二次函数图像信息题资料讲解

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人教版九年级上册第22章二次函数图像与性质知识点题型总结

二次函数图像及性质【二次函数的定义】一般地，形如y = ax2+bx + c Wc为常数，“工0）的函数称为兀的二次函数，其中兀为自变量，为因变量，J b、c分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.注意：和一元二次方程类似，二次项系数“工0,而b、c可以为零.二次函数的自变量的取值范朗是全体实数.【二次函数的图象】1.二次函数图象与系数的关系（1）“决左抛物线的开口方向当“>0时，抛物线开口向上；当“<0时，抛物线开口向下.反之亦然.同决过抛物线的开口大小：同越大，抛物线开口越小；同越小，抛物线开口越大.温馨提示：几条抛物线的解析式中，若问相等，则其形状相同，即若"相等，则开口及形状相同，若a互为相反数，则形状相同、开口相反.（2）〃和"共同决左抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：S2a当b=o时，抛物线的对称轴为y轴；当方同号时，对称轴在轴的左侧；当〃异号时，对称轴在y轴的右侧・（3）“的大小决泄抛物线与y轴交点的位置（抛物线与y轴的交点坐标为（o，C）当c=o时，抛物线与y轴的交点为原点：当c>o时，交点在轴的正半轴：当c<0时，交点在y轴的负半轴.2•二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y = ax2 +bx + c化为顶点式y = a（x-h）2 +k，确泄其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点（0, c）、以及（0, c）关于对称轴对称的点（2力，c）、与x轴的交点（占，0） , （x2 , 0）（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）・画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与X轴的交点，与y轴的交点.3•点的坐标设法（1）一次函数y = ax + h图像上的任意点可设为（“与+“）•其中再=0时.该点为直线与y轴交点.（2）二次函数y = ax2+bx + c（心0）图像上的任意一点可设为（石，妙？+站+可.再=0时，该点为抛物线与y轴交点，当x=-A时，该点为抛物线顶点.2a⑶ 点（召，yj关于（兀2，x2）的对称点为（2兀-若，2比-）・4•二次函数的图象信息（1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性.（2）根据抛物线的对称轴判断-仝的大小.2a（3）根据抛物线与y轴的交点，判断。

二次函数--图像专题及答案解析

二次函数经典题一、选择题 61．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1,则正确的结论是（）A ．abc>0B ．3a +c ＜0C ．4a+2b+c ＜0D ．b 2 -4ac ＜062．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法： ①abc ＜0；②2a ﹣b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），（，y 2）是抛物线上两点，则y 1＞y 2．其中说法正确的是（）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④63．如图，半圆D 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M ，设⊙O 1的半径为y ，AM=x ，则y 关于x 的函数关系式是（）A ．21y x x 4B ．2y x xC ．21y x x 4D ．21y x x 464．如右图，已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象过A （－3，0），对称轴为直线x=－1，下列结论：①b 2>4ac ；②2a ＋b=0；③a －b ＋c=0；④5a<b ；⑤a －b>m(am ＋b)(m ≠－1)其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个65．如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（0，﹣2），与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，且﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论正确的是（）A ．a ＜0B ．a ﹣b+c ＜0C ．2b a>1 D ．4ac ﹣b 2＜﹣8a 66．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴的交点在(0,2)的下方，与x 轴的交点为（x 1，0）和（2，0），且-2＜x 1＜-1，则下列结论正确的是（）A 、0abc >B 、0a b c -+<C 、210a b ++>D 、0a b +>67．给出下列命题及函数y x =，2y x =和1y x=的图象 ①如果21a a a>>，那么0a 1<<； ②如果21a a a>>，那么a 1>； ③如果21a a a>>，那么1a 0-<<； ④如果21a a a>>时，那么a 1<-. 则（）A. 正确的命题是①④B. 错误．．的命题是②③④C. 正确的命题是①②D. 错误．．的命题只有③ 68．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，有下列结论：①a<0，②b<0，③c<0，④4a-2b+c<0，⑤b+2a=0其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个69．二次函数)0(2≠++=a c bx x a y 图像如图所示，下列结论：①0abc >，②20a b +=，③930a b c ++>，④方程20ax bx c ++=的解是-2和4，⑤不等式20ax bx c ++>的解集是24x -<<，其中正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个70．小明从如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab ＞0；②a+b+c ＜0；③b+2c ＞0；④a ﹣2b+4c ＞0；⑤32ab ．你认为其中正确信息的个数有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个71．已知二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图象如图所示，下列说法错误的是（）A ．图象关于直线1x =对称B ．函数2y ax bx c =++(0)a ≠的最小值是-4C ．当1x <时，y 随x 的增大而增大D ．-1和3是方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根72．给出下列四个命题：（1）将一个n （n≥4）边形的纸片剪去一个角，则剩下的纸片是n+1或n-1边形；（2）若31x x --=，则x=1或x=3；（3）若函数32(23)k y k x x-=-+是关于x 的反比例函数，则32k =；（4）已知二次函数2y ax bx c =++，且a ＞0，a-b+c ＜0,则240b ac -≤。

第08讲二次函数定义图像与性质(7大考点)(原卷版)

第08讲二次函数定义、图像与性质（7大考点）考点考向一．二次函数的定义（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．二．二次函数的图象（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．三．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x ＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c （a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x ＜﹣时，y随x的增大而减小；x ＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．四．二次函数图象与系数的关系二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点．五．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．六．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．七．二次函数的最值（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x ＝时，y ＝．（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x ＝时，y ＝．（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．考点精讲一．二次函数的定义（共5小题）1．（2021秋•淮阴区期末）函数y＝x2m﹣1+x﹣3是二次函数，则m ＝．2．（2022秋•启东市校级月考）函数是关于x的二次函数，求m的值．3．（2022秋•启东市校级月考）下列函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝x（﹣x+1）B．y＝ax2+bx+cC．y＝2x+3D．y＝（x﹣1）2﹣x24．（2022秋•通州区校级月考）已知y＝（a﹣3）﹣2是二次函数，求a．5．（2022•宿豫区开学）已知函数y＝m（m+2）x2+mx+m+1．（1）当m为何值时，此函数是一次函数？（2）当m为何值时，此函数是二次函数？二．二次函数的图象（共1小题）6．（2022秋•海安市月考）如图是二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象，当y2＞y1，x的取值范围是．三．二次函数的性质（共6小题）7．（2022秋•通州区校级月考）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+2的对称轴是（）A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝﹣2D．直线x＝28．（2022秋•通州区校级月考）抛物线y＝3（x﹣1）2﹣4的顶点坐标是（）A．（1，4）B．（1，﹣4）C．（﹣1，4）D．（﹣1，﹣4）9．（2022秋•启东市校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c的图象和反比例函数y＝的图象在同一坐标系中大致是（）A．B．C．D．10．（2022•苏州二模）已知二次函数y＝a（x﹣2）2+2a（x﹣2）（a为常数，a＜0），则该函数图象的顶点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．（2021秋•灌南县期末）在平面直角坐标系中，下列二次函数的图象开口向上的是（）A．y＝x2B．y＝﹣x2+2x+1C．y＝﹣2x2+x D．y＝﹣0.5x2+x12．（2021秋•邗江区期末）已知函数y＝x2﹣2kx+k2+1．（1）求证：不论k取何值，函数y＞0；（2）若函数图象与y轴的交点坐标为（0，10），求函数图象的顶点坐标．四．二次函数图象与系数的关系（共6小题）13．（2022•南京一模）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．b＜0，c＞0B．b＞0，c＞0C．b＞0，c＜0D．b＜0，c＜014．（2022•天宁区校级一模）设直线x＝1是函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（）A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0C．若m＜1，则（m+1）a+b＞0D．若m＜1，则（m+1）a+b＜015．（2022•仪征市二模）设直线x＝1是函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，若（m+1）a+b＞0，则m的取值范围是．16．（2022秋•通州区校级月考）已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列4个结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．417．（2022•灌南县一模）已知二次函数y＝﹣x2+2mx+c，当x＞0时，y随x的增大而减小，则实数m的取值范围是．18．（2021秋•南京期末）已知函数y1＝x+1和y2＝x2+3x+c（c为常数）．（1）若两个函数图象只有一个公共点，求c的值；（2）点A在函数y1的图象上，点B在函数y2的图象上，A，B两点的横坐标都为m，若A，B两点的距离为3，直接写出满足条件的m值的个数及其对应的c的取值范围．五．二次函数图象上点的坐标特征（共8小题）19．（2022秋•启东市校级月考）已知点A（2，3）在函数y＝ax2﹣x+1的图象上，则a等于．20．（2021秋•淮阴区期末）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣2，5）和（1，﹣4），求b、c的值．21．（2022•武进区校级一模）已知点（2，y1）与（3，y2）在函数的图象上，则y1、y2的大小关系为．22．（2022•徐州）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为．23．（2021秋•盐都区期末）如图，在正方形ABCD中，已知：点A，点B在抛物线y＝2x2上，点C，点D 在x轴上．（1）求点A的坐标；（2）连接BD交抛物线于点P，求点P的坐标．24．（2022•溧阳市模拟）抛物线y＝x2上有三个点A、B、C，其横坐标分别为m、m+1、m+3，则△ABC的面积为（）A．1B．2C．3D．425．（2022•常熟市模拟）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标的和为零，则称点P为“零和点”．已知二次函数y＝x2+3x+m的图象上有且只有一个“零和点”，则下列结论正确的是（）A．m＝B．m＝C．m＝1D．m＝426．（2022秋•通州区校级月考）抛物线y＝（x﹣3）2﹣4与y轴的交点坐标是．六．二次函数图象与几何变换（共8小题）27．（2022•天宁区模拟）将抛物线y＝﹣3x2﹣1向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝﹣3（x+2）2+1B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣3C．y＝﹣3（x+2）2﹣3D．y＝﹣3（x﹣2）2+128．（2022秋•如皋市校级月考）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x﹣4）2﹣6B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2 29．（2022•钟楼区校级模拟）将抛物线y＝x2+2x﹣3关于y轴对称，所得到的抛物线解析式为．30．（2022秋•启东市校级月考）在同一平面直角坐标系中，将函数y＝x2+1的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2单位，得到的图象的顶点坐标是．31．（2022•东台市模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+4x+1与y轴交于点P，其顶点是A，点P'的坐标是（3，﹣2），将该抛物线沿PP'方向平移，使点P平移到点P'，则平移过程中该抛物线上P、A两点间的部分所扫过的面积是．32．（2022•宿豫区开学）已知二次函数y＝2（x﹣1）2+1的图象为抛物线C．（1）抛物线C顶点坐标为；（2）将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线C1，请判断抛物线C1是否经过点P（2，3），并说明理由；（3）当﹣2≤x≤3时，求该二次函数的函数值y的取值范围．33．（2022•泗洪县一模）把二次函数y＝x2+bx+c的图象向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线顶点坐标为（﹣3，2），求原抛物线相应的函数表达式．34．（2021秋•仪征市期末）已知二次函数y＝2x2﹣4x+3的图象为抛物线C．（1）抛物线C顶点坐标为；（2）将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线C1，请判断抛物线C1是否经过点P（2，3），并说明理由；（3）当﹣2≤x≤3时，求该二次函数的函数值y的取值范围．七．二次函数的最值（共6小题）35．（2022•高新区二模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为漂亮点．已知二次函数y＝ax2+6x﹣（a≠0）的图象上有且只有一个漂亮点．且当﹣1≤x≤m时，二次函数y＝ax2+6x ﹣5（a≠0）的最小值为﹣12，最大值为4，则m取值范围是．36．（2022•姑苏区校级一模）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x轴于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为．37．（2022•南京一模）若x+y＝5，则xy+1的最大值为．38．（2022•鼓楼区一模）若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2的最小值为．39．（2022•高邮市模拟）如图，已知点P、Q分别是矩形ABCD中AB、CD边上的动点（不与点A、B、C、D重合），PE∥BQ交AQ于点E，连接PQ．AB＝8，BC＝6，设△PEQ的面积为S．（1）当点P运动到AP＝2时，无论点Q运动到CD边的何处，S＝；（2）在点P、Q的运动过程中，①若S ＝，求AP的长；②求S的最大值．40．（2022•宿豫区开学）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿AB 边向点B移动，速度为1cm/s；点Q从点B开始沿BC边向点C移动，速度为2cm/s，点P、Q分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．（1）几秒时，PQ的长度为3cm？（2）几秒时，△PBQ的面积为8cm2？（3）当t（0＜t＜5）为何值时，四边形APQC的面积最小？并求这个最小值．巩固提升一．选择题（共13小题）1．（2022•武进区一模）二次函数y＝2（x+1）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣1，﹣3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（1，3）2．（2022秋•启东市校级月考）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（）A．y＝4x+2B．y＝（x﹣1）2﹣x2C．y＝3x2+5﹣4x D．y＝3．（2022•钟楼区校级模拟）以下对二次函数y＝4x2的图象与性质的描述中，不正确的是（）A．开口向上B．对称轴是y轴C．图像经过点（﹣1，﹣4）D．x＞0时，y随x的增大而增大4．（2022秋•通州区校级月考）已知两点A（﹣5，y1），B（1，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y0≥y2＞y l，则x0的取值范围是（）A．x0＞﹣2B．x0＜﹣2C．﹣5＜x0＜1D．﹣2＜x0＜15．（2022•吴中区模拟）抛物线y＝2（x+3）（x﹣1）的对称轴是（）A．x＝﹣3B．x＝1C．x＝3D．x＝﹣16．（2022•宿豫区校级开学）已知函数y＝ax2+bx+4（a＜0），2a﹣b＝0，在此函数图象上有A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y17．（2022秋•启东市校级月考）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2（a＞0），A（x1，y1）、B（x2，y2）是其图象上的两点，且x1＜x2，|x1﹣1|≠|x2﹣1|，则下列式子正确的是（）A．（x1+x2﹣2）（y1﹣y2）＜0B．（x1+x2﹣2）（y1﹣y2）＞0C．（x1+x2+2）（y1﹣y2）＞0D．（x1+x2+2）（y1﹣y2）＜08．（2022秋•启东市校级月考）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，某同学得出了以下结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为任意实数）；⑤当x＞1时，y随x的增大而增大，其中结论正确的个数为（）A．2B．3C．4D．59．（2022•工业园区校级二模）在平面直角坐标系，xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx （a＞0）上，已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，则y1，y2，y3的大小为（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y210．（2022秋•通州区校级月考）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝x2﹣2x+c上的三点，y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y211．（2022秋•如皋市校级月考）若A（m+1，y1）、B（m，y2），C（m﹣2，y3）为抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a ＜0）上三点，且总有y2＞y3＞y1，则m的取值范围是（）A．m＞2B．C．D．m＞312．（2022•宿豫区开学）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（）A．1B．2C．3D．413．（2022•虎丘区校级模拟）设M为抛物线y＝（x﹣1）2的顶点，点A、B为该抛物线上的两个动点，且MA⊥MB．连接点A、B，过M作MC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（）A．B．C．D．2二．填空题（共9小题）14．（2022秋•通州区校级月考）已知二次函数的解析式为：y＝x2+2x﹣3，则当x时，y随x增大而增大．15．（2022秋•通州区校级月考）抛物线y＝﹣3x2+4x﹣3开口方向是．16．（2022•昆山市校级一模）定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数．下面给出特征数为[m，l﹣m，2﹣m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值：④若m＜0，则当x＞时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是．17．（2021秋•灌南县期末）关于x的函数y＝（m+2）是二次函数，则m的值是．18．（2022秋•通州区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则当0≤x≤3时，函数值y 的取值范围是．19．（2022秋•启东市校级月考）对于两个实数，规定min{a，b}表示a，b中的较小值，当a≥b时，min{a，b}＝b，当a＜b时，min{a，b}＝a，例如：min{﹣1，3}＝﹣1．则函数y＝min{x2+2x+2，﹣x2+2}的最大值是．20．（2022•相城区校级自主招生）设max{x，y}表示x，y两个数中的最大值．例如“max{1，3}＝3，max{﹣2，0，}＝”．则关于x的函数y＝max{2x，﹣x﹣2，﹣x2}的最小值为．21．（2022秋•通州区校级月考）已知二次函数y＝﹣x2+2x，当x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是．22．（2022秋•通州区校级月考）二次函数y＝（x+1）2﹣5，当m≤x≤n，且mn＜0时，y的最小值是2m，最大值是2n，则m﹣n＝．三．解答题（共3小题）23．（2022•鼓楼区二模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+3（m是常数）．（1）若m＝1，①该二次函数图象的顶点坐标为；②当0≤x≤4时，该二次函数的最小值为；③当2≤x≤5时，该二次函数的最小值为．（2）当﹣1≤x≤3时，该二次函数的最小值为1，求常数m的值．24．（2022•宿豫区开学）已知点A（2，﹣3）是二次函数y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m图象上的点．（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）当﹣1≤x≤4时，求函数的最大值与最小值的差；（3）当t≤x≤t+3时，若函数的最大值与最小值的差为4，求t的值．25．（2022秋•通州区校级月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线G：y＝x2﹣2（k﹣1）x+k（k为常数）．（1）若抛物线G经过点（2，k），求k的值；（2）若抛物线G经过点（k+1，y1），（1，y2），且y1＞y2．求出k的取值范围；（3）若将抛物线G向右平移1个单位长度，所得图象的顶点为（m，n），当k≥0时，求n﹣m的最大值．。

