欧拉—伯努利梁在移动载荷作用下的等效方法

94
环境技术/Environmental Technology
技术专栏
echnical Column
T
Ａｂｓｔｒａｃｔ：In this paper the mathematical model of lateral oscillation of Euler-Bernoulli Beam and its simulation method under excitation by movable load were introduced in detail. Taking simple beam as an example, first the lateral modal was briefly described. Then the different modal responses under movable excitation were explained in detail, and an important conclusion was reached through a case analysis that the first-order modal was the main response. Due to great difficulty and high price of simulating the movable load in laboratory, when only considering the first-order modal, movable load could be equivalent to cyclic excitation. This paper has some guiding significance for the approximate simulation of real response under movable excitation in laboratory.
Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Euler-Bernoulli Beam; simple beam; modal response; movable load; equivalent load method
摘要：本文详细地介绍了欧拉—伯努利梁横向振动的数学模型与其在移动载荷作用下的模拟方法。

以简支梁为例，首先简要叙述了梁的横向模态。

然后详细叙述梁在移动载荷作用下不同模态的响应，得到了一阶模态振动为主要响应的重要结论。

由于在实验室模拟移动载荷的成本较高、难度较大，当只考虑一阶模态响应时，通过定点周期载荷将移动载荷进行等效。

本文研究对于在实验室近似模拟欧拉—伯努力梁在移动载荷作用下的真实响应具有一定的指导意义。

关键词：欧拉-伯努利梁；简支梁；模态响应；移动载荷；等效载荷方法
中图分类号：O327; TB123; TV32+3 文献标识码：A 文章编号：1004-7204(2019)02-0094-04
欧拉—伯努利梁在移动载荷作用下的等效方法
Equivalent Method of Euler-Bernoulli Beam Under Movable Excitation
汪宏斌1，王志浩2
（1.苏州长菱测试技术有限公司，苏州 215163； 2.苏州东菱振动试验仪器有限公司，苏州 215163）WANG Hong-bin 1，WANG Zhi-hao 2
(1.Suzhou Changling Test Technology Co.,Ltd.，Suzhou 215163;2.Suzhou Dongling Vibration Test Instrument Co., Ltd.，Suzhou 215163)
引言
梁结构是常见的连续体结构，与离散系统不同，连续系统有无穷多个自由度和固有频率。

梁结构在工程中广泛运用，如桁架、桥梁、轨道等。

以桥梁与轨道为例，由于车重的作用，车轴施加的载荷是典型的移动载荷。

虽然可以通过电脑仿真手段，模拟梁在移动载荷作用下的横向响应，但是在实验室再现移动载荷对梁的激励效果，尤其是高速移动载荷，加载难度较大、成本较高。

本文通过等效载荷的方法，将难以加载的移动载荷等效为定点周期载荷，以经济的方法再现梁在移动载
荷激励下的横向振动，便于考核梁在实际工况的力学性能。

１　基本假设与分析方法概述
１．１　基本假设
截取一跨梁与两端支承进行分析，支承假定为两端铰支座。

假设梁长大于５倍梁高，可用欧拉—伯努力梁模型（细长梁模型）进行分析，即忽略剪切变形与截面转动惯量的影响，且在动力学分析中不考虑高阶模态［２］［３］。

１．２　分析方法概述分析方法如下：
echnical
Column
T技术专栏１）首先获取梁的横向振动微分方程；
２）接着求解梁的横向模态；
３）然后分析梁的强迫振动响应；
４）最后寻求载荷等效方法。

２　梁的自由振荡
２．１　梁的自由振荡方程
无外激励作用下，梁的横向振动微分方程为［１］：
（１）其中Ｅ为弹性模量，Ｉ为横截面对ｙ轴（中性轴）的惯性矩，为密度，Ａ为横截面的面积（假设梁等截面且质量均匀分布）。

