高考数学(理)二轮复习专题强化训练：(十一)计数原理、二项式定理、概率理

专题强化训练(十一) 计数原理、二项式定理、概率一、选择题1．[2019·安徽五校联考二]某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( )A．15 B．30C．35 D．42解析：解法一：甲企业有2人，其余5家企业各有1人，共有7人，所以从7人中任选3人共有C37种情况，发言的3人来自2家企业的情况有C22C15种，所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有C37－C22C15＝30(种)，故选B.解法二：发言的3人来自3家不同企业且含甲企业的人的情况有C12C25＝20(种)；发言的3人来自3家不同企业且不含甲企业的人的情况有C35＝10(种)．所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有20＋10＝30(种)，故选B.答案：B2．[2019·长沙四校一模]某校高三年级为了解学情和教情，在该年级6个班中选10名学生参加座谈会，要求每班至少派1名学生参加，其中高三(1)班至少派2名学生参加，则不同的选派方式有( )A．72种B．60种C．50种D．56种解析：首先需满足高三(1)班选2名学生，其余班级各选1名学生，然后只需分配剩下的3个名额，这3个名额可以分到一个班，有C16种分法，也可以分到两个班，其中一个班1名，一个班2名，有A26种分法，还可以分到三个班，每班1名，有C36种分法．因此不同的选派方式共有C16＋A26＋C36＝56(种)．故选D.答案：D3．[2019·合肥质检二]某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E；任务B、任务C不能相邻．则不同的执行方案共有( )A. 36种B. 44种C. 48种D. 54种解析：由题意知任务A，E必须相邻，且只能安排为AE，由此分三类完成，(1)当AE排第一、二位置时，用○表示其他任务，则顺序为AE○○○○，余下四项任务，先全排D，F 两项任务，然后将任务B，C插入D，F两项任务形成的三个空隙中，有A22A23种方法．(2)当AE排第二、三位置时，顺序为○AE○○○，余下四项任务又分为两类：①B，C两项任务中一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，有A 12A 33种方法；②D ，F 两项任务中一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，且任务B ，C 不相邻，有A 12A 22种方法．(3)当AE 排第三、四位置时，顺序为○○AE ○○，第一、二位置必须分别排来自B ，C 和D ，F 中的一个，余下两项任务排在后两个位置，有C 12C 12A 22A 22种方法．根据分类加法计数原理知不同的执行方案共有A 22A 23＋A 12A 33＋A 12A 22＋C 12C 12A 22A 22＝44(种)，故选B.答案：B4．[2019·广州调研]已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，现随机从甲袋中取出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率为( )A.13B.12C.59D.29解析：设事件A ：“从甲袋中取出1个红球放入乙袋中，再从乙袋中取出1个红球”，事件B ：“从甲袋中取出1个黄球放入乙袋中，再从乙袋中取出1个红球”，根据题意知所求概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝12×35＋12×25＝12.故选B.答案：B5．[2019·合肥质检]某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球，若与第一次取出的两个小球号码相同，则中奖．按照这样的规则摸奖，中奖的概率为( )A.45B.1925C.2350D.41100解析：分为两个互斥事件：记“第一次取出的两球号码连号中奖”为事件A ，记“第二次取出的两球与第一次取出的未中奖的两球号码相同中奖”为事件B ，则由题意得P (A )＝4C 25＝25，P (B )＝C 25－4C 25C 25＝350，则每位顾客摸球中奖的概率为P (A )＋P (B )＝25＋350＝2350，故选C.答案：C6．[2019·石家庄质检]袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”、“谐”、“校”、“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率．利用电脑随机产生1到4之间(含1和4)取整数值的随机数，分别用1,2,3,4代表“和”、“谐”、“校”、“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：343 432 341 342 234 142 243 331 112 342 241 244 431 233 214 344 142 134 由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为( ) A.19 B.16 C.29D.518解析：由18组随机数得，恰好在第三次停止摸球的随机数是142,112,241,142，共4组，所以恰好第三次就停止摸球的概率约为418＝29，故选C.答案：C7．[2019·广州综合测试]刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O ，圆O 的半径为2，现随机向圆O 内投放a 粒豆子，其中有b 粒豆子落在正十二边形内(a ，b ∈N *，b <a )，则圆周率的近似值为( )A.b aB.a bC.3a bD.3b a解析：依题意可得360°12＝30°，则正十二边形的面积为12×12×2×2×sin30°＝12.又圆的半径为2，所以圆的面积为4π，现向圆内随机投入a 粒豆子，有b 粒豆子落在正十二边形内，根据几何概型可得124π＝b a ，则π＝3ab，选C.答案：C8．[2019·南昌一模]2021年广东新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率为( )A.136B.116C.18D.16解析：由题意，从政治、地理、化学、生物中四选二，共有C 24＝6(种)方法，所以他们选课相同的概率为16，故选D.答案：D9．[2019·武汉2月调研]已知某口袋中装有2个红球，3个白球和1个蓝球，从中任取3个球，则其中恰有两种颜色的概率是( )A.35B.45C.720D.1320解析：依题意，从口袋中任取3个球，共有C 36＝20(种)取法，从口袋中任取3个球，恰有两种颜色的取法有C 33＋C 22C 13＋C 12C 23＋C 23C 11＝13(种)，所以所求的概率P ＝1320，故选D.答案：D10．[2019·洛阳统考二]如图所示，三国时代数学家在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)，设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计，取3≈1.732)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )A ．20B ．27C ．54D ．64解析：设大正方形的边长为2，则小正方形的边长为3－1，所以向弦图内随机投掷一颗米粒，落入小正方形(阴影)内的概率为(3－1)24＝1－32，向弦图内随机抛掷200颗米粒，落入小正方形(阴影)内的米粒数大约为200×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32≈27，故选B. 答案：B11．