二次函数图象信息题的四种常见类型

抛物线开口向上的图像
1
特点
图像开口朝上，a>0。
2
性质在抛物ຫໍສະໝຸດ 的中心处，函数取得最小值，也称为“顶点”，坐标为(f(g),-h(f(g)))。
3
例题
如果抛物线y=ax^2+bx+c的顶点是(-1,4)，则方程的形式是什么？
抛物线开口向下的图像
特点
图像开口朝下，a<0。
性质
函数的最大值位于抛物线的中心处，其坐标为(f(g),-h(f(g)))。
二次函数图象信息题的四种常见类型
在学习二次函数时，掌握常见的四种图像类型对于学生们是非常重要的。这个幻灯片将介绍这些类型，以及如何轻松应对与它们相关的信息问题。
什么是二次函数？
1 定义
二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a，b，c为常数，a不等于零。图像为开口朝上或朝下的轮廓类似于一个U形。
例题
如果抛物线y=ax^2+bx+c的最大值点是(2,5)，则a的值是多少？
两个实根的图像
特点
图像与x轴有两个交点（实根），a>0。
性质
当x趋近于正无穷或负无穷时，二次函数趋近于无穷大。此外，抛物线的轴线是根的平均值。
例题
给定二次函数y=-2(x-4)(x-3)，求它的零点是多少？
无实根的图像
1
特点
图像可以用a(x-h)^2+k的形式表示，其中a<0。
2
性质
在抛物线的中心处，函数达到最大值。图像完全位于或高于x轴上方。
3
例题
二次方程y=x^2+4x+13有实根吗？如果不是，图像是什么样子的？

人教版数学中考复习《二次函数的图象及性质》精品教学课件ppt优秀课件

A(x,y)
B(-x,y)
x
... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
1 1.5
2
...
y=x2
...
4 2.25
1 0.25 0
0.25
1
2.25
4
...
y= - x2 ... -4 -2.25 -1 -0.25 0
-0.25
-1
-2.25 -4
...
函数图象画法
注意：列表时自变量取值要y均匀 2和对称。
y x2
当当当当xx==xx--==2112时时时时，，，，yyyy====--41--14
当a>0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而
减小。
当a>0时，在对称轴的右侧，y随着x的增大而
增大。
当当当当xx==xx--==2112时时时时，，，，yyyy====4114
当a<0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而
3
3
( 3,6)
( 3,6)
谢谢观看
Thank You!
这对对这对条称对这对称条称抛，称条称轴抛，物y轴抛，。轴物y线。轴物y就线轴关就线是关就于是关它于是y它于的轴y它的轴y的轴对称轴。
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点。
1、观察右图，并完成填空。
2、练习2 3、想一想
4、练习4
二次函数y=ax2的性质１、顶点坐标与对称轴２、位置与开口方向３、增减性与极值
4. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: ②.各坐标轴上的点: ③.各象限角平分线上的点: ④.对称于坐标轴的两点: ⑤.对称于原点的两点:
y
Q(b,-b)

第1讲二次函数的图像及性质

第1讲二次函数的图形及性质题型1：二次函数的概念1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y=5x−1B．y=ax2+bx+c C．y=3x2+1D．y=x2+1x题型2：利用二次函数定义求字母的值2.已知y=(m+1)x|m−1|+2m是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．−1B．3C．−1或3D．0题型3：二次函数的一般形式3.二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（）A．2、0、﹣3B．2、﹣3、0C．2、3、0D．2、0、3A．2B．﹣2C．﹣1D．﹣4题型4：根据实际问题列二次函数4.一个矩形的周长为16cm，设一边长为xcm，面积为y cm2，那么y与x的关系式是【变式4-1】如图，用长为20米的篱笆（AB+BC+CD=20），一边利用墙（墙足够长），围成一个长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，围成的花圃面积为y米2，则y关于x的函数关系式是．【变式4-2】某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y （单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x）B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）C．y＝200（40﹣20﹣x）D．y＝200﹣5x题型5：自变量的取值范围5.．若y=(a−2)x2−3x+4是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a>0C．a>2D．a≠0【变式5-1】函数y=√x+2的自变量取值范围是（）x−1A．x≥−2B．−2≤x<1C．x>1D．x≥−2且x≠1【变式5-2】若y=(m+1)x m2−2m−1是二次函数，则m=，其中自变量x的取值范围是．22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.二次函数y=ax2(a ≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax 2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.注意：用描点法画二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y 轴．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.题型1：利用描点法作函数图像1.在直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2的图象（取值、描点、连线、画图）．【变式1-1】在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2，y ＝x 2，y ＝﹣2x 2与y ＝﹣x 2的图象．x y ＝2x 2 y ＝x 2 y ＝﹣2x 2 y ＝﹣x 2x ya>0a<0题型2：二次函数y=ax2的图像2.在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，y3＝x2的图象，正确的是（）A．B．C．D．【变式2-1】下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是（）A．B．C．D．【变式2-2】如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数①y＝3x2；②y＝；③y＝x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（）A．①②③B．①③②C．②③①D．③②①题型3：二次函数y=ax2的性质3.抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（）A．（0，0）B．（0，﹣3）C．（﹣3，0）D．（﹣3，﹣3）【变式3-1】抛物线，y＝x2，y＝﹣x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【变式3-2】．对于函数y＝4x2，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．y随x的增大而减小D．y随x的增大而增大【变式3-3】二次函数y＝﹣3x2的图象一定经过（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限题型4：函数图像位置的识别4.已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax+b，二次函数是y＝ax2，则下面图中，可以成立的是（）A．B．C．D．【变式4-1】函数y＝ax2与y＝ax+a，在第一象限内y随x的减小而减小，则它们在同一平面直角坐标系中的图象大致位置是（）A．B．C．D．【变式4-2】在图中，函数y＝﹣ax2与y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．题型5：函数值的大小比较5.二次函数y1＝﹣3x2，y2＝﹣x2，y3＝5x2，它们的图象开口大小由小到大的顺序是（）A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3题型6：简单综合-三角形面积6.求直线y＝3x+4与抛物线y＝x2的交点坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形面积．22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图像和性质二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）（2）0 a>0 a<题型1：二次函数y=ax²+k的图象1.建立坐标系，画出二次函数y＝﹣x2及y＝﹣x2+3的图象．向上向下题型2：二次函数y=ax²+k的性质2.抛物线的开口方向是（）A．向下B．向上C．向左D．向右【变式2-2】抛物线y＝2x2+1的对称轴是（）A．直线x＝B．直线x＝﹣C．直线x＝2D．y轴题型3：二次函数y=a（x-h）²的图象3.画出二次函数（1）y＝（x﹣2）2（2）y＝（x+2）2的图象．课堂总结：题型4：二次函数y=a（x-h）²的性质4.对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝1C．顶点坐标为（1，0）D．当x＜1时，y随x的增大而减小题型5：二次函数y=a（x-h ）²+k 的图象和性质5.对于二次函数y ＝﹣5（x +4）2﹣1的图象，下列说法正确的是（） A ．图象与y 轴交点的坐标是（0，﹣1） B ．对称轴是直线x ＝4C ．顶点坐标为（﹣4，1）D ．当x ＜﹣4时，y 随x 的增大而增大【变式5-1】再同一直角坐标系中画出下列函数的图象（1）y ＝（x ﹣2）2+3 （2）y ＝（x +2）2﹣3【变式5-2】画函数y ＝（x ﹣2）2﹣1的图象，并根据图象回答：（1）当x 为何值时，y 随x 的增大而减小．（2）当x 为何值时，y ＞0．【变式5-3】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）y ＝5（x +2）2﹣3；（2）y ＝﹣（x ﹣2）2+3；（3）y ＝（x +3）2+6．二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： ()2y a x h k =-+()h k ，2y ax =()h k ，2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左h k加右减，上加下减”．题型6：二次函数几种形式之间的关系（平移）6.将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x﹣4）2﹣6B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2【变式6-1】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，能得到抛物线y ＝2（x﹣2）2+3的是（）A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x﹣3）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2+1D．y＝﹣2x2﹣1【变式6-2】将二次函数y＝x2﹣3的图象向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得抛物线的表达式是．题型7：利用增减性求字母取值范围7.抛物线y＝（k﹣7）x2﹣5的开口向下，那么k的取值范围是（）A．k＜7B．k＞7C．k＜0D．k＞0【变式7-1】已知点（x1，y1）、（x2，y2）是函数y＝（m﹣3）x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3【变式7-2】二次函数y＝（x﹣h）2+k（h、k均为常数）的图象经过P1（﹣3，y1）、P2（﹣1，y2）、P3（1，y3）三点．若y2＜y1＜y3，则h的取值范围是．题型8：识别图象位置8.如果二次函数y＝ax2+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+c的图象大致是（）A．B．C．D．【变式8-1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b的图象不可能是（）A．B．C．D．【变式8-2】已知m是不为0的常数，函数y＝mx和函数y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．题型9：比较函数值的大小9.已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＝y2＜y3B．y1＜y2＜y3C．y1＜y2＝y3D．y3＜y1＝y2题型10：简单综合问题10.已知抛物线y＝（x﹣5）2的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）试判断△ABC 的形状并说明理由．【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+3与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线y ＝x 2于点B 、C ，求BC 的长度．【变式10-2】在同一坐标系内，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝x +b 相交于A ，B 两点，若点A 的坐标是（2，3）．（1）求B 点的坐标；（2）连接OA ，OB ，AB ，求△AOB 的面积．22.1.4 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质二次函数一般式与顶点式之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式． 2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．题型1：一般式化成顶点式-配方法1.将二次函数y=x2−4x+5用配方法化为y=(x−ℎ)2+k的形式，结果为（）A．y=(x−4)2+1B．y=(x−4)2−1C．y=(x−2)2−1D．y=(x−2)2+1题型2：一般式化成顶点式-应用2.已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．将y＝x2﹣2x﹣3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标．题型3：公式法求顶点坐标及对称轴3.已知二次函数 y =−12x 2+bx +3 ，当 x >1 时，y 随x 的增大而减小，则b 的取值范围是（） A ．b ≥−1B ．b ≤−1C ．b ≥1D ．b ≤10a >0a <题型4：二次函数y=ax2+bx+c图像与性质4.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法不正确的是()A．当1<x<3时，y>0B．当x=2时，y有最大值C．图像经过点(4，−3)D．当y<−3时，x<0【变式4-2】二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x>0时，函数值y的取值范围是()A．y⩽9B．y⩽2C．y<2D．y⩽3 4题型5：利用二次函数的性质比较函数值5.函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则（）A．y1＜y2B．y1＞y2几种常考的关系式的解题方法题型6：二次函数y=ax2+bx+c图像与系数的关系6.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是（）A．B．C．D．【变式6-1】已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−4．若x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1<x2，1<x2<2，则下列说法正确的是A．x1x2>0B．−10<x1<−9C．b2−4ac<0D．abc>0【变式6-2】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(2，0)，，有下列结论：①b<0；②a+b>0；③4a+2b+3c<0；④无且对称轴为直线x=12，0)．其中正确结论有（）论a，b，c取何值，抛物线一定经过(c2aA．1个B．2个C．3个D．4个【变式6-3】如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线x=−1，点B的坐标为(1，0)，则下列结论：①AB=4；②b2−4ac>0；③b>0；④a−b+c<0，其中正确的结论有（）个.A．1个B．2个C．3个D．4个7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴B．直线x=12C．直线x＝1D．直线x=32题型8：利用二次函数的性质求字母的范围8.已知二次函数y＝x2+bx+1当0<x<12的范围内，都有y≥0，则b的取值范围是A．b≥0B．b≥﹣2C．b≥﹣52D．b≥﹣32a题型9：利用二次函数的性质求最值9.二次函数y=−x2+2x+4的最大值是.题型10：给定范围内的最值问题10.已知二次函数y=ax2+bx+1.5的图象（0≤x≤4）如图，则该函数在所给自变量的取值范围内，最大值为，最小值为.。

二次函数复习(共36张PPT)

y=ax2+bx+c的图方程ax2+bx+c=0
象和x轴交点
的根
b2-4ac
有两个交点
方程有两个不相等的 b2-4ac>0
实数根
只有一个交点
方程有两个相等的 b2-4ac=0
实数根
没有交点
方程没有实数根 b2-4ac<0
函数的图象
y
.
. ox
y
o
x
y
o
x
根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量与函数值的对应值，判断方程ax2+bx+c =0
(4)函数的自变量x的取值范围：任意实数
当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范
围.
二次函数的一般形式:
• 函数y＝ax2＋bx＋c
– 其中a、b、c是常数 – 切记：a≠0 – 右边一个x的二次多项式（不能是分式或根式）
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
向上
直线X=-h
（-h，k）
a ＜ 0 向下
图象的平移规律：
对于抛物线y=a(x+h)2+k的平移有以下规律： (1)、平移不改变 a 的值； (2)、h决定图象沿x轴方向左右平移，左+右— (3)、k决定图象沿y轴方向上下平移，上+下—
知识运用
（坐1标）是抛物线,图(y0象=,0过)x32 第2的开口向一象、,限对上二称；轴是
二次函数开口方向对称轴顶点坐标
y = ax 2
a ＞ 0 向上直线X=0 a ＜ 0 向下（或y轴）

