几何图形的最大面积
中考数学复习 探求最大值的七种方法
探求最大值的七种方法求最值是近年中考的热点考题之一，有的是几何图形面积的最值，有的是线段长度的最值，有的是函数的最值，下面就结合考题介绍求解这些问题最大值的求解方法，供学习时借鉴. 方法1：定圆中，利用直径是最大的弦，确定三角形面积的最大值例1）如图 1，已知直线334y x=-与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA，PB.则△PAB面积的最大值是（）A. 8B. 12 C . 212D.172分析：要想使得三角形的面积最大，在底边不变的前提下，确保底上的高最大，根据圆中最大的弦是直径，只要确保高是经过圆心的一条直径，问题就得解.解：如图1，要使得三角形PAB的面积最大，需要三角形的高最大，根据圆的性质，直径最大，所以三角形的高一定要经过定圆的圆心，所以过点C作CD⊥AB，垂足为D，因为已知直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，所以点A的坐标为（4,0），点B的坐标为（0，-3），所以OA=4，OB=3，因为点C（0,1），所以BC=4.在直角三角形AOB中，根据勾股定理，得AB=5.因为∠CBD=∠ABO,∠CDB=∠AOB=90°，所以△CBD∽△ABO，所以BC CD AB AO ,所以454CD，所以CD=165,所以PD=PC+CD=1+165=215，所以三角形PAB的面积为：12×5×215=212.所以选C.方法2：直角三角形中，利用斜边最长，确定线段长度的最大值例2如图2，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．分析：连接AN就构造出三角形中位线定理的使用条件，由于点D是个定点，所以点N运动到点B位置时，DN达到最大长度，因为直角三角形中斜边最长，只要利用条件求出DB的长度，就可以求得EF的最大长度了.解：如图2，连接DN,DB，因为∠A=90°，AB=3，AD=3，所以DB=6，因为点E，F分别为DM，MN的中点，所以EF=12DN,且DN≤DB，所以当DN=DB时，EF取的最大值，此时EF=3.方法3：一次函数中，利用函数的增减性，确定利润最大的方案例3 我县农业结构调整取得了巨大成功，今年水果又喜获丰收，某乡组织30辆汽车装运A、B、C三种水果共64吨到外地销售，规定每辆汽车只装运一种水果，且必须装满；又装运每种水果的汽车不少于4辆；同时，装运的B种水果的重量不超过装运的A、C两种水果重量之和．（1）设用x辆汽车装运A种水果，用y辆汽车装运B种水果，根据下表提供的信息，求y与x之间的函数关系式并写出自变量的取值范围．水果品种 A B C每辆汽车运装量（吨） 2.2 2.1 2每吨水果获利（百元） 6 8 5（2）设此次外销活动的利润为Q（万元），求Q与x之间的函数关系式，请你提出一个获得最大利润时的车辆分配方案．分析：装运C种水果的汽车辆数为：30-x-y，这是解决第一问的关键要素，其次，要明确总利润=A种水果吨获利×A种水果吨数+B种水果吨获利×B种水果吨数+C种水果吨获利×C种水果吨数.要注意单位的换算，这个细节，不要在这个环节上失分.解：（1）因为用x辆汽车装运A种水果，用y辆汽车装运B种水果，所以装运C种水果的汽车辆数为：30-x-y，由题得到：2.2×x+2.1×y+2×（30－x－y）=64 ，整理得： y = －2x+40，因为装运每种水果的汽车不少于4辆；所以x≥4，y≥4，30－x－y≥4，整理，得到：14≤x≤18；（2）因为A 种水果每吨获利6百元， B 种水果每吨获利8百元，C 种水果每吨获利5百元， 所以共获利为：Q=6x+8y+5（30－x －y ）=－5x+170，因为k=-50，所以Q 随着x 的增大而减小，又因为14≤x ≤18，所以当x=14时，Q 取得最大值，即Q= －5x+170=100（百元）=1万元. 因此当x=14时，y = －2x+40=12， 30－x －y=4,所以应这样安排：A 种水果用14辆车，B 种水果用12辆车，C 种水果用4辆车利润最大.方法4：坐标系中，利用三角形三边关系定理，确定三点共线时线段的最大值例4 如图3，A,B 分别在y 轴和x 轴上,AB=4,AC=2,∠BAC=90°,点B 动，点A 就随着动,求线段OC 最大值.分析：由于AB 是定长，取斜边AB 的中点D ，所以不论如何运动，斜边上的中线OD 是定长，这样点O,C,D 构成一个三角形，根据三角形的三边关系定理，知道OC ＜OD+DC ，只有点O,D,C 三点共线时OC 最长，这样问题就获得求解.解：取AB 中点D,连接OD,CD ，在三角形OAB 中,∠AOB=90°,AD=DB,有OD=12AB=2. 在三角形ACD 中, ∠BAC=90°,AC=2,AD=12AB=2,所以2在三角形CDO 中， 根据三角形的三边关系定理可知,OD+CD ＞OC(当O 、C 、D 在一条直线上时等号成立） 所以,OC ≤2即OC 的最大值是2方法5：几何图形中，构造二次函数法，确定图形侧面积的最大值例5如图4，有一块边长为6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ）32cm 3322cm 9322cm 27322cm 分析：如图4，由等边三角形的性质可以得出∠A=∠B=∠C=60°，由三个筝形全等就可以得出AD=BE=BF=CG=CH=AK ，根据折叠后是一个三棱柱就可以得出DO=PE=PF=QG=QH=OK ，四边形ODEP 、四边形PFGQ 、四边形QHKO 为矩形，且全等．连结AO 证明△AOD ≌△AOK 就可以得出∠OAD=∠OAK=30°，设OD=x ，则AO=2x ，由勾股定理就可以求出AD=3x ，由矩形的面积公式就可以表示纸盒的侧面积，由二次函数的性质就可以求出结论．解：因为△ABC 为等边三角形，所以∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC ．因为筝形ADOK ≌筝形BEPF ≌筝形AGQH ，所以AD=BE=BF=CG=CH=AK ．因为折叠后是一个三棱柱，所以DO=PE=PF=QG=QH=OK ，四边形ODEP 、四边形PFGQ 、四边形QHKO 都为矩形．所以∠ADO=∠AKO=90°．连结AO ，在Rt △AOD 和Rt △AOK 中，AO AO DO KO ，所以Rt △AOD ≌Rt △AOK （HL ）．所以∠OAD=∠OAK=30°．设OD=x ，则AO=2x ，由勾股定理就可以求出3x ，所以DE=6﹣23x ，所以纸盒侧面积=3x （6﹣23x ）=﹣632x +18x=﹣63232()x +932，所以当x=32时，纸盒侧面积最大为． 所以选C ．方法6：抛物线上根据直线与定直线平行，且与抛物线只有1交点时距离最大，求三角形最大面积时点的坐标例6 如图5， 在平面直角坐标系中，二次函数y=a 2x +bx+2的图象与x 轴交于A （-3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的解析式； （2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.。
高中-《求解三角形中周长(面积)最大值的方法(教师版)》
高中-《求解三角形中周长(面积)最大值的方法(教师版)》引言三角形是几何学中常见的图形之一，通过研究三角形的特性和性质，可以解决许多与三角形相关的问题。
本文将重点介绍如何求解三角形中周长和面积的最大值的方法，帮助教师们更好地教授相关知识。
方法一：使用三角函数三角函数是研究三角形性质的重要工具之一。
在求解三角形中周长和面积的最大值时，可以利用三角函数的性质进行分析。
步骤：1. 首先，假设三角形的一个角度为θ，另外两个角度为α和β，且α+β+θ=180°。
2. 根据三角函数的定义和三角形周长的公式，可以得到三角形的周长为L = a + b + c = a + 2asin(θ/2)，其中a和b为两边的长度，c为斜边的长度。
3. 而三角形的面积可以由海伦公式S = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]，其中s为周长的一半。
4. 接下来，我们需要确定如何选择θ的取值，使得周长或面积最大。
5. 对于周长最大值的求解，可以通过求导数的方法得到最优解。
6. 对于面积最大值的求解，也可以采用求导数的方法或者通过研究面积的性质进行分析。
