++，其中x ＝3．【答案】1,12x -．【分析】先将括号里的分式通分，然后按照分式减法法则计算，再根据分式除法法则进行运算即可将分式化简，最后代入字母取值进行计算即可求解.【详解】解：原式＝()2213111x x x x x -+æö-¸ç÷+++èø，=()22112x x x x -+×+-，＝12x -，当x ＝3时，原式＝1132=-．【点睛】本题主要考查分式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握分式的通分和分式的运算法则.19．（2021·浙江七年级期末）先化简，再求值：x y xy -÷（x y y x-），其中x ＝12，y ＝﹣13．【答案】1x y+，6【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x 与y 的值代入原式即可求出答案．【详解】解：原式＝22x y x y xy xy--¸＝22x y xy xy x y --g ＝()()x y xy xy x y x y -+-g ＝1x y+，当x ＝12，y ＝﹣13时，原式＝116＝6．【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则进行计算，本题属于基础题型．20．（2021·辽宁八年级期末）先化简，再求值：2211121x x x x x---¸++，其中3x =．【答案】11x +，14【分析】根据分式的运算法则及运算顺序进行化简，再代入求值即可．【详解】解：2211121x x x x x---¸++()()()211111x x xx x +-=-×-+11=-+x x 11+-=+x x x 11x =+，当3x =时，原式131=+14=．【点睛】此题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．21．（2021·四川成都市·九年级期末）先化简，再求值：232a a a --÷（a +2﹣52a -），其中a 2+3a ﹣1＝0．【答案】213a a +，1【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：原式＝()()()225322a a a a a a +---¸--＝()()()()23233a a a a a a --´-+-＝()13a a +＝213a a +，∵a 2+3a ﹣1＝0，∴a 2+3a ＝1，则原式＝1．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（2021·山西临汾市·八年级期中）计算：（1）101(1)12p -æö--+-ç÷èø（2）2241611a a a a a æö--+¸ç÷--èø，其中2a =-．【答案】（1（2）14a -+，12-【分析】（1）利用零指数幂，负正数指数幂，绝对值的性质化简计算即可；（2）先将括号内的分式通分计算，同时将除法转化为乘法，约分化简计算即可；【详解】解：（1）原式211=-+-=（2）原式24(1)(4)(4)111a a a a a a a a æö--+-=+¸ç÷---èø411(4)(4)a a a a a --=×-+-14a =-+．当2a =-时，原式11242=-=--+．【点睛】本题主要考查实数的混合运算及分式的混合运算，熟练运用零指数幂，负整数指数幂及绝对值的运算性质和分式的混合运算法则计算是解题的关键．23．（2021·重庆实验外国语学校八年级期末）化简求值：232228323y x x y x x y x y x xy y x yæö+-+¸×ç÷+++-èø，其中x y =【答案】x y x +-，﹣1【分析】先利用完全平方公式和提取公因式法和平方差公式分解因式，然后根据分式的运算法则进行化简，然后将x 与y 的值代入原式即可求出答案．【详解】解：2322283·23y x x y x x y x y x xy y x yæöæö+-+¸ç÷ç÷+++-èøèø()()22222383x x y y x y x x y x yx y éù+æö-+=¸êç÷+-+èøêúëûg ()()2222933x y y x x x y x x y x y +-=++-g g ()()()()223333y x y x x y x x y x x y x y+-+=++-g g x yx +=-把x =，y =原式＝﹣1﹣y x ＝﹣1【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握分式的混合运算的相关方法.24．（2021·辽宁鞍山市·八年级期中）已知2m =2121m m m -+-的值．【答案】3【分析】结合m 值先化简分式，再将m 的值代入化简后的式子求解即可．【详解】2121m m m -+-2(1)1m m -=-11(1)m m m m -=---．Q 2m =110m \-=<，\原式1121123m m =-+===．【点睛】本题考查了分式的化简，二次根式的性质，分母有理化，正确的计算是解题的关键．25．（2021·辽宁葫芦岛市·八年级期中）给出以下式子：224114422x x x x x x æö-+-¸ç÷-+-+èø，先简化，然后从1-，2，2+【答案】22x x +-，2x =+1【分析】先根据分式的运算法则及运算顺序进行化简，再将使原式有意义的未知数的值代入计算即可．【详解】解：原式()()()22212212x x x x x x éù+-+=-×êú-+-êúëû212221x x x x x ++æö=-×ç÷--+èø1221x x x x ++=×-+x 2x 2+=-，由题意得，20x -¹，20x +¹，10x +¹，∴2x ¹，2x ¹-，1x ¹-，∴当2x =+原式==1=【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式的化简求值，熟练掌握分式和二次根式的运算法则是解决本题的关键．26．（2021·河南南阳市·八年级期中）已知a 2+a ＝1，求代数式221312442a a a a a a a +---¸++++的值．