第一章 连续弹性介质中的位错行为解析
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第一章-连续弹性介质中的位错行为
“建模是一种能力，而且，想创造出高水平的成果，必须具备这样的能力。” 培养建模能力—— 一个最有效的办法就是学习别人是如何做的。
一方面是为了使我们了解这些性质的特点， 所以，这里介绍位错的弹性性质， 另一方面是学习前人建立数学模型的方法。
第三节 位错的弹性性质
一、引言
3.位错的弹性性质包括哪些？
应力－应变场； 弹性应变能； 线张力；
uz z
0;
xy
1 2
ux y
u y x
0;
yz
1 2
u y z
uz y
1 2
uz y
b 4
1
1
x y
2
x
b 4
x2
x
y2
;
zx
1 ux 2 z
2.刃型位错的应力－应变场
可以推导出：
xx
2
Gb (1
)
y (3 x 2 (x2
y2) y2 )2
;
yy
2
Gb (1
)
y(x2 y2) (x2 y2)2
;
zz
( xx
yy )
Gb (1
)
x2
y
第三节 位错的弹性性质
二、位错的应力－应变场
1.螺型位错的应力－应变场
Z
Z
（1）假设：
把晶体视作各向同性的连续介质； 认为研究对象是无限大连续介质中的位错。
第1章 位错的定义及柏氏矢量
G x 2πx c a b
即 c
Gb G 2a 2
因为原子间的斥力的短程性，能量曲线不是正弦形的，所以上面 的估计是过高的，c的更合理值约为G/30。理论切变强度和切变 模量相差约1个数量级。但是，实验测定的切变强度比理论切变 强度低2~4个数量级。 一些金属的理论强度与实验强度的比较
晶体
Ag Al Cu Ni Fe
理论强度（G/30）GPa 实验强度/MPa
2.64 2.37 4.10 6.70 7.10 0.37 0.78 0.49 3.2～7.35 27.5
理论强度 /实验强度
～7103 ～3103 ～8103 ～2103 ～3102
Mo
Nb Cd Mg （柱面滑移）
在弹性介质产生位错的沃特拉过程的示意图。位错线平行于z轴。 (a)和(b)是刃位错，产生位错的割面位移分别平行于y轴和x轴；(c) 是螺位错，产生位错的割面位移平行于z轴
在弹性介质产生向错的沃特拉过程的示意图。向错线平行于z轴。 (a)是楔型向错，产生向错的割面位移是绕平行z轴的轴转动角； (b)是扭型向错，产生向错的割面位移是绕平行x轴的轴转动角； (c)也是扭型向错，产生向错的割面位移是绕平行y轴的轴转动角
晶体变形的宏观现象： ①形变的晶体学性（即晶体在固定的晶面和晶向滑移）； ②形变的不均匀性和不连续性，即变形不是在整个晶体各处发生； ③形变滑移的传播性，形变时，观察到滑移线（带）是从无到有， 由浅到深，由短到长（即），数目由少到多； ④滑移服从临界分切应力定律（以后会介绍，对于体心立方晶体， 会发生例外） ⑤温度对临界分切应力有显著的影响，等等。 设想的这种缺陷结构及特性必需和上述观察到的宏观变形现象相 符。
设想的缺陷引入晶体必需要： ①它的晶体学要素不依赖于加力的大小，而由晶体学本 身确定。由它运动导致的变形不破坏晶体结构，只是原 子间的相对运动。所以引入的缺陷不是完全无规而是有 晶体学特性的； ②它能解释变形的不均匀性，即能说明它的结构敏感性； ③它能说明变形过程的传播性； ④引入的这种缺陷是易动的，能解释实验强度比理论强 度低的原因。但它又不能像空位那样易受热起伏的影响； ⑤它应有合理的增殖机制。 现在已经知道，这种缺陷就是这里要讨论的位错。
即 c
Gb G 2a 2
因为原子间的斥力的短程性，能量曲线不是正弦形的，所以上面 的估计是过高的，c的更合理值约为G/30。理论切变强度和切变 模量相差约1个数量级。但是，实验测定的切变强度比理论切变 强度低2~4个数量级。 一些金属的理论强度与实验强度的比较
晶体
Ag Al Cu Ni Fe
理论强度（G/30）GPa 实验强度/MPa
2.64 2.37 4.10 6.70 7.10 0.37 0.78 0.49 3.2～7.35 27.5
理论强度 /实验强度
～7103 ～3103 ～8103 ～2103 ～3102
Mo
Nb Cd Mg （柱面滑移）
在弹性介质产生位错的沃特拉过程的示意图。位错线平行于z轴。 (a)和(b)是刃位错，产生位错的割面位移分别平行于y轴和x轴；(c) 是螺位错，产生位错的割面位移平行于z轴
