4. 力学量与算符

ˆ 之积不一定是厄米算符 ˆ,G <4>厄米算符F
ˆ ) d F ˆ )d ( F ˆ )d ˆG ˆ (G ˆ ) (G 证明： ( F
ˆ F ˆF ˆF ˆ d (G ˆ ) d [( G ˆ )] d G
力学量—表示一个体系力学性质的量。 微观体系的力学量与经典系统的力学量有着重要的区别的：
经典力学体系中假定力学量都是可以连续变化的，任何两个 力学量（如： x, p x ）可同时具有确定值，即存在轨道的概念；
微观体系的一些量却往往只取分立值（如势阱中粒子的能 量，线性谐振子的能量，原子的能量及角动量等） ，也有些量根 本不可能同时具有确定值（如： x和p x ；T和U ） 。微观体系的 这些特点源于它的波动性（无轨道问题） 。
ˆ 之和仍是线性算符 ˆ,G <2 >线性算符F
ˆ (c u c u ) ˆ (c u c u ) G ˆ )(c u c u ) F ˆ G (F 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ 线性 ˆ ,G F
和定义
ˆ ˆ ˆu c F ˆ c1 F 1 2 u 2 c 1 Gu 1 c 2 Gu 2
3. 算符相乘 ˆ 之 ˆ (F ˆ u) M ˆ u , 则称算符 M ˆ F ˆ为 与 G u ，有G 若对任意的函数
ˆF ˆ 不一定等于 ˆF ˆ ） ˆ G ˆ （注意：G ˆG F 积。记为 M 。
ˆ 相继作用在 ˆ n 表示，即： u 上 n 次，则可用 F F 如一个算符
ˆF ˆ F ˆu F ˆ nu ˆ (F ˆ u) F ˆ 2u ； F F ˆ m和F ˆ n 可以交换顺序，n, m 均为正整数。 ˆ nF ˆm F ˆ mF ˆ n ，即 F 即有F

