第六章GARCH模型4(中山大学)
专题四GARCH模型分析
例4.1续
对第一个确定性趋势模型的残差序列
t xt Tt xt 66.1491 4.5158 t , t 1,2,
进行拟合
残差序列自相关图
残差序列偏自相关图
模型拟合
定阶
AR(2)
参数估计方法
极大似然估计
最终拟合模型口径
xtt
69.1491 4.5158t t 1.4859 t1 0.5848 t2
at
例4.1
第二个Auto－Regressive模型的拟 合结果
xt 1.033xt1 t t 0.4615 t1 at
三个拟合模型的比较
模型
ARIMA(0,1,1)模型： (1 B)xt 4.99661 (1 0.70766 B) t
Dh
DW
1
n
n
2
例4.1续
检验第二个确定性趋势模型
xt 1.0365 xt1 t , t 1,2,3,
残差序列的自相关性。
Dh检验结果
检验结果
Dh统计量的值 2.8038
P值 0.0025
检验结论
检验结果显示残差序列高度正自相关。
残差序列拟合
确定自回归模型的阶数 参数估计 模型检验
250.6317
SBC
252.4976 267.2891
253.7987
异方差的性质
异方差的定义
如果随机误差序列的方差会随着时间的变化 而变化，这种情况被称作为异方差
Var( t ) h(t)
异方差的影响
忽视异方差的存在会导致残差的方差会被严 重低估，继而参数显著性检验容易犯纳伪错 误，这使得参数的显著性检验失去意义，最 终导致模型的拟合精度受影响。
6GARCH模型分析与应用解析
6GARCH模型分析与应用解析GARCH （Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity）模型是一种用于分析金融时间序列数据的统计模型。
它是以ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity) 模型为基础，将条件方差建模推广为同时考虑过去观测值和条件方差的函数的形式。
GARCH模型的基本形式可以表示为：r_t=μ+ε_tε_t=σ_t*z_tσ_t^2=ω+α*ε_(t-1)^2+β*σ_(t-1)^2其中，r_t是观测值，μ是均值，ε_t是残差，σ_t是条件标准差，z_t是一个符合标准正态分布的随机变量。
GARCH模型的关键在于对条件方差进行建模，其中的参数ω、α和β权衡了过去残差平方值和过去条件方差对当前条件方差的影响。
GARCH 模型的主要优势是能够捕捉金融时间序列数据中的波动特性，尤其是在存在异方差（heteroscedasticity）的情况下。
相比于传统的回归模型，GARCH 模型在考虑了条件方差的情况下能够更准确地进行预测和推断。
此外，由于 GARCH 模型考虑了过去观测值和条件方差的影响，它能够较好地解释金融市场波动性的特征，为投资决策提供更准确的参考。
在金融领域，GARCH模型常用于金融风险管理、期权定价和金融资产组合优化等领域。
特别是在金融风险管理中，GARCH模型可以通过对未来条件方差的预测，提供投资组合的波动性估计，从而帮助投资者选择适合的资产配置和风险对冲策略。
然而，GARCH模型也有一些限制和缺点。
首先，GARCH模型对数据的正态性假设较为敏感，而金融数据通常不符合严格的正态分布。
其次，GARCH模型可能对一些极端事件的预测能力较弱，无法很好地捕捉尾部风险。
最后，GARCH模型需要对模型参数进行估计，参数估计的不准确性可能影响模型的预测能力。
在实际应用中，研究者通常会根据数据的特点和需求来选择不同的GARCH 模型。
6GARCH模型分析与应用解析
6GARCH模型分析与应用解析GARCH模型，即广义自回归条件异方差模型（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity model），是用于描述和预测时间序列数据波动率的一种统计模型。
它是基于自回归条件异方差模型（ARCH）和广义条件异方差模型（GARCH）的拓展。
GARCH模型的核心思想是考虑到时间序列数据的波动率是随时间变化的，并且过去的波动率对当前和未来的波动率具有影响。
因此，GARCH模型中包含了一个条件异方差项，用于描述波动率的变化，并使用自回归项来捕捉波动率的过去影响。
GARCH模型可以通过最大似然估计方法来估计模型中的参数，从而进行波动率的预测和分析。
GARCH模型的应用非常广泛，尤其在金融领域。
以下是一些常见的应用场景：1.波动率预测：GARCH模型最主要的应用就是对时间序列数据的波动率进行预测。
通过对历史数据的分析，可以得到模型的参数估计，并使用这些参数来预测未来的波动率。
这对于投资者在进行风险管理和投资组合调整时非常重要。
2.期权定价：GARCH模型可以用于对期权定价进行修正。
传统的期权定价模型通常假设波动率是固定的，而实际上波动率是随时间变化的。
通过使用GARCH模型来估计波动率，可以更准确地计算期权的价格。
3.风险管理：GARCH模型可以帮助金融机构对未来的风险情况进行预测和评估。
通过对历史数据的分析，可以得到波动率的预测结果，从而对未来的风险水平进行估计，并制定相应的风险管理策略。
4.资产组合管理：GARCH模型可以帮助投资者优化资产组合，从而达到风险和收益的均衡。