在弹性介质产生向错的沃特拉过程的示意图。向错线平行于z轴。 (a)是楔型向错，产生向错的割面位移是绕平行z轴的轴转动角； (b)是扭型向错，产生向错的割面位移是绕平行x轴的轴转动角； (c)也是扭型向错，产生向错的割面位移是绕平行y轴的轴转动角
晶体变形的宏观现象： ①形变的晶体学性（即晶体在固定的晶面和晶向滑移）； ②形变的不均匀性和不连续性，即变形不是在整个晶体各处发生； ③形变滑移的传播性，形变时，观察到滑移线（带）是从无到有， 由浅到深，由短到长（即），数目由少到多； ④滑移服从临界分切应力定律（以后会介绍，对于体心立方晶体， 会发生例外） ⑤温度对临界分切应力有显著的影响，等等。 设想的这种缺陷结构及特性必需和上述观察到的宏观变形现象相 符。
设想的缺陷引入晶体必需要： ①它的晶体学要素不依赖于加力的大小，而由晶体学本 身确定。由它运动导致的变形不破坏晶体结构，只是原 子间的相对运动。所以引入的缺陷不是完全无规而是有 晶体学特性的； ②它能解释变形的不均匀性，即能说明它的结构敏感性； ③它能说明变形过程的传播性； ④引入的这种缺陷是易动的，能解释实验强度比理论强 度低的原因。但它又不能像空位那样易受热起伏的影响； ⑤它应有合理的增殖机制。 现在已经知道，这种缺陷就是这里要讨论的位错。
晶体缺陷5-位错的弹性性质
1）单位长度位错线的应变能U为：
U＝αGb2
取值中限0.75
＝0.75×4×1010×（2.5×10-10）2
＝18.75×10－10J/m
2）严重变形金属，单位体积（cm3）内位错应变能为： U＝18.75×10－10×1011 ＝187.5J/cm3
换算成单位质量（g）铜晶体内位错的应变能为： U＝（187.5/8.9）J/g
4
ln r0
3、混合位错的弹性能
U刃
1
1
U螺
3 2 U螺
U混
Gb2
4k
ln
R r0
Gb2
其中：k=1-v/(1-vcos2θ)，0.5≤α≤1
结论
UT U el Gb 2
（1）总应变能 UT=U0+Uel
Uel∝lnR/r0
长程,
U0
1 10
UT
可忽略。
（2）UT∝b2，晶体中稳定的位错具有最小的柏氏矢
似：对圆柱体上各点产生两种切应力，即 tz t z
t z t θz
t z t θz
从这个圆柱体中取一个半径为r的薄壁圆筒展开，
便能看出在离开中心r处的切应变为
t z
t z
G
Gb
2r
b 2 r
yL
r0
z
r P tz θ t z b
t z
L
x
过P点取平面展开
t z
b
2 r
P
z
t z t z
t z
课前复习
1.什么是应力，其表达式是什么？
应力是作用在单位面积上的力 σ＝F/A
2.螺位错应力场的应力分量的极坐标表示。
0 0
第一章 参考答案
第一章 参考答案5、多晶体金属产生明显屈服的条件，并解释bcc 金属及其合金与fcc 金属及其合金屈服行为不同的原因。
答：多晶体金属产生明显屈服的条件：1）材料变形前可动位错密度小，或虽有大量位错但被钉扎住，如钢中的位错为间隙原子、杂质原子或第二相质点所钉扎。
2）随塑性变形的发生，位错能快速增殖；3）位错运动速率与外加应力之间有强烈依存关系。
金属材料塑性变形的应变速率与位错密度、位错运动速率和柏氏矢量成正比，而位错运动速率又决定于外加应力的滑移分切应力。
（v b ρε=•，m v '=)(0ττ） 塑性变形初始阶段，由于可动位错密度少，为了维持高的应变速率，必须增大位错运动速率。
而要提高位错运动速率必须要有高的应力，这对应着上屈服点。
一旦塑性变形产生，位错大量增殖，位错运动速率下降，相应的应力随之下降，从而产生了屈服现象。
对于bcc 金属及其合金，位错运动速率应力敏感指数m ’低，即位错运动速率变化所需应力变化大，屈服现象明显。
而fcc 金属及其合金，其位错运动速率应力敏感指数高，屈服现象不明显。
6、答：随含碳量的增加，屈服现象越来越不明显。
这是由于随含碳量高，其组织中渗碳体含量增多，对基体起强化作用，使得材料屈服强度很高，塑性降低。
7、答：决定屈服强度的因素：1）内因①金属本性及晶格类型：不同的金属及晶格类型，位错运动所受阻力（包括派纳力、位错间交互作用力）不同。
②晶粒大小和结构：减小晶粒尺寸将增加位错运动障碍的数目，减小晶粒内位错塞积群的长度，使屈服强度提高，即细晶强化。
屈服强度与晶粒尺寸之间符合H-P 公式。
③溶质元素：溶质元素的加入，使得晶格发生畸变，在溶质原子周围形成晶格畸变应力场，与位错应力场交互作用，阻碍位错运动，提高屈服强度，即固溶强化。