二次函数专题复习讲义

二次函数专题复习专题一：二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念,二次函数的图象性质,抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主,也有少量的解答题出现.考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x=-2b a ,顶点坐标是-2b a,244ac b a -.例1 已知,在同一直角坐标系中,反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，． 1求m 、c 的值；2求二次函数图像的对称轴和顶点坐标. 考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中,当a>0时,开口向上,在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大；当a<0时,开口向下,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示,则y ax b =-的图象一定过A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限考点3、二次函数的平移当k>0k<0时,抛物线y=ax 2+ka ≠0的图象可由抛物线y=ax 2向上或向下平移|k|个单位得到；当h>0h<0时,抛物线y=ax-h 2a ≠0的图象可由抛物线y=ax 2向右或向左平移|h|个单位得到. 例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位,得到的抛物线是=3x+22=3x-22=3x 2+2 =3x 2-2 专题练习11.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-,下列说法正确的是A.开口向下,顶点坐标为5,3B.开口向上,顶点坐标为5,3C.开口向下,顶点坐标为-5,3D.开口向上,顶点坐标为-5,3 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为0,-3,则下列说法不正确的是 A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时,y 的最大值为-4 D.抛物线与x 轴交点为-1,0,3,03.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度后,所得图象的函数表达式是________. 4.小明从上图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中,观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->,你认为其中正确信息的个数有_______.填序号专题复习二：二次函数表达式的确定图1图2本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1、如图1,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙墙的长度不限的矩形菜园ABCD ,设AB 边长为x 米,则菜园的面积y 单位：米2与x 单位：米的函数关系式为不要求写出自变量x 的取值范围．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标,则可用一般式：y=ax 2+bx+ca ≠0；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大小值及抛物线上另一个点的坐标,则可用顶点式：y=ax-h 2+ka ≠0； 3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点,则可用交点式：y=ax-x 1x-x 2a ≠0. 例2 已知抛物线的图象以A-1,4为顶点,且过点B2,-5,求该抛物线的表达式.例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A-2,0、B1,0,且经过点C2,8.1求该抛物线的解析式； 2求该抛物线的顶点坐标.专项练习21.由于世界金融危机的不断蔓延,世界经济受到严重冲击.为了盘活资金,减少损失,某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x,降价后的价格为y 元,原价为a 元,则y 与x 之间的函数表达式为 =2ax-1 =2a1-x =a1-x 2=a1-x22.如图2,在平而直角坐标系xOy 中,抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点,点A 在x 轴负半轴,点B 在x 轴正半轴,与y 轴交于点C,且tan∠ACO=12,CO=BO,AB=3,则这条抛物线的函数解析式是． 3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点0,-2,且x=1时,y=3；x=-1时y=1, 求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，,(23)B -，,(10)C -，．1求此二次函数的关系式； 2求此二次函数图象的顶点坐标；3填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移个单位,使得该图象的顶点在原点．专题三：二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根,由图象判断一元二次方程根的情况,由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等,题型主要填空题、选择题和解答题. 考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值,确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况.ABC D图1菜园墙图2例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值,判断方程ax 2+bx+c=0a ≠0,a,b,c,为常数的一个解x 的范围是Ａ．6 6.17x << Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值,即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示,则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________. 考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时,则一元二次方程ax 2+bx+c=0的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时,则一元二次方程ax 2相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时,则一元二次方程ax 2实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中,抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是专项练习31.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点,则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示,则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为．3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示,那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示,根据图象解答下列问题：1写出方程20ax bx c ++=的两个根．2写出不等式20ax bx c ++>的解集．3写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．4若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围．图2专题四：利用二次函数解决实际问题本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型,根据二次函数的最值解决实际问题,能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.解决实际问题的基本思路：1理解问题；2分析问题中的变量和常量；3用函数表达式表示出它们之间的关系；4利用二次函数的有关性质进行求解；5检验结果的合理性,对问题加以拓展等.例1某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台．1假设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润是y元,请写出y与x之间的函数表达式；不要求写自变量的取值范围2商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元3每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高最高利润是多少专题训练41.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地,矩形面积S单位：平方米随矩形一边长x单位：米的变化而变化．1求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；2当x是多少时,矩形场地面积S最大最大面积是多少2.某旅行社有客房120间,每间客房的日租金为50元,每天都客满.旅社装修后要提高租金,经市场调查发现,如果每间客房的日租金每增加5元时,则客房每天出租数就会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高3.一座拱桥的轮廓是抛物线型如图1所示,拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m．1将抛物线放在所给的直角坐标系中如图2所示,求抛物线的解析式；2求支柱EF的长度；3拱桥下地平面是双向行车道正中间是一条宽2m的隔离带,其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车汽车间的间隔忽略不计请说明你的理由．x图1。

二次函数图像的性质求解析式知识点+例题+练习 (非常好分类全面)

1.抛物线y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如图，有以下结论：①c>0；②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b2-4ac<0 ⑤abc< 0 ；其中正确的为（）AA．①②B．①④C．①②③D．①③⑤2.当b<0时，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（）B3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么abc，b2－4ac， 2a＋b，a＋b＋c 四个代数式中，值为正数的有( ) B 123A.4个B.3个C.2个D.1个4.在同一坐标系中，函数y= ax2+c与y= cx(a<c)图象可能是图所示的( )AA B C D5.函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确结论的个数为（） C 134A．1B．2C．3D．46．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）DA．①②B．②③C．②③④D．①②④7.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论： ①a ，b 同号； ②当x ＝1和x ＝3时，函数值相同； ③4a ＋b ＝0; ④当y ＝－2时，x的值只能取0；其中正确的个数是（）23 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4题型八、函数解析式的求法用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax 2+bx+c ，然后解三元方程组求解； 1．已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式。

二次函数的图像与性质解答题(基础+重点,三大模块)(原卷版)—24-25学年九年级数学上学期期中

二次函数的图像与性质解答题（基础+重点，三大模块）目录：模块一、二次函数y=ax 2、y=ax 2+k 图像与性质模块二、二次函数y=a （x-h ）2、y=a （x-h ）2+k 图像与性质模块三、二次函数y=ax 2+bx+c 图像与性质模块一、二次函数y=ax 2、y=ax 2+k 图像与性质1．在如图所示的同一直角坐标系中，画出函数24y x =，214y x =，24y x =-与214y x =-的图象并回答下列问题：x…1-01…24y x =……214y x =……24y x =-……214y x =-……（1）抛物线24y x =的开口方向_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____．抛物线24y x =-的开口方向______，对称轴是______，顶点坐标是______；（2）抛物线24y x =与抛物线24y x =-的图象关于______轴对称；（3）抛物线214y x =，当x ______0时，抛物线上的点都在x 轴上方；当x ______0时，抛物线从左向右逐渐上升；它的顶点是最_______点．抛物线214y x =-，当x _______0时，抛物线从左向右逐渐下降，它的顶点是最_______点．2．已知抛物线2y ax =经过点()2,8A --．(1)说出这个二次函数图象的开口方向和图象的位置；(2)判断点()1,4B --是否在此抛物线上．3．根据下列条件求a 的取值范围：（1）函数y ＝(a -2)x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；（2）函数y ＝(3a -2)x 2有最大值；（3）抛物线y ＝(a +2)x 2与抛物线212y x =-的形状相同；（4）函数2a a y ax +=的图象是开口向上的抛物线．4．如图，已知一次函数y kx b =+的图象与二次函数2y ax =的图象交于点()1,A m 和()2,4B -．(1)求两个函数的解析式；(2)求AOB V 的面积．5．已知二次函数y ＝ax 2与y ＝﹣2x 2+c ．（1）随着系数a 和c 的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；（2）若这两个函数图象的形状相同，则a ＝；若抛物线y ＝ax 2沿y 轴向下平移2个单位就能与y ＝﹣2x 2+c的图象完全重合，则c ＝；（3）二次函数y ＝﹣2x 2+c 中x 、y 的几组对应值如表：x﹣215y m n p表中m 、n 、p 的大小关系为（用“＜”连接）．6．如图，直线12y x b =-+与抛物线2y ax =交于A ，B 两点，与y 轴于点C ，其中点A 的坐标为()4,8-．(1)求a ，b 的值；(2)若CD AB ^于点C ，CD CA =．试说明点D 在抛物线上．模块二、二次函数y=a （x-h ）2、y=a （x-h ）2+k 图像与性质7．指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=―4(x+3)2+5()2=+-y x312y=(x―5)2―7y=―2(x―2)2+68．已知抛物线()2=-++．y x2211(1)确定抛物线开口方向及对称轴；(2)当x为何值时，二次函数取得最大值或最小值，并求出这个最大值或最小值？9．在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性．x…4-3-2-1-01234…2=-……y x2=-+……y x(2)2=--……(1)y x(1)2=-；y x(2)2=-+；y x(2)(3)2=--．(1)y x10．已知抛物线y=a（x-h）2+k的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出抛物线的解析式；（2）写出y随x的增大而增大的自变量x的取值范围；（3）当自变量x取何值时，函数y有最大值？最大值为多少？11．如图，已知经过原点的抛物线y=2x2+mx与x轴交于另一点A(2，0)．（1）求m的值和抛物线顶点M的坐标；（2）求直线AM的解析式．12．二次函数y＝x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移4个单位．（1）请直接写出经过两次平移后的函数解析式；（2）请求出经过两次平移后的图象与x 轴的交点坐标，并指出当x 满足什么条件时，函数值小于0？（3）若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是经过两次平移后所得的函数图象上的两点，且x 1＜x 2＜0，请比较y 1、y 2的大小关系．（直接写结果）13．在平面直角坐标系中，设二次函数()21212y x m m =--+-（m 是实数）．(1)当2m =时，若点()6,A n 在该函数图象上，求n 的值．(2)若二次函数图象的顶点在某条______（A ．直线 B ．抛物线）上，且表达式为______；(3)已知点()1,P a c +，()47,Q m a c -+都在该二次函数图象上，求证：78c £-．模块三、二次函数y=ax 2+bx+c 图像与性质14．求出下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．（1）2245y x x =-+（2）223y x x =-+-（3）232y x x=+（4）22y x x=--（5）2288y x x =-+-15．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数225y x mx m =-+的图象经过点()1,2-．（1）求二次函数的表达式；（2）求二次函数图象的对称轴．16．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经A ，B ，C 三点．(1)观察图象，写出A，B，C三点的坐标，并求出此二次函数的解析式；(2)求出此抛物线的顶点坐标和对称轴；(3)x为何值时，y随x的增大而增大？x为何值时，y随x的增大而减小？17．二次函数2=++x与变量y的部分对应值如下表：y ax bx cx…3-2-1-015…y…705-8-9-7…(1)求此二次函数的解析式；(2)写出抛物线顶点坐标和对称轴．18．已知抛物线C：243y x x=-+．(1)直接写出该抛物线关于x轴对称的抛物线C1的解析式．(2)将抛物线C 平移至2C ，使其经过点()25，，且顶点在y 轴上，求2C 的解析式．19．已知抛物线22231y x mx m m =-+-++（m 为常数）．(1)当抛物线的顶点在第二象限时，求m 的取值范围．(2)当21x -££时，y 先随x 的增大而增大，后随x 的增大而减小，且当1x =时y 有最小值，求整数m 的值．20．已知二次函数2y x bx c =-++的图象过点()3,0A ，()1,0C -．(1)求此二次函数的解析式；(2)如图，二次函数的图象与y 轴交于点B ，二次函数图象的对称轴与直线AB 交于点P ，求P 点的坐标．21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于A ，B 两点，B 点的坐标为()3,0，与y 轴交于点C (0,―3)，点D 为抛物线的顶点(1)求这个二次函数的解析式；(2)求ABD △的面积22．如图，在平面直角坐标系中，直线13y kx =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点．抛物线221342y x x =-+经过点A 且交线段AB 于点C ．(1)求k 的值．(2)求点C 的坐标．(3)直接写出当x 在何范围时，12y y >．23．在平面直角坐标系xOy 中，直线128y x =+与抛物线22y x =的相交于点A 和点B （点A 的横坐标小于点B 的横坐标）(1)求交点A 和点B 的坐标；(2)求当13x -££时，2y 的最大值；(3)直接写出228x x +>的解集．24．已知抛物线21y ax bx =+-（a ，b 为常数，0a ¹）经过()2,3，()1,0两个点．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为______；(3)将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线______．25．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()2,0A -和()4,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 为抛物线上一动点，直线AD 交y 轴于点E ，直线BD 交y 轴于点F ，求CE CF 的值．26．如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线2112y x bx =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且线段OA OB =．（注：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2b x a =-）(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点M ，使AM CM -的值最大，求点M 的坐标．27．已知y 关于x 的函数关系式中，自变量x 的取值范围为2a x a -££．(1)当函数为9y x =--时，y 的最大值为5，则a 的值为______，y 的最小值为______；(2)当函数为243y x x =-+时．①若y 的最大值为15，则a 的值为______；②若y 的最小值为15，则a 的值为；③若y 的最小值为1-，则a 的取值范围为______．28．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -和点()3,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC 交抛物线的对称轴于点E ，D 是抛物线的顶点．(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出点C 和点D 的坐标；(3)若点P 在第一象限内的抛物线上，且4ABP COE S S =△△，求P 点坐标．。

专题1 与二次函数有关的图象信息题(解析版)