方法二：使用几何图形的性质除了三角函数的方法外，我们还可以利用几何图形的性质来求解三角形中周长和面积的最大值。
步骤：1. 考虑一个固定的底边AC，底边两端点分别为A和C。
2. 假设顶点B在AC的一侧，并且以顶点B为顶点的两条边长度为x和y。
3. 则三角形的周长为L = AC + x + y，面积为S = (1/2) * AC * h，其中h为由顶点B到底边AC的垂直距离。
4. 可以通过分析底边AC不变的情况下，如何选择x和y的取值，使得周长或面积最大。
结论通过使用三角函数的方法或几何图形的性质，可以求解三角形中周长和面积的最大值。
在教学过程中，教师们可以根据学生的研究能力和兴趣，选择适用的方法进行教授，帮助学生理解并应用相关的数学知识。
请注意：本文介绍的方法仅供参考，具体的求解过程和结果可能因具体问题而有所不同。
各种几何图形面积和周长公式
正方形【2 】面积：边长×边长周长：边长×4长方形面积：长×宽周长：（长+宽）*2平行四边形面积=底边*高/2周长=（底+高）×2三角形面积S=√p(p-a)(p-b)(p-c),p=（a+b+c）/2,a.b.c,为三角形三边周长c=a+b+c梯形面积=｛（上底+下底）×高｝÷2周长=四边之和圆形面积=πR²周长=2πR （R为半径）卵形面积=A = PI * 半长轴长 * 半短轴长周长= 4A * SQRT(1-E^SIN^T)的(0 - π/2)积分, 个中A为椭圆长轴,E为离心率准确盘算要用到积分或无限级数的乞降半圆形周长=2R(丌+1)面积=(丌R的平方)/2正多边形面积：正多边形内角盘算公式与半径无关要已知正多边形边数为N 内角和=180(N-2)半径为R圆的内接三角形面积公式:(3倍根号3)除以4再乘以R方外切三角形面积公式:3倍根号3 R方外切正方形:4R方内接正方形:2R方五边形以上的就朋分成等边三角形再算内角和公式——（n-2）*180`我们都知道已知A(x1,y1).B(x2,y2).C(x3,y3)三点的面积公式为|x1 x2 x3|S(A,B,C) = |y1 y2 y3| * 0.5 = [(x1-x3)*(y2-y3) - (x2-x3)*(y1-y3)]*0.5|1 1 1 |(当三点为逆时针时为正,顺时针则为负的)对多边形A1A2A3...An(顺或逆时针都可以),设平面上有随意率性的一点P,则有：S(A1,A2,A3,...,An)= abs(S(P,A1,A2) + S(P,A2,A3)+...+S(P,An,A1))P是可以取随意率性的一点,用(0,0)时就是下面的了：设点次序 (x1 y1) (x2 y2) ... (xn yn)则面积等于|x1 y1| |x2 y2| |xn yn|0.5 * abs( | | + | | + ...... + | | )|x2 y2| |x3 y3| |x1 y1|个中|x1 y1|| |=x1*y2-y1*x2|x2 y2|是以面积公式睁开为:|x1 y1| |x2 y2| |xn yn|0.5 * abs( | | + | | + ...... + | | )=0.5*abs(x1*y2-y1*x2+x2*y3-y2*x3+...+xn*y1-yn*x1)|x2 y2| |x3 y3| |x1 y1|周长=n*边长扇形面积=1/2rl或1/2ar^2r为半径,l为扇形弧长,a为扇形的圆心角l=ar周长=弧长+2r=nπr/180 +2r。
初中数学-平面几何的最值问题
平面几何的最值问题阅读与思考几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值． 求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证．2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理．3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等．例题与求解【例1】在Rt △ABC 中，CB =3，CA =4，M 为斜边AB 上一动点．过点M 作MD ⊥AC 于点D ，过M 作ME ⊥CB 于点E ，则线段DE 的最小值为 ．解题思路：四边形CDME 为矩形，连结CM ，则DE = CM ，将问题转化为求CM 的最小值．【例2】如图，在矩形ABCD 中，AB =20cm ，BC =10cm ．若在AC ，AB 上各取一点M ，N ，使BM +MN 的值最小，求这个最小值．ADMN解题思路：作点B 关于AC 的对称点B ′，连结B ′M ，B ′A ，则BM = B ′M ，从而BM +MN = B ′M +MN ．要使BM +MN 的值最小，只需使B ′M 十MN 的值最小，当B ′，M ，N 三点共线且B ′N ⊥AB 时，B ′M +MN 的值最小．【例3】如图，已知□ABCD ，AB =a ，BC =b (b a )，P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ．求AP +BQ 的最小值．PDA BQ解题思路：设AP =x ，把AP ，BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式以ab b a 222≥+或a +b ≥2ab（当且仅当a =b 时取等号）来求最小值． 【例4】阅读下列材料：问题 如图1，一圆柱的底面半径为5dm ，高AB 为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到C 点的最短路线． 小明设计了两条路线：图2图1摊平沿AB 剪开ACBBA路线1：侧面展开图中的线段AC ．如图2所示．设路线l 的长度为l 1，则l 12 =AC 2=AB 2 +BC 2 =25+(5π) 2=25+25π2． 路线2：高线AB 十底面直径BC ．如图1所示．设路线l 的长度为l 2，则l 22 = (BC +AB )2=(5+10)2 =225．∵l 12 – l 22 = 25+25π2－225=25π2－200=25(π2－8)，∴l 12 ＞l 22 ，∴ l 1＞l 2 ． 所以，应选择路线2．(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1分米，高AB 为5分米”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算： 路线1：l 12=AC 2= ；路线2：l 22=（AB +BC ）2= ．∵ l 12 l 22，∴l 1 l 2 （ 填“＞”或“＜”），所以应选择路线 （填“1”或“2”）较短．(2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r ，高为h 时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线最短．解题思路：本题考查平面展开一最短路径问题．比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便．比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．【例5】如图，已知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF =2，BF =1．为了合理利用这块钢板，将在五边形EABCD 内截取一个矩形块MDNP ，使点P 在AB 上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率．NMEDAB解题思路：设DN =x ，PN =y ，则S =xy ．建立矩形MDNP 的面积S 与x 的函数关系式，利用二次函数性质求S 的最大值，进而求钢板的最大利用率．【例6】如图，在四边形ABCD 中，AD =DC =1，∠DAB =∠DCB =90°，BC ，AD 的延长线交于P ，求AB ·S △P AB 的最小值．1ABD解题思路：设PD =x (x >1)，根据勾股定理求出PC ，证Rt △PCD ∽Rt △P AB ，得到PCPACD AB ，求出AB ，根据三角形的面积公式求出y =AB ·S △P AB ，整理后得到y ≥4，即可求出答案．。
专题26.3.2 几何图形面积最值问题-九年级数学同步精讲精练之二次函数(华师大版)