④第二相：对于可变形的第二相质点，位错可以切过，使之同基体一起变形，由于质点与基体间晶格错排及位错切过第二相质点产生新的界面需要作功等原因，使得屈服强度提高。
位错理论3-位错的弹性性质资料
x2
x
y2
s xx s yy s zz s xy s yx 0
11
Stress field of screw dislocation ➢螺位错应力场特点：
只有切应力（ sqz、szq分量），无正
应力分量 应力场对称于螺位错的位错线——轴
对称：切应力分量大小只与距位错线 中心的距离r有关，与q无关。
➢ 因为只有sqz和eqz：
➢ 所以：
W V
1 2
s
qz
e qz
1 Gb
2 2r
b
2r
Gb 2
8 2r 2
➢ 考虑位错微元：半径为r，厚度dr，长度L的管
状体元
dW
1 2
s
eqz qz
dV
1 2
Gb
2r
b
2r
d (2r dr L)
Gb 2L
4r
dr
➢ 设位错中心半径为r0,应力场范围半径为R，所
s ii s ij
Eeii Geij
G
E
2(1
)
6
目录
➢弹性理论基础 ➢位错的应力场 ➢位错的应变能 ➢位错所受的力 ➢位错的线张力 ➢位错间的相互作用力
7
Stress field of dislocation
➢ 位错晶格畸变应力场 ➢ 以位错中心的某点为定点，应力场描述为：
or
4
Basis of elasticity theory
➢应变分量（应变张量strain tensor）：
➢只err,有eq6q个, e独zz, 立erq分, e量rz,：eqez；xx, eyy, ezz, exy, exz, eyz；
《材料成型金属学》教学资料：第一章位错理论基础
位错密度
单位体积中位错的总长度：
ρ = L , cm / cm3 V
将位错线看作于垂直某一平面的直位错线
ρ = nL = n ,1/ cm3 AL A
位错密度
在金属材料中，退火状态下，接近平衡状态所得 到的材料，这时位错的密度较低，约在106-8的数量级；
经过较大的冷塑性变形，位错的密度可达1011-12 的数量级。
1 位错理论基础
Fundamentals of dislocation theory
理想晶体 完全按照空间点阵有规则排列
实际晶体 不可能完全规则排列，存在晶格缺陷 lattice defect
1.1 晶体缺陷概述
晶体中的缺陷： 原子排列偏离完整性的区域
点缺陷－在三个方向上尺寸都很小 线缺陷－在二个方向上尺寸很小 面缺陷－在一个方向上尺寸很小
特征： 无多余半原子面，原子错排呈轴对称； 螺型位错线与滑移矢量平行，因此一定是直线； 纯螺型位错的滑移面不唯一； 螺型位错周围发生点阵畸变； 线缺陷。
混合位错(mixed dislocation)
滑移矢量既不平行也不垂直于位错线，而与位错 线相交成一定角度。
Screw Dislocation
点缺陷的类型 ：
1) 空位 在晶格结点位置应有原子的 地方空缺，这种缺陷称为“空位”。
2) 间隙原子 在晶格非结点位置，往 往是晶格的间隙，出现了多余的原 子。它们可能是同类原子，也可能 是异类原子。
3) 异类原子 在一种类型的原子组成 的晶格中，不同种类的原子替换原 有的原子占有其应有的位置。
空位平衡浓度
Edge Dislocation
Has both edge and
screw character.
位错的弹性性质
一般情况下，任意一点存在36个常数cij值。晶体的对称 性越强，独立的弹性常数数目越少。在弹性连续介质中， 只有2个独立的cij值，工程上分别用E、G标记:
E为正应变弹性模量，也叫杨氏模量： iiEii
G为切应变弹性模量，也叫切变模量： iiGii
E和G之间存在如下关系：E=G/2(1-ν)，其中ν是表示
优点 缺点
模型简单
中心区不适用，忽略晶体结构的影响
.
11
1）刃位错的应力场
① 应力场模型
1. 在圆柱体中心挖出一 个半径为rO的小洞
2. 沿xoz平面从外部切 通至中心
3. 在切开的两面上加外 力，使其沿x轴作相 对位移b;再把切开的 面胶合起来
4. 撤去外力
这样的圆柱体与包含一个刃型位错的晶体相似。
W螺
4
ln r0
.
18
3）混合位错的应变能
单位长度的混合位错能量：
W混
Gb2
4k
lnR r
0
k 1v1cvo2s
R—位错应力场最大作用范围的半径
r0 —位错中心区域的半径 θ—混合位错的柏氏矢量与位错线的夹角
α—由位错的类型、密度(R值)决定，其值0.5~1.0
上述公式可简化为： WGb2
.
19
W1 W2
F l D l D b
F b
.