ｔ为时间，为横向位移（沿ｚ坐标轴），ｘ轴为沿梁长度方向（纵向）坐标轴。

梁的长度为ｌ，约定左铰支座坐标为　ｘ　＝　０，即ｘ轴正方向指向右铰支座。

２．２　横向模态
设上述微分方程的解为［１］：
（２）其中：
（３）
其中，称为梁的固有振型函数，为固有角频率。

代入简支梁的边界条件（两端支座处 挠度、弯矩为零），得到简支梁的自由振荡方程：
　（４）
并满足（注意：的量纲为，且是角频率量纲）。

３　梁的强迫振动
３．１　梁的强迫振动方程
在强迫力作用下，梁的横向振动微分方程为［１］：
（５）设强迫振动的解为［１］：
（６）其中为第ｎ阶固有振型函数（见２．２）并满足：
（７）代入微分方程并利用振型函数的正交性可得［１］：
（８）
３．２　强迫力类型
当强迫力为移动载荷时，集中力（负号代表与ｚ
轴正方向相反），以速度ｖ沿着ｘ轴正方向作匀速运动：
（９）当强迫力为定点周期载荷时，集中力作用点与左
铰支座距离为ａ，角频率为Ω：
（１０）本文只讨论以上两类较为简单的载荷形式。

现已知
简支梁固有振型函数为，根据狄拉克函数
积分法则［４］［５］：
（１１）当强迫力为移动载荷时，微分方程的特解为：
（１２）
当 时，振幅趋近于无穷大（注意：是
角频率量纲　），即梁结构发生共振。

３．３　案例分析
集中力　以速度ｖ沿着梁纵向正方向作匀速运动，
梁长为ｌ。

选择梁的材质为Ｑ３４５钢，根据型材尺寸计算横
截面积与截面惯性矩参数，钢材性能、几何参数如表１所示。

求得前四阶、与的值如表２所示。

前四阶模态的特解为：
95
２０１９年０４月／　Ａｐｒｉｌ ２０１９
96
环境技术/Environmental Technology
技术专栏
echnical Column
T
（１３）
其中此处的量纲为。

随着阶数的升高，
固有频率
越大。

不难看出第二、三与四阶模态响应系
数远小于第一阶模态响应系数，且分别为第一阶模态响应系数的６．２４　％、１．２３　％与０．３９　％。

所以可以得出该系统的响应主要取决于第一阶模态的重要结论。

４　载荷等效方法
４．１　方法概述
在实验室施加移动载荷，尤其是高速载荷的难度较大、成本较高。

当只考虑梁的第一阶振型（主振型）时，寻求一种方便施加的定点载荷代替移动载荷，从而近似地再现移动载荷对梁的激励效果。

４．２　等效方法
现将３．２中两种强迫力类型进行比较，并且令
，当只考虑主振型（
）时：
（１４）
由于
，所以
，说明了当在梁
中点处加载集中力为、角频率为
的正弦激励
时，与加载幅值为
、速度为ｖ的移动载荷对梁的激励
效果（主响应）完全一致。

４．３　半正弦波冲击响应现给定半正弦冲击脉冲：
（１５）
梁在　
　的一阶响应（全解）为：
（１６）
其中：分别为微分方程的通解与特
解：
（１７）
当给定初始条件时：
（１８）
梁在的一阶响应（自由振荡时只存在通解）
为：
（１９）
其中Ａ’与Ｂ’满足：
（２０）
待定Ａ’与Ｂ’之后便可得到梁的冲击响应。