专题1 与二次函数有关的图象信息题（解析版）类型一二次函数图象与其他函数图象共存1．（2022秋•仪陇县校级月考）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（）A．B．C．D．【思路引领】根据二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象，即可得出a＜0，b＞0，c＞0，由此即可得出：二次函数y＝a2x+bx+c的图象开口向下，对称轴x=−b2a＞0，与y轴的交点在y轴正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．解：观察函数图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x=−b2a＞0，与y轴的交点在y轴正半轴．故选：D．【总结提升】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a＜0、b＞0、c＞0是解题的关键．2．（2023•青岛二模）二次函数y＝4ax2+4bx+1与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【思路引领】求得抛物线的对称轴和直线与x轴的交点即可判断A、B、C不合题意，然后根据D中二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a＞0，b＜0，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．解：∵二次函数y＝4ax2+4bx+1，∴对称轴为直线x=−4b2×4a=−b2a，∵一次函数y＝2ax+b，∴当y＝0，则x=−b2a，∴直线y＝2ax+b与二次函数y＝4ax2+4bx+1的对称轴交于x轴上同一点，故A、B、C不合题意，D、由抛物线可知，a＞0，x=−b2a＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项正确；故选：D．【总结提升】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据抛物线的对称轴、直线与x轴的交点以及函数图象经过的象限判断是解题的关键．类型二二次函数图象与字母系数之间的关系3．（2023•滕州市校级模拟）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路引领】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断．解：∵图象开口向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线x =−b 2a=1，∴b ＝﹣2a ＞0，∵图象与y 轴的交点在x 轴的上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，∴①说法错误，∵−b 2a =1，∴2a ＝﹣b ，∴a ﹣b ＝3a ＜0，∴②说法错误，由图象可知点（﹣1，0）的对称点为（3，0），∵当x ＝﹣1时，y ＜0，∴当x ＝3时，y ＜0，∴9a +3b +c ＜0，∴③说法错误，∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，∴b 2＞4ac ，∴④说法正确；当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，∴⑤说法正确，∴正确的为④⑤，故选：B．【总结提升】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．4．（2023•未央区校级三模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，与y轴交于（0，﹣1），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②a＞13；③对于任意实数m，都有m（am+b）＞a+b成立；④若（﹣2，y1），（12，y2），（2，y3），在该函数图象上，则y3＜y2＜y1；⑤方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论是　①②　．【思路引领】①正确，判断出a，b，c的正负，可得结论；②正确．利用对称轴公式可得，b＝﹣2a，当x＝﹣1时，y＞0，解不等式可得结论；③错误．当m＝1时，m（am+b）＝a+b；④错误．应该是y2＜y3＜y1；⑤错误．当有四个交点时，方程|ax2+bx+c|＝k的所有根的和为4．当有3个交点时，方程|ax2+bx+c|＝k 的所有根的和为4，当有2个交点时，方程|ax2+bx+c|＝k的所有根的和为2即可．解：观察图象得：抛物线开口向上，∴a＞0，∵与y轴交于（0，﹣1），对称轴为直线x＝1．∴c＝﹣1，−b2a=1，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，故①正确；∵y＝ax2+bx+c，与y轴交于（0，﹣1），b＝﹣2a，∴c＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝ax2﹣2ax﹣1，当x＝﹣1时，y＞0，即a+2a﹣1＞0，∴a＞13，故②正确；当m＝1时，m（am+b）＝a+b，故③错误；∵点（﹣2，y1）到对称轴的距离大于点（2，y3）到对称轴的距离，∴y1＞y3，∵点(12，y2)到对称轴的距离小于点（2，y3）到对称轴的距离，∴y3＞y2，∴y2＜y3＜y1，故④错误；∵方程|ax2+bx+c|＝k的解是函数y＝|ax2+bx+c|与直线y＝k的交点的横坐标，∵b＝﹣2a，c＝﹣1，∴ax2﹣2ax﹣1﹣k＝0或ax2﹣2ax﹣1+k＝0，当有4个交点时，设函数y＝|ax2+bx+c|与直线y＝k的交点的横坐标为x1，x2，x3，x4，∴x1+x2=−−2aa=2，x3+x4=−−2aa=2，∴x1+x2+x3+x4＝4，即此时方程|ax2+bx+c|＝k的所有根的和为4．当有3个交点时，设函数y＝|ax2+bx+c|与直线y＝k的交点的横坐标为x1，x2，x3，x4，∴x1+x2=−−2aa=2，x3＝x4＝1，此时方程|ax2+bx+c|＝k的所有根的和为3．当有2个交点时，设函数y＝|ax2+bx+c|与直线y＝k的交点的横坐标为x1，x2，∴x1+x2=−−2aa=2，此时方程|ax2+bx+c|＝k的所有根的和为2．故⑤错误；故答案为：①②．【总结提升】本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．（2023•秦皇岛一模）如图所示，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，则下列结论：①2a +b ＝0；②2c ＜3b ；③当△ABC 是等腰三角形时，a 的值有2个；④当△BCD 是直角三角形时，a 的值有4个；其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路引领】由图象可得对称轴为直线x =−b 2a=1，可得b ＝﹣2a ，可判断①；将点A 坐标代入解析式可得c ＝﹣3a ，可判断②；由等腰三角形的性质和两点距离公式，可求a 的值，可判断③；由直角三角形的性质和两点距离可求a ＝﹣1或④，即可求解．解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，∴对称轴为直线x =−b 2a=1，∴b ＝﹣2a ，∴2a +b ＝0，故①正确，当x ＝﹣1时，0＝a ﹣b +c ，∴a +2a +c ＝0，∴c ＝﹣3a ，∴2c ＝3b ，故②错误；∵二次函数y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ＜0），∴点C （0，﹣3a ），当BC ＝AB 时，4=∴a=当AC＝BA时，4=∴a=∴当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个，故③正确；∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点D（1，﹣4a），∴BD2＝4+16a2，BC2＝9+9a2，CD2＝a2+1，若∠BDC＝90°，可得BC2＝BD2+CD2，∴9+9a2＝4+16a2+a2+1，∴a=若∠DCB＝90°，可得BD2＝CD2+BC2，∴4+16a2＝9+9a2+a2+1，∴a＝﹣1，∴当△BCD是直角三角形时，a＝﹣1或∴a的值有2个，故④错误，故选：B．【总结提升】本题考查了二次函数图象与系数关系，掌握抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数关系，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．类型三根据情境判断二次函数图象6．（2022•南通）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，BC＝4，∠ABC＝60°．若EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F，设BE＝x，OE2＝y，则y关于x的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【思路引领】过O 点作OM ⊥AB 于M ，由含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可求解AB ，AC 的长，结合平行四边形的性质可得AO 的长，进而求得OM ，AM 的长，设BE ＝x ，则EM ＝5﹣x ，利用勾股定理可求得y 与x 的关系式，根据自变量的取值范围可求得函数值的取值，即可判断函数的图象求解．解：过O 点作OM ⊥AB 于M ，∵AC ⊥BC ，∠ABC ＝60°，∴∠BAC ＝30°，∵BC ＝4，∴AB ＝8，AC =∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AO =12AC =∴OM =12AO =∴AM =3，设BE＝x，OE2＝y，则EM＝AB﹣AM﹣BE＝8﹣3﹣x＝5﹣x，∵OE2＝OM2+EM2，∴y＝（x﹣5）2+3，∴抛物线开口方向向上，顶点坐标为（5，3），与y轴的交点为（0，28），∵0≤x≤8，∴当x＝8时y＝12，故符合解析式的图象为：故选：C．【总结提升】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，二次函数的图象，求解函数解析式及函数值的范围是解题的关键．7．（2023•菏泽二模）如图，△ABC为等边三角形，边长为8cm，矩形DEFG的长和宽分别为8cm和cm，点C和点E重合，点B，C（E），F在同一条直线上，令矩形DEFG不动，△ABC以每秒1cm的速度向右移动，当点C与点F重合时停止移动，设移动x秒后，△ABC与矩形DEFG重叠部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B ．C ．D ．【思路引领】先根据AC 经过点D 和AB 经过点D 时计算出x ＝1和x ＝3，再分0≤x ≤1，1＜x ≤3和3＜x ≤4三种情况讨论，画出图形，利用面积公式解答即可．解：当AC 经过点D 时，如图所示：∵△ABC 为等边三角形，∴∠DCE ＝60°，∵DE ＝DEC ＝90°，∴EC =DE tan60°=2；∵∠B ＝60°，DE ＝∴BE ＝2，∴EC ＝BC ﹣BE ＝8﹣2＝6；①当0≤x ≤2时，如图所示：此时EC ＝x ，∠HCE ＝60°，∴HE ＝tan60°•EC =，∴y =12EC •HE =12x =2；②当2＜x ≤6时，如图所示：过M 作MN ⊥BC 于N ，此时，MN ＝MCN ＝60°，∴CN ＝2，∵EC ＝x ，∴EN ＝EC ﹣NC ＝x ﹣2，∵四边形DENM 是矩形，∴DM ＝EN ＝x ﹣2，∴y =12（DM +EC ）•DE =12（x ﹣2+x ）×﹣此时IR ＝ICR ＝60°，∴CR ＝2，∵EC ＝x ，∴ER ＝DI ＝x ﹣2，BE ＝BC ﹣EC ＝8﹣x ，∵∠B ＝60°，∴TE ＝BE •tan60°=8﹣x ），∵DE ＝∴DT ＝DE ﹣TE ＝8﹣x ）=x ﹣6），∵DG ∥BC ，∴∠DKT ＝60°，∴DK =DT tan60°==x ﹣6，∴y ＝S 四边形DERI +S △IRC ﹣S △DTK＝x ﹣2）+12×2×−12×x ﹣6）2=2﹣=x ﹣8）2故选：A ．【总结提升】本题考查了动点问题的函数图象，等边三角形的性质，矩形的性质等知识，关键是画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行运算．类型四根据函数图象获取信息8．（2023•莱山区一模）如图1，在菱形ABCD 中，∠C ＝120°，M 是AB 的中点，N 是对角线BD 上一动点，设DN 长为x ，线段MN 与AN 长度的和为y ，图2是y 关于x 的函数图象，图象右端点F 的坐标为（9），则图象最低点E 的坐标为（）A．（3）B．C．D．3)【思路引领】根据点F的坐标可得BD=BM＝3，AB＝6，连接AC，连接CM交BD于点N′，连接AN′，由两点之间线段最短可知，当点N在点N′时，MN+AN取得最小值为CM，根据菱形的性质易得三角形ABC为等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求出CM，由平行线和菱形的性质易得∠DCM＝∠AMC＝90°，∠BDC＝30°，进而求出DN′，以此即可求解．解：∵图象右端点F的坐标为（9），M是AB的中点，∴BD=MN+AN＝3BM＝9，∴BM＝3，AB＝6，如图，连接AC，连接CM交BD于点N′，连接AN′，∴当点N在点N′时，MN+AN取得最小值，最小值为MN′+CN′＝CM，∵四边形ABCD为菱形，∠BCD＝120°，∴三角形ABC为等边三角形，AC＝AB＝6，∴CM⊥AB，∠ACM＝30°，在Rt△ACM中，CM＝AC•cos∠ACM＝6=∵AB∥CD，∴∠DCM＝∠AMC＝90°，∵∠ABC＝∠ADC＝60°，∴∠BDC＝30°，在Rt △CDN ′中，DN ′=CDcos∠CDN′=∴点E 的坐标为．故选：C ．【总结提升】本题主要考查动点问题的函数图象、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，解题关键是理解函数图象中最低点坐标所表示的实际意义，并利用数形结合思想解决问题．9．如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上的一点，点P 从点B 沿折线BE ﹣ED ﹣DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是2cm /s ．若P ，Q 同时开始运动，设运动时间为t（s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），已知y 与t 的函数关系图象如图2，则CD BE 的值为（）A B C D 【思路引领】从图2可以看出，0≤t ≤8时，△BPQ 的面积的表达式为二次函数，8＜t ＜10时，函数值不变，故BC ＝BE ，即可求解．解：从图2可以看出，0≤t ≤8时，△BPQ 的面积的表达式为二次函数，8＜t ＜10时，函数值不变，故BC ＝BE ，当10≤t 后函数表达式为直线表达式；①0≤t ≤8时，BC ＝BE ＝2t ＝2×8＝16；②当10≤t 时，y =12×BC ×CD =12×16×CD ＝即CD ＝故CD BE =故选：D ．【总结提升】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数等知识，此类问题关键是，要弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．10．（2021秋•文峰区期中）如图1，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，P 、Q 两点同时从O 点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P 的运动路线为O ﹣A ﹣D ﹣O ，点Q 的运动路线为O ﹣C ﹣B ﹣O ．设运动的时间为x 秒，P 、Q 间的距离为y 厘米，y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，当点P 在A ﹣D 段上运动且P 、Q 两点间的距离最短时，P 、Q 两点的运动路程之和为（）厘米．A ．B ．C ．+3D ．4【思路引领】当点P 运动到D 点，Q 运动到B 点，结合图象，易知此时，y ＝BD ＝2cm ，当P 在AD 上时，Q 在BC 上，PQ 距离最短时，PQ 连线过O 点且垂直于BC ，进而求解．解：由图分析易知：当点P 从O →A 运动时，点Q 从O →C 运动时，y 不断增大，当点P 运动到A 点，点Q 运动到C 点时，由图象知此时y ＝PQ ＝，∴AC ＝，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC =12=，当点P 运动到D 点，Q 运动到B 点，结合图象，易知此时，y ＝BD ＝2cm ，∴OD ＝OB =12BD ＝1cm ，在Rt △ADO 中，AD =2（cm ），∴AD ＝AB ＝BC ＝DC ＝2cm ，P 在AD 上时，Q 在BC 上，PQ 距离最短时，PQ 连线过O 点且垂直于BC ．此时，P 、Q 两点运动路程之和S ＝2（OC +CQ ），∵CQ =OC ⋅cos∠ACB =32（厘米），∴S =32)=（厘米），故选：C ．【总结提升】本题考查动点问题的函数图象以及菱形的基本性质和特征，能结合动点的函数图象分析出菱形的两条对角线长，结合图象找到当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q的位置关系是解题的关键．。

专题05 二次函数的图象和性质(解析版)

专题五二次函数的图象和性质【专题导航】目录【考点一二次函数定义】【考点二二次函数y=ax2的图像性质】【考点三二次函数y=ax2+k的图像性质】【考点四二次函数y=a（x-p）2的图像性质】【考点五二次函数y=a（x-p）2+k的图像性质】【聚焦考点1】二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数且a≠0）的函数，叫做二次函数。

其中x是自变量，a、b、c分别是二次函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项（区别于二次项，一次项）注意点：A.强调未知数最高次幂为2；B.二次项系数不等于零； C.先化简，再判断是否为二次函数。

【典例剖析1】【典例1-1】已知函数y＝（m2﹣m）x2+mx+（m+1），m是常数．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，求m的值．【分析】（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案；（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：依题意得∴∴m＝1（2）依题意得m2﹣m≠0∴m≠0且m≠1．【点评】本题考查了二次函数的定义，二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键．【典例1-2】函数y＝（kx﹣1）（x﹣3），当k为何值时，y是x的一次函数？当k为何值时，y是x的二次函数？【分析】利用一次函数与二次函数的定义分别分析得出即可．【解答】解：∵y＝（kx﹣1）（x﹣3）＝kx2﹣3kx﹣x+3＝kx2﹣（3k+1）x+3，∴k＝0时，y是x的一次函数，k≠0时，y是x的二次函数．【点评】此题主要考查了二次函数与一次函数的定义，正确把握有关定义是解题关键．针对训练1【变式1-1】已知函数y＝（m﹣1）+2x﹣m是二次函数，求m的值，并指出二次项系数，一次项系数及常数项．【分析】根据二次函数的定义列出方程组求解即可．【解答】解：由题意得∴∴m＝﹣2二次项系数为﹣3，一次项系数为2，常数项为2【点评】本题考查二次函数的定义，利用了二次函数的二次项的系数不等于零，次数是2得出方程组是解题关键．【变式1-2】已知是x的二次函数，求出它的解析式．【分析】根据二次函数的定义得出有关m的方程与不等式解答即可．【解答】解：由二次函数的定义，可知m2+m≠0，即m≠0，m≠﹣1又因为m2﹣2m﹣1＝2，m2﹣2m﹣3＝0解得m＝3或m＝﹣1（不合题意，舍去）所以m＝3故y＝12x2+9．【点评】主要考查了二次函数的定义．【能力提升1】二次函数定义【提升1-1】已知函数y＝（m2+m）x．（1）当函数是二次函数时，求m的值；（2）当函数是一次函数时，求m的值．【分析】（1）这个式子是二次函数的条件是：m2﹣2m+2＝2并且m2+m≠0；（2）这个式子是一次函数的条件是：m2﹣2m+2＝1并且m2+m≠0．【解答】解：（1）依题意，得m2﹣2m+2＝2，解得m＝2或m＝0；又因m2+m≠0，解得m≠0且m≠﹣1；因此m＝2．（2）依题意，得m2﹣2m+2＝1，解得m＝1；又因m2+m≠0，解得m≠0且m≠﹣1；因此m＝1．【点评】本题主要考查一次函数与二次函数的定义与一般形式．【提升1-2】一个二次函数y＝（k﹣1）+2x﹣1．（1）求k值．（2）求当x＝0.5时y的值？【分析】（1）根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得k2﹣3k+4＝2，且k﹣1≠0，再解即可；（2）根据（1）中k的值，可得函数解析式，再利用代入法把x＝0.5代入可得y的值．【解答】解：（1）由题意得：k2﹣3k+4＝2，则k2﹣3k+2＝0，（k﹣1）（k﹣2）＝0，解得：k1＝1，k2＝2，∵k﹣1≠0，∴k＝2；（2）把k＝2代入y＝（k﹣1）+2x﹣1得：y＝x2+2x﹣1，当x＝0.5时，y＝（）2+2×﹣1＝．【点评】此题主要考查了二次函数以及求函数值，关键是掌握判断函数是否是二次函数，要抓住二次项系数不为0和自变量指数为2这个关键条件【聚焦考点2】y=ax²的图像的性质小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线y=ax²来说，a越大，抛物线的开口越小【典例剖析2】二次函数y=ax2的图像性质【典例2-1】）抛物线y＝2x2与y＝－2x2相同的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．有最低点D．对称轴是x轴【答案】B【解析】解：抛物线=22的开口向上，对称轴为轴，有最低点；抛物线=−22开口向下，对称轴为轴，有最高点；故抛物线=22与=−22相同的性质是对称轴都是轴.故答案为：B.【点评】本题考查了二次函数的基本性质，利用二次函数的性质解决问题是关键。