29
特点
➢ 作用在单位位错线上的力F与外加切应力τ 及柏氏矢量b成正比，由于同一位错线各 点柏氏矢量b相同，所以当外加切应力均 匀作用在晶体上时，位错线各点所受力的 大小是相同的。
➢ 作用于位错线上的力F与外加切应力τ的方
向不一定是一致的(纯刃型位错与τ同向，
讨论
3.2.3位错的弹性性质
简单立方晶体中位错的柏氏矢量b总是等于点阵矢量。但 实际晶体中，位错的柏氏矢量除了等于点阵矢量外还可能 小于或大于点阵矢量； 柏氏矢量等于单位点阵矢量的位错称为“单位位错”； 柏氏矢量等于点阵矢量或点阵矢量整数倍的位错称为“全 位错”，故全位错滑移后晶体原子排列不变； 柏氏矢量不等于点阵矢量整数倍的位错称为“不全位错”； 不全位错滑移后原子排列规律发生变化。 柏氏矢量小于点阵矢量的位错称为称为“部分位错”。
b前2 b后2
分解反应式：2a[100] →a[100]+a[100]
思考题
判定下列位错反应能否进行？若能进行，试在晶胞上作出 矢量图。
(1) a 1 1 1 a 111 a001
2
2
(2) a 110 a 121 a 211
2
6
6
(3) a 112 a 111 a 111
①由于熔体中杂质原子在凝固过程中不均匀分布使晶体的先后凝固部分成 分不同，从而点阵常数也有差异，可能形成位错作为过渡；
②由于温度梯度、浓度梯度、机械振动等的影响，致使生长着的晶体偏转 或弯曲引起相邻晶块之间有位相差，它们之间就会形成位错；
③晶体生长过程中由于相邻晶粒发生碰撞或因液流冲击，以及冷却时体积 变化的热应力等原因会使晶体表面产生台阶或受力变形而形成位错。 （二）由于自高温较快凝固及冷却时晶体内存在大量过饱和空位，空位的聚 集能形成位错。 （三）晶体内部的某些界面（如第二相质点、孪晶、晶界等）和微裂纹的附 近，由于热应力和组织应力的作用，往往出现应力集中现象，当此应力高至 足以使该局部区域发生滑移时，就在该区域产生位错。
3.外力场中位错所受的力
外力作用在晶体上时，晶体中的位错将沿其法线方向运动， 通过位错运动产生塑性变形。 为了研究问题的方便，把位错线假设为物质实体线，把位 错的滑移运动看作是受一个垂直于位错线的法向力作用的结 果，并把这个法向力称为作用在位错上的力。 它是虚设的、驱使位错滑移的力，它必然与位错线运动方 向一致，即处处与位错线垂直，指向未滑移区。 根据虚功原理，切应力使晶体滑移所做的功应与法向“力” 推动位错滑移所做的功相等。
位错的弹性性质
z
而相应的切应力便为
b 2r
z z G z
Gb 2r
G称为剪切模量，其余应力分量均为0。
rr zz r r rz zr 0
若用直角坐标表示
螺型位错的应力场具有以下特点：
（1）只有切应力分量，正应力分量全为零，这表明螺位错 不引起晶体的膨胀和收缩。
第二个下标代表应力方向。
例如
xy
表示作用在x面上沿y轴方向的应力（所谓x 面就是外法线沿x轴方向的平面。
x x , y y 和 z z 三个正应力通常简写为 x , y 和 z
从以上讨论可知，要确定一点的应力状态，需要给出通 过该点的3个正交平面上的9个应力分量。
x , x y , x z , பைடு நூலகம் y , y x , y z , z , z x , z y
体表面的外法线方向相反，则此力为压力，它所产生的应力就 是压应力。拉应力和压应力都和作用面垂直，统称为正应力。 如果作用力平行于作用面，则此力称为剪力（切力），单 位面积上的剪力就称为剪应力，它力图改变物体的形状，而不
改变体积。
在一般情形下，作用力和作用面即不垂直，也不平行，此 时它所引起的应力就可以分为正应力和剪应力 。
物体中任意一点的应力状态均可用九个应力分量描述，图分
别用直角坐标和圆柱坐标说明这九个应力分量的表达方式。
(a)直角坐标； (b)圆柱坐标的正应力及切应力表示办法 物体中一点(图中放大为六面体)的应力分量
下面我们讨论应力的标注方 法及其意义。
表示正应力， 表示剪应力。
不同面和方向的应力下标区别， 第一个下标代表应力的作用面，
的大小与G和b成正比，与r成反比，即随着与位错距离的
位错的弹性性质
z z
式中G为剪切模量。
Gb G z 2r
由于圆柱只在Z方向有位移，X和Y方向无位移， 所以其余应力分量均为0。
rr zz 0 r r rz zr 0
如果采用直角坐标系表示，则如式(7-15)。
xx yy zz 0 xy yx 0
(1) 位错的应力场 从材料力学知识，我们已知固体中任一点的应 力状态可用下图所示的9个应力分量来表示： 正应力分量：
xx , yy , zz
剪切应力分量：
xy , yz , zx yx , zy , xz
单元体各面上的应力描述
要准确地对晶体中位错周围的弹性应力场进行
定量计算是复杂而困难的，为简化起见，通常采用
弹性连续介质模型来进行计算。该模型作了以下假
设：
