计算方法：第2章习题答案
计算方法——第二章——课后习题答案刘师少
2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过31021-⨯至少要二分多少？ 解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10.2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10-4的根要二分多少次？证明 令f (x )＝1－x －sin x ，∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间[0，1]内有唯一实根.给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可，亦即 7287.1312lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14.2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式：（1）211x x +=，迭代公式2111kk x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。
计算方法各习题及参考答案
第二章数值分析已知多项式p(x) X1 X3 X2 X 1通过下列点：p(x)试构造一多项式q(x)通过下列点:表中p2(X)的某一个函数值有错误，试找出并校正它•答案：函数值表中P2( 1)错误，应有P2(1)O •利用差分的性质证明12 22n2 n(n 1)(2n1)/6 ・当用等距节点的分段二次插值多项式在区间[1,1]近似函数e x时，使用多少个节点能够保证误差不超过1 1062答案：需要个插值节点・设被插值函数f(x)C4[a,b] 出(叫x)是f(x)矢于等距节点baa Xo X1 Xn b的分段三次艾尔米特插值多项式，步长h •试估计n22I I f (x) H3(h)(x) I I .答案：| |f(x) H3(h) (x) | | M4 hl384第三章函数逼近求f(x) sin x, x [0, 0. 1]在空间span{l, x, x2} ±最佳平方逼近多项式，并给岀平方误差.答案：f (x) sin x的二次最佳平方逼近多项式为-52 sin x p2(x) 0. 832 440 7 10-5 1.000 999 lx 0. 024 985 lx2,二次最佳平方逼近的平方误差为0. 12 2 -12_ (sin x) p2 (x)) dx 0. 989 310 7 10~12・确定参数a, b和c ,使得积分[ax2 bx c 1 ] dx取最小值.l(a,b,c)求多项式f (x) 2x' x3 5x2 1在[1, 1]上的3 次最佳一致逼近多项式p(x) •8 10 a , b 0, c 33答案：f(X)的最佳一致逼近多项式为P(X) ； 7；4用幕级数缩合方法，求f (x) e s ( 1 x 1)上的3次近似多项式p6,3 ( x),并估计I f (x) P6,3(X)I ・答案：23 pe,3 ( x) 0. 994 574 65 0. 997 39583x 0. 542 968 75x2 0. 177 083 33x3,:f (x) P6,3 (x) | | 0. 006 572 327 7J求f (x) e s ( 1 x 1)上的关于权函数(x)的三次最佳平方逼近多1 X"项式S3 ( X),并估计误差I f(X)S3(X)〔2 和I I f(X)S3 (x) I •咎23、口Ss(x) 0. 994 571 0. 997 308x 0. 542 99lx2 0. 177 347 x3,丨丨 f (x) Ss(x) | 12 0. 006 894 83 , | | f (x) Ss( x) | | 0. 006 442 575 ・第四章数值积分与数值微分用梯形公式、辛浦生公式和柯特斯公式分别计算积分x n dx (n 1, 2, 3, 4),并与精确值比较答案：计算结果如下表所示式具有的代数术青度.版权文档，请勿用做商业用途h(1 ) h f (x) dx Aif ( h) Ao f (0) Ai f (h)X1(2 ) if (x) dx [f ( 1) 2f (xi) 3f (x?)]乜11 h 2(3) o f (x)dx 2h[ f (0) f (h)] h2[ f (0) f (h)]答案：(1)具有三次代数精确度(2)具有二次代数精确度(3)具有三次代数精确度. a h xi xo ,确定求积公式X12 31 (x xo) f (x) dx h2EAf (xo) Bf (xi) ] h3[Cf (xo) Df (xi) ] R[f]X中的待定参数A, B, C, D ,使得该求积公式的代数精确度尽量高，并给出余项表达式.2/103)取7个节点处的函数值.用变步长的复化梯形公式和变步长的复化辛浦生公式计算 】山心砥•要求积分13 1610 3和10 6・版权文档，请勿用做商业用途 22 Ts 0. 946满足精度要求；使用复化辛浦生公式时,2 0J 田上述i 公武推导帶修忑项韵営化梯形求积公式K2 其中余域(x)dx= [占(xd 予 CxoH ， &b).为 T N h [f po) 2f (xi) 2f (X2) 2f (XN 1) f (XN )],Xi xo in, (i 0, 1, 2, , N), Nh XN XO •$ x 9、用龙贝格方法计算椭圆 / y 2 1的周长，使结果具有五位有效数字. o 4 答案：1 41 9. 6884 .验证高斯型求积公 e f (x) dx Ao f (xo) Ai f (xi)的系数及节点分别为式f<4)()h 6,其中答案：A 3 , B 7 , C 30 20 1440 P2(x)是以 0, h, 口2h •为插值上的二次插值多项式，用3h0 f ( x)dx 的数值积分公式Ih,并用台劳展开法证明：P2 (x)导岀计算积分h 4 f (0) 0(h 5) • 8Ih 0 P2(X )dx°4给定积分Ih[ f(0) 3f (2h)]'sin x dx(2) (3)答5运用复化梯形公式#算上述积分值，使其截断误差不 聲萝改用复化辛浦生公式计算时，截断误差是多少？