第1讲二次函数的图象和性质复习课件(共39张PPT)

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第二种是在瑞典本国流行的说法．在诺贝尔立遗嘱期间，瑞典最有名望的数学家就是米塔格·勒弗列尔，诺贝尔很明白，如果设立数学奖，这项奖金在当时必然会授予这位数学家，而诺贝尔很不喜欢他．所以诺贝尔不设立数学奖．
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从函数图象中获取信息 a的作用：决定开口的方向和大小． (1)a＞0开口向上，a＜0开口向下； (2)a越大，抛物线的开口越小． b的作用：决定顶点的位置．左(对称轴在y轴左边) 同(a，b同号) 右(对称轴在y轴右边) 异(a，b异号) c的作用：决定抛物线与y轴交点的位置．上(抛物线与y轴的交点在y轴正半轴)
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【解析】 ①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3， ∴AB＝4， ∴对称轴 x＝－2ba＝1，即2a＋b＝0，故①错误； ②根据图示可知，当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0，故②错误； ③∵点A的坐标为(－1，0)， ∴a－b＋c＝0，且b＝－2a， ∴a＋2a＋c＝0，即c＝－3a，故③正确；
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第一章二次函数
第1讲二次函数的图象和性质
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诺贝尔为什么没有设数学奖诺贝尔奖在全世界有很高的地位，许多科学家梦想着能获得诺贝尔奖．数学被誉为“科学女皇的骑士”却得不到每年由瑞典科学院颁发的诺贝尔奖，过去没有，将来也不会有．因为瑞典著名化学家诺贝尔留下的遗嘱中没有提出设立数学奖．对此，外界流传着两种说法．第一种是在法国和美国流行的说法．与诺贝尔同时期的瑞典著名数学家米塔格·勒弗列尔曾是俄国彼得堡科学院的外籍院士，后来又是前苏联科学院的外籍院士．米塔格·勒弗列尔曾侵犯过诺贝尔的夫人，诺贝尔对他非常厌恶．为了对他所从事的数学研究进行报复，所以诺贝尔不设立数学奖．

二次函数图像与性质-重难点讲解

二次函数图像与性质-重难点讲解1．二次函数的定义（1）一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做__________．其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数．（2）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）称为二次函数的一般式．（3）二次函数的判断方法：①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0．2．二次函数y=ax2的图象和性质函数y=ax2（a>0）y=ax2（a<0）图象开口方向__________向下顶点坐标（0，0）__________对称轴__________y轴增减性x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大最大（小）值当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0对于抛物线y=ax2，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．3．二次函数y=ax2+k的图象和性质函数y=ax2+k（a>0）y=ax2+k（a<0）开口方向向上__________顶点坐标__________（0，k）对称轴y轴__________增减性x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而_________x>0时，y随x的增大而________；x<0时，y随x的增大而增大最大（小）值当x=0时，y最小值= k当x=0时，y最大值= k 4．二次函数y=a（x-h）2的图象和性质函数y=a（x-h）2（a>0）y=a（x-h）2（a<0）5．二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质6．二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质7．二次函数的平移问题题型一、二次函数概念1．下列函数中，是二次函数的是（） A ．y ＝21x ＋x ＋1 B ．y ＝x 2－(x ＋1)2 C ．y ＝－12x 2＋3x ＋1 D ．y ＝3x ＋12．若||1(3)3a y a x x -=++是关于x 的二次函数，则a =______________． 3．如果函数()21125m y m x x +=--+是二次函数，则m 的值是（）A ．±1B ．-1C ．2D ．14．若函数y ＝（a ＋1）x |a |＋1是二次函数，则a 的值是 ______ ． 5．若函数()1334m y m x x -=++-是二次函数，则m 的值为（）A ．－3B ．3或－3C ．3D ．2或－26．若2(1)m m y m x -=+是关于x 的二次函数，则m =_____题型二、y=ax 2与y=ax 2+k 的图像与性质7．抛物线y ＝2x 2，y ＝﹣2x 2，y ＝0.5x 2共有的性质是( ) A ．开口向下B ．对称轴是y 轴C ．都有最低点D ．y 的值随x 的值增大而减小8．已知点()11,A y 点()22,B y 在二次函数()220y ax a =-≠的图象上，且12y y <，那么a 的取值范围是__________．9．已知点A （﹣1，y 1），点B （2，y 2）在抛物线y =2x 2-3上，则y 1___y 2（填“＞”或“＜”）． 10．已知点1(1,)y ，2(2,)y -，3(3,)y 都在函数22y x =-的图象上，则（） A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．321y y y <<D ．213y y y <<11．已知点（1，y 1），（2，y 2）都在函数y ＝﹣x 2的图象上，则（） A ．y 1＜y 2 B ．y 1＞y 2C ．y 1＝y 2D ．y 1，y 2大小不确定12．抛物线24y x =-的顶点坐标为（） A ．（2，0）B ．（－2，0）C ．（0，－4）D ．（1，－3）13．已知二次函数21y x =-，当12x ≤≤时，函数值y 的取值范围是（） A ．13y -≤≤ B ．10y -≤≤ C ．01y ≤≤D ．03≤≤y14．二次函数24y x =+的图象不经过的象限为（） A ．第一象限、第四象限 B ．第二象限、第四象限C ．第三象限、第四象限D ．第一象限、第三象限、第四象限15．已知a ≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象有可能是（）A ．B ．C ．D ．16．抛物线212y x =，23y x =-，2y x 的图象开口最大的是（）A ．212y x =B ．23y x =-C ．2y xD ．无法确定题型三：y=a （x -h ）2和y=a （x -h ）2+k 的图像与性质17．已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在二次函数y ＝（x ﹣1）2的图象上，若x 1＜x 2＜1，则y 1___y 2． 18．二次函数22(3)1y x =-+的开口方向，对称轴，顶点坐标分别是（） A ．向下，直线x =－3，(－3，1) B ．向上，直线x =3，(3， 1) C ．向下，直线x =－3，(－3，－1) D ．向上，直线x =3，(－3，1)19．抛物线22(1)y x =-的对称轴是（） A ．x =1B ．x =2C ．x =－1D ．x =－220．已知11,2A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()21,B y ，()34,C y 三点都在二次函数()22y x =--的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．312y y y <<D ．321y y y <<21．已知抛物线y ＝（x ﹣1）2有点A （0，y 1）和B （3，y 2），则y 1___y 2．（用“＞”，“＜”，“＝”填写） 22．二次函数()213y x =-+-的顶点坐标是_____．23．已知点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在二次函数y ＝15（x ﹣3）2﹣2的图象上，若x 1＜x 2＜3，则y 1_____y 2（填“＞”、“＜”或“＝”）． 24．抛物线()21242y x =++的顶点坐标是（） A ．()2,4-B ．()2,4C ．()2,4--D ．()2,4-25．关于二次函数22(3)y x =-+，下列说法正确的是（） A ．其图象的开口向上 B ．其图象的对称轴是直线3x = C ．其图象的顶点坐标是()0,3D ．当3x >-时，y 随x 的增大而减小26．已知二次函数2318y x =+-（）的图像上有三点A （1，1y ），B （2，2y ），C （-2，3y ），则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）题型四：y =ax 2+bx+c 的图象和性质27．二次函数223y x x =++ 的图象的顶点坐标是（） A ．（1，8）B ．（-1，8）C ．（-1，2）D ．（ 1，－4）28．抛物线246y x x =++的对称轴为（） A ．直线2x =B ．直线2x =-C ．直线4x =D ．直线4x =-29．把抛物线2241y x x =-++的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线是（） A ．22(1)6y x =--+ B ．22(1)6y x =--- C ．22(1)6y x =-++ D ．22(1)6y x =-+-30．抛物线248y x x =-+向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线顶点坐标是__________． 31．一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别为3-和1-，则二次函数2y ax bx c =++ 的对称轴是（） A ．2x =-B ．2x =C ．3x =-D ．1x =-32．将二次函数2y x bx c =++的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为223y x x =--，则b 、c 的值为（）A ．2b =，6c =-B ．6b =-，8c =C ．6b =-，2c =D ．2b =，0c33．已知抛物线23y ax bx =-+过点()21-，，则2a b -的值是________．题型五、待定系数法求解析式34．已知抛物线经过点(0，-2)，(3，0)，(-1，0)，求抛物线的解析式．35．已知抛物线2y ax bx c =++的顶点()20A ，，与y 轴的交点为()01B -，，求抛物线的表达式．36．已知抛物线的顶点坐标是（－2，1），且经过点（1，－8），求这个抛物线的表达式．37．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）图象经过点A （﹣3，0）、点B （0，﹣3）和点C （2，5），求该二次函数的解析式，并指出图象的对称轴和顶点坐标．38．一个二次函数的图象经过点1,0A ，()2,0B 和()3,4C ，求这个二次函数的表达式.39．已知一个二次函数的图象经过点()1,1-，()0,1，()1,13-，求这个二次函数的解析式．40．已知二次函数的图象的顶点为A(2，－2)，并且经过B(1，0)，C(3，0)，求这条抛物线的函数表达式．参考答案：1．C【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c 、、是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数．【详解】A. y ＝21x ＋x ＋1，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意； B. y ＝x 2－(x ＋1)221x ，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；C. y ＝－12x 2＋3x ＋1，是二次函数，故该选项正确，符合题意； D. y ＝3x ＋1，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；故选C【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 2．3【分析】根据二次函数的定义，令|a |-1=2且a +3≠0即可解答．【详解】解：当|a |-1=2且a +3≠0时，||1(3)3a y a x x -=++是二次函数， ∴a =-3（舍去），a =3．故答案为：3．【点睛】本题考查了二次函数的定义，令最高次项为2，最高次项系数不为0即可． 3．B【分析】根据题意可知，函数中含x 的项的最高次为2次，且其项系数不为零，据此即可作答．【详解】根据题意有：21210m m ⎧+=⎨-≠⎩，解得m =-1，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的定义：一般地，形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 4．１【分析】根据二次函数的定义，列出关于a 的方程和不等式，即可求解．【详解】根据二次函数的定义可得：1210a a ⎧+=⎨+≠⎩，解得：a =1．故答案为：1．【点睛】本题主要考查二次函数的定义，掌握二次函数的最高次项的次数为2，二次项系数不等于零，是解题的关5．C【分析】根据二次函数的定义和已知条件得出12m -=且m ＋3≠0，再求出答案即可．【详解】解：∴函数()1334m y m x x -=++-是二次函数，∴12m -=且m ＋3≠0，解得：m =3，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的定义，注意：形如2y ax bx c ＝＋＋（a 、b 、c 为常数，a ≠0）的函数，叫二次函数． 6．2【分析】利用二次函数定义可得22m m -=，且10m +≠，再解即可．【详解】解：由题意得：得22m m -=，且10m +≠，解得：2m =，故答案为：2．【点睛】本题考查了二次函数的定义．解题的关键是掌握二次函数的定义：形如2(0y ax bx c a =++≠，a 、b 、c 为常数）的函数叫做二次函数． 7．B【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以解答本题．【详解】解：抛物线y ＝2x 2，y ＝﹣2x 2，y ＝0.5x 2共有的性质是顶点坐标都是（0，0），对称轴都是y 轴，故选项B 符合题意，选项A 、C 、D 不符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 8．0a >【分析】把点()11,A y 点()22,B y 分别代入函数解析式，列出不等式求解即可．【详解】解：把点()11,A y 点()22,B y 分别代入22y ax =-得，12y a =-，242y a =-； ∴12y y <， ∴242a a -<-，解得，0a >；故答案为：0a >．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是代入点的坐标，熟练解不等式．【分析】将点A （-1，y 1），点B （2，y 2）分别代入y =2x 2-3，求出相应的y 1、y 2，即可比较大小．【详解】解：∴点A （-1，y 1），点B （2，y 2）在抛物线y =2x 2-3上， ∴y 1=2×1-3=-1， y 2=2×4-3=5， ∴y 1＜y 2，故答案为：＜．【点睛】本题考查二次函数的图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 10．C【分析】把点的坐标分别代入函数解析式可分别求得1y 、2y 、3y ，再比较其大小即可．【详解】解：点1(1,)y ，2(2,)y -，3(3,)y 都在函数22y x =-的图象上， 21212y ∴=-⨯=-，222(2)8y =-⨯-=-，232318y =-⨯=-，321y y y ∴<<，故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 11．B【分析】分别求出1y 和2y 的值即可得到答案．【详解】解：∴点（1，y 1），（2，y 2）都在函数y ＝﹣x 2的图象上， ∴2111y =-=-，2224y =-=-， ∴12y y >，故选B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，正确求出1y 和2y 是解题的关键． 12．C【分析】根据顶点式2()y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k 求解即可．【详解】解：抛物线24y x =-的顶点坐标是(0,4)-，故选C ．【点睛】本题考查了二次函数顶点式2()y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k ，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 13．D【分析】根据二次函数解析式可以得到二次函数的增减性，即当12x ≤≤时，y 随x 增大而增大，然后求出当1x =时，2110y =-=，当2x =时，2213y =-=，即可得到答案．【详解】解：∴二次函数解析式为21y x =-， ∴二次函数的开口向上，对称轴为y 轴， ∴当12x ≤≤时，y 随x 增大而增大，当1x =时，2110y =-=，当2x =时，2213y =-=，当12x ≤≤时，03≤≤y ，故选D ．【点睛】本题主要考查了求二次函数函数值的范围，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像的性质． 14．C【分析】根据抛物线解析式求抛物线的顶点坐标，开口方向，与y 轴的交点，可确定抛物线的大致位置，判断其不经过的象限．【详解】解：抛物线24y x =+ 顶点坐标为(0,4)，在y 轴上，且开口向上，∴抛物线不经过第三象限，第四象限；故选：C ．【点睛】本题考查了确定抛物线的大致位置，解题的关键是掌握通过求顶点坐标，开口方向，与坐标轴的交点，画出图象判断． 15．C【分析】本题可先由一次函数y ＝ax 图象得到字母系数的正负，再与二次函数y ＝ax 2的图象相比较看是否一致．【详解】解：A 、函数y ＝ax 中，a ＞0，y ＝ax 2中，a ＞0，但当x ＝1时，两函数图象有交点（1，a ），故A 错误； B 、函数y ＝ax 中，a ＜0，y ＝ax 2中，a ＞0，故B 错误；C 、函数y ＝ax 中，a ＜0，y ＝ax 2中，a ＜0，但当x ＝1时，两函数图象有交点（1，a ），故C 正确；D 、函数y ＝ax 中，a ＞0，y ＝ax 2中，a ＜0，故D 错误．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与正比例函数的图象，解题的关键是熟练的掌握二次函数的图象与正比例函数的图象的相关知识点． 16．A【分析】先令x =1，求出函数值，然后再比较二次项系数的绝对值的大小即可解答．【详解】解：当x =1时，三条抛物线的对应点是（1，12）（1，-3），（1，1）， ∴|12|＜|1|＜|-3|， ∴抛物线212y x =开口最大．故选A ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数解析式的二次项系数的绝对值越小，函数图象的开口越大．17．＞【分析】根据y ＝（x ﹣1）2的图像是抛物线，且开口向上，对称轴为x =1，当x <1时，y 随x 增大而减小，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大即可得出结论．【详解】解：∴二次函数y ＝（x ﹣1）2的图象开口向上，对称轴为x =1，当x <1时，y 随x 增大而减小，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，∴x 1＜x 2＜1时，y 1＞y 2．故答案为：＞．【点睛】本题考查了二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．18．B【分析】根据二次函数顶点式的特征和性质即可作答．【详解】二次函数2()y a x h k =-+，对称轴为：直线x =h ；顶点坐标为：（h ，k ）22(3)1y x =-+ ∴a =2>0，∴开口向上，∴h =3，k =1，∴对称轴为：直线x =3；顶点坐标为：（3，1），故选：B【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的图象和性质，熟练地掌握顶点式的特征是解题的关键．二次函数2()y a x h k =-+，对称轴为：直线x =h ；顶点坐标为：（h ，k ），当a >0时，开口向上，否则开口向下．19．A【分析】根据顶点式2()y a x h k =-+的对称轴为x h =，求解即可．【详解】解：抛物线22(1)y x =-的对称轴是1x =，故选A ．【点睛】本题考查了二次函数顶点式2()y a x h k =-+的对称轴为x h =，掌握顶点式是解题的关键．20．B【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点C 的对称点'C ，再利用二次函数的增减性可判断y 值的大小．【详解】解：∵二次函数的解析式为：()22y x =--，∴该二次函数的对称轴为：直线2x =，∴点()34C y ，关于对称轴的对称点'C 为()30y ，，∵点A B C '、、都在对称轴左侧，对称轴左侧y 随x 的增大而增大∴132y y y <<故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，掌握二次函数图象的增减性是解题的关键．21．＜【分析】分别把A 、B 点的横坐标代入抛物线解析式求解即可．【详解】解：x ＝0时，y 1＝（0﹣1）2＝1，x ＝3时，y 3＝（3﹣1）2＝4，∴y 1＜y 2．故答案为：＜．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出相应的函数值是解题的关键．22．(-1，-3)【分析】二次函数的顶点式为()2y a x h k =-+(a ，h ，k 是常数，a ≠0)，其顶点坐标为(h ，k ) ．【详解】解：二次函数()213y x =-+-的顶点坐标是(−1，−3)，故答案为：(−1，−3)．【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，熟知二次函数顶点式()2y a x h k =-++k (a ≠0)的顶点坐标为(h ，k )是解本题的关键．23．＞【分析】先得到抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质求解．【详解】解：∴y ＝15（x ﹣3）2﹣2， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝3，抛物线开口向上，∴点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在二次函数y ＝15（x ﹣3）2﹣2的图象上，又∴a =15>0，抛物线开口向上，对称轴为直线x =3， ∴在x <3时，y 随x 增大而减小，在x >3时，y 随x 增大而增大，∴x 1＜x 2＜3，∴y 1＞y 2．故答案为：＞．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．24．D【分析】根据二次函数的顶点式的特点即可得出答案．【详解】解：由抛物线的顶点式()21242y x =++可得：该抛物线的顶点坐标为(-2,4)，故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的顶点式，关键是要牢记抛物线的顶点式的特点．25．D【分析】根据抛物线的顶点式分别求出二次项系数a 、对称轴x h =、顶点坐标(),h k ，即可判定选项A 、B 、C 的正误，根据二次函数图像可以理解函数的增减性，判断D 的正误．【详解】2A2(3)y x =-+，20a ∴=-<，抛物线开口向下，故A 错误； 2B2(3)y x =-+，∴抛物线的对称轴是3x =-，故B 错误； 2C2(3)y x =-+，∴抛物线的顶点坐标是3,0，故C 错误； 2D 2(3)y x =-+，∴当3x >-时，y 随x 的增大而减小，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．26．B【分析】由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为x ＝−1，图像开口向上，A 、B 两点在对称轴右边，y 随x 的增大而增大，故y 1＜y 2；A 、B 、C 三点中，C 点离对称轴最近，故y 3最小．【详解】解：由二次函数y ＝3（x ＋1）2−8可知，对称轴为x ＝−1，开口向上，∴A （1，y 1），B （2，y 2）两点在对称轴右边，y 随x 的增大而增大，由1＜2得y 1＜y 2，A 、B 、C 三点中，C 点离对称轴最近，∴y 3最小，即213y y y >>，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的增减性：当二次项系数a ＞0时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右边，y 随x 的增大而增大；a ＜0时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右边，y 随x 的增大而减小，熟练掌握二次函数增减性并灵活运用是解决问题的关键．27．C【分析】把二次函数的解析式化为顶点式，即可求解．【详解】解：∴()222312y x x x =++=++，∴二次函数223y x x =++ 的图象的顶点坐标是（-1，2）．故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握()2y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k 是解题的关键． 28．B【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的对称轴．【详解】解：246y x x =++，=2442x x +++，=()222x ++，∴该抛物线的对称轴是直线x =-2，故选B ．【点睛】本题考查二次函数的对称轴，根据二次函数解析式分特点，利用配方法把二次函数解析式化为顶点式是解题重点．29．C【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：∴抛物线()22241213y x x x =-++=--+的顶点坐标为（1，3），∴向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标是()1,6-∴所得抛物线解析式是()2216y x =-++．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，利用顶点的变化确定抛物线解析式的变化更简便．30．()1,5-【分析】先求出原抛物线的顶点坐标为()2,4，再根据抛物线平移的性质，即可求解．【详解】解：∴()224824y x x x =-+=-+，∴原抛物线的顶点坐标为()2,4，∴抛物线248y x x =-+向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线顶点坐标是()1,5-．故答案为：()1,5-【点睛】本题主要考查了抛物线的平移，熟练掌握抛物线的平移的规律是解题的关键．31．A【分析】根据两根之和公式可以求出对称轴公式．【详解】解：∴一元二次方程20ax bx c ＋＋＝的两个根为−3和−1， ∴12b x x a-＋＝＝−4． ∴二次函数2y ax bx c =++的对称轴为x ＝−2b a ＝()114222b a ⎛⎫⨯-=⨯-=- ⎪⎝⎭．故选：A ．【点睛】本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用． 32．D【分析】易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到b ，c 的值．【详解】由题意可得新抛物线的顶点为(1,4)-，∴原抛物线的顶点为(1,1)--，设原抛物线的解析式为2()y x h k =-+，代入得：22(1)12y x x x =+-=+，∴2b =，0c ．故选：D ．【点睛】主要考查了函数图象的平移，抛物线平移不改变二次项的系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．33．2-【分析】将()21-，代入解析式中即可得到答案．【详解】解：将()21-，代入解析式中，21223a b -=⨯-+424a b -=-22a b -=-，故答案为：2-．【点睛】本题考查了二次函数方程系数与点的关系，解决本题的关键是掌握二次函数方程系数与点的关系． 34．224233y x x =-- 【分析】根据题意可设抛物线的解析式为：(3)(1)y a x x ，再将点(0，-2)代入，求出a 的值，最后改为一般式即可．【详解】∴抛物线经过点(3，0)，(-1，0)，故可设该抛物线的解析式为：(3)(1)y a x x ，∴该抛物线又经过点(0，-2)，∴2(03)(01)a -=-+ 解得：23a = ∴该抛物线的解析式为：2(3)(1)3y x x =-+ 整理，得：224233y x x =--．【点睛】本题考查求抛物线解析式．掌握交点式和利用待定系数法求解析式是解题关键．35．2114y x x =-+- 【分析】根据抛物线的顶点()20A ，，得出()22y a x =-，将()01B -，带入()22y a x =-，即可得出抛物线的表达式．【详解】解：∴抛物线的顶点()20A ，， ∴()22y a x =-， ∴与y 轴的交点为()01B -，， ∴14a -=， ∴14a =-， ∴抛物线的表达式为()22112144y x x x ==---+-．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是本题的关键．36．这个抛物线的表达式是()221y x =-++（或243y x x =---）【分析】根据抛物线的顶点，设这个抛物线的表达式是()221y a x =++，再将(1,-8)代入即可求解．【详解】根据抛物线的顶点坐标为(-2,1)，设这个抛物线的表达式是()221y a x =++，将(1,-8)代入()221y a x =++中，得()21218a ++=-，解得a =－1，即抛物线的表达式是()221y x =-++（或243y x x =---）．【点睛】本题主要考查了抛物线解析式中的顶点式的知识，根据顶点坐标设出抛物线的解析式为()221y a x =++是解答本题的关键．37．对称轴为直线x=﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4）．【分析】根据待定系数法求抛物线代解析式即可．【详解】解：把点A （﹣3，0）、点B （0，﹣3）和点C （2，5）代入二次函数y=ax 2+bx+c 中，得 9303425a b c c a b c ＝①＝②，＝③-+⎧⎪-⎨⎪++⎩解得123a b c ＝＝，＝⎧⎪⎨⎪-⎩∴抛物线代解析式为y=x 2+2x ﹣3，化为顶点式为y=（x+1）2﹣4，∴对称轴为直线x=﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4）．【点睛】本题考查用待定系数法求抛物线代解析式，掌握待定系数法和顶点坐标的求法是解题的关键． 38．y=2264x x -+【分析】直接用待定系数法求出二次函数的解析式【详解】解：二次函数的图象经过点1,0A ，()2,0B .∴设二次函数的表达式为()()12y a x x =--，将点()3,4C 的坐标代入，得()()31324a --=，解得2a =，所以该二次函数的表达式为()()212y x x =--=2264x x -+.【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式的方法.39．2y 5x 7x 1=-+．【分析】先设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），利用待定系数法，把点（1，－1），（0，1），（－1，13），代入可解得二次函数的解析式．【详解】设二次函数解析式为()20y ax bx c a ≠＝＋＋，把三点分别代入得()11a b c -＋＋＝，()21c ＝，()313a b c -＋＝， ()()()123联立方程组解得5a ＝，7b -＝，1c ＝，故这个二次函数的解析式2571y x x -＝＋．【点睛】本题考查考查用待定系数法求函数解析式，熟悉掌握是解题关键.40．y ＝2x 2－8x ＋6.【分析】由于二次函数的图象的顶点为A （2，-2），可设二次函数的表达式为y=a(x -2)2-2；再运用图象经过点B （1，0），，C(3，0)，将点B 或者点C 的坐标代入所设函数表达式即可求出a 的值，进而求解,或者设一般式,把三个点的坐标带入求值即可.【详解】解：解法1：设二次函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，将A(2，－2)，B(1，0)，C(3，0)代入，得422+c 0930a b c a b a b c ++=-⎧⎪+=⎨⎪++=⎩解得a=286b c ⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以y ＝2x 2－8x ＋6. 解法2：设二次函数表达式为y ＝a(x －2)2－2，将B(1，0)代入，得0＝a(1－2)2－2，解得a ＝2.所以y ＝2(x －2)2－2，即y ＝2x 2－8x ＋6.解法3：设二次函数表达式为y ＝a(x －1)(x －3)，将A(2，－2)代入，得－2＝a(2－1)(2－3)，解得a ＝2.所以y ＝2(x －1)(x －3)，即y ＝2x 2－8x ＋6.【点睛】本题考查运用待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是：熟练掌握二次函数的几种解析式,根据题目条件合理选择解析式.。

