钟面上的角经典分析
《钟面上的角》教案公开课
《钟面上的角》教案公开课第一章：导入1.1 课程背景本节课我们将学习钟面上的角，通过观察和操作活动，让学生理解钟面上角的特征，提高他们的观察能力和动手操作能力。
1.2 教学目标1. 知道钟面上有12个数字，每两个数字之间是30°的角。
2. 能用三角板上的角拼出钟面上的角。
3. 提高观察能力和动手操作能力。
1.3 教学重难点1. 钟面上每个数字之间的角是多少度？2. 如何用三角板上的角拼出钟面上的角？第二章：新课讲解2.1 钟面角的特征教师展示钟面，引导学生观察钟面上的角。
提问：“钟面上有什么数字？每两个数字之间是什么角？”学生回答：“钟面上有时、分、秒三个数字，每两个数字之间是30°的角。
”2.2 三角板上的角教师展示三角板，引导学生观察三角板上的角。
提问：“三角板上有哪些角？它们分别是多少度？”学生回答：“三角板上有30°、60°、45°、90°的角。
”2.3 拼出钟面上的角教师引导学生用三角板上的角拼出钟面上的角。
提问：“你们能用三角板上的角拼出钟面上的角吗？”学生尝试拼出钟面上的角，并回答：“我可以用30°和90°的角拼出120°的角，用60°和60°的角拼出120°的角，用45°和90°的角拼出135°的角。
”第三章：课堂练习3.1 学生独立完成练习题教师发放练习题，要求学生独立完成。
练习题包括用三角板上的角拼出钟面上的角，以及判断每两个数字之间角的度数。
3.2 学生互相讲解学生互相讲解练习题的解题过程，教师巡回指导。
第四章：拓展与应用4.1 学生动手操作教师发放钟面模板，要求学生动手操作，用三角板上的角拼出不同的钟面角。
4.2 学生分享成果学生展示自己的作品，分享操作过程中的心得体会。
5.1 教师提问教师提问：“这节课我们学习了什么内容？你们有什么收获？”学生回答：“这节课我们学习了钟面上的角，知道了每两个数字之间是30°的角，学会了用三角板上的角拼出钟面上的角。
钟面上的时间与角度
钟面上的时间与角度钟面是我们日常生活中常见的计时工具之一，无论是挂钟、闹钟还是手表，都离不开钟面的存在。
然而，你是否曾经思考过钟面上时间的表示和钟针的角度之间存在着怎样的关系呢？本文将通过分析钟面上不同时间的表示和钟针的运动规律，来探讨时间与角度之间的关联。
一、小时刻度的角度关系在钟面上，一圈被等分为12个小时刻度，每个小时刻度之间的夹角是30度。
这是因为一个完整的圆为360度，而一天总共有24个小时，所以每个小时所占的角度为360度除以24小时，即每小时15度。
由于钟面上只有12个小时的刻度，所以相邻两个小时刻度之间的夹角为15度乘以2，即30度。
二、分钟刻度的角度关系在小时刻度之间，钟面上通常还有分钟刻度的标记，用来进行更精确的时间测量。
一圈钟面被等分为60个分钟刻度，每个分钟刻度之间的夹角是6度。
这是因为一个小时有60分钟，而一圈钟面所代表的时间为12小时，所以每分钟所占的角度为360度除以（12小时乘以60分钟），即每分钟0.5度。
因此，相邻两个分钟刻度之间的夹角为0.5度乘以2，即1度。
三、时针、分针和秒针的角度关系除了刻度外，钟面上还有时针、分针和秒针等指针，用来指示具体的时间。
它们分别代表着小时、分钟和秒钟的变化。
时针每小时走过30度（即每分钟走过0.5度），分针每分钟走过6度，而秒针每秒钟走过6度。
时针的角度计算公式为：时针角度 =（小时数 * 30度）+（分钟数 * 0.5度）分针的角度计算公式为：分针角度 = 分钟数 * 6度秒针的角度计算公式为：秒针角度 = 秒数 * 6度根据这些角度计算公式，我们可以根据具体的时间来计算时针、分针和秒针所处的角度位置。
四、钟面上的时间与角度关系总结通过以上分析，我们可以得出以下结论：1. 钟面上每个小时刻度之间的夹角为30度；2. 钟面上每个分钟刻度之间的夹角为1度；3. 时针每小时走过30度，每分钟走过0.5度；4. 分针每分钟走过6度；5. 秒针每秒钟走过6度。
钟面角问题
钟面角的推导及应用钟面角是指时针与分针在某一时刻所形成的角。
已知钟面数字从1到12共有12个大格，60个小格，而1周角等于360°，所以钟面每个大格对应360°÷12=30°的角，每个小格对应360°÷60=6°的角，因此时针每走1小时对应30°的角，每走一分钟对应30°÷60=0.5°的角，分针每走一分钟对应6°的角，从而可得钟面角的计算公式：1、当时针在分针的前面时钟面角=30°n+0.5°m-6°m2、当时针在分针的后面时钟面角=6°m-30°n-0.5°m这里n表示时针所指钟面时钟数，m表示分钟所指钟面分钟数，即n点m分。
1、证明：如图1，B点对O，C点对m，D点对n，A点对m，则∠BOC=6°m，∠BOD=30°n，∠DOA=0.5°m，所以∠AOC=∠COD+∠DOA=∠BOD-∠BOC+∠DOA=30°n+0.5°m-6°m2、证明：如图2：B点对O，C点对m，D点对n，A点对m，则∠BOC=6°m，∠BOD=30°n，∠AOD=0.5°m，所以∠COA=∠COB—∠AOB=∠COB—(∠AOD+∠DOB)=6°m-30°n-0.5°m。
一、求钟面角的度数例1 求5点12分的钟面角度数。
分析与解 由已知得时针在分针前面，且n=5，m=12，所以5点12分的钟面角=30°×5+0.5°×12-6°×12=150°+6°-72°=84°。
例2 求7点59分的钟面角度数。
分析与解 由已知得时针在分针的后面，且n=7，m=59，所以7点59的钟面角度数=6°×59-(30°×7+0.5°×59)=354°-210°-29.5°=144°-29.5°=114°30’。
钟面上的角
钟面上的角有关钟面上的数学问题首先要清楚钟面上的每一大格所对的圆心角是30°的角，每一小格所对的圆心角是6°的角；其次要明白分针一小时转过360°的角，每分钟转过6°的角，时针一小时转过30°的角，每分钟转过0.5°的角，无论是分针还是时针每走过一大格就转过30°的角；走过一小格就转过6°的角；最后恰当地选择分针与时针的初始位置，根据分针和时针分别转过的角度，借助图形即会获得解题途径，下面通过举例说明这种方法。
例1 下午3点30分，钟面上时针和分针所成的角度是多少度？ 分析：起始时刻定为3：00（3点正常工作时，时针和分针成90°），终止时刻时3：30，分别在同一钟面上画出两个时刻。
解：从图1可以看出，分钟从12转到6，走了30分钟，转了30×6°=180°，时针转了30×0.5°=15°所以3点30分钟面上时针和分钟所成的角为180°-90°例2 钟面上9时过 分，时针与分针成直角。
