欧拉—伯努利梁在移动载荷作用下的等效方法

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环境技术/Environmental Technology

技术专栏

echnical Column

T

Ａｂｓｔｒａｃｔ：In this paper the mathematical model of lateral oscillation of Euler-Bernoulli Beam and its simulation method under excitation by movable load were introduced in detail. Taking simple beam as an example, first the lateral modal was briefly described. Then the different modal responses under movable excitation were explained in detail, and an important conclusion was reached through a case analysis that the first-order modal was the main response. Due to great difficulty and high price of simulating the movable load in laboratory, when only considering the first-order modal, movable load could be equivalent to cyclic excitation. This paper has some guiding significance for the approximate simulation of real response under movable excitation in laboratory.

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Euler-Bernoulli Beam; simple beam; modal response; movable load; equivalent load method

摘要：本文详细地介绍了欧拉—伯努利梁横向振动的数学模型与其在移动载荷作用下的模拟方法。以简支梁为例，首先简要叙述了梁的横向模态。然后详细叙述梁在移动载荷作用下不同模态的响应，得到了一阶模态振动为主要响应的重要结论。由于在实验室模拟移动载荷的成本较高、难度较大，当只考虑一阶模态响应时，通过定点周期载荷将移动载荷进行等效。本文研究对于在实验室近似模拟欧拉—伯努力梁在移动载荷作用下的真实响应具有一定的指导意义。

关键词：欧拉-伯努利梁；简支梁；模态响应；移动载荷；等效载荷方法

中图分类号：O327; TB123; TV32+3 文献标识码：A 文章编号：1004-7204(2019)02-0094-04

欧拉—伯努利梁在移动载荷作用下的等效方法

Equivalent Method of Euler-Bernoulli Beam Under Movable Excitation

汪宏斌1，王志浩2

（1.苏州长菱测试技术有限公司，苏州 215163； 2.苏州东菱振动试验仪器有限公司，苏州 215163）WANG Hong-bin 1，WANG Zhi-hao 2

(1.Suzhou Changling Test Technology Co.,Ltd.，Suzhou 215163;2.Suzhou Dongling Vibration Test Instrument Co., Ltd.，Suzhou 215163)

引言

梁结构是常见的连续体结构，与离散系统不同，连续系统有无穷多个自由度和固有频率。梁结构在工程中广泛运用，如桁架、桥梁、轨道等。

以桥梁与轨道为例，由于车重的作用，车轴施加的载荷是典型的移动载荷。虽然可以通过电脑仿真手段，模拟梁在移动载荷作用下的横向响应，但是在实验室再现移动载荷对梁的激励效果，尤其是高速移动载荷，加载难度较大、成本较高。

本文通过等效载荷的方法，将难以加载的移动载荷等效为定点周期载荷，以经济的方法再现梁在移动载

荷激励下的横向振动，便于考核梁在实际工况的力学性能。

１　基本假设与分析方法概述

１．１　基本假设

截取一跨梁与两端支承进行分析，支承假定为两端铰支座。假设梁长大于５倍梁高，可用欧拉—伯努力梁模型（细长梁模型）进行分析，即忽略剪切变形与截面转动惯量的影响，且在动力学分析中不考虑高阶模态［２］［３］。

１．２　分析方法概述分析方法如下：

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Column

T技术专栏１）首先获取梁的横向振动微分方程；

２）接着求解梁的横向模态；

３）然后分析梁的强迫振动响应；

４）最后寻求载荷等效方法。

２　梁的自由振荡

２．１　梁的自由振荡方程

无外激励作用下，梁的横向振动微分方程为［１］：

（１）其中Ｅ为弹性模量，Ｉ为横截面对ｙ轴（中性轴）的惯性矩，为密度，Ａ为横截面的面积（假设梁等截面且质量均匀分布）。ｔ为时间，为横向位移（沿ｚ坐标轴），ｘ轴为沿梁长度方向（纵向）坐标轴。梁的长度为ｌ，约定左铰支座坐标为　ｘ　＝　０，即ｘ轴正方向指向右铰支座。

２．２　横向模态

设上述微分方程的解为［１］：

（２）其中：

（３）

其中，称为梁的固有振型函数，为固有角频率。代入简支梁的边界条件（两端支座处 挠度、弯矩为零），得到简支梁的自由振荡方程：

　（４）

并满足（注意：的量纲为，且是角频率量纲）。

３　梁的强迫振动

３．１　梁的强迫振动方程

在强迫力作用下，梁的横向振动微分方程为［１］：

（５）设强迫振动的解为［１］：

（６）其中为第ｎ阶固有振型函数（见２．２）并满足：

（７）代入微分方程并利用振型函数的正交性可得［１］：

（８）

３．２　强迫力类型

当强迫力为移动载荷时，集中力（负号代表与ｚ

轴正方向相反），以速度ｖ沿着ｘ轴正方向作匀速运动：

（９）当强迫力为定点周期载荷时，集中力作用点与左

铰支座距离为ａ，角频率为Ω：

（１０）本文只讨论以上两类较为简单的载荷形式。现已知

简支梁固有振型函数为，根据狄拉克函数

积分法则［４］［５］：

（１１）当强迫力为移动载荷时，微分方程的特解为：

（１２）

当 时，振幅趋近于无穷大（注意：是

角频率量纲　），即梁结构发生共振。

３．３　案例分析

集中力　以速度ｖ沿着梁纵向正方向作匀速运动，

梁长为ｌ。选择梁的材质为Ｑ３４５钢，根据型材尺寸计算横

截面积与截面惯性矩参数，钢材性能、几何参数如表１所示。

求得前四阶、与的值如表２所示。

前四阶模态的特解为：

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２０１９年０４月／　Ａｐｒｉｌ ２０１９