亠 10 “ •2取同样的求积节 要求的截断误差不超过106,若用复化辛浦生公式，应取多少个节点处的函数值？ (1)只需n 7.5，取 9个节点，I 0. 946 ba 4 ⑷"41 6h 1 f ⑷()2) |Rn[f]| |2880 2880 4 5(V 0. 271 10 6 用事后误差估计法时，截断误不超过答案：使用复化梯形公式时，I S4 0. 946 083满足精度要求. f (1) (x) dx插值公式推导带有导数值的求积公式(b i2a )[f (b) f (a)] R[f],其中 确定高斯型求积公式0 xf (x) dx Aof (xo) Aif (xi)闻 xo , xi 及系数Ao,Ai.答案：xo 0. 289 949xi 0. 821 162 , Ao 0. 277 556, Ai 0. 389 111. 利用埃尔米特 b%ba[f(R f 山)]Ao 2： 2S Ao 2： 21x 0 2 2, Xi 2 2 . 第五章解线性方程组的直接法1 11用按列选主元的高斯若当消去法求矩 A 的逆矩阵’其中A21 01 1 0答案：用追赶法求解三对角方程组21 X11 131X22111X3221x4欣X4 2, X3L X2 1， XI 0 .第六章解线性代数方程组的迭代法X! 8X2 7X! 9X2 8作简单调整，使得用高斯一赛得尔迭代法求解时对任9x1 X2 X3 7 意初始向量都收敛，并取初始向量X （O ） [0 0 0]T使（k 1）k （）3||x （k bx k （）|| 10.3版权文档，请勿用做商业用途答案：近似解为X” [1.0000 1. 0000 1. 0000] T . 6 . 2讨论松弛因子1. 25时，用方法求解方程组1020X150101x231243x3170103x4答案: xi 2、X3 2X 21,Xi 1.411XI6 1 4. 25 2. 75X20. 512. 753. 5 X31. 25 答 xi 2X2X3用平方根法（分解法）求解方程组3用矩阵的直接三角分解法解方程组4x1 3x2 16 3xi 4x2 X3 20X2 4x312〔121，证明用雅可比迭代法解此方程组发散，而高斯-赛得尔迭代法收敛・12 1 123 0 2 X1bi6・4 设有方程组0 21X2b 2讨论用雅可比方法和咼斯一赛得尔方21 2 X3b3法解此方程组的收敛性•如果收敛，比较哪种方法收敛较 版权文档，请勿用做商业用途为6 . 3给定线性方程组Ax b,其中答案：雅可比方法收敛，高斯一赛得尔方法收敛，且较快.6. 5设矩阵A 非奇异.求证：方程组Ax b 的解总能通过高斯一赛得尔方法得到. …Aaij n n 为对称正定矩阵，对角阵D diag (an, a22 , , ann)・求证：高斯u 一赛得尔方法求解方程组D 2 AD 2x b 时对任意初始向量都收 敛.第七章非线性方程求根例7. 4对方程3x 2 e s 0确定迭代函数(x)及区间［a, b ］,使对xo ［a, b ］,迭代过程 XR i (x), k 0, 1, 2,均收敛，并求解.要求 xk 1 xk | 10x X? 0.458960903 •在［3, 4］上，将原方程改写为e x 3 x 2 ,取对数得性条件，则迭代序列xki In(3 xk 2 ), k 0, 1,2,在［3, 4］中有惟一解.取x 0 3.5 , x xie 3.733067511 •例7 . 6对于迭代函数(x) x c(x 2 3)，试讨论：的收敛性・若收敛，则取 x (0)[0 0 0]T迭代求解，使 ||x (I )x (k)1104-X1 1.50001，X2 答案：方程组的近似解3.33333，X32.16667 •答案：若取(X )e 2 ,则在［1,0］中满足收敛性条件,因此迭代法e 2k , k 0,1,2,在（1,0）中有惟一解•取 X0 0. 5， 3取(X )9 e"i,在［0 ,上1满足收敛性条件， 迭代序列1Xk 1 k 1 03k 0, 1, 2,在[0,1]中有惟一解.取 xo 0. 5,X X140.910001967x 2 ) (x)・满足收敛x In （3(1)当c为何值时，x kl (x k)产生的序列｛x k｝收敛于3；(2)c取何值时收敛最快？顿法收敛，证明牛顿迭代序列｛Xk ｝有下列极限矢系：l k im xk i 2xk xk i第八章矩阵特征值用乘幕法求矩阵A 的按模最大的特征值与对应的特征向量，已矢口 5 5 0 A 0 5. 5 1，要求 x (k)| 10 6,这里 严表示|的第k 次近似值.3 1答案：1 5 ,对应的特征向量为[5,0,0] T :2 5 ,对应的特征向量为[5, 10, T 5 ・]1 1 0＞彳 2的按模最小的特征12例7设不动点迭代xki (x)的迭代函数(x)具有二阶连续导数，/是(x)的不动1 1 5取C,力別If 鼻(X 丿旳个动点3 '妥吞| XkiXkl 1U- •3) 223(1 ) c (,0)时矗代收敛•答案： 31c 时收敛最快• O 、 233)分别取c 1,123，并取xo1.5，计算结果如下表7• 7所示yk点，且(X*) 1,证明迭代式(xk ) , Zk (xk )(yk x k )2 , k 0, 1, 2,二阶收敛于x"・版Xk 1 Xk Zk 2yk Xk权文档，请勿用做商业用途 例设(x) x p(x) f (x) q(x)f 2)，试确定函数p(x)和q(x),使求解f (x) 0且以(x)为迭代函数的迭代法至少三阶收 敛.案:p(x) f X (x )・ q(x) ；[f f (W]3例7设f (x)在[a, b]上有高阶导数,x* (a, b)是 f(x) 0的m(m 2)重根，且牛知A 的按模较大的特征 值用反幕法求矩阵A的近似值为15,用p 5的原点平移法计算1及其对应的特征向量.版权文档，请勿用做商业用途 答案：0 A 的按模最小的特征值为3 0. 238442812212第九章 微分方程初值问题的数值解法用反复迭代(反复校正)的欧拉预估一校正法求解初值问题y © 0] 0<x 0.2 5 ,要求取步长h 0. 