离散数学第四章资料
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离散数学第四章第5讲课件.ppt
以上所给的盖住集定义是立足于集合运算的观点,应用此 等价定义判定偏序关系的盖住集, 不仅有条理, 而且步骤清 晰。
可从以下几步求盖住集:
(1)计算R1 = R - IA
(2)将R1 与其自身复合,得集合R2 ,即 R2 =R1 o R1
(3)计算集合R1 和R2 的差,则盖住集为:COV A =R1 - R2
R2 =R1 o R1 = { < 2 , 8 >} COV A = R1 –R2 = {<2，4><2，6><3，6><4，8>}
例 设集合A = { a , b , c , d , e} , R 是A 上的偏序关系。
R = { < a , a > < a , b > < a , c > < a , d >< a , e > < b , b > < b , c> < b , e > < c , c > <c , e > < d , d > < d , e > < e , e >} ,求 盖住集COV A。
24
36
12 子集B
极大元
{2,3,6,12,24, 24，36
36}
6
{6,12}
12
极小元
2，3
6
最大元 最小元
无
无
12
6
{2,3,6}
6
2
3
{6}
6
2，3
6
无66来自61讨论定义：
(1) yB ，B的极大元，极小元，最大元，最小元，若有 的话，必定在B中。
可从以下几步求盖住集:
(1)计算R1 = R - IA
(2)将R1 与其自身复合,得集合R2 ,即 R2 =R1 o R1
(3)计算集合R1 和R2 的差,则盖住集为:COV A =R1 - R2
R2 =R1 o R1 = { < 2 , 8 >} COV A = R1 –R2 = {<2，4><2，6><3，6><4，8>}
例 设集合A = { a , b , c , d , e} , R 是A 上的偏序关系。
R = { < a , a > < a , b > < a , c > < a , d >< a , e > < b , b > < b , c> < b , e > < c , c > <c , e > < d , d > < d , e > < e , e >} ,求 盖住集COV A。
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12 子集B
极大元
{2,3,6,12,24, 24，36
36}
6
{6,12}
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极小元
2，3
6
最大元 最小元
无
无
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{2,3,6}
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{6}
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2，3
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无66来自61讨论定义：
(1) yB ，B的极大元，极小元，最大元，最小元，若有 的话，必定在B中。
《离散数学》课件-第四章 二元关系
则关系R的各次幂为： R0 =A ={<1,1> ， <2,2> ， <3,3> ， <4,4> ， <5,5>} R1=R
R2= R • R={<1,1>，<2,2>，<1,3>，<2,4>， <3,5>}
R3=R2 • R={<1,2>，<2,1>，<1,4>，<2,3>， <2,5>}
R4= R3 • R={<1,1>，<2,2>，<1,5>，<2,4>，
从关系图来看关系的n次幂
R：
1
2
3
4
5
R2：
1
2
3
4
5
R2就是从R的关系图中的任何一个结点x出发，长 为2的路径，如果路径的终点是y，则在R2 的关系 图中有一条从x到y的有向边。其他以次类推：
R3：
1
2
3
4
5
R4：
1
2
3
4
5
定理 设|A|=n，R A×A，则必有i，j∈N， 0≤i＜j≤2n2，使得Ri=Rj。
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …， 故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
R2= R • R={<1,1>，<2,2>，<1,3>，<2,4>， <3,5>}
R3=R2 • R={<1,2>，<2,1>，<1,4>，<2,3>， <2,5>}
R4= R3 • R={<1,1>，<2,2>，<1,5>，<2,4>，
从关系图来看关系的n次幂
R：
1
2
3
4
5
R2：
1
2
3
4
5
R2就是从R的关系图中的任何一个结点x出发，长 为2的路径，如果路径的终点是y，则在R2 的关系 图中有一条从x到y的有向边。其他以次类推：
R3：
1
2
3
4
5
R4：
1
2
3
4
5
定理 设|A|=n，R A×A，则必有i，j∈N， 0≤i＜j≤2n2，使得Ri=Rj。
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …， 故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
离散数学四省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
f : DIn DI , 称 f 为f在I中解释.
(d) 对每一个n元谓词符号FL, 有一个DI上n元谓词常项 ,F 称 F 为F在I中解释. 设公式A, 取个体域DI , 把A中个体常项符号a、函数符
号f、谓词符号F分别替换成它们在I中解释 、a 、f ,F称
所得到公式A为A在I下解释, 或A在I下被解释成A.
比如，x(F(x,y)G(x,z))， x为指导变元，(F(x,y)G(x,z))为 x 辖域，x两次出现均为约束出现，y与 z 均为自由出现
又如, x(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))), x中x是指导变元, 辖域为(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))). y中y是指导变元, 辖 域为(G(x,y)H(x,y,z)). x3次出现都是约束出现, y第一次出 现是自由出现, 后2次是约束出现, z2次出现都是自由出现
19
第19页
实例
例7 判断以下公式中，哪些是永真式，哪些是矛盾式？ (1) xF(x)(xyG(x,y)xF(x))
重言式 p(qp) 代换实例，故为永真式. (2) (xF(x)yG(y))yG(y)
矛盾式 (pq)q 代换实例，故为永假式. (3) x(F(x)G(x))
解释I1: 个体域N, F(x):x>5, G(x): x>4, 公式为真 解释I2: 个体域N, F(x):x<5, G(x):x<4, 公式为假 结论: 非永真式可满足式
2
第2页
谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x含有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间关系 如, L(x,y)：x与 y 相关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项谓词, 即命题常项 或命题变项
(d) 对每一个n元谓词符号FL, 有一个DI上n元谓词常项 ,F 称 F 为F在I中解释. 设公式A, 取个体域DI , 把A中个体常项符号a、函数符
号f、谓词符号F分别替换成它们在I中解释 、a 、f ,F称
所得到公式A为A在I下解释, 或A在I下被解释成A.