a. 晶体是完全弹性体； b. 晶体是各向同性的； c. 晶体中没有空隙，由连续介质组成。因此晶体 中的应力应变是连续的，可用连续函数表示。
① 螺型位错的应力场
力学模型：取外半径 为R，内半径为r0的各向同 性材料的圆柱体，圆柱中 心线作为z轴坐标，将圆柱 沿xoz面切开，使切面沿z 轴方向相对位移b，再把 切面粘起来，这样在圆柱 体内就产生了一个螺位错。
Fr zb2
Gb1 把 z 代入，则有： 2r
Gb1b2 Fr 2r
结论：同号位错相互排斥，异号位错相互吸引。它们 之间的作用力服从牛顿第三定律。
② 两平行刃位错的交互作用
两平行刃位 错的交互作 用
位错I位于坐标原点，位错II在点(x,y)处。由刃 位错的应力场公式可求得位错II受到的滑移力Fx和 攀移力Fy：
2）切应力径向对称分布：在包含位错线的任 何径向平面上切应力都是 z 趋于0，与θ角无关。 当r趋于0时，τθZ趋于无穷大，显然与实际情 况不符。因此，在制作连续介质模型时要去掉中心 部分的原因。通常把r0取为0.5~1nm。
§3-3--3-5 位错的运动
2. 两平行刃型位错间的交互作用
设有一柏氏矢量为b的位错线在OZ 轴上，另有一与之平行的刃型位错在 （x，y）处，柏氏矢量为b/，b和b/的 方向平行于ox轴。由于： 平行于滑移面且平行于柏氏矢量的 分切应力才能使位错b/滑移； 垂直于位错多余半原子面的正应力 能使位错攀移。 b位错形成的应力场中，对位错b/起 作用的应力分量有 σ xx τ yx 和 b/位错受到的滑移力： x = ±τ yxb′ F
根据能量守恒，位错的应变能等于形成一个单位 长度位错所做的功。
刃型位错的应变能（Ee）
位移为x时的切应力
螺型位错的应变能（Es）
混合位错的应变能（Em）
位错线与柏氏矢量b 成φ角的混合位错的 应变能，可由它分解 而得的柏氏矢量为b sinφ的刃型位错分量 和柏氏矢量为b cosφ 的螺型位错分量的应 变能加和得出。
b = 2πr
Gb
应力为： τ θZ = τ Zθ = Gγ θZ = 2πr
σrr =σθθ =σzz =τrθ =τrz = 0
螺型位错应力场是径向对称 的，即同一半径上的切应力相 等。且不存在正应力分量。
直角坐标表示
Gb y Gb y ⎧ ⎪τ xz = τ zx = -τ zθ sin θ = - 2π • r = - 2π × x 2 + y 2 ⎪ Gb x Gb x ⎪ • = × 2 ⎨τ yz = τ zy = τ zθ cos θ = 2π r 2π x + y 2 ⎪ ⎪σ xx = σ yy = σ zz = τ xy = τ yx = 0 ⎪ ⎩
在弯曲位错线上存在 的两种力：
位错的线张力T使位错线 受一指向曲率中心的力，力 求把位错线变直。大小为： 2Tsin (dθ/2)； 为保持其弯曲状态与之平 衡的作用力。单位长度位错 线所受的力为f=τb，若位错 长度为ds，所受的力为f ds；
位错基础
量等于从体心立方晶体的原点到体心的矢量来 表示，则b=a/2+b/2+c/2，可写成b=a/2[111]。
一般立方晶系中柏氏矢量可表示为 b=a/n<uvw>，其中n为正整数。
通常柏氏矢量的大小（即位错强度）还用下式
来表示。
| b |
a
u2 v2 w2
n
3. 柏氏矢量的守恒性(Conservation)
位错理论的发展历史较短，还存在一些不 完善之处。弗兰克和斯蒂兹(J.W.Steeds)在1975 年的一篇“晶体位错”的评论中指出：位错有 些理论是确切的，因为它们是纯几何的或纯形 貌的。有些部分显然是近似的，然而是可靠的。 但现在有意义的问题是不能确信那些已做的近 似的可靠性，因此必须依靠全部的理论方法以 及观察和推测来谋求进一步发展。除了这些 “近似”之外，在位错领域中迄今还没有完全 解决的主要问题是如何填补单个位错的性质和 位错集团的行为之间的鸿沟。因此，位错理论 尚有待今后进一步发展和完善。
混合型位错线是一条曲线，在A处位错线与滑移矢量 平行，因此是螺型位错；而在C处位错线与滑移矢量垂直， 因此是刃型位错。A与C之间，位错线既不垂直也不平行 于滑移矢量，每一小段位错线都可分解为刃型和螺型两个 部分，因此是混合型位错。
由于位错线是已滑移区与未滑移区的边界 线，因此一根位错线不能终止于晶体内部，而 只能露头于晶体表面或晶界。
1939年柏格斯（J.M.Burgers）提出了螺型位错的概
念和柏氏矢量，使位错的概念普遍化，并发展了位错应 力场的一般理论，接着位错理论得到多方面的发展。 1940年派尔斯（Peierls）提出半点阵模型，到1947年在 纳波罗（Nabarro）的帮助下，计算出使位错滑移所需 的临界切应力（P-N力）。 1949年柯垂尔(A.H.Cottrell) 提出位错与溶质原子的作用问题，用碳原子钉扎位错来 解释钢中屈服点的现象获得成功（Cottrell气团），弗兰 克尔的螺型位错促进晶体生长的理论预告获得了令人信 服的证实。而后许多人几乎同时独立地在显微镜下观察 到了位错的存在及其形状。
