2019年北京海淀区初三上数学期中试卷及答案
2019-2020海淀区初三上学期期中数学试卷及答案
2019~2020学年北京海淀区初三上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. A.，， B.，， C.，， D.，，一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）．3-x -2=0x 23-1-231-23-123122. A. B. C. D.里约奥运会后，受到奥运健儿的感召，群众参与体育运动的热度不减，全民健身再次成为了一种时尚，球场上也出现了更多年轻人的身影．请问下面四幅球类的平面图案中，是中心对称图形的是（ ）．3. A. B. C. D.用配方法解方程，配方正确的是（ ）．+6x +2=0x 2=9(x +3)2=9(x -3)2=6(x +3)2=7(x +3)24. A. B. C. D.如图，小林坐在秋千上，秋千旋转了，小林的位置也从点运动到了点，则的度数为（ ）．80°A A ′∠OAA ′40°50°70°80°5. A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向上平移个单位D.向下平移个单位将抛物线平移后得到抛物线，则平移方式为（ ）．y =2x 2y =2+1x 211116. A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.无法确定在中，，以点为圆心，以长为半径作圆，点与该圆的位置关系为（ ）．△ABC ∠C =90°B BC A A A A二、填空题（本题共18分，每小题3分）A. B. C. D.π2π3π4π8. A. B. C. D.已知是关于的方程的根，则的值为（）．2x +ax -3a =0x 2a -442459. A.， B.，C. D.，给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．函数，则方程的解是（）．y =x n =n y ′x n -1=y 1x 4=4y 1′x 3=y 2x 3=12y 2′=4x 1=-4x 2=2x 13√=-2x 23√==0x 1x 2=2x 1=-2x 210. A. B. C. D.太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法．为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经度影子最短的时刻．在一定条件下，直杆的太阳影子长度（单位：米）与时刻（单位：时）的关系满足函数关系（，，是常数），如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻是（ ）．120l t l =a +bt +c t 2a b c t 12.751313.3313.511.方程的解为 ．-x =0x 212.请写出一个对称轴为的抛物线的解析式 ．x =313.如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，其中合格的是图 （填“甲”、“乙”或“丙”），你的根据是 ．14.若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ．x -2x -k =0x 2k三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）爱智康15.如图，内接于⊙，，半径的长为，则的长为 ．△ABC O ∠C =45°OB 3AB 16.指居民消费价格指数，反映居民家庭购买消费商品及服务的价格水平的变动情况．的涨跌率在一定程度受到季节性因素和天气因素的影响．根据北京市年与年涨跌率的统计图中的信息，请判断年月份与年月份，同月份比较涨跌率下降最多的月份是 月；请根据图中提供的信息，预估北京市年第四季度涨跌率变化趋势是 ，你的预估理由是 ．CPI CPI 20152016CPI 201518~201618~CPI 2016CPI 17.解方程：．+4x =6x 218.求抛物线的对称轴和顶点坐标，并画出图象．y =-2x x 219.如图，、是半圆上的两点，为圆心，是直径，，求的度数．A D O BC ∠D =35°∠OAC20.已知：，求证：关于的方程有两个不相等的实数根．+2m -3=0m 2x -2mx -2m =0x 221.如图，在等边中，点是边上一点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转后得到，连接．求证：．△ABC D AB CD CD C 60°CE AE AE //BC 22.如图，在线段上找一点，把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被点黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割，已知太和殿到内金水桥的距离约为丈，求太和门到太和殿之间的距离（的近似值取）．1AB C C AB AC CB BC BC ?AB =AC 2AB C 21005√ 2.223.如图是某公园一块草坪上的自动旋转喷水装置，这种旋转喷水装置的旋转角度为，它的喷灌区是一个扇形．小涛同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积，他测量出了相关数据，并画出了示意图．如图，、两点的距离为米，求这种装置能够喷灌的草坪面积．1240°2A B 1824.（1）二次函数图象的开口向 ，顶点坐标是 ，的值为 ．下表是二次函数的部分，的对应值：…………y =a +bx +c x 2x y x -1-120121322523y m 14-1-74-2-74-1142m（2）当时，的取值范围是 ．（3）当抛物线的顶点在直线的下方时，的取值范围是 ．x >0y y =a +bx +c x 2y =x +n n 25.（1）求证：．（2）过点作于点，若，，求的长．如图，在中，，以为直径的⊙分别交，于点，，过点作⊙的切线交的延长线于点，连接．△ABC AB =BC AB O AC BC D E A O BC F AE ∠ABC =2∠CAF C CM ⊥AF M CM =4BE =6AE 26.（1）如果函数图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到的函数图象的表达式为．（2）回答下列问题：1将函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍，得到函数的图象．2将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到图象的函数表达式为．小华在研究函数与图象关系时发现：如图所示，当时，，；当时，，；；当时，，．他得出如果将函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，就可以得到函数的图象．类比小华的研究方法，解决下列问题：=x y 1=2x y 2x =1=1y 1=2y 2x =2=2y 1=4y 2?x =a =a y 1=2a y 2=x y 12=2x y 2y =3x 3y =x 2y =4x 2y =x 2227.（1）的值为 ．（2）若抛物线与轴正半轴交于点，其对称轴与轴交于点，当是等腰直角三角形时，求的值．（3）点的坐标为，若该抛物线与线段有且只有一个交点，求的取值范围．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为．xOy y =+mx +n -1x 2x =2m y A x B △OAB n C (3,0)OC n 28.（1）在菱形中，，为对角线上的一点（不与、重合），将射线绕点顺时针旋转角之后，所得射线与直线交于点．试探究线段与的数量关系．小宇发现点的位置，和的大小都不确定，于是他从特殊情况开始进行探究．ABCD ∠BAD =αE AC A C EB E βAD F EB EF E αβ如图，当时，菱形是正方形．小宇发现，在正方形中，平分，作于，于．由角平分线的性质可知，进而可得≌，并由全等三角形的性质得到与的数量关系为 ．（2）如图，当，时．1依题意补全图形．2请帮小宇继续探究（）的结论是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请举出反例说明．（3）小宇在利用特殊图形得到了一些结论之后，在此基础上对一般的图形进行了探究，设，若旋转后所得的线段与的数量关系满足（）中的结论，请直接写出角，，满足的关系： ．1α=β=90°ABCD AC ∠BAD EM ⊥AD M EN ⊥AB N EM =EN △EMF △ENB EB EF 2α=60°β=120°1∠ABE =γEF EB 1αβγ29.（1）如图，若，，则 ， ．（2）在正方形中，点．1如图，若点在直线上，且，求点的坐标．点到的距离定义如下：点为的两边上的动点，当最小时，我们称此时的长度为点到的距离，记为．特别的，当点在的边上时，．在平面直角坐标系中，．P ∠AOB Q ∠AOB P Q P Q P ∠AOB d(P ,∠AOB )P ∠AOB d(P ,∠AOB )=0xOy A (4,0)1M (0,2)N (-1,0)d(M ,∠AOB )=d(N ,∠AOB )=OABC B (4,4)2P y =3x +4d(P ,∠AOB )=22√P2如图，若点在抛物线上，满足的点有__________个，请你画出示意图，并标出点．3P y =-4x 2d(P ,∠AOB )=22√P P2019~2020学年北京海淀区初三上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）二、填空题（本题共18分，每小题3分）1.【答案】Ａ2.【答案】Ｃ3.【答案】Ｄ4.【答案】Ｂ5.【答案】Ｃ6.【答案】Ａ7.【答案】Ｂ8.【答案】Ｂ9.【答案】Ｄ10.【答案】Ｃ11.【答案】或0112.【答案】y =(x -3)213.【答案】1．2．乙的圆周角所对的弦是直径90°三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）14.【答案】-115.【答案】32√16.【答案】1．2．3．“上涨”、“下降”、“先减后增”都可年月份与年月份，同月份比较涨跌率下降最多的月份中，月下降幅度最大，而相较于月，月的有所增加，但仍是下降趋势8201518~201618~CPI 836~78~CPI 17.【答案】，．=-2+x 110--√=-2-x 210--√18.【答案】对称轴为，顶点为．x =1(1,-1)19.【答案】的度数为．∠OAC 55°20.【答案】证明见解析．21.【答案】证明见解析．22.【答案】太和门到太和殿的距离为丈．6023.【答案】这种装置能够喷灌的草坪面积为平方米．72π24.【答案】（1）1．2．3．上（2）（3）(1,-2)2y ?-2n >-325.【答案】（1）证明见解析．（2）826.【答案】（1）12（2）y =9x4y =14x 227.【答案】（1）（2）（3）或-431?n <4n =528.【答案】（1）．12成立，证明见解析．（2）（3）或．EB =EF α+β=180°++γ=180α2β2°29.【答案】（1）1．2．1，2（2）11(-2,-2)(0,4)4。
2019北京市海淀区初三年级数学期中试题及答案解析
2019北京市海淀区初三年级数学期中试题及答案解析一、 选择题（本题共24分；每小题3分）下列各题均有四个选项；其中只有一个．．是符合题意的． 1．一元二次方程23610x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 A ．3；6；1B ．3；6；-1C ．3；-6；1D ．3；-6；-1 2．把抛物线2y x =向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为A ．21y x =+B ． 21y x =-C ．21y x =-+D ．21y x =--3．如图；A ；B ；C 是⊙O 上的三个点；若∠C =35°；则∠AOB 的大小为 A ．35° B ．55° C ．65°D ．70°4．下列手机手势解锁图案中；是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．5．用配方法解方程2420x x -+=；配方正确的是 A ．2(2=2x -）B ．2(+2=2x ）C ．2(-2=-2x ）D ．2(-2=6x ）6．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n °后能与原来的图案重合；那么n 的值可能是 A ．45 B ．60 C ．90D ．1207．二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y mx n =+的图象如图所示；则满足2ax bx c mx n ++>+的x 的取值范围是A ．-3<x <0B ．x <-3或x >0C ．x <-3或x >1D ．0<x <38．如图1．动点P从格点A出发；在网格平面内运动．设点P走过的路程为s；点P到直线l的距离为d．已知d与s的关系如图2所示．下列选项中；可能是点P的运动路线的是A．B．C．D．二、填空题（本题共24分；每小题3分）9．点P（-1；2）关于原点的对称点的坐标为．10．写出一个图象开口向上；过点（0；0）的二次函数的表达式：．11．如图3；四边形ABCD内接于⊙O；E为CD的延长线上一点；若∠B=110°；则∠ADE的大小为．12．抛物线y=x2-x-1与x轴的公共点的个数是．13．如图4；在平面直角坐标系xOy中；点A、点B的坐标分别为（0；2）；（-1；0）；将线段AB绕点O顺时针旋转；若点A的对应点A´的坐标为（2；0）；则点B的对应点B´的坐标为．14．已知抛物线y=x2+2x经过点（-4；y1）；（1；y2）；则y1y2（填“＞”；“＝”或“＜”）15．如图5；⊙O的半径OA与弦BC交于点D；若OD=3；AD=2；BD=CD；则BC的长为．16．下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．请回答：该尺规作图的依据是 ．三、解答题（本题共72分；第17题4分；第18—23题；每小题5分；第24—25题；每小题7分；第26—28题；每小题8分） 17．解方程：x 2-4x +3=0．已知：△ABC求作：BC 边上的高AD 作法：如图；（1）分别以点A 和点C 为圆心；大于12AC 的长为半径作弧；两弧相交于P 、Q 两点； （2）作直线PQ ；交AC 于点O ；（3）以O 为圆心；OA 为半径作⊙O ；与CB 的延长线交于点D ；连接AD ；线段AD 即为所作的高.18．如图；等边三角形ABC的边长为3；点D是线段BC上的点；CD=2；以AD为边作等边三角形ADE；连接CE；求CE的长．19．已知m是方程的一个根；的值．20．如图；在⊙O中；. 求证：∠B=∠C．21．如图；ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃．园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状．其中点E在AB边上；点G在AD的延长线上；DG=2BE．设BE的长为x米；改造后苗圃AEFG 的面积为y平方米（1）y与x之间的函数关系式为________________（不需写自变量的取值范围）；（2）根据改造方案；改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等；请问此时BE的长为多少米？22. 关于的一元二次方程011222=-+-+m x m x ）（有两个不相等的实数根1x ；2x ． （1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ；使得1x 2x =0成立？如果存在；求出m 的值；如果不存在；请说明理由．23．古代丝绸之路上的花剌子模地区曾经诞生过一位伟大的数学家——“代数学之父”阿尔▪花拉子米．在研究一元二次方程解法的过程中；他觉得“有必要用几何学方式来证明曾用数字解释过的问题的正确性”．以21039x x +=为例；花拉子米的几何解法如下：如图；在边长为x 的正方形的两个相邻边上作边长分别为x 和5的矩形；再补上一个边长为5的小正方形；最终把图形补成一个大正方形．通过不同的方式来表示大正方形的面积；可以将原方程化为2__）（+x =39+_______；从而得到此方程的正根是___________．24．如图；在平面直角坐标系xOy中；点A的坐标为（1；0）；点P的横坐标为2；将点A 绕点．P．旋转；使它的对应点B恰好落在x轴上（不与A点重合）；再将点B绕点．O．逆时针旋转90°得到点C．（1）直接写出点B和点C的坐标；（2）求经过A、B、C三点的抛物线的表达式．25．如图；AB为⊙O直径；点C在⊙O上；过点O作OD⊥BC交BC于点E；交⊙O于点D；CD ∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB=6；求四边形CAOD的面积．26．在平面直角坐标系xOy 中；已知抛物线C : y =x 2-4x +4和直线l ：y =kx -2k （k >0）． （1）抛物线C 的顶点D 的坐标为____________； （2）请判断点D 是否在直线l 上；并说明理由；（3）记函数244222x x x y kx k x ⎧-+≤=⎨->⎩，，的图象为G ；点M （0；t ）；过点M 垂直于y 轴的直线与图象G 交于点11P x y （，）；22x y Q(，）．当1<t <3时；若存在t 使得124x x +=成立；结合图象；求k 的取值范围．27．对于平面直角坐标系xOy 中的点P ；给出如下定义：记点P 到x 轴的距离为1d ；到y 轴的距离为2d ；若12d d ≤；则称1d 为点P 的“引力值”；若12d d >；则称2d 为点P 的“引力值”．特别地；若点P 在坐标轴上；则点P 的“引力值”为0．例如；点P (-2；3)到x 轴的距离为3；到y 轴的距离为2；因为2< 3；所以点P 的“引力值”为2．（1）①点A (1；-4)的“引力值”为 ；②若点B (a ；3)的“引力值”为2；则a 的值为 ；（2）若点C 在直线24y x =-+上；且点C 的“引力值”为2．求点C 的坐标；（3）已知点M是以D(3；4)为圆心；半径为2的圆上的一个动点；那么点M的“引力值”d 的取值范围是．28．在Rt△ABC中；斜边AC的中点M关于BC的对称点为点O；将△ABC绕点O顺时针旋转至△DCE；连接BD；BE；如图所示（1）在①∠BOE；②∠ACD；③∠COE中；等于旋转角的是（填出满足条件的角的序号）；（2）若∠A=α；求∠BEC的大小（用含α的式子表示）；（3）点N是BD的中点；连接MN；用等式表示线段MN与BE之间的数量关系；并证明.数学参考答案一、选择题（本题共24分；每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8二、填空题（本题共24分；每小题3分）9．（1；2-） 10．答案不唯一；例如2y x = 11．110° 12．2 13．（0；1） 14．＞ 15．816．①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对的圆周角是直角；③两点确定一条直线． （注：写出前两个即可给3分；写出前两个中的一个得2分；其余正确的理由得1分） 三、解答题（本题共72分） 17．解法一：解：2441x x -+=；()221x -=； ………………2分21x -=±；11x =；23x =． ………………4分解法二：解：()()130x x --=； ………………2分 10x -=或30x -=；11x =；23x =． ………………4分 18．解：∵ △ABC 是等边三角形； ∴ AB =BC =AC ；∠BAC =60°.∴ ∠1+∠3=60°. ………………1分 ∵ △ADE 是等边三角形； ∴ AD =AE ；∠DAE =60°.∴ ∠2+∠3=60°. ………………2分 ∴ ∠1=∠2. 在△ABD 与△ACE 中12AB ACAD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩； ∴ △ABD ≌ △ACE （SAS ）.∴ CE =BD . …4分∵ BC =3；CD =2；∴ BD =BC -CD =1 .∴ CE =1． …5分19．解：∵ m 是方程2310x x -+=的一个根；∴ 2310m m -+=. ………………2分∴ 231m m -=-.321EDCBA∴ 原式22694m m m =-++- ………………4分 ()2235m m =-+3=． ………………5分20．方法1：证明：∵ 在⊙O 中；»»AB CD =； ∴ ∠AOB =∠COD . ………………2分 ∵ OA =OB ；OC =OD ；∴ 在△AOB 中；1902B AOB ∠=︒-∠；在△COD 中；1902C COD ∠=︒-∠. ………………4分∴ ∠B =∠C ． ………………5分21．解：（1）22416y x x =-++（或()()442y x x =-+） …3分（2）由题意；原正方形苗圃的面积为16平方米；得2241616x x -++=. 解得：12x =；20x =（不合题意；舍去）. ……5分 答：此时BE 的长为2米. 22．解：（1）∵ 方程()222110xm x m +-+-=有两个不相等的实数根；∴ ()()224141880m m m ∆=---=-+>；∴ 1m <．（2）存在实数m 使得120x x =.120x x =；即是说0是原方程的一个根；则210m -=.解得：1m =- 或 1m =.当1m =时；方程为20x =；有两个相等的实数根；与题意不符；舍去． ∴ 1m =-．23．通过不同的方式来表示大正方形的面积；可以将原方程化为()25 x + 39 25 =+从而得到此方程的正根是 3 ．24．（1）点B 的坐标为（3；0）；点C 的坐标为（0；3）； （2）方法1：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++. 因为 它经过A （1；0）；B （3；0）；C （0；3）；则0,930,3.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得 1,4,3.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴ 经过,,A B C 三点的抛物线的表达式为243y x x =-+． 方法2：抛物线经过点A （1；0）；B （3；0）；故可设其表达式为(1)(3)(0)y a x x a =--≠. 因为 点C （0；3）在抛物线上；所以 ()()01033a --=；得1a =. ∴经过,,A B C 三点的抛物线的表达式为243y x x =-+． 方法3：抛物线经过点A （1；0）；B （3；0）；则其对称轴为2x =. 设抛物线的表达式为()22y a x k =-+. 将A （1；0）；C （0；3）代入；得 0,4 3.a k a k +=⎧⎨+=⎩解得 1,1.a k =⎧⎨=-⎩∴经过,,A B C 三点的抛物线的表达式为243y x x =-+．25．（1）证明：∵ 在⊙O 中；OD ⊥BC 于E ；∴ CE =BE . ………………1分 ∵ CD ∥AB ；∴ ∠DCE =∠B . ………………2分 在△DCE 与△OBE 中,,.DCE B CE BE CED BEO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ △DCE ≌ △OBE （ASA ）. ∴ DE =OE .∴ E 为OD 的中点． ………………4分（2）解： 连接OC .∵ AB 是⊙O 的直径； ∴ ∠ACB =90°. ∵ OD ⊥BC ；∴ ∠CED =90°=∠ACB .