比如，x(F(x,y)G(x,z))， x为指导变元，(F(x,y)G(x,z))为 x 辖域，x两次出现均为约束出现，y与 z 均为自由出现
又如, x(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))), x中x是指导变元, 辖域为(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))). y中y是指导变元, 辖 域为(G(x,y)H(x,y,z)). x3次出现都是约束出现, y第一次出 现是自由出现, 后2次是约束出现, z2次出现都是自由出现
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实例
例7 判断以下公式中，哪些是永真式，哪些是矛盾式？ (1) xF(x)(xyG(x,y)xF(x))
重言式 p(qp) 代换实例，故为永真式. (2) (xF(x)yG(y))yG(y)
矛盾式 (pq)q 代换实例，故为永假式. (3) x(F(x)G(x))
解释I1: 个体域N, F(x):x>5, G(x): x>4, 公式为真 解释I2: 个体域N, F(x):x<5, G(x):x<4, 公式为假 结论: 非永真式可满足式
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谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x含有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间关系 如, L(x,y)：x与 y 相关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项谓词, 即命题常项 或命题变项
自考离散数学第4章
例：设集合A={a,b,c,d},在A上定义两个运算*和
，如表所示： 解：b,d是A中关于*运算的左幺元，而a是A中关于运算的右幺元。
a d a a a b a b b b c b c c c d c d c d a b c
* a b c d
a a b c
b b a d
c d c a
定义4.3.7 设<G,*>为群，若在G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都由a
例：设A={a,b,c,d}，*为A上的二元运算，
* a b c d
a a b c d
b b d a a
c c a b c
d d c b d
可以看出a为单位元。由a*a=a,b*c=a,c*b=a,d*b=a, 故a有逆元a；b有左逆元c，d；c有左逆元b；b有右逆元c；c有右逆元b；d有
定义4.3.2 设<G,*> 为一个群，如果G是有限集合，则称<G,*> 是有限群。G中
元素的个数通常称为有限群的阶数，记为|G|。
定义4.3.3 若群G中，只含有一个元素，即G={e},|G|=1,则称G为平凡群。 例：设G={e,a,b,c},运算*如表所示：
* e a b c
e e a b c
4.2 半群与独异点
4.3 群与子群
定义4.3.1 设<G,*>为一个代数系统，其中G是非空集合，*是G上一个二元运算，
① 如果*是封闭的； ② 运算*是可结合的； ③ 存在幺元e； ④ 对于每一个元素x G，存在它的逆元x-1； 则称<G,*>是一个群。
4.3 群与子群
4.3 群与子群
4.1 代数系统
离散数学-第四章 代数系统
(r1 r2 r1r2 ) r3 (r1 r2 r1r2 )r3
r1 r2 r3 r1r2 r1r3 r2 r3 r1r2 r3
r1 (r2 r3 ) r1 (r2 r3 r2r3 )
(r1 r2 r3 r2 r3 ) r1 (r2 r3 r2 r3 ) r1 r2 r3 r2 r3 r1r2 r1r3 r1r2 r3
1 3 5 7
7 5 3 1
1 3 5 7
1 3 5 7 3 3 5 7 5 3 5 7 1 7 3 7
6
三、运算的封闭性
定义在集合A上的运算在A上一定是封闭的. 定义在集合A上的运算在A的子集上是否封闭呢？
例５ 定义函数 : N N ，使 (n1 , n2 ) n1 n2
2
令S
(b, a, a), (b, a, b), (b, b, a), (b, b, b)}
2
f : An A ，于是对于 A n 设有集合 A和函数 中的每一个有序 n元组 (a , a ,, a ) ,在 A 中必有 1 2 n 唯一个元素 a与之对应，即 f (a1 , a 2 , , a n ) a
er er el ， 令 e el er ，则 e 是 的单位元。 设 e 也是 的单位元， 则 e e e e 因此 e 是 的唯一的单位元。
因此， el
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2． 零元
是集合A上的二元运算，若存在一元 素 z l A ，使得对于任意的 a A ,有 z l a z l ， 则称 z l是A中运算 的左零元；若存在一元素 ， 使得对于任意的 , zr a A a,则称 z是A中 zr A r 运算 z r 的右零元，若存在一元素 ，使得对于任 意 z A, a,则称Z是A中运算 z 的零 A z a a z 元。
离散数学(微课版) 第4章
离散数学（微课版）第4章1. 引言在离散数学的第4章中，我们将讨论图论的基本概念和应用。
图论是研究图及其在现实生活中的应用的数学分支，它在计算机科学、网络设计、运筹学等领域中具有重要的应用价值。
本章将介绍图的定义、图的表示方法、图的遍历算法等内容。
2. 图的定义图由一组节点和一组节点之间的边构成。
节点通常表示现实世界中的对象，而边则表示对象之间的关系。
图可以用于描述各种问题，如社交网络中的用户关系、城市之间的交通网络等。
2.1 有向图和无向图图可以分为有向图和无向图两种类型。
在有向图中，边具有方向，表示节点之间的单向关系。
而在无向图中，边没有方向，表示节点之间的双向关系。
2.2 顶点和边图由顶点和边组成。
顶点是图的节点，用来表示对象。
边连接两个顶点，表示两个对象之间的关系。
2.3 路径和环路径是指在图中从一个顶点到另一个顶点的连接序列。
环是一条路径，其起点和终点相同。
3. 图的表示方法在计算机中，图可以用不同的数据结构来表示。
常见的表示方法包括：3.1 邻接矩阵邻接矩阵是用二维数组表示图的连接关系。
对于无向图，邻接矩阵是对称的，而对于有向图，则不对称。
A B CA010B101C010上述邻接矩阵表示了一个无向图，其中顶点A与顶点B相连，顶点B与顶点C相连。
3.2 邻接表邻接表是用链表表示图的连接关系。
对于每个顶点，邻接表保存了与其相连的其他顶点的信息。
A ->B -> NULLB -> A ->C -> NULLC -> B -> NULL上述邻接表表示了一个无向图，顶点A与顶点B相连，顶点B与顶点A、C相连，顶点C与顶点B相连。
4. 图的遍历算法图的遍历算法是指按照一定的方式访问图中的所有节点。
常见的图的遍历算法有深度优先搜索和广度优先搜索。
4.1 深度优先搜索深度优先搜索从起点开始，尽可能深地访问尚未访问的节点，直到无法继续深入为止，然后回溯到上一个节点，继续深入其他未访问的节点。
离散数学课件第四章 关系
Discrete Mathematics
关系的性质
例 2 (1) A上的全域关系EA,恒等关系IA及空关系都是A 上的对称关系;IA和 同时也是A上的反对称关系. (2)设A={1,2,3},则 R1={<1,1>,<2,2>}既是A上的对称关系,也是A上 的反对称关系; R2= {<1,1>,<1,2>,<2,1>}是对称的,但不是反对 称的; R3 ={<1,2>,<1,3>}是反对称的,但不是对称的; R4= {<1,2>,<2,1>,<1,3>}既不是对称的也不是 反对称的.