1,每步迭代误差不超过10 5 .答案:Y y(0. 1) yi y 】⑷ 0. 904 762 , y(0. 2) y 2 y?⑷ 0.818 594267 一x y , 0<x 0. 4用二阶中点格式和二阶休恩格式求初值问题"“ “嗜厲汀⑹1长h 0.2,运算过程中保留五位小数). 计算得用平面旋转变换和反射变换将向量X [23 0 5] T 变为与 ei [1 0 0 0]T 平行的向量.2/ 38 3/ 385/ 38答案： T3/ 13 2/ 13 0 00 1 010/ 49415/ 4940 13/4940. 324 442 840 0. 486 664 262 0 0. 811107 1040. 486 664 2620.812 176 0480 0.298 039 922H10.811 107 104 0. 298 039 922 00.530 266 798然后用QR 方法求A 的全部特征值.4 4 5答案：取5 2. 234375即有2位有效数字. 532若A 6 4 4 ,试把A 化为相似的上阵， 值， 21n 0 时，Ki 1.000 00, K2 1. 200 00, y(0. 2) yi=l. 240 00n 1 时，Ki 1. 737 60, 用二阶休恩格式, K 2 2. 298 72, 取初值yo 1计算得y(0. 4) y 2 =1. 699 740 1 5. 1248854 ,对应的特征向量为(8) _设方阵A 的特征值都是实数，且满足 n)时， [0.242 4310, 1 , 0. 320 011 7],为求1而作原1 2 n,点平移'试证：当平移量P 2,(2幕法收敛最快•用二分法求三对角对〈方 A的最小特征 使它至少具有2位有212 答案：用二阶中点格式，取初值yo 1n 0 时，Ki 1.000 00, Ka 1.266 67, y(0.2) yi=1.240 00n 1时，Ki 1.737 60, Ka 2.499 18, y(0.4) y 2 =1.701 76用如下四步四阶阿达姆斯显格式 y n 1 y n h(55f n 59 fn 137fn2 9fn 3)/24求初值问题y x y, y(0) 1在［0,0.5］上的数值解•取步长h 0.1 小数点后保留8位•答 y(0.4) y 40.583 640 216 ‘ y(0.5) y 51.797 421 984 ・ 为使二阶中点公式ym yn hf(Xn h 2h,yn h f(Xn, yn))，求解初值问题2 n nh 的大小应受到的限制条件・hf (Xn,yn)用如下反复迭代的欧拉预估T&榴式 yn (k 11) yn h[f(Xn,y n ) f(Xn1,y n (k)1)］'k 0,1,2,; n 0,1,2,求解初值问题心讪•小时，如何选择步长h ，使上述格式矢于k 的迭y(0) 1代收敛•2答案：h 时上述格式尖于K 的迭代是收敛的・e求系数a,b,c,d ，使求解初值问题y f (x, y), y(xo) a 的如下隐式二步法 yn2aynh(bfn2Cfmdfn)的误差阶尽可能高，并指出其阶数•高'为五阶。
计算方法_第2章_数值积分
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计算方法与实习答案1-2
绪论
习题1——10：设 f ( x) = 8 x 5 − 0.4 x 4 + 4 x 3 − 9 x + 1 用秦九韶法求f(3)。 解：
8 − 0.4
24 8 23.6
0
−9
1
x=3
70.8 74.8
224.4 224.4
673.2 664.2
1992.6 1993.6
∴ f(3)=1993.6
第一章 绪论 练习
1．《计算方法》课程主要研究以计算 机为工具的 数值 分析方法 ，并评价 该算法的计算误差。 2．近似值作四则运算后的绝对误差限 公式为 ε ( x1 − x2 ) ≤ ε ( x1 ) + ε ( x2 ) ，近似值 1.0341的相对误差限不大于 1 ×10−2 ， 则它至少有三位有效数字。 4
ln(103 ) ∴k ≥ ln(2) ≥ 9.965
2 2 2
∴需二分10次 需二分 次
方程求根——二分法
习题2——2：用二分法求方程2e-x-sinx=0在区 间[0,1]内的1个实根，要求3位有效数字。
解：1）判断是否在该区间有且仅有一个根 f(0)=2>0，f(1)=2/e-sin1≈-0.1<0， f’(x)=-2e-x-cosx，f’=-3,-2/e-cos1<0 2）判断二分次数 由(b-a)/2k+1=1/2k+1≤1/2*10-3，解得k≥3ln10/ln2≥9.965， 所以需要二分10次，才能满足精度要求。
∴ x≈2.981
方程求根
f (xk )(xk − xk −1) xk +1 = xk − f (xk ) − f (xk −1)
习题2——11：用割线法求方程x3-2x-5=0的根，要 求精确到4位有效数字，取x0=2, x1=2.2。
第二章习题
第二章习题答案2-1 298K 时有摩尔分数为0.4的甲醇水溶液，如果往大量的此水溶液中加1mol 水，溶液的体积增加了17.35ml;如果往大量的此水溶液中加1mol 甲醇，溶液的体积增加39.01ml 。
试计算将0.4mol 的甲醇和0.6mol 的水混合时此溶液的体积，以及此混合过程中体积的变化。
已知298K 时甲醇的密度为0.7911g/ml ，水的密度为0.9971g/ml 。
（注：题目中把甲醇和水的密度单位写错为g/dm 3，并且答案中将溶液的体积变化单位弄错为dm 3）解： 设甲醇用“A ”代表，水用“B ”表示 已知：x A =0.4时，有偏摩尔量V A =⎪⎭⎫⎝⎛∂∂A n V A n p T ≠,,=39.01ml/molV B =17.35ml/mol显然将0.4mol 甲醇和0.6mol 水混合后，x A=0.4， 混合后体积V=V A n A +V B n B=39.016.035.174.0⨯+⨯ =26.01ml加入前甲醇的体积V 甲=甲甲ρm =ml 7911.0324.0⨯=16.18ml加入前水的体积V 水= =水水ρm ml 9971.0186.0⨯=10.83ml∴ 混合前后体积的变化)[]）（水甲83.1018.16-01.26+=+-=∆V V V V ml =-1ml 2-4 D-果糖C 6H 12O 6(B)溶于水（A ）中形成某溶液，质量分数w B=0.095,此溶液在20℃时的密度ρ=1.0365㎏﹒dm -3。