∴ AC ∥OD . ………………5分 ∵ CD ∥AB ；∴ 四边形CAOD 是平行四边形. ∵ E 是OD 的中点；CE ⊥OD ； ∴ OC =CD . ∵ OC =OD ； ∴ OC =OD =CD .∴ △OCD 是等边三角形.∴ ∠D =60°. ………………6分 ∴ ∠DCE =90°-∠D =30°. ∴ 在Rt △CDE 中；CD =2DE . ∵ BC =6； ∴ CE =BE =3.∵ 22224CE DE CD DE +==； ∴DE =CD =. ∴OD CD == ∴CAOD S OD CE =⋅=四边形………………7分AAB26．（1）（2；0）； ………………2分 （2）点D 在直线l 上；理由如下： 直线l 的表达式为2(0)y kx k k =->；∵ 当2x =时；220y k k =-=； ………………3分 ∴ 点D （2；0）在直线l 上． ………………4分注：如果只有结论正确；给1分.（3）如图；不妨设点P 在点Q 左侧.由题意知：要使得124x x =+成立；即是要求点P 与点Q 关于直线2x =对称.又因为 函数244y x x =-+的图象关于直线2x =对称；所以 当13t <<时；若存在t 使得124x x =+成立；即要求点Q 在244(2,13)y x x x y =-+><<的图象上.根据图象；临界位置为射线2(0,2)y kx k k x =->>过 244(2)y x x x =-+>与1y =的交点(3,1)A 处；以及射线2(0,2)y kx k k x =->>过244(2)y x x x =-+>与3y =的交点(2B +处. 此时1k =以及k =k的取值范围是1k <<27．（1）① 1；② 2±； 注：错一个得1分.（2）解：设点C 的坐标为（x ；y ）.由于点C 的“引力值”为2；则2x =或2y =；即2x =±；或2y =±. 当2x =时；240y x =-+=；此时点C 的“引力值”为0；舍去； 当2x =-时；248y x =-+=；此时C 点坐标为（-2；8）；当2y =时；242x -+=；解得1x =；此时点C 的“引力值”为1；舍去； 当2y =-时；242x -+=-；3x =；此时C 点坐标为（3；-2）； 综上所述；点C 的坐标为（2-；8）或（3；2-）. 注：得出一个正确答案得2分. （3）712d +≤≤. 注：答对一边给2分；两端数值正确；少等号给2分；一端数值正确且少等号给1分.28．（1）③；………………1分（2）连接BM；OB；OC；OE.∵ Rt△ABC中；∠ABC=90°；M为AC的中点；∴MA=MB=MC=12AC. ………………2分∴∠A=∠ABM.∵∠A=α；∴∠BMC=∠A+∠ABM=2α.∵点M和点O关于直线BC对称；∴∠BOC=∠BMC=2α. ………………3分∵OC=OB=OE；∴点C；B；E在以O为圆心；OB为半径的圆上.∴12BEC BOCα∠=∠=. ………………4分（3）12MN BE=；证明如下：连接BM并延长到点F；使BM=MF；连接FD.∵∠A=α；∠ABC=90°；∴∠ACB=90°-∠A=90°-α.∴∠DEC=∠ACB=90°-α.∵∠BEC=α；∴∠BED=∠BEC+∠DEC=90°.∵BC=CE；∴∠CBE=∠CEB=α.∵MB=MC；∴∠MBC=∠ACB=90°-α.∴∠MBE=∠MBC+∠CBE=90°.∴∠MBE+∠BED=180°.∴BF∥DE. ………………6分∵BF=2BM；AC=2BM；∴BF=AC.∵AC=DE；∴BF=DE.∴四边形BFDE是平行四边形. ………………7分∴DF=BE.∵BM=MF；BN=ND；∴MN=12DF.OMNABDCEBD1 2BE. ………………8分∴MN =。
2019北京海淀初三(上)期中数学含答案
2019北京海淀初三（上）期中数学2019.11 学校姓名准考证号注意事项1.本调研卷共8页，满分100分。
考试时间120分钟。
2.在调研卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3.调研卷答案一律填涂或书写在答题纸上，在调研卷上作答无效。
4.在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。
一、选择题（本题共16分，每小题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1.下列图案中，是中心对称图形的是2. 抛物线y=(x−1)2+2的顶点坐标为A. (−1，2)B. (1，2)C. (1，−2)D. (2，1)3. 体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M,N,P,Q四个点处，则表示他最好成绩的点是A. MB. NC. PD. Q4. 将抛物线y=2x2向下平移3个单位，得到的抛物线为A. y=2x2+3B. y=2x2−3C. y=2(x+3)2D. y=2(x−3)25. 已知水平放置的圆柱形排水管道，管道截面半径是1m，若水面高0.2m.则排水管道截面的水面宽度为A. 0.6mB. 0.8mC. 1.2mD. 1.6m6.如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB = 25°.则∠AOC的度数为A. 30°B. 45°C. 50°D. 55°7.下列是关于四个图案的描述.图1所示是太极图，俗称“阴阳鱼”，该图案关于外圈大圆的圆心中心对称;图2所示是一个正三角形内接于圆;图3所示是一个正方形内接于圆;图4所示是两个同心圆，其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二.这四个图案中，阴影部分的面积不小于该图案外圈大圆面积一半的是A.图1和图3B.图2和图3，C.图2和图4D.图1和图48.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−2x2+mx+n与x轴交于A，B两点。
若顶点C到x轴的距离为8，则线段AB的长度为A. 2B. 2√2C. √15D. 4二、填空题（本题共16分，每小题2分)9.在平面直角坐标系中，点P(3，−2)绕原点旋转180°后所得到的点的坐标为.10.写出一个对称轴是y轴的抛物线的解析式:11.如图，PA,PB是⊙O的切线，A, B为切点，AC是⊙O的直径.若∠P=50°，则∠BAC=12.若二次函数y=(x−1)2+3的图象上有两点A(0,a)，B(5,b)，则a b(填“>”或“<”).13.如图,边长为2的正方形ABCD绕着点C顺时针旋转90°，则点A运动的路径长度为.14.在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=10.若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC的长为15. 如图，已知正方形OBCD的三个顶点坐标分别为B(1,0),C（1,1），D（0,1）.若抛物线y=(x−h)2与正方形OBCD的边共有3个公共点，则h的取值范围是.16.如图，在∆ABC中.(1)作AB和BC的垂直平分线交于点O;(2)以点O为圆心，OA长为半径作圆;(3)⊙O分别与AB和BC的垂直平分线交于点M,N;(4)连接AM,AN,CM，其中AN与CM交于点P.根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中，̂=2NĈ；②AB=2AM①BC③点O是∆ABC的外心；④点P是∆ABC的内心.所有正确结论的序号是.三、解答题(本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=1,M(2,−3)是抛物线上一点，求该抛物线的解析式.18. 如图，等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=α.作AD⊥BC于点D，将线段BD绕着点B顺时针旋转角。
北京海淀区2019届九年级上期中考试数学试题及
北京海淀区 2019 届九年级上期中考试数学试题及答案数 学 试 卷（分数： 120 分 时间： 120 分钟）.11学校姓名准考据号一、选择题 （此题共 30 分，每题3 分）下边各题均有四个选项，此中只有一个 ．．是切合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的地点 .题号12345678910答案1．一元二次方程 2 x 2 x 30 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是A ． 2,1,3B ． 2,1, 3C ． 2, 1,3D ． 2, 1, 32．以下图形是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．3．二次函数 y( x+1)22 的最大值是A ． 2B ． 1C ． 1D ．24．已知⊙ O 的半径是 4， OP 的长为 3，则点 P 与⊙ O 的地点关系是A ．点 P 在圆内B ．点 P 在圆上C ．点 P 在圆外D ．不可以确立52y2x 沿 轴向下平移 个单位，获得的抛物线的分析式为．将抛物线 yA ． y x 22B ． y x 22 C ． y 2D ． y2x 2x 26．已知扇形的半径为6 ，圆心角为 60 ，则这个扇形的面积为A ． 9B ． 6C ． 3D ．7．用配方法解方程x 24x3，以下配方正确的选项是A ． x 221B ． x 22227 C ． x 27 D ． x 218．已知二次函数 y ax 2 bx c 的图象如下图，则以下选项中不正确 的是A ．a 0B ．c 0b1D．a b c 0C．0 <2a9．如图，△ ABC 内接于⊙ O，BD 是⊙ O 的直径．若DBC 33 ，则A 等于A ．33B．57C．67D ．6610．小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y（米）与旋转时间x （分）之间的关系能够近似地用二次函数来刻画.经测试得出部分数据如下表：x/ 分⋯⋯y/ 米⋯⋯以下选项中，最靠近摩天轮转一圈的时间的是A ． 7 分B． 6.5 分C． 6 分D． 5.5 分二、填空题（此题共 18 分，每题 3 分）11．方程x240 的解为_______________．12.请写出一个张口向上且经过 (0, 1)的抛物线的分析式 _________ ．13．若二次函数y 2x2 5 的图象上有两个点A(2, a)、B (3, b)，则 a____ b（填“ <”或“ =”或“ >”）．14 ．如图， A 、 B 、 C三点在⊙ O 上，∠ AOC =100 °，则∠ABC=______ °．15．用一块直径为 4 米的圆桌布平铺在对角线长为 4 米的正方形桌面上（如表示图），若周围下垂的最大长度相等，则这个最大长度x 为_______米（2取）．16．如图， O 是边长为 1 的等边△ ABC 的中心，将 AB 、 BC、CA 分别绕点 A、点 B、点 C 顺时针旋转（ 0180 ），获得AB '、BC '、 CA ' ，连结 A ' B '、 B ' C '、 A 'C '、 OA ' 、 OB ' ．（1） A ' OB ' _______? ；（2）当? 时，△A 'B 'C '的周长最大．三、解答题（此题共72 分，第 17~26 题，每题 5 分，第27 题 7 分，第28 题 7 分，第29 题 8 分）17．解方程：22 ．x 3x18．若抛物线y x23x a 与 x 轴只有一个交点，务实数 a 的值．19．已知点 (3, 0) 在抛物线y3x2(k 3) x k 上，求此抛物线的对称轴．20．如图， AC 是⊙ O 的直径， PA, PB 是⊙ O 的切线， A, B 为切点，BAC 25．求∠ P 的度数．21．已知 x=1 是方程x25ax a 20 的一个根，求代数式3a215a7 的值．22．一圆柱形排水管的截面如下图，已知排水管的半径为1m，水面宽AB 为．因为天气干燥，水管水面降落，此时排水管水面宽变成 1.2m ，求水面降落的高度．23．已知对于 x 的方程3x2( a 3) x a 0( a 0) .（ 1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（ 2）若方程有一个根大于2，求 a 的取值范围．24．在设计人体塑像时，若使塑像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度的比等于下部与所有（浑身）的高度比，则能够增添视觉美感．按此比率，假如塑像的高为2m，那么它的下部应设计为多高（ 5 取）．25．已知 AB 是⊙ O 的直径， AC、AD 是⊙ O 的弦， AB=2， AC= 2，AD=1，求∠ CAD 的度数．26．抛物线y1x2bx c 与直线y22x m 订交于A( 2,n)、B(2,3) 两点．（1）求这条抛物线的分析式；（2）若 4 x 1，则y2y1的最小值为 ________.27.如图， AB 为⊙ O 的直径， C 为⊙ O 上一点， CD⊥AB 于点D. P 为 AB 延伸线上一点，PCD 2BAC .（1）求证： CP 为⊙ O 的切线；（2） BP=1，CP 5 .①求⊙ O 的半径；②若 M 为 AC 上一动点，则OM+DM 的最小值为.28.研究活动：利用函数y ( x 1)(x 2) 的图象(如图1)和性质，研究函数y( x 1)( x 2) 的图象与性质 .下边是小东的研究过程，请增补完好：(1)函数y( x 1)(x 2) 的自变量x的取值范围是___________；(2)如图 2，他列表描点画出了函数y( x 1)( x2) 图象的一部分，请补全函数图象；图 1图 2解决问题：设方程(x 1)(x 2) 1 x b0 的两根为x1、x2，且 x1x2，方程421的两根为x 、 x，且 x3 x4.若1 b 2 ，则 x 、 x、 x 、 x的x 3x 2x b3412344大小关系为（用“ <”连结）．29．在平面直角坐标系xOy 中，半径为1 的⊙ O 与 x 轴负半轴交于点A，点 M 在⊙ O 上，将点 M 绕点 A 顺时针旋转60 获得点 Q. 点 N 为 x 轴上一动点（ N 不与 A 重合），将点M 绕点 N 顺时针旋转60 获得点 P. PQ 与 x 轴所夹锐角为.（1）如图 1，若点 M 的横坐标为1，点 N 与点 O 重合，则=________ ；2（2）若点 M、点 Q 的地点如图 2 所示，请在 x 轴上任取一点N，画出直线 PQ，并求的度数；（3）当直线 PQ 与⊙ O 相切时，点M的坐标为 _________.图 1图2备用图九年级第一学期期中测评数学试卷参照答案一、选择题（此题共30 分，每题 3 分）题号12345678910答案D A A A B B C D B C二、填空 （本 共18 分，每小 3 分）14 15号 1112 13 16答 案x 1 2, x 22y x 2 1<130120， 150（答案不独一）三、 解答 （本 共 72 分，第 17~26 ，每小 5 分，第27 7 分，第 287 分，第29 8 分）17．解： x 23x 2 0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分 ( x 1)( x2) 0 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分∴ x 1 0或 x 2 0 ．∴ x 11, x 2 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分18．解：∵抛物y x 2 3x a 与 x 只有一个交点，∴ 0 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分即 9 4a 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分∴ a9 分． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5419．解：∵点 (3, 0) 在抛物 y3x 2(k 3) x k 上，∴ 0 3 32 3(k 3)k ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分∴ k9． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分∴抛物 的分析式 y 3x 2 12x 9 ．∴ 称 x2 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分20．解：∵ PA,PB 是⊙ O 的切 ，∴ PA=PB ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴PAB PBA ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分∵ AC ⊙ O 的直径， ∴ CA ⊥ PA ．∴ PAC 90 o ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分∵BAC 25 o ，∴ PAB 65 o ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分∴P 1802 PAB 50 o ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分21．解：∵ x12 2是方程 x 5ax a0 的一个根，∴ 15a a 2 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分∴ a 2 5a 1 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分∴原式3(a 25a) 7 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分10 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分22．解：如 ，降落后的水面 ， 接 OA, OC ，点 O 作 ON ⊥ CD 于 N ，交 AB 于 M ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分∴ ONC 90 o .∵ AB ∥ CD ， ∴ OMA ONC 90 o ．∵ ， CD 1.2 ， ∴AM1，120.6 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分CNCD2在 Rt △OAM 中，∵ OA 1 ，∴OMOA 2 AM 2 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分同理可得 ON ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分∴ MN ON OM 0.2.答：水面降落了0.2 米． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分23．（ 1） 明：(a3)24 3 ( a) ( a3) 2 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∵ a0 ，∴ (a3)2 0 ．即0 ．∴方程 有两个不相等的 数根．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分（ 2）解方程，得 x 11, x 2a． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分∵方程有一个根大于 2，3∴a2 ．3∴ a 6 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分24．解：如 ，塑像上部高度 AC 与下部高度BC 有 AC : BCBC : 2 ，即 BC 2 2 AC ．BC x m. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分依 意，得 x 2 2(2 x) ．.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分解得x115 , x 215 （不切合 意，舍去）． ⋯⋯4分5 1 1.2 ．答：塑像的下部1.2m ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分25．解：如1，当点 D、 C 在 AB 的异，接OD 、 BC. ⋯⋯⋯1分∵ AB 是⊙ O 的直径，∴ACB90 o．在Rt△ACB 中，∵ AB 2 ，AC 2 ，∴ BC 2 ．∴BAC 45 o．⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分∵OA OD AD 1，∴BAD 60 o．⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分∴CADBAD BAC 105o ⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分．当点 D 、 C 在 AB的同，如 2 ，同理可得BAC45 ，BAD 60 ．∴CAD BAD BAC15 o．∴CAD 为15o或 105 o．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分26．解：（ 1）∵直y22x m 点B（2，-3），∴ 3 2 2 m ．∴m 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵直 y22x m 点A（-2，n），∴ n5．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∵抛物 y1x2bx c点A和点B，542b c,∴342b c.b2,∴c3.∴ y1x22x 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分（2）12.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分27．（ 1）明：接 OC. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∵∠ PCD=2∠ BAC，∠ POC=2∠BAC，∴∠ POC=∠PCD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分∵CD⊥ AB 于点 D，∴∠ ODC=90．∴∠ POC+∠ OCD =90o．∴∠ PCD+∠OCD =90o．∴∠ OCP=90o．∴半径 OC⊥CP．∴ CP⊙ O 的切．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分（ 2）解：① ⊙ O 的半径 r .在 Rt △OCP 中， OC 2 CP 2 OP 2 ．∵ BP 1,CP 5,∴ r 2( 5) 2 (r 1)2 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分解得 r2 ．∴⊙ O 的半径 2． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分②214．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分 328．解：（ 1） x1 x2 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分或 （2）如 所示：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分x 1 x 3 x 4 x 2 . .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分29. 解：（ 1） 60 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分（ 2）.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 接 MQ , MP .MQ , PQ 分 交 x 于 E, F .∵将点 M 点 A 旋 60 获得点 Q ，将点 M 点 N 旋 3 分60 获得点 P ，∴△ MAQ 和△ MNP 均 等 三角形 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分 ∴ MAMQ ， MN MP ， AMQ NMP 60 .∴ AMNQMP .yMP∴△ MAN ≌△ MQP . .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分∴ MAN MQP .∵ AEMQEF ，A∴ QFE AMQ 60 .∴60 . .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6 分O EF NxQ（ 3）（3，1）或（3，1）.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分2222。