26.3.2 几何图形面积最值问题【同步测试】一．选择题（共2小题）1．用长40m的篱笆围成一个矩形菜园，则围成的菜园的最大面积为（）A．400m2B．300m2C．200m2D．100m2【答案】D【解析】解：设矩形的面积为S平方米，长为xm，由题意，得S＝x（20﹣x），s最大＝100．故选：D．【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，抛物线的顶点式的运用，矩形的面积公式，解答时求出矩形的面积表达式是关键．2．如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB为x米，面积为S平方米，要使矩形ABCD面积最大，则x的长为（）A．10米B．15米C．20米D．25米【答案】A【解析】解：设矩形ABCD的边AB为x米，则宽为（40﹣2x）米，S＝（40﹣2x）x＝﹣2x2+40x．要使矩形ABCD面积最大，则x10米，即x的长为10米．故选：A．【点睛】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y＝﹣x2﹣2x+5，y＝3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．二．填空题（共3小题）3．如图，用长20m的篱笆，一面靠墙（墙足够长）围成一个长方形的园子，最大面积是________m2．【答案】50m2【解析】解：设与墙平行的一边长为xm，则另一面为，其面积x x2﹣10x，∴最大面积为50即最大面积是50m2．【点睛】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y＝﹣x2﹣2x+5，y＝3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．4．周长为13cm的矩形铁板上剪去一个等边三角形（这个等边三角形的一边是矩形的宽），则矩形宽为_____cm，长为____cm时，剩下的面积最大，这个最大面积是_________．【答案】见解析经整理，得：y x2x，当x4时，y取得最大值，y最大（4），此时长为（）．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是求最值问题．5．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以1cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积为最大时，运动时间t为______s．【答案】2∵由以上函数图象知∴当t＝2时，△PBQ的面积最大为4cm2．【点睛】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y＝﹣x2﹣2x+5，y＝3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．三．解答题（共3小题）6．一养鸡专业户计划用长116m的竹篱笆靠墙（如图）围成一个长方形鸡舍，怎样设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大？最大面积为多少？【答案】见解析【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD．设BC＝xm，则AB＝CD（116﹣x）m，矩形的面积为S．由题意，得S＝x•x2+58x（x﹣58）2+1682．∴当x＝58m时，S最大＝1682m2．【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，矩形的面积公式的运用，二次函数的解析式的顶点式的运用．解答时求出S与x之间的关系式是关键．7．如图等腰梯形ABCD中，AB＝4，CD＝9，∠C＝60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中以个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动（1）求AD的长；（2）设CD＝x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大？并求出最大值．【答案】见解析【解析】解：（1）如图1在Rt△ADE中，AD2＝5；（2）如图1∵CP＝x，h为PD边上的高，依题意，△PDQ的面积S可表示为：（x）2．（0≤x≤5）∴a0，∴当x时（满足0≤x≤5），S最大值．学科&网【点睛】本题考查了学生的分析作图能力和考查学生综合运用平行线、等腰梯形、等边三角形、菱形、二次函数等知识．这里设计了一个开放的、动态的数学情境，为学生灵活运用基础知识、分析问题、解决问题留下了广阔的探索、创新的思维空间．8．如图等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙，另三边用长为40m的铁栏围成，设AB的长为xm，该花圃的面积为Sm2（1）求出底边BC的长．（用含x的代数式表示）（2）若∠BAD＝60°，求S与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若墙长为24m，试求S的最大值．【答案】见解析【解析】解：（1）∵AB＝CD＝x米，∴BC＝40﹣AB﹣CD＝（40﹣2x）米．（2）如图，过点B、C分别作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，在Rt△ABE中，AB＝x，∠BAE＝60°∴AE x，BE x，∴S（40﹣2x+40﹣x）•x x（80﹣3x）（0＜x＜20），当S＝93时，，解得：x1＝6，x2＝20（舍去）．∴x＝6（3）由题意，得40﹣x≤24，解得x≥16，结合（2）得16≤x＜20．由（2），S∵a∴函数图象为开口向下的抛物线的一段（附函数图象草图如左）．其对称轴为x，∵16，由左图可知，当16≤x＜20时，S随x的增大而减小，∴当x＝16时，S取得最大值，此时S最大值162+2016＝128m2．【点睛】本题考查了二次函数的性质的运用，等腰梯形的性质的运用．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查二次函数的运用，运算较复杂，难度偏难．。
九上数学二次函数几何图形的最大面积
A、B同时出发，那么经过3
秒，四边形APQC的面积最小.
3. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用 每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2). (1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
45．
O
小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小
h= 30t - 5t 2
12 34 56
t/s
球运动中的最大高度是 45 m．
典例精析
例 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一 边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？
问题1 矩形面积公式是什么？
问题2 如何用l表示另一边？
（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是
多少？
h/m
可以出，这个函数的图象是一
40
条抛物看线的一部分，这条抛物
h= 30t - 5t 2
线的顶点是这个函数的图象的最 20
高点.
也就是说，当t取顶点的横坐 O 1 2 3 4 5 6
t/s
标时，这个函数有最大值.
如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？
问题3 面积S的函数关系式是什么？
例 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一
边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？ s
解:根据题意得
S=l(30-l), 200
即 S=-l2+30l (0<l<30).