通过对不同资产的波动率进行预测，可以通过调整资产的权重来优化投资组合的风险和收益比。
尽管GARCH模型在时间序列分析领域有很多应用，但也存在一些限制。
首先，GARCH模型对数据的平稳性和线性关系有一定要求，因此在应用时需要进行相关检验和模型适配性检验。
GARCH模型及应用简介
GARCH模型与应用简介目录0. 前言(随机序列的条件均值与条件方差简介)11. ARCH与GARCH模型41.1. 概述41.2 ARCH(p)模型.41.3. GARCH(Generalized ARCH) 模型:62. GARCH模型的参数估计72.1. 概述72.2. ARCH模型的参数估计82.2.1. 最小二乘法估计82.2.2. 极大似然估计102.3. GARCH模型的参数估计122.3.1. 极大似然估计122.3.2. 最小二乘估计123 模型检验133.1. 条件异方差性检验133.2. ARCH模型检验143.3. GARCH模型阶数检验154. GARCH模型的应用154.1. 在(自)回归分析中的应用154.2. 在区间预报中的应用164.3. 在风险预测中的应用184.4. 在风险分位值中的应用195. 实例196 某些新进展216.1 某些改进模型216.1.1. β-GARCH模型216.1.2 指数GARCH模型:216.1.3. 多元GARCH模型:216.2. GARCH模型的重尾概率特性226.3. 对VaR的改进23参考文献23附录〔SAS〕：230. 前言(随机序列的条件均值与条件方差简介)考察严平稳随机序列{y t},且E|y t|<∞. 记其均值Ey t=μ,协方差函数γk=E{(y t-μ)(y t+k-μ)}. 其条件期望(或条件均值):E(y t∣y t-1,y t-2,…)≡ϕ(y t-1,y t-2,…), (0.1)依条件期望的性质有Eϕ(y t-1,y t-2,…)=E{E(y t∣y t-1,y t-2,…)}= Ey t =μ.(0.2)记误差(或残差):e t≡y t -ϕ(y t-1,y t-2,…).(0.3)由(0.1)(0.2)式必有:Ee t=Ey t-Eϕ(y t-1,y t-2,…)=Ey t-Ey t=0, (0-均值性) (0.4)及Ee t2=E[y t -ϕ(y t-1,y t-2,…)]2=E{(y t-μ)-[ϕ(y t-1,y t-2,…)-μ]}2 (中心化)=E(y t-μ)2+E[ϕ(y t-1,y t-2,…)-μ]2-2E(y t-μ)[ϕ(y t-1,y t-2,…)-μ]=γ0+Var{ϕ(y t-1,y t-2,…)}-2EE{(y t-μ)[ϕ(y t-1,y t-2,…)-μ]∣y t-1,y t-2,…}( 根据Ex=E{E[x∣y t-1,y t-2,…]} )=γ0+Var{ϕ(y t-1,y t-2,…)}-2E{[ϕ(y t-1,y t-2,…)-μ]E[(y t-μ)∣y t-1,y t-2,…]}( 再用E[x⨯ψ( y t-1,y t-2,…)∣y t-1,y t-2,…]=ψ( y t-1,y t-2,…) E[x∣y t-1,y t-2,…];并取x= (y t-μ), ψ( y t-1,y t-2,…)=[ϕ(y t-1,y t-2,…)-μ];由(0.1)(0.2)可得)=γ0+Var{ϕ(y t-1,y t-2,…)}-2E[ϕ(y t-1,y t-2,…)-μ]2=γ0-Var{ϕ(y t-1,y t-2,…)}. (0.5)即有:γ0=Var(y t)=Var(ϕ(y t-1,y t-2,…))+Var(e t). (0.6)此式说明, y t的方差(=γ0)可表示为: 回归函数的方差(Var(ϕ(y t-1,y t-2,…)), 与残差的方差(Var(e t))之和.下边讨论e t的条件均值与条件方差.为了符号简便, 以下记F t-1={y t-1,y t-2,…}.首先考虑e t的条件均值:E(e t∣F t-1)=E{y t-ϕ( y t-1,y t-2,…) ∣ F t-1}=E(y t∣ F t-1)-E{ϕ( y t-1,y t-2,…) ∣ F t-1}=ϕ( y t-1,y t-2,…)-ϕ( y t-1,y t-2,…)=0.(0.7)再看条件方差:Var(e t∣F t-1)=E{[e t- E(e t∣F t-1)]2∣ F t-1}= E{e t2∣ F t-1} (用(0.7)式)≡S2(y t-1,y t-2,…). (0.8)此处S2(y t-1,y t-2,…)为条件方差函数. 注意, e t的条件均值是零, 条件方差是非负的函数S2(y t-1,y t-2,…), 它不一定是常数!依(0.3)式, 平稳随机序列{y t}总有如下表达式:y t=ϕ( y t-1,y t-2,…)+e t, (0.9)其中ϕ(y t-1,y t-2,…)被称为自回归函数, 不一定是线性的. {e t}可称为新息序列, 与线性模型的新息序列不同, 除非{y t}是正态序列. 顺便指出, 满足(0.4)式的{e t}为鞅差序列, 因为对它的求和是离散的鞅序列. 由于{y t}是严平稳随机序列, 且E|y t|<∞,上述推演是严格的, 从而{e t}是严平稳的鞅差序列. 