【答案】222a a +-，-2【分析】先根据分式的运算法则进行化简，然后整体代入21a a +=即可求解．【详解】解：原式＝()22122123a a a a a a +-+-´+-+＝()()213221a a a a a +--++-＝()()221321a a a a --++-222a a =+-21a a +=Q \原式2212==--【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握整体代入思想是解题的关键．27．（2021·胶州市初级实验中学九年级一模）（1）计算：212111a a a a a +æö-+¸ç÷++èø（2）解不等式组：235123x x x -³-ìïí+<ïî（3）关于x 的方程()21310m x x ++-=有两个实数根，求m 的取值范围【答案】（1）2a a +；（2）不等式组的解集为3x >；（3）m 的取值范围为134m £且1m ¹-．【分析】（1）由分式的加减乘除混合运算进行化简，即可得到答案；（2）分别求出每个不等式的解集，然后取公共部分，即可得到答案；（3）根据根的判别式0D ³，即可求出m 的取值范围．【详解】解：（1）212111a a a a a +æö-+¸ç÷++èø=211111(2)a a a a a a æö-++´ç÷+++èø=211(2)a a a a a +´++=2a a +；（2）235123x x x -³-ìïí+<ïî①②解不等式①，得1x ³-；解不等式②，得3x >；∴不等式组的解集为3x >；（3）∵关于x 的方程()21310m x x ++-=有两个实数根，∴()()234110m D =-´+´-³，∴134m £；当10m +=，即1m =-时，原方程是一元一次方程，只有一个解，不符合题意；∴1m ¹-；∴m 的取值范围为134m £且1m ¹-．【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，分式的化简，解不等式组，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行计算．28．（2021·浙江七年级期末）按条件求值：①若分式52x +的值是整数，求非负整数x 的值．②已知分式321x x -+可以写成531x -+，利用上述结论解决；若分式234x x--表示一个整数，求整数x 的值．③化简：235222x x x x x x -æö¸+-¸ç÷--èø，再从0，2±，3±五个数中，选择一个你最喜欢的数代入并求值．【答案】①3；②3或5或9或-1；③13x +，1【分析】①根据分式的值是整数可得x +2=±5，从而求出x ；②将分式变形为524x ---，参照①中方法即可求出x ；③首先通分，计算括号里面分式的减法，然后再计算括号外的除法，化简后，再根据分式有意义的条件确定x 的值，然后代入x 的值即可．【详解】解：①分式52x +的值是整数，∴x +2=±5，∴x =3或x =-7，∵x 为非负整数，∴x =3；②234x x--=()42384x x --+--=524x ---，∴x -4=±1或±5，∴x =3或5或9或-1；③235222x x x x x x -æö¸+-¸ç÷--èø=()2345222x x x x x x x -æö-¸-¸ç÷---èø=()23922x x x x x x --¸¸--=()()()321233x x x x x x x--´´-+-=13x +∵x 不能取0，3，2，-3，∴x =-2时，原式=123-+=1．【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握分式的除法和减法计算法则，正确把分式进行化简．29．（2021·山西八年级期中）阅读材料，完成任务．一道习题引发的思考小明在学习第16章《分式》时，遇到了一道习題，并对有关内容进行了研究：习题再现：己知12a a +=，求221a a+的值；解题过程：解：2112,4,a a a a æö+=\+=ç÷èøQ 221124a a a a \+×+=，即22124a a++=，2212a a \+=．通过以上的解题思路，小明可以总结出论：已知形如n mx a x ±=（m ，n 为常数，我们可以利用完全平方公式计算求出2222n m x x +的值．任务：（1）请你帮小明计算2222n m x x+的值；（2）①若131(0)2b b b -=>，求22194b b +的值；②在①的基础上，求132b b+的值．【答案】（1）22a mn -；（2）①4；．【分析】（1）根据阅读材料中的方法配成完全平方式即可求解；（2）①根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出值即可；②对132b b +两边平方后，利用①的结论计算即可．【详解】解：（1）∵n mx a x +=（m ，n 为常数，0mn ¹），∴2222222222n n m n n m x m x x x x mx x x+=+-+××2()2n mx mn x=-+22a mn =-；（2）①∵131(0)2b b b -=>，∴222211211993232244b b b bb b b b -´×´+×+=+21(3)32b b=-+13=+4=；②222111(3)923224b b b b b b+=+´´+221934b b=++43=+7=，∵0b >，∴132b b+=．本题考查了配方法的应用，分式的化简求值，利用完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2配方是解题关键．。

专题09分式方程实际应用的三种考法(解析版)【压轴必考】八年级数学上册压轴题攻略(人教版)