解：设分针到x 分时，时针与分针成直角借助图2，得270-6x+0.5x=90 x=32118或360-6x-（90-0.5x ）=90，得 x=32118例3 在1时与2时之间，时钟的时针与分针成直角的时刻是1时 分 解：设此时是x 分（1） 借助图3x=21119（2） 借助图4x=54116图1° 270图26x °图4所以应填21119分或54116分 例4 某人下午6点多钟外出买东西，当时看钟表上时针和分针的夹角为110°，近7点钟返回时，发现时针和分针也成110°，则此人外出共用了多少时间？分析：此题虽没有明确给出起始时刻和终止时刻，但题中也给出起始和终止时刻在6点和7点之间，于是可以大概画出图形。
钟面上的角度与时间的关系知识点总结
钟面上的角度与时间的关系知识点总结钟面上的角度与时间的关系一直以来都是一个备受人们关注的话题。
在日常生活中，我们常常可以通过观察钟表的指针来判断当前的时间。
然而，很多人并不清楚钟面上的角度与时间之间的具体关系。
本文将对钟面上的角度与时间的相关知识进行总结和解析。
一、钟面上的角度定义及表示方法钟面上的角度指的是钟表指针相对于12点位置所形成的角度。
以时钟为例，我们可以将一圈360度平均分为12等分，即每个小时对应30度。
钟面上的角度可以用度数或分数形式表示，即角度数值或角度比例。
二、小时指针角度与时间关系小时指针是钟表上较短的指针，它的角度变化与时间之间存在一定的关系。
根据钟表设计的不同，时钟表盘上的小时指针可能表现为连续运动，也可能为每个小时从一个刻度跳转到下一个刻度。
无论指针的表现形式如何，我们可以通过以下公式来计算小时指针与时间的关系：小时指针角度 = (时间小时数 + 时间分钟数 / 60) * 30度其中，时间小时数为当前的小时数，时间分钟数为当前的分钟数。
例如，如果现在的时间是3点15分，那么小时指针与12点的角度可以通过以下公式计算：小时指针角度 = (3 + 15 / 60) * 30度 = 97.5度三、分钟指针角度与时间关系分钟指针是钟表上较长的指针，它的角度变化与时间之间也存在一定的关系。
分钟指针在一小时内完成一圈的运动，即360度。
通过以下公式可以计算分钟指针与时间的关系：分钟指针角度 = 时间分钟数 * 6度同样以现在的时间是3点15分为例，分钟指针与12点的角度可以通过以下公式计算：分钟指针角度 = 15 * 6度 = 90度四、时钟的连续性与滞后性在实际应用中，钟表的运行可能存在连续性或滞后性的问题。
在连续性的情况下，时钟指针以连续的方式移动，其角度与时间的变化呈线性关系。
而在滞后性的情况下，指针在跳转到下一个刻度之前会有一定的延时，导致角度与时间之间存在一定的偏差。
钟面角度问题的总结
钟面角度问题的总结
角度是指两条射线之间的旋转程度，可以用度数或弧度来表示。
钟面角度问题是指与钟面上的时间相关的角度计算问题。
总结如下：
1. 钟面角度问题通常涉及到时针、分针和秒针之间的关系。
2. 一圈360度：钟面上的小时刻度一共是12个，因此每一个
小时刻度之间的夹角是360度除以12，即30度。
3. 分钟刻度的角度：钟面上的分钟刻度一共是60个，因此每
一个分钟刻度之间的夹角是360度除以60，即6度。
4. 时针角度的计算：时针每小时转动30度，分钟转动的角度
影响时针的位置。
时针的角度可以通过以下公式计算：角度 = (小时 * 30) + (分钟 / 2)。
5. 分针角度的计算：分针每分钟转动6度，秒针的角度也会影响分针的位置。
分针的角度可以通过以下公式计算：角度 = (分钟 * 6) + (秒钟 / 10)。
6. 秒针角度的计算：秒针每秒钟转动6度。
秒针的角度可以通过以下公式计算：角度 = 秒钟 * 6。
以上是钟面角度问题的一般计算方法和规律。
在具体应用中，可以根据题目给出的条件和要求，进行适当的转换和计算。
《钟面上的角》教案公开课
《钟面上的角》教案公开课第一章：钟面的基本知识1.1 钟面的组成钟面上的数字钟面的指针（时针、分针、秒针）1.2 钟面的刻度每个数字之间的刻度每个小时之间的刻度1.3 钟面与角度的关系钟面上的角度划分指针移动与角度变化第二章：角的分类与度量2.1 角的定义角的概念角的度量单位（度、分、秒）2.2 角的分类锐角、直角、钝角、平角、周角2.3 角的度量工具量角器的作用与使用方法第三章：钟面上的角度计算3.1 钟面上角度的计算方法计算指针之间角度的方法计算时刻角度的方法3.2 特殊时刻的角度计算整点时刻的角度半点时刻的角度3.3 实际问题中的应用计算特定时间的角度钟面上角度与实际时间的转换第四章：钟面上的角度游戏4.1 角度拼图游戏制作钟面拼图练习拼图游戏，巩固角度知识4.2 角度猜猜看游戏制作角度卡片学生轮流猜测角度，增强对角度的认识4.3 钟面上的角度接力赛学生分组进行接力赛每组成员需完成钟面上指定角度的计算回顾本节课学习的内容强调钟面上角度的重要性和实际应用5.2 课后作业布置相关的角度计算题目要求学生在日常生活中注意观察钟面的角度5.3 拓展学习引导学生学习其他时间单位（如：分钟、秒钟）与角度的关系鼓励学生探索钟面上的角度在生活中的应用第六章：实际场景中的钟面角度应用6.1 场景一：时钟装饰品设计设计一个钟面装饰品，要求显示特定的时间角度。
学生分组讨论，设计出具有创意的钟面装饰品。
6.2 场景二：餐厅钟面假设你是一名餐厅设计师，需要在餐厅中放置一个钟面装饰。
设计一个能够吸引顾客、与餐厅主题相匹配的钟面装饰。
第七章：钟面角度与日常生活7.1 时间的估计与调整学生练习估计时间，如估计一个节目播出的时间长度。
学生学习如何根据钟面角度调整时间，如调整闹钟。
7.2 钟面角度与导航学生了解如何利用钟面角度进行导航，如在航海和飞行中的运用。
学生进行简单的导航练习，使用钟面角度来确定方向。
第八章：钟面角度的数学探索8.1 钟面角度与三角函数学生学习钟面角度与三角函数的关系。
钟面上的角经典分析