当{y t}有遍历性时, 它也是遍历的.此处所涉及的抽象概念可不必深究. 现在将e t标准化, 即令εt≡e t/S(y t-1,y t-2,…).那么有,E(εt∣F t-1)=E[e t/S(y t-1,y t-2,…)∣F t-1]={1/S(y t-1,y t-2,…)}E[e t∣F t-1]=0. (依(0.7)式) (0.10)以及E(εt2∣F t-1)=E[e t2/S2(y t-1,y t-2,…)∣F t-1]={1/S2(y t-1,y t-2,…)}E[e t2∣F t-1] (用(0.8))={S2(y t-1,y t-2,…)}/{S2(y t-1,y t-2,…)}=1. (a.s.) (0.11)由此可见, {εt}也是平稳鞅差序列, 与{e t}相比, {εt}的条件方差为常数1. 于是(0.9)式可写为: y t=ϕ( y t-1,y t-2,…) + S(y t-1,y t-2,…)εt,(0.12)此式可称为条件异方差自回归模型〔ARCH〕,所谓条件异方差就是指: 条件方差S2(y t-1,y t-2,…)不为常数.请注意, 条件异方差自回归模型与下文中的自回归条件异方差模型是不同的概念!* 还有一点很重要, 如果(0.9)模型具有可逆性, 那么,Var(e t∣F t-1)=Var(e t∣y t-1,y t-2,…)=Var(e t∣e t-1,e t-2,…)≡h(e t-1,e t-2,…).(0.13)因此, 模型(0.12)式又可些成y t=ϕ( y t-1,y t-2,…) + h1/2(e t-1,e t-2,…)εt. (0.14)请注意, 模型(0.12)(0.14)式是普遍适用(或称万用)的模型!但是, 为便于研究建模理论, 在(0.12)式中还附加假定: εt与{y t-1,y t-2,…}相互独立!此假定是实质性的, 人为的.它对{y t}的概率分布有实质性的限制.还须指出: 假设在(0.9)式中直接假定e t与{y t-1,y t-2,…}独立, 此假定除了上述的人为性含义外, 还增多了如下假定:Var(e t2∣y t-1,y t-2,…) =Var(e t2)=常数. (0.15)这里用了条件期望的一条性质, 即当X与Y独立时,E(X∣Y)= EX.大家要问, 为什么加这些人为的假定呢" 让我们回忆一下这些假定演变的历程吧.在文献中(0.9)式e t先后被假定为:"i.i.d. 且N(0,σ2)〞，〔1943--〕"i.i.d. 且0-均值-方差有穷〞，〔1960--〕"鞅差序列，且条件方差S2(...)=常数〞，〔1970--〕"e t=S(y t-1, y t-2, … )εt，但{εt}为i.i.d. N(0,σ2)序列,而且S(y t-1, y t-2, … )为有限参模型〞,〔1982--〕"e t=S(y t-1, y t-2, … )εt, 但{εt}为i.i.d.序列而且S(y t-1, y t-2, … )为有限参模型〞。
garch原理
garch原理GARCH模型解析1. 什么是GARCH模型？GARCH，即广义自回归条件异方差模型（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity），是用于建模和预测金融时间序列波动性的一种统计模型。
它基于自回归模型（AR）的思想，考虑到了时间序列中的异方差性。
2. 异方差性的概念异方差性，指的是时间序列中波动性的变化不是恒定的，而是随着时间的推移而变化的现象。
在金融市场中，我们往往会观察到一段时间波动性较小，而另一段时间波动性较大的情况。
3. GARCH模型的原理GARCH模型的基本思想是，当前时间点的波动性可以通过过去一段时间的观测值来进行预测。
它包含两个部分：一个是条件均值方程（即AR模型），另一个是条件异方差方程。
条件均值方程（AR模型）条件均值方程是用来描述时间序列均值的变化的。
它可以是一个简单的自回归模型（AR），也可以是其他类型的均值模型。
通过建模和拟合条件均值方程，我们可以得到时间序列的预测均值。
条件异方差方程条件异方差方程是用来描述时间序列波动性的变化的。
GARCH模型采用了一种广义的形式，可以同时考虑波动性的自相关性和波动性受冲击的影响。
具体而言，GARCH模型通过引入两个部分来描述条件异方差：ARCH部分和GARCH部分。
ARCH部分ARCH（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）部分用于描述波动性的自相关性。
它基于过去时间序列的观测值来预测当前的波动性，也就是说，当前的波动性受到先前的波动性的影响。
GARCH部分GARCH（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）部分用于描述波动性受冲击的影响。
它允许我们建模冲击对当前波动性的持久影响，即冲击对未来波动性的长期影响。
4. GARCH模型参数估计和预测在实际应用中，我们需要对GARCH模型的参数进行估计，并使用该模型进行波动性的预测。
第06章 Garch模型分析与应用
var( yt+1 yt ) = Et [( yt+1 − a0 − a1 yt )2 ] = Et (εt+1)2