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题09 分式方程实际应用的三种考法类型一、销售利润问题例1．某公司推出一款桔子味饮料和一款荔枝味饮料，桔子味饮料每瓶售价是荔枝味饮料每瓶售价的54倍．4月份桔子味饮料和荔枝味饮料总销售60000瓶，桔子味饮科销售额为250000元，荔枝味饮料销售额为280000元．(1)求每瓶桔子味饮料和每瓶荔枝味饮料的售价？(2)五一期间，该公司提供这两款饮料12000瓶促销活动，考虑荔枝味饮料比较受欢迎，因此要求荔枝味饮料的销量不少于桔子味饮料销量的32；不多于枯子味饮料的2倍．桔子味饮料每瓶7折销售，荔枝味饮料每瓶降价2元销售，问：该公司销售多少瓶荔枝味饮料使得总销售额最大？最大销售额是多少元？【答案】(1)每瓶桔子味饮料的售价为10元，每瓶荔枝味饮料的售价为8元；(2)当m ＝7200时，销售额最大，w 最大值是76800元【解析】(1)解：设每瓶荔枝味饮料的售价为x 元，则每瓶桔子味饮料的售价为54x 元，依题意，得：2500002800006000054x x +=，解得：x ＝8，经检验，x ＝8是原方程的解，且符合题意，∴54x ＝10（元），答：每瓶桔子味饮料的售价为10元，每瓶荔枝味饮料的售价为8元．(2)解：设销售荔枝味饮料m 瓶，则销售桔子味饮料（12000﹣m ）瓶，依题意，得：3(12000)22(1200)m m m m ì³-ïíï£-î，解得：7200≤m ≤8000，设总销售额w 元，则100.7(12000)684000w m m m ´´-+-+＝＝∵w 是m 的一次函数，且k ＝﹣1＜0，∴当m ＝7200时，销售额最大，w 最大值是76800元【变式训练1】某超市销售A 、B 两款保温杯，已知B 款保温杯的销售单价比A 款保温杯多10元，用600元购买B 款保温杯的数量与用480元购买A 款保温杯的数量相同．(1)A 、B 两款保温杯销售单价各是多少元？(2)由于需求量大，A ，B 两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A 款保温杯的数量不少于B 款保温杯数量的一半，若两款保温杯的销售单价均不变，进价均为30元/个，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？【答案】(1)A 款保温杯销售单价为40元，B 款保温杯销售单价为50元(2)购进A 款40个，B 款80个能使销售利润最大，最大利润2000元【解析】(1)解：设A 款销售单价为x 元，则B 款销售单价为（10x +）元，根据题意得：60048010x x=+，解得40x =，经检验，40x =是原方程的解且符合题意，∴10401050x +=+=，答：A 款保温杯销售单价为40元，B 款保温杯销售单价为50元；(2)解：设购进A 款保温杯m 个，则购进B 款保温杯（120－m ）个，总利润为W 元，∵1201202m m -££，∴40120m ££，根据题意得：()()()40305030120102400W m m m =-+--=-+，∵100-<，∴W 随m 的增大而减小，∴40m =时，W 最大，且2000W =最大值，此时1201204080m -=-=，答：购进A 款40个，B 款80个能使销售利润最大，最大利润2000元【变式训练2】国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A ，B 两种型号的低排量汽车，其中A 型汽车的进货单价比B 型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A 型汽车的数量与花40万元购进B 型汽车的数量相同．(1)求A ，B 两种型号汽车的进货单价；(2)销售过程中发现：A 型汽车的每周销售量yA （台）与售价xA （万元台）满足函数关系yA ＝﹣xA +18；B 型汽车的每周销售量yB （台）与售价xB （万元/台）满足函数关系yB ＝﹣xB +14．若A 型汽车的售价比B 型汽车的售价高1万元/台，设每周销售这两种车的总利润为w 万元．①当A 型汽车的利润不低于B 型汽车的利润，求B 型汽车的最低售价？②求当B 型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？【答案】(1)A 种型号汽车的进货单价为10万元、B 两种型号汽车的进货单价为8万元(2)①B 型汽车的最低售价为414万元/台，②A 、B 两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是23万元【解析】(1)解：设B 型汽车的进货单价为x 万元，根据题意，得：502x +＝40x ，解得x ＝8，经检验x ＝8是原分式方程的根，8+2＝10（万元），答：A 种型号汽车的进货单价为10万元、B 两种型号汽车的进货单价为8万元；(2)设B 型号的汽车售价为t 万元/台，则A 型汽车的售价为（t +1）万元/台，①根据题意，得：（t +1﹣10）[﹣（t +1）+18]≥（t ﹣8）（﹣t +14），解得：t ≥414，∴t 的最小值为414，即B 型汽车的最低售价为414万元/台，答：B 型汽车的最低售价为414万元/台；②根据题意，得：w ＝（t +1﹣10）[﹣（t +1）+18]+（t ﹣8）（﹣t +14）＝﹣2t 2+48t ﹣265＝﹣2（t ﹣12）2+23，∵﹣2＜0，当t ＝12时，w 有最大值为23．答：A 、B 两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是23万元．【变式训练3】某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商场用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？（2）现在商场准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x 台，这100台家电的销售总利润y 元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，且购进电冰箱不多于40台，请确定获利最大的方案以及最大利润．（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调(0100)k k <<元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．