❖ 二、关系的表达方式 1. 集合表达式：列出关系中的所有有序对。 例 1 设A={1,2,3,4},试列出下列关系R的元素。 (1) R={<x,y> | x是y的倍数} (2) R={<x,y> | (x-y)2 A } (3) R={<x,y> | x/y是素数}
Discrete Mathematics
关系
第四章 二元关系
第一节 有序对与笛卡尔积
❖ 定义 1 由两个元素x和y（允许x＝y）按顺序排列成 的二元组叫做一个有序对，记为<x, y>。
❖ 有序对的性质： 1.当 x ≠ y时，<x, y> ≠ <y, x>。 2.<x, y>＝<u, v>的充分必要条件是 x=u且y=v。
Discrete Mathematics
笛卡尔积
❖ 定义 2 设A, B是集合。由A中元素作为第一元素，B 中元素作为第二元素组成的所有有序对的集合，称 为集合A与B的笛卡尔积（或直积），记为A×B。 即 A×B={<x,y>|x A y B}
关系的性质
例 2 (1) A上的全域关系EA,恒等关系IA及空关系都是A 上的对称关系;IA和 同时也是A上的反对称关系. (2)设A={1,2,3},则 R1={<1,1>,<2,2>}既是A上的对称关系,也是A上 的反对称关系; R2= {<1,1>,<1,2>,<2,1>}是对称的,但不是反对 称的; R3 ={<1,2>,<1,3>}是反对称的,但不是对称的; R4= {<1,2>,<2,1>,<1,3>}既不是对称的也不是 反对称的.
❖ 二、关系的表达方式 1. 集合表达式：列出关系中的所有有序对。 例 1 设A={1,2,3,4},试列出下列关系R的元素。 (1) R={<x,y> | x是y的倍数} (2) R={<x,y> | (x-y)2 A } (3) R={<x,y> | x/y是素数}
Discrete Mathematics
关系
第四章 二元关系
第一节 有序对与笛卡尔积
❖ 定义 1 由两个元素x和y（允许x＝y）按顺序排列成 的二元组叫做一个有序对，记为<x, y>。
❖ 有序对的性质： 1.当 x ≠ y时，<x, y> ≠ <y, x>。 2.<x, y>＝<u, v>的充分必要条件是 x=u且y=v。
Discrete Mathematics
笛卡尔积
❖ 定义 2 设A, B是集合。由A中元素作为第一元素，B 中元素作为第二元素组成的所有有序对的集合，称 为集合A与B的笛卡尔积（或直积），记为A×B。 即 A×B={<x,y>|x A y B}
离散数学第四章-二元关系和函数
注意：(1) 若 A 是 m元集，B是 n 元集， 则 A B为 mn 元集。
(2) 笛卡儿积是集合，有关集合的运算都适合。
(3) 一般，A B B A 。
5
3、笛卡儿积运算对 或 满足分配律
(1) A(B C) (A B) (AC) (2) (B C) A (B A) (C A) (3) A(B C) (A B) (AC) (4) (B C) A (B A) (C A)
解： (A) ,{a},{b}, A ，
R , , ,{a} , ,{b} ,
, A , {a},{a} , {a}, A ,
{b},{b} , {b}, A , A, A
14
4、A 上二元关系的表示法。
集合表示法 有三种 矩阵表示法
图形表示法
15
一般：设 A {x1, x2, , xn}
1、定义：
(1) 若集合R为空集或它的元素都是有序对， 则称 R 为二元关系。 若 x, y R ，则记作 xRy ，
否则，记作 xRy 。 (2) A B的任何一个子集都称作从A到B的一个二元关系。
特别地，当 A B 时，称作 A上的二元关系。
例、 A {a,b} ，B {0,1, 2}
设 R1 a, 0 , b, 0 , b, 2 R2 R3 A B
传递的。
26
例6、判断下图中的关系分别具有哪些性质。
解：R5 既不是自反也不是反自反的，
反对称的，传递的。
27
例6、判断下图中的关系分别具有哪些性质。
解：R6 是反自反的，既不是对称
又不是反对称，不是传递的。
28
例7：设 R1, R2 为 A上的对称关系， 证明R1 R2 也是 A上的对称关系。 证明：对任意 x, y
(2) 笛卡儿积是集合，有关集合的运算都适合。
(3) 一般，A B B A 。
5
3、笛卡儿积运算对 或 满足分配律
(1) A(B C) (A B) (AC) (2) (B C) A (B A) (C A) (3) A(B C) (A B) (AC) (4) (B C) A (B A) (C A)
解： (A) ,{a},{b}, A ，
R , , ,{a} , ,{b} ,
, A , {a},{a} , {a}, A ,
{b},{b} , {b}, A , A, A
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4、A 上二元关系的表示法。
集合表示法 有三种 矩阵表示法
图形表示法
15
一般：设 A {x1, x2, , xn}
1、定义：
(1) 若集合R为空集或它的元素都是有序对， 则称 R 为二元关系。 若 x, y R ，则记作 xRy ，
否则，记作 xRy 。 (2) A B的任何一个子集都称作从A到B的一个二元关系。
特别地，当 A B 时，称作 A上的二元关系。
例、 A {a,b} ，B {0,1, 2}
设 R1 a, 0 , b, 0 , b, 2 R2 R3 A B
传递的。
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例6、判断下图中的关系分别具有哪些性质。
解：R5 既不是自反也不是反自反的，
反对称的，传递的。
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例6、判断下图中的关系分别具有哪些性质。
解：R6 是反自反的，既不是对称
又不是反对称，不是传递的。
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例7：设 R1, R2 为 A上的对称关系， 证明R1 R2 也是 A上的对称关系。 证明：对任意 x, y
离散数学 第四章
∴函数的复合运算不满足交换律。
f g
§2逆函数和复合函数
《定理》：函数的复合运算是可结合的，即如果f,g,h 均为函数，则有：
h ( g f ) (h g ) f
证明：函数也是一种二元关系， ∵二元关系的复合是满足结合律的， ∴函数的复合也是满足结合律的。
§2逆函数和复合函数
例：设 I
是负整数集合，定义二个双射函数f和g， f(x)= - x ={<-1,1><-2,2>…}， g(x)= x-1={<1,0><2,1>…}，
f : I I
( f ( x)) (( x) 1) { 1,0 2,1 }
§2逆函数和复合函数
《定理》：若f是一双射函数，则 ( f 1 ) 1 f 证明：设任一 x, y f
y, x f 1
则
x, y ( f 1 ) 1 f
《定理》：设f: X→Y和g:Y→Z,且f和g均为双射函数，则有
( g f ) 1 f 1 g 1
（3）一个函数的反函数如果存在的话，则此函数一定是双 射函数，而入射，满射函数的逆关系均不满足函数的定义.