（6.4）
现在假设条件方差不定，一个简单的处理方法就是用残差估计值的平方将条件方差建模 为 AR(q)过程为：
εˆt2 = a0 + a1εˆt2−1 +a2εˆt2−2 + + aqεˆt2−q + vt
第六章 GARCH 模型分析与应用
[学习目标] ¾ 了解金融市场序列的 ARCH 过程； ¾ 掌握 GARCH 模型、EGARCH 模型和 TGARCH 模型的形式及其含义； ¾ 熟悉 GARCH 类模型的检验与估计； ¾ 掌握 GARCH 模型在金融数据分析中的应用。
本书第二章至第五章讨论的所有模型在本质上都是线性模型，即模型的参数是线性 的。然而，经典的线性模型往往假设是时间序列是同方差的，而在现实的金融数据的时间序 列中，表现出在不同的时间段，方差是不同的，也就是方差具有时变的特点，另外时间序列 之间具有一定的自相关性，这显然不能不能通过经典线性模型进行建模分析。
（b）条件方差 图 6-2：上证指数日收益率波动情况
二、ARCH 过程 经典的模型往往假设为同方差的，由于在时间序列，特别是金融数据的时间序列中，表
现出在不同的时间段，方差是不同的，也就是方差具有时变的特点，另外时间序列之间具有 一定的自相关性。在金融时间序列出现阶段性的大波动时候，假定同方差显然是不恰当的。
用最大似然法一起估计出来。 其中，Engle(1982)提出的乘法条件异方差模型中最简单的一例为 ARCH(1) 模型，即：
εt = vt
a0
+
a1ε
2 t −1
6 GARCH模型分析与应用解析
（二）方差方程
EViews5的选择模型类型列表
（1）在model下拉框中可以选择所要估计的
ARCH模型的类型。
（2）在Variance栏中，可以根据需要列出
包含在方差方程中的外生变量。由于
GRACH模型 p201
Bollerslev广义自回归条件异方差(Generalized ARCH,GARCH)模型。 GARCH类模型最早是Engle提出的ARCH模型，即自回归 条件异方差模型。设标的资产时间序列为{yt}， Engle年建 立了回归模型ARCH(q)
yt xt t
使用Eviews软件进行GARCH估计
由于ARCH类模型是非线性的，不能应用OLS进行估计。 原因在于OLS可使得残差平方和（RSS）最小化，而RSS 仅取决于条件均值方程的参数，而不是条件方差。
为估计GARCH类模型，为此应用极大似然法 （maximum likelihood）的技术方法。极大似然估 计法是一种估计回归参数的常用方法，它既可以用 来估计线性模型，又可以用来估计非线性模型。从 本质上而言，这种方法是通过在给定的实际数据中 寻找最有可能的参数值进行的，更确切地说，要形 成一个对数似然方程和寻找最大化的参数值，对线 性和非线性模型运用极大似然估计来寻找参数。
图6-4： 上证指数收益率的残差序列
四、GACRCH—M模型
除了刻画残差项t 的方差方程之外，还可以将残差项的条件方差特征 作为影响序列{yt} 本身的解释变量之一，引入序列的{yt} 的均值方差， 并利用条件方差预测风险，我们将这类模型称为ARCH均值 （GARCH-in-mean)模型，即GARCH-M模型。 GARCH-M模型最先是Engle等人在1987年引入的，以此模型来描述 风险溢价随时间的变化。 GARCH-M(1,1)模型如下：
第六章GARCH模型的分析与应用
第六章GARCH模型的分析与应用GARCH模型是一种用于股票和金融时间序列分析的重要工具。
本文将介绍GARCH模型的基本原理、参数估计和模型检验方法，并应用于股票收益率数据的分析。
GARCH模型是自回归条件异方差模型（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Model）的一种扩展。
它考虑了条件异方差的存在，即时间序列的波动性随时间变化的情况。
GARCH模型通过引入过去的误差项平方和的权重来估计当前的波动性。
模型的基本形式可以表示为：\(Y_t=α_0+α_1Y_{t-1}+β_1σ_{t-1}^2+ε_t\)\(σ_t^2=ω+αε_{t-1}^2+βσ_{t-1}^2\)其中，\(Y_t\)表示时间序列数据，\(ε_t\)表示残差项，\(σ_t^2\)表示波动性的方差。
参数\(α_0\)、\(α_1\)、\(β_1\)、ω、α和β是需要估计的模型参数。
GARCH模型的参数可以通过最大似然估计方法来进行估计。
该方法通过最大化似然函数来选择最优的模型参数，使得模型对观测数据的拟合效果最好。
一般使用数值优化算法，如牛顿-拉夫逊法（Newton-Raphson Method）或BHHH算法（Berndt-Hall-Hall-Hausman Algorithm）来求解最大似然估计。
在估计完模型参数后，需要对模型进行检验来评估模型的拟合效果和波动性的预测能力。
常用的检验方法包括残差平方序列的自相关检验、JB 检验（Jarque-Bera Test）和ARCH检验（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Test）。
这些检验方法可以帮助判断模型是否能够有效地描述时间序列数据的波动性特征。
