概率论-5分布函数、连续型

其中k为比例常数, 又因为P{0X 1}=1, 故k =1. 当x>1时, X x , F ( x) P X x 1
综上所述, X的分布函数为
0 2 F ( x) x 1 x0 0 x1 x1
1
1
用分布函数描述随机变量不如分布律直观, 对非离散型随机变量,是否有更直观的描述方法?
dF ( x ) f ( x) dx
Th1( 密度函数的特征性质)
(1) 非负性 f (x)0, (2) 规范性 (－<x<＋);



f ( x )dx＝ 1.
注1 改变概率密度函数f(x)在个别点的函数值不 影响公式(2)规范性, 故对固定的分布函数, 概率 密度函数不唯一. 注2 满足上述两条性质的函数必是某一随机变量 的密度函数. 故常利用这两个性质检验一个函数 能否作为连续性 r.v.的 p.d. f. (求f(x)中未知参数!)
定理1.(分布函数的特征性质)
(1)(非降性)F(x)单调不减，即
F(x)=P{X≤x}
x1 x2 , F ( x1 ) F ( x2 ) (2)(有界性) 0 F ( x) 1
x x
lim F ( x ) F F X 0; lim F ( x ) F F X 1;
Th2 设连续型r.v.X 的分布函数(c.d.f.)为F(x), 概率 分布密度函数为f(x), 则 (1) F(x)为连续函数; (——求F(x)中未知参数!) (3)对任意实数c, 则P{X=c}＝0.
x 0
dF ( x ) (2) 若x是f(x)的连续点, 则 f ( x) dx
因为:
(1)求X的分布函数F(x), 并画出F(x)的图形； (2)求P 1 X 1 , P{ X 3} 解 (1)由于X只可能取, 0, 1, 2, 故 当x<0时,
X x ,
F ( x) P{X x} 0
当0≤x<1时,Fra Baidu bibliotek
X x X 0, F ( x) 0.2
lim F ( x ) F ( x0 )
(3)(右连续性) F(x) 右连续，即
x x0
用分布函数表示概率 P ( a X b) F (b) F (a )
P ( X a ) 1 P ( X a ) 1 F (a )
P ( X a ) F (a ) F (a 0)
注1 分布函数也可定义为 F ( x) PX x
这样定义的分布函数仍满足性质1－3，但性质3
应改为左连续性。
注2 任一函数F ( x ) 为分布函数的充分必要条件 为：F ( x )满足上述三条性质。
二、举例 例1 设离散型随机量是X 的概率分布为 X
P
0 1 ２ 0.2 0.5 0.3
当1≤x<2时, X x X 0 或 1 X 0 X 1
F ( x) PX x 0.7
当2≤x时,
X x ,
F ( x) P X x 1
归纳上述结果得
0, x 0 0.2, 0 x 1 F ( x ) P{ X x } 0.7,1 x 2 1, x 2 (2)P X 3 F (3) 1,
(4) P a X b P a X b P (a X b )
定义 设X是随机变量, F(x)是它的分布函数. 若存 在一个非负可积函数 f(x)(－<x<＋), 使得 x F ( x )＝P ( X x )＝ f (u)du

则称X是连续型r.v., f(x)是它的概率密度函数(p.d.f.) 由定义可知, 连续型随机变量的分布函数是 连续函数, 是密度函数的变上限的定积分. 由上式可得,在f (x)的连续点,
解 当 x<0时, X x
例2 向平面上半径为1的圆D内任意投掷一个质点, 以X表示该质点到圆心的距离. 设这个质点落在D中 任意小区域内的概率与这个小区域的面积成正比 , 试求X的分布函数.
F ( x) PX x 0
当0≤x≤1, 可得
X x 0 X x 2 F ( x) P X x kx
P 1 X 1 P X 1 P 1 X 1
=0+F(1)－F(－1)=0.7
1 0.7 0.2 0 1 2 不难看出,F(x)的图形是阶梯状的,在x = 0,1,2 处有跳跃,其跃度分别等于
P X 0 , P X 1 , P X 2 .
F(x)单调非降右连续,满足分布函数三条基本性质
一般地,若离散型随机变量X的分布律为
P ( X xk ) pk , k 1,2,
X P
x1 p1
x2 p2
… …
xk pk
… …
则其分布函数为
F ( x ) P{ X x}
xi x
p
i
其中 表示对满足的 xi x 一切下标i求和。 x x
a
b p{a X b} ?
请看下节！
总结
一、定义 二、举例
若离散型随机变量X的分布律为
P ( X xk ) pk , k 1,2,
则其分布函数为
F ( x ) P{ X x}
xi x
p
i
作业：P33
10，11，12.
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2.4 连续型随机变量 一、连续型 r.v.的概念
i
注意: F(x)是(-,+)上的分段阶梯函数,间断点就 是随机变量X的取值点, 除最左边那段是开区间外, 其余各段都是左闭右开的区间. 特别地，若随机变量以概率1取常数，即
P( X C ) 1
则称这个分布为单点分布或退化分布，它的 分布函数为 0 x c F ( x) 1 x c