一般立方晶系中柏氏矢量可表示为 b=a/n<uvw>，其中n为正整数。
通常柏氏矢量的大小（即位错强度）还用下式
来表示。
| b |
a
u2 v2 w2
n
3. 柏氏矢量的守恒性(Conservation)
位错理论的发展历史较短，还存在一些不 完善之处。弗兰克和斯蒂兹(J.W.Steeds)在1975 年的一篇“晶体位错”的评论中指出：位错有 些理论是确切的，因为它们是纯几何的或纯形 貌的。有些部分显然是近似的，然而是可靠的。 但现在有意义的问题是不能确信那些已做的近 似的可靠性，因此必须依靠全部的理论方法以 及观察和推测来谋求进一步发展。除了这些 “近似”之外，在位错领域中迄今还没有完全 解决的主要问题是如何填补单个位错的性质和 位错集团的行为之间的鸿沟。因此，位错理论 尚有待今后进一步发展和完善。
混合型位错线是一条曲线，在A处位错线与滑移矢量 平行，因此是螺型位错；而在C处位错线与滑移矢量垂直， 因此是刃型位错。A与C之间，位错线既不垂直也不平行 于滑移矢量，每一小段位错线都可分解为刃型和螺型两个 部分，因此是混合型位错。
由于位错线是已滑移区与未滑移区的边界 线，因此一根位错线不能终止于晶体内部，而 只能露头于晶体表面或晶界。
1939年柏格斯（J.M.Burgers）提出了螺型位错的概
念和柏氏矢量，使位错的概念普遍化，并发展了位错应 力场的一般理论，接着位错理论得到多方面的发展。 1940年派尔斯（Peierls）提出半点阵模型，到1947年在 纳波罗（Nabarro）的帮助下，计算出使位错滑移所需 的临界切应力（P-N力）。 1949年柯垂尔(A.H.Cottrell) 提出位错与溶质原子的作用问题，用碳原子钉扎位错来 解释钢中屈服点的现象获得成功（Cottrell气团），弗兰 克尔的螺型位错促进晶体生长的理论预告获得了令人信 服的证实。而后许多人几乎同时独立地在显微镜下观察 到了位错的存在及其形状。
第一章：位错理论
第一章 位错理论（补充和扩展）刃位错应力场：22222)()3()1(2y x y x y Gb x ++--=νπσ22222)()()1(2y x y x y Gb y +--=νπσ)(y x z σσνσ+=22222)()()1(2y x y x x Gb yxxy +--==νπττ滑移面：xGb yx xy 1)1(2νπττ-==攀移面 y Gb x 1)1(2νπσ--=螺位错应力场：r Gb z z πττθθ2==单位长度位错线能量及张力221Gb T W ==单位长度位错线受力 滑移力：b f τ=攀移力： b f x σ=位错线的平衡曲率θθd 2d sin 2R f T =当θd 较小时2d 2d sin θθ≈，故τ2Gb f T R ==R Gb 2/＝τ两个重要公式：Frank －Read 源开动应力l Gb /＝τOrowan 应力λτ/Gb ＝位错与位错间的相互作用1. 不在同一滑移面上平行位错间的相互作用（1）平行刃型位错.)()()1(2222222y x y x x b Gb b f yx x +--'±='±=νπτ式中正号表示b 和b '同向；负号表示b 和b '反向。
沿y 轴的作用力y f 即攀移力.)()3()1(2222222y x y x y b Gb b f x y ++-'='=νπσ）－（b b ', 同号： 0>y f 正攀移 b b ', 反号： 0<y f 负攀移（2）平行螺位错r b Gb b f z r πτθ2'±='±=（3）平行混合型位错可以先将混合型位错分解成纯刃型和纯螺型的两个分量，分别计算刃-刃和螺-螺之间的作用力，最后叠加起来就得到总的作用力。
刃-螺之间无作用力2. 在同一滑移面上平行位错间的弹性相互作用位错的塞积群令第一个位错在0=x的地方，若此障碍只同领先的位错有交互作用，则每一位错所受的作用力j f 可写成01)1(2012＝b x x Gb f n i ji i ij j τνπ∑=≠=---=平衡时j f 应为零，可得n -1个联立代数方程（不包括第一个位错）∑=≠=-=ni ji i ij x x D 10,1τ )1(2νπ-=GbD当n 很大时，求解联立方程的近似解，得到各位错的平衡位置202)1(8-=i n D x i τπ塞积群总长度0028τατπnDD n x L n ≈≈=单位长度上的位错数 0d d i L x D xτπ= 利用)1/4(≈π◆ 塞积群施加在障碍上的切应力设在外切应力0τ作用下，整个塞积群向前移动x δ的距离，外应力作功为x b n δτ0，而障碍对领先位错的作用力作功为x b δτ。
位错的弹性行为
（1）螺位错的应力场 取外半径为R，内半径为ro的各向同性材料的 圆柱体两个。圆柱中心线选为Z轴，将圆柱 沿XOZ面切开，使两个切面分别沿Z轴方向 相对位移b，再把切面胶合起来，这样在圆柱 体内产生了螺位错的弹性应力场，如图2。