考点07 二次函数的图像与性质(解析版)

考点七二次函数的图像与性质知识点整合一、二次函数的概念一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y =a （x –x 1）（x –x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．三、二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2b a ，244ac b a-）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2ba 时，y 最小值=244ac b a-当x =–2ba时，y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小2.二次函数图象的特征与a ，b ，c 的关系字母的符号图象的特征aa >0开口向上a <0开口向下b b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号）对称轴在y 轴左侧ab <0（a 与b 异号）对称轴在y轴右侧c c =0经过原点c >0与y 轴正半轴相交c <0与y 轴负半轴相交b 2–4ac b 2–4ac =0与x 轴有唯一交点（顶点）b 2–4ac >0与x 轴有两个交点b 2–4ac <0与x 轴没有交点四、抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y =a （x –h ）2+k ，顶点坐标为（h ，k ）．2．保持y =ax 2的形状不变，将其顶点平移到（h ，k ）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．考向一二次函数的有关概念1．二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零．2．一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化．典例引领变式拓展考向二二次函数的图象与性质二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.二次函数的解析式中，a决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a必相等．典例引领1x=时有最小值2-，即a-当2x=-时有最大值6，即4解得：89a=，109b=-，∴1118110 333939 a b⎛-=⨯-⨯-⎝②a<0时，如图，1x =时有最大值6，即26a a b -+=当2x =-时有最小值2-，即44a a +解得：89a =-，469b =，∴11181462333939a b ⎛⎫-=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭，故答案为：23或2-．4．定义：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，抛物线223y x x =-+与直线y x =-【答案】114【分析】此题考查了一次函数，二次函数的性质以及新定义问题，变式拓展【答案】②③④【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，①根据抛物线开口向下可得在y轴右侧，得0b>，抛物线与x=，即对称轴是直线1【答案】②④/④②【分析】本题考查二次函数的图象和性质，结合的数学思想是解题的关键．【详解】解：将点(11933b c b c ++=⎧⎨++=⎩，。

26.1 二次函数图象信息题析课件 (新人教版九年级下)

o x
4、C＞0
16
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号： y
根据图像可得： 1、a＞0 2、b ＝0
o
x
3、△=b² -4ac＝0
4、C＝0
17
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号： y
根据图像可得： 1、a＜0 2、 b＞0
设正方形的对角线长为2n，根据图像可得：
∵A（0、2n）、B（-n、n）、 C（n、n） ∴n=a（±n）² +2n、c=2n，
1 1 ∴a=，∴ac=2n*（- ） n n
=-2
23
仔细想一想：
6.（06.浙江省）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴． (以下有(1)、(2)两问，每个考生只须选答一问，若两问都答，则只以第(2)问计分) 第(1)问：给出四个结论： ①a>0；② b>0；③c>0；④ a+b+c=0．其中正确结论的序号是 ①④ （答对得3分，少选、错选均不得分）．第(2)问：给出四个结论： ① abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1．其中正确结论的序号是 ② ③ ④（答对得5分，少选、错选均不得分）． y
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号： y
根据图像可得： 1、a＞0 2、b ＞ 0
o
x
3、△=b² -4ac＞0 4、C＝0
15
快速回答：

22.1 二次函数的图像和性质(第二课时)(解析版)

