直接证明与间接证明(人教A选修1-2)课件

综合法又叫由因导果法或顺推证法.
2.分析法的定义:
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证 过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后， 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 （已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证
明的方法叫做分析法． 特点:“执果索因”
分析法又叫执果索因法或叫逆推证法
F E
A
C
B
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
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例 例6. 已 知 α ,β ≠
k π+ π( k 2
Z ) ,且
sinθ+ cosθ = 2sinα
s i n θgc o s θ = s i n 2β
求证:
1 1
+
t t
a a
n n
2α 2α
=
2
1 - t a n 2β ( 1 + t a n 2β
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2.2直接证明与间接证明
2.2.2 反 证 法
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复习 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法
2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法 已知条件 结论 由因导果
)
.
看课本第41页，例题6。
上述过程可用框图表示:
PP1
Pn P'
P1 P2
Q' Qm
Q2 Q1
Q1 Q
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小结
1.综合法的定义:
一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、 定理、公理等，经过一系列的推理、论证，最后推导 出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。
特点:“由因导果”
证明: 因为b2+c2 ≥2bc,a>0 所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2 ≥2bc,b>0 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
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利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等,经过一系列的推理论证,最后推 导出所要证明的结论成立,这种证明方 法叫做综合法
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例3：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分 别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成 等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．
证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C，---------------------------------------① 因为A,B,C是三角形的内角，所以A+B+C=180o，----------------------② 所以B=60o。---------------------------------------------------------------------③ 由a,b,c成等比数列，有b2=ac, -----------------------------------------------④ 则b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac, 再有④得a2+c2-ac=ac，即(a-c)2=0 因此a=c。从而有A=C----------------------------------------------------------⑤ 则由② ③ ⑤得A=B=C=60o。 所以三角形ABC是等边三角形。
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
得到一个明显 成立的结论
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例4:求证 3 72 5
证明：因为 3 7和2 5都是正数， 所以为了证明 3 72 5 只需证明 ( 3 7)2(2 5)2
展开得 102 2120 即 21 5
只需证明21<25，因为21<25成立，
所以不等式 3 72 5 成立。
2.2直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
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复习
推理
合情推理
演绎推理
归纳
类比
三段论
(特殊到一般） （特殊到特殊）（一般到特殊）
合情推理的结论不一定正确,有待证明;
演绎推理得到的结论一定正确.
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例：已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
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小结
综合法的定义: 利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等,经过一系列的推理论证,最后推 导出所要证明的结论成立,这种证明方 法叫做综合法
用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:
P Q1
Q1 Q2
Q2 Q3
… Qn Q
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+ 2
b
a b成立
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一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求 推证过程中，使每一步结论成立的充分条件， 直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明 显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理 等）为止，这种证明的方法叫做分析法．
特点：执果索因.
分析法又叫执果索因法或叫逆推证法
用框图表示分析法的思考过程、特点.
特点:“由因导果”
综合法又叫由因导果法或顺推证法.
用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论.
则综合法用框图表示为: P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 …
Qn Q
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例1:如图,△ABC在平面α外,
A B P ,B C Q ,A C R .
求证:P,Q,R三点共线.
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回顾基本不等式：a +
2
b
ab

(a>0,b>0)的证明.
证明:
证明:要证;a
+ 2
b
ab
只需证;a+b2 ab
因为;( a b)2 0
所以 a+b2 ab0 只需证;a+b2 ab0
所以 a+b2 ab
只需证;( a b)2 0
所以
a+b 2
a b 成立
因为;( a b)2 0成立
所以 a
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例5:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作 SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂 足为F,求证 AF⊥SC S
证明:要证AF⊥SC
只需证:SC⊥平面AEF
只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC
只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
A
Q
B C
P R
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证明： 因为AB∩α=P,BC∩α=Q，AＣ∩α=Ｒ, 所以P,Q,R∈α，P∈AB，Ｑ∈BC,R∈AC 则得P,Q,R∈平面ABC, 因此P,Q,R是平面ABC与平面α的公共点. 因为两平面相交有且只有一条交线，所 以P,Q,R三点在平面ABC与平面α的交线
上， 即P,Q,R三点共线。