(完整)高二数学导数知识点总结及习题练习,推荐文档

B．4x－3y＋1＝0 D．3x－y－2＝0 或 4x－3y＋1＝0 2x 得 f′(x)＝3－2sin 2x＋2cos
2x，则
( )π
π
π
a＝f′ 4 ＝3－2sin2＋2cos2＝1.由 y＝x3 得 y′＝3x2，过曲线 y＝x3 上一点 P(a，b)的切线的斜率
k＝3a2＝3×12＝3.又 b＝a3，则 b＝1，所以切点 P 的坐标为(1,1)，故过曲线 y＝x3 上的点 P 的切线方
的坐标是(1,3)．
角度三 求参数的值
1
7
3．已知 f(x)＝ln x，g(x)＝2x2＋mx＋2(m<0)，直线 l 与函数 f(x)，g(x)的图像都相切，且与 f(x)
图像的切点为(1，f(1))，则 m 等于( )
A．－1
B．－3
C．－4
D．－2
1
解析：选 D ∵f′(x)＝x，∴直线 l 的斜率为 k＝f′(1)＝1，又 f(1)＝0，∴切线 l 的方程为
f (x) 0 在 I 上恒成立
(7)若x I ， f (x) 0 恒成立，则 f (x)min 0 ; 若x I ， f (x) 0 恒成立，则 f (x)max 0 (8)若 x0 I ，使得 f (x0 ) 0 ，则 f (x)max 0 ；若 x0 I ，使得 f (x0 ) 0 ，则 f (x)min 0 .
(4)函数 f (x) 在区间 I 上递增（减）的充要条件是： x I f (x) 0 ( 0) 恒成立 (5)函数 f (x) 在区间 I 上不单调等价于 f (x) 在区间 I 上有极值，则可等价转化为方程
f (x) 0 在区间 I 上有实根且为非二重根。（若 f (x) 为二次函数且 I=R，则有 0 ） 。 (6) f (x) 在区间 I 上无极值等价于 f (x) 在区间在上是单调函数，进而得到 f (x) 0 或
若对 x1 I1 ， x2 I2 ，使得 f (x1 ) g(x2 ) ，则 f (x)max g(x)max .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（11）已知 f (x) 在区间I1 上的值域为 A,， g(x) 在区间I2 上值域为 B， 若 对 x1 I1 , x2 I2 ，使得 f (x1 ) = g(x2 ) 成立，则 A B 。
y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，设直线 l 与 g(x)的图像的切点为(x0，y0)，
1
7
则有 x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝2x 2 ＋0 mx0＋2，m<0，于是解得 m＝－2，故选 D.
考点二：判断函数单调性，求函数的单调区间。 [典例 1]已知函数 f(x)＝x2－ex 试判断 f(x)的单调性并给予证明．
∴f′(x)max＝g(x)max＝g(ln 2)＝2ln 2－2<0，∴f′(x)<0 恒成立，∴f(x)在 R 上单调递减． [典例 2] (2012·北京高考改编)已知函数 f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx.
(1) 若曲线 y＝f(x)与曲线 y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求 a，b 的值；
(2) 当 a2＝4b 时，求函数 f(x)＋g(x)的单调区间．
[解] (1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，
由已知可得Error!解得 a＝b＝3.
a2
a2
(2)令 F(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋ax2＋ 4 x＋1，F′(x)＝3x2＋2ax＋ 4 ，令 F′(x)＝0，得
(9)设 f (x) 与 g(x) 的定义域的交集为 D 若 x D f (x) g(x) 恒成立则有f (x) g(x) 0 min
(10)若对 x1 I1 、 x2 I2 ， f (x1 ) g(x2 ) 恒成立，则 f (x)min g(x)max . 若对 x1 I1 ， x2 I2 ，使得 f (x1 ) g(x2 ) ,则 f (x)min g(x)min .
(12)若三次函数 f(x)有三个零点，则方程 f (x) 0 有两个不等实根 x1 、x2 ，且极大值 大于 0，极小值小于 0.
(13)证题中常用的不等式:
① ln x x 1 (x 0) ② ln（+1 x (x 1) ③ ex 1 x
④ e x 1 x ⑤ ln x x 1 (x 1) ⑥ ln x 1 1 (x 0)
x 1 2
x2 2 2x2
考点一：导数几何意义：
角度一 求切线方程
(π)
1．(2014·洛阳统考)已知函数 f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，a＝f′ 4 ，f′(x)是 f(x)的导函数，则
过曲线 y＝x3 上一点 P(a，b)的切线方程为( )
A．3x－y－2＝0 C．3x－y－2＝0 或 3x－4y＋1＝0 解析：选 A 由 f(x)＝3x＋cos 2x＋sin
程为 y－1＝3(x－1)，即 3x－y－2＝0.
角度二 求切点坐标
2．(2013·辽宁五校第二次联考)曲线 y＝3ln x＋x＋2 在点 P0 处的切线方程为 4x－y－1＝0，则
点 P0 的坐标是( )
A．(0,1)
B．(1，－1)
C．(1,3)
D．(1,0) 3
解析：选 C 由题意知 y′＝x＋1＝4，解得 x＝1，此时 4×1－y－1＝0，解得 y＝3，∴点 P0
解：f(x)＝x2－ex，f(x)在 R 上单调递减，
f′(x)＝2x－ex，只要证明 f′(x)≤0 恒成立即可．设 g(x)＝f′(x)＝2x－ex，则 g′(x)＝2－ex， 当 x＝ln 2 时，g′(x)＝0，当 x∈(－∞，ln 2)时，g′(x)>0，当 x∈(ln 2，＋∞)时，g′(x)<0.
高三专题复习——导数
在解题中常用的有关结论（需要熟记）：
(1)曲线 y f (x) 在x x0 处的切线的斜率等于 f (x0 ) ，切线方程为 y f (x0 )(x x0 ) f (x0 ) (2)若可导函数 y f (x) 在 x x0 处取得极值，则 f (x0 ) 0 。反之，不成立。 (3)对于可导函数 f (x) ，不等式 f (x) 0（） 0 的解集决定函数 f (x) 的递增（减）区间。