钟面上的角一、认识“钟面角”要分析钟面角，我们首先要结合其图形特点，寻找并发现它们的变化规律．⑴钟表的表面特点：钟表的表面都是一个圆形，共有12个大格，每个大格间有5个小格．圆形的表面恰好对应着一个周角360°，每个大格对应30°角，每个小格对应6°角．表面一般有时针、分针、秒针三根指针．⑵钟表时针、分针、秒针的转动情况：时针每小时转1大格，每12分钟转1小格，每12个小时转1个圆周；分针每5分钟转一大格，每1分钟转1小格，每小时转1个圆周；秒针5秒钟转1大格，每1秒钟转1小格，每1分钟转一个圆周．⑶时针、分针、秒针的转速：有了以上的认识，我们很容易计算出相应指针的转速：①表的时针转速为：30°/小时或0.5°/分钟；②分针的转速为：6°/分钟或0.1°/秒钟；③秒针的转速为：6°/秒．二、解决与钟面角有关的数学问题⒈计算从某一时刻到另一时刻，时针（分针）转过的角度⑴公式法：时（分）针从某一时刻到另一时刻转过的角度=时（分）针转过的时间×时（分）针的转速（注意统一单位）．⑵观察法：若时（分）针转过了a大格b小格，则时（分）针从某一时刻到另一时刻转过的角度为：30a+6b°．例1.⑴从3：15到7：45，时针转过度．⑵从1：45到2：05，分针转过度．分析：⑴从3：15到7：45，时针走过的时间为4.5小时（270分钟），∴时针转过的角度为：4.5×30°=135°（或270×0.5°=135°）或用观察法：时针共走了4大格2.5小格，∴时针转过的角度为：4×30+2.5×6=135°．⑵从1：45到2：05，分钟走过的时间为20分钟，∴分针转过的角度为：20×6°=120°．或用观察法：分针共走了4个大格（或20小格）∴分针转过的角度为：4×30°=120°（或：20×6°=120°）．⒉计算某一时刻时针（分针）与分针（秒针）之间的夹角⑴差法：以0点（12时）为基准到某一时刻止，时针转过的角度与分针在整点后的时间转过的角度差，即时针、分针之间的夹角．⑵观察法：某一时刻时针、分针相差a个大格b个小格，时针分针的钟面角=30a+6b°．例2．⑴4：00点整，时针、分针的夹角为．⑵11：40，时针、分针的夹角为．分析：⑴4：00整，时针、分针相差4个大格，夹角为：4×30°=120°．⑵①作差法：11：40，以0点（12时）为基准时针转过的角度为：11×30°=350°分针转过的角度为：40×6°=240°∴时针、分针的夹角为：350°－240°=110°②观察法：11：40分针、时针相隔3个大格，∴时针、分针的夹角为：3×30°=110°⒊求时针、分针成特殊角时对应的时间方程思想：时针、分针成特殊角时对应的时间问题，通常以0点（12时）为基准将时针、分针所转过的角度可看成一个追及问题，从而借助方程进行求解．相等关系：①整点后分针转过的角度－整点后时针转过的角度=整点时分针、时针的夹角（分针需追赶的角度）+a时x分分针与指针的夹角（分针应多转的角度）②或：分针整点后转过的角度—时针从0点基准到现在时刻转过的角度=所成的特殊角例3．你能用一元一次方程解决下面的问题吗？（课本习题P114页第8题）在3时和4时之间的哪个时刻，钟的分针与时针：⑴重合；⑵成平角；⑶成直角．分析：⑴重合：设3时x分时针、分针重合．3时整，时针、分针的夹角为90°．即在后x分钟，分针要比时针多走90°，分针才能追及时针重合．从3时整到3时x分，分针走过6x度角，时针走过0.5x度角．依题意有6x－0.5x=90 解得：x≈16⑵分针与时针成平角：设3时x分时针、分针成平角，即在后x分钟，分针先要多走90°追及时针，然后还要比时针多走180°．依题意有6x－0.5x=90+180 解得：x≈49⑶分针与时针成直角：应分两种情况讨论．①分针在时针的顺时针方向垂直．此时钟面角为90°．即在后x分钟，分针先要多走90°追及时针，然后还要比时针多走90°．依题意有6x－0.5x=90+90180 解得：x≈33②分针在时针的逆时针方向垂直．此时钟面角为270°．即在后x分钟，分针先要多走90°追及时针，然后还要比时针多走270°．依题意有6x－0.5x=90+90180 解得：x≈65（不合题意，舍去）⒋钟面角的综合应用例4.在一个圆形时钟的表面，OA表示秒钟，OB表示分钟（O为两针的旋转中心）．若现在时间恰好是12点整，问经过多少秒后，△OAB的面积第一次达到最大？分析：△OAB的面积最大，设OA边上的高为h，则h总小于等于OB，只有当OA ⊥OB时，h=OB，此时△OAB的面积最大．12点整，分针、秒针重合，设经过x秒，分针、秒针第一次垂直，△OAB的面积第一次达到最大．此时秒针走过角度为6x，分针走过的角度为0.1x．依题意有6x—0.1x=90 解得x=15即经过15秒后，△OAB的面积第一次达到最大．。
钟面角问题
数学实验——钟面角摘要：“钟面角” 是指时针与分针在某一时刻所成的夹角，通常情况下特指0 180 的那个角 .日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，然而随着电子表的流行，我们对钟表表面上的时针、分针、秒针之间的夹角问题可能并没有在意 .其实钟面角中蕴含着丰富的数学知识，我们一起来探究一下“钟面角”问题吧 . 关键字： 钟面角公式 求法 追及问题一、与钟面有关的知识我们通常把研究时钟上时针与分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢、时钟的 周期、时钟上时针与分针所成的角度等等，这里我们重点探究 “钟面角 ”问题 .要分析钟面角，我们首先要结合其图形特点，寻找并发现它们的变化规律 . （ 1）钟表的表面特点：大多数的钟表表面是一个圆，共有 12 格，每个大格间又有 5 个 小格 .圆形的表面恰好对应着一个 360°的周角，每个大格对应 30°角，而每个小格对应 6°角. 时钟表面一般有时针、分针、秒针三根指针 .（ 2）钟表时针、分针、秒针的转动情况：时针每 12 小时转 1 周，每小时转 1 大格，每12 分钟转 1 小格；分针每小时转 1 周，每 5 分钟转 1 大格，每 1 分钟转 1 小格；秒针每 1 分钟转 1周，每 5秒转 1大格，每 1秒转 1小格.(3)时针、分针、秒针的转速： ①时针的转速为： 30°/小时或 0.5 °/分钟；②分针的转速为： 6°/分钟或 0.1 °/秒；③秒针的转速为 ： 6°/秒 .二、建立求 “钟面角 ”的数学模型1.计算从某一时刻到另一时刻，时针（分针）转过的度数（ 1）公式法：指针转过的度数 =指针转动的时间 指针的速度；（ 2）观察法：从某一时刻指针转过了 a 大格 b 小格，则指针转过的度数为： (30a 6b) .例 1.从 2 点 10 分到 2 点 20 分，时针转过 _____度，分针转过 _____度？ 分析：从 2 点 10 分到 2 点 20 分，经过的时间为 10 分钟 .用公式法：时针转过的角度为： 10 0.5 °=5°，分针转过的角度为： 10 6°=60°.或用观察法：时针转过格数不易观察，可知分针转过了 10 小格，分针转过的角度为：10 6°=60°.2.