离散数学第四章资料
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解：LA 2, 2 , 2,3 , 2, 6 , 2,8 , 3,3 , 3, 6 , 3,8 , 6, 6 , 6,8 , 8,8
DA 2, 2 , 2,6 , 2,8 , 3,3 , 3,6 , 6,6 , 8,8
例6、 A {a,b}，求 P( A)上的包含关系 R 。
解： P(A) ,{a},{b}, A ，
2、笛卡儿积。
定义：集合 A和B的笛卡儿积，记作 A B 。
A B x, y | x A y B
例1、 ，A 0,1, B a,b,c
求 A B，B A，A A，A， B。
解：A B 0, a , 0,b , 0, c , 1, a , 1,b , 1,c
B A a,0 , a,1 , b,0 , b,1 , c,0 , c,1
的关 特系 点矩
阵
对称矩阵
若 rij 1且 i j ， 则 rji 0
的 关 若两顶点间有 若两顶点间有边，
特 系 边，必是一对 点 图 方向相反的边
必是一条有向边
传递性
定 义
若 x, y R 且 y, z R，则 x, z R
来自百度文库
的关 特系 点矩
阵
的关 特系 点图
若顶点 xi 到 x j 有边，x j 到xk有边， 则 xi 到xk 必有边
R2
R3 A B
R4 b,1
则 R1, R2 , R3, R4 都是从A到B的关系。
2、A 上不同关系的数目。 若 A 为 n 元集，记 A n， 则 A A n2 ， A A的子集共有 2n2个， n 元集 A上不同的关系共有 2n2个。
3、关系 R 的前域 A ，
后域 B
。
关系 R 的定义域 domR ， 值域 ranR和域 fldR。
求 R的关系矩阵 M R 和关系图。
解： 0 1 1 0 关系图：
MR
1 0
1 0
0 1
0 0
0 0 1 0
一般：设 A {x1, x2 ,L , xn}
MR
(rij )nn
，其中
rij
1 0
xi Rx j xi Rx j
关系图表示
点( n 个顶点) 边(每个有序对对应一条有向弧)
四、关系的五种性质(自反，反自反，对称， 反对称，传递)。
dom R x y x, y R ran R y x x, y R
fld R dom R Uran R
4、特殊的关系。
空关系 ，全域关系 EA ，恒等关系 I A 。 对任意集合 A ， 空关系 ，
全域关系 EA x, y | x A y A A A， 恒等关系 IA x, x | x A。
1、定义
(1) A B的任何子集都称作从 A到 B 的关系， 特别，当 A B 时，称作 A 上关系。 若 x, y R，则记作 xRy ， 否则，记作 xRy 。
(2) 若集合R为空集或它的元素都是有序对， 则称 R 为二元关系。
例4、A {a,b} ，B {0,1, 2}
设 R1 a,0 , b,0 , b, 2
第四章 二元关系和函数
第一节 集合的笛卡儿积和二元 关系
内容：有序对，笛卡儿积，二元关系。 重点： (1) 掌握有序对的概念，
(2) 笛卡儿积及性质， (3) 二元关系的定义及三种表示法， (4) 一些特殊的二元关系。 了解：有序 n 元组和 n 阶笛卡儿积。
一、笛卡儿积。
1、有序对，记 x, y 。 特点：(1) x y时， x, y y, x ， (2) x, y u,v x u, y v。 有序n 元组(n 3)，记 x1, x2,L xn 。
4、 n 阶(n 2)笛卡儿积。 A1 A2 L An
x1, x2,L , xn | x1 A1 x2 A2 L xn An
特别，当 A1 A2 L An A 时， 记为 An 。 如 A {a,b} ，
A2 a, a , a,b , b, a , b,b
二、二元关系。
5、常用关系。
(1) 设 A R ，A 上小于等于关系：
LA x, y x, y A x y
(2) 设 B Z ，B 上整除关系：
DB x, y x, y B x | y
(3) 幂集P( A)上的包含关系 R：
R x, y | x, y P(A) x y
例5、A {2,3, 6,8}，求 LA ，DA 。
(2) 笛卡儿积是集合，有关集合的运算都适合。
(3) 一般，A B B A 。
3、笛卡儿积运算对 U或 I 满足分配律。 (1) A(B UC) (A B) U(AC) (2) (B UC) A (B A) U(C A) (3) A(B I C) (A B) I (AC) (4) (B I C) A (B A) I (C A)
1、定义及关系矩阵，关系图特征由下表给出
( R 为 A上关系)
自反性
定 x A ，都有 义 x, x R
的关 特系
主对角线元素
点 矩 全为1
阵
反自反性
x A ，都有 x, x R
主对角线元素 全为0
的 关 图中每个顶点 特系 点 图 都有环
图中每个顶点 都无环
对称性
反对称性
定 若 x, y R ，若 x, y R且x y， 义 则 y, x R 则 y, x R
A A 0,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1
A B
例2、设 A {a,b}，求 A P(A) 。
解： P(A) ,{a},{b}, A A P(A) a, , a,{a} , a,{b} , a, A ,
b, , b,{a} , b,{b} , b, A
注意：(1) 若 A 是 m元集，B是 n 元集， 则 A B为 mn 元集。
R , , ,{a} , ,{b} ,
,{a,b} , {a},{a} , {a}, A ,
{b},{b} , {b}, A , A, A
三、A 上二元关系的表示法。
集合表示法 有三种 矩阵表示法
图形表示法
例7、已知 A {1, 2,3, 4} ，A上关系
