同济大学 理论力学 孙杰 第一章 基本概念与基本理论

4.作用与反作用定律
B
A
与二力平衡原理差别 平衡
FA
A
FA FB
B
FB
变形体 刚体
二刚体：等值、反向、共线。
5.刚化原理 (刚化条件)
变形体在已知力系 作用下处于平衡时， 若将此变形体刚化为 刚体，其平衡状态不 变。
例1-1： 分析 作用力与反作用力 平衡力 简化
=

电梯
FRz = Fiz
四、力对点的矩与力对轴的矩的关系
力对轴之矩 (合力矩定理) 同理：
z
F
A
Mz = xFy - yFx F F
Mx = yFz - zFy
O
i j B 矢量表示 Mk z M z x y 0 z M 0 0 Fx Fy Fz
力对轴之矩
= ( xFy-yFx )k
等效替换
力系平衡 研究对象
P
几个概念：
力系 ：以一定方式 作用在同一研究对象上的一群力
（每个力的大小、方向、作用点确定；但不一定知道 平衡 ：物体相对地面“静止”或“匀速直线运动”的 ） 状态 FN 平衡条件 ：使物体保持平衡的力系所要满足的条件 平衡力系 ：满足平衡条件的力系
刚体的概念：
力作用下 物体有变形 称为变形体
FR
M O ( FR ) M O ( F1 ) M OO( FR ) OMF1 ( Fi M M ( F2 M ( O ) )
n r FR r Fi i 1
r
F2
y
推广：
汇交力系的合力对某点(或轴)之矩 等于各 分力对同一点(或轴)之矩的矢量和(代数和) 矢量与投影关系
P
FN
§1-4 力的分解与投影
1、分解与投影的概念
分解
平行四边形 分解 不唯一 分力 投影 垂线
N
力的分解满足矢量运算 力的投影满足代数量运算
M
F
2、力在直角坐标轴上投影 ab ab y （1）平面投影 , , Fx Fx F F B ’ AB AB b Fx=±ab =Fcosa F b a' b' a' b' a . . Fy Fy F F Fy=±a’b’ =Fsina a’ A AB AB 正负号 =Fcosb x a 几何关系 b （2）空间投影 a Fx F a.直接投影法 已知：F、夹角 a 2 b2 c 2 求： Fx、Fy、Fz。 b Fx = Fcosa F F z Fy = Fcosb
解析表达式
MOx = yFz - zFy
—— 力对点之矩在坐标轴上的投影 力矩矢 1）其大小： M O ( F ) F d 2 AOAB 2）方向按右手法则（ r F ）确定； 力矩矢MO 3）作用在点O。定位矢量 力矩平面的方位 力矩的大小与转向
二、力对轴的矩：度量力使物体绕某轴转动效应的物理量
正负号
y
Fz = Fcosg
Fz cF
g
F
x
a Fy
b
b
Fz F
a 2 b2 c 2 c
a 2 b2 c 2
a y
x
反之
Fx = Fcosa
已知： Fx、Fy、Fz 求： F、夹角。 大小 F F F F ,
2 x 2 y 2 z
方向 cosa Fx /F cosb Fy /F cosg Fz /F
三、合力矩定理 z F1 MO (FR ) r FR r (F1 F2 ) r F1 r F 2 O R R A
即： M O ( FR ) M O ( F1 ) M O( F2 ) M O ( i ) x O F
Fx
x
q