图2 螺位错的连续介质模型
从这个圆柱体中取一个半径为r的薄壁圆筒展 开，便能看出在离开中心r处的切应变为ε = b / 2πr
1. 位错的连续介质模型基本思想
将位错分为位错心和位错心以外两部分。 在位错中心附近，因为畸变严重，要直接考 虑晶体结构和原子间的相互作用。问题变得 非常复杂，因而，在处理位错的能量分布时， 将这一部分忽略。在远离位错中心的区域， 畸变较小，可视作弹性变形区，简化为连续 介质。用线性弹性理论处理。即位错畸变能 可以通过弹性应力场和应变的形式表达出来。 对此，我们仅作一般性的了解。
θz
σ θz = σ zθ = G.ε θz =
Gb 2πr
式中G为切变模量。由于圆柱只在Z方向有位 移，X，Y方向无位移，所以其余应力分量为 零 σ = σ θθ = σ = σ θ = σ θ = σ = σ = 0 如果采用直角坐标系表示，则
rr zz r r rz zr
σ xz = σ zx = −σ zθ sin θ = − Gb ( x 2π
4).y=0时，σxx=σyy=σzz=0，说明在滑移面 上，没有正应力，只有切应力，而且切应力 τxy达到极大值。 5).y＞0时，即滑移面以上，σxx＜0；而y ＜0时，即滑移面以下，σxx＞0。这说明正刃 型位错的位错滑移面上侧为压应力，滑移面 下侧为拉应力。 6).在应力场的任意位置处，|σxx|＞|σyy| 。
2.应力与应变的表示方法
(1)应力分量 如图1所示。物体中任意一点可以抽象为一 个小立方体，其应力状态可用9个应力分量描 述。它们是： σxx σxy σxz σyx σyy σyz σzx σzy σzz
《材料科学基础》课件3.2.4位错的弹性性质
fy
b2
Gb1b2 y(3x 2 y 2 ) 2π(1 ) (x 2 y 2 )32
b2
Gb1b2 y(3x 2 y 2 ) 2π(1 ) (x 2 y 2 )2
2
1
4
3
2
1
4
平行刃位错和螺位错间的交互作用 因为平行的刃位错和螺位错的应力场没有重叠的分量，所
以，它们间的交互作用为零。
ES
Gb 2
4
ln
R r0
(2) 刃型位错应变能
单位长度刃型位错应变能
Ee
Gb2
4 (1
v)
ln
R r0
（3）混合位错的应变能
设混合位错的柏氏矢量b与位错线交角为θ，则：
be b sin, bs b cos
EM Ee ES
Gb2 sin2 lnR Gb2 cos2 lnR
4(1r) r0
a) 位错的应力场 位错线附近的原子偏离了正常位置，引起点阵畸变，从而产 生应力场。 （1）位错中心部，原子排列特别紊乱，超出弹性变形范围 （2）中心区外，应力场用各向同性连续介质弹性理论来处理。 （3）分析位错应力场时，常设想把中心区挖去，而在中心区以 外的区域采用弹性连续介质模型导出应力场公式。 假设：1.完全服从虎克定律，即不存在塑性变形；
定量计算2个位错间交互作用力的简单方法：把其中一个位错 （A）的应力场看作是另一位错（B）的“外加应力场”，这应力 场对B位错的作用力就是A位错对B位错的作用力。
两个平行螺位错间的交互作用
➢ S1和S2是2个平行z轴的螺位错，它们的柏氏矢量分别为b1和b2， S1位错在z轴， S2位错处在(r,θ)处。
如果作用力平行于作用面，则此力为剪力（切力），单位 面积上的切力被称为切应力。它力图改变物体的形状，而不 改变体积。
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在有外力作用时，位错环可以存在； 当无外力作用时，位错环趋于消失。
在外力作用下，位错环应如何运动？
为什么？
＋刃型
右
左
螺 型
b
螺 型
-刃型
第二节 位错的分类及基本性质
三、位错环
2.纯刃型棱柱位错环
特点是柏氏矢量垂直于与位错环不在同一平面，位错环只能沿着所在柱面运动。 在材料中观察到的位错环通常都是棱柱位错环
1939年，柏格斯（Burgers） 提出用柏氏矢量来表征位错，并引入螺位错的概念。
1947年，皮尔斯－纳巴罗（Peierls-Nabarro）给出了P-N模型； 柯垂尔（Cottrell）提出了溶质原子与位错的交互作用模型。
1950年，弗兰克（Frank）和瑞德（Read）提出位错增增殖机制。
1957年，人们用TEM观测到晶体中位错的存在与运动。
攀移的特点
1.必须在正应力作用下进行； 2.需要原子扩散； 3.运动方向垂直于滑移面。
第二节 位错的分类及基本性质
二、螺型位错
螺型位错的特点在于，其位错线平行于柏氏矢量，即 // b 。
1. 几何性质
形状是一条直线； 位错线的位置：
属于轴对称畸变：
有左螺和右螺之分： 与 b 相同为右螺，反之为左螺。
1. 几何性质
有一定宽度
有一定畸变场： 呈面对称，即半原子面为对称面；
有一定方向性