【答案】（1）每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元；（2）当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元；（3）当50100k <<时，购进电冰箱40台，空调60台销售总利润最大；当50k =时，15000y =，各种方案利润相同；当050k <<时，购进电冰箱34台，空调66台销售总利润最大【解析】解：()1设每台空调的进价为x 元，则每台电冰箱的进价为()400x +元，根据题意得：8000064000400x x=+，解得：1600x =，经检验，1600x =是原方程的解，且符合题意，40016004002000x +=+=，答：每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元．()2设购进电冰箱x 台，这100台家电的销售总利润为y 元，则()()()21002000175016001005015000y x x x =-+--=-+，根据题意得：100240x x x -£ìí£î，解得：133403x ££，x Q 为正整数，34x \=，35，36，37，38，39，40，\合理的方案共有7种，即①电冰箱34台，空调66台；②电冰箱35台，空调65台；③电冰箱36台，空调64台；④电冰箱37台，空调63台；⑤电冰箱38台，空调62台；⑥电冰箱39台，空调61台；⑦电冰箱40台，空调60台；5015000y x =-+Q ，500k =-<，y \随x 的增大而减小，\当34x =时，y 有最大值，最大值为：50341500013300(-´+=元)，答：当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元．()3当厂家对电冰箱出厂价下调(0100)k k <<元，若商店保持这两种家电的售价不变，则利润()()()()21002000175016001005015000y k x x k x =-++--=-+，当500k ->，即50100k <<时，y 随x 的增大而增大，133403x ££Q ，\当40x =时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱40台，空调60台；当50k =时，15000y =，各种方案利润相同；当500k -<，即050k <<时，y 随x 的增大而减小，133403x ££Q ，\当34x =时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱34台，空调66台；答：当50100k <<时，购进电冰箱40台，空调60台销售总利润最大；当50k =时，15000y =，各种方案利润相同；当050k <<时，购进电冰箱34台，空调66台销售总利润最大．【变式训练4】为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：衬衫价格甲乙进价（元/件）m10m -售价（元/件）260180若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠a 元(6080)a <<出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？【答案】（1）甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）共有11种进货方案；（3）当6070a <<时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当70a =时，所有方案获利都一样；当7080a <<时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．【详解】解：（1）依题意得：3000270010m m =-，整理，得：3000(10)2700m m -=，解得：100m =，经检验，100m =是原方程的根，答：甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）设购进甲种衬衫x 件，乙种衬衫(300)x -件，根据题意得：(260100)(18090)(300)34000(260100)(18090)(300)34700x x x x -+--ìí-+--î……，解得：100110x ……，x Q 为整数，110100111-+=，答：共有11种进货方案；（3）设总利润为w ，则(260100)(18090)(300)(70)27000(100110)w a x x a x x =--+--=-+……，①当6070a <<时，700a ->，w 随x 的增大而增大，\当110x =时，w 最大，此时应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；②当70a =时，700a -=，27000w =，（2）中所有方案获利都一样；③当7080a <<时，700a -<，w 随x 的增大而减小，\当100x =时，w 最大，此时应购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．综上：当6070a <<时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当70a =时，（2）中所有方案获利都一样；当7080a <<时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．类型二、方案问题例．某商店决定购进A 、B 两种纪念品．已知每件A 种纪念品的价格比每件B 种纪念品的价格多5元，用800元购进A 种纪念品的数量与用400元购进B 种纪念品的数量相同．（1）求购进A 、B 两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于800元，且不超过850元，那么该商店共有几种进货方案？