试计算此溶液中D-果糖的摩尔分数，物质的量和质量摩尔浓度。
解:x B =O H B B n n n 2+=O H B n n 20104.0018.0)095.01(018.0095.0)1(=⨯-⨯=-B B water B w M M wc B =V n B =ρ/1/B B M w =018.0095.00365.1⨯=B B M W ρmol·dm -3=0.547 mol·dm -3)095.01(18.0095.0)1(-⨯=-==B B B A B B w M w m n b mol·kg -1=0.583 mol·kg -1 2-8在413.15K 时，纯C 6H 5Cl 和纯C 6H 5Br 的蒸汽压分别为125.238kPa 和66.104kPa,假定两液体组成理想溶液。
计算方法答案王能超
计算方法答案王能超【篇一：计算方法习题集及实验指导书】s=txt>计算机科学与技术系檀明2008-02-10课程性质及目的要求（一）课程性质自计算机问世以来，科学计算一直是计算机应用的一个重要领域，数值计算方法是解决各种复杂的科学计算问题的理论与技术的基础。
《计算方法》课程讨论用于科学计算中的一些最基本、最常用的算法，不但具有数学的抽象性与严密的科学性的特点，而且具有应用的高度技术性的特点。
它对于培养从事计算机应用的科技人才有着重要的作用，是计算机应用专业（本科段）的一门重要的技术基础课程。
（二）目的要求通过本课程的学习和上机实验，了解用计算机解决科学计算问题的方法特点，掌握计算方法中的一些基本概念、基本公式和相应的算法流程，提高根据算法描述设计高级语言程序并进行验证的技能。
在学习过程中，应注重理解和应用，在搞清基本原理和基本概念的基础上，通过习题、编程和上机等环节，巩固和加深已学的内容，掌握重要的算法及其应用。
注重理论与算法的学习和应用相结合，强调编程及上机计算的技能培养，是本课程不同于一般数学课程的重要特点。
（三）学习方法指导1．循序渐进逐章学习本课程从第二章开始，每章都讨论一个大类的算法。
虽然各算法是相对独立的，但是也存在相互联系与前后继承的关系。
前面的概念和算法学好了，后面的内容也就容易学，越学越感到容易。
前面的内容没有学好，后面就会感到难学，甚至会出现越来越感到困难、失去学习信心的情况。
2．稳扎稳打融会贯通学习要扎实、要讲求实效。
每一个重要的概念和公式，都会搞清楚，做到融会贯通。
只有这样，才能取得学习的学习效果。
3．多学练勤做习题教材及本习题集中的每一章都附有适量的习题，可以帮助考生巩固和加深理解所学的知识，提高解题能力。
因此，在学习过程中，应当适合习题进行思考，应当尽可能多做习题，遇到某些不会做的题，应三思之后再请老师给予提示。
4．抓住特点前后联系本课程只讲了五大类算法。
每类算法都是针对一类特定的计算问题，都有其自身的特点。
计算方法_习题第一、二章答案
第一章 误差1 问3.142，3.141，722分别作为π的近似值各具有几位有效数字？分析 利用有效数字的概念可直接得出。
解 π=3.141 592 65…记x 1=3.142，x 2=3.141，x 3=722.由π- x 1=3.141 59…-3.142=-0.000 40…知3411110||1022x π--⨯<-≤⨯ 因而x 1具有4位有效数字。
由π- x 2=3.141 59…-3.141=-0.000 59…知2231021||1021--⨯≤-<⨯x π因而x 2具有3位有效数字。
由π-722=3.141 59 …-3.142 85…=-0.001 26…知231021|722|1021--⨯≤-<⨯π因而x 3具有3位有效数字。
2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。
分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。
解 利用有效数字与相对误差的关系。
这里n=2,a 1是1到9之间的数字。
%5101101|*||)(|1211*=⨯≤⨯≤-=+-+-n rx x x ε3 已知近似数的相对误差限为0.3%，问x*至少有几位有效数字？分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。
解 a 1是1到9间的数字。
1112*10110113%3.0)(--⨯≤⨯=<=x r ε 设x*具有n 位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从而x*至少具有2位有效数字。
4 计算sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0.01%。
分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。
解 设取n 位有效数字，由sin1.2=0.93…，故a 1=9。
411*10%01.01021|*||*||)(-+-=≤⨯≤-=n r a x x x x ε解不等式411101021-+-≤⨯n a 知取n=4即可满足要求。
5 计算76017591-，视已知数为精确值，用4位浮点数计算。
计算方法_课后习题答案
L3 x 的最高次项系数是 6，试确定 y1 。
解： l0 (x)
x x1 x0 x1
x x2 x0 x2
x x3 x0 x3
x 0.5 0 0.5
x 1 0 1
x2 02
= x3
7 2
x2
7 2
x 1
l1 ( x)
x x0 x1 x0
(2 2e1 4e0.5 )x2 (4e0.5 e1 3)x 1
2)根据Lagrange余项定理，其误差为
| R2 (x) ||
f
(3) ( 3!