半原子面 上正 下负
b
定义——在上半部为正刃型位错，表示为
在下半部为负刃型位错，表示为T
第二节 位错的分类及基本性质
一、刃型位错
2.运动特性
滑移的特点
1.在什么样的力作用下才能运动？ 2.位错如何运动？
3.晶体如何变形？ 4.有固定滑移面； 5.可动性大。
三、位错观察
不同预拉伸变形后位错组态 第一节 位错的概念
三、位错观察
α/γ双相不锈钢中的显微结构
第一节 位错的概念
三、位错观察
挤压棒材中的晶粒形态 第一节 位错的概念
三、位错观察
正在“搭建”晶界的位错
第一节 位错的概念
第二节 位错的分类及基本性质
一、刃型位错
刃型位错的特点：位错线与柏氏矢量相互垂直，即 b ，且有正负之分。
三、混合型位错
1. 几何性质
混合位错线的形状是任意形状的空间曲线。
一般分析方法是： 位错线分解 把柏氏矢量分解
2.运动特性
有固定滑移面：因为有刃型位错分量； 可动性介于刃型位错和螺型位错之间。
第二节 位错的分类及基本性质
1. 平面位错环
三、位错环
特点是柏氏矢量与位错环在同一平面内。
位错环是由正、负纯刃型位错，左、右纯螺型位错和混合为错构成；
第二节 位错的分类及基本性质
二、螺型位错
2. 运动方式
滑移的产生：如果每个原子都移动1/4位置，则位错线左移，逐步实现整体滑移；
1.必须是切应力 ；
滑移产生的条件： 2.必须平行于 b；
3.无固定滑移面。
位错运动的特点：
1.运动方向垂直于作用力方向； 2.变形方向与作用力方向一致。
第二节 位错的分类及基本性质
a 2
111
，求另
一条位错线的柏氏矢量。
第三节 位错的弹性性质
一、引言
1. 讨论位错弹性性质的意义
2. 位错弹性性质描述
→建立模型，做到定量描述。
建立模型步骤：
建立物理模型; 对模型进行简化，以便于数学处理； 进行合理的、必要的假设； 利用数学、力学知识，建立数学模型。
“建模是一种能力，而且，想创造出高水平的成果，必须具备这样的能力。” 培养建模能力—— 一个最有效的办法就是学习别人是如何做的。
第二节 位错的分类及基本性质
课堂作业（一）
1、画一个圆形位错环，并在这个平面上任意划出它的柏氏矢量及位线的 方向，据此指出位错环各线段的性质，注意指明刃型位错的正负及螺型 位错的左右？
2、某晶体中一条柏氏矢量为 a001 的位错线，位错的一端位于晶体表
面，另一端和两条位错线相连接。其中一条的柏矢量为
第一章 连续弹性介质中的位错行 为
目录
• 第一节 位错的概念 • 第二节 位错的分类及基本性质 • 第三节 位错的弹性性质 • 第四节 作用在位错线上的力 • 第五节 位错间的作用力 • 第六节 位错与界面的交互作用
第一节 位错的概念
一、位错及位错理论的发展
1934年， 泰勒（Toylor）、波朗依（Planyi）、奥罗万（Olawan） 提出晶体中的位错行为，主要指刃型位错的概念， 把位错与塑性变形时的滑移过程联系起来。
三、位错观察
碳素结构钢中位错组态
第一节 位错的概念
三、位错观察
位错位错的布氏矢量的确定 （利用g.b=0方法）
三、位错观察
第一节 位错的概念
三、位错观察
不锈钢中沉淀相附近的位错缠结
第一节 位错的概念
三、位错观察
NiAl中的位错结构
第一节 位错的概念
第一节 位错的概念
1. 晶体中的缺陷\包含位错的柏氏回路.spl
二、位错的概念 2. 晶体中的缺陷\位错柏矢量的确定.spl
1、位错是晶体中原子排列位置发生错误，而形成的一种晶体缺陷。属于线缺陷， 是四种缺陷之一；
2、位错是连续介质中已滑移和未滑移区的边界
a(b)
（指滑移位错，本章介绍的就是滑移位错）；
三、位错观察
位错露头
第一节 位错的概念
三、位错观察
钨单晶粒表面形成的腐蚀坑
三、位错观察
刃型位错组成的对称纯倾斜晶界 a) 两个锗晶粒晶界处蚀坑（坑间距相等）；b) 图a)中蚀坑的形成示意图
三、位错观察
氟化铝晶粒表面 三次腐蚀形成的蚀坑
A处位错在每次腐蚀处理后没有 发生移动，而是形成了一个较大 的金字塔型蚀坑。 B处三个蚀坑展示的位错在每次 腐蚀处理后发生了移动，位错移 动后的腐蚀坑形成了一个平底坑。
三、位错观察
超导氧化物中位错端视的高分辨电子显微像和过滤像 第一节 位错的概念
三、位错观察
两列平行位错 透射电子显微图
➢每条黑线表示一条位错。 ➢在200nm厚的薄膜中，位错从 顶部拓展到底部。 ➢该图给出了位错在薄膜中的分 布，并给出了位错三维排列的投 影图。
三、位错观察
电子显微镜下观察到的位错线（50,000X） 第一节 位错的概念
3、位错的基本参量：
位错线
柏氏矢量 b
滑移面 位错密度
剧烈变形金属： S 1016 / m2 充分退火金属： S 10 812 / m 2 精制超纯半导体：S 10 6 / m 2
ba
第一节 位错的概念
三、位错观察
a) 刃型位错；b) 刃型位错处形成的圆锥形坑 c) 螺型位错；d) 螺型位错处形成的螺型坑