22.1 二次函数的图像和性质第二课时【知识梳理】知识点一二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象和性质函数y =ax 2+bx +c （a >0）y =ax 2+bx +c （a <0）开口方向向上向下顶点坐标（2b a -，244ac b a-）（2b a -，244ac b a-）对称轴x =2ba -x =2b a-增减性x >2b a -时，y 随x 的增大而增大；x <2b a -时，y 随x 的增大而减小x >2b a -时，y 随x 的增大而减小；x <2b a -时，y 随x 的增大而增大最大（小）值当x =2b a -时，y 最小值=244ac b a- 当x =2b a -时，y 最大值= 244ac b a-知识点二二次函数的三种解析式⑴一般式：y =ax 2+bx +c （a ≠0）. 对称轴，顶点坐标（2b a -，244ac ba-）.⑵顶点式：y =a （x -h ）2+k （a ≠0）. 对称轴x= h ，顶点坐标（h ，k ）.⑶交点式：y =a （x -x 1）（x -x 2）. 对称轴，顶点坐标.知识点三二次函数的平移问题解析式y =a （x +m ）2+n （a 、m 、n 都是常数，a ≠0）分情况讨论m >0，n >0m >0，n <0m <0，n >0m <0，n <0变换过程由y =ax 2向左平移|m |个单位，向上平移|n |个单位由y =ax 2向左平移|m |个单位，向下平移|n |个单位由y =ax 2向右平移|m |个单位，向上平移|n |个单位由y =ax 2向右平移|m |个单位，向下平移|n |个单位总结左加右减，上加下减a b x 2-=221x x x +=()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+2221221x x a x x ，【题型探究】题型一、把一般式化成顶点式1．用配方法将二次函数y =x 2﹣8x ﹣9化为y =a （x ﹣h ）2+k 的形式为（）A ．y =（x ﹣4）2+7B ．y =（x +4）2+7C ．y =（x ﹣4）2﹣25D ．y =（x +4）2﹣25【答案】C【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．【详解】y =x 2-8x -9=x 2-8x +16-25=（x -4）2-25．故选C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．2．学完一元二次方程和二次函数后，同学们发现一元二次方程的解法有配方法，二次函数也可以用配方法把一般形式2y ax bx c =++（a ≠0）化成2()y a x h k =-+的形式．现有甲、乙两位同学通过配方法将二次函数245y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式如下：两位同学做法正确的是（）A ．甲正确，乙不正确B ．甲不正确，乙正确C ．甲、乙都正确D ．甲、乙都不正确【答案】C【分析】此题根据配方的步骤结合利用到的等式性质判断即可．【详解】解：两位同学做法都正确，甲同学利用配方的要求只对函数式右边的整式同时加或者减同一个数原式结果不变进行配方；乙同学对利用等式的性质对函数式两边同时进行加减配方，故都正确；故答案选：C ．【点睛】此题考查了配方法的实际配方过程，涉及到等式性质，难度一般．3．把二次函数2241y x x =-+-配方成顶点形式()22y x h k =-++，则h ，k 的值分别为（）A ．1h =-，1k =B ．1h =-，2k =-C ．1h =，1k =D ．1h =，3k =-【分析】利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，即可得到答案．【详解】解：Q 二次函数()()22224122121211y x x x x x =--=--++-=--++，1h \=-，1k =，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数一般式化顶点式，熟练掌握配方法是解题关键．题型二、二次函数的平移问题4．把抛物线y=-2x 2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A ．()2y 211x =-++B ．()2y 211x =--+C ．()2y 211x =---D ．()2y 211x =-+-【答案】B【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式．【详解】抛物线22y x =-向上平移1个单位，可得221y x =-+，再向右平移1个单位得到的抛物线是()2211y x =--+．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a (x -h )2+k (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，确定其顶点坐标(h ，k )，在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．5．在平面直角坐标系中，抛物线(2)(4)y x x =+-经变换后得到抛物线(2)(4)y x x =-+，则下列变换正确的是（）A ．向左平移6个单位B ．向右平移6个单位C ．向左平移2个单位D ．向右平移2个单位【答案】C【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】解：y =（x +2）（x ﹣4）=（x ﹣1）2﹣9，顶点坐标是（1，9）．y =（x ﹣2）（x +4）=（x +1）2﹣9，顶点坐标是（﹣1，9）．所以将抛物线y =（x +2）（x ﹣4）向左平移2个单位长度得到抛物线y =（x ﹣2）（x +4），【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，解题关键是熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．6．将抛物线21:23C y x x =-+向左平移1个单位长度，得到抛物线2C ，抛物线2C 与抛物线3C 关于x 轴对称，则抛物线3C 的解析式为（）A ．22y x =--B ．22y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =+【答案】A【分析】利用平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式2C ，再因为关于x 轴对称的两个抛物线，自变量x 的取值相同，函数值y 互为相反数，由此可直接得出抛物线3C 的解析式．【详解】解：抛物线21:23C y x x =-+向左平移1个单位长度，得到抛物线2C ：()()2+12+13=-+y x x ，即抛物线2C ：22y x =+;由于抛物线2C 与抛物线3C 关于x 轴对称，则抛物线3C 的解析式为：22y x =--.故选：A ．【点睛】主要考查了函数图象的平移、对称，要求熟练掌握平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式以及关于x 轴对称的两个抛物线，自变量x 的取值相同，函数值y 互为相反数．题型三、待定系数法求二次函数解析式7．已知，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()10A -，，与y 轴交于点()03B -，，求该抛物线的解析式和顶点坐标．【答案】2=23y x x --；()14-，【分析】先将抛物线与坐标轴的交点代入解析式，即可求得b c ，的值，从而得出抛物线的解析式，再将其化为顶点式即可得到顶点坐标．【详解】解：Q 抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()10A -，，与y 轴交于点()03B -，，103b c c -+=ì\í=-î，解得23b c =-ì\í=-î，\抛物线的解析式为：2=23y x x --，()222314y x x x =--=--Q ，\顶点坐标为：()14-，，故答案为：2=23y x x --；()14-，．【点睛】本题考查了求二次函数的解析式和顶点坐标，根据题意将已知点代入进行求解是解本题的关键．8．根据下列已知条件，求二次函数的解析式．(1)已知二次函数的顶点在原点，且过另一点(2，－4)，则二次函数的解析式为；(2)已知二次函数的顶点在y 轴上，且纵坐标为2，过另一点(1，4)，则二次函数的解析式为；(3)已知二次函数的顶点在x 轴上，且横坐标为2，过另一点(1，－4)，则二次函数的解析式为；(4)已知二次函数的图象经过点(－3，0)，(1，0)，(0，3)，则二次函数的解析式为；(5)已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，则二次函数的解析式为；(6)已知二次函数图象经过点A (3，0)，对称轴为直线x ＝1，与y 轴正半轴交于点C ，且OC ＝2，则二次函数的解析式为；(7)将抛物线y ＝4x 2向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为．解方程组即可得到答案；（7）根据函数图象平移的规律即可得到答案．【详解】（1）解：设二次函数的解析式为y ＝2ax ，把点(2，－4)代入得，﹣4＝4a ，解得a ＝﹣1，∴二次函数的解析式为y ＝2x -；故答案为：y ＝2x -（2）解：设二次函数的解析式为y ＝22ax +，把点(1，4)代入得，4＝a ＋2，解得a ＝2，∴二次函数的解析式为y ＝222x +；故答案为：y ＝222x +（3）解：设二次函数的解析式为y ＝()22a x -，把点(1，－4)代入得，﹣4＝()212a -，解得a ＝﹣4，∴二次函数的解析式为y ＝()242x --,即y ＝241616x x -+-；故答案为：y ＝241616x x -+-（4）解：∵二次函数的图象经过点(－3，0)，(1，0)，(0，3)，∴可设二次函数的解析式为y ＝()()31a x x +-，把点(0，3)代入得，3＝()()0301a +-，解得a ＝﹣1，∴二次函数的解析式为y ＝()()31x x -+-，即y ＝223x x --+；故答案为：y ＝223x x --+（5）解：设二次函数的解析式为y ＝2ax bx c ++，把点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)代入得，541a b c c a b c -+=-ìï=-íï++=î，解得234a b c =ìï=íï=-î，9．已知抛物线2y ax bx c =++与抛物线237y x x =--+的形状相同，顶点在直线1x =上，且顶点到x 轴的距离为5，则此抛物线的解析式为_________．【答案】226y x x =-+或224y x x =--或224y x x =-++或226y x x =-+-【分析】两个抛物线的形状相同，可知1a =±，则抛物线的解析式为2y x bx c =±++；顶点在1x =上，可以求出b 的值；又顶点到x 轴的距离是5，可以得到这个二次函数顶点纵坐标的绝对值是5，分情况讨论即可求出c 的值．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++与抛物线237y x x =--+的形状相同，∴1a =±，∴抛物线解析式为2y x bx c =±++；，∵抛物线顶点在直线1x =上，∴1a =±，题型四、根据二次函数的图像判断系数符号10．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④30a c +<；⑤1c a ->．其中所有正确结论有（）个A ．2B ．3C ．4D ．511．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为=1x -，且过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，有下列结论：①0abc >；②240b ac ->；③2b a =；④420a b c -+=；其中所有正确的结论是（）A ．①③B ．①③④C ．①②③D ．①②③④12．在平面直角坐标系中，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图象如图所示，有下列5个结论：①0abc >；②20a b -=；③930a b c ++>；④24b ac >；⑤a c b +<．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个∴2a+b＝0，故②错误；③由图象的对称性可知：当x＝3时，y＜0，∴9a＋3b+c＜0，故③错误；④由图象可知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；故④正确；⑤由图象可知当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，+<，∴a c b故⑤正确．综上所述，正确的结论是：④⑤．故选：B．【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，利用对称轴的范围求a与b的关系、熟练掌握二次函数与方程之间的转换是基础，数形结合的方法是解题的关键．题型五、一次函数、二次函数的图像综合问题13．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2与一次函数y＝﹣mx﹣m的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由二次函数图象的开口及与y轴交点的位置可确定m的正负，再利用一次函数y=-mx-m经过的象限确定m 的正负，对比后即可得出结论．【详解】解：∵y =-mx -m =-m （x +1），∴一次函数图像经过点（-1，0），故C 、D 不合题意；A 、由二次函数y =mx 2的图象开口向上，可知m ＞0，由一次函数y =-mx -m 的图象经过第一、二、三象限可知m ＜0，结论矛盾，A 选项不合题意；B 、由二次函数y =mx 2的图象开口向下，可知m ＜0，由一次函数y =-mx -m 的图象经过第一、二、三象限可知m ＜0，结论一致，B 选项符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象，根据二次函数的图象和一次函数图像找出每个选项中m 的正负是解题的关键．14．如图，二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，且经过第三象限的点P ．若点P 的横坐标为1-，则一次函数()y a b x b =--的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，熟悉相关性质是解答本题的关键．15．一次函数y ＝abx +c 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一平面直角内坐标系中的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】先由二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像得到字母系数的正负，再与一次函数y ＝acx +b 的图像相比较看是否一致，即可判定．【详解】解：A 、由抛物线可知，a ＞0，b ＜0，c ＞0，则ab ＜0，由直线可知，ab ＞0，c ＞0，故本选项不合题意；B 、由抛物线可知，a ＜0，b ＜0，c ＞0，则ab ＞0，由直线可知，ab ＞0，c ＞0，故本选项符合题意；C 、由抛物线可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0，则ab ＜0，由直线可知，ab ＞0，c ＜0，故本选项不合题意；D 、由抛物线可知，a ＜0，b ＞0，c ＞0，则ab ＜0，由直线可知，ab ＜0，c ＜0，故本选项不合题意．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图像，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．题型六、根据二次函数的对称性求值16．二次函数21(2)12y x a =--+的图象上有两点()()121,,5,y y -，则12y y -的值是（）A ．负数B ．零C ．正数D ．不能确定【答案】B【解析】直接把各点坐标代入二次函数的解析式，求出y 1，y 2的值即可.A mB m，则b的值为____________．17．抛物线2y x bx c=++的图象上有两点(1,),(5,)18．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____．【答案】－3＜x＜1【分析】根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围．【详解】解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x =﹣1，已知一个交点为（1，0），根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），所以y ＞0时，x 的取值范围是﹣3＜x ＜1．故答案为：﹣3＜x ＜1．【点睛】考点：二次函数的图象．题型七、利用二次函数的对称性求最短路径19．如图，在抛物线2y x =-上有A ，B 两点，其横坐标分别为1，2；在y 轴上有一动点C ，当BC AC +最小时，则点C 的坐标是（）A ．（0.0）B ．（0，1-）C ．（0，2）D ．（0，2-）【答案】D 【详解】解：如图，点A 关于y 轴的对称点A ′的横坐标为﹣1，连接A ′B 与y 轴相交于点C ，点C 即为使AC +BC 最短的点，当x ＝﹣1时，y ＝﹣1，当x ＝2时，y ＝﹣4，所以，点A ′（﹣1，﹣1），B （2，﹣4），设直线A ′B 为y kx b =+124k b k b -+=-ì\í+=-î1k \=- 2b =-2y x \=--当x=0时，y=-2即C （0，-2）故选D【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称性确定出点C 的位置是解题的关键．20．已知抛物线2114y x =+具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离相等，点M 的坐标为（3，6），P 是抛物线2114y x =+上一动点，则△PMF 周长的最小值是（）A ．5B ．9C ．11D ．13【答案】C 【分析】如图所示过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，由抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离相等，得到PE =PF ，则△PMF 的周长=FM +PM +PF ，则要使△PMF 周长最小，则PM +PF 最小，即PM +PE 最小，故当P 、M 、E 三点共线时，PM +PE 的值最小，最小为ME ，由此求解即可．【详解】解：如图所示过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，∵抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离相等，∴PE =PF ，∴△PMF 的周长=FM +PM +PF ，∴要使△PMF 周长最小，则PM +PF 最小，即PM +PE 最小，∴当P 、M 、E 三点共线时，PM +PE 的值最小，最小为ME ，∵M 坐标为（3，6），∴ME =6，∴PF +PM =6∵F （0，2），【点睛】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准确读懂题意得到PE=PF．21．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．(1)求抛物线的解析式；(2)点D在抛物线的对称轴上，当V ACD的周长最小时，点D的坐标为．\D15 2⎛⎫- ⎪⎝⎭，【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，根据抛物线对称性求线段和的最小值，掌握对称性是解题的关键．题型八、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质综合问题22．如图，对称轴为直线2x =的抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为(10)-，．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 在抛物线的对称轴上，求AD CD +的最小值；(3)若点P 是第四象限内抛物线上一个点，求PBC S V 的最大值．（3）解：如图，∵B 点坐标为(50)，，C 点坐标为设直线BC 的解析式为y kx b =+∴505k b b +=ìí=-î，解得：15k b =ìí=-î，∴BC 的解析式为：=5y x -，()2(23．如图，已知二次函数223y x x =+-的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点()2,3D --在抛物线上：(1)请直接写出A、B、C三点的坐标；(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PADV周长最小，若存在，求出P点的坐标；(3)若点M是直线AC下方的抛物线上的一动点，过M作y轴的平行线与线段AC交于点N，求线段MN的最大值．424．已知抛物线经过点()2,3-，它的对称轴为直线1x =，且函数有最小值为4-．(1)求抛物线的解析式：(2)若抛物线与x轴的交点为A，B（A在B左侧），与y轴的交点为C，在第四象限的抛物线上找一点P，使V的一半，求出此时点P的横坐标．BCPV的面积为ABC设直线BC 的解析式为303k b b +=ìí=-î，解得：b ìíî∴直线BC 的解析式为()2【随堂演练】1．平移抛物线y ＝﹣（x ﹣1）（x +3），下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点（）A ．向左平移1个单位B ．向上平移3个单位C ．向右平移3个单位D ．向下平移3个单位【答案】B【分析】先将抛物线解析式转化为顶点式，然后根据顶点坐标的平移规律即可解答.【详解】解：y ＝﹣（x ﹣1）（x +3）=-（x+1）2+4A 、向左平移1个单位后的解析式为：y ＝-（x+2）2+4，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意；B 、向上平移3个单位后的解析式为：y=-（x+1）2+7，当x=0时，y=3，即该抛物线不经过原点，故本选项符合题意；C 、向右平移3个单位后的解析式为：y=-（x-2）2+4，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意.；D 、向下平移3个单位后的解析式为：y=-（x+1）2+1，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意.【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，函数图像平移规律：上移加，下移减，左移加，右移减.2．如图，是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，下列结论中：①0abc >；②0a b c -+<；③210ax bx c +++=有两个相等的实数根；④4a 2a b -<<-.其中正确结论的序号为（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①④3．在同一直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】二次函数图象与y轴交点的位置可确定k的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数y=-k x+1经过的象限，对比后即可得出结论．【详解】解:由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝﹣kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象找出每个选项中k的正负是解题的关键．4．如图，直线y34=-x+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（）A．4B．4.6C．5.2D．5.65．当x ＝x 1和x ＝ x 2（x 1≠x 2）时，二次函数y ＝3x 2﹣3x +4的函数值相等、当x ＝x 1+x 2时，函数值是_________．6．如图，函数2y ax bx c =++经过点()3,0，对称轴为直线1x =：①240b ac ->；②0abc <；③930a b c -+=；④50a b c ++=；⑤若点()11,A a y +、()22,B a y +在抛物线上，则12y y >；⑥2am bm a b +³+（m 为任意实数），其中结论正确的有______．【答案】①④⑥【分析】①根据图象与x 轴有两个交点，0D >即可判断；②根据图象的开口方向、对称轴、图象与y 轴的交点即可判断；③根据图象可得对称轴为1x =，与x 轴的一个交点为(3,0)，则另一个交点为(1,0)-，再根据抛物线增减性即可判断；④根据图象抛物线与x 轴的一个交点为(3,0)，可得930a b c ++=，对称轴为1x =，可得2b a =-，将24b a =-代入930a b c ++=，即可判断；⑤根据图象可得0a >，即可得出112a a <+<+，再结合对称轴为1x =，运用二次函数增减性即可判断；⑥根据1x =和x m =时的y 值，结合抛物线的对称轴和开口方向得出当1x =时，y 取最小值，可得2am bm c a b c ++³++，即可判断．【详解】解：①Q 抛物线与x 轴有两个交点，\0D >，240b ac \->，故①正确；②Q 抛物线开口向上，0a \>，Q 抛物线对称轴在y 轴右侧，b \与a 异号，即0b <，Q 抛物线与y 轴交点在x 轴下方，0c \<，0abc \>，故②错误；③Q 抛物线对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点为(3,0)，\抛物线与x 轴的另一个交点为(1,0)-，Q 抛物线开口向上，在对称轴左侧y 随x 增大而减小，\当3x =-时，0y >，930a b c \-+>，故③错误；④Q 抛物线与x 轴的一个交点为(3,0)，930a b c \++=，Q 抛物线对称轴为直线1x =，7．已知抛物线223y ax x =-+经过点()2,3A ．若点(),B m n 在该抛物线上，且23m -<<，则n 的取值范围为______．【答案】211n £<【分析】将点()2,3A 代入求出抛物线的解析式，再求出对称轴为直线1x =，开口向上，自变量离对称轴越远，因变量越大即可求解．【详解】解：将()2,3A 代入223y ax x =-+中得到：3443=-+a ，解得1a =，∴抛物线的对称轴为直线1x =，且开口向上，根据“自变量离对称轴越远，其对应的因变量越大”可知，当2m =-时，对应的n 最大为：=4+4+3=11n ，当1m =时，对应的n 最小为：1232=-+=n ，故n 的取值范围为：211n £<，故答案为：211n £<．【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，点在抛物线上，将点的坐标代入即可求解．8．把2288y x x =-+-配方成()2y a x h k =-+的形式为____________，并将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为___________．9．如图，抛物线2520533y x x =-+与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA 、MC 、AC ，则当△MAC 的周长最小时，点M 的坐标是_____．10．已知二次函数()211y a x a=--+，当122x££时，函数有最大值2a，则=a______．11．已知抛物线y =ax 2－2ax －3+2a 2 （a <0）．(1)求这条抛物线的对称轴；(2)若该抛物线的顶点在x 轴上，求抛物线的函数解析式；12．求分别满足下列条件的二次函数解析式：(1)二次函数图像经过(1,2),(0,1),(2,3)-三点．(2)二次函数图像的顶点坐标是()2,3-，并经过点()1,2．13．为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点(1,1)--，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．[观察发现]请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．[思考交流]小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y 轴的左侧．”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x 轴的下方．”你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．[概括表达]小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数2y ax bx c =++的图象与系数a ，b ，c 的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．请你探究这个方法，写出探究过程．【答案】[观察发现]2y x =-，图象见解析；[思考交流]∵二次函数的图象不经过第一象限，14．已知：二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点P，求△PAD周长的最小值．,A B Q 关于=1x -轴对称PA PB\=APD △的周长等于AD PA PD ++当,,D P B 三点共线时，APD △的周长取得最小值，最小值为由抛物线解析式223y x x =+-，令0y =，即2230x x +-=解得123,1x x =-=数图象的性质是解题的关键．，．15．如图，已知抛物线23=-与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(30)y x mx++(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；V的面积；(2)求ABC+的值最小时，求点P的坐标．(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC设直线BC 的解析式为：y kx b =+，∵点()03C ，，点()30B ，，∴033k b b =+ìí=î，解得：13k b =-ìí=î．∴直线BC 的解析式为：3y x =-+，当1x =时，132y =-+=，∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为：()12，．【点睛】此题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题．注意找到点P 的位置是解此题的关键．【高分突破】一、单选题1．已知抛物线22y x kx k =+-的对称轴在y 轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k 的值是（）A ．5-或2B ．5-C ．2D ．2-【答案】B【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【详解】解：函数22y x kx k =+-向右平移3个单位，得：22(3)(3)y x k x k =-+--；再向上平移1个单位，得：22(3)(3)y x k x k =-+--+1，∵得到的抛物线正好经过坐标原点∴220(03)(03)k k =-+--+1即20310k k +-=解得：5k =-或2k =2．如果把对称轴为直线1x =的抛物线24y ax bx a =++-沿y 轴平移，使得平移后的抛物线与x 轴有且只有一个交点，那么下列平移方式正确的是（）A ．向上平移4个单位B ．向下平移4个单位C ．向上平移2个单位D ．向下平移2个单位3．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有如下结论：①0abc <；②20a b +=；③320b c -<；④2+³+（m为实数）．其中正确结论的个数是（）am bm a bA．1个B．2个C．3个D．4个本题正确的结论有：②③④，3个；故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a 决定抛物线的开口方向，当0a >时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即0ab >），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即0ab <），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于()0,c ．4．在同一平面直角坐标系中，二次函数2y ax =与一次函数y bx c =+的图象如图所示，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和一次函数图象经过的象限，找出0a >，0b >，0c <是解题的关键．5．若二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣m 与x 轴无交点，则一次函数y ＝（m+1）x+m ﹣1的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】先根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4（﹣m ）＜0，解得m ＜﹣1，然后根据一次函数的性质进行判断．【详解】∵二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣m 与x 轴无交点，∴△＝（﹣2）2﹣4（﹣m ）＜0，解得m ＜﹣1，∵m +1＜0，m ﹣1＜0，∴一次函数y ＝（m +1）x +m ﹣1的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．故选A ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了一次函数的性质．6．如图，二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴相交于()1,0A -，B 两点，对称轴是直线1x =，下列说法正确的是（）A ．0a >B ．当1x >-时，y 的值随x 值的增大而增大C ．点B 的坐标为()4,0D ．420a b c ++>【答案】D 【分析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．【详解】解：A 、根据图像可知抛物线开口向下，即a<0，故该选项不符合题意；B 、根据图像开口向下，对称轴为1x =，当1x >，y 随x 的增大而减小；当1x <，y 随x 的增大而增大，故当11x -<<时，y 随x 的增大而增大；当1x >，y 随x 的增大而减小，故该选项不符合题意；7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a+b+c＜0；③5a+4c＜0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．48．点()112,P y -，()222,P y ，()334,P y 均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（）A ．231y y y >>B ．213y y y >=C ．132y y y =>D ．123y y y =>【答案】B【分析】根据二次函数解析式得出的图象的开口向下，对称轴是直线1x =，然后根据二次函数的图象的性质进行判断即可．【详解】∵()22211y x x c x c =-++=--++，∴这个二次函数的图象开口向下，对称轴是直线1x =．∵()112,P y -关于对称轴的对称点为()14,y ，点3P 的坐标是()34,y ，∴13y y =，∵2P ，3P 都在这个二次函数的图象的对称轴的右侧，124<<，∴23y y >，∴213y y y >=，故选：B ．【点睛】本题主要考查对二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的图象的性质等知识点的理解和掌握，能熟练运用二次函数的图象的性质进行推理是解本题的关键．二、填空题9．已知抛物线 y= -x 2+ mx +2m ，当-1 ≤ x ≤ 2时，对应的函数值y 的最大值是6，则 m 的值是___________．10．若抛物线C 1：y ＝x 2+mx+2与抛物线C 2：y ＝x 2﹣3x+n 关于y 轴对称，则m+n ＝_____．【答案】5．【分析】根据关于y 轴对称的点的坐标规律，将解析式中的x 换成-x ，y 不变，化简即可得出答案.【详解】Q 抛物线C 1：y ＝x 2+mx+2与抛物线C 2：y ＝x 2﹣3x+n 关于y 轴对称\x 2+mx+2=（-x ）2-3（-x ）+n= x 2+3x+n\m=3，n=2\m+n=3+2=5故答案为5【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，掌握关于y 轴对称的点的坐标规律是解题的关键.11．如图，二次函数()2=++0y ax bx c a ¹的函数图像经过点（1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为1x 、2x ，其中－1＜1x ＜0，1＜2x ＜2，下列结论：①0abc >；②20a b +<；③420a b c -+>；④当()12x m m =<<时，22am bm c <+-；⑤1b > ，其中正确的有 ___________．（填写正确的序号）【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质等知识，掌握抛物线的所处的位置与系数a、b、c满足的关系是正确判断的前提．12．如图，把抛物线y=1x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点2x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为______．为P，它的对称轴与抛物线y=12。