图１展示了：当在梁中点加载特定半正弦波形时，梁内各个部位随时间的挠度，且最大挠度发生在梁中点处（
）。

特别指出：输入波形在　
　内是以周期为
的正弦波的半程，即载荷作用时间恰
ρ[kg/m 3]7850l[m] 3.0A[m 2]0.0228v[km/h]80E[Pa]206×10
9F 0[N] 6 750 g I[m 4
]
1.332 4×10
-4
g[m/s 2
]
9.81
n βn [m -1]ωn [s -1]βn v[s -1]1 1.05 429.44 23.27 2 2.09 1 717.77 46.54 3 3.14 3 864.99 69.81 4
4.19
6 871.09
93.08
表1 参数列表表2 βn 、ωn 与βn v
数值表图1 冲击与响应谱
（下转112页）
112
环境技术/Environmental Technology
环境试验设备
nvironmental Test Equipment
E
[1]朱静, 杨晖, 高亚辉, 等. 基于模型的系统工程概述[J]. 航空发动机, 2016, 42(4):12-16.
[2]韩凤宇, 林益明, 范海涛. 基于模型的系统工程在航天器研制中的研究与实践[J]. 航天器工程, 2014, 23(3):119-125.
[3] CRAWLEY E, CAMERON B, SELVA D. System Architecture: Strategy and Product Development for Complex Systems[M]. Prentice Hall Press, 2015.
[4] KASLOW D, ANDERSON L, ASUNDI S, et al. Developing a CubeSat Model-Based System Engineering (MBSE) Reference Model - interim status[C]// Aerospace Conference. IEEE, 2015:1-16.
[5]卢志昂, 刘霞, 毛寅轩, 等. 基于模型的系统工程方法在卫星总体设计中的应用实践[J]. 航天器工程, 2018(3).
[6] MAZEIKA D, MORKEVICIUS A, ALEKSANDRAVICIENE A. MBSE Driven Approach for Defining Problem Domain[C]//System of Systems Engineering Conference.IEEE,2016.
[7]郭会章, 赵雯, 郭大庆, 史阿云. DOORS 技术状态控制在航天研制中的应用研究[J]. 计算机仿真, 2016, 33(4):108-110.
[8]梅芊, 黄丹, 卢艺. 基于MBSE 的民用飞机功能架构设计方法研究[J]. 北京航空航天大学学报,2019:1-10.
[9]迟玥,单栋,阎振鑫,黑鹏.基于模型的仿真设计在某飞控系统中的应用[J].系统仿真学报,2017,29(10):2556-2566.
参考文献：
作者简介：
张贺（1994-），男，河北省人，硕士研究生，主要研究领域为基于模型的系统工程。

魏强（1965-），男，北京市人，研究员，硕士研究生导师，主要研究领域为飞行器总体设计。

陈余军（1981-），男，高级工程师，主要研究领域为卫星总体设计与系统仿真。

林骁雄（1990-），男，工程师，主要研究领域为航天器总体设计。

将ＳｙｓＭＬ实现的转发器系统设计与专业工具完成的部组件详细设计集成，建立产品库的概念，支持转发器系统的快速方案设计，根据不同任务需求进行方案的权衡分析，最终得到最优的系统设计方案。

好为移动载荷
通过梁的时间。

５　结语
经过研究发现，梁的响应主要取决于一阶振型，同时也存高阶振型，阶数越高，响应越不显著。

本文忽略高阶振型的影响并通过等效载荷的方法，将难以加载的移动载荷，近似等效为定点周期载荷，从而降低了载荷加载难度，对于试验验证梁在任务剖面上的力学性能有着一定的指导意义。

[1] RAO S S.机械振动.第四版[M].清华大学出版社, 2009, 225-227, 439-447.
[2] 吕家才,周春天,刘明明,等.梁长对悬臂梁振动测定材料动弹性模量的影响[J].河南大学学报（自然科学版）, 2006, 34(5):561-563.[3] 王晋莹,陈科进.转动惯量和剪切变形对轴向受压梁振动的影响[J].西安公路交通大学学报, 1997, 17(1):116-120.
[4] 童民慧,王悦民,邱惠清.弹性体基础变形下的岸桥车梁耦合振动[J].振动、测试与诊断, 2017, 37(6):1136-1140.
[5] 赵青,雍晓红.移动车辆荷载作用下梁桥的强迫振动分析[J].合肥工业大学学报（自然科学版）, 2004, 27(10):169-172.
[6]王解军,张伟.汽车荷载作用下梁桥的动力冲击效应研究[J].振动与冲击, 2007, 26(6):125-128.
参考文献：
作者简介：
汪宏斌（1988-），男，浙江省杭州市人，硕士，主要研究方向为可靠性工程与非线性动力学。

（上接96页）。