100
因此，当 l b 30 15 2a 2 (1)
面积的知识
面积的知识面积是几何学中的一个重要概念，它是指平面图形所占据的空间大小。
面积的计算与图形的形状有关，不同形状的图形计算面积的方法也不一样。
下面将介绍常见几何图形的面积计算方法。
1. 矩形的面积矩形的面积计算非常简单，只需要将矩形的长度与宽度相乘即可。
即面积 = 长× 宽例如，一个长为6cm，宽为4cm的矩形的面积为：面积= 6 × 4 = 24cm²2. 正方形的面积正方形是一种特殊的矩形，它的四条边长度相等。
因此，正方形的面积计算方法与矩形相同，即面积 = 边长²例如，一个边长为5cm的正方形的面积为：面积= 5² = 25cm²3. 三角形的面积三角形的面积计算相对于矩形和正方形稍微复杂一些。
我们可以通过将三角形分成两个直角三角形来计算其面积，具体方法如下：假设三角形的底边长度为b，高为h。
则三角形可以分成两个直角三角形，它们的面积分别为：面积1 = 底边× 高÷ 2面积2 = 底边× 高÷ 2因此，三角形的面积可以表示为：面积 = 面积1 + 面积2 = 底边× 高÷ 2例如，一个底边长为6cm，高为8cm的三角形的面积为：面积= 6 × 8 ÷ 2 = 24cm²4. 梯形的面积梯形是一种四边形，它的两条平行边分别为上底和下底，中间的两条边分别为斜边和高。
梯形的面积计算方法如下：假设梯形的上底为a，下底为b，高为h。
则梯形可以分成一个上底为a、下底为b、高为h的小梯形和一个上底为b、下底为a、高为h的小梯形。
它们的面积分别为：面积1 = (上底 + 下底) × 高÷ 2面积2 = (上底 + 下底) × 高÷ 2因此，梯形的面积可以表示为：面积 = 面积1 + 面积2 = (上底 + 下底) × 高÷ 2例如，一个上底长为5cm，下底长为9cm，高为6cm的梯形的面积为：面积= (5 + 9) × 6 ÷ 2 = 42cm²5. 圆的面积圆是一种没有边界的几何图形，它的面积计算方法有些特殊。
各种几何图形面积和周长公式
正方形面积：边长×边长周长：边长×4长方形面积：长×宽周长：（长+宽）*2平行四边形面积=底边*高/2周长=（底+高）×2三角形面积S=√p(p-a)(p-b)(p-c),p=（a+b+c）/2,a.b.c,为三角形三边周长c=a+b+c梯形面积=｛（上底+下底）×高｝÷2周长=四边之和圆形面积=πR²周长=2πR （R为半径）椭圆形面积=A = PI * 半长轴长* 半短轴长周长= 4A * SQRT(1-E^SIN^T)的(0 - π/2)积分, 其中A为椭圆长轴,E为离心率精确计算要用到积分或无穷级数的求和半圆形周长=2R(丌+1)面积=(丌R的平方)/2正多边形面积：正多边形内角计算公式与半径无关要已知正多边形边数为N 内角和=180(N-2)半径为R圆的内接三角形面积公式:(3倍根号3)除以4再乘以R方外切三角形面积公式:3倍根号3 R方外切正方形:4R方内接正方形:2R方五边形以上的就分割成等边三角形再算内角和公式——（n-2）*180`我们都知道已知A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三点的面积公式为|x1 x2 x3|S(A,B,C) = |y1 y2 y3| * 0.5 = [(x1-x3)*(y2-y3) - (x2-x3)*(y1-y3)]*0.5|1 1 1 |(当三点为逆时针时为正，顺时针则为负的)对多边形A1A2A3、、、An(顺或逆时针都可以)，设平面上有任意的一点P，则有：S(A1,A2,A3，、、、,An)= abs(S(P,A1,A2) + S(P,A2,A3)+、、、+S(P,An,A1))P是可以取任意的一点，用(0，0)时就是下面的了：设点顺序(x1 y1) (x2 y2) ... (xn yn)则面积等于|x1 y1| |x2 y2| |xn yn|0.5 * abs( | | + | | + ...... + | | )|x2 y2| |x3 y3| |x1 y1|其中|x1 y1|| |=x1*y2-y1*x2|x2 y2|因此面积公式展开为:|x1 y1| |x2 y2| |xn yn|0.5 * abs( | | + | | + ...... + | | )=0.5*abs(x1*y2-y1*x2+x2*y3-y2*x3+...+xn*y1-yn*x1) |x2 y2| |x3 y3| |x1 y1|周长=n*边长扇形面积=1/2rl或1/2ar^2r为半径，l为扇形弧长，a为扇形的圆心角l=ar周长=弧长+2r=nπr/180 +2r。
人教版九年级上册：22.3.1 几何图形的面积问题 同步练习(含答案)
22.3实际问题与二次函数同步练习第1课时几何图形的面积问题一、选择题1.如图,小明想用长为12米的栅栏(虚线部分),借助围墙围成一个矩形花园ABCD,则矩形ABCD的最大面积是()A.16米2B.18米2C.20米2D.24米22.已知一个直角三角形的两直角边之和为20 cm2,则这个直角三角形的最大面积为()A.25 cm2B.50 cm2C.100 cm2D.不确定3.如图,在△ABC中,∠C＝90°,AB＝10 cm,BC＝8 cm,点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止).在运动过程中,△PCQ面积的最小值为 ()A.24 cm2B.15 cm2C.9 cm2D.8 cm24.如图,菱形ABCD的边长为8,∠BAD＝60°,E是AD上一动点(不与点A,D重合),F是CD上一动点,且AE＋CF＝8,则△DEF面积的最大值为()A.2√3B.4√3C.8D.8√35.一种包装盒的设计方法如图所示,ABCD是边长为80 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的4个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四点重合于图中的点O,形成一个底面为正方形的长方体包装盒.设BE＝CF＝x cm,要使包装盒的侧面积最大,则x应取()A.30B.25C.20D.15二、填空题6.如图,用总长度为12米的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架,所有横档和竖档分别与AD,AB平行,则矩形框架ABCD的最大面积为米2.7.在综合实践活动中,同学们借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用24 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD,则矩形花园ABCD的最大面积为m2.8.如图,有一块边长为a的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形,再沿图中虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒.若该纸盒侧面积的最大值是9√3cm2,则a的值为8cm.9.如图,B船位于A船正东25 km处,现在A,B两船同时出发,A船以6 km/h的速度朝正北方向行驶,B 船以8 km/h的速度朝正西方向行驶,则两船相距最近是km.三、解答题10.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,同时点Q从点B出发,沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.如果P,Q两点在分别到达B,C 两点后就停止移动,回答下列问题:(1)运动开始后第多少秒时,△PBQ的面积等于8 cm2?(2)设运动开始后第t s时,五边形PQCDA的面积为S cm2,写出S与t的函数关系式,并指出自变量t的取值范围.(3)在(2)的条件下,当t为何值时S最小?求出S的最小值.11.(2020·日照)如图，某小区有一块靠墙(墙的长度不限)的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100 m的篱笆围成四块矩形花圃(靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计)．(1)若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；(2)在(1)的条件下，设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．12.手工课上,小明准备做一个菱形的风筝,这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm,菱形的面积S(单位:cm2)随其中一条对角线的长x(单位:cm)的变化而变化.(1)请直接写出S与x之间的函数关系式.(2)当x为多少时,菱形风筝的面积S最大?最大面积是多少?(3)请说明(2)中的函数S随x的变化情况.13.某社区决定把一块长50 m、宽30 m的矩形空地建成居民健身广场,设计方案如图,阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小、形状都相同的矩形),空白区域为活动区,且四周的4个出口宽度相同,其宽度不小于14 m,不大于26 m,设绿化区较长边为x m,活动区的面积为y m2.(1)求y与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;(2)求活动区的最大面积.14.