计算某一时刻时针与分针之间的夹角（钟面角）分 ”为了研究 “ 时n 分”（指用 12 时计时法）时针与分针所成的角，不妨规定： “ 时n mm时针所转动的角度，是指时针从“0时到 m 时 n 分 ”所 转 动 的 角 度 ， 为 ：(60m n) 0.5 30 m 0.5 n ，且有 0 30 m0.5n 360 ；“ 时 n 分 ”分针所转动的角度，m是指分针从 “ 时到 m 时n 分”所转动的角度，为： 6 n ，且有 0 6n 360 .所求的 “钟面角 ”m是指不超过 180°的角，则时针与分针的夹角(0180 ) 为：① 当 30 m 0. 5 n 6 n 180 时，则 30 m 0.5 n 6 n ；② 当 30 m0. 5 n 6 n 180 时，则36030 m 0.5 n 6 n .钟面角（ m 时 n 分）的几种求法：例 2.分别求：（1）2 点 10 分 （2）2 点 20 分（3）2 点 45 分时钟面角的度数 .方法一：运用钟面角公式：解：（1）2 点 10 分时， m 2, n 10 ，302 0.5 10 6 10 5 180 ，故钟面角为5°1（2）2 点 20 分时，m2, n 20 ，30 2 0.5 20 6 20 50 180 ，故钟面角为50°.（3）2 点 45 分时，m2, n 45 ，30 2 0.5 45 6 45 187.5 180 ，故钟面角为 360 187.5 172.5 .方法二：观察法：解：（1）2 点 10 分时（图 1），分针指向整时点 2，此时时针与分针的夹角度数，即为时针从 2 点整到 2 点 10 分转过的度数，为： 10 0.5 °=5°，故钟面角为 5°.（2）2 点 20 分时（图 2），此时时针与分针间隔 1 个大格和若干个小格 .可知 1 大格为 30°，若干小格的度数=1 大格度数—时针从 2 点整到 2 点 20 分转过的度数，即为：30 0.5 20 20 ，故钟面角的度数为： 30 20 50.（3）2 点 45 分时（图 3），此时时针与分针间隔 6 个大格和若干个小格 .可知 1 大格为 30°，若干小格的度数=1 大格度数—时针从 2 点整到 2 点 45 分转过的度数，即为：30 0.5 45 7.5 ，夹角度数为：30 6 7.5 187.5 180 ，故钟面角为360 187.5 172.5 .12 12 1293939 36 6 6图 1 图 2 图 33.求时针、分针成特殊角时所对应的时间2 个人的同向而行的追及问题，不过这里的 2时钟问题可以看作是一个特殊的圆形轨道上个“人”分别是时钟的分针和时针.方程思想：时针、分针成特殊角时对应的时间问题，通常以整点时为基准将时针、分针所转过的角度看成一个追及问题，从而借助方程进行求解 .等量关系：整点后分针转过的角度—整点后时针转过的角度 =整点时分针、时针的夹角（分针需追赶的角度） + m时n分分针与时针的夹角（分针应多转的角度） .例 3.你能利用一元一次方程解决下列问题吗？在 3 时和 4 时之间的哪一个时刻，时钟的时针与分针：（ 1）重合；（2）成直角；（3）成平角 .分析一：不妨设“这个时刻”为“3时n 分”，当3时的时候，时针与分针的夹角为30 3 90 .利用方程中追及问题的思想，可知：（1）如图4，当3 时n分“时针与分针”重合，即“分针追上了时针”，实质上是在相同的时间 n 分钟内，分针比时针多走了90°.等量关系：分针n 分钟转过的角度—时针 n 分钟转过的角度=90°.（2）如图 5，当 3 时n分“时针与分针”成直角时，分针在n分钟内不但追上了时针，而且比时针多走了90°，所以等量关系为：分针n 分钟转过的角度—时针n分钟转过的角度=90 90 180 .（3）如图 6，当 3 时n分“时针与分针”成平角时，分针在n分钟内不但追上了时针，而且比时针多走了180°，所以等量关系为：分针n 分钟转过的角度—时针n分钟转过的角度= 90 180 270 .可知 n 分钟分针转过6 n，时针转过0.5 n，解决例3问题.212 12 1293939 36 6 6图 4 图 5 图 6解法一：（1）如图 4，设 3 时n分，“时针与分针”重合，由等量关系，可得方程6 n 0.5 n 90 ,解得 n 180 .答： 3 时180分时，时钟的时针与分针重合 .11 11（ 2）如图 5，设 3 时n分，“时针与分针”成直角，由等量关系，可得方程6 n 0.5 n 180 ,解得 n 360.答： 3 时360分时，时钟的时针与分针成直角 .11 11（ 3）如图 6，设 3 时n分，“时针与分针”成平角，由等量关系，可得方程6 n 0.5 n 270 ,解得 n 540 .答： 3 时540分时，时钟的时针与分针成平角 .11 11分析二：不妨设“这个时刻”为“3时 n 分”，利用钟面角公式计算.（1）如图4，当时针与分针重合时，此时钟面角为 0°；（2）如图 5，当时针与分针成直角时，此时钟面角为90°；（3）如图 6，当时针与分针成平角时，此时钟面角为 180°.解法二：（ 1）如图 4，设 3 时n分，“时针与分针”重合，列方程30 3 0.5 n 6 n 0 ，解得 n 180.答： 3 时180分时，时钟的时针与分针重合 .11 11（2）如图5，设 3 时n分，“时针与分针”成直角，列方程30 3 0.5 n 6 n 90 ，解得 n1 0, n2 360，其中 n1 0 不合题意，舍去；或者列方程30 3 0.5 n 6 n 270 ，解11得 n1 360, n2720（不合题意，舍去） .11 11答： 3 时360分时，时钟的时针与分针成直角 .11（3）如图 6，设 3 时n分，“时针与分针”成平角，列方程30 3 0.5 n 6 n 180 ，解得 n1 180， n2540，其中 n1180不合题意，舍去 .11 11 11答： 3 时540分时，时钟的时针与分针成平角 .11例 4.小明在晚上6点多钟出门办事，出门时看了一下钟表，此时时针与分针成90°；他于当天晚上 7 点钟之前回家，进门时又看见时针与分针成 90°.问他出去了多长时间？分析一：不妨设时刻为“6时 n 分”，时针与分针成直角.如图7、8，利用钟面角公式，此时钟面角为 90°.解法一：如图 7、8，设 6 时n分，“时针与分针”成直角，列方程30 6 0.5 n 6 n 90 ，解得 n1 180, n2540，可知出门时为 6 时180分，回家时为 6 时540分，故他外出时间为：11 11 11 113540 180 360 分钟 . 