2019_2020学年北京海淀区初三上学期期中数学试卷-详解版
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】 抛物线
向下平移 个单位得到
．
故选 ．
5. 已知水平放置的圆柱形排水管道，管道截面半径是 面宽度为（ ）．
，若水面高
．则排水管道截面的水
A.
B.
C.
D.
【答案】 C 【解析】 过 作
⊙ 于点 ，
∴
，
由题意可知，
，
，
∴
．
在
中，
，
∴
．
∴
．
故选 ．
6. 如图，在 中，
图
图
图
图
这四个图案中，阴影部分的面积不. 小. 于. 该图案外圈大圆面积一半的是（ ）．
A. 图 和图
B. 图 和图
C. 图 和图
D. 图 和图
【答案】 A 【解析】 图一：阴影部分面积等于大圆面积的一半，故正确；
图二：
圆半径为 ，则内接正三角形
中，
是 边上的高，
，
，
，
∴
，
，
， ，
， ∴图二错误； 图三：
，
．
可知
．
又因
，
所以
．
如图，已知
﹐过 作
轴于点 ，
易知
．
又因
，
，
所以
．
所以点 的坐标为
．
将点 的坐标
代入抛物线
的解析式可得
．
并与（ ）中得到的
联立方程组可得：
解得
得抛物线的解析式为
．
2
或
．
27. 如图，在等腰 点 ，作射线 接．
中，
，
2019-2020北京海淀初三上册期中考试试卷数学(含解析).doc
OB AC D北京海淀初三上期中数学试卷一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）1．下列图形是中心对称图形的是（）．A．B．C．D．2．将抛物线2y x=向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为（）．A．21y x=+B．21y x=-C．2(1)y x=+D．2(1)y x=-3．袋子中装有4个黑球，2个白球，这些球的形状，大小，质地等完全相同，即除颜色外无其他差别，在看不到球的情况下，随机从袋子中摸出1个球．下面说法正确的是（）．A．这个球一定是黑球B．这个球一定是白球C．“摸出黑球”的可能性大D．“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性一样大4．用配方的方法解方程2230x x--=时，配方后得到的方程为（）．A．2(1)4x-=B．2(1)4x-=-C．2(1)4x+=D．2(1)4x+=-5．如图，⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为2，则AB的长为（）．A．π5B．2π5C．3π5D．4π56．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，59ABD∠=︒，则C∠等于（）．A．29︒B．31︒C．59︒D．62︒7．已知二次函数24y x x m=-+（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的一元二次方程240x x m-+=的两个实数根是（）．A．11x=，21x=-B．11x=-，22x=C．11x=-，20x=D．11x=，23x=EODCBA8．已知：如图，C 是半圆O 的直径AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），过C 作AB 的垂线交半圆于点D 以点D ，C ，O 为顶点作矩形DCOE ，若10AB =，设AC x =，矩形DCOE 的面积为y ，则下列图象中能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）．A ．105xyOB ．510xyOC ．510yOxD ．510xyO二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）9．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，连接AB ，60APB ∠=︒，5AB =，则PA 的长是 __________．APBO10．若关于x 为一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为__________．11．在平面直角坐标系xOy 中，函数2y x =的图象经过点11(,)M x y ，22(,)N x y 两点，若142x -<<-，202x <<，则1y __________2y （用“<”，“=”或“>”号连接）．12．如图，正方形ABCD 中，点G 为对角线AC 上一点，AG AB =，15CAE ∠=︒，AE AC =，连接GE ，将线段AE 绕点A 逆时针旋转得到线段AF ，使DF GE =，则CAF ∠的度数为__________．GEDCBAAC BDOE三、解答题（共6道小题，第13题4分，第14～18题各5分，共29分）13．解方程：2310+-=．x x14．如图DAB EAC=．∠=∠，AB AD=，AC AE=．求证：BC DEADB CE 15．已知二次函数的图象经过点(0,1)，且顶点坐标为(2,5)，求次二次函数的解析式．16．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，130ABC ∠=︒，求OAC ∠的度数．OAD BC17．若1x =是关于x 一元二次方程22420x mx m -+=的根，求代数式22(1)3m -+的值．18．列方程解应用题：某工厂废气排放量为450万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率．四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）19．下图是某市某月1日至15日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．（1）由图可知，该月1日至15日中空气重度污染的有__________天；（2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，求小丁到达该市当天空气质量优良的概率．20．已知关于x的方程2(3)30(0)+--=≠．ax a x a（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有两个不相等的负整数根，求整数a的值．21．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，CD AB ⊥于点E ，点G 在直径DF 的延长线上，30D G ∠=∠=︒．（1）求证：CG 是⊙O 的切线； （2）若6CD =，求GF 的长．GFEDOCAB22．阅读下面材料：小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：1x ，2x ，3x ，称为数列1x ，2x ，3x ，计算1x ，122x x +，1233x x x ++，将这三个数的最小值称为数列1x ，2x ，3x 的价值．例如，对于数列2，1-，3，因为22=，2(1)122+-=，2(1)3433+-+=，所以数列2，1-，3的价值为12．小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相对应的价值．如：数列1-，2，3的价值为12；数列3，1-，2的价值为1…．经过研究，小丁发现，对于“2，1-，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为12．根据以上材料，回答下列问题： （1）数列4-，3-，2的价值为__________；（2）将4-，3-，2这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为__________，取得价值最小值的数列为__________（写出一个即可）．（3）将2，9-，a （1a >）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，若这些数列的价值的最小值为1，则a 的值为__________．五、解答题（共3道小题，第23题7分，第24、25题各8分，共23分）23．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(1)(0)y x m x m m =--->与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B的左侧）与y 轴交于点C ． （1）求点A 的坐标．（2）当15ABC S =△时，求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，经过点C 的直线:(0)l y kx b k =+<与抛物线的另一个交点为D ，该抛物线在直线l 上方的部分与线段CD 组成一个新函数的图像，请结合图象回答：若新函数的最小值大于8-，求k 的取值范围．Oyx-1-2-3-4-5-8-9-10-7-6-5-4-3-2-11234561098765432124．将线段AB 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AC ，继续旋转(0120)αα︒<<︒得到线段AD ，连接CD ． （1）连接BD ，①如图1，若80α=︒，则BDC ∠的度数为__________；②在第二次旋转过程中，请探究BDC ∠的大小是否改变，若不变，求出BDC ∠的度数；若改变，请说明理由；（2）如图2，以AB 为斜边作直角三角形ABE ，使得B ACD ∠=∠，连接CE ，BE ，若90CED ∠=︒，求α的值．图1DCBAEABCD图225．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b 在第一象限，以P 为圆心的圆经过原点，与y 轴的另一个交点为A ．点Q 是线段OA 上的点（不与O ，A 重合）过点Q 作PQ 的垂线交⊙P 于点(,)B m n ，其中0m ≥．（1）若5b =，则点A 坐标是__________；（2）在（1）的条件下，若8OQ =，求线段BQ 的长；（3）若点P 在函数2(0)y x x =>的图象上，且BQP △是等腰三角形， ①直接写出实数a 的取值范围：____________________． ②在12，64，10这三个数中，线段PQ 的长度可以为__________，并求出此时点B 的坐标．备用图Py xOA北京海淀初三上期末数学试卷答案一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BACADBDA二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）题号 91011 12答案5 4 >30︒或60︒三、解答题（共6道小题，第13题4分，第14 -18题各5分，共29分）13．（本小题满分5分）解：∵1a =，3b =，1c =- ∴2341(1)130∆=-⨯⨯-=>． ∴2431322b b ac x a -±--±==．∴13132x -+=，23132x --=．14．（本小题满分5分）证明：∵DAB EAC ∠=∠，∴DAB BAE EAC BAE ∠+∠=∠+∠． ∴DAE BAC ∠=∠． 在BAC △和DAE △中， AB ADBAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴BAC △≌DAE △(SAS)． ∴BC DE =． 15．（本小题满分5分）解：设二次函数的解析式为()225y a x =-+(0)a ≠． ∵二次函数的图象经过点(0,1)． ∴()21025a =-+． ∴1a =-．∴二次函数的解析式为241y x x =-++． 16．（本小题满分5分）解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴180ADC ABC ∠+∠=︒． ∵130ABC ∠=︒，∴18050ADC ABC ∠=︒-∠=︒． ∴2100AOC ADC ∠=∠=︒． ∵OA OC =， ∴OAC OCA ∠=∠．∴1(180)402OAC AOC ∠=︒-∠=︒．17．（本小题满分5分）解：依题意，得21420m m -+=． ∴2241m m -=-．∴2222(1)+32(21)3245154m m m m m -=-++=-+=-+=． 18．（本小题满分5分）解：设每期减少的百分率为x ． 由题意，得()24501288x -=． 解方程得：115x =，295x =． 经检验，915x =>不合题意，舍去；15x =符合题意． 答：每期减少的百分率为20%．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（本小题满分5分）解：（1）3．（2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，则到达该市的日期有15种不同的选择，在其中任意一天到达的可能性相等．由图可知，其中有9天空气质量优良． 所以，P （到达当天空气质量优良）93155==． 20．（本小题满分5分）解：（1）∵0a ≠， ∴原方程为一元二次方程．∴()234(3)a a ∆=--⨯⨯-()23a =+． ∵()230a +≥．∴此方程总有两个实数根． （2）解原方程，得11x =-，23x a=． ∵此方程有两个负整数根，且a 为整数， ∴1a =-或3a =-． ∵12x x ≠， ∴3a ≠-． ∴1a =-．21．（本小题满分5分）（1）证明：连接OC ．∵OC OD =，30D ∠=︒， ∴ 30OCD D ∠=∠=︒． ∵30G ∠=︒，∴180120DCG D G ∠=︒-∠-∠=︒． ∴90GCO DCG OCD ∠=∠-∠=︒． ∴OC CG ⊥．又∵OC 是⊙O 的半径． ∴CG 是⊙O 的切线．（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，CD AB ⊥，∴132CE CD ==．∵在Rt OCE △中，90CEO ∠=︒， 30OCE ∠=︒， ∴12OE OC =，222OC OE CE =+．设OE x =，则2OC x =． ∴222(2)3x x =+． 解得3x =（舍负值）． ∴23OC =． ∴23OF =．在OCG △中，∵90OCG ∠=︒，30G ∠=︒， ∴243OG OC ==． ∴23GF GO OF =-=．22．（本小题满分5分）答：（1）53．（2）12，3-，2，4-或2，3-，4-．（写出一个即可）（3）11或4．（每个答案各1分）五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（本小题满分7分）解：（1）∵抛物线2(1)y x m x m =---(0)m >与x 轴交于A 、B 两点， ∴令0y =，即2(1)0x m x m ---=． 解得11x =-，2x m =．又∵点A 在点B 左侧，且0m >，∴点A 的坐标为(1,0)-．（2）由（1）可知点B 的坐标为(,0)m ．∵抛物线与y 轴交于点C ， ∴点C 的坐标为(0,)m -． ∵0m >，∴1AB m =+，OC m =． ∵15ABC S =△，∴1(1)152m m +=． ∴6m =-或5m =． ∵0m >， ∴5m =．∴抛物线的表达式为245y x x =--． （3）由（2）可知点C 的坐标为(0,5)-． ∵直线l ：y kx b =+(0)k <经过点C ， ∴5b =-．∴直线l 的解析式为5y kx =-(0)k <． ∵2245(2)9y x x x =--=--，∴当点D 在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值为9-，不符合题意． 当点D 在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于8-． 令8y =-，即2458x x --=-．解得11x =（不合题意，舍去），23x =． ∴抛物线经过点(3,8)-．当直线5y kx =-(0)k <经过点(3,8)-时，可求得1k =-． 由图象可知，当10k -<<时新函数的最小值大于8-． 24．（本小题满分7分）解：（1）①30︒．②不改变，BDC ∠的度数为30︒． 方法一：由题意知，AB AC AD ==．∴点B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上．∴1302BDC BAC ∠=∠=︒．方法二：由题意知，AB AC AD ==， ∵AC AD =，CAD α∠=，∴18019022ADC C αα︒-∠=∠==︒-． ∵AB AD =，60BAD α∠=︒+， ∴180(60)120160222ADB B ααα︒-︒+︒-∠=∠===︒-．∴11(90)(60)3022BDC ADC ADB αα∠=∠-∠=︒--︒-=︒．xy 123456–1–2–3–4–5–612345678910–1–2–3–4–5–6–7–8–9–10OABCD（2）过点A 作AM CD ⊥于点M ，连接EM ． ∴90AMC ∠=︒． 在AEB △与AMC △中， AEB AMC B ACDAB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AEB AMC ≅△△．∴AE AM =，BAE CAM ∠=∠．∴60EAM EAC CAM EAC BAE BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒． ∴AEM △等边三角形． ∴EM AM AE ==． ∵AC AD =，AM CD ⊥ ， ∴CM DM =． 又∵90DEC ∠=︒， ∴EM CM DM ==． ∴AM CM DM ==．∴点A 、C 、D 在以M 为圆心，MC 为半径的圆上． ∴90CAD α=∠=︒． 25．（本小题满分8分） 解：（1）(0,10)．（2）连接BP 、OP ，作PH OA ⊥于点H ． ∵5b =，OH OA ⊥，∴152OH AH OA ===．∵8OQ =，∴3QH OQ OH =-=．在Rt QHP △中，22229PQ QH PH PH =+=+． 在Rt PHO △中，2222225PO OH PH PH BP =+=+=．在Rt BQP △中，22222(25)(9)16BQ BP PQ PH PH =-=+-+=． ∴4BQ =． （3）①1a ≥． ②10．∵BQP △是等腰直角三角形，10PQ =， ∴半径25BP =． 又∵2(,)P a a ，∴2242(25)OP a a =+=． 即42200a a +-=．解得2a =±． ∵0a >， ∴2a =．∴(2,4)P ．MDCABEHQ Py xO A BM y B如图，作BM y ⊥轴于点M ，则QBM △≌PQH △． ∴2MQ PH ==，226MB QH PQ PH ==-=．∴1(6,66)B +．若点Q 在OH 上，由对称性可得2(6,26)B -．综上，当10PQ =时，B 点坐标为(6,66)+或(6,26)-．北京海淀初三上期中数学试卷部分解析一、选择题1．【答案】B【解析】只有选项B 是中心对称图形，绕着中心点旋转180︒能与自身重合，选项A 、C 是轴对称图形． 故选：B ．2． 【答案】A【解析】将抛物线2y x =向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为21y x =+． 故选：A ．3． 【答案】C【解析】一共6个球，其中4个黑球，2个白球，随机从袋子中摸出1个球，摸出黑球的概率为23，摸出白球的概率为13．“摸出黑球”的可能性大．故选：C ．4． 【答案】A【解析】配方的方法解方程2230x x --=，配方后得到的方程为22131x x -+=+，2(1)4x -=． 故选：A ．5． 【答案】D【解析】∵⊙O 为正五边形ABCDE 的外接圆，⊙O 的半径为2，∴360725AOB ︒∠==︒， ∴AB 的长为72π24π1805⨯⨯=． 故选：D ．6． 【答案】B 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∴90ADB ∠=︒． 又∵59ABD ∠=︒，∴9031C A ABD ∠=∠=︒-∠=︒． 故选：B ．7． 【答案】D【解析】二次函数24y x x m =-+可知，抛物线对称轴为2x =， 它的的图象与x 轴的一个交点为(1,0)，故另一个交点为(3,0)， ∴关于x 的一元二次方程240x x m -+=的两个实数根是11x =，23x =． 故选：D ．8． 【答案】A【解析】连结OD ．依题可知，152OA OD AB ===，设AC x =，则5OC x =-， 在Rt DCO △中，由勾股定理可知， 222225(5)10CD OD OC x x x =-=--=-+， 2510DCOE y S OC CD x x x ==⋅=-⋅-+矩形，由特值法也可知，当5x =时，不存在矩形DCOE ，排除选项B 和选项D ， 由解析式可知，图象并非轴对称的二次函数，故排除选项C ． 故选：A ．二、填空题9．【答案】5【解析】由切线长定理可知PA PB =，又∵60APB ∠=︒，∴ABP △为等边三角形，5PA AB ==． 故答案为：5．10． 【答案】4【解析】关于x 为一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根2440k ∆=-=，解得4k =． 故答案为：4．11． 【答案】>【解析】函数2y x =的图象经过点11(,)M x y ，22(,)N x y 两点，若142x -<<-，202x <<，则12y y >． 故答案为：>．12． 【答案】30︒或60︒【解析】如图1，依题可知，ADF △≌AGE △(SSS)，15CAE DAF ∠=∠=︒，30CAF DAC DAF ∠=∠-∠=︒．如图2，60CAF DAC FAD ∠=∠+∠=︒． 故答案为：30︒或60︒．AC BDOE。
海淀区初三年级数学上册期中测试卷(含答案解析)