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝10,F是AB的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动,且始终保持DF⊥EF,求△CDE面积的最大值.15.工人师傅用一块长为10 dm、宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个小正方形.(厚度不计)(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕,并求长方体底面积为12 dm2时,裁掉的正方形边长为多少?(2)要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理(内、外两面都要处理).若侧面每平方分米的费用为0.25元,底面每平方分米的费用为2元,则裁掉的正方形边长为多少时,防锈处理的总费用最低?最低总费用为多少?16.如图,某住宅小区有一块矩形场地ABCD,AB＝16 m,BC＝12 m,开发商准备对这块地进行绿化,分别设计了①②③④⑤五块地,其中①③为两块形状大小相同的正方形地用来种花,②④为两块形状大小相同的矩形地用来种植草坪,⑤为矩形地用来养殖观赏鱼.(1)设矩形观赏鱼用地LJHF的面积为y m2,AG长为x m,求y与x之间的函数关系式;(2)求矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值.参考答案一、选择题1.如图,小明想用长为12米的栅栏(虚线部分),借助围墙围成一个矩形花园ABCD,则矩形ABCD的最大面积是(B)A.16米2B.18米2C.20米2D.24米22.已知一个直角三角形的两直角边之和为20 cm2,则这个直角三角形的最大面积为(B)A.25 cm2B.50 cm2C.100 cm2D.不确定3.如图,在△ABC中,∠C＝90°,AB＝10 cm,BC＝8 cm,点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止).在运动过程中,△PCQ面积的最小值为 (C)A.24 cm2B.15 cm2C.9 cm2D.8 cm24.如图,菱形ABCD的边长为8,∠BAD＝60°,E是AD上一动点(不与点A,D重合),F是CD上一动点,且AE＋CF＝8,则△DEF面积的最大值为(B)A.2√3B.4√3C.8D.8√35.一种包装盒的设计方法如图所示,ABCD是边长为80 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的4个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四点重合于图中的点O,形成一个底面为正方形的长方体包装盒.设BE＝CF＝x cm,要使包装盒的侧面积最大,则x应取(C)A.30B.25C.20D.15二、填空题6.如图,用总长度为12米的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架,所有横档和竖档分别与AD,AB平行,则矩形框架ABCD的最大面积为4米2.7.在综合实践活动中,同学们借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用24 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD,则矩形花园ABCD的最大面积为144m2.8.如图,有一块边长为a的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形,再沿图中cm2,则a的值为3虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒.若该纸盒侧面积的最大值是9√38cm.9.如图,B船位于A船正东25 km处,现在A,B两船同时出发,A船以6 km/h的速度朝正北方向行驶,B 船以8 km/h的速度朝正西方向行驶,则两船相距最近是15km.三、解答题10.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,同时点Q从点B出发,沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.如果P,Q两点在分别到达B,C 两点后就停止移动,回答下列问题:(1)运动开始后第多少秒时,△PBQ的面积等于8 cm2?(2)设运动开始后第t s时,五边形PQCDA的面积为S cm2,写出S与t的函数关系式,并指出自变量t的取值范围.(3)在(2)的条件下,当t 为何值时S 最小?求出S 的最小值. 解:(1)设运动开始后第x s 时,△PBQ 的面积等于8 cm 2, ∴AP=x ,QB=2x ,∴PB=6-x , ∴12×(6-x )×2x=8,解得x 1=2,x 2=4,∴运动开始后第2 s 或第4 s 时,△PBQ 的面积等于8 cm 2. (2)第t s 时,AP=t cm,PB=(6-t ) cm,BQ=2t cm, ∴S △PBQ =12·(6-t )·2t=-t 2+6t. ∵S 矩形ABCD =6×12=72,∴S=72-S △PBQ =t 2-6t+72(0≤t ≤6). (3)∵S=t 2-6t+72=(t-3)2+63, ∴当t=3 s 时,S 有最小值63 cm 2.11.(2020·日照)如图，某小区有一块靠墙(墙的长度不限)的矩形空地ABCD ，为美化环境，用总长为100 m 的篱笆围成四块矩形花圃(靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计)．(1)若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE ＝3BE ；证明：∵矩形MEFN 与矩形EBCF 的面积相等，∴ME ＝BE . ∵四块矩形花圃的面积相等， ∴S矩形AMND＝2S矩形MEFN，∴AM ＝2ME . ∴AE ＝3BE .(2)在(1)的条件下，设BC 的长度为x m ，矩形区域ABCD 的面积为y m 2，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．解：∵篱笆总长为100 m ，∴2AB ＋GH ＋3BC ＝100， 即2AB ＋12AB ＋3BC ＝100. ∴AB ＝40－65BC .∵BC 的长度为x m ，矩形区域ABCD 的面积为y m 2， ∴y ＝BC ·AB ＝x ⎝⎛⎭⎫40－65x ＝－65x 2＋40x ，∵AB ＝40－65BC ，∴BE ＝10－310x >0，解得x <1003. ∴y ＝－65x 2＋40x ⎝⎛⎭⎫0<x <1003.12.手工课上,小明准备做一个菱形的风筝,这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm,菱形的面积S (单位:cm 2)随其中一条对角线的长x (单位:cm)的变化而变化.(1)请直接写出S与x之间的函数关系式.(2)当x为多少时,菱形风筝的面积S最大?最大面积是多少?(3)请说明(2)中的函数S随x的变化情况.解:(1)S＝12x(60－x)＝－12x2＋30x.(2)由(1)得S＝－12x2＋30x＝－12(x－30)2＋450,故当x为30 cm时,菱形风筝的面积S最大,最大面积是450 cm2.(3)当0<x<30时,S随x的增大而增大;当30<x<60时,S随x的增大而减小.13.某社区决定把一块长50 m、宽30 m的矩形空地建成居民健身广场,设计方案如图,阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小、形状都相同的矩形),空白区域为活动区,且四周的4个出口宽度相同,其宽度不小于14 m,不大于26 m,设绿化区较长边为x m,活动区的面积为y m2.(1)求y与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;(2)求活动区的最大面积.解:(1)根据题意,绿化区的宽为12[30－(50－2x)]＝x－10,∴y＝50×30－4x(x－10)＝－4x2＋40x＋1500.由题知14≤50－2x≤26,解得12≤x≤18,∴y＝－4x2＋40x＋1500(12≤x≤18).(2)由(1)知y＝－4x2＋40x＋1500＝－4(x－5)2＋1600.∵a＝－4<0,抛物线的开口向下,当12≤x≤18时,y随x的增大而减小,∴当x＝12时,y最大＝1404.答:活动区的最大面积为1404 m2.14.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝10,F是AB的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动,且始终保持DF⊥EF,求△CDE面积的最大值.解:连接CF.在等腰Rt△ABC中,∵∠C＝90°,AB＝10,F是AB的中点,∴CF＝AF,∠A＝∠FCE,AC＝BC＝5√2.易得∠AFD＝∠CFE,∴△ADF≌△CEF(ASA).设AD＝x(0<x<5√2),△CDE的面积为y,∴CE＝x,CD＝5√2－x,∴y＝12x(5√2－x)＝－12(x−5√22)2＋254,∴△CDE面积的最大值为254.15.