12121111 11答：他外出时间为360分钟 . 9 3 911 分析二：设他外出时间为 m 分钟，从图 7 到图 8，分针不但追上了时针，而且比时针多走了 90°.等量关系为：66分针 m 分钟转过的角度 —时针 m 分钟转过的角度 =90°+90°=180°. 图 7图 8解法二：设他外出时间为 m 分钟，可列方程 6 m 0.5 m 180，解得 m360 .11答：他外出时间为360 分钟.114.钟面角的其他应用例 5.在一个圆形时钟的表面， OA 表示秒针， OB 表示分针（ O 为两针的旋转中心） .若现在时间恰好是 12 点整，经过多少秒后， AOB 的面积第一次达到最大？（设 OA 、 OB 的长度均为 r ）分析：设秒针 OA 与分针 OB 所成的角为 ，应有 0 180 ，即 为秒针与分针所成 的钟面角 . 12B可知 S AOB1 OA OB sin1r 2sin ，当 AOB 的面积达到最大时，应有22sin 1,90 .12 点整，分针、秒针重合，设经过 m 秒，分针与秒针第一次9O 垂直（如图 9）， AOB 的面积第一次达到最大 .等量关系为：秒针 m 秒转过的度数 — 分针 m 秒转过的度数 =90°.秒针速度为 6°/秒，分针速度为 0.1 °/秒. 6解：设经过 m 秒，分针与秒针第一次垂直 .可列方程： 6 m0.1 m 90 ，解得 图 9m 1515.59答：经过 1515秒后， AOB 的面积第一次达到最大 .595.钟面角的综合与实践活动探究：●活动 1：（1）在 3 点整的时刻，钟面上的时针与分针所成的角度为多少度？（如图 10）（2）在 3 点整后，经过多少时间两针所成的角首次等于 90°？ (如图 11)（3）在问题（ 2）后，经过多少时间两针所成的角第二次等于 90°？(如图 12) （4）请你计算一下：问题（ 2）、（ 3）中的答案各是多少？解：设经过 n 分，时针与分针成直角，由等量关系，可得方程 6 n 0.5 n 180 , 解得 n360 .11答：经过360分，时钟的时针与分针成直角 .11我们发现问题（ 2）、（3）的答案都是360分钟，这一结论是必然的还是偶然的？换句话问：11如果时针与分针开始所成的角不是直角，那么间隔的时间还相同吗？33A412121212129393 9 3939366666图 10图 11图 12图 13图 14这一理性的思考，自然引出了下面的话题：（5）如果两针所成的角为任意锐角 ，那么是否也有类似的结论呢？（如图 13、图 14） （6）如果两针所成的角为任意钝角 ，或者 =0°，结论又是如何的？ ●活动 2：根据以上活动，你能得到什么一般性的结论吗？设在某一时刻，时针与分针所成的角为 （其中 0 180 ） ①如果时针在分针的前面，设经过 n 分，时针与分针第一次夹角为 ，可得方程6 n 0.5 n2 , 解得 n4 ，即经过 4分钟，两针所成的角再一次为；11 11②如果分针在时针的前面，设经过 n 分，时针与分针第一次夹角为 ，可得方程6 n 0.5 n (3602 ) , 解得 n720 4 ，即经过 720 4分钟，两针所成的角再一次为.1111由这一结论不难解释问题（4）中的疑惑：（ 2）、（3）的答案之所以那么巧合，仅仅是因 为当且仅当 90 时， 4 720 4 也就是说， “间隔相同时间 ”的结论对于其他情形并不1111.成立 .●活动 3：利用我们得出的结论，你还可以解决哪些与钟面角有关的问题？面对熟悉的对象，学生兴趣倍增，通过对中钟表的操作和思考，可以提出并解决更多有价值的问题，比如：①一昼夜，时钟面上时针与分针共垂直多少次？②时钟面上的时针与分针每隔多长时间重叠一次？③在同一天内的 3:00 到 4:00 之间，时钟的时针与分针何时在同一条直线上？三、文章小结通过对 “钟面角 ”问题的简单探索， 掌握关于 “钟面角 ”的知识固然重要， 但有一些关系值得我们关注 .缺乏概念的直观是空虚的， 缺乏直观的概念是盲目的 .课堂上，一味地套用公式计算钟面角，而缺乏学生实质性的智力活动，学生只能沦为做题的机器；在明白原理的基础上，寻求简便的解题思路，更值得我们表彰 .俗话说： “授人以鱼 ”不如 “授人以渔 ”， “结论 ”的真正理解、掌握必须以 “过程 ”为前提，重视 “过程 ”的教学，真正实现教学的价值 .课堂上，作为教学主导的教师，重在展示知识的产生与发展、剖析其结构与脉络，对学生作适当的指引与点拨， “导”应该牵而弗达，教师指导得过于具体或到位，就会弱化甚至干预学生 “体”、“悟”的过程，丧失了一次次独自探索的机会；而作为学习主体的学生，习惯于教师的 “喂养式 ”的教学，知识 “咀嚼 ”烂了才教给学生，学生品尝不到知识原本的滋味、体会不了咀嚼的过程；学生应通过探索，引发学习的兴趣、培养思考的习惯和创新的精神；通过交流，倾听他人、表达自我，培养团结互助的合作精神 .5。
钟面上的角度与时间的关系
钟面上的角度与时间的关系时钟作为人类生活中常见的时间计量工具，其钟面上的角度与时间之间存在着紧密的关系。
通过观察钟面上的角度变化，我们可以推测时间的流逝。
本文将探讨钟面上的角度如何与时间相关联，并讨论其在日常生活中的应用。
一、时钟指针的角度与时间的关系时钟指针通常被分为时针、分针和秒针，它们分别指示小时、分钟和秒钟。
在一个完整的时钟周期中，时针旋转360°，分针旋转360°，而秒针旋转则是每分钟60次，共计360°。
因此，时钟指针的角度变化是与时间的流逝密切相关的。
二、钟面上的角度与时间的测量方法我们可以通过观察钟面上的角度来推测时间的流逝。
首先，我们需要知道起始时间，即时钟指针指向12点的位置。
然后，观察时针和分针指向的位置，通过计算角度的变化来估算经过的时间。
例如，若时针和分针的角度之差为30°，则大致表示时间经过了15分钟（360°/12 = 30°，即1个小时对应30°）。
三、角度与时间的应用1. 时间管理：通过观察钟面上的角度变化，我们可以掌握时间的流逝速度，更好地进行时间管理。
例如，我们可以利用钟面上的角度来判断自己在某项任务上花费了多少时间，以便更好地调整工作进度。
2. 学习效率：在考试或做题时，我们可以利用角度与时间的关系来估算答题时间。
通过观察时钟指针的角度变化，我们可以合理分配时间，提高学习效率。
3. 运动训练：对于一些需要计时的运动训练，例如跑步、游泳等，我们可以利用钟面上的角度来控制运动时间和强度。