（3）已知商家出售一件A 种纪念品可获利m 元，出售一件B 种纪念品可获利（6﹣m ）元，试问在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价）【答案】（1）购进A 种纪念品每件需要10元，B 种纪念品每件需要5元；（2）共有11种进货方案；（3）当3m ³；A 种70件，B 种30件时可获利最多；当03m <<，A 种60件，B 种40件时可获利最多【详解】解：（1）设购进A 种纪念品每件价格为m 元，B 种纪念币每件价格为5m -元，根据题意可知：8004005m m =-，解得：10m =，55m -=．答：购进A 种纪念品每件需要10元，B 种纪念品每件需要5元．（2）设购进A 种纪念品x 件，则购进B 种纪念品100x -件，根据题意可得：800105(100)850x x £+´-£，解得：6070££x ，x Q 只能取正整数，60,61,,70x \=×××，共有11种情况，故该商店共有11种进货方案分别为：A 种70件，B 种30件；A 种69件，B 种31件；A 种68件，B 种32件；A 种67件，B 种33件；A 种66件，B 种34件；A 种65件，B 种35件；A 种64件，B 种36件；A 种63件，B 种37件；A 种62件，B 种38件；A 种61件，B 种39件；A 种60件，B 种40件．（3）销售总利润为(100)(6)(26)600100W mx x m m x m =+--=-+-，Q 商家出售的纪念品均不低于成本价，0m \>，根据一次函数的性质，当260m -³时，即3m ³，W 随着x 增大而增大，当70x =时，W 取到最大值；即方案为：A 种70件，B 种30件时可获利最多；当260m -<时，即03m <<，W 随着x 增大而减小，当60x =时，W 取到最大值；即方案为：A 种60件，B 种40件时可获利最多．【变式训练1】为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我县某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m 盒（m 为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m 的代数式表示．（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付总费用w 元；①当总费用不超过1800元时，求m 的取值范围；并求w 关于m 的函数关系式．②若该校有900名学生，按（2）中的配套方案购买，求所需总费用为多少元？【答案】（1）每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元、50元；（2）购买水银体温计5m 盒能和口罩刚好配套；（3）①w ＝450(4)360360(4)m m m m £ìí+>î；②购买口罩和水银体温计各18盒、90盒，所需总费用为6840元【解析】解：（1）设每盒口罩和每盒水银体温计的价格分别是x 元，(150)x -元，根据题意，得1200300150x x =-，解得200x =，经检验，200x =是原方程的解，15050x \-=，答：每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元、50元；（2）设购买水银体温计y 盒能和口罩刚好配套，根据题意，得100210m y =´，则5y m =，答：购买水银体温计5m 盒能和口罩刚好配套；（3）①由题意得：2005051800m m +´…，4501800m \…，4m \…，此时，450w m =；若4m >，则1800(4501800)0.8360360w m m =+-´=+，综上所述：450(4)360360(4)m m w m m ì=í+>î…；②若该校九年级有900名学生，需要购买口罩：90021800´=（支)，水银体温计：9001900´=（支)，此时180010018m =¸=（盒)，51890y =´=（盒)，则360183606840w =´+=（元)．答：购买口罩和水银体温计各18盒、90盒，所需总费用为6840元．【变式训练2】某超市准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件多少元？（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？【答案】（1）甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件45元、50元；（2）商场购进甲种牛奶64件，乙种牛奶23件；或商场购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；或商场购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件；【详解】（1）设甲种牛奶进价为x 元，则乙种牛奶进价为：()5+x 元根据题意，得：901005x x =+ ，∴45x = 当45x =时，0x ¹，且50x +¹∴45x =是方程901005x x =+的解，∴550x += ∴甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件45元、50元；（2）设该商场购进乙种牛奶数量为m 件，则该商场购进甲种牛奶数量为()35m -件∵两种牛奶的总数不超过95件，∴3595m m -+£ ，∴25m £∵销售的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元，∴()()()3549455550371m m --+-³∴17391m ³ ，∴23m ³ ，∴2325m ££∴商场购进甲种牛奶64件，乙种牛奶23件；或商场购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；或商场购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件．【变式训练3】某公司经销甲种产品，受国际经济形势的影响，价格不断下降．预计今年的售价比去年同期每件降价1000元，如果售出相同数量的产品，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．