工人师傅用一块长为10 dm、宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个小正方形.(厚度不计)(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕,并求长方体底面积为12 dm2时,裁掉的正方形边长为多少?(2)要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理(内、外两面都要处理).若侧面每平方分米的费用为0.25元,底面每平方分米的费用为2元,则裁掉的正方形边长为多少时,防锈处理的总费用最低?最低总费用为多少?解:(1)如图所示,设裁掉的正方形的边长为x dm,由题意可得(10-2x)(6-2x)=12,即x2-8x+12=0,解得x=2或x=6(舍去),答:裁掉的正方形的边长为2 dm.(2)因为长不大于宽的五倍,所以10-2x≤5(6-2x),解得0<x≤2.5.设总费用为w元,由题意可知w=0.25×4x(16-4x)+2(10-2x)(6-2x)=4x2-48x+120=4(x-6)2-24,因为对称轴为x=6,开口向上,所以当0<x≤2.5时,w随x的增大而减小,所以当x=2.5时,w有最小值,最小值为25元,答:当裁掉边长为2.5 dm的正方形时,防锈处理的总费用最低,最低总费用为25元.16.如图,某住宅小区有一块矩形场地ABCD,AB＝16 m,BC＝12 m,开发商准备对这块地进行绿化,分别设计了①②③④⑤五块地,其中①③为两块形状大小相同的正方形地用来种花,②④为两块形状大小相同的矩形地用来种植草坪,⑤为矩形地用来养殖观赏鱼.(1)设矩形观赏鱼用地LJHF的面积为y m2,AG长为x m,求y与x之间的函数关系式;(2)求矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值.解:(1)在矩形ABCD中,CD＝AB＝16,AD＝BC＝12,∵正方形AEFG和正方形JKCI形状大小相同,矩形GHID和矩形EBKL形状大小相同,AG＝x,∴LE＝DG＝12－x,FL＝EF－LE＝x－(12－x)＝2x－12,LK＝BE＝16－x,LJ＝LK－JK＝(16－x)－x＝16－2x.∵S矩形LJHF＝FL·LJ,∴y＝(2x－12)(16－2x)＝－4x2＋56x－192.(2)由(1)得y＝－4x2＋56x－192＝－4(x－7)2＋4.∵FL＝2x－12>0,LJ＝16－2x>0,∴6<x<8.∵a＝－4<0,∴当x＝7时,y有最大值,最大值为4.答:矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值为4 m2.。
2020沪科版九年级数学上册 21.4 第1课时 几何图形的最大面积
变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形 菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最 大，最大面积是多少？
x
x
问题1 变式2与变式1有什么异同？
问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？ 60-2x
问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？
答案：设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则
4
当x=20时，y最大＝300.
E
30m D
C
B
F
A
40m
练一练
1.用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙
长为18m，这个矩形的长，宽各为多少时？菜园的面积最大，
面积是多少？
解：设矩形菜园的长为xm，则宽为15 x m.
2
S 15 x x 1 x2 15 x
2
S 60 x x 1 x2 30x
2
2
问题4 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？ 不正确. 问题5 如何求自变量的取值范围？ 0 ＜ x ≤18.
问题6 如何求最值？
由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时， S有最大值是378.
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点 处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希 望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及 何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.
解： （1）设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x), ∴S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6. (2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9; ∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2. 这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
九年级数学教案几何图形的最大面积
九年级数学科教案备课序号：第 7 节是多少？问题3 当自变量x 限定范围时，二次函数2y ax bx c =++的最值如何确定？试一试 根据探究得出的结论，解决引例的问题：典例精析例1 求下列函数的最大值与最小值.(1) 232(31)y x x x =+--≤≤ (2) 2121(31)5y x x x =--+-≤≤ 方法归纳：当自变量的范围有限制时，二次函数2y ax bx c =++的最值可以根据以下步骤来确定：1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴；2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x 的取值范围；3.判断，判断x 的取值范围与对称轴的位置关系，根据二次函数的性质和图象，确定当x 取何值时函数有最大或最小值，然后根据x 的值，求出函数的最值.探究点2：二次函数与几何图形面积的最值例2 用总长为60米的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(平方米)随矩形一边长l(米)的变化而变化.当l 是多少米时，场地的面积S 最大？(1) 矩形面积公式是什么？(2) 如何用l 表示其邻边的长？(3) 面积S 的函数关系式是什么？(4) 当l 是多少米时，场地的面积S 最大？变式题如图，用一段长为60m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.(1)当墙长32m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？分析：设垂直于墙的边长为x m ，则平行于墙的边长为________m. 矩形菜园的面积S=____________.想一想 如何求解自变量x 的取值范围？墙长32m 对此题有什么作用？解决问题：当这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？(2)当墙长18 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？问题1 与(1)有什么区别？试一试 在(2)中，求自变量的取值范围.问题2 当21≤ x ＜30时，S 的值随x 的增大如何变化？当x 取何值时，S 取得最大值？注意：实际问题中求解二次函数最值问题时，需要结合自变量的取值范围，不一定都是在顶点处取得最值.例3 用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？(铝合金型材宽度不计)要点归纳：二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内.三、课堂小结四、作业必做：教科书52页第4题选做：教科书52页第5题 几何面积最值问题一个关键 依据常见几何图形的面积公式建立函数关系式 一个注意 最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定。
周长相等圆的面积最大证明
周长相等圆的面积最大证明针对小学生：《神奇的圆：为什么周长相等它面积最大》小朋友们，今天咱们来玩一个有趣的数学游戏。
想象一下，有一根长长的绳子，我们用它来围图形。
如果围成长方形，就像咱们的黑板，长长的，宽宽的。
但是如果我们把这根绳子围成正方形，是不是就变得更规整啦？那如果我们把这根绳子围成一个圆呢？这可就神奇啦！比如说，这根绳子长 12 厘米。
如果围成正方形，边长就是 3 厘米，面积就是 9 平方厘米。
要是围成长方形，可能长是 4 厘米，宽是 2 厘米，面积就是 8 平方厘米。
但是如果围成圆呢，经过计算，面积会比正方形和长方形都大！这是因为圆的形状很特别，它没有尖尖的角，每一处到中心的距离都一样。