（4）为了和逆关系相区别，函数f的 “逆函数” 用1 来表示 f
1 f : X Y 是一双射函数，称 f : Y X 《定义》：设
为f的逆函数。 《定理》：如果f: X→Y是双射函数，则有： 1 : Y X f
§2逆函数和复合函数
《定理》：设f:X→Y和g:Y→Z是二个函数，于是复合函数
g f 是一个从X到Z的函数，对于每一个 x X 有：
( g f )( x) g ( f ( x))
证明：由定义可知 g f 是从X→Z的函数，即
f g
§2逆函数和复合函数
《定理》：函数的复合运算是可结合的，即如果f,g,h 均为函数，则有：
h ( g f ) (h g ) f
证明：函数也是一种二元关系， ∵二元关系的复合是满足结合律的， ∴函数的复合也是满足结合律的。
§2逆函数和复合函数
例：设 I
是负整数集合，定义二个双射函数f和g， f(x)= - x ={<-1,1><-2,2>…}， g(x)= x-1={<1,0><2,1>…}，
f : I I
( f ( x)) (( x) 1) { 1,0 2,1 }
§2逆函数和复合函数
《定理》：若f是一双射函数，则 ( f 1 ) 1 f 证明：设任一 x, y f
y, x f 1
则
x, y ( f 1 ) 1 f
《定理》：设f: X→Y和g:Y→Z,且f和g均为双射函数，则有
( g f ) 1 f 1 g 1
（3）一个函数的反函数如果存在的话，则此函数一定是双 射函数，而入射，满射函数的逆关系均不满足函数的定义.
（4）为了和逆关系相区别，函数f的 “逆函数” 用1 来表示 f
1 f : X Y 是一双射函数，称 f : Y X 《定义》：设
为f的逆函数。 《定理》：如果f: X→Y是双射函数，则有： 1 : Y X f
§2逆函数和复合函数
《定理》：设f:X→Y和g:Y→Z是二个函数，于是复合函数
g f 是一个从X到Z的函数，对于每一个 x X 有：
( g f )( x) g ( f ( x))
证明：由定义可知 g f 是从X→Z的函数，即
离散数学第四章课件
无对称的偶对。
表示关系矩阵的主对角线两侧各有一个1且 对称，即有一个对称的偶对。
C1
n(n＋1) 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
表示关系矩阵的主对角线两侧全为1，
C1 ＋ n(n＋ ＋…＋ 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
于是
C0 n(n＋1) 2 ＝
2
n(n＋1) 2
四、反对称性 ⒈ 定义： 若xy(x∈A∧y∈A∧xRy∧yRx→x=y)， 称R是反对称的。 例：设A={ a , b , c , d } R={ < a , b > , < a , c > , < b , b > , <b,d>,<c,c>,<c,d>, < d , d >}
⒉自反关系的关系矩阵的特征
R的关系矩阵的主对角线上的元素均为
1 ，则该关系就不具有自反性；
主对角线上有一个元素不为1，则该关
系就不具有自反性。
⒊ 自反关系的图的特征 自反关系的关系图中，每个顶点都有 自回路，则该关系具有自反性。
二、反自反性 ⒈ 定义：若x（x∈A xRx）则该关系是 反自反的。 ⒉ 具有反自反性的关系的关系矩阵的主对角
2 t1× t2 × … ×tn
五、关系的表示法-----通常有三种表示方法
⒈ 集合表示法： 因为关系也是集合，所以也可以用集合 的表示方法
例：A={ 2, 3,4,6 ,9,12 }上的整除关系
用特征描述法表示为
R＝{ < x , y > | x∈A ∧ y∈A ∧ x|y }
用穷举法表示为
R={ < 2 , 2 > , < 2 , 4 > , < 2 , 6 > ,
离散数学课件-第4章
哈塞图（ Hasse 图）
我们可以使用下面的过程表示一个有穷集上的偏序。 从这个关系的有向图开始： (1)自反性：每个顶点都有自回路，省去。 (2)反对称性：两个顶点间只可能有一个箭头从左→ 右，或从下→上的方向从小到大安置顶点，可省略箭头。 (3)传递性：由于有(a,b)，(b,c)∈R 则(a,c) ∈R 故只画(a,b)，(b,c)对应的边,省略边(a,c)。
单击此处添加大标题内容
【example 10】 考虑小写英语字母串构成的集合。使用在字母表中的字母序，可以构成在串的集合上的字典顺序。 如果两个串第一次出现不同字母时，第一个串的字母先于第二个字母，或者如果第一个串和第二个串在所有的位都相同，但是第二个串有更多的字母，那么，第一个串小于第二个串。这种排序和字典使用的排序相同。例如 discreet < discrete 因为这两个串在第7位首次出现字母，并且 e< t. discreet < discreetness 因为这两个串前8个字母相同，但是第二个串更长。此外 discrete < discretion
添加标题
类似地，偏序集的一个元素叫做极小的，如果它不大于这个偏序集的任何其他元素。即a在偏序集（S， ≼ ）中是极小的，如果不存在b∈S使得b<a。
【example 8】确定在偏序集（Z×Z，≼ ）中是否有 (3, 5) < (4,8), (3,8)<(4,5) 和(4,9) <(4,11) ? 这里的≼ 是从Z上通常的≤关系构造的字典顺序。 Solution： 因为3<4,故而(3, 5) < (4,8), 且(3,8)<(4,5) 。因为(4,9)与(4,11) 的第一元素相同，但9<11,我们有(4,9) <(4,11) 。 下图明显地显示了Z+×Z+ 中比(3,4)小的有序对的集合。
离散数学第4章-二元关系
4.6 等价关系与划分
• 三 性质 • 定理4.13 设R是A上的等价关系，则 （1）对任一a∈A，有a∈[a]； （2）对a, b∈A，如果aRb，则[a]=[b]; （3）对a, b∈A，如果(a, b)∉R，则[a]∩[b]=∅; （4）∪a∈A[a]=A。
4.6 等价关系与划分
• 定理4.14 集合A上的任一划分可以确定A上 的一个等价关系R。 • 定理4.15 设R1和R2是A上的等价关系， R1=R2⇔ A/R1=A/R2 。 • 定理4.16 设R1和R2是A上的等价关系，则 R1∩R2是A上的等价关系。
4 .3 关系的运算
