计算方法：第2章习题答案
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第二章答案
1.
计算下列函数()f x 关于[]0,1C 的12,,f f f ∞
：
注：()max ,a x b
f
f x ∞
≤≤=()1
b
a
f
f x dx =⎰，()()
12
2
2
b
a
f
f
x dx
=
⎰
()()()
()()()()()()()()3
10
11122
31,41n
m x
f x x f x x f x x x m n f x x e -=-=
-
=-=+与为正整数
解：（1）()()3
1-=x x f
(
)()()11max max 3
=-==∞x x f x f
11
3
1
1
()(1)7
f
f x dx x dx ==-=⎰⎰ ()(
)
111
1
2
2
262
()(1)f
f x dx
x dx
=
=
-=
⎰
⎰
（2）()12
f x x =-
()
()11max max 22
f x f x x ∞
==-
=
1
1
1211
02
112
2
2
122
01111
()()()22241[()]()26b a f x dx x dx x dx f
f x dx x dx =-=-+-=
⎛⎫⎛⎫
==-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎰
⎰⎰⎰⎰
（3）()()
1,n
m
f x x
x m n =-与为正整数
()
max (1)m n
m n
m n m n f x x m n +=-=∞+
()
1
1
0!!(1)1!m n m n f
x x dx m n =-=++⎰
()()
()
11
12
222
20
2!2!
(1)()
221!
m n
m n
f x x
m n
⎡⎤
=-=
⎢⎥
⎣⎦++
⎰
（4）()()10
1x
f x x e-
=+
101
10
max(1)2
x
f x e e-
-
=+=
∞
1
10
26813184
10
(1)9864101
x
f x e dx
e
-
=+=-
⎰
()
[]21
2
1
10
2
]
1
[dx
e
x
f x
⎰-
+
=
2
8
23209
5067136711
8
3199
6857623833
e
-
=
2.令()()[]
21,0,1
n n
T x T x x
*=-∈，试证()
{}
n
T x
*是在[]
0,1上带权
(
)x
ρ=的正交多项式，并求()()()()
0123
,,,
T x T x T x T x
****。
解：
()()()(
)
(
)()(
)()()() 11
****
00
11
**
,(21)(21)
21
1
,,
2
m n m n n m
m n m n m n m n
T T x T x T x dx x T x dx
t x
T T t T t dt t T t dt T T ρ
--
==--
=-
===
⎰⎰
⎰⎰
令，则有
()
{}
n
T x
*是在[]
0,1上带权(
)x
ρ=的正交多项式。
*
00
*
11
*2
22
*32
33
()(21)1
()(21)21
()(21)881
()(21)3248181
T x T x
T x T x x
T x T x x x
T x T x x x x
=-=
=-=-
=-=-+
=-=-+-
3.()
{}
i i
x
ϕ∞
=
是区间[]
0,1上带权()x x
ρ=的最高次项系数为1的正交多项式族，其
中()
1
x
ϕ=，求()()
1
3
x x dx x
ϕϕ
⎰1
和。
解法一：
11
330
00
()()()()
x x dx x x x dx
ϕρϕϕ
=
⎰⎰
{}
11
303
00
()[0,1]()1
()()()0()0
i i
x x x
x x x dx x x dx
ϕρ
ρϕϕϕ
∞
=
=
∴==
⎰⎰
是区间上带权的最高次项系数为的正交多项式
，即