所以当周长相等的时候，圆能占的地方最大。
小朋友们，是不是很神奇呀？《圆的秘密：周长一样，面积它最大》小朋友们，你们有没有想过，为什么在周长相等的情况下，圆的面积是最大的呢？让我来给你们讲个小故事。
有一天，小熊、小兔子和小猴子比赛，看谁用同样长的篱笆围出的地最大。
小熊围了一个长方形，小兔子围了一个正方形，小猴子围了一个圆。
小熊的长方形，长是 4 米，宽是 2 米，面积是 8 平方米。
小兔子的正方形，边长是 3 米，面积是 9 平方米。
小猴子的圆呢，经过计算，面积居然有 12 平方米多呢！这下子，小熊和小兔子都惊呆了。
这就告诉我们呀，圆可厉害啦，在周长一样的时候，它能占的地方最大。
所以小朋友们，以后看到周长相等的图形，要记住圆的面积是最大的哟！《圆，周长相等时的面积冠军》小朋友们，咱们来一起探索一个有趣的数学现象。
假设我们有一根魔法绳子，它的长度是固定的。
我们先用它围一个三角形，哎呀，三角形有尖尖的角，占的地方不大。
再用它围一个正方形，嗯，比三角形好多啦，但还是不够大。
我们把这根魔法绳子围成一个圆。
哇塞！圆占的地方一下子变得好大呀！比如说，这根绳子长 20 厘米。
围成正方形，面积大概是 25 平方厘米。
可要是围成圆，面积能有 30 多平方厘米呢！这是因为圆就像一个超级大胖子，浑身上下都很圆润，没有一点浪费的地方。
专题28 求几何图形面积及面积法解题的问题(解析版)
专题28 求几何图形面积及面积法解题的问题一、几何图形面积公式1.三角形的面积:设三角形底边长为a ，底边对应的高为h ，则面积S=ah/22.平行四边形的面积:设平行四边形的底边长为a ，高为h ，则面积S=ah3.矩形的面积:设矩形的长为a ，宽为b ，则面积S=ab4.正方形的面积:设正方形边长为a ，对角线长为b ，则面积S=222b a = 5.菱形的面积:设菱形的底边长为a ，高为h ，则面积S=ah若菱形的两条对角线长分别为m 、n ，则面积S=mn/2也就是说菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。
6.梯形的面积:设梯形的上底长为a,下底长为b ，高为h ，则面积S=（a+b ）h/27.圆的面积:设圆的半径为r,则面积S=πr 28.扇形面积计算公式9．圆柱侧面积和表面积公式（1）圆柱的侧面积公式S 侧=2πrh2360r n s π⋅=lr s 21=或（2）圆柱的表面积公式：S 表=2S 底+S 侧=2πr 2+2πrh10.圆锥侧面积公式从右图中可以看出，圆锥的母线L 即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长2πr ，这样，圆锥侧面积计算公式:S 圆锥侧=S 扇形=πrL注意：有时中考题还经常考查圆的周长、扇形的弧长的公式的应用。
（1）圆的周长计算公式为：C=2πr（2）扇形弧长的计算公式为：（3）其他几何图形周长容易计算，不直接给出。
二、用面积法解题的理论知识1.面积方法：运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。
2.面积法解题的特点：把已知量和未知量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。
所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。
三、面积方法问题主要涉及以下两部分内容1.证明面积相等的理论依据（1）三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。
立体几何面积和体积公式
立体几何面积和体积公式立体几何面积和体积公式立体几何是三维空间中物体的形状和大小的研究，可以从表面面积和体积两方面进行探究。
在数学中，计算几何就是研究空间中的几何图形及其性质的一门学科，而立体几何是计算几何的一个重要分支。
本文将简要介绍立体几何的面积和体积公式。
一、立体几何面积公式立体图形表面的面积是指该物体上外表面积的总和。
立体几何面积公式的推导是通过三维几何公式及微积分基本定理进行特定面积的求导推导的。
至于常见图形的具体推导将在下面讨论。
1.长方体表面积公式长方体一共有6个面，每个面的面积都是$l \times w$。
根据此，长方体的表面积公式可以表示为$ S=2lw+2lh+2wh$。
2.球体表面积公式球体的表面积为球的表面面积，即 $S=4\pi r^2 $，其中，$\pi$是圆周率，$r$是球体的半径。
3.圆锥表面积公式圆锥的表面积是锥和底面的总和。
锥的表面积为$S_a=\pi rl$，其中 $l$ 为斜高，$r$ 为底面半径。
底面的面积为$S_b=\pi r^2$。
根据此，圆锥表面积公式可以表示为$S_a+S_b=\pi r^2+\pi rl$。
4.圆柱表面积公式圆柱的表面积是上下两个圆面积和侧面积之和。
上下圆面积为 $\pi r^2$，侧面积为$l \times 2 \pi r$。
根据此，圆柱表面积公式可以表示为$ S=2 \pi r^2 +2\pi rl$。
5.正四面体表面积公式正四面体相对简单，它的表面积是所有面积的总和，即 $S=a^2\sqrt{3}$，其中，$a$是正四面体的边长。
6.棱锥表面积公式棱锥的表面积是锥和底面的总面积。
锥体积为$S_a=\sqrt{h^2+b^2}$，其中，$h$ 为棱锥高，$b$ 为底部边长。
底面积为 $S_b=\frac{1}{2}(bl)$，其中，$l$ 为底部棱长。
根据此，棱锥表面积公式可以表示为$S=S_a+S_b=\frac{1}{2}bh+\frac{1}{2}bl+\sqrt{h^2+b^ 2}$。
基本图形的面积计算方法
基本图形的面积计算方法面积是研究几何学中的一个重要概念，它描述了一个物体或图形所占据的平面范围的大小。
在几何学中，面积的计算方法与图形的形状有关，在本文中，我将介绍一些常见基本图形的面积计算方法。
一、三角形的面积计算方法三角形是最简单的平面图形之一，其面积计算公式为：面积 = 底边长度 ×高 / 2其中，底边长度是指三角形的底边的长度，高是指从底边到与之平行的顶点的垂直距离。
二、矩形的面积计算方法矩形是一个拥有四个直角的四边形，其面积计算公式为：面积 = 长 ×宽其中，长代表矩形的长边的长度，宽代表矩形的短边的长度。
三、正方形的面积计算方法正方形是一种特殊的矩形，其四条边相等，且都是直角形成的。
正方形的面积计算公式为：面积 = 边长 ×边长其中，边长指正方形的任意一条边的长度。
四、圆的面积计算方法圆是一个几何学中重要的图形，其面积计算公式为：面积= π × 半径 ×半径其中，π是一个无理数，可以近似取为3.14或22/7，半径代表圆的半径长度。
五、椭圆的面积计算方法椭圆是一个具有两个焦点的几何图形，其面积计算公式为：面积= π × 长半径 ×短半径其中，长半径代表椭圆的长轴的一半长度，短半径代表椭圆的短轴的一半长度。
六、正多边形的面积计算方法正多边形是一个具有相等边长和相等内角的多边形，例如正三角形、正四边形等。
对于正多边形的面积计算，我们可以使用以下公式：面积 = (边长 ×边长) × (边数/ 4 × tan(π / 边数))其中，边长代表正多边形的任意一条边的长度，边数代表正多边形的边的数量。
通过以上的介绍，我们可以看到不同基本图形的面积计算方法是不同的，但都可以通过找到合适的公式来求解。
掌握这些方法对于几何学的学习和实际应用都具有重要意义。
最后，需要注意的是，在应用这些面积计算方法时，要确保所使用的长度单位一致，以求得准确的面积值。
初中复习方略数学微专题四 二次函数中几何图形线段、周长、面积的最值
抛物线对称轴为直线 x＝－ 2
＝1，
2×（－1）
3k＋c＝0
设直线 AC 的解析式为 y＝kx＋c，将 A(3，0)，C(0，3)代入，得：
，
c＝3
k＝－1
解得：
，
c＝3
∴直线 AC 的解析式为 y＝－x＋3，∴P(1，2)；
(3)存在．设 P(1，t)，①以 AC 为边时，如图 2，∵四边形 ACPQ 是菱形， ∴CP＝CA， ∴12＋(3－t)2＝32＋32，解得：t＝3± 17 ， ∴P1(1，3－ 17 )，P2(1，3＋ 17 )， ∴Q1(4，－ 17 )，Q2(4， 17 )，
1．(2021·天津中考)已知抛物线 y＝ax2－2ax＋c(a，c 为常数，a≠0)经过点 C(0，－ 1)，顶点为 D. (1)当 a＝1 时，求该抛物线的顶点坐标； (2)当 a＞0 时，点 E(0，1＋a)，若 DE＝2 2 DC，求该抛物线的解析式； (3)当 a＜－1 时，点 F(0，1－a)，过点 C 作直线 l 平行于 x 轴，M(m，0)是 x 轴上 的动点，N(m＋3，－1)是直线 l 上的动点．当 a 为何值时，FM＋DN 的最小值为 2 10 ，并求此时点 M，N 的坐标．
(2021·常德中考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，平行四边形 ABCD 的 AB 边与 y 轴交于 E 点，F 是 AD 的中点，B、C、D 的坐标分别为(－2，0)，(8，0)，(13， 10). (1)求过 B、E、C 三点的抛物线的解析式； (2)试判断抛物线的顶点是否在直线 EF 上； (3)设过 F 作与 AB 平行的直线交 y 轴于 Q，M 是线段 EQ 之间的动点，射线 BM 与抛物线交于另一点 P，当△PBQ 的面积最大时，求 P 的坐标．
圆内面积最大的四边形
圆内面积最大的四边形
在平面几何中，一个最常见的问题是寻找给定形状的最大面积。