这对于提高运动效果和保持良好的训练状态非常有帮助。
4. 旅行规划：在旅行中，我们可以通过观察钟面上的角度变化，了解旅行时间的使用情况，进而更好地规划下一个目的地或活动。
四、心理学角度解读从心理学角度来看，钟面上的角度与时间的关系也体现了人类对时间流逝的感知和认知。
时间的感知是主观的，而观察钟面上的角度变化则是一种客观的方式。
钟面上的数学
C
此外，钟面上 的图形也具有 对称性，例如 罗马数字和刻 度的排列都具
有对称性
5
钟面上的概率
钟面上的概率
在某些情况下，我们可 以通过概率来计算时间
例如，在一个均匀的旋 转轮上，每个数字出现
的概率是相等的
类似地，在钟面上，每 个小时出现的概率也是
相等的
这可以帮助我们更好地 理解时间的分布和概率
这些数学知识不仅帮助我们 准确地表示时间，还让我们 更好地理解时间的概念和分 布
通过观察和分析钟面上的数 学，我们可以发现生活中的 许多有趣的数学现象
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360/60=6度，所以每分钟移动1度
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通过这些角度的变化，我们可以知道当前的时 间
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时钟的进制
时钟的进制
1
钟面上的时间表示采用的是12进制和60进制
例如，一小时是12进制的一个单位，而一分钟是60进
2
制的一个单位
在时钟上，时针和分针的位置以及它们的移动速度都
3
是用这两个进制来表示的
3
时钟上的几何图形
和运动规律
10
钟面上的图形和符号
钟面上的图形和符号
钟面上的图形和符号也是数学的一个重 要方面
例如，时针和分针的形状和长度比例都 符合一定的几何规律
此外，钟面上有时会印有代表不同星座 或文化的图形和符号，这些图形和符号 都具有特定的数学属性和规律
6
总结
总结
钟面上的数学涉及到角度、 进制、几何图形、对称性、 概率、黄金分割、斐波那契 数列、循环和周期等多个方 面
时钟上的几何图形
钟面上的角度与时刻的关系
钟面上的角度与时刻的关系钟面上的角度与时刻之间存在着紧密的关系。
随着时间的推移，时钟指针在钟面上所处的位置不断变化，这种变化与角度息息相关。
本文将探讨钟面上的角度与时刻之间的关系，并分析其中的规律与特点。
一、钟面上的角度钟面通常被划分为12个小时刻度或60个分钟刻度。
以小时为例，每个小时刻度之间的夹角均为30度。
而以分钟为单位，则每个分钟刻度之间的夹角为6度。
钟面上的角度可以用于衡量时钟指针所指位置的精确度与准确性。
二、钟面上的时刻时刻是指时间的具体表达，通常包括小时和分钟。
在钟面上，时刻的表示方式是通过时针和分针的位置来体现的。
时针用于表示小时，而分针则用于表示分钟。
时刻的具体表示形式决定了时钟指针所处位置的特定角度。
三、时刻与角度的关系时刻与角度之间存在着一一对应的关系。
对于时钟指针而言，每个时刻都对应着钟面上的特定角度。
例如，当时钟指针指向12时刻时，即为正午或者午夜，此时时针与钟面的相对位置为0度。
同理，当时钟指针指向6时刻时，即为上午6点或者下午6点，此时时针与钟面的相对位置为180度。
其中，时钟指针与分钟指针之间的相对位置也决定了钟面上的角度。
当时钟指针与分钟指针重合时，即为整点时刻，此时钟面上的角度较为规整，如0度、30度、60度等。
而在整点之间的时刻，时钟指针与分钟指针之间的夹角则呈现出连续变化的趋势。
四、钟面上角度规律的探索通过观察钟面上的角度与时刻之间的关系，我们可以发现一些规律与特点。
首先是整点时刻的角度较为规整，时钟指针与分钟指针之间的夹角为0度、30度、60度等等。
其次，在整点之间的时刻，时钟指针与分钟指针之间的夹角会呈现出均匀变化的趋势。
在特定的时刻角度上，我们可以进一步观察钟面上指针的相对位置。
例如，当时刻为3点（或者9点）时，时钟指针与分钟指针之间的夹角为90度。
而当时刻为6点时，时钟指针与分钟指针之间的夹角为180度。
这些角度的规律性不仅存在于小时刻度上，也可以在分钟刻度上观察到。
七年级数学钟面角问题
七年级数学钟面角问题钟面角问题是一个经典的数学问题，通常涉及到时钟的时针、分针和秒针之间的角度关系。
以下是一些常见的七年级数学钟面角问题及其解答：1. 基本概念一圈完整的钟面是360度。
时针每小时移动30度（因为360度/12小时 = 30度/小时）。
分针每小时移动360度（因为分针是用来计分的，每小时刚好走完一圈）。
秒针每分钟移动360度（因为1分钟=1/60小时，所以每分钟移动360度/60 = 6度）。
2. 问题与解答1. 问题：如果现在是3点整，那么时针和分针之间的角度是多少？解答：时针在3点的位置，所以它移动了3小时× 30度/小时 = 90度。
分针在12点的位置，所以它移动了0小时× 360度/小时 = 0度。
因此，两者之间的角度差是90度 - 0度 = 90度。
2. 问题：如果现在是5点45分，那么时针和分针之间的角度是多少？解答：到5点，时针移动了5小时× 30度/小时 = 150度。
到45分，时针又额外移动了45分钟× 度/分钟 = 度（因为1小时=60分钟，所以度= 1/2 × 30度/小时）。
所以总共是150度 + 度 = 度。
分针移动了45分钟× 6度/分钟 = 270度（因为45分钟=3/4小时，所以270度= 3/4 × 360度/小时）。
因此，两者之间的角度差是度 - 270度 = -度。
由于答案应为正值，取其绝对值度。
3. 问题：如果现在是1点30分，那么时针、分针和秒针之间的角度是多少？解答：到1点，时针移动了1小时× 30度/小时= 30度。
到30分，时针又额外移动了30分钟× 度/分钟 = 15度。
因此，时针总共是30度 + 15度 = 45度。
到30分，分针移动了30分钟× 6度/分钟 = 180度（因为30分钟=1/2小时，所以180度= 1/2 × 360度/小时）。
七年级钟面角知识点总结
七年级钟面角知识点总结钟面角，是我们学习初中数学中的一个基本概念，也是有关平面图形的一个特殊现象。
在这篇文章中，我们将详细讨论七年级钟面角知识点，让读者对此更深入了解。
1. 什么是角度？在学习钟面角之前，我们首先需要了解一些基础概念。
角度是描述物体或者图形旋转的一个量，常用弧度或者角度表示。
其中1弧度等于 $180^{\circ}/\pi$ 度。