[2019·石家庄一模]袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取2个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为( )A.16B.13C.12D.15解析：设“第二次摸到红球”为事件A ，“第一次摸到红球”为事件B ，∵P (A )＝2×1＋2×24×3＝12，P (AB )＝24×3＝16，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝13，∴在第二次摸到红球的条件下，第一次摸到红球的概率为13，故选B.答案：B12．[2019·武汉4月调研]大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为( )A.112B.12C.13D.16解析：依题意，小明与另外3名大学生分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学的分配方法是1个学校2人，另外2个学校各1人，共有C 24A 33＝36(种)分配方法，若小明必分配到甲村小学，有C 23A 22＋C 13A 22＝12(种)分配方法，根据古典概型的概率计算公式得所求的概率为1236＝13，故选C. 答案：C13．[2019·武汉4月调研]为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，他前一球投进则后一球投进的概率为34，他前一球投不进则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34，则他第2球投进的概率为( )A.34 B.58 C.716D.916解析：设篮球运动员投进第n －1(n ≥2，n ∈N *)个球的概率为P n －1，第n －1个球投不进的概率为1－P n －1，则他投进第n 个球的概率为P n ＝34P n －1＋14(1－P n －1)＝14＋12P n －1，∴P n －12＝12⎝⎛⎭⎪⎫P n －1－12.∴P n －12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫P 1－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1×14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.∴P n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＋12(n ∈N *)，∴P 2＝58.故选B.答案：B14．[2019·福建质检]某商场通过转动如图所示的质地均匀的6等分的圆盘进行抽奖活动，当指针指向阴影区域时为中奖．规定每位顾客有3次抽奖机会，但中奖1次就停止抽奖．假设每次抽奖相互独立，则顾客中奖的概率是( )A.427B.13C.59D.1927解析：记顾客中奖为事件A ，恰抽1次就中奖为事件A 1，恰抽2次中奖为事件A 2，恰抽3次中奖为事件A 3.每次抽奖相互独立，每次抽奖中奖的概率均为13，∴P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝13＋23×13＋23×23×13＝1927，故选D.答案：D15．[2019·济南模拟]2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁APP 抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为( )A.16B.13C.23D.56解析：通解：若小王和小李都没被选中，则有C 22种方法，若小王和小李有一人被选中，则有C 12C 12种方法，故所求概率P ＝C 22＋C 12C 12C 24＝56. 优解：若小王和小李都被选中，则有1种方法，故所求概率P ＝1－1C 24＝56.答案：D二、填空题16．[2019·惠州调研]某公司招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一部门，另3名电脑编程人员不能都分给同一部门，则不同的分配方案种数是________．解析：由题意可得，①甲部门要2个电脑编程人员，则有3种情况；2名英语翻译人员的分配方法有2种．根据分步乘法计数原理，分配方案共有3×2＝6(种)．②甲部门要1个电脑编程人员，则有3种情况；2名英语翻译人员的分配方法有2种．根据分步乘法计数原理，分配方案共有3×2＝6(种)．由分类加法计数原理，可得不同的分配方案共有6＋6＝12(种)．答案：1217．[2019·合肥调研]将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入3×3方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不同列，且不在3×3方格图所在正方形的同一条对角线上，则不同的放法共有________种.解析：要想任意两颗棋子不在同一行、同一列和同一条对角线上，则三颗棋子必有一颗在正方形方格的顶点，另两颗在对角顶点的两侧，如图所示，由于正方形有四个顶点，故有四个不同的相对位置，又三颗棋子颜色不同，故不同的放法共有4A33＝24(种).答案：2418．[2019·开封定位考试]从甲、乙等5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，乙只能参加数学竞赛，则不同的参赛方案种数为________．解析：分三种情形讨论：①甲、乙都选，不同的参赛方案有C12A23＝12(种)；②选乙不选甲，不同的参赛方案有A33＝6(种)；③选甲不选乙，不同的参赛方案有C13A33＝18(种)．所以满足条件的不同的参赛方案种数为12＋6＋18＝36.答案：3619．[2019·江西五校联考](x2＋1)(x－1)5的展开式中含x5的系数为________．解析：在(x 2＋1)(x －1)5的展开式中要想出现x 5，有两种可能，其一，在第一个多项式中取x 2，在第二个展开式中取C 25x 3(－1)2，即x 2C 25x 3(－1)2＝10x 5；其二，在第一个多项式中取1，在第二个展开式中取C 05x 5，即1×C 05x 5＝x 5.10x 5＋x 5＝11x 5，所以x 5的系数为11.答案：1120．[2019·郑州质量预测一]已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x 2n 的展开式的各项系数和为64，则展开式中x3的系数为________．解析：令x ＝1，得2n ＝64，解得n ＝6，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x 26的展开式的通项T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 6－r x 2r ＝C r6x 3r －6，令3r －6＝3，得r ＝3，故x 3的系数为C 36＝20.答案：2021．[2019·山西八校联考]如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．解析：设半圆的半径为2，则长方形的宽为2，长为4，长方形的面积为2×4＝8.在阴影中作如图所示的辅助线，则易知S阴影＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22×2π3－12×2×2×si n 2π3＝8π3－2 3.所以此点取自阴影部分的概率是8π3－238＝π3－34.答案：π3－3422．[2019·福州质量抽测]甲、乙、丙三位同学独立解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为12，13，14，则有人能够解决这个问题的概率为________．解析：这个问题没有被解决的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，故有人能够解决这个问题的概率为1－14＝34. 答案：34。