在股票市场中，GARCH模型可以用于分析股票收益率的波动性。
通过估计GARCH模型的参数，并利用模型对未来波动性的预测，投资者可以制定相应的风险管理策略。
6GARCH模型分析与应用解析
6GARCH模型分析与应用解析GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) 模型是一种用于时间序列分析中的条件异方差模型。
它是对ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) 模型的拓展，通过引入过去误差方差的编码来解决异方差问题。
GARCH 模型的应用涉及金融时间序列的波动性建模、风险管理和衍生品定价等。
GARCH模型的基本形式可以表示为：y_t=μ+ε_tε_t=σ_t*ϵ_tσ_t^2=ω+α*ε_{t-1}^2+β*σ_{t-1}^2其中，y_t是时间序列的观测值，μ是均值，ε_t是与时间t相关的随机误差项，σ_t是条件标准差，ω、α和β是GARCH模型的参数，ϵ_t是标准化的独立随机误差项。
GARCH 模型的参数估计通常使用最大似然估计法，常见的估计算法包括递归最小二乘法、Bollerslev-Woolridge 方法和 Quasi-Maximum Likelihood 方法。
估计出的参数可以用于分析时间序列的波动性特征，了解数据的风险程度和预测未来的波动。
GARCH模型在金融领域的应用非常广泛。
首先，GARCH模型可以用于金融风险管理中。
通过估计时间序列的波动性，可以计算投资组合的风险价值，帮助投资者制定风险管理策略。
其次，GARCH模型可以用于金融衍生品的定价。
通过模拟未来的价格波动，可以计算期权和其他衍生品的定价，提供定价依据。
另外，GARCH模型还可以用于建立投资组合的风险模型，评估不同资产的风险敞口和相关性，优化投资组合配置。
此外，GARCH模型还可以应用于金融市场的预测分析，帮助投资者制定交易策略。
然而，GARCH模型也存在一些局限性。
首先，GARCH模型的参数估计过程可能非常复杂，需要大量的计算和优化。
其次，GARCH模型假设数据符合正态分布，在实际数据中可能存在非正态性，从而影响模型的拟合效果。
专题四GARCH模型分析
对数序列时序图
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一阶差分后序列图
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白噪声检验
延迟阶数 6 12 18
LB统计量 3.58 10.82 21.71
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P值 0.7337 0.5441 0.2452
拟合模型口径及拟合效果图
log( xt ) t
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0.1053
2 t 1
第56页/共60页
模型检验
• 检验方法：正态性检验 • 假设条件： • 检验统计量
not
H0 : ut ~ N (0,1) H0 : ut ~ N (0,1)
• 检验结果
• 拒绝原假设 • 接受原假设
Tn
n 6
b12
n 24
(b2
3)2
~
2 (2)
Tn
2 1
(2)
Tn
2 1
Var( t
)
E
(
2 t
)
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例4.2
• 直观考察美国1963年4月——1971年7月短期国库券的月度收益率序列的方差 齐性。
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一阶差分后残差图
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一阶差分后残差平方图
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异方差处理方法
• 假如已知异方差函数具体形式，进行方差齐性变化 • 假如不知异方差函数的具体形式，拟合条件异方差模型
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模型拟合
• 定阶 • AR(2)
• 参数估计方法 • 极大似然估计
• 最终拟合模型口径
xtt
69.1491 4.5158t t 1.4859 t1 0.5848 t2
GARCH模型