• 一 逆运算 • 定义4.7（逆关系） 设R是从A到B的二元关系， 则从B到A的二元关系记为R-1，定义为R-1 ={(b,a)|(a,b)∈R}，称为R的逆关系。 • 定理2.1 （1）(R-1)-1=R; （2）(R1∪R2)-1= R1-1∪ R2-1; （3）(R1∩R2)-1= R1-1 ∩R2-1; （4） (A×B)-1= B×A；
4 .5 关系的闭包
•
• (1) (2) (3) • (1) (2) (3)
二 基本性质
定理4.5 设R是A上的二元关系，则 R是自反的 ⇔ r( R )=R； R是对称的 ⇔ s( R )=R； R是传递的 ⇔ t( R )=R； 定理4.6 设R1和R2是A上的二元关系，若R1⊆R2则 r(R1)⊆ r(R2)； s(R1)⊆ s(R2)； t(R1)⊆ t(R2)。
第四章 关系
4.1 二元关系 4.2 关系的性质 4 .3 关系的运算 4 .5 关系的闭包 4.6 等价关系与划分
4.1 二元关系
• 一 定义4.1（二元关系）
设A和B是任意两个集合，A×B的子集R称为从A到 B的二元关系。当A=B时，称R为A上的二元关系。若 (a, b)∈R，则称a与b有关系R，记为aRb。 (a, b)∉R：a与b没有关系R R=∅：空关系 R=A×B：全关系
离散数学第四章
二. 特殊函数 1.定义 2.有限集上单，满射关系 3.举例
4
第四章第一节
一.函数的定义
函数的定义（变换、映射） 1．定义： 设X和Y是集合，从X到Y的函数f是满足下列条件的关系： xX，有唯一的 yY，使 < x ， y >f (记为y = f (x) ) X称为是f的定义域，Y称为是f的值域。 x称为自变元，y称为函数值。 注： 例题1 例题2 返回第一节目录
返回第二节目录
19
3． 复合函数性质
性质1（定理3）：
f: AB，g: BC
(1)若f 和g是满射,则g f是满射。 (2)若f 和g是入射, 则g f是入射。
(3)若f 和g是双射, 则g f是双射。
证明a
证明b,c
例题
返回第二节目录
20
3.复合函数的性质证明a
a)若f 和g是满射,则g f是满射
解：a) yR,取x=(y-a)/(b-a),则f(x)=y, ∴f是满射。 b)x1,x2R,x1x2, 则(b-a)x1+a(b-a)x2+a, 即f(x1)f(x2), ∴f是入射， ∴由a），b）知：f是双射。
返回定义
13
2． 有限集上单、满射关系
定理1：若X和Y是有限集，且∣X∣=∣Y∣， 则f为单射f为满射。 证明：‘’若f为单射，则∣X∣=∣f(X)∣ ∵∣X∣=∣Y∣ ∴∣Y∣=∣f(X)∣ 又∵∣Y∣是有限的， ∴Y=f(X) ‘’若f为满射，则f(X)=Y, ∴∣X∣=∣Y∣=∣f(X)∣ 若x1,x2X,x1x2,有f(x1)=f(x2)。 ∵X,Y集合有限， ∣f(X)∣<∣X∣矛盾， ∴f为单射。 返回第一节目录
返回复合函数性质
4
第四章第一节
一.函数的定义
函数的定义（变换、映射） 1．定义： 设X和Y是集合，从X到Y的函数f是满足下列条件的关系： xX，有唯一的 yY，使 < x ， y >f (记为y = f (x) ) X称为是f的定义域，Y称为是f的值域。 x称为自变元，y称为函数值。 注： 例题1 例题2 返回第一节目录
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19
3． 复合函数性质
性质1（定理3）：
f: AB，g: BC
(1)若f 和g是满射,则g f是满射。 (2)若f 和g是入射, 则g f是入射。
(3)若f 和g是双射, 则g f是双射。
证明a
证明b,c
例题
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20
3.复合函数的性质证明a
a)若f 和g是满射,则g f是满射
解：a) yR,取x=(y-a)/(b-a),则f(x)=y, ∴f是满射。 b)x1,x2R,x1x2, 则(b-a)x1+a(b-a)x2+a, 即f(x1)f(x2), ∴f是入射， ∴由a），b）知：f是双射。
返回定义
13
2． 有限集上单、满射关系
定理1：若X和Y是有限集，且∣X∣=∣Y∣， 则f为单射f为满射。 证明：‘’若f为单射，则∣X∣=∣f(X)∣ ∵∣X∣=∣Y∣ ∴∣Y∣=∣f(X)∣ 又∵∣Y∣是有限的， ∴Y=f(X) ‘’若f为满射，则f(X)=Y, ∴∣X∣=∣Y∣=∣f(X)∣ 若x1,x2X,x1x2,有f(x1)=f(x2)。 ∵X,Y集合有限， ∣f(X)∣<∣X∣矛盾， ∴f为单射。 返回第一节目录
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离散数学第四章
易证代数系统< B,+, 。 >满足<I,＋, · >的六条性质（讨论） 我们把满足上述六条性质的代数系统称为整环。即：
定义2: 设J是一个非空集合,+和 · 是J上的两个二元运算,如 果+和 · 满足 （1）交换律: 任意i, j∈I 有 i+ j= j + i ; i · j= j · i 。
二元运算+: 二元运算 I2→I
+(8,-7)=1 通常的加法 通常的加法. 乘法是整数集I上的二元运算 但除法不是I上 上的二元运算,但除法不是 注: 加. 减. 乘法是整数集 上的二元运算 但除法不是 上 的二元运算, 的二元运算 因为
a ∉A= I p
当 ≠1 p 时
乘法是自然集N上的二元运算 减法则不是. 上的二元运算,减法则不是 加. 乘法是自然集 上的二元运算 减法则不是 集合的交,并是全集 上的二元运算,也是 任一集合上的幂 集合的交 并是全集U上的二元运算 也是 并是全集 上的二元运算 集 上的二元运算,补是这些集合上的二元运算 上的二元运算 补是这些集合上的二元运算. 补是这些集合上的二元运算 二 .运算的表示 运算的表示
一般用符号 ~ 、* 、 算和二元运算. 算和二元运算
o
、+ 、— 、∪、∩等表示一元运 等表示一元运
一元运算一般将它的运算符号放在a 的左边或上方， 一元运算一般将它的运算符号放在 i∈A的左边或上方， 的左边或上方 以表示再此种运算下的象。 以表示再此种运算下的象。 而二元运算一般将它的运算符号放在a 之间， 而二元运算一般将它的运算符号放在 i与aj ∈A之间， 之间 以表示再此种运算下（ 的象。 以表示再此种运算下（ai ，aj）的象。如f （ai ，aj）写成 ai f aj 或ai*aj .
