2020年整理复变函数第二章答案.doc

第二章 解析函数

1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因

0()()lim z f z z f z z

∆→+∆-∆0()Re()Re lim z z z z z z z

z

∆→+∆+∆-=∆ 0Re Re Re lim

z z z z z z z z

∆→∆+∆+∆∆=∆

0Re lim(Re Re )z z

z z z z

∆→∆=+∆+∆ 0

00

Re lim(Re )lim(Re ),z x y z x

z z

z z z x i y ∆→∆→∆→∆∆=+=+∆∆+∆ 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0.

2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =⋅ 解:

22222222()||()()()(),

f z z z z z z z z

x y x iy x x y iy x y =⋅=⋅⋅=⋅=++=+++

这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+

2222222,2,2,

2.

x y y x u x y x v x y y u xy v xy =++=++==

要,x y y x u v u v ==-，当且当0,x y ==而,,,x y x y u u v v 均连续，故2().f z z z =⋅仅在0z =处可导，处处不解析. (2) 3223()3(3).f z x xy i x y y =-+-

解: 这里322322(,)3,(,)3.33,x u x y x xy v x y x y y u x y =-=-=-

226,6,33,y x y u xy v xy v x y =-==-

四个偏导数均连续且,x y y x u v u v ==-处处成立,故()f z 在整个复平面上处处可导,也处处解析.

3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数.

(1) (,).az b c d cz d

++至少有一不为零

解: 当0c ≠时，()az b f z cz d +=

+除d z c =-外在复平面上处处解析, d

z c

=-为奇点,

2

22

()()()()()()()

()().()()

az b f z cz d

az b cz d cz d az b cz d a cz d c az b ad cb cz d cz d +''=+''++-++=++-+-==++ 当0c =时，显然有0d ≠，故()az b f z d +=

在复平面上处处解析，且()a

f z d

'=. 4.若函数()f z 在区域D 内解析,并满足下列条件之一,试证()f z 必为常数. (1) ()f z 在区域D 内解析; (2) 2;v u =

(3) arg ()f z 在D 内为常数;

(4) (,,).au bv c a b c +=为不全为零的实常数 证 (1) 因为()f z 在D 中解析,所以满足C R -条件

,,u v u v

x y y x

∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 又()f z u iv =-也在D 中解析,也满足C R -条件

()(),.u v u v x y y x

∂∂-∂∂-==-∂∂∂∂ 从而应有

0u u v v x y x y

∂∂∂∂====∂∂∂∂恒成立,故在D 中,u v 为常数, ()f z 为常数. (2) 因()f z 在D 中解析且有2()f z u iu =+,由C R -条件,有

2,2.u u u x y u u u y

x ∂∂⎧=⎪∂∂⎪

⎨

∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ 则可推出

0u u

x y

∂∂==∂∂,即u C =(常数).故()f z 必为D 中常数.

(3) 设()f z u iv =+,由条件知arctan v C u

=,从而22

(/)(/)

0,0,1(/)1(/)v u v u y x v u v u ∂∂∂∂==++ 计算得

2

222

()/0

v u u u v u

x x u v ∂∂-∂∂=+，2222()/0,v u u u v u y y u v ∂∂-∂∂=+ 化简,利用C R -条件得

0,0.u

u u v y x u u u v x

y ∂∂⎧--=⎪∂∂⎪

⎨

∂∂⎪-=⎪∂∂⎩ 所以0,u u x y

∂∂==∂∂同理

0,v v x y ∂∂==∂∂即在D 中,u v 为常数,故()f z 在D 中为常数.

(4) 法一：设0,a ≠则()/,u c bv a =-求导得

,,u b v u b v

x a x

y a y

∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂ 由C R -条件

,,u b u

v b v x a y

x a y

∂∂∂∂==∂∂∂∂ 故,u v 必为常数,即()f z 在D 中为常数.

设0,0,0a b c =≠≠则bv c =,知v 为常数,又由C R -条件知u 也必为常数,所以()f z 在D 中为常数.

法二：等式两边对,x y 求偏导得：0

0x x y

y au bv au bv +=⎧⎨+=⎩，由C R -条件，我们有

0,00x y x x

y y au bu u a b bu au u b a -=-⎧⎛⎫

⎛⎫=⎨ ⎪ ⎪+=⎝⎭⎩⎝⎭即， 而220a b +≠，故0x y u u ==，从而u 为常数，即有()f z 在D 中为常数.

5.设()f z 在区域D 内解析,试证: 22

2222()|()|4|()|.f z f z x y

∂∂'+=∂∂