（1）今年这种产品每件售价多少元？（2）为了增加收入，公司决定再经销另一种类似产品乙，已知产品甲每件进价为3500元；产品乙每件进价为3000元，售价3600元，公司预计用不多于5万元且不少于4.9万元的资金购进这两种产品共15件，分别列出具体方案，并说明哪种方案获利更高．【答案】（1）今年这种产品每件售价为4000元；（2）有三种方案：方案①：甲产品进货8件，乙产品进货7件；方案②：甲产品进货9件，乙产品进货6件；方案③：甲产品进货10件，乙产品进货5件；方案①的利润更高．【详解】解：()1设今年这种产品每件售价为x 元，依题意得：10000080000x 1000x=+，解得：x 4000=．经检验：x 4000=是原分式方程的解．答：今年这种产品每件售价为4000元．()2设甲产品进货a 件，则乙产品进货()15a -件．依题意得：()()3500a 300015a 500003500a 300015a 49000ì+-£ïí+-³ïî，解得：8a 10££，因此有三种方案：方案①：甲产品进货8件，乙产品进货7件；方案②：甲产品进货9件，乙产品进货6件；方案③：甲产品进货10件，乙产品进货5件.方案①利润：()()4000350083600300078200-´+-´=，方案②利润：()()4000350093600300068100-´+-´=，方案③利润：()()40003500103600300058000-´+-´=，820081008000>>Q ，\方案①的利润更高.类型三、工程问题例．为稳步推进5G 网络建设，深化共建共享，现有甲、乙两个工程队参与5G 基站建设工程．（1）已知乙队的工作效率是甲队的1.5倍，如果两队单独施工完成该项工程，甲队比乙队多用20天，求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？（2）当甲队施工20天完成5G 基站建设工程的13时，乙队加入该工程，结果比甲队单独施工提前25天完成了剩余的工程．①求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？②若乙队参与该项工程施工的时间不超过12天，求甲队从开始施工到完成该工程至少需要多少天？【答案】（1）乙队单独施工，需要40天才能完成该项工程．（2）①36天，②至少40天【详解】解：（1）设乙队单独施工，需要x 天才能完成该项工程，题意，得1.5120x x=+，解方程，得40x =，经检验，40x =是原分式方程的解，且符合题意．答：乙队单独施工，需要40天才能完成该项工程．（2）①由题意得，甲队单独施工20天完成该项工程的13，所以甲队单独施工60天完成该项工程.甲队单独施工完成剩余23的工程的时间为602040-=（天），于是甲、乙两队共同施工的时间为402515-=（天）．设乙队单独施工需要y 天才能完成该项工程，则11215603y æö+´=ç÷èø，解方程，得36y =.经检验，36y =是原分式方程的解，且符合题意．答：若乙队单独施工，需要36天才能完成该项工程．②设甲队从开始施工到完成该工程需要z 天，依题意列不等式，得1216036z -£，解得：40.z ³【变式训练1】某工程公司承包了修筑一段塌方道路的工程，并派旗下第五、六两个施工队前去修筑，要求在规定时间内完成．（1）已知第五施工队单独完成这项工程所需时间比规定时间多32天，第六施工队单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天，如果第五、六施工队先合作20天，剩下的由第五施工队单独施工，则要误期2天完成那么规定时间是多少天？（2）实际上，在第五、六施工队合作完成这项工程的56时，公司又承包了更大的工程，需要调走一个施工队．你认为留下哪个施工队继续施工能按时完成剩下的工程？【答案】（1）规定的时间是28天；（2）留下第六施工队继续施工能在规定的时间内完成剩下的工程，见解析．【详解】解：（1）设规定的时间是x 天，根据题意，得22013212x x x ++=++，解得28x =，经检验，28x =是原分式方程的解且符合实际意义．答：规定的时间是28天；（2）设第五、六施工队合作完成这项工程的56用了y 天，根据题意，得115283228126y æö+=ç÷++èø，解得20y =，由第五、六施工队单独完成剩下的工程，所需的时间分别为：5111062832æö-¸=ç÷+èø（天），51216628123æö-¸=ç÷+èø（天），因为2220103028,206262833+=>+=<，所以留下第六施工队继续施工能在规定的时间内完成剩下的工程．答：留下第六施工队继续施工能在规定的时间内完成剩下的工程．【变式训练1】某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用30天时间完成整个工程．当一号施工队工作10天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前8天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？【答案】（1）若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要45天；（2）若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要18天【详解】（1）设二号施工队单独施工需要x 天，根据题意得：30830810130x---+=，解得：45x =，经检验，45x =是原分式方程的解∴若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要45天；（2）一号、二号施工队同时进场施工需要的天数为x 天根据题意得：1113045x æö+=ç÷èø∴18x =∴若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要18天．【变式训练2】2019年，在新泰市美丽乡村建设中，甲、乙两个工程队分别承担某处村级道路硬化和道路拓宽改造工程．已知道路硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是8．