)
21
(
x)
||
1 6
e
x(
x
1)(
x
0.5)
|
1 max | x(x 1)(x 0.5) |, (0,1) 6 0x1
x2 02
x4= 04
x3
7x2 14x 8 8
l1 ( x)
x x0 x1 x0
x x2 x1 x2
x x3 x1 x3
x0 1 0
x2 1 2
x4 1 4
=
x3
6x2 3
8x
l2 (x)
x x0 x2 x0
i j
而当 k 1时有
n
x jl j
j0
x
n
n
j0 i0 i j
x xi x j xi
x
j
计算方法 习题第一、二章答案
第一章 误差1 问3。
142,3。
141,722分别作为π的近似值各具有几位有效数字？分析 利用有效数字的概念可直接得出. 解 π=3。
141 592 65…记x 1=3。
142，x 2=3。
141，x 3=722。
由π- x 1=3.141 59…-3.142=-0。
000 40…知3411110||1022x π--⨯<-≤⨯ 因而x 1具有4位有效数字。
由π- x 2=3.141 59…-3。
141=—0.000 59…知2231021||1021--⨯≤-<⨯x π因而x 2具有3位有效数字.由π—722=3。
141 59 …-3.142 85…=-0。
001 26…知231021|722|1021--⨯≤-<⨯π因而x 3具有3位有效数字。
2 已知近似数x ＊有两位有效数字，试求其相对误差限. 分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系.解 利用有效数字与相对误差的关系。
这里n=2,a 1是1到9之间的数字。
%5101211021|*||*||)(|1211*=⨯⨯≤⨯≤-=+-+-n ra x x x x ε3 已知近似数的相对误差限为0。
3%，问x ＊至少有几位有效数字？分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。
解 a 1是1到9间的数字。
1112*10)1(2110)19(21102110003%3.0)(--⨯+≤⨯+⨯=⨯<=a x r ε 设x*具有n 位有效数字，令—n+1=—1,则n=2，从而x ＊至少具有2位有效数字.4 计算sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0。
01％。
分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。
解 设取n 位有效数字，由sin1.2=0.93…，故a 1=9。
411*10%01.01021|*||*||)(-+-=≤⨯≤-=n ra x x x x ε解不等式411101021-+-≤⨯n a 知取n=4即可满足要求。
计算方法教程（第2版）习题答案
《计算方法教程(第二版)》习题答案第一章 习题答案1、浮点数系),,,(U L t F β共有 1)1()1(21++---L U t ββ 个数。
3、a ．4097b ．62211101110.0,211101000.0⨯⨯c ．6211111101.0⨯4、设实数R x ∈，则按β进制可表达为：,1,,,3,2,011)11221(+=<≤<≤⨯++++++±=t t j jd d lt t d t t d dd x βββββββ按四舍五入的原则，当它进入浮点数系),,,(U L t F β时，若β211<+t d ，则 l tt d dd x fl ββββ⨯++±=)221()(若 β211≥+t d ，则 l tt d d d x fl ββββ⨯+++±=)1221()(对第一种情况：t l lt l t t d x fl x -++=⨯≤⨯+=-βββββ21)21(1)()(11对第二种情况：t l ltl t t d x fl x -++=⨯≤⨯--=-ββββββ21)21(1)(11 就是说总有： tl x fl x -≤-β21)( 另一方面，浮点数要求 β<≤11d ， 故有l x ββ1≥，将此两者相除，便得t x x fl x -≤-121)(β 5、a ． 5960.1 b ． 5962.1 后一种准确6、最后一个计算式：00025509.0原因：避免相近数相减，避免大数相乘，减少运算次数7、a ．]!3)2(!2)2(2[2132 +++=x x x yb ．)21)(1(22x x x y ++=c ．)11(222-++=x x x yd ． +-+-=!2)2(!6)2(!4)2(!2)2(2642x x x x ye ．222qp p q y ++=8、01786.098.5521==x x9、 m )10(m f - 1 233406.0- 3 20757.0- 5 8.07 710计算宜采用：])!42151()!32141()!22131[()(2432+⨯-+⨯-+⨯--=x x x f第二章 习题答案1、a ．T x )2,1,3(= b ．T x )1,2,1,2(--= c ．无法解2、a ．与 b ．同上， c ．T T x )2188.1,3125.0,2188.1,5312.0()39,10,39,17(321---≈---=7、a ．⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---14112111473123247212122123211231321213122 b ． ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----333211212110211221213231532223522121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111211212130213221219、T x )3415.46,3659.85,1220.95,1220.95,3659.85,3415.46(1= T x )8293.26,3171.7,4390.2,4390.2,3171.7,8293.26(2= 10、T LDL 分解：)015.0,579.3,9.1,10(diag D =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=16030.07895.05.018947.07.019.01L Cholesky 分解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1225.01408.10833.15811.18918.12333.12136.23784.18460.21623.3G 解：)1,1,2,2(--=x 12、16,12,1612111===∞A A A611,4083.1,61122212===∞A A A2)(940)()(12111===∞A Cond A Cond A Cond524)(748)()(22221===∞A C o n d A C o n d A C o n d⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--180.0000180.0000- 30.0000 180.0000- 192.0000 36.0000- 30.0000 36.0000- 9.0000,0.0139 0.1111- 0.0694- 0.1111- 0.0556 0.1111- 0.0694- 0.1111- 0.0139 1211A A1151.372,1666.0212211==--A A15、 