GARCH模型GARCH表示广义自回来条件异方差(Generalized Auto Regressive Conditional Heteroscedasticity),模型包括均值方程和方差方程两部分：均值方程：方差方程：系数条件:GARCH模型待估参数：条件均值参数：条件均值常数：C自回来阶数：R自回来系数：Φ〔AR〕移动平均阶数：M移动平均系数：θ〔MA〕说明变量系数:β(Regress)条件方差参数(∑G i + ∑A j< 1)条件方差常数：KGARCH模型阶数：P(金融时刻序列常用1) GARCH模型阶数：Q(金融时刻序列常用1) 〔假如Q为0，那么P必须为0〕GARCH系数：GiARCH系数：AjGARCH模型差不多操作模型结构设置MATLAB通过命令 garchset 指定模型的结构，garchset 的语法：Spec = garchset(param1,val1,param2,val2,...)Spec = garchset(OldSpec, param1,val1,...)模型参数估量[Coeff, Errors, LLF, Innovations, Sigmas] = garchfit(Spec, Series) 输入参数Spec 指定模型的结构Series 为时刻序列的样本观测值输出参数Coeff: 模型的参数估量值Errors: 模型参数的标准差LLF: 最大似然估量法中的对数目标函数值Innovations: 残差向量Sigmas:对应于Innovations 的标准差GARCH模型应用方法1、选择一个或多个模型，如garch(1,1)、garch(2,1)load garchdatadem2gbp = price2ret(DEM2GBP);2、估量模型参数依照数据对每个模型进行参数估量。
估量garch(1,1)spec11 = garchset('P',1,'Q',1,'Display','off');[coeff11,errors11,LLF11] = garchfit(spec11,dem2gbp);garchdisp(coeff11,errors11)估量garch(2,1)spec21 = garchset('P',2,'Q',1,'Display','off');[coeff21,errors21,LLF21] = garchfit(spec21,dem2gbp);garchdisp(coeff21,errors21)3、选择模型利用合适的评估方法选择合适的模型；似然比检验似然比检验〔LRT〕用来评估两个模型中那个模型更适合当前数据分析。
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这时
12 p0
从而得到误差方差的同方差性情形。 恩格尔曾表明，容易通过以下的回归去检验上述虚拟假
设：
u ˆ t 2 ˆ0 ˆ 1 u ˆ t 2 1 ˆ2 u ˆ t 2 2 ˆp u ˆ t 2 p （6.1.4）
按照通常的想法，自相关的问题是时间序列数据所特有， 而异方差性是横截面数据的特点。但在时间序列数据中，会 不会出现异方差呢？会是怎样出现的？
恩格尔和克拉格（Kraft, D., 1983）在分析宏观数据时，发 现这样一些现象：时间序列模型中的扰动方差稳定性比通常假 设的要差。恩格尔的结论说明在分析通货膨胀模型时，大的及 小的预测误差会大量出现，表明存在一种异方差，其中预测误 差的方差取决于后续扰动项的大小。
从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序列 预测的研究工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随时期 的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相对地小， 而在某一时期里则相对地大，然后，在另一时期又是较小的。 这种变异很可能由于金融市场的波动性易受谣言、政局变动、 政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明预测误差的方 差中有某种相关性。
为ARCH(1)过程：
va ut)r(t201 ut2 1
然而，容易加以推广。
例如，一个ARCH (p)过程可以写为：
t 2 0 1 u t 2 1 2 u t 2 2 p u t 2 p（6.1.3）
如果扰动项方差中没有自相关，就会有
2 t
(6.1.7)
其中
t 2 ( y t 1 x t 1 γ ) 2 t 2 1 u t 2 1 t 2 1(6.1.8)
GARCH模型族课件
2 ARCH 模型
2.1 ARCH 模型的定义
均值方程，xt = 0 + 1 xt -1 + 2 xt -2 + … + p xt - p + ut
应满足如下条件。为保证平稳性，特征方程
1 - 1 L - 2 L2 - … - p Lp = 0
的根应在单位圆之外。xt 的条件期望是
E(xt x t -1, …, x t - p) = 0 + 1 xt -1 + 2 xt -2 + … + p xt - p
2 t1 ht 2 ht ht
= 1 T (ut 2 ht ht 1 ( yt xt ' ) 2 )
2
t 1
ht 2
ht
log L( ) = 1 T (ut 2 ht ht 1 ( yt xt ' ) 2 )
2
160
J PY (1995-2000) 140
6 4 D(JPY) (1995-2000) 2
0 120
-2
100
-4
-6
80
-8
200 400 600 800 1000 1200 1400
200 400 600 800 1000 1200 1400
日元兑美元汇率序列 JPY(1995-2000)
日元兑美元汇率差分序列（收益）D(JPY)
Minimum
-54.12350
Std. Dev.
