2020高一数学新教材必修1教案学案 2.3 二次函数与一元一次方程、不等式(解析版)

4＋2m＋4≤0
m≤－4
7
【思路总结】
一、求不等式恒成立问题中参数范围的常见方法：
1.利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在 R 上的恒成立问题， 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则
f(x)＞0 恒成立 a＞0 且Δ＜0； f(x)≥0 恒成立 a＞0 且Δ≤0； f(x)＜0 恒成立 a＜0 且Δ＜0； f(x)≤0 恒成立 a＜0 且Δ≤0．
得 a 1 c 0 ，即 a c 1，故选：A.
2．（2019·藁城市第一中学高一月考）设
a
1
，则关于
x
的不等式
(1
a)(
x
a)
x
1 a
0
的解集是（
）
A．
(,
a)
1 a
,
B． a,
C．
a,
1 a
D．
,
1 a
a,
【答案】D
【解析】a＞1 时，1﹣a＜0，且 a＞ 1 ， a
则关于
当 a＝1 时，解集为∅；
当 a＞1 时，解集为{x|1＜x＜1}． a
2．当 a 为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0 的解集为 R?
【答案】见解析
【解析】①当 a2－1＝0 时，a＝1 或－1.
4
若 a＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．
若 a＝－1，则原不等式为 2x－1<0 即 x<1，不合题意，舍去． 2
(1)当 a＝1 时，由(*)式可得 x∈∅；
(2)当 a＞1 时，由(*)式可得1＜x＜1； a
(3)当 0＜a＜1 时，由(*)式可得 1＜x＜1. a
综上所述：当 a＜0 时，解集为{x|x＜1或 x＞1}； a
当 a＝0 时，解集为{x|x＞1}；
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当 0＜a＜1 时，解集为{x|1＜x＜1}； a
立，则 k 的取值范围是（ ）
A． 0 k 1
B． 0 k 1
C． k 0 或 k 1 D． k 0 或 k ³ 1
(2)已知 f(x)＝x2＋2x＋a，对任意的 x∈[1，＋∞)，f(x)≥0 恒成立，求 a 的取值范围． x
(3)当 x∈(1,2)时，不等式 x2＋mx＋4<0 恒成立．则 m 的取值范围是________．
【触类旁通】
1．（2019·北京丰台二中高二期末）已知关于 x 的不等式 ax2 x c 0 的解集为 x | 1 x 2 ，则 a c 等于
（）
A． 1
B．1
C． 3
D．3
【答案】A
【解析】由题得 1、2 为方程 ax2 x c 0 的根，将 1代入 ax2 x c 0 ，
当－2＜a＜2 时，Δ＜0，方程无实根，不等式的解集为
若 a＝－2 时，Δ＝0，方程有两个相等的实根 x1＝x2＝－1，不等式的解集为{x|x＝－1} 若 a＝2 时，Δ＝0，方程有两个相等的实根 x1＝x2＝1，不等式的解集为{x|x＝1}
x1，2 a
当 a＜－2 或 a＞2 时，Δ＞0，方程有两个不相等的实根
【触类旁通】
1 解关于 x 的不等式：ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R)．
【答案】见解析
【解析】若 a＝0，原不等式可化为－x＋1＜0，即 x＞1.
若 a＜0，原不等式可化为(x－1)(x－1)＞0，即 x＜1或 x＞1.
a
a
若 a＞0，原不等式可化为(x－1)(x－1)＜0.(*) a
其解的情况应由1与 1 的大小关系决定，故 a
a2 4
2
，不等式的解集为
a a2 4 a a2 4
{x|
2
≤x≤
2
}
（3）原不等式可化为：(ax＋1)(x－1)＜0，
当 a＝0 时，x＜1，
当
a＞0
时
x＋1 a
(x－1)＜0∴－1＜x＜1.
a
当 a＝－1 时，x≠1，
当－1＜a＜0
时，
x＋1 a
(x－1)＞0，∴x＞－1或
x＜1.
