专题正态分布

三、正态分布的随机变量函数的分布：
1. 设X ,Y相互独立且X ~ N ( μ1,σ12 ), Y ~ N ( μ2,σ22 ).
则Z

X
Y
~
N ( μ1

μ2 , σ12

σ
2 2
).
Z

X
Y
~
N ( μ1

μ2 , σ12

σ
2 2
).
2.
设
X i
~
N
(
μi
,
σ
2 i
),
i
1,
2,
和 N(1,1),则（ B ）
A. P{X Y 0} 1 2
C. P{X Y 1} 1 2
B. P{X Y 1} 1 2
D. P{X Y 1} 1 2
10. (08 1)设 X ~ N (0,1),Y ~ N (1,4),且 XY 1, 则（ D ）
8. 设 X ,Y 相互独立，且都服从 N(0,1),则（D ）
A. P{X Y 0} 1 4
C. P{max{X ,Y } 0} 1 4
B. P{ X Y 0} 1 4
D. P{min{X ,Y } 0} 1 4
9. (99 1) 设 X ,Y 相互独立分 ，别服从N(0,1)和
4. 设 X1, , X10; Y1, , ,Y15 相互独立， 都服从 N (20,3), 则 X Y ~ __N__(_0_, _1_)__.
2
5. 设 X ~ N(2, 22 )，且aX b ~ N(0,1),则a, b
取 值 为_a___1_,_b____1_或__a____1__, b___1_. _ .
E|



|

2
____________
.
12. (09 1)设 X 的分布函数为
F ( x) 0.3( x) 0.7 ( x 1), 2
其中( x)为标准正态分布函数,则E( X ) （ A ）
A. 0 B. 0.3 C. 0.7 D.1
A. X Y 服从正态分布 B. X 2 Y 2 服从 2 分布 C. X 2和Y 2 服从 2 分布 D. X 2 / Y 2 服从 F 分布
3. (90) 设随机变量X ~ N(3,1),Y ~ N(2,1),且 X ,Y 相互独立，则随机变量Z X 2Y 7的
概率分布为___Z__~__N__(0__,5_)___ .
2
2
6. (02 1) 设随机变量 X ~ N (, 2 ), ( 0)且
二次方程y2 4 y X 0 无实根的概率为1， 2
则 ____4______.
7. (06 1)设 X ~ N (1 , 12 ),Y ~ N (2 , 22 ), 且
P{| X 1 | 1} P{| Y 2 | 1},则（ A ） A.1 2 B.1 2 C. 1 2 D. 1 2
A. P{Y 2X 1} 1 B. P{Y 2X 1} 1 C. P{Y 2X 1} 1 D. P{Y 2X 1} 1
11. (96 1)设 , 是两个相互独立且均服从 N (0, 1 )
2
的随机变量，则随机变量| |的数学期望
X ~ N (1 , 12 ), Y ~ N (2 , 22 ).
反之，
若 X ~ N (1 , 12 ), Y ~ N (2 , 22 )，
且 X,Y 相互独立，则有
(X ,Y )
~
N
(
1
,
2
;
2 1
,
2
2
;
0
).
3. n 维正态变量的性质
1 n 维正态随机变量( X1, X2, , Xn )的每一 个分量 Xi , i 1, 2, , n 都是正态随机变量;
,n 相互独立，则
n
n
n
Xi ~ N (
μi ,
σ
2 i
).
i 1
i 1
i 1
3.
设
X i
~
N
(
μi
,
σ
2 i
),
i

1, 2,
,n 相互独立，则
n
n
n
ai X i ~ N ( ai μi ,
ai
2σ
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2 i
)
i 1
i 1
i 1
其中ai（, i 1, 2, , n）不全为0.
反之, 若 X1, X2 , , Xn 都是正态随机变量, 且相互独立,则( X1, X2 , , Xn ) 是 n 维正态随机变 量.
2 n 维随机变量( X1, X2 , , Xn )服从 n 维正 态分布的充要条件：X1 , X2 , , Xn 的任意的线 性组合 l1 X1 l2 X 2 ln X n 服从一维正态分布.
3 若( X1, X2 , , Xn )服从 n维正态分布 , 设 Y1, ,Yk是 X j ( j 1,2, ,n) 的线性函数 , 则(Y1,Y2 , ,Yk )也服从多维正态分布.
这一性质称为正态变量的线性变换不变性
4设( X1, , X n )服从 n维正态分布 ,则“X1 , X 2 , , X n 相互独立”与“X1 , X 2 , , X n 两两 不相关”是等价的.
Y aX b(a 0)也服从正态分布, 且有 Y aX b ~ N (a b, (a )2 ) .
2. 二维正态分布相关结论
1o
(X
,Y
)
~
N
(1,

2
,

2 1
,
2 2
,
)
则 X ,Y不相关
X,Y 相互独立
2o 若( X ,Y ) ~ N (1 , 2; 12 , 22; ),则
一、考研真题中涉及的 5 个正态分布问题： 1. 正态分布下的概率与数字特征计算； 2. 二维正态分布下的边缘分布、随机变量 函数的分布； 3. 二维正态分布下相关性与独立性的性质； 4. 中心极限定理； 5. 在数理统计中服从正态总体的抽样函数 的分布.
二、正态分布的重要性质及结论
1. 设 r.v. X ~ N (, 2 ) . 则 X 的线性函数
4. 若 X1, X 2 , , X n 相互独立，同服从 N (0,1)，则
n
Xi2 ~ 2(n)
i 1
5. 若 X ~ N (0,1),Y ~ 2(n), X ,Y 相互独立，则
X ~ t(n) Y
n
6. 若 X ~ 2(n1 ),Y ~ 2(n2 ), X ,Y 相互独立，则
X Y ~ F (n1, n2 )
练习题
1. (03 4) 设随机变量 X ,Y都服从正态分布，且
它们不相关则，（C ）
A. X与Y一定独立 B. ( X ,Y ) 服从二维正态分布 C. X与Y未必独立 D. X Y 服从一维正态分布
2. (02 3)设 X ~ N(0,1) , Y ~ N(0,1) , 则（ C ）