1专升本定积分概念与性质

f ( x ) e x ，x (0, ) 1 2 e e
2 x 3 1 2
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1
2
e dx< e x dx
27
例6 利用积分中值定理计算极限:
n
lim
n p
n
sin x dx x
( p 0)
解
由积分中值定理知，在[n，n+p]上至少存在 一点c，使
解 函数 y1x在区间[0, 1]上的定积分是以y1x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积.
因为以y1x为曲边, 以区间[0, 1] 为底的曲边梯形是一个直角三角 形, 其底边长及高均为1, 所以
1 1 1 1 (1 (1 xx )) dx dx 1 1 1 1 .. 0 00 2 2 2 2
专升本微积分课程辅导
信息管理学院数学与管理工程系 易伟明 电话：83816896
Email:yiwm@163.com
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第七章 定 积 分
(Definite Integrals)
§1 定积分的概念
§2 定积分的基本性质
§3 定积分计算基本公式 §4 定积分基本积分方法
§5 广义积分 §6 定积分的应用
曲边梯形的面积 的负值
6
b
y
y=(x+1)x(x-1)(x-2)
-1
A1
o
-1
A2
1
A3
2
x

b
a
f ( x)dx A1 A2

2
1
f ( x )dx A1 A2 A3
它是介于 x 轴、函数 f ( x ) 的图形及两条 直线 x a , x b 之间的各部分面积的代 数和． 在 x 轴上方的面积取正号； 在 x 轴下方的面 积取负号．
1 b f ( ) f ( x )dx , (a b) a ba
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积分中值公式的几何解释：
y
f ( )
o
a
b x
在区间[a , b]上至少存在一 个点 ，使得以区间[a , b] 为 底边， 以曲线 y f ( x ) 为曲边的曲边梯形的面积 等于同一底边而高为 f ( )
x
2 x 0, f ( x) e x 0, g ( x) x 0,
f ( x) g( x) e dx xdx.
x 2 2
0
0
e dx xdx.
x 0 0
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2
2
例3 不求积分，比较大小:
(1) x dx, x dx
a a
3
b
b
注意：在不定积分中， 积分结果与积分变量的记号
相关。如

dx x a
2 2
(a 0)
令x a tan t

ln sect + tant C
ln x + x 2 a 2 C dx x2 a2 (a 0)
令x a sec t

ln sect + tant C
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例4
估计积分值:
2

1
0
e
x2
dx
解 设f ( x ) e x ，则
f ( x ) 2xe
x2
0 (0 x 1) f ( x )
M max f ( x ) f (0) 1 1 m min f ( x ) f (1) e 1 1 x2 (1 0) e dx 1(1 0) 0 e 1 1 x2 e dx 1 e 0
的一个矩形的面积。
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例5 不求积分值，比较大小:


2 x 1 3
2
1
e dx与 e x dx
x 2
3
解 在区间[1，2]；[2，3]上，由积分中值定理得：
e dx e (2 1) e
1
1
1 [1, 2] 2 [2, 3]
2
e x dx e 2 (3 2) e 2
则 a f ( x )dx a g( x )dx .
b b
பைடு நூலகம்
(a b)
b
推论2
a f ( x )dx a
b
b
f ( x )dx a f ( x )dx (a b)
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例2 比较定积分 e dx与 xdx的大小.
x 0 0
2
2
解
令 f ( x ) e , g( x ) x x [2, 0]
2 3 1 1
2
2
(2) ln xdx,
1
2
(3) e
2
1
x3
dx ，
2
1 1
(ln x ) 2 dx
2
e dx
2 3
2
x3
因为在[1，2]上， 解（1）
x x ,
x dx
2 1
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2

1
x dx
20
3
(2) ln xdx,
1
2

2
1
(ln x ) dx
2
解 （2）因为在[1，2]上， ln
x (ln x ) ,
2
2
ln xdx
2 1

2
1
(ln x ) dx
1 x3
(3)
因为在[-2，-1]上，(3) 2 e
dx ， e dx
x3 2
1
e
x3
1; e
1 x3
x3
1 e
1 2
x3
e
x3
e
0
1
d b xf (t )dt b f ( x)dx a dx a d b sin xdt 0 (E) d b sin x dt 0 a dx dt a x

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性质3(定积分的区间可加性)
a f ( x )dx a f ( x )dx c
o
y
y f ( x)
b
c
b
f ( x )dx .
注意：不论 a , b, c 的相对位置如何, 上式总成立.
y
y f ( x)
S1
S1
S2
S2
a
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c
b
x o
a
b
c
x
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性质4 如果在区间[a, b] 上 f ( x ) 0，
则 f ( x )dx 0 . (a b)
a b
推论1 如果在区间[a , b]上 f ( x ) g( x )，
n i 1
n i 1
n
n
i 1 nn
2 1 2 n 1 xdx lim 0 n 3 n n
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n! n n! (2)* 令yn , 两边取对数 n n n
1 n! 1 n i ln yn ln n ln n n n i 1 n
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§1
定积分的概念
一、定积分的定义
（Definition of Definite Integral) 定义
n
f ( i )x i a f ( x )dx I lim 0 i 1
b
注： 定积分的值与积分变量的记号无关，