R 1, 2 , 1,3 , 2,1 , 2, 2 , 3,3 , 4,3 ，
例1、 A {1, 2,3} ，A 上关系 R1, R2 , R3, R4
DA 2, 2 , 2,6 , 2,8 , 3,3 , 3,6 , 6,6 , 8,8
例6、 A {a,b}，求 P( A)上的包含关系 R 。
解： P(A) ,{a},{b}, A ，
2、笛卡儿积。
定义：集合 A和B的笛卡儿积，记作 A B 。
A B x, y | x A y B
例1、 ，A 0,1, B a,b,c
求 A B，B A，A A，A， B。
解：A B 0, a , 0,b , 0, c , 1, a , 1,b , 1,c
B A a,0 , a,1 , b,0 , b,1 , c,0 , c,1
的关 特系 点矩
阵
对称矩阵
若 rij 1且 i j ， 则 rji 0
的 关 若两顶点间有 若两顶点间有边，
特 系 边，必是一对 点 图 方向相反的边
必是一条有向边
传递性
定 义
若 x, y R 且 y, z R，则 x, z R
来自百度文库
的关 特系 点矩
阵
的关 特系 点图
若顶点 xi 到 x j 有边，x j 到xk有边， 则 xi 到xk 必有边
R2
R3 A B
R4 b,1
则 R1, R2 , R3, R4 都是从A到B的关系。
2、A 上不同关系的数目。 若 A 为 n 元集，记 A n， 则 A A n2 ， A A的子集共有 2n2个， n 元集 A上不同的关系共有 2n2个。
3、关系 R 的前域 A ，
后域 B
。
关系 R 的定义域 domR ， 值域 ranR和域 fldR。
求 R的关系矩阵 M R 和关系图。
解： 0 1 1 0 关系图：
MR
1 0
1 0
0 1
0 0
0 0 1 0
一般：设 A {x1, x2 ,L , xn}
MR
(rij )nn
，其中
rij
1 0
xi Rx j xi Rx j
关系图表示
点( n 个顶点) 边(每个有序对对应一条有向弧)
四、关系的五种性质(自反，反自反，对称， 反对称，传递)。
dom R x y x, y R ran R y x x, y R
fld R dom R Uran R
4、特殊的关系。
空关系 ，全域关系 EA ，恒等关系 I A 。 对任意集合 A ， 空关系 ，
全域关系 EA x, y | x A y A A A， 恒等关系 IA x, x | x A。
1、定义
(1) A B的任何子集都称作从 A到 B 的关系， 特别，当 A B 时，称作 A 上关系。 若 x, y R，则记作 xRy ， 否则，记作 xRy 。
(2) 若集合R为空集或它的元素都是有序对， 则称 R 为二元关系。
例4、A {a,b} ，B {0,1, 2}
设 R1 a,0 , b,0 , b, 2
第四章 二元关系和函数
第一节 集合的笛卡儿积和二元 关系
内容：有序对，笛卡儿积，二元关系。 重点： (1) 掌握有序对的概念，
(2) 笛卡儿积及性质， (3) 二元关系的定义及三种表示法， (4) 一些特殊的二元关系。 了解：有序 n 元组和 n 阶笛卡儿积。
一、笛卡儿积。
1、有序对，记 x, y 。 特点：(1) x y时， x, y y, x ， (2) x, y u,v x u, y v。 有序n 元组(n 3)，记 x1, x2,L xn 。
4、 n 阶(n 2)笛卡儿积。 A1 A2 L An
x1, x2,L , xn | x1 A1 x2 A2 L xn An
特别，当 A1 A2 L An A 时， 记为 An 。 如 A {a,b} ，
A2 a, a , a,b , b, a , b,b
二、二元关系。
5、常用关系。
(1) 设 A R ，A 上小于等于关系：
LA x, y x, y A x y
(2) 设 B Z ，B 上整除关系：
DB x, y x, y B x | y
(3) 幂集P( A)上的包含关系 R：
R x, y | x, y P(A) x y
例5、A {2,3, 6,8}，求 LA ，DA 。
(2) 笛卡儿积是集合，有关集合的运算都适合。
(3) 一般，A B B A 。
3、笛卡儿积运算对 U或 I 满足分配律。 (1) A(B UC) (A B) U(AC) (2) (B UC) A (B A) U(C A) (3) A(B I C) (A B) I (AC) (4) (B I C) A (B A) I (C A)
1、定义及关系矩阵，关系图特征由下表给出
( R 为 A上关系)
自反性
定 x A ，都有 义 x, x R
的关 特系
主对角线元素
点 矩 全为1
阵
反自反性
x A ，都有 x, x R
主对角线元素 全为0
的 关 图中每个顶点 特系 点 图 都有环
图中每个顶点 都无环
对称性
反对称性
定 若 x, y R ，若 x, y R且x y， 义 则 y, x R 则 y, x R
A A 0,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1
A B
例2、设 A {a,b}，求 A P(A) 。
解： P(A) ,{a},{b}, A A P(A) a, , a,{a} , a,{b} , a, A ,
b, , b,{a} , b,{b} , b, A
注意：(1) 若 A 是 m元集，B是 n 元集， 则 A B为 mn 元集。
R , , ,{a} , ,{b} ,
,{a,b} , {a},{a} , {a}, A ,
{b},{b} , {b}, A , A, A
三、A 上二元关系的表示法。
集合表示法 有三种 矩阵表示法
图形表示法
例7、已知 A {1, 2,3, 4} ，A上关系
R 1, 2 , 1,3 , 2,1 , 2, 2 , 3,3 , 4,3 ，
例1、 A {1, 2,3} ，A 上关系 R1, R2 , R3, R4