6千米，其中道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的2倍少1千米．（1）求道路硬化和道路拓宽里程数分别是多少千米；（2）甲、乙两个工程队同时开始施工，甲工程队比乙工程队平均每天多施工10米．由于工期需要，甲工程队在完成所承担的13施工任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了15．设乙工程队平均每天施工a 米，若甲、乙两队同时完成施工任务，求乙工程队平均每天施工的米数a 和施工的天数．【答案】（1）道路硬化里程数为5.4千米，道路拓宽里程数为3.2千米；（2）乙工程队平均每天施工20米，施工的天数为160天【详解】解：（1）设道路拓宽里程数为x 千米，则道路硬化里程数为(21)x -千米，依题意，得：(21)8.6x x +-=，解得： 3.2x =，21 5.4x -=∴．答：道路硬化里程数为5.4千米，道路拓宽里程数为3.2千米．（2）设乙工程队平均每天施工a 米，则甲工程队技术改进前每天施工(10)a +米，技术改进后每天施工点6(10)5a +米，依题意，得：乙工程队施工天数为3200a天，甲工程队技术改造前施工天数为：15400180031010a a ´=++天，技术改造后施工天数为：15400(1)30003610(10)5a a ´-=++天．依题意，得：3200180030001010a a a =+++，解得：20a =，经检验，20a =是原方程的解，且符合题意，3200a∴160=．答：乙工程队平均每天施工20米，施工的天数为160天．【变式训练3】某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区S 米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．（2）若甲工程队每天可以改造a 米道路，乙工程队每天可以改造b 米道路，（其中a b ¹）．现在有两种施工改造方案：方案一：前12S 米的道路由甲工程队改造，后12S 米的道路由乙工程队改造；方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．【答案】（1）甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；（2）方案二所用的时间少【详解】（1）设乙工程队每天道路的长度为x 米，则甲工程队每天道路的长度为()30x +米，根据题意，得：36030030x x=+，解得：150x =，检验，当150x =时，()300x x +¹，∴原分式方程的解为：150x =，30180x +=，答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；（2）设方案一所用时间为：111()222s s a b s t a b ab+=+=，方案二所用时间为2t ，则221122t a t b s +=，22s t a b=+，∴22()22()a b a b S S S ab a b ab a b +--=++，∵a b ¹，00a b >>，，∴()20a b ->，∴202a b S S ab a b +->+，即：12t t >，∴方案二所用的时间少．【变式训练4】2008年5月12日，四川省发生8.0级地震，某市派出两个抢险救灾工程队赶到汶川支援，甲工程队承担了2400米道路抢修任务，乙工程队比甲工程队多承担了600米的道路抢修任务，甲工程队施工速度比乙工程队每小时少修40米，结果两工程队同时完成任务．问甲、乙两工程队每小时各抢修道路多少米．（1）设乙工程队每小时抢修道路x 米，则用含x 的式子表示：甲工程队每小时抢修道路米，甲工程队完成承担的抢修任务所需时间为小时，乙工程队完成承担的抢修任务所需时间为小时．（2）列出方程，完成本题解答．【答案】（1）（x ﹣40）；240040x -；3000x ；（2）甲工程队每小时抢修道路160米，乙工程队每小时抢修道路200米【详解】（1）设乙工程队每小时抢修道路x 米，则甲工程队每小时抢修道路（x ﹣40）米，甲工程队完成承担的抢修任务所需时间为240040x -小时，乙工程队完成承担的抢修任务所需时间为2400600x +＝3000x 小时．故答案为：（x ﹣40）；240040x -；3000x ．（2）依题意，得：240040x -＝3000x ，解得：x ＝200，经检验，x ＝200是原方程的解，且符合题意，∴x ﹣40＝160．答：甲工程队每小时抢修道路160米，乙工程队每小时抢修道路200米．。

八年级数学上册分式混合运算(习题及答案)(人教版)

分式混合运算（习题）例题示范例1：混合运算：412222x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭．【过程书写】2244122241622422(4)(4)14x x x x x x x x x x x x x x ---=-÷----=-÷----=-⋅-+-=-+解：原式例2：先化简(1)211x x x x x x+⎡⎤+÷⎢⎥--⎣⎦，然后在22x -≤≤的范围内选取一个你认为合适的整数x 代入求值．【过程书写】2221122112x x x x x x xx x x x x++--=⋅--=⋅-=-解：原式 ∵22x -≤≤，且x 为整数∴使原式有意义的x 的值为-2，-1或2当x =2时，原式=-2巩固练习1. 