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b
a
f ( x )dx f (t )dt f (u)du
且只有有限个间断点，则 f ( x ) 在
区间[a , b]上可积.
注意
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定理1,2仅是充分条件，不是必要的。
5
三、定积分的几何意义
y
f ( x ) 0,
o
A
y a
f ( x ) 0,
A b x
o
a
b
b
x
a f ( x )dx A
曲边梯形的面积
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a f ( x )dx A
2
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dx e dx
x3
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性质5(估值定理)
设 M 及m 分别是函数
f ( x ) 在区间[a , b]上的最大值及最小值， b 则 m ( b a ) a f ( x )dx M ( b a ) .
（此性质说明，由被积函数 在积分区间上的最值，可用 于估计积分值的大致范围）
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例1
求 1 x 2 dx
0
1
解：由定积分的几何意 义知，该积分值等于
曲线y 1 x 2 , x轴，x 0及x 1所围 的面积（如图）
y
面积值为圆面积的1/4
所以
1
0
1 x dx
2

4
1
o
1
x
8
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1 例 2 例 2 用定积分的几何意义求 (1 x)dx . 0
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例4* 用定积分求下列极限：
n n! 1 2 n (2)*lim (1) lim n n n n n
1 1 2 解 (1)原式 lim ( n n n n
n ) n
n i 1 1 n i lim lim n n n n i 1 n n i 1
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由定积分定义知f ( x) x在[0,1]上可积，等分区间[0,1]， i 1 i 1 其中第i个小区间为[ , ]，其长度为 (i 1, 2, n n n i 取i为第i个区间的右端点，即i n , n),

1
0
xdx lim f (i )xi lim
n
根据定积分定义
1 i 1 lim ln yn lim ln ln xdx 0 n n n n i 1
n
lim yn e 0
n
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1
ln xdx
ln xdx n! 0 lim e e1 n n
n
1
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§2 定积分的性质
ln x + x 2 a 2 C
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二、定积分存在的两个充分条件
定理1 设 函 数 f ( x ) 在 区 间 [ a , b ] 上 连 续 ，
则 f ( x ) 在 区 间 [a , b ]上 可 积 .
定理2 设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上有界，
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性质6（定积分中值定理）
如果函数 f ( x ) 在闭区间 [a, b] 上连续，
则在积分区间[a , b] 上至少存在一个点 ，
使 a f ( x )dx f ( )(b a ) .
b
(a b)
积分中值公式
函数f ( x)在[a, b]上的平均值
b
b
(k为常数).
（注意:此处k可以为零，不定积分中不能为零。）
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例1 下列各式不正确的是（ D ）. (A) (B) (C) (D)
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d b f ( x)dx d b f ( x)dx 0 dx a dt a

1
0
f (sin x)dx f (sin t )dt
注意: 在下面的性质中，假 定定积分都存在，且不考虑 积分上下限的大小。
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性质1
a [ f ( x ) g( x )]dx a f ( x )dx a g( x )dx .
b
b
b
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质2
a kf ( x )dx k a f ( x )dx
11 1
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例3* 已知
f ( x)dx 2
0
1
，计算
1 2 f ( ) f ( ) f (1) n n lim n 2n
解 由定积分定义知，
.
1 2 f ( ) f ( ) f (1) n n lim n 2n n 1 1 i 1 1 1 lim f ( ) f ( x )dx 2 1 2 0 2 2 n i 1 n n
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例
估计积分值:

4
1
( x 2 1)dx
解 f ( x ) x 2 1 在[1,4]上的最小最大值分别为：
m 2 , M 42 1 17.
2( 4 1 )
所以

4
1 4
( x 2 1 )dx 17( 4 1 )
6 1
( x 2 1 )dx 51
n p
sin x sin c dx p n x c 显然 n c n p sin x sin c lim dx lim p0 n n c x c
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例7 求下列极限
x (1) lim dx (2) lim 4 sin n xdx n 0 1 x xn 1 解 (1) 在[0, ]上连续，由积分中值定理 1 x 2 1 n n x 1 1 2 lim dx lim (0, ) n 0 1 x n 1 2 2 1 n 当n 时,• (0, ),• 0 2 1 n x 2 lim dx 0 n 0 1 x
简单性质:
(1) 当 a b 时， a
a
f ( x )dx 0 ；
b
(2)当f ( x ) 0时， f ( x)dx 0.
a
b
(3)当f ( x) 1时， 1 dx dx b a.
a a
b
(4)
a f ( x )dx b
b
a
f ( x )dx .