离散数学第四章 有限集与无限集
可列集。
第四章 有限集与无限集
④ 定理： 两个可列集的并集是可列集。
证明： 设 S1={a0, a1, a2, a3, a4, …}, S2={b0, b1, b2,
b3, b4, …}均为可列集。不仿设S1与S2不相交。
S1∪S2的元素可以排成无穷序列，即a0, b0, a1, b1, a2, b2, a3, b3, a4, …， 所以 S1∪S2={a0, b0, a1, b1, a2, b2, a3, b3, a4, …}是 可列集。
0
2、定理：实数集R是不可列集。实数集的基数为 1 3、：对任意集合A，有 |A| < |ρ(A)| 由此可得： (1) 无限集也有大小，最小的无限集是 可列集，其 次是实数集。 (2) 对任一无限集，总存在一个基数大于这个集合
的集合，即无限集的“大小”也是无限的，没有最
大的无限集。
有限集a的元素个数称为a的基数记为2基数的有关定义设有集合ab第四章有限集与无限集则称集合a的基数小于等于b的基数记为若从a到b存在单射但不存在满射则称集合a的基数小于b的基数记为第四章有限集与无限集43无限集的性质1定义
第四章 有限集与无限集
第四章 有限集与无限集
4.1 有限集与无限集基本概念
1、定义1：若集合A与集合= { 1, 2, 3, …, n }存在
则 f 是一一对应的关系，所以A B。
第四章 有限集与无限集
例2：设N = { 0, 1, 2, 3, … }，其子集A = { 1, 3, 5,
7, … }，B = { 2, 4, 6, 8, … }均为无限集且N A，
N B。 因为它们间存在一一对应的关系： N：0 1 2 3 …… f： A：1 3 5 7 …… N：0 1 2 3 …… g： B：2 4 6 8 ……
第四章 有限集与无限集
④ 定理： 两个可列集的并集是可列集。
证明： 设 S1={a0, a1, a2, a3, a4, …}, S2={b0, b1, b2,
b3, b4, …}均为可列集。不仿设S1与S2不相交。
S1∪S2的元素可以排成无穷序列，即a0, b0, a1, b1, a2, b2, a3, b3, a4, …， 所以 S1∪S2={a0, b0, a1, b1, a2, b2, a3, b3, a4, …}是 可列集。
0
2、定理：实数集R是不可列集。实数集的基数为 1 3、：对任意集合A，有 |A| < |ρ(A)| 由此可得： (1) 无限集也有大小，最小的无限集是 可列集，其 次是实数集。 (2) 对任一无限集，总存在一个基数大于这个集合
的集合，即无限集的“大小”也是无限的，没有最
大的无限集。
有限集a的元素个数称为a的基数记为2基数的有关定义设有集合ab第四章有限集与无限集则称集合a的基数小于等于b的基数记为若从a到b存在单射但不存在满射则称集合a的基数小于b的基数记为第四章有限集与无限集43无限集的性质1定义
第四章 有限集与无限集
第四章 有限集与无限集
4.1 有限集与无限集基本概念
1、定义1：若集合A与集合= { 1, 2, 3, …, n }存在
则 f 是一一对应的关系，所以A B。
第四章 有限集与无限集
例2：设N = { 0, 1, 2, 3, … }，其子集A = { 1, 3, 5,
7, … }，B = { 2, 4, 6, 8, … }均为无限集且N A，
N B。 因为它们间存在一一对应的关系： N：0 1 2 3 …… f： A：1 3 5 7 …… N：0 1 2 3 …… g： B：2 4 6 8 ……
离散数学第4章 有限集和无限集
A C
B
软件学院
有限集
例：120个学生中有100个学生至少要学法、德、英三 种语言中的一种，假定有65人学法语，45人学德语， 42人学英语，20个人学法语和德语，25人学法语和 英语，15人学德语和英语，请问同时学三种语言的 有多少人？ 解：令A、B、C表示学法语学、德语和英语的人数 100＝65＋45＋42－20－25－15＋|A∩B∩C| 所以 |A∩B∩C|＝8。
性质：可列集的无限子集仍为一可列集。
可列集是无限集中的最小集合。
软件学院
无限集的性质 例如：整数集I是可列集。 N={0,1, 2, 3, 4, 5, 6……}
I={0,1,-1, 2,-2, 3,-3……}
有理数集Q为可列集。 一切有理数都可写为m/n的形式，对于分数可以按照 分子和分母的顺序排列。 实数集R是不可列集。
软件学院
第四章 有限集与无限集 有限集S的元素的个数称为S的基数，可记为|S|。 自然数集N是无限集。 实数集R是无限集。 基数是与集合的元素数量有关的概念。在有限集中， 基数即是元素的个数，而在无限集中，集合基数就 变得复杂了。理论上讲，无限集中元素数量为无限， 但这太笼统了，因为个数中其浓度与密度是不同的。 如：实数与自然数同为无限个元素，但是实数无限浓 度高于自然数的无限浓度。
软件学院
无限集的性质 因为自然数集N不可能与某个自然数n等势。所以N的 基数不能是有限数，就用一个‚无限大‛的数 0表示（Aleph零）。 可列集是与自然数集中元素可以建立一一对应的集 合，即可列集与自然数集等势，势也为Aleph零。 所以我们可以用‘等势’来表示集合间的大小比较。 由于可列集是‘最小’的无限集，故已经没有比可 列集更小的无限集了。因此，其他无限集的势比 Aleph零要大，如实数集比可列集要大，它的基 数是Aleph。
离散数学第四章第3讲课件.ppt
R S { x, z | x X z Z y( y Y x, y R y, z S)}
例：设A={1,2,3,4,5}，R,S均为A→A的关系，且 R={<1,2><3,4><2,2>} S={<4,2><2,5><3,1><1,3>}
则 R◦S={<1,5> <3,2> <2,5>} S◦R={<4,2> <3,2> <1,4>}
n
cij k1(aik bkj )
例：设X={1,2,3},R,S均是X中的二元关系， R={<1,2><3,1><2,2>}, S={<1,2><2,3><3,1><1,3>}
0 10
MR=
0 10
1 00
0 11
MS=
0 01
1 00
MR○S=
0 01 0 01 0 11
（0 Λ0）∨ （1 Λ0）∨ （0 Λ1） =0
证明：按定义证：（1）设 R' R I x ，则R’是自反的，
(2)R' R （3）设有任一包含R的二元关系R’’也是自反的，即
R' ' I x R' ' R
则 R' ' (R I x ) R' ' R'
R' R Ix