F
y `
Fxy
Fy
平面内投影
§1-5 力矩的概念
一、力对点的矩
度量力使物体绕某点转动效应的物理量
1、在平面内
O：力矩中心 矩心 d：力臂
力矩中心 不一定是 转动中心
力矩平面
力矩： MO (F )= ±Fd
正负号
+ _
单位：kN· m
2、在空间内
2、在空间内 转动效应：力矩平面 等 z M0 r F 矢量表示 M (F ) r F O 力矩矢 r xi yj zk ,
掌握解决问题的方法与技能
作业 独立、及时地完成：
预习（带着问题听课）
发现问题 总成绩的一部分
巩固学习
检验学习效果（考试）的主要方法
理论力学 绪
许多内容： 有所了解、甚至比较熟悉 ← 与实际生活关系紧密 能直接解决一些简单的力学问题 材料力学及一些专业课程的基础
理论力学 特点：
以实践的归纳与总结 为“基础” —— 基本原理 以数学演绎与逻辑推理为“手段” —— 定理与公式 数学毕竟是工具 应准确了解“定理与公式”的物理意 义
匀速 平衡
P
重力
FA
各物体受力
FA
FB
FB
FN
P
平衡力： 作用力与反作用力： FA FB FA FB ； FB FN ； FA FA ； FB FB ； FN FN ； P P ； P FN ；
§1-1 力：物体间相互的机械作用
1、作用效应：a.运动效应 b.变形效应 2、力的三要素：
运动效应
大小 、方向(方位与指向) 、作用点。
力的表示
定位矢量
力的作用线 刚体静力学 变形效应
F
A
§1-2 力学模型 ：质点、质点系、刚体
质点：只计及质量 而不计大小和形状的物体
质点系：相互联系的有限或无限多的质点的总称
刚体受两个力作用而处于 平衡 平衡的充分必要条件 是：
此二力等值、反向、共线
FA FB
FA
A
重力
B
FB
一刚体： 等值、反向、共线。
只受两力且处于平衡的刚体
称为 二力构件 或 二力杆
2.力的平行四边形法则
F1
A
FR F1 F2
F1
F2
FR
合力与分力
一般 工程实际中的物体 变形微小
┏ 计算结果 并无多大差别 考虑变形： ┗ 大大增加计算难度（计算量 方法） 理论力学： 采用最简单的处理方法：忽略（理论力学特征一） 即 变形体 刚化 受力后不变形的刚体
视为（忽略变形）
刚体：在任何力作用下，都不发生变形的物体。
并非实际物体 （力学模型）
第一章 基本概念与基本原理
工程力学(一)
主讲：孙杰
绪论
《工程力学 教程篇》 —— 理论介绍 公式推导 教材： 《工程力学 导学篇》 —— 内容总结 解题指导
这本教材的特点
许多内容是 以矢量推导 （介绍 相对简单）
介绍的顺序 也与以往不同：便于推导 系统性较强
平面问题：熟练掌握
空间问题：一般掌握
参考书：《理论力学》
同济大学航空航天与力学学院基础力学教学研究室 编 同济大学出版社 书号：ISBN 7-5608-2879-5∕O· 268 每单周一交作业
力对于z轴的矩： 等于该力在垂直于z轴的平面上的投影 定义 对于z轴与此平面的交点O的矩。
z
F Fz
(矩轴)
M z dFxy (平面内 力对轴的矩)
Fxy
O d
Fxy
力对轴的矩 等于零： ①力与矩轴平行 共面 ②力与矩轴相交
r FR r (F1 F2 ) r F1 r F2
F2
3.加减平衡力系公理 在作用于刚体上的任一力系中，加上或减去 一个平衡力系，所得新力系与原力系对刚体的运 动效应相同。 (等效) 原力系为平衡力系 推论1：力的可传性原理 F F F 力的作用线
滑移矢量
F
A
合成与分解 的法则 三角形法则
FR
F F
B
F Fx i Fy j Fz k ,
i j k z Fz y Fy
B
F
A
y
r
O
M x 0 Fx
矩阵计算
x
( yFz zF y )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
MOy = zFx - xFz MOz矢量与投影关系 = xFy - yFx
例1-2：拖拉机摇手柄OAB在Oyz平面内，在B处作用一个力F。已知： F=50N，OA=20cm，AB=18cm，a=45º b=60º ， 。求力对各轴之矩。 解：
解析表达式
Mx = yFz- zFy My = zFx- xFz Mz = xFy- yFx
z
Fz B Fx
y
F
b
A
Fx = Fcosb cosa = 17.7 N Fy = Fcosb sina = 17.7 N Fz = Fsinb
分力与投影
Fx = F x i Fy = F y j
F z = Fz k
z
在直角坐标轴上 F = Fx +Fy +Fz =Fx i+ Fy j+ Fz k
b、二次投影法 已知：F、夹角q、
求： Fx、Fy、Fz。
Fz
Fxy F cosq
Fz F sin q
Fx F cosq cos
F F cosq sin Fyy F cosq sin
刚体：在任何外力作用下都不变形的物体
(特殊的质点系)
注：模型的选择并不仅仅取决于物体的大小
约束的概念
研究对象
（研究问题的性质）
约束：阻碍物体运动的限制物 (特定的装置) 约束力：约束施加于被约束物体的力 (被动力)(未知) 主动力：除约束力外 其它受到的作用力 (研究对象上)
§1-3 静力学公理
1.二力平衡原理
F
A
B
力对刚体作用的三要素：大小、方向、作用线
推论2：三力平衡汇交定理
设三个力不平行，且有两个力相交于一点，若力系平衡。
则：1、三力共面 2、作用线汇交于一点 证明： B FB
FA
A C
FA
B
FB
FA
A
A
FC
FC
D
C
力的可传性原理
FC
D
力的平行四边形法则
二力平衡原理 共面 汇交 FB FA FBC FBC FB FC FBC FA FB FC 0 汇交力系平衡条件
课代表（下周定出）
工程力学：研究“物体的机械运动”和“杆件的承载能 力”
包括：
理论力学 —— 研究物体的运动及其与力的关系
材料力学 —— 研究杆件的变形及其与力的关系
要求：
分别又称为： 刚体力学 与 变形体力学 总成绩的一部分 多动脑 掌握基本概念
上课 不无故缺席、迟到：最佳的学习途径 积极思考 课外 化一定时间看书（例题）：
MM MOy MM M 0 Oxi x i Mi y j Ozi z k 这一结论推广到任意力系
MOx = MOix MOy = M iy O MOz = MOiz
矢量投影定理 前提是：该力系有合力 应用: 合力投影定理
FRx = Fix
FRy = Fiy
My = 20×17.7 Mz = -18×17.7
a
Fy
= 43.3 N
O x x =0, y = 18, z =20,
cm Mx = 18×43.3 - 20×17.7 = 426 N· = 354 N· cm
合力矩定理
P1 习题：1、2、3
= -318 N· cm
§1-6 力偶的概念
or
M z ( F ) M z ( Fxy ) Fxy d 2 AOAB
力对点之矩的投影
力对轴之矩
MOz = MOcosg
M x ( F ) M Ox M y ( F ) M Oy M z ( F ) M Oz
力对轴之矩等于力对该轴上任意点之矩在该轴上的投影 力矩关系定理
Leabharlann Baidu
理论力学研究内容：
研究物体机械运动规律的一门学科
（运动相对静止而言）
静力学 ：物体在力系作用下的平衡规律 运动学 ：物体运动的几何性质 (运动参数) 动力学 ：物体的运动与其受力之间关系
第一篇 刚体静力学
序
刚体静力学：
研究刚体在力系作用下的平衡规律（平衡条件） 静力学主要研究： 受力分析
力系简化
y
My = zFx - xFz
x
A Fx
x
Fxy B
Fy
y
另外： 力对点之矩的解析表达式
力矩关系定理
MOx = yFz-zFy MOy = zFx-xFz MOz = xFy-yFx
则
M x ( F ) M Ox M y ( F ) M Oy M z ( F ) M Oz