海淀区2019初三年级数学上册期中测试卷(含答案解析)海淀区2019初三年级数学上册期中测试卷(含答案解析)一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定是否有实数根2．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值为（）A．B．C．D．3．若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．长方体B．正方体C．圆柱D．圆锥4．小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是（）A．B．C．D．5．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（）A．1 B．2 C．4 D．86．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（）A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0 7．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为（）A．B．C．1 D．28．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（）A．线段EF B．线段DE C．线段CE D．线段BE二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9．如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为cm2．（结果保留π）10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m．11．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为．12．对于正整数n，定义F（n）= ，其中f（n）表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：F（6）=62=36，F（123）=f（123）=12+32=10．规定F1（n）=F（n），Fk+1（n）=F（Fk（n））．例如：F1（123）=F（123）=10，F2（123）=F（F1（123））=F（10）=1．（1）求：F2（4）=，F2019（4）=；（2）若F3m（4）=89，则正整数m的最小值是．三、解答题（共13小题，满分72分）13．计算：（﹣1）2019+sin30°﹣（π﹣3.14）0+（）﹣1．14．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE．15．已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式的值．16．抛物线y=2x2平移后经过点A（0，3），B（2，3），求平移后的抛物线的表达式．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y= 的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P是反比例函数y= 图象上的一点，且满足△OPC与△ABC 的面积相等，请直接写出点P的坐标．18．如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x2＜0，且＞﹣1，求整数m的值．20．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）；质量档次1 2 ... x (10)日产量（件）95 90 ... 100﹣5x (50)单件利润（万元）6 8 ... 2x+4 (24)为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．21．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD 与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F．点P在射线AO 上，且∠PCB=2∠BAF．（1）求证：直线PC是⊙O的切线；（2）若AB= ，AD=2，求线段PC的长．22．阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．请回答：（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC=；tan∠AOD=；解决问题：如图3，计算：tan∠AOD=．23．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= 的图象经过点A（1，4）、B（m，n）．（1）求代数式mn的值；（2）若二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；（3）若反比例函数y= 的图象与二次函数y=a（x﹣1）2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．24．如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE 之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．25．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．定义图形W的测度面积：若|x1﹣x2|的最大值为m，|y1﹣y2|的最大值为n，则S=mn为图形W的测度面积．例如，若图形W是半径为1的⊙O，当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得最大值，且最大值n=2．则图形W的测度面积S=mn=4（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1．①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=；②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S=；（2）若图形W是一个边长1的正方形ABCD，则此图形的测度面积S的最大值为；（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．海淀区2019初三年级数学上册期中测试卷(含答案解析)参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定是否有实数根考点：根的判别式．分析：求出b2﹣4ac的值，再进行判断即可．解答：解：x2﹣3x﹣5=0，△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣5）=29＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故选A．点评：本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值为（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．分析：直接根据三角函数的定义求解即可．解答：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，∴sinA= = ．故选A．点评：此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，用到的知识点：正弦函数的定义：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA=∠A的对边：斜边=a：c．3．若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．长方体B．正方体C．圆柱D．圆锥考点：由三视图判断几何体．分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．解答：解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．故选：D．点评：本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．4．小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是（）A．B．C．D．考点：概率公式．分析：由六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，∴抽到的座位号是偶数的概率是：= ．故选C．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（）A．1 B．2 C．4 D．8考点：位似变换．专题：计算题．分析：根据位似变换的性质得到= ，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到= ，所以= ，然后把OC1= OC，AB=4代入计算即可．解答：解：∵C1为OC的中点，∴OC1= OC，∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，∴ = ，B1C1∥BC，即=∴A1B1=2．故选B．点评：本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（）A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0考点：反比例函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=﹣，y2=﹣，然后利用x1＜0＜x2即可得到y1与y2的大小．解答：解：∵A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣的图象上的两点，∴y1=﹣，y2=﹣，∵x1＜0＜x2，∴y2＜0＜y1．故选B．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．7．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O 作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为（）A．B．C．1 D．2考点：垂径定理；全等三角形的判定与性质．分析：根据垂径定理求出AD，证△ADO≌△OFE，推出OF=AD，即可求出答案．解答：解：∵OD⊥AC，AC=2，∴AD=CD=1，∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO=∠OFE=90°，∵OE∥AC，∴∠DOE=∠ADO=90°，∴∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EF=90°，∴∠DAO=∠EOF，在△ADO和△OFE中，∴△ADO≌△OFE（AAS），∴OF=AD=1，故选C．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出△ADO≌△OFE和求出AD的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．8．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（）A．线段EF B．线段DE C．线段CE D．线段BE考点：动点问题的函数图象．分析：作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G，分别找出线段EF、CE、BE最小值出现的时刻即可得出结论．解答：解：作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G．由垂线段最短可知：当点E与点M重合时，即AE＜时，FE有最小值，与函数图象不符，故A错误；由垂线段最短可知：当点E与点G重合时，即AEd＞时，DE有最小值，故B正确；∵CE=AC﹣AE，CE随着AE的增大而减小，故C错误；由垂线段最短可知：当点E与点N重合时，即AE＜时，BE有最小值，与函数图象不符，故D错误；故选：B．点评：本题主要考查的是动点问题的函数图象，根据垂线段最短确定出函数最小值出现的时刻是解题的关键．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9．如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为3πcm2．（结果保留π）考点：扇形面积的计算．专题：压轴题．分析：知道扇形半径，圆心角，运用扇形面积公式就能求出．解答：解：由S= 知S= × π×32=3πcm2．点评：本题主要考查扇形面积的计算，知道扇形面积计算公式S= ．10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为24m．考点：相似三角形的应用．分析：根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．解答：解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得，= ，解得x=24，即这栋建筑物的高度为24m．故答案为：24．点评：本题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键．11．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1．考点：二次函数的性质．专题：数形结合．分析：根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解．解答：解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A （﹣2，4），B（1，1），∴方程组的解为，，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1．故答案为x1=﹣2，x2=1．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．12．对于正整数n，定义F（n）= ，其中f（n）表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：F（6）=62=36，F（123）=f（123）=12+32=10．规定F1（n）=F（n），Fk+1（n）=F（Fk（n））．例如：F1（123）=F（123）=10，F2（123）=F（F1（123））=F（10）=1．（1）求：F2（4）=37，F2019（4）=26；（2）若F3m（4）=89，则正整数m的最小值是6．考点：规律型：数字的变化类．专题：新定义．分析：通过观察前8个数据，可以得出规律，这些数字7个一个循环，根据这些规律计算即可．解答：解：（1）F2（4）=F（F1（4））=F（16）=12+62=37；F1（4）=F（4）=16，F2（4）=37，F3（4）=58，F4（4）=89，F5（4）=145，F6（4）=26，F7（4）=40，F8（4）=16，通过观察发现，这些数字7个一个循环，2019是7的287倍余6，因此F2019（4）=26；（2）由（1）知，这些数字7个一个循环，F4（4）=89=F18（4），因此3m=18，所以m=6．故答案为：（1）37，26；（2）6．点评：本题属于数字变化类的规律探究题，通过观察前几个数据可以得出规律，熟练找出变化规律是解题的关键．三、解答题（共13小题，满分72分）13．计算：（﹣1）2019+sin30°﹣（π﹣3.14）0+（）﹣1．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可．解答：解：原式=﹣1+ ﹣1+2= ．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE．考点：相似三角形的判定．专题：证明题．分析：根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到AD⊥BC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再加上公共角，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．解答：证明：∵AB=AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠ADC=∠BEC，而∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE．点评：本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰三角形的性质．15．已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式的值．考点：一元二次方程的解．专题：计算题．分析：把x=m代入方程得到m2﹣2=3m，原式分子利用平方差公式化简，将m2﹣2=3m代入计算即可求出值．解答：解：把x=m代入方程得：m2﹣3m﹣2=0，即m2﹣2=3m，则原式= = =3．点评：此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．抛物线y=2x2平移后经过点A（0，3），B（2，3），求平移后的抛物线的表达式．考点：二次函数图象与几何变换．专题：计算题．分析：由于抛物线平移前后二次项系数不变，则可设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，然后把点A和点B的坐标代入得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c即可得到平移后的抛物线的表达式．解答：解：设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，把点A（0，3），B（2，3）分别代入得，解得，所以平移后的抛物线的表达式为y=2x2﹣4x+3．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y= 的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P是反比例函数y= 图象上的一点，且满足△OPC与△ABC 的面积相等，请直接写出点P的坐标．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式；（2）由条件可求得B、C的坐标，可先求得△ABC的面积，再结合△OPC与△ABC的面积相等求得P点坐标．解答：解：（1）把x=2代入y=2x中，得y=2×2=4，∴点A坐标为（2，4），∵点A在反比例函数y= 的图象上，∴k=2×4=8，∴反比例函数的解析式为y= ；（2）∵AC⊥OC，∴OC=2，∵A、B关于原点对称，∴B点坐标为（﹣2，﹣4），∴B到OC的距离为4，∴S△ABC=2S△ACO=2× ×2×4=8，∴S△OPC=8，设P点坐标为（x，），则P到OC的距离为| |，∴ ×| |×2=8，解得x=1或﹣1，∴P点坐标为（1，8）或（﹣1，﹣8）．点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在（1）中求得A点坐标、在（2）中求得P点到OC的距离是解题的关键．18．如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．考点：解直角三角形；勾股定理．专题：计算题．分析：（1）在△ABC中根据正弦的定义得到sinA= = ，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD= AB=5；（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S△BDC=S△ADC，则S△BDC= S△ABC，即CD?BE= ? AC?BC，于是可计算出BE= ，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解．解答：解：（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴sinA= = ，而BC=8，∴AB=10，∵D是AB中点，∴CD= AB=5；（2）在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，∴AC= =6，∵D是AB中点，∴BD=5，S△BDC=S△ADC，∴S△BDC= S△ABC，即CD?BE= ? AC?BC，∴BE= = ，在Rt△BDE中，cos∠DBE= = = ，即cos∠ABE的值为．点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x2＜0，且＞﹣1，求整数m的值．考点：根的判别式；根与系数的关系．专题：计算题．分析：（1）由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m的范围即可；（2）利用求根公式表示出方程的解，根据题意确定出m的范围，找出整数m的值即可．解答：解：（1）由已知得：m≠0且△=（m+2）2﹣8m=（m﹣2）2＞0，则m的范围为m≠0且m≠2；（2）方程解得：x= ，即x=1或x= ，∵x2＜0，∴x2= ＜0，即m＜0，∵＞﹣1，∴＞﹣1，即m＞﹣2，∵m≠0且m≠2，∴﹣2＜m＜0，∵m为整数，∴m=﹣1．点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根即为根的判别式大于0．20．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）；质量档次1 2 ... x (10)日产量（件）95 90 ... 100﹣5x (50)单件利润（万元）6 8 ... 2x+4 (24)为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．考点：二次函数的应用．分析：（1）根据总利润=单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式；（2）由（1）的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论．解答：解：（1）由题意，得y=（100﹣5x）（2x+4），y=﹣10x2+180x+400（1≤x≤10的整数）；答：y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400；（2）∵y=﹣10x2+180x+400，∴y=﹣10（x﹣9）2+1210．∵1≤x≤10的整数，∴x=9时，y最大=1210．答：工厂为获得最大利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的最大值为1210万元．点评：本题考查了总利润=单件利润×销售量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．21．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD 与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F．点P在射线AO 上，且∠PCB=2∠BAF．（1）求证：直线PC是⊙O的切线；（2）若AB= ，AD=2，求线段PC的长．