对于四边形而言，如果我们给定了四条边的长度，那么这个问题就非常容易解决。
不过，如果我们只知道四边形的周长，该怎么办呢？
在这样的情况下，我们需要找到一个圆内面积最大的四边形。
这个问题在数学中被称为“圆内四边形问题”，它有着广泛的应用，如在计算机图形学中用于创建平滑的多边形曲线等。
解决这个问题的第一步是找到一个简单的四边形，它可以容易地包含在一个圆内。
最自然的选择是正方形，因为它是所有四边形中对称性最好的一个。
接下来，我们可以对这个正方形进行变形，使得它的面积更接近于最大值。
一种方法是将正方形的一个角削去，并将其余三个角向内弯曲，形成一个凸四边形。
这个四边形的面积比原来的正方形要大，但是仍然不是最大面积。
我们可以继续对这个四边形进行变形，例如将其中两个角再次向内弯曲，形成一个更加凸的四边形。
通过反复进行这样的变形，我们会得到一个越来越接近最大面积的四边形。
在实践中，我们可以使用计算机算法来进行这个过程，以找到最优解。
最后，需要注意的是，圆内面积最大的四边形并不唯一。
事实上，存在无数种不同的四边形，它们的面积都能达到最大值。
这是因为圆内的四边形具有很强的对称性，可以进行各种各样的对称变
换，而不影响其面积。
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可以看出，这个函数的图象是 一条抛物看线的一部分，这条抛
物线的顶点是这个函数的图象的
最高点. 也就是说，当t取顶点的横坐 标时，这个函数有最大值.
O
t/s
如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？ 由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点， b 当 x 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值 2a
象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符
合实际的最值. 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1.求出函数解析式和自变量的取值范围； 2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值, 3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量
的取值范围内.
当堂练习 1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的
x
60-2x
x
问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？ 问题3 面积S的函数关系式是什么？
设垂直于墙的边长为x米，S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.
问题4 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什
么作用？ 0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
问题5 如何求最值？ 最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2
典例精析
例 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一
边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？ 问题1 矩形面积公式是什么？ 问题2 如何用l表示另一边？
问题3 面积S的函数关系式是什么？
例 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一
边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？ s 解:根据题意得
变式 2 如图，用一段长为 60m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形 菜园，墙长18m ，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最 大，最大面积是多少？ 问题1 变式2与变式1有什么异同？ 问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？ x
问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？ 答案：设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则
实际问题与二次函数
几何图形
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值. （1）y=x2-4x-5; (配方法) (2)y=-x2-3x+4.(公式法)
解：（1）开口方向：向上；对称轴：x=2；顶点坐标：（2，-9）； 最小值：-9； （2）开口方向：向下；对称轴：x= （ - 3 ，25 ）；最大值：25 .
课堂小结
依 据
一个关键 常见几何图形 的面积公式
建立函数 关系式
几何面积 最值问题 最值有时不在顶点处，则要 利用函数的增减性来确定
一个注意
3 ；顶点坐标： 2
2
4
4
一 二次函数与几何图形面积的最值
引例 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时
间 t（单位：s）之间的关系式是h= 30t - 5t 2
（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是
多少？
h/m 40 20 1 2 3 4 5 6 h= 30t - 5t 2
4ac b 2 y ． 4a
h/m
b 30 t 3， 2a 2 （ 5） 20 4ac b2 302 h 45． 4a 4 （ 5） O 1 2 3 4 5 6
小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小
40
h= 30t - 5t 2
t/s
球运动中的最大高度是 45 m．
8 2 m 透光面积是 3
.
C
Q A
图2 图1 2.如图2，在△ABC中， ∠B=90 °,AB=12cm,BC=24cm,动点P从 点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从
点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从 A、B同时出发，那么经过
P
B
3
S=l(30-l), 即 S=-l2+30l (0<l<30).
100 200
因此，当 时， 4ac b
4a
2
l
b 30 15 2a 2 (1)
302 225 4 (1)
O
5
10 15 20 25 30
l
S有最大值
也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
变式 1 如图，用一段长为 60m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形 菜园，墙长32m ，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最 大，最大面积是多少？ 问题1 变式1与例题有什么不同？
秒，四边形APQC的面积最小.
3. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用
每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2). (1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
解： （1）设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x), ∴S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6. (2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9; ∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2. 这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
60 x 1 2 S x x 30 x 2 2
0 ＜ x ≤18ห้องสมุดไป่ตู้ 问题4 如何求自变量的取值范围？
问题5 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？ 不正确. 问题6 如何求最值？
由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378.
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据 自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图