1A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代不收敛； 2A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代不收敛； 3A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代收敛；第三章 习题答案1、Lagrange 插值多项式：)80.466.5)(20.366.5)(70.266.5)(00.166.5()80.4)(20.3)(70.2)(00.1(7.51)66.580.4)(20.380.4)(70.280.4)(00.180.4()66.5)(20.3)(70.2)(00.1(3.38)66.520.3)(80.420.3)(70.220.3)(00.120.3()66.5)(80.4)(70.2)(00.1(0.22)66.570.2)(80.470.2)(20.370.2)(00.170.2()66.5)(80.4)(20.3)(00.1(8.17)66.500.1)(80.400.1)(20.300.1)(70.200.1()66.5)(80.4)(20.3)(70.2(2.14)(4--------⨯+--------⨯+--------⨯+--------⨯+--------⨯=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x L Newton 插值多项式：)80.4)(20.3)(70.2)(00.1(21444779.0)20.3)(70.2)(00.1(527480131.0)70.2)(00.1(855614973.2)00.1(117647059.22.14)(4----+------+-+=x x x x x x x x x x x N2、设)(x y y =，其反函数是以y 为自变量的函数)(y x x =，对)(y x 作插值多项式：)1744.0)(1081.0)(4016.0)(7001.0(01253.0)1081.0)(4016.0)(7001.0(01531.0)4016.0)(7001.0(009640.0)7001.0(3350.01000.0)(----+---+--+--=y y y y y y y y y y y N 3376.0)0(=N 是0)(=x y 在]4.0,3.0[中的近似根。
计算理论课后习题答案
3．if a∈∑，使得格(δ(p,a),δ(q,a))内已经写上×，then
begin
4． 给(p,q)格写×；
5． 如果刚刚写上×的格内有先前写入的状态对，此状态对
的格同时也写入×。反复执行5, 直到写入×的格内没
有先前写入的状态对为止；
end else /** 格(δ(p,a),δ(q,a))内无× **/
δ({q1,q2,…,qi},a)={p1,p2,…,pj}
可编辑ppt
6
q0’=[p] , K’和F’以后确定。
δ0 1
δ’：
p {p,q} {p}
0
1
q {r } {r}
[p] [p,q]
[p]
[p,q] [p,q,r]
[p,r]
[p,r] [p,q,s]
[p]
r {s} Φ
s {s} {s} 1 [p] 0 [p,q]
]
[a] 0 [b]
1 0,1 0 0,1
[c]
[e]
1
可编辑ppt
19
9．给定DFA M如图所示。求一个左线性文法G，使得
L(G)=T(M)。 解：有两种方法。 方法1 1.先将M逆转成M’： 2.根据M’构造右线性文 法G’：
1
A0 B1 C
0
0,1
1
A
0 B
1
ε
C
S
0 0,1
ε
P={qap|δ(q,a)=p}∪{qa|δ(q,a)∈F}。
K’= {[a],[b],[c],[e]} F’={[e]} M’=(K’,∑,δ’,[a], F’)
a 0 b1 f
=({[a],[b],[c],[e]},{0,1},δ’,[a],{[e]}) δ’([q],a)=[δ(q,a)]
精品课件-计算方法(蔺小林)-第2章
第二章 线性代数方程组求解方法
定理2.3 设A∈Rn×n为对称矩阵，若det(Ak)>0(k=1, 2, …，n)，或A的特征值λi>0(i=1, 2, …，n)，则A为对称 正定矩阵。
定理2.4(Jordan(若当)标准型) 设A为n 阶矩阵，若存 在一个非奇异矩阵P
第二章 线性代数方程组求解方法
第二章 线性代数方程组求解方法
所以当|xi-yi|→0(i=1，2，…，n)时，有‖x‖→‖y‖。
第二章 线性代数方程组求解方法
定理2.6(等价性定理) 设‖·‖p以及‖·‖q是Rn上两 种向量范数，则存在正常数c1，c2
c1‖x‖p≤‖x‖q≤c2‖x‖p 对任何x∈Rn成立。
证明 当x=0时结论显然成立。下证x≠0时结论也成立。
其中, λ1，λ2, …，λr为A的互不相同的特征值，
第二章 线性代数方程组求解方法
r
为若当块， ni≥1(i=1, 2, …，r)，且 ni n i 1
就是矩阵A的若当标准型。
，这
(1) 当A的若当标准型中所有若当块Ji均为一阶块时，此 标准型变为对角型矩阵；
(2) 若A的特征值各不相同，则若当标准型必为对角阵
第二章 线性代数方程组求解方法
进一步，若对给定的矩阵范数‖·‖M，它与某个向量范 数‖·‖V满足条件(5)，则称矩阵范数‖·‖M与向量范 数‖·‖V相容。
(5) 对任意A∈Rn×n， x∈Rn，有 ‖Ax‖V≤‖A‖M‖x‖V成立。
第二章 线性代数方程组求解方法
设A=(aij)n×n∈Rn×n
在矩阵范数中还有一种由向量范数导出的矩阵范数。
diag(λ1，λ2，…，λn)。
第二章 线性代数方程组求解方法
计算方法各章作业答案
计算方法作业第二章插值1.（1（2）用二次Lagrange插值多项式求当X=0.15时Y的近似值。
（3）写出余项R(x)=f(x)-Pn(x)的表达式。
解：（1）Pn (x) =knknkjj jkj yxxxx)(00∑∏=≠=--n=3P 3(x)=321321))()(())()((yxxxxxxxxxxxx------+13121132))()(())()((yxxxxxxxxxxxx------+23212231))()(())()((yxxxxxxxxxxxx------+32313321))()(())()((yxxxxxxxxxxxx------x 0=0.0 x1=0.1 x2=0.2 x3=0.3y 0=0.0000 y1=0.0998 y2=0.1987 y3=0.2955P 3(x)=0000.0)3.00.0)(2.00.0)(1.00.0()3.0)(2.0)(1.0(⨯------xxx+0998.0)3.01.0)(2.01.0)(0.01.0()3.0)(2.0)(0.0(⨯------xxx+1987.0)3.02.0)(1.02.0)(0.02.0()3.0)(1.0)(0.0(⨯------xxx+2955.0)2.03.0)(1.03.0)(0.03.0()2.0)(1.0)(0.0(⨯------xxx(2) y(0.15) = P2(0.15) = 0.1494（3）R(x) = f(x)-Pn (x)=)!1()()1(++nf nξnk0=∏(x - x k)=!4)(4ξf(x – 0.0) (x – 0.1)(x – 0.2)(x – 0.3)第三章 方程求根5．求解方程12-3x+2cosx=0的迭代法n n x x cos 3241+=+（1）证明对于任意的x 0€R 均有*lim x x n x =∞→ (x *为方程的根)（2）取x 0=4，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过10-３，列出各次的迭代值。