考点：切线的判定；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）首先连接OC，由AD与⊙O相切，可得FA⊥AD，四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，然后由垂径定理可证得F 是的中点，BE=CE，∠OEC=90°，又由∠PCB=2∠BAF，即可求得∠OCE+∠PCB=90°，继而证得直线PC是⊙O的切线；（2）首先由勾股定理可求得AE的长，然后设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3﹣r，则可求得半径长，易得△OCE∽△CPE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得线段PC的长．解答：（1）证明：连接OC．∵AD与⊙O相切于点A，∴FA⊥AD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴FA⊥BC．∵FA经过圆心O，∴F是的中点，BE=CE，∠OEC=90°，∴∠COF=2∠BAF．∵∠PCB=2∠BAF，∴∠PCB=∠COF．∵∠OCE+∠COF=180°﹣∠OEC=90°，∴∠OCE+∠PCB=90°．∴OC⊥PC．∵点C在⊙O上，∴直线PC是⊙O的切线．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=2．∴BE=CE=1．在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB= ，设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3﹣r．在Rt△OCE中，∠OEC=90°，∴OC2=OE2+CE2．∴r2=（3﹣r）2+1．解得，∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°．∴△OCE∽△CPE，点评：此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．22．阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．请回答：（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC=；tan∠AOD=5；解决问题：如图3，计算：tan∠AOD=．考点：相似形综合题．分析：（1）用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置；（2）连接AC、DB、AD、DE．由△ACO∽△DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质可以求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在Rt△AFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值；（3）如图，连接AE、BF，则AF= ，AB= ，由△AOE∽△BOF，可以求出AO= ，在Rt△AOF中，可以求出OF= ，故可求得tan∠AOD．解答：解：（1）如图所示：线段CD即为所求．（2）如图2所示连接AC、DB、AD．∵AD=DE=2，∴AE=2 ．∵CD⊥AE，∴DF=AF= ．∵AC∥BD，∴△ACO∽△DBO．∴CO：DO=2：3．∴CO= ．∴DO= ．∴OF= ．tan∠AOD= ．（3）如图3所示：根据图形可知：BF=2，AE=5．由勾股定理可知：AF= = ，AB= = ．∵FB∥AE，∴△AOE∽△BOF．∴AO：OB=AE：FB=5：2．∴AO= ．在Rt△AOF中，OF= = ．∴tan∠AOD= ．点评：本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，根据点阵图构造相似三角形是解题的关键．23．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= 的图象经过点A（1，4）、B（m，n）．（1）求代数式mn的值；（2）若二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；（3）若反比例函数y= 的图象与二次函数y=a（x﹣1）2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．考点：反比例函数综合题；代数式求值；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的性质．专题：综合题；数形结合；分类讨论．分析：（1）只需将点A、B的坐标代入反比例函数的解析式就可解决问题；（2）将点B的坐标代入y=（x﹣1）2得到n=m2﹣2m+1，先将代数式变形为mn（m2﹣2m+1）+2mm﹣4n，然后只需将m2﹣2m+1用n 代替，即可解决问题；（3）可先求出直线y=x与反比例函数y= 交点C和D的坐标，然后分a＞0和a＜0两种情况讨论，先求出二次函数的图象经过点D或C 时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质（|a|越大，抛物线的开口越小）就可解决问题．解答：解：（1）∵反比例函数y= 的图象经过点A（1，4）、B（m，n），∴k=mn=1×4=4，即代数式mn的值为4；（2）∵二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点B，∴n=（m﹣1）2=m2﹣2m+1，∴m3n﹣2m2n+3mn﹣4n=m3n﹣2m2n+mn+2mn﹣4n=mn（m2﹣2m+1）+2mm﹣4n=4n+2×4﹣4n=8，即代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值为8；（3）设直线y=x与反比例函数y= 交点分别为C、D，解，得：或，∴点C（﹣2，﹣2），点D（2，2）．①若a＞0，如图1，当抛物线y=a（x﹣1）2经过点D时，有a（2﹣1）2=2，解得：a=2．∵|a|越大，抛物线y=a（x﹣1）2的开口越小，∴结合图象可得：满足条件的a的范围是0＜a＜2；②若a＜0，如图2，当抛物线y=a（x﹣1）2经过点C时，有a（﹣2﹣1）2=﹣2，解得：a=﹣．∵|a|越大，抛物线y=a（x﹣1）2的开口越小，∴结合图象可得：满足条件的a的范围是a＜﹣．综上所述：满足条件的a的范围是0＜a＜2或a＜﹣．点评：本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、求代数式的值、求直线与反比例函数图象的交点坐标、二次函数的性质等知识，另外还重点对整体思想、数形结合的思想、分类讨论的思想进行了考查，运用整体思想是解决第（2）小题的关键，考虑临界位置并运用数形结合及分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键．24．如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE 之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．考点：几何变换综合题．分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得出即可；（2）①设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，根据SAS 推出△ADE≌△BDC，根据全等三角形的性质得出AE=BC，∠AED=∠BCD．求出∠AFE=45°，解直角三角形求出即可；②过E作EM⊥AF于M，根据等腰三角形的性质得出∠AEM=∠FME= ，AM=FM，解直角三角形求出FM即可．解答：解：（1）AD+DE=4，理由是：如图1，∵∠ADB=∠EDC=∠α=90°，AD=BD，DC=DE，∴AD+DE=BC=4；（2）①补全图形，如图2，设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，∵∠ADB=∠CDE=90°，∴∠ADE=∠BDC，在△ADE与△BDC中，∴△ADE≌△BDC，∴AE=BC，∠AED=∠BCD．∵DE与BC相交于点H，∴∠GHE=∠DHC，∴∠EGH=∠EDC=90°，∵线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，∴EF=CB=4，EF∥CB，∴AE=EF，∵CB∥EF，∴∠AEF=∠EGH=90°，∵AE=EF，∠AEF=90°，∴∠AFE=45°，∴AF= =4 ；②如图2，过E作EM⊥AF于M，∵由①知：AE=EF=BC，∴∠AEM=∠FME= ，AM=FM，∴AF=2FM=EF×sin =8sin ．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，平移的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．25．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．定义图形W的测度面积：若|x1﹣x2|的最大值为m，|y1﹣y2|的最大值为n，则S=mn为图形W的测度面积．例如，若图形W是半径为1的⊙O，当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得最大值，且最大值n=2．则图形W的测度面积S=mn=4（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1．①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=1；②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S=1；（2）若图形W是一个边长1的正方形ABCD，则此图形的测度面积S的最大值为2；（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．考点：圆的综合题．分析：（1）由测度面积的定义利用它的测度面积S=|OA|?|OB|求解。
海淀区初三年级上册数学期中重点试卷(含答案解析)
海淀区2019 初三年级上册数学期中重点试卷（含答案解析）海淀区2019 初三年级上册数学期中重点试卷（含答案解析）一、选择题（本题共30 分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置.题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是A ．B ．C ．D ．2．下列图形是中心对称图形的是A．B．C． D ．3．二次函数的最大值是A． B ． C ．1 D．24．已知OO的半径是4，OP的长为3,则点P与OO的位置关系是A.点P在圆内B .点P在圆上C .点P在圆外D .不能确定5．将抛物线沿y 轴向下平移2 个单位，得到的抛物线的解析式为A．6．已知扇形的半径为，圆心角为，则这个扇形的面积为A．B ．C ．D ．7．用配方法解方程，下列配方正确的是A．B ．C ．D ．8．已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中不正确的是A． B ．C．0 D ．9. 如图，△ ABC内接于O Q BD是OO的直径.若，则等于A．B ．C ．D ．10. 小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y （米）与旋转时间x （分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画.经测试得出部分数据如下表：x/ 分…2.66 3.23 3.46 …y/ 米…69.16 69.62 68.46 …下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是A．7 分B ．6.5 分C ．6 分D ．5.5 分二、填空题（本题共18 分，每小题 3 分）11．方程的解为．12. 请写出一个开口向上且经过（0, 1）的抛物线的解析式13．若二次函数的图象上有两个点、，则 a __ （填“”或“ =”或“”）．14.如图，A、B、C三点在OO 上，/ AOC=1O0，贝U/ ABC= ____ .15．用一块直径为4 米的圆桌布平铺在对角线长为4 米的正方形桌面上（如示意图），若四周下垂的最大长度相等，贝这个最大长度x 为 ________________ 米（取1.4 ）．16. 如图，O是边长为1的等边AA BC的中心，将AB BC CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转（）得到、、，连接、、、、．（1） ______ ?；（2）当？时，△的周长最大.三、解答题（本题共72 分，第17~26 题，每小题5 分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17 ．解方程：．18．若抛物线与轴只有一个交点，求实数的值．19．已知点（3, 0）在抛物线上，求此抛物线的对称轴．20.如图，AC是OO的直径，PA, PB是OO的切线，A, B为切点，.求/P的度数.21 ．已知x=1 是方程的一个根，求代数式的值．22．一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m水面宽AB为1.6m.由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为1.2m，求水面下降的高度.23．已知关于x 的方程.（ 1 ）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根大于2，求a 的取值范围．24．在设计人体雕像时，若使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度的比等于下部与全部（全身）的高度比，则可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高为2m那么它的下部应设计为多高（取 2.2 ）．25. 已知AB是OO的直径，AC AD是OO的弦，AB=2, AC=,AD=1求/ CAD的度数.26. 抛物线与直线相交于A 、B 两点.（1 ）求这条抛物线的解析式；（2）若，则的最小值为__________ .27. 如图，AB为OO的直径，C为OO上一点，CDLAB于点D. P为AB延长线上一点，.（1）求证：CP为OO的切线；（2）BP=1，.①求OO的半径；②若M为AC上一动点，则OM+D的最小值为28. 探究活动：利用函数的图象（如图 1 ）和性质，探究函数的图象与性质.下面是小东的探究过程，请补充完整：(1) 函数的自变量x 的取值范围是 _____________ ；(2) 如图2，他列表描点画出了函数图象的一部分，请补全函数图象；解决问题：设方程的两根为、，且，方程的两根为、，且. 若，则、、、的大小关系为(用“”连接) ．29. 在平面直角坐标系xOy中，半径为1的OO与x轴负半轴交于点A,点M在OO上，将点M绕点A顺时针旋转60? 得到点Q.点N 为x轴上一动点(N不与A重合),将点M 绕点N 顺时针旋转60?得到点P. PQ 与x 轴所夹锐角为.(1)如图1,若点M的横坐标为，点N与点0重合，则= _______ ?；________ ■ ‘(2)若点M点Q的位置如图2所示，请在x轴上任取一点N,画出直线PQ并求的度数；(3)当直线PQ与OO相切时，点的坐标为_____________ .海淀区2019 初三年级上册数学期中重点试卷( 含答案解析) 参考答案一、选择题(本题共30 分，每小题3 分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案D A A A B B C D B C二、填空题（本题共18 分，每小题 3 分）题号11 12 13 14 15 16答案（答案不唯一）130 0.6 120 ，150三、解答题（本题共72 分，第17~26 题，每小题5 分，第27 题7 分，第28 题7 分，第29 题8 分）17. ............................................................................... 解：1分. ................................. 3 分•••或. ••• ........................................ 5 分18. 解：•••抛物线与轴只有一个交点，•- , ............................ 2分即.................................. 4 分•- . ................................ 5 分19. 解：•••点（3, 0）在抛物线上，•- . ............................ 2分•- . ................................ 3 分•抛物线的解析式为 .•••对称轴为...............................5 分20. 解：I PA,PB是OO的切线，• PA=PB ............................................................ 1分•- . ............................ 2分••• AC为OO的直径，••• CAL PA•••o. ...................................................... 3 分T o,•o . ......................................................................... 4分•o . ......................................................................... 5分21. 解：T是方程的一个根，•- . ............................ 2分•- . .............................. 3 分•原式............................. 4 分.......................................................................... 5分22. 解：如图，下降后的水面宽C D 为1.2m，连接OA, 0C,过点0作ON L CD于N,交AB于M. (1)分•o.T AB// CD•o．•, . ............................................... 2分在Rt △ OAM中,•. ....................................................... 3分同理可得........................ 4 分答：水面下降了0.2 米. 23. (1)证明： ... .......5分1分即．•••方程总有两个不相等的实数根. .................................. 2 分(2)解方程，得... . (4)分•••方程有一个根大于2,••• . ............................ 5 分24. 解：如图，雕像上部高度AC与下部高度BC应有，即. 设BC为x m. ................................................ 1分依题意，得.. .............................. 3 分解得(不符合题意，舍去).……4分答：雕像的下部应设计为 1.2m. .................................... 5 分25. 解：如图1,当点D、C在AB的异侧时，连接0DBC. ………1 分••• AB是OO的直径，• o.在Rt △ ACB 中，•o . .............................. 2 分•o . .............................. 3 分•o . .............................. 4 分当点D、C 在AB 的同侧时,如图2,同理可得 , . • •• o .•••为15o 或o . ....................... 5 分26. 解：(1)v直线经过点B (2, -3 ),•- . ................................ 1分•••直线经过点A (-2 , n),[•- . ................................ 2分•••抛物线过点A和点B,•- . ................................ 4分(2) . ................................................................................... 5分27. (1)证明：连接0C. . (1)•••/ PCD=Z BAC / P0C=2 BAC•••/ POC 玄PCD ......................................... 2 分•••CDLAB 于点D•••/ OD(=90?.•••/ POC：+ OC D =90o.•••/ PCD# OCD =90o•••/ OCP=90o•半径OCL CP• CP为OO的切线. ................................... 3分(2)解：①设OO的半径为r .在Rt△ OCP中，.解得 ．/.OO 的半径为2. ...................................... ② . ............. 28. 解：（ 1） 或 ； 分（ 2）如图所示：.................................................................. 5 分. .. ............................................................... 7 分29. 解：（1） ........................... . 2 分（ 2）. ................................................................................. 3 分连接 . 记 分别交 轴于 .•••将点M 绕点A 顺时针旋转60?得到点Q,将点M 绕点N 顺 时针旋转 60?得到点 P ，•••△和厶均为等边三角形 ........... 4 分4分5分7分 (2)。
北京市北京市海淀区2019-2020学年九年级上学期数学期中考试试卷及参考答案