在初中数学中，我们通常使用角度进行计算。
2. 顺时针角和逆时针角对于一个平面图形，在平面上可以有无数个角，而顺时针角和逆时针角也是其中的一类。
顺时针角从初始边旋转到终止边需要逆时针旋转一定的角度，而逆时针角则相反。
当两个边的方向相同时，两角互为补角；反之，两角互为余角。
3. 钟面角钟面角是指顺时针旋转一个图形时，初始边与终止边之间的角度。
例如，一条线段在平面图形上沿着一个径向逆时针运动，它所穿过的角度就是钟面角。
这种角度的度数通常大于180度，它可以通过计算180度以内的余角或补角来求得。
4. 钟面角的应用钟面角可以用来计算各种图形的角度。
在初中数学中，我们通常使用钟面角来计算一些常见的平面图形的角度值。
例如，一个正三角形的每个内角是60度，可以通过计算钟面角来验证这一点。
另外，在物理学和工程学领域，钟面角也有广泛的应用。
5. 总结以上是我们对七年级钟面角知识点的详细总结。
通过这篇文章，我们相信读者已经对钟面角有了更深入的了解，并且能够更好地应用它来解决相关的问题。
钟面角是初中数学中的一个基础概念，也是掌握几何学的必要条件之一，希望读者能够在今后的数学学习中注重这个知识点，掌握它的应用方法，从而更好地掌握初中数学。
详说细品“钟面角”问题
详说细品“钟面角”问题钟与我们的生活息息相关．其实钟面角中也蕴涵着丰富的数学知识，下面来探究一下与“钟面角”相关的问题吧．一、理解“钟面角”1.钟表的表面特点：钟表的表面都是一个圆形，共有12个大格，每个大格间有5个小格．圆形的表面恰好对应着一个周角360°，每个大格对应360=1230°角，每个小格对应360=1256°角．表面一般有时针、分针、秒针三根指针．2.钟表时针、分针、秒针的转动情况：时针每小时转1大格，每12分钟转1小格，每12个小时转1个圆周；分针每5分钟转一大格，每1分钟转1小格，每小时转1个圆周；秒针5秒钟转1大格，每1秒钟转1小格，每1分钟转一个圆周．3.时针、分针、秒针的转速：有了以上的理解，我们很容易计算出相对应指针的转速：①钟表的时针转速为：30°/小时或0.5°/分钟；②分针的转速为：6°/分钟或0.1°/秒钟；③秒针的转速为：6°/秒．二、解决与钟面角相关的数学问题⒈计算从某一时刻到另一时刻，时针（分针）转过的角度⑴公式法：时（分）针从某一时刻到另一时刻转过的角度＝时（分）针转过的时间×时（分）针的转速（注意统一单位）．⑵观察法：若时（分）针转过了a大格b小格，则时（分）针从某一时刻到另一时刻转过的角度为：（30a+6b）°．例1.⑴从3：15到7：45，时针转过度．⑵从1：45到2：05，分针转过度．解析：⑴从3：15到7：45，时针走过的时间为4.5小时（270分钟），∴时针转过的角度为：4.5×30°＝135°（或270×0.5°＝135°）或用观察法：时针共走了4大格2.5小格，∴时针转过的角度为：4×30+2.5×6＝135°．⑵从1：45到2：05，分钟走过的时间为20分钟，∴分针转过的角度为：20×6°＝120°．或用观察法：分针共走了4个大格（或20小格）∴分针转过的角度为：4×30°＝120°（或：20×6°＝120°）．⒉计算某一时刻时针（分针）与分针（秒针）之间的夹角⑴求差法：以0点（12时）为基准到某一时刻止，时针转过的角度与分针在整点后的时间转过的角度差，即时针、分针之间的夹角．⑵观察法：某一时刻时针、分针相差a个大格b个小格，时针分针的钟面角＝30a+6b°．例2．⑴4：00点整，时针、分针的夹角为．⑵11：40，时针、分针的夹角为．解析：⑴4：00整，时针、分针相差4个大格，夹角为：4×30°＝120°．⑵①作差法：11：40，以0点（12时）为基准时针转过的角度为：1123×30°＝350°分针转过的角度为：40×6°＝240°∴时针、分针的夹角为：350°－240°＝110°②观察法：11：40分针、时针相隔323个大格，∴时针、分针的夹角为：323×30°＝110°⒊求时针、分针成特殊角时对应的时间方程思想：时针、分针成特殊角时对应的时间问题，通常以0点（12时）为基准将时针、分针所转过的角度可看成一个追及问题，从而借助方程实行求解．相等关系：①整点后分针转过的角度－整点后时针转过的角度＝整点时分针、时针的夹角（分针需追赶的角度）+a时x分分针与指针的夹角（分针应多转的角度）②或：分针整点后转过的角度—时针从0点基准到现在时刻转过的角度＝所成的特殊角例3．时或时整，钟面上时针和分针组成直角，时整，时针和分针组成平角．分析：根据直角和平角的含义：等于90°的角叫直角；等于180°的角叫平角；并结合实际，时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格的度数是30度，整时，分针指向12，当时针指向3或9时，夹角是90度，当时针指向6时，夹角是180度，由此实行点评：本题考查钟表分针所转过的角度计算．钟表里的分钟与时针的转动问题本质上与行程问题中的两人追及问题非常相似．行程问题中的距离相当于这里的角度；行程问题中的速度相当于这里时（分）针的转动速度．。
钟面角知识点总结
钟面角知识点总结钟面角是高中数学中的一个重要概念，它是指在钟面上两个相邻刻度之间的角度。
在日常生活中，我们经常会看到钟面上的时针、分针和秒针，它们的运动轨迹形成的角度就是钟面角。
而在数学中，我们不仅要学习如何计算钟面角，还要了解钟面角和其他角度概念之间的关系，以及钟面角的应用。
在本文中，我将对钟面角的基本概念、计算方法、性质和应用进行详细介绍，以帮助读者更好地理解和运用这一概念。
一、基本概念1.1 钟面角的定义钟面角是指时钟表盘上相邻两个刻度之间所夹的角度。
通常来说，一个小时的时钟表盘被分成360°/12=30°等分，故钟面角常见的为30°、60°、90°、120°、150°、180°、210°、240°、270°、300°和330°。
1.2 钟面角的符号表示表达钟面角的常用符号为“（小时数）：（分钟数）”，例如3:30表示时针指向3时，分针指向6时，它们的夹角为90°。
另外，我们也可以使用“时针时刻数的一部分”和“分针时刻数”的差来表示钟面角，例如对于3:30，我们可以说它是“时刻数的一部分”角和“分针时刻数”的差角，即3/30-9/30=1/4。
1.3 钟面角的类型根据相应角大小的不同，钟面角可以分为各种类型，常见的有直角、钝角、锐角。
1.4 钟面角的度量方法钟面角的度量可以通过几何绘图、三角函数或者时钟等方法来完成，不同的度量方法适用于不同的问题场景。