计算方法第2章习题 - 参考答案
2.1 证明方程043=-+x x 在区间[1,2]内有且仅有一个根。
如果用二分法求它具有五位有效数字的根，试问需对分多少次？(不必求根) 14,10log 4,10210211021212||2451*11=≥>⨯=⨯=<=---++K k a b k n m k k ε 2.2 用二分法求方程0134=+-x x 在[0.3, 0.4]内的一个根, 精度要求21021-⨯=ε。
k a b x f(x)0 0.300 0.350 0.325 0.0361 0.325 0.350 0.337 0.0002 0.337 0.350 0.344 -0.0173 0.337 0.344 0.341 -0.0084 0.337 0.341 0.339 -0.004x=0.3392.3 找出下列方程的有根区间，选择适当的初始点用二分法求方程的根，精度要求210-=ε2.3-1 x=0.645 2.3-2x=1.78 2.3-3x=1.13 2.3-4 x=0.9182.4 考虑方程032=-x e x ，将其改写为3xe x ±=，取00=x ，用两种迭代公式迭代，分别收敛到1.0和-0.5附近的两个根(取精度要求310-=ε) (1) 910840.0,0.13*0===x x e x x， k x g(x)0 0.951890 0.9292651 0.929265 0.9188122 0.918812 0.9140223 0.914022 0.9118364 0.911836 0.9108405 0.910840 0.910386(2) 459075.0,5.03-*0-=-==x x e x x， k x g(x)0 -0.449641 -0.4611061 -0.461106 -0.4584712 -0.458471 -0.4590753 -0.459075 -0.4589362.5 为求方程0123=--x x 在5.1=x 附近的一个根，建立下列形式的迭代公式：(1) 2121111kk x x x x +=⇒+=+，； )7.1,3.1(,7.1)(3.1∈≤≤x x g)7.1,3.1(,191.0/2)(3∈<≤='x x x g ，收敛，1.489(2) 3212311k k x x x x +=⇒+=+，；)2,1(,2)(1∈≤≤x x g)2,1(,1)1(61)(3/22∈<+='x x x x g ，收敛，1.465 (3) 111112-=⇒-=+k k x x x x ， )6.1,4.1(,107.1)1(21)(2/3∈>≥-='x x x g ，发散 2.6 考虑用迭代法求解下列方程： (1) )2(312x e x x +-=- 0.608 (2) x x -=50.467 (3) 27475.1--+=x x x 6 2.7 用迭代法的思想，给出求22222+++++ 的迭代公式，并证明：222222lim =+++++∞→nn 。
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第二章答案1.计算下列函数()f x 关于[]0,1C 的12,,f f f ∞：注：()max ,a x bff x ∞≤≤=()1baff x dx =⎰，()()1222baffx dx=⎰()()()()()()()()()()()3101112231,41nm xf x x f x x f x x x m n f x x e -=-=-=-=+与为正整数解：（1）()()31-=x x f()()()11max max 3=-==∞x x f x f11311()(1)7ff x dx x dx ==-=⎰⎰ ()()111122262()(1)ff x dxx dx==-=⎰⎰（2）()12f x x =-()()11max max 22f x f x x ∞==-=111211021122212201111()()()22241[()]()26b a f x dx x dx x dx ff x dx x dx =-=-+-=⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰（3）()()1,nmf x xx m n =-与为正整数()max (1)m nm nm n m n f x x m n +=-=∞+()110!!(1)1!m n m n fx x dx m n =-=++⎰()()()1112222202!2!(1)()221!m nm nf x xm n⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦++⎰（4）()()101xf x x e-=+10110max(1)2xf x e e--=+=∞1102681318410(1)9864101xf x e dxe-=+=-⎰()[]2121102]1[dxexf x⎰-+=28232095067136711831996857623833e-=2.令()()[]21,0,1n nT x T x x*=-∈，试证(){}nT x*是在[]0,1上带权()xρ=的正交多项式，并求()()()()0123,,,T x T x T x T x****。
解：()()()()()()()()()() 11****0011**,(21)(21)211,,2m n m n n mm n m n m n m nT T x T x T x dx x T x dxt xT T t T t dt t T t dt T T ρ--==--=-===⎰⎰⎰⎰令，则有(){}nT x*是在[]0,1上带权()xρ=的正交多项式。
*00*11*222*3233()(21)1()(21)21()(21)881()(21)3248181T x T xT x T x xT x T x x xT x T x x x x=-==-=-=-=-+=-=-+-3.(){}i ixϕ∞=是区间[]0,1上带权()x xρ=的最高次项系数为1的正交多项式族，其中()1xϕ=，求()()13x x dx xϕϕ⎰1和。
解法一：1133000()()()()x x dx x x x dxϕρϕϕ=⎰⎰{}1130300()[0,1]()1()()()0()0i ix x xx x x dx x x dxϕρρϕϕϕ∞==∴==⎰⎰是区间上带权的最高次项系数为的正交多项式，即0()1x ϕ=由于1200101000(,())2()()((),())3x dx x x x x x x x x x xdxϕϕϕϕϕ⇒=-=-=-⎰⎰解法二：设()x x c ϕ=+1，则由()1120323c x x c dx c +=+=⇒=-⎰ 4.求,a b ，使积分()220sin ax b x dx π+-⎰取得最小值。