北京市北京市海淀区2019-2020学年九年级上学期数学期中考试试卷一、单选题1. 下列图案中，是中心对称图形的是（）A .B .C .D .2. 抛物线的顶点坐标为（）A . （-1，2）B . （1，2）C . （1，-2）D . （2，1）3. 体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（）A . MB . NC . PD . Q4. 将抛物线向下平移3个单位，得到的抛物线为（）A .B .C .D .5. 已知水平放置的圆柱形排水管道，管道截面半径是1 m，若水面高0.2 m. 则排水管道截面的水面宽度为（）A . 0.6 mB . 0.8 mC . 1.2 mD . 1.6 m6. 如图，在⊙O中，， . 则的度数为（）A .B .C .D .7. 下列是关于四个图案的描述.图1所示是太极图，俗称“阴阳鱼”，该图案关于外圈大圆的圆心中心对称；图2所示是一个正三角形内接于圆；图3所示是一个正方形内接于圆；图4所示是两个同心圆，其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二.这四个图案中，阴影部分的面积不小于该图案外圈大圆面积一半的是（）A . 图1和图3B . 图2和图3C . 图2和图4D . 图1和图48. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A, B两点. 若顶点C到x轴的距离为8，则线段AB的长度为（）A . 2B .C .D . 4二、填空题9. 在平面直角坐标系中，点绕原点旋转180°后所得到的点的坐标为________．10. 写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式________．11. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=50°，则∠BAC=________．12. 若二次函数的图象上有两点 , 则 ________ .（填“>”，“=”或“<”）13. 如图,边长为2的正方形ABCD绕着点C顺时针旋转90°，则点A运动的路径长为________.14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于________．15. 如图，已知正方形OBCD的三个顶点坐标分别为B(1,0),C(1,1), D(0,1). 若抛物线与正方形OBCD的边共有3个公共点，则h的取值范围是________.16. 如图，在中，⑴作AB和BC的垂直平分线交于点O；⑵以点O为圆心，OA长为半径作圆；⑶⊙O分别与AB和BC的垂直平分线交于点M，N；⑷连接AM，AN，CM，其中AN与CM交于点P.根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中，①；②；③点O是的外心；④点P是的内心.所有正确结论的序号是________.三、解答题17. 已知抛物线的对称轴为，是抛物线上一点，求该抛物线的解析式．18. 如图，等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=α.作AD⊥BC于点D，将线段BD绕着点B顺时针旋转角α后得到线段B E，连接CE. 求证：BE⊥CE.19. 请完成下面题目的证明．如图,AB为⊙O的直径,AB=8,点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点,连接OC,AC,且∠BOC<90°,直线BC与直线AD相交于点E,过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且∠GAF=∠GCE（1）求证:直线CG为⊙O的切线；（2）若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CB=CH；①求证:△CBH∽△OBC；②求OH+HC的最大值.20. 如图,一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心. , C是上一点，，垂足为，，求这段弯路的半径．21. 已知二次函数的图象与轴只有一个公共点.（1）求该二次函数的解析式；（2）当时，y的最大值为，最小值为.22. 如图，已知等边三角形ABC，O为△ABC内一点，连接OA，OB，OC，将△BAO绕点B旋转至△BCM.（1）依题意补全图形；（2）若OA= ，OB= ，OC=1，求∠OCM的度数.23. 如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，以BC为直径的半圆交AB于点D，O是该半圆所在圆的圆心，E为线段AC上一点，且ED=EA．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若，∠A=30°，求⊙O的半径.24. 悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁. 其缆索几何形状一般近似于抛物线.从缆索垂下许多吊杆（吊杆垂直于桥面），把桥面吊住.某悬索桥（如图1），是连接两个地区的重要通道. 图2是该悬索桥的示意图.小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引. 他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索（即图2中桥上方的曲线）的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB=CD, 两个索塔均与桥面垂直. 主桥AC的长为600 m，引桥CE的长为124 m.缆索最低处的吊杆MN长为3 m ，桥面上与点M相距100 m处的吊杆PQ长为13 m.若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标系，求出索塔顶端D与锚点E的距离.图225. 探究函数的图象与性质．小娜根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小娜的探究过程，请补充完整：（1） 下表是x 与y 的几组对应值．x…023…y…0mn 3…请直接写出：m=，n=；（2） 如图，小娜在平面直角坐标系xOy 中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若方程 有三个不同的解，记为x , x , x ，且x < x <x . 请直接写出x + x +x 的取值范围.26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与直线 交于A, B 两点，其中点A 在x轴上.（1）用含有b 的代数式表示c ；（2） ①若点B 在第一象限，且，求抛物线的解析式；② 若 ，结合函数图象，直接写出b 的取值范围.27. 如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，，将点C 关于直线AB对称得到点D ，作射线BD 与CA 的延长线交于点E ，在CB 的延长线上取点F ，使得BF=DE ，连接AF.备用图123123123（1） 依题意补全图形；（2） 求证：AF=AE ；（3） 作BA 的延长线与FD 的延长线交于点P ，写出一个∠ACB 的值，使得AP=AF 成立，并证明.28. 在平面内，C 为线段AB 外的一点，若以A ，B ，C 为顶点的三角形为直角三角形，则称C 为线段AB 的直角点. 特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称C 为线段AB 的等腰直角点．（1） 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为，在点P ，P，P 中，线段OM 的直角点是；（2） 在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B的坐标分别为， ，直线l的解析式为 ．①如图2，C 是直线l 上的一个动点，若C 是线段AB 的直角点，求点C的坐标；②如图3，P 是直线l 上的一个动点，将所有线段AP 的等腰直角点称为直线l 关于点A 的伴随点.若⊙O 的半径为r ，且⊙O 上恰有两个点为直线l 关于点A 的伴随点，直接写出r 的取值范围．参考答案1.2.3.1234.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.。
2019-2020学年北京市海淀区九年级第一学期期中数学试卷(含答案)
初三第一学期期中学业水平调研数 学2019．11一、选择题 （本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图案中，是中心对称图形的是A B C D 2. 抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标为A ．(1,2)-B ． (1,2)C ．(1,2)-D ．(2,1)3. 体育课上，小悦在点O 处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M ，N ，P ，Q 四个点处， 则表示他最好成绩的点是A ．MB ．NC ．PD ．Q4． 将抛物线22y x =向下平移3个单位，得到的抛物线为A ．223y x =+B ．223y x =-C ．()223y x =+D ． ()223y x =-5． 已知水平放置的圆柱形排水管道，管道截面半径是1 m ，若水面高0.2 m. 则排水管道截面的水面宽度为 A.0.6 m B.0.8 m C.1.2 m D.1.6 m6． 如图，在⊙O 中，OA BC ⊥，25ADB ∠=︒. 则AOC ∠的度数为A ．30︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒7. 下列是关于四个图案的描述.图1所示是太极图，俗称“阴阳鱼”，该图案关于外圈大圆的圆心中心对称； 图2所示是一个正三角形内接于圆； 图3所示是一个正方形内接于圆；图4所示是两个同心圆，其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二.图1 图2 图3 图4这四个图案中，阴影部分的面积不小于．．．该图案外圈大圆面积一半的是 A. 图1和图3B. 图2和图3C. 图2和图4D. 图1和图48． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =-++与x 轴交于A , B 两点. 若顶点C 到x轴的距离为8，则线段AB 的长度为 A ．2 B ． C D ．4二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 在平面直角坐标系中，点(3,2)P -绕原点旋转180°后所得到的点的坐标为 ． 10．写出一个对称轴是y 轴的抛物线的解析式： ． 11. 如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径. 若50P ∠=︒，则BAC ∠= °.。
北京市海淀区2019-2019学年九年级上期中数学复习试卷含解析
2019-2019学年北京市海淀区普通中学九年级（上）期中数学复习试卷（因式分解）一、选择题1．分解因式：16﹣x2=（）A．（4﹣x）（4+x）B．（x﹣4）（x+4）C．（8+x）（8﹣x）D．（4﹣x）22．下列因式分解错误的是（）A．2a﹣2b=2（a﹣b）B．x2﹣9=（x+3）（x﹣3）C．a2+4a﹣4=（a+2）2 D．﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣1）（x+2）3．把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）A．2a（4a2﹣4a+1）B．8a2（a﹣1）C．2a（2a﹣1）2D．2a（2a+1）2 4．若实数x、y、z满足（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，则下列式子一定成立的是（）A．x+y+z=0 B．x+y﹣2z=0 C．y+z﹣2x=0 D．z+x﹣2y=05．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．宜昌游C．爱我宜昌D．美我宜昌二、填空题6．如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式．7．分解因式：（x﹣8）（x+2）+6x=．8．若整式x2+ky2（k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是（写出一个即可）．9．分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2=．10．已知实数a，b满足：a2+1=，b2+1=，则2019|a﹣b|=．三、解答题11．分解因式：（1）3x2﹣27；（2）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2；（3）8（x2﹣2y2）﹣x（7x+y）+xy．12．若△ABC的三边长分别为a，b，c，且a+2ab=c+2bc，判断△ABC的形状．13．有足够多的长方形和正方形的卡片如图．如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．14．设a=m+1，b=m+2，c=m+3，求代数式a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2的值．15．设y=kx，是否存在实数k，使得代数式（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．2019-2019学年北京市海淀区普通中学九年级（上）期中数学复习试卷（因式分解）参考答案与试题解析一、选择题1．分解因式：16﹣x2=（）A．（4﹣x）（4+x）B．（x﹣4）（x+4）C．（8+x）（8﹣x）D．（4﹣x）2【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：16﹣x2=（4﹣x）（4+x）．故选：A．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．2．下列因式分解错误的是（）A．2a﹣2b=2（a﹣b）B．x2﹣9=（x+3）（x﹣3）C．a2+4a﹣4=（a+2）2 D．﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣1）（x+2）【考点】因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法；因式分解-十字相乘法等．【分析】根据公式法分解因式的特点判断，然后利用排除法求解．【解答】解：A、2a﹣2b=2（a﹣b），正确；B、x2﹣9=（x+3）（x﹣3），正确；C、a2+4a﹣4不能因式分解，错误；D、﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣1）（x+2），正确；故选C．【点评】本题主要考查了因式分解，关键是对于完全平方公式和平方差公式的理解．3．把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）A．2a（4a2﹣4a+1）B．8a2（a﹣1）C．2a（2a﹣1）2D．2a（2a+1）2【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式2a，进而利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：8a3﹣8a2+2a=2a（4a2﹣4a+1）=2a（2a﹣1）2．故选：C．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．4．若实数x、y、z满足（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，则下列式子一定成立的是（）A．x+y+z=0 B．x+y﹣2z=0 C．y+z﹣2x=0 D．z+x﹣2y=0【考点】完全平方公式．【分析】首先将原式变形，可得x2+z2+2xz﹣4xy+4xz+4y2﹣4yz=0，则可得（x+z﹣2y）2=0，则问题得解．【解答】解：∵（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，∴x2+z2﹣2xz﹣4xy+4xz+4y2﹣4yz=0，∴x2+z2+2xz﹣4xy+4y2﹣4yz=0，∴（x+z）2﹣4y（x+z）+4y2=0，∴（x+z﹣2y）2=0，∴z+x﹣2y=0．故选：D．【点评】此题考查了完全平方公式的应用．解题的关键是掌握：x2+z2+2xz﹣4xy+4y2﹣4yz=（x+z﹣2y）2．5．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．宜昌游C．爱我宜昌D．美我宜昌【考点】因式分解的应用．【分析】对（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，即可得到结论．【解答】解：∵（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b），∵x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，∴结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，故选C．【点评】本题考查了公式法的因式分解运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．二、填空题6．如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式am+bm+cm=m（a+b+c）．【考点】因式分解-提公因式法．【分析】直接利用矩形面积求法结合提取公因式法分解因式即可．【解答】解：由题意可得：am+bm+cm=m（a+b+c）．故答案为：am+bm+cm=m（a+b+c）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确利用矩形面积求出是解题关键．7．分解因式：（x﹣8）（x+2）+6x=（x+4）（x﹣4）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】原式去括号、合并同类项后，运用平方差公式分解即可得到结果．【解答】解：原式=x2+2x﹣8x﹣16+6x=x2﹣16=（x+4）（x﹣4），故答案为：（x+4）（x﹣4）．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握整式的化简、平方差公式是解题的关键．8．若整式x2+ky2（k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是﹣1（写出一个即可）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】令k=﹣1，使其能利用平方差公式分解即可．【解答】解：令k=﹣1，整式为x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），故答案为：﹣1．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．9．分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2=3（a+b）（a﹣b）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=（2a+b+a+2b）（2a+b﹣a﹣2b）=3（a+b）（a﹣b）．故答案为：3（a+b）（a﹣b）．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．10．已知实数a，b满足：a2+1=，b2+1=，则2019|a﹣b|=1．【考点】因式分解的应用；零指数幂．【分析】由于a2+1=，b2+1=，两式相减可得a2﹣b2=﹣，则有（a+b）（a﹣b）=，分解因式可得a=b，依此可得2019|a﹣b|=20190，再根据零指数幂的计算法则计算即可求解．【解答】解：∵a2+1=，b2+1=，两式相减可得a2﹣b2=﹣，（a+b）（a﹣b）=，[ab（a+b）+1]（a﹣b）=0，∴a﹣b=0，即a=b，∴2019|a﹣b|=20190=1．故答案为：1．【点评】考查了因式分解的应用，零指数幂，本题关键是得到a=b．三、解答题11．分解因式：（1）3x2﹣27；（2）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2；（3）8（x2﹣2y2）﹣x（7x+y）+xy．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】利用提公因式法、公式法进行因式分解即可．【解答】解：（1）3x2﹣27=3（x2﹣9）=3（x﹣3）（x+3）；（2）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2=[2+3（x﹣y）]2=（2+3x﹣3y）2；（3）8（x2﹣2y2）﹣x（7x+y）+xy=8x2﹣16y2﹣7x2﹣xy+xy=x2﹣16y2=（x+4y）（x﹣4y）．【点评】本题考查的是多项式的因式分解，掌握提公因式法、公式法因式分解是解题的关键．12．若△ABC的三边长分别为a，b，c，且a+2ab=c+2bc，判断△ABC的形状．【考点】因式分解的应用．【分析】通过对a+2ab=c+2bc的变形得到2b（a﹣c）=0，由此求得a=c，易判断△ABC的形状．【解答】解：∵a+2ab=c+2bc，∴2b（a﹣c）=0，∵b≠0，∴a﹣c=0，∴a=c，∴△ABC是等腰三角形．【点评】该题主要考查了因式分解及其应用问题；解题的关键是牢固掌握掌握分组分解法或提公因式法，灵活选用有关方法来变形、化简、求值或证明．13．有足够多的长方形和正方形的卡片如图．如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．【考点】多项式乘多项式．【分析】先根据题意画出图形，然后求出长方形的长和宽，长为a+2b，宽为a+b，从而求出长方形的面积．【解答】解：如图：或a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）．【点评】考查多项式与多项式相乘问题；根据面积的不同表示方法得到相应的等式是解决本题的关键．14．设a=m+1，b=m+2，c=m+3，求代数式a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2的值．【考点】因式分解的应用．【分析】首先把代数式a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2利用完全平方公式因式分解，再代入求得数值即可．【解答】解：a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2=（a+b）2﹣2c（a+b）+c2=（a+b﹣c）2当a=m+1，b=m+2，c=m+3时，原式=[m+1+m+2﹣（m+3）]2=m2．【点评】此题考查代数式求值，注意利用完全平方公式因式分解，简化计算的方法与步骤．15．设y=kx，是否存在实数k，使得代数式（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．【考点】因式分解的应用．【分析】先利用因式分解得到原式=（4x2﹣y2）（x2﹣y2+3x2）=（4x2﹣y2）2，再把当y=kx 代入得到原式=（4x2﹣k2x2）2=（4﹣k2）x4，所以当4﹣k2=1满足条件，然后解关于k的方程即可．【解答】解：能；（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）=（4x2﹣y2）（x2﹣y2+3x2）=（4x2﹣y2）2，当y=kx，原式=（4x2﹣k2x2）2=（4﹣k2）2x4，令（4﹣k2）2=1，解得k=±或±，即当k=±或±时，原代数式可化简为x4．【点评】本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．。
北京海淀区初三上学期数学期中考试试卷(附答案)
(1) y 与 x 之间的函数关系式为
（不需写自变量的取值范围）；
(2) 根据改造方案，改造后的矩形苗圃 AEF G 的面积与原正方形苗圃 ABCD 的面积相
等，请问此时 BE 的长为多少米?