a
当 a＜－1 时，－1＜1，∴x＞1 或 x＜－1，
次函数 y＝2x2－3x＋2 的图象开口向上，所以原不等式的解集为 R
x2 3x 2 ①
（7）原不等式等价于
x
2
3x
10
，①可化为 x2－3x＋2＞0，解得 x＞2 或 x＜1
②
②可化为 x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5．故原不等式的解集为[－2，1)∪(2，5]
【思路总结】
解不含参数的一元二次不等式有以下 3 种方法： 方法一：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式， 则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集． 方法二：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大 于或等于零，不等式的解集易得． 方法三：则采用求一元二次不等式解集的通法——判别式法．
（2）解关于 x 的不等式：x2－ax＋1≤0(aR)；
（3）解关于 x 的不等式：ax2－(a－1)x－1＜0(a∈R)．
【答案】见解析
【解析】（1）方程 x2＋(1－a)x－a＝0 的解为 x1＝－1，x2＝a，函数 y＝x2＋(1－a)x－a 的图象开口向上，则 当 a＜－1 时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}； 当 a＝－1 时，原不等式解集为∅； 当 a＞－1 时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}． （2）对于方程 x2－ax＋1＝0，其判别式Δ＝a2－4＝(a－2) (a＋2)
a
a
综上原不等式的解集是：当 a＝0 时，{x|x＜1}；
x|－1＜x＜1
当 a＞0 时， a
；
3
当 a＝－1 时，{x|x≠1}；
当－1＜a＜0
时，
x|x＜1
或
x＞－1 a
.
x|x＜－1或 x＞1
当 a＜－1 时，
a
，
【思路总结】
解含参数的一元二次不等式时
（1）关于不等式类型的讨论：二次项的系数 a＞0，a＝0，a＜0； （2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ＜0)； （3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2．
a≥－3.所求不等式的解集为{x|－3＜x＜1}. 2
(3)构造函数 f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，则 f(x)在[1,2]上的最大值为 f(1)或 f(2)．
由于当 x∈(1,2)时，不等式 x2＋mx＋4<0 恒成立．
则有 f(1)≤0
1＋m＋4≤0 ⇔
m≤－5
⇔
⇔m≤－5.
f(2)≤0
根据 y＝x2－2x＋1 的图象(如图(3)所示)，可得不等式 x2－2x＋1<0 的解集为∅.
2
(4)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，∴x＝1，∴4x2－4x＋1≤0 的解集为{x|x＝1}．
2
2
运用二 解一元二次不等式（含参数） 【例 2】(1)解关于 x 的不等式 x2＋(1－a)x－a＜0.
注：当未说明不等式是否为一元二次不等式时，先讨论 a＝0 的情况． 2,。将参数分离出来，利用等价转化思想转化为求函数的最值问题（转化为 f(x)＞a 或 f(x)≥a 或 f(x)＜a 或 f(x)≤a 恒成立的问题）即： （1）存在成立
即3
x2 1
x
3
4
0
解得
x
1,
4 3
故答案选
B
5
【思路总结】
1．一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根， 也是函数 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标． 2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象在 x 轴上方的部分，是由不等式 ax2＋bx＋c＞0 的 x 的值构 成的；图象在 x 轴下方的部分，是由不等式 ax2＋bx＋c＜0 的 x 的值构成的，三者之间相互依 存、相互转化．
A． 7
B． 7
C．11
D． 11
（2）（2019·陕西高二期末（文））不等式 ax2 bx c 0 的解集为 4,1 ，则不等式
b x2 1 a x 3 c 0 的解集为（ ）
A．
4 3
,1
B．
1,
4 3
C．
,
4 3
1,
D．
1,
4 3
,
【答案】（1）A（2）B
【解析】（1）由题得
【答案】(1)A(2){x|－3＜x＜1}.(3) (－∞，－5] 2
【解析】(1)当 k 0 时，不等式为 8 0 恒成立，符合题意；
当 k 0 时，若不等式 kx2 6kx k 8 0 对任意 x R 恒成立，
则 36k 2 4k(k 8) 0 ，解得 0 k 1 ；
（6）－2x2＋3x－2＜0；
【答案】（1）{x | x 1或 x 4}；（2）{x | 3 x 4} ；（3）{x | x 4 或 x 1} ； 3
（4）{x | x 4} .(5) (6)R(7)[－2，1)∪(2，5]
【解析】（1）由题意，不等式 3x2 x 4 (x 1)(3x 4) 0 ，则不等式的解集为{x | x 1或 x 4}； 3
（2）由题意，不等式 x2 x 12 (x 4)(x 3) 0 ，则不等式的解集为{x | 3 x 4} ；
1
（3）由题意，不等式 x2 3x 4 (x 4)(x 1) 0 ，则不等式的解集为{x | x 4 或 x 1} ；
（4）由题意，不等式 16 8x x2 (x 4)2 0 ，则不等式的解集为{x | x 4} ；
{x | x 3} ．
(3)∵ 3x2 8x 4 0 ，∴ (x 2)(3x 2) 0 ，∵函数 y 3x2 8x 4 的图象开口向下，且与 x 轴的
交点为（2，0），（ 2 ，0），∴原不等式的解集为{x | 2 x 2} ．
3
3
(3)方程 x2－2x＋1＝0 有两个不同的解 x1＝x2＝1.