解：题意即为在{}1,span x Φ=中求()sin f x x =的最佳平方逼近多项式()101P x a a x =+，故01,a a 满足法方程00001101001111((),())((),())(,())((),())((),())(,())x x a x x a y x x x a x x a y x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+=⎧⎨+=⎩ 2012301128:1824a a a a ππππ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩积分可得 02138240.6644389,0.1147707.9624a b a b a a ππππ-⎧==⎪⎪⇒≈≈⎨-⎪==⎪⎩或者按下述方法： 因为()b b a ab a dx x b ax 24224241sin 2232202-++-+=-+⎰πππππ上式分别对,a b 求偏导，并令其为零，有02412123=-+=∂∂ππba a 02412=-+=∂∂ππb a b 从而也有 32496ππ-=a ，2248ππ-=b5.对()()[]1,,f x g x C a b ∈，定义()()()()()()()()()()1,2,baba f g f x g x dxf g f x g x dx f a g a ''=''=+⎰⎰问它们是否构成内积？（1）()()()()12122,,,,,)(,)(,)())0f g g f cf g c f g c f f g f g f g f f f f f f f f x dx +=+≥'=⎰ba 显然有=,=,是常数（但不满足“当且仅当=0时（,)=0,(,)0"这是因为（,)=(推出()0f x '=,即f 为常数，但不一定为0，故（1）不构成内积。
（2）显然内积公理的1），2），3）均满足，考察第四条 ()2'2(,)()baf f f x dx f a ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 若()0f x =，则必有(),0f f =反之，若(),0f f =，则()0f x '=且()20f a =，由此可推得()0f x =, 即内积公理第四条满足，故（2）构成内积。
6.对权函数()21x x ρ=+，区间[]1,1-，试求首项系数为1的正交多项式(),0,1,2,3x n ϕ=n 。
解：()()()0130110001,(),1x x dx x x x x xϕϕϕϕϕϕ-=+=-=-=⎰ 222012010011(,())(,())()()()((),())((),())x x x x x x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=--11222322111122211(1)(1)2;5(1)(1)x x dx x x dxx x x x dxx x dx----++=--=-++⎰⎰⎰⎰33330123012001122(,())(,())(,())()()()()((),())((),())((),())x x x x x x x x x x x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=---11123223231321111122222211132(1)()(1)(1)25()25(1)(1)(1)()5914x x x dx x x dxx x xdxx x x x dx x x dx x x dx x x------+-++=----+++-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰7.利用正交化方法求[0,1]上带权1()lnx xρ=的前三个正交多项式012(),(),()P x P x P x 。
解：()01P x =()()()()1001010001ln ,11,4ln dx x P x P x x P x x x P P dx x=-=-=-⎰⎰ ()()()()()()()221220100111122002221100,,,,111ln ln 1517414725211ln ln 4x P x P P x x Px Px P P P P x x dx x dx x x x x x x dx x dx x x =--⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=---=-+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 8.判断函数211,,3x x -在[]1,1-上两两正交，并求一个三次多项式，使其在[]1,1-上与上述函数两两正交。
解：（1）()0,111==⎰-dx x x ，03131,11122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰-dx x x ，03131,1122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰-dx x x x x ，()211,111==⎰-dx ()32,112==⎰-dx x x x ， 4583131,31211222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎰-dx x x x 所以，211,,3x x -在[]1,1-上两两正交。
（2）设所求多项式为()x 3ϕ()()()()()()()()()()x x x dx x dx x x x dx x dx x dx dx x x x x x x x x xx 53313131,,,,,,32112211231121141111332222311113333-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛----=---=⎰⎰⎰⎰⎰⎰------ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 9. 用最小二乘原理求矛盾方程组121212121,2,223,3 4.x x x x x x x x -=⎧⎪-+=⎪⎨-=⎪⎪-+=⎩ 的最小二乘解。
注：给定线性代数方程组Ax b =，m n A A ⨯=，当m n >时，称其为超定方程组。
求x *使得22b Ax -取最小值。
应用微分学中多元函数求极值的方法可以证明x *为方程组 TTA Ax A b =的解。
称x *为超定方程组Ax b =的最小二乘解。
解法一：由题意得：12111112223314x x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⇒⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦121111123111123211212211213314x x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦121597971x x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 11212229159712971134x x x x x x ⎧=-⎪-=-⎧⎪⇒⇒⎨⎨-+=-⎩⎪=-⎪⎩ 所以122912134x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即是所求的最小二乘解。
误差平方和为222212121212(1)(2)(223)(34)x x x x x x x x δ=--+-+-+--+-+- 解法二：求12,x x ，使误差平方和222212121212(1)(2)(223)(34)x x x x x x x x δ=--+-+-+--+-+- 为最小，令0,021=∂∂=∂∂x x δδ得方程组如下：121230181418142x x x x -=-⎧⎨-+=-⎩ 解方程组有：413,122921-=-=x x 10. 用最小二乘法求一个形如2y a bx =+的经验公式，使它与下列数据相拟合，并估计平方误差。