1.3向量的乘积运算

1) 向量内积的定义
在物理学中,一个物体在常力F作用下沿直线移动的位移为S, 则力F所做的功
W F S cos
其中 为F与S的夹角.这里的功W是由向量F和S按上式确
定的一个数量.在实际问题中,有时也会遇到这样的情况.
定义 两个向量a和b的模与它们夹角余弦的乘积,称为向量a 和b的内积(也称数量积、点积、数积等),记作a·b或ab,即
ab
ax2

a
2 y

az2
bx2 by2 bz2
由此公式可以看出,两个向量垂直的充要条件是
axbx ayby azbz 0 .
4) 向量内积的基本应用
由上面的讨论可知,向量的内积有以下三个方面的基本应用：
① 求长度(模长公式、距离公式);
② 求角度(夹角公式);
③ 证明垂直问题(垂直条件).
所以
abba.
(2) 分配律 (a b) c a c b c；
因为当 c 0 时,上式显然成立;当 c 0 时,有
(a b)c c Pr jc (a b),
由射影性质,可知 Pr jc (a b) Pr jca + Pr jcb ,
所以(a b)c c Pr jc (a b) c Pr jca + c Pr jcb a c b c . (3) 数乘结合律 (a) b a (b) (a b).
a b a b cos, (a, b).
注意：两向量的内积是一个数量.
2) 向量内积的性质
由内积的定义可以得到以下结论：
(1) (内积的几何意义) a b a Prjab b Prjba ,特别地,若e
为单位向量,则 a e Prjea； (2) (模长公式)a a a2 a 2 ； 这是因为夹角 0 ,所以 a a | a |2 cos 0 a 2 .
1.3 向量的乘积运算
( Vector Production)
与数量的乘积不同的是,向量的乘积运算有向量的内积、向 量的外积、三向量的混合积等多种形式.在学习中要注意它们与 数量乘积运算的区别与联系,以及向量的几种乘积运算之间的关 系.
1.3.1 向量的内积
(Inner Product of Vector)
例2 证明平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.
证明 如图,在平行四边形OABC中,设两边OA a, OB b ,对
角线 OC m, BA n ,则 m a b, n a b ,于是
m2 (a b)2 a2 2a b b2,
所以 即
n2 (a b)2 a2 2a b b2, m2 n2 2(a2 b2 ),
a b (axi ay j azk) (bxi by j bzk) axbx ayby azbz .
这就是两个向量的内积的坐标表示式.即两个向量的内积等于它
们对应坐标乘积之和. 根据内积的定义,可以给出两个非零向量的夹角公式：
cos θ=
ab
axbx ayby azbz
a·b＝a·c, a≠0 不能得出 b＝c,
特别地,
a·b＝0不能得出a＝0或 b＝0.
此外,向量的内积不存在结合律,即a·b·c无意义.
例1 (1) (a+b)(a-b)=a·a-a·b+a·b-b·b=a2-b2;
(2) (a+b)2=ห้องสมุดไป่ตู้a+b)(a+b)=a2+2a·b+b2;
(3) (2a+b-c)(3a-2b+2c)
(1) 因为 BA AC 2 2 4 0,
所以BA⊥AC ,即ABC是直角三角形.
(2) 因为
cos B BA BC 2 1 8 , BA BC 3 18
1 ，（注意向量的方向及夹角）
所以 ∠B .
2
4
1.3.2 向量的外积 (Exterior Product of Vector)
=6a2-4a·b+4a·c+3a·b-2b2+2b·c-3c·a+2c·b-2c2
=6a2-2b2-2c2-a·b+a·c+4b·c.
3) 向量内积的坐标运算
下面在直角坐标系下,推导两个向量内积的坐标表示式.设
a (ax , ay , az ) axi ay j azk, b (bx , by , bz ) bxi by j bzk , 根据内积的运算规律可得
这是因为当b=0时,上式显然成立;当 b 0 时,按射影性质,可得
(a)b b Pr jb(a) b Pr jba b Pr jba = (a b).
根据向量内积的运算规律,可以得出如下结论：向量的内
积运算,可以像代数多项式一样展开.
要注意向量的内积不满足消去律,即
m2 n 2 2( a 2 b 2 ).
例3 试确定λ的值,使a=(λ, - 3, 2)与 b=(1, 2, - λ) 相互垂直.
解 a b a b = 6 2 0 6.
例4 已知,求证是直角三角形,并求∠B.
证明 如图, BA (2,1, 2) ,BC (1, 1, 4),AC (1, 2, 2)，
(3)(向量垂直条件)两个非零向量a,b相互垂直的充要条件
是 ab 0.
这是因为如果 a b 0,由于a 0 即a b ;反之,如果a b ,那么
, b 0,所以 cos , cos 0,于是有
0,从而


2
,
2
a b a b cos 0.
由此推出 i j j k k i 0, i i j j k k 1
两个向量的内积满足下列运算规律：
(1) 交换律 a b b a；
根据定义有 a b a b cos(a,b), ba b a cos(b,a).
而
a b b a ，且 cos (a, b) cos (b, a).