11.27439
100
Skewness
0.142854
Kurtosis
5.440571
50 Jarque-Bera 278.0003
第六章GARCH模型4(中山大学)
15
单指数模型的伪回归：中国银行
16
2.1 条件矩
条件均值
– 对于时间序列x的每个值都存在一个时间序列y的 条件分布
yf y|x ( y | x)dy f ( x, y) y E[Y | X ] , f ( y | x) yf y|x ( y | x) f x ( x) y
6 4 D(JPY) (1995-2000) 2 0 -2
高峰厚尾分布曲线
正态分布曲线
-4 -6 -8 200 400 600 800 1000 1200 1400
3
金融时间序列的特点
实证结果表明：金融资产的回报率并不完 全满足正态分布
– 对深市2000.1.4~2006.5.9日回报率样本偏度是 0.75，峰度是8.91。
政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明
预测误差的方差中有某种相关性。 为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差
(ARCH)模型。ARCH的主要思想是时刻 t 的ut 的方条件差
(= t2 )依赖于时刻(t 1)的扰动项平方的大小，即依赖于
1。
10
2 û t -
ARCH，autoregressive conditionally heteroscedastic，自回归条件异方差模型
注意：ut是一个白噪声，其无条件方差是一个常数。 2 但是ut的条件方差随时间而变化，假设 ut 服从 AR(1)过程（模型的名称来源）
u 0 u wt
2 t 2 1 t 1
24
u 0 u
2 t
2 1 t 1
wt
E ( wt ) 0 2 , t E ( wt w ) 0, t
第06章 ARCH和GARCH估计
由于股票价格指数序列常常用一种特殊的单位根过程— —随机游动（Random Walk）模型描述，所以本例进行估 计的基本形式为：
ln(spt ) ln(spt1) ut
(6.1.25)
首先利用最小二乘法，估计了一个普通的回归方程，结
果如下：
ln(spˆt ) 1.000027 ln(spt1) （15503.96）
EViews6的选择模型类型列表
(1) 在下拉列表中选择所要估计的ARCH模型的类型。 (2) 在Variance栏中，可以列出包含在方差方程中的外生变量。 (3) 可以选择ARCH项和GARCH项的阶数。 (4) 在Threshold编辑栏中输入非对称项的数目，缺省的设置是 不估计非对称的模型，即该选项的个数为0。 (5) Error组合框是设定误差的分布形式，缺省的形式为Normal （Gaussian）。
5
6.1.2 GARCH(1, 1)模型
我们常常有理由认为 ut 的方差依赖于很多时刻之前
的变化量（特别是在金融领域，采用日数据或周数据的 应用更是如此）。这里的问题在于，我们必须估计很多 参数，而这一点很难精确的做到。但是如果我们能够意
识到方程(6.1.8)不过是t2的分布滞后模型，我们就能够 用一个或两个t2的滞后值代替许多ut2的滞后值，这就是
广义自回归条件异方差模型(generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model，简记为GARCH模 型)。在GARCH模型中，要考虑两个不同的设定：一个 是条件均值，另一个是条件方差。
6
在标准化的GARCH(1,1)模型中：
第六章 条件异方差模型
EViews中的大多数统计工具都是用来建立 随机变量的条件均值模型。本章讨论的重要工 具具有与以往不同的目的——建立变量的条件 方差或变量波动性模型。
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高峰厚尾分布曲线
正态分布曲线
-4 -6 -8 200 400 600 800 1000 1200 1400
3
金融时间序列的特点
实证结果表明：金融资产的回报率并不完 全满足正态分布
– 对深市2000.1.4~2006.5.9日回报率样本偏度是 0.75，峰度是8.91。
由此得到方差分解公式：
var[Y ] EX [var(Y | X )] varX [E (Y | X )]
22
现实中，金融时间序列存在着波动聚集性， 而波动的来源是残差，假设较大的波动出现 往往随后会出现较大的波动，即波动是相关 的，也就是波动自回归的。
23
2.2 ARCH模型的导出
yt b0 b1 x1,t b2 x2,t ,... ut E (ut ) 0 2 , t E (ut u ) 0, t
注意：ut是一个白噪声，其无条件方差是一个常数。 2 但是ut的条件方差随时间而变化，假设 ut 服从 AR(1)过程（模型的名称来源）
u 0 u wt
2 t 2 1 t 1
24
u 0 u
2 t
2 1 t 1
wt
E ( wt ) 0 2 , t E ( wt w ) 0, t
2 t
t2 0 1ut21 2ut22 ,..., qut2q
或者
ut vt t , vt N (0,1)
0 u u ,..., u
2 t 2 1 t 1 2 2 t 2
2 q t q
或者
ut
N (0, ht )
于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。
按照通常的想法，自相关的问题是时间序列数据所特有， 而异方差性是横截面数据的特点。但在时间序列数据中，会
不会出现异方差呢？会是怎样出现的？
8
恩格尔和克拉格（Kraft, D., 1983）在分析宏观 数据时，发现这样一些现象：时间序列模型中的扰 动方差稳定性比通常假设的要差。恩格尔的结论说
– 若将E(y|x)视为关于x的随机变量，则有
E (Y ) [ yf y|x ( y | x)dy] f x ( x)dx
x y| x
EX [ EY | X (Y | X )]
19
2.1 条件矩
条件方差
(Y E (Y | X ))2 f (Y | X )dY Y var[Y | X ] 2 ( Y E ( Y | X )) f ( Y | X ) Y
Theoretical Quantile-Quantile 8 6
Normal Quantile
4 2 0 -2 -4 -6 -.08
-.04
.00
.04
.08
.12
R_SZZS