当 k 0 时，不等式 kx2 6kx k 8 0 不能对任意 x R 恒成立。
综上， k 的取值范围是 0 k 1.
(2)∵x≥1，∴f(x)＝x2＋2x＋a≥0 恒成立等价于φ(x)＝x2＋2x＋a≥0(x≥1)恒成立．又等价于当 x≥1 时，φ(x)的最 x
小值大于等于 0 恒成立．∵φ(x)＝(x＋1)2＋a－1 在 x≥1 上是增函数，∴φ(x)min＝φ(1)＝a＋3，∴a＋3≥0，∴
2 (2)
3 a 3 b
,
a
1,
b
6
，所以
a+b=7.故选：A
（2）由题意知： 4,1是方程 ax2 bx c 0 的两个解，代入方程得到
4 1 41
c a
b a
b
3a, c
4a
，
a
0
不等式 b x2 1 a x 3 c 0 可化为： 3a x2 1 a x 3 4a 0
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
运用一 解一元二次不等式（无参数）
【例 1】解下列不等式：
（1） 3x2 x 4 0 ；
（2） x2 x 12 0 ；
（3） x2 3x 4 0 ；
（4） 16 8x x2 0 ．
（5） 1 x2＋3x－5＞0 2
（7）－2＜x2－3x≤10．
x
的不等式
1
a
x
a
x
1 a
＜0
可化为（x﹣a）（x
1 a
）＞0，
解得 x＜ 1 或 x＞a，所以不等式的解集为（﹣∞， 1 ）∪（a，+∞）．故选：D．
a
a
运用四 恒成立问题
6
【例 4】（1）（2019·江苏省天一中学高一期末）已知关于 x 的不等式 kx2 6kx k 8 0 对任意 x R 恒成
（5）原不等式可化为 x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程 x2－6x＋10＝0 无实根，又二次函
数 y＝x2－6x＋10 的图象开口向上，所以原不等式的解集为
（6）原不等式可化为 2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程 2x2－3x＋2＝0 无实根，又二
a2－1<0， ②当 a2－1≠0 时，即 a≠±1 时，原不等式的解集为 R 的条件是
Δ＝[－(a－1)]2＋4(a2－1)<0.
解得－3<a<1.综上，a 的取值范围是
－3，1 5
.∴原不等式解集为(－∞，a]∪[1，＋∞).
5
a
运用三 三个二次之间的联系
【例 3】（1）已知关于 x 的不等式 x2 ax b 0 的解集是 (2,3) ， a b 的值是（ ）
【触类旁通】
1. 解关于 x 的不等式 (1) x2 6x 9 0 ． (2) 3x2 8x 4 0 (3)x2－2x＋1<0(4)(4)4x2－4x＋1≤6；
【答案】(1){x | x 3} (2){x | 2 x 2} (3)∅(4){x|x＝1}．
3
2
【解析】(1)∵函数 y x2 6x 9 的图象开口向上，且与 x 轴有唯一的公共点（3，0），∴原不等式的解集为