21. 关于 x 的一元二次方程 x2 + 2 (m − 1) x + m2 − 1 = 0 有两个不相等的实数根 x = x1，x = x2． (1) 求实数 m 的取值范围；
=
2
(m2
−
) 3m
+
5
= 3.
19. ∵ 在 ⊙O 中，AB = CD， ∴ ∠AOB = ∠COD． ∵ OA = OB，OC = OD， ∴ 在 △AOB 中，∠B = 90◦ − 1 ∠AOB， 2 在 △COD 中，∠C = 90◦ − 1 ∠COD． 2 ∴ ∠B = ∠C．
20. (1) y = −2x2 + 4x + 16（或 y = (4 − x) (4 + 2x)） (2) 由题意，原正方形苗圃的面积为 16 平方米， 得 −2x2 + 4x + 16 = 16.
x2 + 10x = 39 为例，花拉子米的几何解法如下：
如图，在边长为 x 的正方形的两个相邻边上作边长分别为 x 和 5 的矩形，再补上一个边长为 5 的小正方形，
最终把图形补成一个大正方形．
通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为 (x + )2 = 39 + ，从而得到此方程的正
∠ADE 的大小为
．
12. 抛物线 y = x2 − x − 1 与 x 轴的公共点的个数是
．
13. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，点 B 的坐标分别为 (0, 2)，(−1, 0)，将线段 AB 绕点 O 顺时针旋转，若点 A 的对应点 A′ 的坐标为 (2, 0)，则点 B 的对应点 B′ 的坐标为 ．
北京海淀初三(九年级)上学期数学期中试题及答案
北京海淀初三(九年级)上学期数学期中试题及答案
北京海淀2019-2019初三(九年级)上学期数学
期中试题及答案
数学网讯：期中考试已经结束了，期中考试试卷答案也出来了，下面是北京海淀2019-2019初三(九年级)上学期数学期中试题及答案，供大家参考。
北京海淀2019-2019初三(九年级)上学期数学期中试题
试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上答无效。
一、选择题(本题共32分，每小题4分)
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的
1、一元二次方程x2-2x-3的二次项的系数、一次项系数、常数项分别是
A、 1，-2，-3
B、-2，3
C、 1,2,3
D、1,2，-3
2、在角，等边三角形、平行四边形、圆中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A、角
B、等边三角形
C、平行四边形
D、圆
3、函数，自变量x的取值范围是
A、x≠2 B x≤2 C x2 D x≥2
4、如图，点A、B、C在⊙O上，若∠AOB=110°，则∠ACB 的大小
A、35°
B、45°
C、55°
D、110°
5、用配方法解方程x2+10x+9=0，配方正确的是
A、 (x+5)2=16
B、(x+5)2=34
C、 (x-5)2=25
D、(x+5)2=25。
2019年北京市海淀区九年级上期中数学试题含答案
2019年北京市海淀区九年级上期中数学试题含答案数学2017.11学校班级___________姓名成绩 一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．一元二次方程23610x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 A ．3，6，1B ．3，6，1-C ．3，6-，1D ．3，6-，1-2．把抛物线2y x =向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为 A ．21y x =+ B ．21y x =- C ．21y x =-+3．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点. 若∠C =35°，则∠AOB 的 大小为 A ．35° C ．65° 4．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是A B C D5．用配方法解方程2420x x -+=，配方正确的是 A ．()222x -= B ．()222x +=C ．()222x -=-D ．()226x -=6．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n °后能与原来的图案重合，那么n 的值可能是A ．45B ．60C ．90D ．1207．二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y mx n =+2ax bx c mx n ++>+的x 的取值范围是A ．30x -<<B ．3x <-或0x >C ．3x <-或1x >D ．03x <<8．如图1，动点P 从格点A 出发，在网格平面内运动，设点P 走过的路程为s ，点P 到直线l 的距离为d . 已知d 与s 的关系如图2所示．下列选项中，可能是点P 的运动路线的是A B C D二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．点P （1-，2）关于原点的对称点的坐标为________． 10．写出一个图象开口向上，过点（0，0）的二次函数的表达式：________．11．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 的延长线上一点．若∠B =110°，则∠ADE 的大小为________．12．抛物线21y x x =--与x 轴的公共点的个数是________． 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，点B 的坐标分别为（0，2），（1-，0），将线段AB 绕点O 顺时针旋转，若点A 的对应点A '的坐标为（2，0），则点B 的对应点B '的坐标为________．14．已知抛物线22y x x =+经过点1(4)y -，，2(1)y ，，则l l ll l1y ________2y （填“＞”，“=”，或“＜”）．15．如图，⊙O 的半径OA 与弦BC 交于点D ，若OD =3，AD =2，BD =CD ，则BC 的长为________．16请回答：该尺规作图的依据是_______________________________________________．三、解答题（本题共72分，第17题4分，第18~23题，每小题5分，第24~25题，每小题7分，第26~ 28题，每小题8分）17．解方程：2430x x -+=．18．如图，等边三角形ABC 的边长为3，点D 是线段BC 上的点，CD =2，以AD 为边作等边三角形ADE ，连接CE ．求CE 的长．EB D CA19．已知m 是方程2310x x -+=的一个根，求()()()2322m m m -++-的值．20．如图，在⊙O 中，»»AB CD =．求证：∠B =∠C ．21．如图，ABCD 是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG 的形状，其中点E 在AB 边上，点G 在AD 的延长线上，DG =2BE ．设BE 的长为x 米，改造后苗圃AEFG 的面积为y 平方米．（1）y 与x 之间的函数关系式为_____________________（不需写自变量的取值范围）；（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG 的面积与原正方形苗圃ABCD 的面积相等，请问此时BE 的长为多少米？22．关于x 的一元二次方程()222110x m x m +-+-=有两个不相等的实数根12,x x ．（1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得120x x =成立？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．23．古代丝绸之路上的花剌子模地区曾经诞生过一位伟大的数学家——“代数学之父”阿尔·花拉子米．在E研究一元二次方程解法的过程中，他觉得“有必要用几何学方式来证明曾用数字解释过的问题的正确性”．以21039x x +=为例，花拉子米的几何解法如下：如图，在边长为x 的正方形的两个相邻边上作边长分别为x 和 5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补 成一个大正方形．通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为()2________39x +=+，从而得到此方程的正根是________．24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（1，0），点P 的横坐标为2，将点A 绕点P 旋转，使它的对应点B 恰好落在x 轴上（不与合）；再将点B 绕点O 逆时针旋转90°得到点C ． （1）直接写出点B 和点C 的坐标；（2）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式．25．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点O 作点D ，CD ∥AB ．（1）求证：E 为OD 的中点；（2）若CB =6，求四边形CAOD 的面积．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：2y x =：2(0)y kx k k =->．（1）抛物线C 的顶点D 的坐标为________； （2）请判断点D 是否在直线l 上，并说明理由；（3）记函数2442,22x x x y kx k x ⎧-+≤=⎨->⎩，，的图象为G ，点(0,)M t ，过点M 垂直于y 轴的直线与图象G 交于点11()P x y ，，22()Q x y ，．当13t <<时，若存在t 使得124x x =+成立，结合图象，求k 的取值范围．55 5x x xx 527．对于平面直角坐标系xOy 中的点P ，给出如下定义：记点P 到x 轴的距离为1d ，到y 轴的距离为2d ，若12d d ≤，则称1d 为点P 的“引力值”；若12d d >，则称2d 为点P 的“引力值”．特别地，若点P 在坐标轴上，则点P 的“引力值”为0．例如，点P （2-，3）到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为2，因为23<，所以点P 的“引力值”为2．（1）①点A （1，4-）的“引力值”为________；②若点B （a ，3）的“引力值”为2，则a 的值为________；（2）若点C 在直线24y x =-+上，且点C 的“引力值”为2，求点C 的坐标；（3）已知点M 是以D （3，4）为圆心，半径为2的圆上的一个动点，那么点M 的“引力值”d 的取值范围是．28．在Rt △ABC 中，斜边AC 的中点M 关于BC 的对称点为点O ，将△ABC 绕点O 顺时针旋转至△DCE ，连接BD ，BE ，如图所示．（1）在①∠BOE ，②∠ACD ，③∠COE 中，等于旋转角的是________（填出满足条件的的角的序号）；（2）若∠A =α，求∠BEC 的大小（用含α的式子表示）；（3）点N 是BD 的中点，连接MN ，用等式表示线段MN 与BE 之间的数量关系，并证明．初三第一学期期中学业水平调研数学参考答案．11一、选择题（本题共24分，每小题3分）二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（1，2-） 10．答案不唯一，例如2y x =11．110° 12．213．（0，1）14．＞15．816．①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对的圆周角是直角；③两点确定一条直线．（注：写出前两个即可给3分，写出前两个中的一个得2分，其余正确的理由得1分） 三、解答题（本题共72分） 17．解法一：解：2441x x -+=，ED NMB CA()221x -=，………………2分21x -=±，11x =，23x =．………………4分解法二：解：()()130x x --=，………………2分 10x -=或30x -=，11x =，23x =．………………4分 18．解：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB =BC =AC ，∠BAC =60°.∴∠1+∠3=60°.………………1分 ∵△ADE 是等边三角形， ∴AD =AE ，∠DAE =60°.∴∠2+∠3=60°.………………2分 ∴∠1=∠2.在△ABD 与△ACE 中12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）. ∴CE =BD .………………4分 ∵BC =3，CD =2， ∴BD =BC -CD =1.∴CE =1．………………5分19．解：∵m 是方程2310x x -+=的一个根，∴2310m m -+=.………………2分 ∴231m m -=-.∴原式22694m m m =-++-………………4分()2235m m =-+3=．………………5分20．方法1：证明：∵在⊙O 中，»»AB CD =， ∴∠AOB =∠COD .………………2分 ∵OA =OB ，OC =OD ，∴在△AOB 中，1902B AOB ∠=︒-∠，321EDCBA在△COD 中，1902C COD ∠=︒-∠.………………4分 ∴∠B =∠C ．………………5分方法2：证明：∵在⊙O 中，»»AB CD =， ∴AB =CD .………………2分 ∵OA =OB ，OC =OD ，∴△AOB ≌△COD （SSS ）.………………4分 ∴∠B =∠C ．………………5分21．解：（1）22416y x x =-++（或()()442y x x =-+）………………3分（2）由题意，原正方形苗圃的面积为16平方米，得2241616x x -++=. 解得：12x =，20x =（不合题意，舍去）.………………5分 答：此时BE 的长为2米. 22．解：（1）∵方程()222110xm x m +-+-=有两个不相等的实数根，∴()()224141880m m m ∆=---=-+>， ∴1m <．………………2分 （2）存在实数m 使得120x x =.120x x =，即是说0是原方程的一个根，则210m -=.………………3分解得：1m =-或1m =.………………4分当1m =时，方程为20x =，有两个相等的实数根，与题意不符，舍去． ∴1m =-．………………5分23．通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为()25 x +………………1分39 25 =+………………3分从而得到此方程的正根是 3 ．………………5分24．（1）点B 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，3）；………………2分 （2）方法1：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++. 因为它经过A （1，0），B （3，0），C （0，3），则0,930,3.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩………………4分 解得1,4,3.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩………………6分∴ 经过,,A B C 三点的抛物线的表达式为243y x x =-+．………………7分 方法2：抛物线经过点A （1，0），B （3，0），故可设其表达式为(1)(3)(0)y a x x a =--≠. ………………4分因为点C （0，3）在抛物线上，所以()()01033a --=，得1a =.………………6分∴经过,,A B C 三点的抛物线的表达式为243y x x =-+．………………7分 方法3：抛物线经过点A （1，0），B （3，0），则其对称轴为2x =. 设抛物线的表达式为()22y a x k =-+.………………4分 将A （1，0），C （0，3）代入，得0,4 3.a k a k +=⎧⎨+=⎩解得1,1.a k =⎧⎨=-⎩………………6分∴经过,,A B C 三点的抛物线的表达式为243y x x =-+．………………7分25．（1）证明：∵在⊙O 中，OD ⊥BC 于E ， ∴CE =BE .………………1分 ∵CD ∥AB ，∴∠DCE =∠B .………………2分 在△DCE 与△OBE 中,,.DCE B CE BE CED BEO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DCE ≌△OBE （ASA ）. ∴DE =OE .∴E 为OD 的中点．………………4分（2）解： 连接OC .∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°. ∵OD ⊥BC ， ∴∠CED =90°=∠ACB . ∴AC ∥OD .………………5分 ∵CD ∥AB ，∴四边形CAOD 是平行四边形. ∵E 是OD 的中点，CE ⊥OD ， ∴OC =CD . ∵OC =OD ， ∴OC =OD =CD .∴△OCD 是等边三角形. ∴∠D =60°.………………6分 ∴∠DCE =90°-∠D =30°. ∴在Rt △CDE 中，CD =2DE . ∵BC =6， ∴CE =BE =3.∵22224CE DE CD DE +==，∴DECD =.∴OD CD ==∴CAOD S OD CE =⋅=四边形………………7分AAB26．（1）（2，0）；………………2分 （2）点D 在直线l 上，理由如下： 直线l 的表达式为2(0)y kx k k =->，∵当2x =时，220y k k =-=，………………3分 ∴点D （2，0）在直线l 上．………………4分 注：如果只有结论正确，给1分.（3）如图，不妨设点P 在点Q 左侧.由题意知：要使得124x x =+成立，即是要求点P 与点Q 关于直线2x =对称.又因为函数244y x x =-+的图象关于直线2x =对称， 所以当13t <<时，若存在t 使得124x x =+成立，即要求点Q在244(2,13)y x x x y =-+><<的图象上.………………6分根据图象，临界位置为射线2(0,2)y kx k k x =->>过244(2)y x x x =-+>与1y =的交点(3,1)A 处，以及射线2(0,2)y kx k k x =->>过244(2)y x x x =-+>与3y =的交点(2B +处.此时1k =以及k=k的取值范围是1k <<………………8分27．（1）①1，②2±；………………2分 注：错一个得1分.（2）解：设点C 的坐标为（x ，y ）.由于点C 的“引力值”为2，则2x =或2y =，即2x =±，或2y =±. 当2x =时，240y x =-+=，此时点C 的“引力值”为0，舍去； 当2x =-时，248y x =-+=，此时C 点坐标为（-2，8）；当2y =时，242x -+=，解得1x =，此时点C 的“引力值”为1，舍去； 当2y =-时，242x -+=-，3x =，此时C 点坐标为（3，-2）； 综上所述，点C 的坐标为（2-，8）或（3，2-）.………………5分 注：得出一个正确答案得2分.（3）1d≤≤.………………8分注：答对一边给2分；两端数值正确，少等号给2分；一端数值正确且少等号给1分.28．（1）③；………………1分（2）连接BM，OB，OC，OE.∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，M为AC的中点，∴MA=MB=MC=12 AC.………………2分∴∠A=∠ABM.∵∠A=α，∴∠BMC=∠A+∠ABM=2α.∵点M和点O关于直线BC对称，∴∠BOC=∠BMC=2α.………………3分∵OC=OB=OE，∴点C，B，E在以O为圆心，OB为半径的圆上.∴12BEC BOCα∠=∠=.………………4分（3）12MN BE=，证明如下：连接BM并延长到点F，使BM=MF，连接FD. ∵∠A=α，∠ABC=90°，∴∠ACB=90°-∠A=90°-α.∴∠DEC=∠ACB=90°-α.∵∠BEC=α，∴∠BED=∠BEC+∠DEC=90°.∵BC=CE，∴∠CBE=∠CEB=α.∵MB=MC，∴∠MBC=∠ACB=90°-α.∴∠MBE=∠MBC+∠CBE=90°.∴∠MBE+∠BED=180°.∴BF∥DE.………………6分∵BF=2BM，AC=2BM，∴BF=AC.∵AC=DE，∴BF=DE.∴四边形BFDE是平行四边形.………………7分OMNABDCEBD∴DF=BE.∵BM=MF，BN=ND，∴MN=12 DF.∴MN =12 BE.………………8分注：如果只有结论正确，给1分.解答题解法不唯一，如有其它解法相应给分.。
