概率与数理统计 第2讲讲解

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第一章 随机事件与概率
§1.2 事件的概率与性质
例 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答出甲、
乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都
能答出的概率为0.1. 求小王
(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 AB
(2) 至少有一类问题能答出的概率 A B
(3) 两类问题都答不出的概率
A {(x, y) (x, y) ,
y源自文库
0 y y=xx 1, 0 x y 2}
24
S 242
SA

1 2
232

222
P( A) 1 SA 0.1207
S
24 x
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第一章 随机事件与概率
§1.3 条件概率
§1.3 条件概率
问题的提出：设10张彩票中只有一张中奖 票，10人同时摸这10张彩票。张三和 李四各得一张。记
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第一章 随机事件与概率
§1.2 事件的概率与性质
复习：排列与组合的基本概念 加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中
有m1种方法，在第二类途径中有m2种方法，依 次类推，在第 n 类途径中有mn种方法，则完成 这件事共有 m1+m2+…+mn种不同的方法.
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第一章 随机事件与概率
此样本②空数间清中样的本样空本间点与等随可机能事.件中 Ω2={(三正的)样,本(二点正数一; 反), (二反一正), (三反③)}列出比式进行计算。
此样本空间中的样本点不等可能.
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第一章 随机事件与概率
§1.2 事件的概率与性质
例（分房模型) 有n个不同的粒子，每个粒
子都以同样的概率
1 N
在何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？最
大(小)值是多少？
解 P(A B) P(A) P(B) P(AB)
P(AB) P(A) P(B) P(A B)
P(A) P(B) 1 0.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
思考 若回答当 A∪B＝Ω时，P(AB)取得最 小值，是否正确?
解 设 x, y 分别为甲、乙两人到达的 时刻, 那么 0 x T , 0 y T .
两人会面的充要条件为 x y t,
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第一章 随机事件与概率
若以 x, y 表示平面 上点的坐标 , 则有
故所求的概率为
阴影部分面积 p 正方形面积

T
2

(T T2

t )2
1 (1 t )2 . T
落入(N＞n)个格子的每
一格子中，试求下述事件的概率
(1)A＝{指定的n个格子中各有一粒子}. 样本点总数Nn A中含有样本点总数n!
(2)B＝{恰有n个格子中各有一粒子}． Nn nN1 nN 2 nN 3 ...... N1
...... 指定的n个格子
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第一章 随机事件与概率
§1.2 事件的概率与性质
随机试验
样本空间 子集 随机事件
随 机

基本事件 复合事件
事 件

必然事件
不可能事件
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第一章 随机事件与概率
符号 Ω Φ ω∈Ω {ω} A Ω A B A=B
A∪B A∩B
Ā
A-B A∩B=φ
集合含义 全集 空集 集合的元素 单点集 一个集合 A的元素在B中 集合A与B相等
Ω＝{ω1,ω2 , … ,ωn } 2.等可能性：P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn).
则称E为古典概型随机实验，简称古典概型
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第一章 随机事件与概率
§1.2 事件的概率与性质
2. 古典概型中事件概率的计算公式
设试验 E 的样本空间Ω由n 个样本点构成， A 为 E 的任意一个事件，且包含 m 个样本点，则事 件 A 出现的概率记为:
又由性质 3 得
P(B AB) P(B) P( AB),
因此得 P( A B) P( A) P(B) P( AB).
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第一章 随机事件与概率
推广 三个事件和的情况
§1.2 事件的概率与性质
P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A1 A2 ) P( A2 A3 )
AB
解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题”，
该题转化为：已知
P A 0.7, P(B) 0.2, P(AB) 0.1,
求 (1)P( AB) 2 P(A B) (3)P( AB)
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第一章 随机事件与概率
§1.2 事件的概率与性质
例、设 P A 0.7, P(B) 0.2, P(AB) 0.1,
生的条件下，事件A发生的概率为0， 记