.08 .06 .04 .02 .00 -.02 -.04 -.06 -.08 96M01
96M07
97M01
97M07
15
单指数模型的伪回归：中国银行
16
2.1 条件矩
条件均值
– 对于时间序列x的每个值都存在一个时间序列y的 条件分布
yf y|x ( y | x)dy f ( x, y) y E[Y | X ] , f ( y | x) yf y|x ( y | x) f x ( x) y
2
ARCH模型
– 条件：在时间序列中，给出不同的时点的样本（对 于不同时点的观测值），得到残差的方差是不同的， 故方差随时间给出的条件而变化，即异方差 – 自回归：残差平方服从AR(p)过程
若线性回归模型的误差实际上是异方差，却被 假定为同方差，这就意味着标准误差的估计值 是错误的。 此时，参数的估计量的方差是有偏估计（或者 不收敛，是时变的），统计检验和臵性区间就 11 不正确！
x y x ( b x u ) x u ˆ b b x x x xu x ˆ var(b ) var( ) var(u ) x ( x ) x
t t t 1 2 t 1 t 2 t t 1 t t 2 t 1 t t 2 t 2 t 2 2 t 2 t
yt b0 b1 xt ut , ut
iidN (0, 2 ), b0 0
2 t
if ut
N (0, t2 ), t2 2
ˆ ) var( var(b 1
xt ut x
2 t
)
var( xt ut ) ( x )
2 2 t
x
2 2 t
12
普通最小二乘估计（OSL）：回归直线要使 得残差平方和最小。 异方差存在时，普通最小二乘估计法给误差 方差大的观测值以较大的权重，给误差方差 小的观测值以较小的权重。 回归结果：使得残差平方和最小，故产生一 个后果，只要方差大的那部分数据得到很好 的拟合，这样普通最小二乘不再是有效的— —参数估计量的方差不再是最小的方差。 这样由OSL估计得到的参数估计量的方差是 “伪方差”，无法证明回归参数与真实值的 13 关系。
2 2
RSS ESS
21
无条件方差
ESS E[(Y E (Y | X ))2 ] E X (var[Y | X ]) RSS E[( E (Y | X ) E (Y )) ]
2
E[(E (Y | X ) (EX E (Y | X ))) ]
2
varX [E [Y | X ]]
政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明
预测误差的方差中有某种相关性。 为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差
(ARCH)模型。ARCH的主要思想是时刻 t 的ut 的方条件差
(= t2 )依赖于时刻(t 1)的扰动项平方的大小，即依赖于
1。
10
2 û t -
ARCH，autoregressive conditionally heteroscedastic，自回归条件异方差模型
由于大多数的金融资产具有明显的重尾性， 可以采用两种方法进行改进
– 条件分布：ARCH和GARCH – 寻找其他分布形式来描述，主要有t分布， GED分布和g&h分布
4
350 300 250 200 150 100 50 0 -0.05 -0.00 0.05 Series: R_SZZS Sample 1 1520 Observations 1519 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability 5.60e-05 0.000143 0.094014 -0.065430 0.013451 0.751425 8.916269 2358.298 0.000000
第六章 条件异方差模型
本章讨论的重要工具具有与以往不同的目的——建立变量 的条件方差或变量波动性模型。 我们想要建模并预测其变动性通常有如下几个原因 : 首先，我们可能要分析持有某项资产的风险；其次，预测 置信区间可能是时变性的，所以可以通过建立残差方差模
型得到更精确的区间；第三，如果误差的异方差是能适当
2 t
E(u | u ) 0 u
2 t 2 t 1
2 1 t 1
回忆：条件期望值等价于回归
E( yt | xt ) 0 1xt
Chou，Korner（1992）
25
正态-ARCH（q）
yt b0 b1 x1,t b2 x2,t ,... ut , ut N (0, )
– 回归的结果可能是错误的
2
这种序列的特征是 （1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。 （2）按时间观察，表现出“波动集群” （volatility clustering）特征，即方差在一 定时段中比较小，而在另一时段中比较大。 （3）从取值的分布看表现的则是“高峰厚尾” （leptokurtosis and fat-tail）特征， 即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。
理解：条件期望是关于随机变量X的值的函数， 对于X不同的取值，条件期望也是不同，即 E(y|x)为随机变量。
17
回归与条件均值
所谓条件期望值函数，也就是因变量对自变量的回 归。在本例中，也就是y对x的回归 条件均值是x的函数，若X是一个分布，则条件均值 也是一个分布。
18
2.1 条件矩
迭代期望定理
2 1 t 1
ht 0 u
u ,..., u
2 2 t 2
2 q t q
26
2.3 ARCH（1）模型的参数约束
E ( y ) Ex ( E ( y | x) E (ut ) Eut 1 [ E (ut | ut 1 )] 又 ut vt t，vt N (0,1) E (ut ) Eut 1 [ E (vt t )] Eut 1 [ t E (vt )] 0
98M01
98M07
RETURN_MIDPRICE
7
§6.1 自回归条件异方差模型
自 回 归 条 件 异 方 差 (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model， ARCH)模型是特别用来建立条件 方差模型并对其进行预测的。 ARCH 模型是 1982 年由恩格尔 (Engle, R.) 提出，并由博 勒斯莱文(Bollerslev, T., 1986)发展成为GARCH (Generalized ARCH)——广义自回归条件异方差。这些模型被广泛的应用