例：设X={a,b,c},R={<a,b><b,c><c,a>}，求r(R)
对于任一 a,b R b, a R a,b R~ R R
例：设A={1,2,3,4,5}，R,S均为A→A的关系，且 R={<1,2><3,4><2,2>} S={<4,2><2,5><3,1><1,3>}
则 R◦S={<1,5> <3,2> <2,5>} S◦R={<4,2> <3,2> <1,4>}
n
cij k1(aik bkj )
例：设X={1,2,3},R,S均是X中的二元关系， R={<1,2><3,1><2,2>}, S={<1,2><2,3><3,1><1,3>}
0 10
MR=
0 10
1 00
0 11
MS=
0 01
1 00
MR○S=
0 01 0 01 0 11
（0 Λ0）∨ （1 Λ0）∨ （0 Λ1） =0
证明：按定义证：（1）设 R' R I x ，则R’是自反的，
(2)R' R （3）设有任一包含R的二元关系R’’也是自反的，即
R' ' I x R' ' R
则 R' ' (R I x ) R' ' R'
R' R Ix
例：设X={a,b,c},R={<a,b><b,c><c,a>}，求r(R)
对于任一 a,b R b, a R a,b R~ R R
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1、定义及关系矩阵，关系图特征由下表给出
( R 为 A上关系)
自反性
定 x A ，都有 义 x, x R
的关 特系
主对角线元素
点 矩 全为1
阵
反自反性
x A ，都有 x, x R
主对角线元素 全为0
的 关 图中每个顶点 特系 点 图 都有环
图中每个顶点 都无环
对称性
反对称性
定 若 x, y R ，若 x, y R且x y， 义 则 y, x R 则 y, x R
(2) 笛卡儿积是集合，有关集合的运算都适合。
(3) 一般，A B B A 。
3、笛卡儿积运算对 U或 I 满足分配律。 (1) A(B UC) (A B) U(AC) (2) (B UC) A (B A) U(C A) (3) A(B I C) (A B) I (AC) (4) (B I C) A (B A) I (C A)
R2
R3 A B
R4 b,1
则 R1, R2 , R3, R4 都是从A到B的关系。
2、A 上不同关系的数目。 若 A 为 n 元集，记 A n， 则 A A n2 ， A A的子集共有 2n2个， n 元集 A上不同的关系共有 2n2个。
3、关系 R 的前域 A ，
后域 B
。
关系 R 的定义域 domR ， 值域 ranR和域 fldR。
4、 n 阶(n 2)笛卡儿积。 A1 A2 L An
x1, x2,L , xn | x1 A1 x2 A2 L xn An
特别，当 A1 A2 L An A 时， 记为 An 。 如 A {a,b} ，
A2 a, a , a,b , b, a , b,b
二、二元关系。
2、笛卡儿积。
定义：集合 A和B的笛卡儿积，记作 A B 。
A B x, y | x A y B
例1、 ，A 0,1, B a,b,c
求 A B，B A，A A，A， B。
解：A B 0, a , 0,b , 0, c , 1, a , 1,b , 1,c
B A a,0 , a,1 , b,0 , b,1 , c,0 , c,1
的关 特系 点矩
阵
对称矩阵
若 rij 1且 i j ， 则 rji 0
的 关 若两顶点间有 若两顶点间有边，
特 系 边条有向边
传递性
定 义
若 x, y R 且 y, z R，则 x, z R
的关 特系 点矩
阵
的关 特系 点图
若顶点 xi 到 x j 有边，x j 到xk有边， 则 xi 到xk 必有边
第四章 二元关系和函数
第一节 集合的笛卡儿积和二元 关系
内容：有序对，笛卡儿积，二元关系。 重点： (1) 掌握有序对的概念，
(2) 笛卡儿积及性质， (3) 二元关系的定义及三种表示法， (4) 一些特殊的二元关系。 了解：有序 n 元组和 n 阶笛卡儿积。
一、笛卡儿积。
1、有序对，记 x, y 。 特点：(1) x y时， x, y y, x ， (2) x, y u,v x u, y v。 有序n 元组(n 3)，记 x1, x2,L xn 。
dom R x y x, y R ran R y x x, y R
fld R dom R Uran R
4、特殊的关系。
空关系 ，全域关系 EA ，恒等关系 I A 。 对任意集合 A ， 空关系 ，
全域关系 EA x, y | x A y A A A， 恒等关系 IA x, x | x A。
例1、 A {1, 2,3} ，A 上关系 R1, R2 , R3, R4
A A 0,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1
A B
例2、设 A {a,b}，求 A P(A) 。
解： P(A) ,{a},{b}, A A P(A) a, , a,{a} , a,{b} , a, A ,
b, , b,{a} , b,{b} , b, A
注意：(1) 若 A 是 m元集，B是 n 元集， 则 A B为 mn 元集。
解：LA 2, 2 , 2,3 , 2, 6 , 2,8 , 3,3 , 3, 6 , 3,8 , 6, 6 , 6,8 , 8,8
DA 2, 2 , 2,6 , 2,8 , 3,3 , 3,6 , 6,6 , 8,8
例6、 A {a,b}，求 P( A)上的包含关系 R 。
解： P(A) ,{a},{b}, A ，
1、定义
(1) A B的任何子集都称作从 A到 B 的关系， 特别，当 A B 时，称作 A 上关系。 若 x, y R，则记作 xRy ， 否则，记作 xRy 。
(2) 若集合R为空集或它的元素都是有序对， 则称 R 为二元关系。
例4、A {a,b} ，B {0,1, 2}
设 R1 a,0 , b,0 , b, 2
求 R的关系矩阵 M R 和关系图。
解： 0 1 1 0 关系图：
MR
1 0
1 0
0 1
0 0
0 0 1 0
一般：设 A {x1, x2 ,L , xn}
MR
(rij )nn
，其中
rij
1 0
xi Rx j xi Rx j
关系图表示
点( n 个顶点) 边(每个有序对对应一条有向弧)
四、关系的五种性质(自反，反自反，对称， 反对称，传递)。
5、常用关系。
(1) 设 A R ，A 上小于等于关系：