a
b
b
nk
A 次合第品格2n1次品摸a球种 b种a+b种样本点总数
Cnkanbn-k
(a+b)n
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第一章 随机事件与概率
1.2.4 概率的几何定义
§1.2 事件的概率与性质
若 ① 样本空间充满某个区域， 其度量(长度、面 积、体积)为S；
② 落在中的任一子区域A的概率， 只与子区域的度量SA有关， 而与子区域的位置无关 (等可能的).
概率论与数理统计 第二讲
第一章 随机事件与概率 §1.2 事件的概率与性质
§1.3 条件概率
主讲教师：王小才
淮阴工学院数理学院
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第一章 随机事件与概率
复习： §1.1 随机事件
1. 概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科. 随机现象的特征: 条件不能完全决定结果.
2. 随机试验、样本空间与随机事件的关系
例 (生日问题) 假设每人的生日在一年 365
天中的任一天是等可能的 , 即都等于 1/365 ,
求 64 个人中至少有2人生日相同的概率.
解 64 个人生日各不相同的概率为
p1 C336664556利644 !用 3对65立 36事4 件3656(4365 64 1) .
有故6464个个不人同中至的少粒有子2人，生同日相样同的的概概率率为落入 365个p格 1子 ,3恰65 有36464个36格5 (634子65 中64各 有1) 一0.粒997子. .
A与B的所有元素 A与B的共同元素 A的补集
在A中而不在B中的元素 A与B无公共元素
事件含义 样本空间，必然事件 不可能事件 样本点 基本事件 一个事件 A发生导致B发生 事件A与B相等
A与B至少有一个发生 A与B同时发生 A的对立事件
A发生而B不发生 A与B互斥
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第一章 随机事件与概率
复习：§1.2 事件的概率与性质
P(A) P(B) 1 0.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( AB) P( A) 0.6 —— 最大值
最大值在 P(A B) P(B) 时取得
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第一章 随机事件与概率
§1.2 事件的概率与性质
例 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7,
求 (1)P( AB) 2 P(A B) (3)P( AB)
(1) P( AB ) P( A) P( AB) 0.7 0.1 0.6
(2) P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.8
(3) P(A B) P(A B) 0.2
注意: 对任意２个事件A,B,都有 P(A-B)=P(A-AB)=P(A) -P(AB)
1. 频率 (波动) n 概率(稳定).
2. 概率的主要性质 (1) 0 P( A) 1, P() 1, P() 0; (2) P( A) 1 P( A); (3) P( A B) P( A) P(B) P( AB); (4) 设 A, B 为两个事件,且 A B,则 P( A) P(B), P( A B) P( A) P(B).
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第一章 随机事件与概率
§1.2 事件的概率与性质
(5) 加法公式：对任意两事件A、B，有
P(A B) P(A) P(B) P(AB).
证明 由图可得
A B A (B AB), 且 A (B AB) ,
A AB B
故 P( A B) P( A) P(B AB).
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第一章 随机事件与概率
我们利用软件包进行数值计算.
§1.2 事件的概率与性质
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第一章 随机事件与概率
§1.2 事件的概率与性质
常见模型 —— 不返回抽样
有a件次品、b件合格品. (口袋中有a个白球， b个黑球)从中不返回任取n个.
A={恰有k个不合格品}
A中含有样本点总数Ca k Cb n-k
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第一章 随机事件与概率
§1.2 事件的概率与性质
例 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7,
在何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？最
大(小)值是多少？
解 P(A B) P(A) P(B) P(AB)
P(AB) P(A) P(B) P(A B)
y
T
§1.2 事件的概率与性质
y x t
x yt
o

t

T
x
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第一章 随机事件与概率
§1.2 事件的概率与性质
例 两船欲停靠同一个码头, 设两船到达码头的
时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内
是等可能的. 如果两船到达码头后需在码头停留
的时间分别是1 小时与2 小 时，试求在一昼夜内，
P( A)

Cak
Cnk b
Cn ab
样本点总数Ca+b n
此模型又称 超几何模型
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第一章 随机事件与概率
§1.2 事件的概率与性质
常见模型 —— 返回抽样
有a件次品、b件合格品. 从中有返回地任取 n 个.
则此n个中有k个不合格品的概率为：
抽次得 品的 的C(an位nk a件k置bb产n)Cnk品n k排Cn成m 一a a列b,k
P( A1 A3 ) P( A1 A2 A3 ).
n 个事件和的情况
n
P( A1 A2 An ) P( Ai ) P( Ai Aj )
i 1
1i jn

P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1 A2 An ).
1i jkn
任一船到达时，需 要等待空出码头的概率.
解 设船1 到达码头的时间为 x ，0 x < 24
船2 到达码头的时间为 y ，0 y < 24
设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待 空出码头
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第一章 随机事件与概率
§1.2 事件的概率与性质
{(x, y) 0 x 24,0 y 24}
P( A)
m n

A
所包含样本点的个数 样本点总数
.
称此为概率的古典定义.
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第一章 随机事件与概率
§1.2 事件的概率与性质
注意:
(1) 古典概型的判断方法（有限性 、等概性）；
抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次 (2Ω) 1古={典(正概正率正的)计,(算反步正骤正：),(正反正),
(正正①反弄),清(试正验反与反样),本(点反;正反), (反反正), (反反反)}
A={张三中奖}, B={ 李四中奖}
由古典概率模型我们知
P（A）=
P（B）=
1 10
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第一章 随机事件与概率
§1.3 条件概率
现在设李四先刮开彩票，已知李四有没 有没中奖的信息对计算张三中奖的的可 能性大小有没有影响？
显然，如果已知李四中奖，那么张三就 . 没有机会中奖， 也就是说：在事件B发
乘法原理
§1.2 事件的概率与性质
完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一
步有m1种方法，第二步有m2 种方法，依次类 推，第 n 步有mn种方法，则完成这件事共有 m1×m2×…×mn种不同的方法.
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第一章 随机事件与概率
1.2.3 概率的古典定义
§1.2 事件的概率与性质
1. 定义
若某随机实验E满足 (p11) 1.有限性：样本空间只含有有限个样本点
则事件A的概率为: P(A)= SA /S
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第一章 随机事件与概率
会面问题
§1.2 事件的概率与性质
例 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( t<T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵 连.求甲、乙两人能会面的概率.