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2019年海淀区初三第一学期期中学业水平调研数 学2019．11一、选择题 （本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图案中，是中心对称图形的是A B C D 2. 抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标为A ．(1,2)-B ． (1,2)C ．(1,2)-D ．(2,1)3. 体育课上，小悦在点O 处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M ，N ，P ，Q 四个点处， 则表示他最好成绩的点是A ．MB ．NC ．PD ．Q4． 将抛物线22y x =向下平移3个单位，得到的抛物线为A ．223y x =+B ．223y x =-C ．()223y x =+D ． ()223y x =-5． 已知水平放置的圆柱形排水管道，管道截面半径是1 m ，若水面高0.2 m. 则排水管道截面的水面宽度为 A.0.6 m B.0.8 m C.1.2 m D.1.6 m6． 如图，在⊙O 中，OA BC ⊥，25ADB ∠=︒. 则AOC ∠的度数为A ．30︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒7. 下列是关于四个图案的描述.图1所示是太极图，俗称“阴阳鱼”，该图案关于外圈大圆的圆心中心对称； 图2所示是一个正三角形内接于圆； 图3所示是一个正方形内接于圆；图4所示是两个同心圆，其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二.图1 图2图3 图4这四个图案中，阴影部分的面积不小于．．．该图案外圈大圆面积一半的是 A. 图1和图3B. 图2和图3C. 图2和图4D. 图1和图48． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =-++与x 轴交于A , B 两点. 若顶点C 到x轴的距离为8，则线段AB 的长度为 A ．2 B ． C D ．4二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 在平面直角坐标系中，点(3,2)P -绕原点旋转180°后所得到的点的坐标为 ． 10．写出一个对称轴是y 轴的抛物线的解析式： ． 11. 如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径. 若50P ∠=︒，则BAC ∠= °.12. 若二次函数2(1)3y x =-+的图象上有两点(0,),(5,)A a B b , 则a b .（填“>”，“=”或“<”）13. 如图, 边长为2的正方形ABCD 绕着点C 顺时针旋转90°，则点A 运动的路径长为_______.14. 在Rt ABC △中，∠C =90°，AB =10. 若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长为________ .15. 如图，已知正方形OBCD 的三个顶点坐标分别为B (1,0),C (1,1),D (0,1). 若抛物线2()y x h =-与正方形OBCD 的边 共有3个公共点，则h 的取值范围是___________.16. 如图，在ABC △中，（1）作AB 和BC 的垂直平分线交于点O ； （2）以点O 为圆心，OA 长为半径作圆；（3）⊙O 分别与AB 和BC 的垂直平分线交于点M ，N ； （4）连接AM ，AN ，CM ，其中AN 与CM 交于点P . 根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中，①2BC NC =；②2AB AM =；③点O 是ABC △的外心 ； ④点P 是ABC △的内心. 所有正确结论的序号是 .三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．已知抛物线2y x bx c =++的对称轴为1x =，(2,3)M -是抛物线上一点，求该抛物线的解析式．18. 如图，等腰三角形ABC 中，BA =BC ，∠ABC =α. 作AD ⊥BC 于点D ，将线段BD 绕着点B 顺时针旋转角α后得到线段BE ，连接CE . 求证：BE ⊥CE .1920. 如图, 一条公路的转弯处是一段圆弧（AB ），点O 是这段弧所在圆的圆心. 100m AB =, C 是AB 上一点，OC AB ⊥，垂足为D ，=10m CD ，求这段弯路的半径．21. 已知二次函数21y x mx m =-+-的图象与x 轴只有一个公共点.（1）求该二次函数的解析式；（2）当03x ≤≤时，y 的最大值为 ，最小值为 .C A22.如图，已知等边三角形ABC，O为△ABC内一点，连接OA，OB，OC，将△BAO绕点B旋转至△BCM.（1）依题意补全图形；（2）若OA=√2，OB=√3，OC=1，求∠OCM的度数.23．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，以BC为直径的半圆交AB于点D，O是该半圆所在圆的圆心，E为线段AC上一点，且ED=EA.（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若23ED ，∠A=30°，求⊙O的半径.24.悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁. 其缆索几何形状一般近似于抛物线.从缆索垂下许多吊杆（吊杆垂直于桥面），把桥面吊住.某悬索桥（如图1），是连接两个地区的重要通道. 图2是该悬索桥的示意图.小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引. 他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索（即图2中桥上方的曲线）的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB=CD, 两个索塔均与桥面垂直. 主桥AC的长为600 m，引桥CE的长为124 m.缆索最低处的吊杆MN长为3 m，桥面上与点M相距100 m处的吊杆PQ长为13 m.若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标系，求出索塔顶端D与锚点E的距离.ADQNBM PC EAB CO图1EDA25. 探究函数2y x x =-的图象与性质．小娜根据学习函数的经验，对函数2y x x =-的图象与性质进行了探究． 下面是小娜的探究过程，请补充完整： （1）下表是x 与y 的几组对应值．请直接写出：m = ，n =； （2）如图，小娜在平面直角坐标系xOy 中，描出了上表中已经给出的各组对应值为 坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出 该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若方程2x x a -=有三个不同的解，记为x 1, x 2, x 3，且x 1< x 2<x 3. 请直接写出x 1+ x 2+x 3的取值范围. 26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c=++与直线1y x =+交于A , B 两点，其中点A 在x 轴上.（1）用含有b 的代数式表示c ；（2）① 若点B 在第一象限，且AB =的解析式；② 若AB ≥b 的 取值范围.27．如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，4560ACB ︒<∠<︒，将点C 关于直线AB 对称得到点D ，作射线BD 与CA 的延长线交于点E ，在CB 的延长线上取点F ，使得BF =DE ，连接AF . （1）依题意补全图形； （2）求证：AF =AE ；（3）作BA 的延长线与FD 的延长线交于点P ，写出一个∠ACB 的值，使得AP =AF 成立，并证明.备用图CBA CBA28. 在平面内，C为线段AB外的一点，若以A，B，C为顶点的三角形为直角三角形，则称C为线段AB的直角点. 特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称C为线段AB的等腰直角点．（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为(4,0)，在点P1(0,1)-，P2(5,1)，P3(2,2)中，线段OM的直角点是；（2）在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(1,4)，(1,6)-，直线l的解析式为7y x=-+．①如图2，C是直线l上的一个动点，若C是线段AB的直角点，求点C的坐标；②如图3，P是直线l上的一个动点，将所有线段AP的等腰直角点称为直线l关于点A的伴随点. 若⊙O的半径为r，且⊙O上恰有两个点为直线l关于点A的伴随点，直接写出r的取值范围．图 1图 2图 32019年海淀区初三第一学期期中学业水平调研数 学答案及评分参考一、选择题二、填空题9． (3,2)- 10．2y x = 11．2512．<1314. 15．01h <<16. ①③④注：（1）第10题答案不唯一，符合题意的均给满分；（2）第16题答案不全且不含②的给1分.三、解答题17．解：因为2y x bx c =++的对称轴为1x =，所以12b-=．………………………………………………………………………1分得2b =-．………………………………………………………………………2分又因为()23M -，是抛物线上一点， 所以()23222c -=+-⨯+．得3c =-．………………………………………………………………………4分所以抛物线的解析式为223y x x =--． …………………………………………………5分18．证明：∵线段BD 绕点B 顺时针旋转角α得到线段BE ， ∴,.BD BE DBE α=∠=……………………………………………………………………………1分∵,ABC α∠= ∴.ABC DBE ∠=∠ ……………………………………………………………………………2分∵,AD BC ⊥ ∴90.ADB ∠=︒ 在△ABD 与△CBE 中，,,,AB CB ABD CBE BD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩……………………………………………………………………………3分∴△ABD ≌△CBE . ……………………………………………………………………………4分∴90.ADB CEB ∠=∠=︒∴.BE CE ⊥…………………………………………………………………………………5分19．解：直径所对的圆周角是90︒. ………………………………………………………………………2分 CAB ∠. ………………………………………………………………………3分同弧所对的圆周角相等. ………………………………………………………………………5分20．解：设这段弯路的半径为r m, ……………………………………………………………1分因为OC ⊥AB 于D , AB =100 （m ）,所以BD =DA =12AB =50（m ）. …………………………………………………………………2分 所以CD =10（m ）,得10OD r =-（m ）.因为Rt △BOD 中，根据勾股定理有 222BO BD DO =+.………………………………………………………………………3分 即22250(10)r r =+-.………………………………………………………………………4分解得r =130（m ）.因此这段弯路的半径为130 m. …………………………………………………………………5分 21.解：（1）由题意二次函数图象与x 轴只有一个公共点. 可令210x mx m -+-=, 则有0∆=. ………………………………………………………………………1分即 24(1)0m m --=. 得 2m =.………………………………………………………………………2分所以该二次函数的解析式为221y x x =-+ . ……………………………………………3分（2）y 的最大值为4，最小值为0.……………………………………………………………5分22．解：（1）依题意补全图形，如图所示：…………………………………………………………………………………………………2分（2）连接OM，∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=60°.∵△BAO旋转得到△BCM，OAOB∴MC=OAMB=OB∠OBM=∠ABC=60° .………………………………………3分∴△OBM为等边三角形.∴OM= OB…………………………………………………………………4分在△OMC中，OC=1，∵22 21+=,∴OC 2 +MC 2 =OM 2.∴∠OCM=90°.…………………………………………………………………………………………………5分23．（1）证明：连接OD.∵ED=EA,∴∠A=∠ADE. …………………………………………………………………………………1分∵OB=OD,∴∠OBD=∠BDO.∵∠ACB=90°,∴∠A +∠ABC =90°.∴∠ADE +∠BDO =90°. …………………………………………………………………2分∴∠ODE=90°.∴DE是⊙O的切线. ………………………………………………………………………3分（2）解：∵∠ACB =90°, BC为直径,∴AC是⊙O的切线.∵DE是⊙O的切线,∴ED=EC. ………………………………………………………………………4分∵ED=∴ED=EC=EA=∴AC=………………………………………………………………………5分∵Rt△ABC中∠A=30°,∴BC=4.∴⊙O的半径为2. ………………………………………………………………………6分24. 解：如图所示建立平面直角坐标系.依题意可知3,13,100,600,124,,,MN PQ MP AC CE AB DC BA AC DC AC ======⊥⊥, ,MN AC PQ AC ⊥⊥.由抛物线的对称性可知，13002MC AC ==.则可得点坐标：(0,0),(0,3),(100,13)M N Q . …………………………………………………………………………………1分设抛物线的表达式为23y ax =+.…………………………………………………2分因为抛物线经过点Q ，所以将点Q 的坐标带入得2131003a =+.解得11000a =. …………………………………………………………………3分得抛物线的表达式为2131000y x =+. …………………………………………………4分 当300x =时，得213003931000y =⨯+=.……………………………………………5分因为DC AC ⊥, 所以90DCE ∠=︒.所以531155DE ==⨯=.答：索塔顶端D 与锚点E 的距离为155米. ……………………………………………6分 25．解：（1）m =1，n =0； ……………………………………………………………………………2分（2）如图：…………………………………………………………………………………………………4分 （3）12343x x x <++<……………………………………………………………6分26．解：（1）由题意直线y =x +1与x 轴交于点A可得点A 坐标为(-1,0) ……………………………………………………………1分 又因抛物线y =x 2+bx +c 经过点A所以将点A 坐标(-1,0)代入抛物线解析式可得1-b +c =0，即c =b -1. ……………………………………………………………2分 （2）①设y =x +1与y 轴交于点C ，可得 A (-1,0)，C (0,1).可知OA =OC =1. 又因∠AOC =90º,所以∠OAC =45º. 如图，已知ABB 作BD ⊥x 轴于点D , 易知∠ADB =90º.又因∠BAD =45º，AB，所以AD =BD =3.所以点B 的坐标为(2,3) . ……………………………………………………………3分 将点B 的坐标(2,3)代入抛物线y =x 2+bx +c 的解析式可得2b +c =-1.并与（1）中得到的c =b -1联立方程组可得：21,1.b c c b +=-⎧⎨=-⎩解得0,1.b c =⎧⎨=-⎩得抛物线的解析式为21y x =-. ……………………………………………………………4分② 0b ≤或6b ≥. ………………………………………………………………………6分27．（1）如图所示……………………………………………………………………………1分（2）证明：∵ 点C 与点D 关于直线AB 对称， ∴ DB =BC ，∠ABD =∠ABC .………………………………………………………2分∴DE+BD=BF+BC.∴BE=CF.∵AB=AC，∴∠ABC=∠C.∴∠ABD=∠C.∴△ABE ≌△ACF（SAS）.∴AE=AF. …………………………………………………………………4分（3）∠ACB=54°. …………………………………………………………………5分证明：如图，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=54°.∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=72°.∵点C与点D关于直线AB对称，∴∠DAB=∠BAC=72°，∠ADB=∠C=54°，AD=AB=AC.∴∠DAE=180°-∠DAB-∠BAC=36°，∴∠E=∠ADB-∠DAE=18°.∵由（2）得，△ABF ≌△ADE（或者△ACF ≌△ABE），∴∠AFB=∠E=18°.∴∠BAF=∠ABC-∠AFB=36°=12∠BAD.∵AB=AD，∴AF垂直平分BD.∴FB=FD.∴∠AFD=∠AFB=18°，∴∠P=∠BAF-∠AFD=18°=∠AFD，P∵ 由（2）得AE =AF ， ∴ AP =AE .…………………………………………………………………7分28．解：（1）是线段OM 的直角点为 P 1, P 3 ；………………………………………………………2分（2）① 当∠BAC =90°时，设点C 的坐标为（a ，b ）.∵点A 的坐标为(1,4)，点C 在直线7y x =-+上, ∴ b=4，7b a =-+，解得a=3. ∴点C 的坐标为(3,4).………………………………………………………3分当∠ABC =90°时，设点C 的坐标为（a ，b ）. ∵点B 的坐标为(1,6)-，点C 在直线7y x =-+上, ∴ b=6-，7b a =-+，解得a=13. ∴点C 的坐标为(13,6)-.当∠ACB =90°时如图，设点C 的坐标为（a , b ）. 取AB 的中点M ，作CM ⊥AB 于点H ，连接CM . ∵ 点C 在直线7y x =-+上， ∴ 得7b a =-+. （*）∵点A ，B 的坐标分别为(1,4)，(1,6)-,∴ 点M 的坐标为(1,1)-，CM =5，1,1CH a HM b =-=+.∴ 由勾股定理得方程 222(1)(1)5a b -++= . （**由（*），（**）得43a b =⎧⎨=⎩或52a b =⎧⎨=⎩，故C 的坐标为(4,3)或综上，点C 的坐标为(3,4)或(13,6)-或(4,3)或(5,2). ……………………………5分② 直接写出r 2r <<. ………………………………………7分()。