LA x, y x, y A x y
(2) 设 B Z ，B 上整除关系：
DB x, y x, y B x | y
(3) 幂集P( A)上的包含关系 R：
R x, y | x, y P(A) x y
例5、A {2,3, 6,8}，求 LA ，DA 。
R , , ,{a} , ,{b} ,
,{a,b} , {a},{a} , {a}, A ,
{b},{b} , {b}, A , A, A
三、A 上二元关系的表示法。
集合表示法 有三种 矩阵表示法
图形表示法
例7、已知 A {1, 2,3, 4} ，A上关系
R 1, 2 , 1,3 , 2,1 , 2, 2 , 3,3 , 4,3 ，
( R 为 A上关系)
自反性
定 x A ，都有 义 x, x R
的关 特系
主对角线元素
点 矩 全为1
阵
反自反性
x A ，都有 x, x R
主对角线元素 全为0
的 关 图中每个顶点 特系 点 图 都有环
图中每个顶点 都无环
对称性
反对称性
定 若 x, y R ，若 x, y R且x y， 义 则 y, x R 则 y, x R
(2) 笛卡儿积是集合，有关集合的运算都适合。
(3) 一般，A B B A 。
3、笛卡儿积运算对 U或 I 满足分配律。 (1) A(B UC) (A B) U(AC) (2) (B UC) A (B A) U(C A) (3) A(B I C) (A B) I (AC) (4) (B I C) A (B A) I (C A)
R2
R3 A B
R4 b,1
则 R1, R2 , R3, R4 都是从A到B的关系。
2、A 上不同关系的数目。 若 A 为 n 元集，记 A n， 则 A A n2 ， A A的子集共有 2n2个， n 元集 A上不同的关系共有 2n2个。
3、关系 R 的前域 A ，
后域 B
。
关系 R 的定义域 domR ， 值域 ranR和域 fldR。
4、 n 阶(n 2)笛卡儿积。 A1 A2 L An
x1, x2,L , xn | x1 A1 x2 A2 L xn An
特别，当 A1 A2 L An A 时， 记为 An 。 如 A {a,b} ，
A2 a, a , a,b , b, a , b,b
二、二元关系。
2、笛卡儿积。
定义：集合 A和B的笛卡儿积，记作 A B 。
A B x, y | x A y B
例1、 ，A 0,1, B a,b,c
求 A B，B A，A A，A， B。
解：A B 0, a , 0,b , 0, c , 1, a , 1,b , 1,c
B A a,0 , a,1 , b,0 , b,1 , c,0 , c,1
的关 特系 点矩
阵
对称矩阵
若 rij 1且 i j ， 则 rji 0
的 关 若两顶点间有 若两顶点间有边，
特 系 边条有向边
传递性
定 义
若 x, y R 且 y, z R，则 x, z R
的关 特系 点矩
阵
的关 特系 点图
若顶点 xi 到 x j 有边，x j 到xk有边， 则 xi 到xk 必有边
第四章 二元关系和函数
第一节 集合的笛卡儿积和二元 关系
内容：有序对，笛卡儿积，二元关系。 重点： (1) 掌握有序对的概念，
(2) 笛卡儿积及性质， (3) 二元关系的定义及三种表示法， (4) 一些特殊的二元关系。 了解：有序 n 元组和 n 阶笛卡儿积。
一、笛卡儿积。
1、有序对，记 x, y 。 特点：(1) x y时， x, y y, x ， (2) x, y u,v x u, y v。 有序n 元组(n 3)，记 x1, x2,L xn 。
dom R x y x, y R ran R y x x, y R
fld R dom R Uran R
4、特殊的关系。
空关系 ，全域关系 EA ，恒等关系 I A 。 对任意集合 A ， 空关系 ，
全域关系 EA x, y | x A y A A A， 恒等关系 IA x, x | x A。
例1、 A {1, 2,3} ，A 上关系 R1, R2 , R3, R4
A A 0,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1
A B
例2、设 A {a,b}，求 A P(A) 。
解： P(A) ,{a},{b}, A A P(A) a, , a,{a} , a,{b} , a, A ,
b, , b,{a} , b,{b} , b, A
注意：(1) 若 A 是 m元集，B是 n 元集， 则 A B为 mn 元集。
解：LA 2, 2 , 2,3 , 2, 6 , 2,8 , 3,3 , 3, 6 , 3,8 , 6, 6 , 6,8 , 8,8
DA 2, 2 , 2,6 , 2,8 , 3,3 , 3,6 , 6,6 , 8,8
例6、 A {a,b}，求 P( A)上的包含关系 R 。
解： P(A) ,{a},{b}, A ，
1、定义
(1) A B的任何子集都称作从 A到 B 的关系， 特别，当 A B 时，称作 A 上关系。 若 x, y R，则记作 xRy ， 否则，记作 xRy 。
(2) 若集合R为空集或它的元素都是有序对， 则称 R 为二元关系。
例4、A {a,b} ，B {0,1, 2}
设 R1 a,0 , b,0 , b, 2
求 R的关系矩阵 M R 和关系图。
解： 0 1 1 0 关系图：
MR
1 0
1 0
0 1
0 0
0 0 1 0
一般：设 A {x1, x2 ,L , xn}
MR
(rij )nn
，其中
rij
1 0
xi Rx j xi Rx j
关系图表示
点( n 个顶点) 边(每个有序对对应一条有向弧)
四、关系的五种性质(自反，反自反，对称， 反对称，传递)。
5、常用关系。
(1) 设 A R ，A 上小于等于关系：
LA x, y x, y A x y
(2) 设 B Z ，B 上整除关系：
DB x, y x, y B x | y
(3) 幂集P( A)上的包含关系 R：
R x, y | x, y P(A) x y
例5、A {2,3, 6,8}，求 LA ，DA 。
R , , ,{a} , ,{b} ,
,{a,b} , {a},{a} , {a}, A ,
{b},{b} , {b}, A , A, A
三、A 上二元关系的表示法。
集合表示法 有三种 矩阵表示法
图形表示法
例7、已知 A {1, 2,3, 4} ，A上关系
R 1, 2 , 1,3 , 2,1 , 2, 2 , 3,3 , 4,3 ，