计算：（1）22221244x y x y x y x xy y---÷+++；（2）211121a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭；（3）22221a a b a ab a b⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭；（4）2286911y y y y y y ⎛⎫-+--÷ ⎪-+⎝⎭；（5）2221122a ab b a b b a -+⎛⎫÷- ⎪-⎝⎭；（6）24421x x x x -+⎛⎫÷- ⎪⎝⎭；（7）2234221121x x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭；（8）352242x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭；（9）253263x x x x --⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭；（10）211(1)111x x x ⎛⎫--- ⎪-+⎝⎭；（11）22221113x y x y x y x xy x y ⎛⎫⎛⎫--⋅÷-- ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭．2. 化简求值：（1）先化简，再求值：2121122x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭，其中1x ．（2）先化简，再求值：2222225321x y x x yy x x y xy ⎛⎫++÷ ⎪---⎝⎭，其中x =y =（3）先化简22212211211x x x x x x x x ++-⎛⎫+÷+ ⎪--+-⎝⎭，然后在22x -≤≤ 的范围内选取一个合适的整数x 代入求值．（4）已知222111x x xA x x ++=---．①化简A ；②当x 满足不等式组1030x x -⎧⎨-<⎩≥，且x 为整数时，求A 的值．3. 不改变分式2132113x yx -+的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（）A ．263x y x -+B ．218326x yx -+C ．2331x y x -+ D ．218323x y x -+4. 把分式32a b ab-中的分子、分母的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（） A ．不变 B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．缩小为原来的125. 把分式34a bab -中a ，b 的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（） A ．不变 B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．缩小为原来的126. 把分式222xyx y +中x ，y 的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（） A ．不变 B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．缩小为原来的127. 已知47(2)(3)23x ABx x x x +=+-+-+，则A =_______，B =_______．【参考答案】巩固练习1. （1）yx y -+（2）1a -（3）21a（4）22(1)(27)(1)(3)y y y y y y +----（5）2ab（6）2x -+（7）11x x -+ （8）126x -+ （9）124x -+ （10）23x -+（11）y x y-+2. （1）原式11x =+，当1x =时，原式=（2）原式=3xy ，当x =y ==3 （3）原式241x x -=+，当x =2时，原式=0 （4）①11x -；②1 3.B 4.A 5.D 6.A 7.3，1。

人教版八年级上册数学：分式的乘方及乘方与乘除的混合运算

人教版九年义务教育数学八年级（上）
西关中学数学组教师：吕海霞
一般地，当ｎ为正整数时，
a
n
b
n
a a a b bb
a a a b b b
an bn
n
n
即：
a n ：
分式乘方要把分子、分母分别乘方
探究、归纳
分式的乘方法则：
分式乘方要把分子、分母分别乘方
即：
a
n
b
an bn
优秀学案展示
寇微
李佳然
田心语
.赵安琪
表扬
陈薇雷宏毅王文睿冯壮云田文慧段琪凯王雅捷薛婉婧李瑄张灿何昕任益佳宋鲜利王熙蕊
回望目标：
1、经历探索分式的乘方过程，并
结合具体情境说明其合理性.
2、会进行简单分式的乘除乘方的
混合计算，具有一定的化归能力.
分享你我收获
对自己说,你有什么收获? 对老师说,你有什么疑惑? 畅所欲言哦对同学说,你有什么温馨提示?
欢迎各位老师提出宝贵意见，谢谢！

人教版八年级数学上册专题(十四) 分式的运算技巧

解：2a－4 (4)(2－1 x＋1)÷xx2－－34·x2＋2016·益阳)先化简，再求值：(x＋1 1－1－1 x)÷1－x2x2，其中 x＝－12.
解：原式＝－2x，当 x＝－12时，原式＝4
9．(2016·娄底)先化简，再求值：(1－x－2 1)·x2－x2－ 6xx＋9，其中 x 是从 1，2，3 中选取一个合适的数．解：原式＝x－x 3，易知 x＝1 或 3 时无意义，当 x＝2 时，原式＝－2
6．已知 x＋1x＝3，求x4＋xx22＋1的值．
解：∵x4＋xx22＋1＝(x＋1x)2－1＝32－1＝8，∴x4＋xx22＋1＝18
类型二：分式的混合运算 7．计算： (1)(a2－a b2－a＋1 b)÷b－b a；
(3)(2016·泸州)(a＋1－a－3 1)·2aa＋－22；
解：－a＋1 b (2)(x＋1)÷(2＋1＋x x2)；解：x＋x 1
八年级上册人教版数学第十五章分式
专题(十四) 分式的运算技巧
类型一：条件分式求值技法技法 1 整体代入法将条件式和所求分式作适当的恒等变形，然后整体代入求值． 1．已知1x－1y＝5，求3yx＋－53xxyy－－3xy的值．
解：显然 xy≠0.将待求式的分子、分母同时除以 xy，
得3yx－＋35xxyy－－x3y＝－3（1x－1x－1y－1y）3 ＋5＝－35×－53＋5＝－5
x
－x≤1，的值从不等式组2x－1＜4的整数解中选取．
解：原式＝1－x x，解不等式组－2xx－≤11＜，4，得－1≤x＜52，当 x＝2 时，原式＝1－2 2＝－2
12．先化简，再求值：(1－x＋3 2)÷xx2＋－21x－x＋x 1，其中 x 满足 x2－x－1＝0.

八年级上册数学(人教版)专题训练：分式的运算技巧