ˆx p ˆ x x 作用在任意波函数上，即： ˆ x xp 将 x, p
ˆx p ˆ x x )(x) x(i) ( xp
( x( x )) ( x) x i x
x (x) x ( x) ( x) i x i x i
这就是量子力学中表示力学量算符的规则。
研究算符之间的关系以及它们代表的物理量之间的关系。
一、算符的对易关系： ˆ 对易 ˆ,G 0 F ˆ ,F ˆF ˆ ˆ G ˆ F ˆG G ˆ ˆ 0 F , G 不对易 ˆx ? ˆ x 的对易关系x, p ˆ 和动量算符p x 1. 坐标算符
i ( x )
而 ( x ) 是任意的
ˆ x =i 所以：x, p
①
ˆ x 的对易关系，等式右边不等于 0，即 ˆx 不 x 该式称为x 和 p 和p
对易。 ˆ y =i ˆ,p 同样可得：y
②
ˆ z =i ˆ, p z ˆ z =y ˆ x 0 ； ˆ,p ˆ,p ˆ y x, p ˆ z 0 ； y x, p
F 在经典力学中有相应的力学 假设：如果量子力学中的力学量
ˆ F 量， 则 表 示这 个 力学 量 的 算符 由经 典 表 示 式 F( r , p ) 中 将 i ) 。
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p r( , r r r ； p 而得出，即： F r F( p , ） F
6. 厄米算符
<1 >定义：对任意二函数, （要求它们及其微商是平方可积
ˆ 满足下式： 的） ，若F
ˆ ˆ ) d （一、二和三维都适用） F d ( F
或
ˆ ˆ d F ˆ d F d F
ˆ (c c ) c H ˆ c H ˆ H 1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ 必为线性算符。 即H
⑤
<4>力学量算符的构成
两个基本的力学量算符：
ˆ ˆ x, y ˆ y ˆ,z z ˆ) r r （x
ˆ ˆ x i ˆ z i ˆ y i p ；p ； ） p i （ p x z y
的具体形式以外，还决定于 满足的条件， 可取分立值，用
u
n 表示，也可取连续值。
只有一个 为非简并（如线性谐振子的 u ，则 <2 >如对应一个
有 n 个本征函数，即u 1 , u 2 , u n ， 能量本征值） ；如对应一个
为 n 度简并。 并且它们是线性独立的，则
例如：自由粒子的能量本征值为 2 度简并。
ˆ 有共同的本征函数 ˆ,G u ，则和算符的本征值是算符本 <3>如 F
征值之和；积算符的本征值是算符本征值之积，即：
ˆ )u F ˆ u fu gu (f g ) u ˆ G ˆu G (F ˆu F ˆG ˆ gu gF ˆ u gfu fgu F
正是由于这种差别的存在，在量子力学中引入算符来表示 微观粒子的力学量。
一、算符的一般性质
算符：作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子
ˆ F 力学中的算符是作用在波函数上的运算符号，记为 。
例如 u v 中的“
x ” ； xu v 中的“ ” （作用是乘） ；
du d v 中的“ ” （求导） ； u udx 中的 “ dx ” （作用是积分） 。 dx dx
4. 线性算符
ˆ (c u c u ) c F ˆ ˆ <1 >定义：若对任意的函数 u 1 , u 2 有F 1 1 2 2 1 u 1 c 2 Fu 2 ，
ˆ 为线性算符。 F 其中c1 , c 2 为任意复常数，则称算符
d 2 如： x, , 是线性算符，而 dx xy
和乘方为非线性算符。
n 时，测量力学量F ，得到确定值 n 。
2. 量子力学中的力学量为什么用线性厄米算符表示 <1>为什么用算符表示力学量？
(a)因为在波函数的标准条件下求解算符的本征值，能得到与
值，且多是分立的，如线性谐振子的能量本征值。 实验符合的
(b)用算符表示力学量还可以反映某二力学量不能同时具有确 定值的情况。
2. 算符的相加
ˆu M ˆF ˆ为 与 ˆu G ˆ u ，则称算符 M u ，有 F 若对任意的函数 ˆ 之和。记为：M ˆ . ˆ F ˆ G G
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ F x 例：若 ，G i ，则有： Fu Gu ( x i ) u x x ˆ ˆ 即： M ( x i ) x
由厄米算符的定义，且令 ，则有：①＝②
于是 为实数
所以厄米算符又叫实算符。
ˆ 之和仍是厄米算符 ˆ,G <3>厄米算符F ˆ ) d ( F ˆ ) d ˆ G ˆ G 证明： ( F
ˆ d G F ˆ d ˆ ) d ˆ ) d (G (F ˆ ) d [( F ˆ )] d ˆ G ˆ G [( F
ˆ u v, F ˆ 作用在它右边的函数上，原来的函数变为新函 一般 F
数。在量子力学中，大部分算符采用如下形式：
2 2 2 ˆ a a F a 2 2 b1 b 2 2 c1 c 2 2 0 1 x x y y z z
ˆ ,p ˆ =p ˆ ˆ z ˆ, p ˆ 0 ； p z ˆ, p x , p i 以上可 0
y
③
x
x
y
x
ˆ y,p ˆ z =0 ˆ z =p ,p
<2>为什么用厄米算符表示力学量？
因为厄米算符的本征值是实量值，而力学量的量值一定是实 数，平均值也是实数。非厄米算符解得的本征值不满足此要求。
<3>为什么用线性算符表示力学量? 态迭加原理要求力学量算符为线性的。
ˆ E 的解，即： 证明：若1 , 2 是方程 H
1 ˆ 2 ˆ i H1 H2 ①； i t t 则① c1 ＋② c 2 有：
ˆ u ) c (F ˆu ) ˆu G ˆu G c1 ( F 1 1 2 2 2
和定义
ˆ )u ˆ G ˆ )u c 2 ( F ˆ G c1 ( F 2 1
即线性算符关于加法是闭合的。
<3 >线性算符之积仍是线性算符
ˆ ˆ ˆ (c u c u ) F ˆu c F ˆ (c G ˆG ˆˆ ˆG F c1 F 1 u 1 c 2 Gu 2 ) 1 1 2 2 1 2 Gu 2
不一定

ˆ ) ] d （要看二者是否可以交换顺序） ˆG [( F
注意：算符是作用在波函数上的，否则可能出错。
二、 量子力学中用线性厄米算符表示力学量 1. 两个假定：
假定 1：量子力学中的每个力学量都用一个线性厄米算符表示。
ˆ F 假定 2：当体系处于任意状态下，算符 的本征值集合即是测 ˆ F F 的可能值；当体系处于 量体系的力学量 的属于 n 的本征态
ˆ 为厄米算符。 其中“ ˆ u (F ˆ u) 则称F ”表示取复数共轭； F
ˆ F 是 的定义。
ˆ x i ˆ x 和p 例： x

d 是厄米的，而 dx x
不是厄米的。
x 是实数） (1) xdx (x) dx （因为
ˆ 线性 G
ˆ 线性 F
即线性算符关于乘法是闭合的。
5. 算符的本征值与本征函数
ˆ 为 的本 ˆ u u , 其中 u ，有F 是数量，则称 F <1 >若对某函数 ˆ 的属于本征值 u 是 F 的本征函数。上式称为 征值（固有值） ， ˆ ˆ ˆ F 算符F 的本征值方程（如： H E ） 。方程的解除了决定