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二次函数图像信息
1.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：① ；
② ；③ ；④ ．其中，正确结论的个数是 ( )
A. B. C. D.
2. 二次函数的图象如图所示，则，，，，这几个式
子中，值为正数的有
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
3. 已知抛物线（是常数），点，在抛物线上，若，
，则下列大小比较正确的是
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系中，直线（为常数）与抛物线交于、两点，且点在
左侧，点的坐标为，连接、．有以下说法：① ；②直线、关
于对称；③当时，；④ 面积的最小值为
其中正确的是（写出所有正确说法的序号） ( )
A. ①，③，④
B. ②，③
C. ②，④
D. ②，③，④
5. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：① ；② ；
③ ；④ ．其中，正确结论的个数是
A. B. C. D.
6. 二次函数的图象如图，给出下列四个结论：
① ；② ；③ ；④ ，
其中正确结论的个数 ( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
7. 函数与的图象如图所示，有以下结论：
① ；② ；③ ；
④当时，；
其中正确的个数是 ( )
A. B. C. D.
8. 已知二次函数在坐标平面上的图形通过、两点．若，，
则的值可能为 ( )
A. B. C. D.
9. 某同学从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．你认为其中正确信
息的个数有
A. B. C. D.
10. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线，有下列结论：
① ；② ；③ ；④若点与是抛物线上的两点，则
．其中，正确的结论是 ( )
A. ①②
B. ①③
C. ①③④
D. ②③④
11. 如图，是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为，给出四
个结论：
① ；② ；③ ；④ ．
其中正确结论的个数是
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
12. 小明从图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，
你认为其中正确信息的个数有 ( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
13. 已知抛物线（，，为常数），当取不同的实数时，其顶点在某函数
图象上移动，则该函数是下列函数中的 ( )
A. B. C. D.
14. 若、是方程的两个根，则实数，，，
的大小关系为 ( )
A. B. C. D.
15. 若，是方程的两个根，则实数，，，的大小关系
为 ( )
A. B. C. D.
16. 二次函数（为常数）的图象如图所示，当时，，那么当时，函
数值 ( )
A. B. C. D.
17. 定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些
结论：
①当时，函数图象的顶点坐标是；
②当时，函数图象过定点；
③当时，函数在时，随的增大而减小；
④当时，函数图象截轴所得的线段长度大于．
其中正确的结论有 ( )
A. ①③④
B. ①②④
C. ①②③
D. ①②③④
18. 如图，已知抛物线和直线，我们约定：当任取一值时，对应的函数值分别
为、，若，取、中的较小值记为；若，记．下列判断：①当
时，；② 当时，值越大，值越大；③使得大于的值不存在；④ 若
，则，其中正确的
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
19. 已知抛物线经过点、．由下列结论：
①若，则，；②若，则；③若，则．
其中，正确的个数是
A. B. C. D.
20. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，有下列结论；①
；② ；③ ，其中正确结论的个数是 ( )．
A. B. C. D.
21. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，
，，下列结论：① ；② ；③ ；④
，其中正确的有
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
22. 二次函数的部分图象如图，图象过点（），对称轴为直线，下
列结论① ；② ；③ ；④当时，的值随值的增大而增大．其中，正确结论的个数是 ( )
A. B. C. D.
23. 已知二次函数的图象如图，且关于的一元二次方程没
有实数根，有下列结论：
① ；
② ；
③ ．
其中，正确结论的个数是 ( )
A. B. C. D.
24. 二次函数的图象如图所示，下列说法：① ；
②当时，；③ ；
④若，在函数图象上，当时，．其中正确的是
A. ①②④
B. ①③
C. ①②③
D. ①③④
25. 已知抛物线的对称轴为．若关于的一元二次方程
在的范围内有解，则的取值范围是
A. B. C. D.
26. 二次函数的图象如图所示，则化简二次根式结果是
A. B. C. D.
27. 如图所示，二次函数的图象经过点与轴交点的横坐标分别为，
，其中，，下列结论：
① ；② ；③ ；④ ，其中正确的有
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
28. 二次函数（，，为常数，）中，与的部分对应值如下表：
有下列结论：
①函数有最大值，且最大值为；
②若满足，则或；
③若方程有两个不等的实数根，则；
④对于任意实数，当时，有．
其中，正确结论的个数是 ( )
A. B. C. D.
29. 若二次函数的图象与轴有两个交点，坐标分别为、，且
图象上有一点在轴下方，则下列判断正确的是
A. B.
C. D.
30. 二次函数图象如图，下列结论：① ；② ；
③当时，；④ ；
⑤若，且，．其中正确的有
A. ①②③
B. ②④
C. ②⑤
D. ②③⑤
31. 二次函数（，，为常数，且）中的与的部分对应值如下表：
下列结论：
（1）；
（2）当时，的值随的增大而减小
（3）是方程的一个根
（4）当时，
其中正确的个数为 ( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
32. 二次函数（，，为常数，且中的与的部分对应值如下表：
下列结论：
① ；
②当时，的值随值的增大而减小；
③ 是方程的一个根；
④当时，．
其中正确的个数为
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
33. 抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和点之间．则以
下结论：① ；② ；③ ；④方程有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为 ( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
34. 当时，二次函数有最大值，则实数的值为 ( )
A. 或
B. 或
C. 或或
D. 或或或
35. 定义为函数的特征数，下面给山特征数为的函数的一些
结论：
①当时，函数图象的顶点坐标是；
②当时，函数图象截轴所得的线段长度大于；
⑨当时，函数在时，随的增火而减小；
④当时，函数图象经过轴上同一个点．
其中正确的结论有 ( )
A. ①②③④
B. ①②④
C. ①③④
D. ②④
答案
第一部分
1. D
2. A
3.A
4.D
5. B
6. B
7. B
8.A
9.C 10. C
11. D 12. C 13.D 14.C 15. C
16. C 17. B 18.B 19.C 20. B
21. D 22. B 23.D 24.B 25. D
26. A 27. D 28.C 29.D 30. D
31. C 32. B 33.C 34.B 35. B。