二、计算方法2.1 直接计算最简单的计算钟面角的方法是直接计算，即根据时针和分针所指的刻度数来计算它们之间的角度。
例如对于3:30的钟面角，时针和分针分别指向3和6处，故它们夹角为90°。
2.2 公式计算除了直接计算外，我们还可以利用一些钟面角的计算公式来进行计算。
根据时针和分针的指向刻度数，我们可以得到夹角的计算公式为：夹角=|30*时针刻度数-11/2*分针刻度数|例如对于3:30的钟面角，根据公式计算得到角度为90°，结果与直接计算一致。
钟面上的角课后点评
——钟面上的角
目录
一、课程介绍：《钟表圆盘上的数学》
二、《钟面上的角》
三、发展与提升
01 课程介绍：《钟表圆盘上的数学》
该课程年级 钟面知识学习基础上 的延伸、补充、拓展 和整合。
培养学生思维的多维 性，并提升学生的观 察力、思考力与推理 能力。
谢谢！
03 发展与提升
01
打通知识关联，实现综合性
学生的知识网络会逐步建构，知识结构会更加 优化。真正做到在培养学生思维多维性的同时， 提升学生的观察力、思考力与推理能力。
02
加强自主探究，激活创新性
不仅要考虑学生直接经验的获得，更要把着眼 点放在学生的学习兴趣和学习方法上，引导学 生自主提问、自主发现、自主探究，培养他们 的创新意识和素养。
02 《钟面上的角》
01
02
03
利用已有的钟面及角 的知识，探究发现钟 面上一大格、一小格 所对应的角度。
3:00。通过发现问题——分 析验证——解决问题。明 确：在关注时针和分针夹 角度数的时候，也需关注 时针和分针之间的运转关 系。
提升研究120度的时 间。发现：分针转动 的速度是时针的12倍。
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钟面上的角
一、认识“钟面角”
要分析钟面角，我们首先要结合其图形特点，寻找并发现它们的变化规律．
⑴钟表的表面特点：钟表的表面都是一个圆形，共有12个大格，每个大格间有5个小格．
圆形的表面恰好对应着一个周角360°，每个大格对应30°角，每个小格对应6°角．
表面一般有时针、分针、秒针三根指针．
⑵钟表时针、分针、秒针的转动情况：
时针每小时转1大格，每12分钟转1小格，每12个小时转1个圆周；
分针每5分钟转一大格，每1分钟转1小格，每小时转1个圆周；
秒针5秒钟转1大格，每1秒钟转1小格，每1分钟转一个圆周．
⑶时针、分针、秒针的转速：有了以上的认识，我们很容易计算出相应指针的转速：
①表的时针转速为：30°/小时或0.5°/分钟；
②分针的转速为：6°/分钟或0.1°/秒钟；
③秒针的转速为：6°/秒．
二、解决与钟面角有关的数学问题
⒈计算从某一时刻到另一时刻，时针（分针）转过的角度
⑴公式法：时（分）针从某一时刻到另一时刻转过的角度=时（分）针转过的时间×时（分）针的转速（注意统一单位）．
⑵观察法：若时（分）针转过了a大格b小格，则时（分）针从某一时刻到另一时刻转过的角度为：30a+6b°．
例1.⑴从3：15到7：45，时针转过度．
⑵从1：45到2：05，分针转过度．
分析：⑴从3：15到7：45，时针走过的时间为4.5小时（270分钟），
∴时针转过的角度为：4.5×30°=135°（或270×0.5°=135°）或用观察法：时针共走了4大格2.5小格，∴时针转过的角度为：4×30+2.5×6=135°．⑵从1：45到2：05，分钟走过的时间为20分钟，∴分针转过的角度为：20×6°=120°．
或用观察法：分针共走了4个大格（或20小格）∴分针转过的角度为：4×30°=120°（或：20×6°=120°）．
⒉计算某一时刻时针（分针）与分针（秒针）之间的夹角
⑴差法：以0点（12时）为基准到某一时刻止，时针转过的角度与分针在整点后
的时间转过的角度差，即时针、分针之间的夹角．
⑵观察法：某一时刻时针、分针相差a个大格b个小格，时针分针的钟面角=30a+6b°．
例2．⑴4：00点整，时针、分针的夹角为．
⑵11：40，时针、分针的夹角为．
分析：⑴4：00整，时针、分针相差4个大格，夹角为：4×30°=120°．
⑵①作差法：11：40，以0点（12时）为基准
时针转过的角度为：11×30°=350°
分针转过的角度为：40×6°=240°
∴时针、分针的夹角为：350°－240°=110°
②观察法：11：40分针、时针相隔3个大格，
∴时针、分针的夹角为：3×30°=110°
⒊求时针、分针成特殊角时对应的时间
方程思想：时针、分针成特殊角时对应的时间问题，通常以0点（12时）为基准将时针、分针所转过的角度可看成一个追及问题，从而借助方程进行求解．
相等关系：①整点后分针转过的角度－整点后时针转过的角度=整点时分针、时针的夹角（分针需追赶的角度）+a时x分分针与指针的夹角（分针应多转的角度）
②或：分针整点后转过的角度—时针从0点基准到现在时刻转过的角度=所成的特殊角
例3．你能用一元一次方程解决下面的问题吗？（课本习题P114页第8题）
在3时和4时之间的哪个时刻，钟的分针与时针：⑴重合；⑵成平角；⑶成直角．
分析：⑴重合：设3时x分时针、分针重合．3时整，时针、分针的夹角为90°．即在后x分钟，分针要比时针多走90°，分针才能追及时针重合．
从3时整到3时x分，分针走过6x度角，时针走过0.5x度角．依题意有
6x－0.5x=90 解得：x≈16
⑵分针与时针成平角：设3时x分时针、分针成平角，即在后x分钟，分针先要多走90°追及时针，然后还要比时针多走180°．依题意有
6x－0.5x=90+180 解得：x≈49
⑶分针与时针成直角：应分两种情况讨论．
①分针在时针的顺时针方向垂直．此时钟面角为90°．即在后x分钟，分针先要多走90°追及时针，然后还要比时针多走90°．依题意有
6x－0.5x=90+90180 解得：x≈33
②分针在时针的逆时针方向垂直．此时钟面角为270°．即在后x分钟，分针先要多走90°追及时针，然后还要比时针多走270°．依题意有
6x－0.5x=90+90180 解得：x≈65（不合题意，舍去）
⒋钟面角的综合应用
例4.在一个圆形时钟的表面，OA表示秒钟，OB表示分钟（O为两针的旋转中心）．若现在时间恰好是12点整，问经过多少秒后，△OAB的面积第一次达到最大？
分析：△OAB的面积最大，设OA边上的高为h，则h总小于等于OB，只有当OA ⊥OB时，h=OB，此时△OAB的面积最大．
12点整，分针、秒针重合，设经过x秒，分针、秒针第一次垂直，△OAB的面积第一次达到最大．此时秒针走过角度为6x，分针走过的角度为0.1x．依题意有
6x—0.1x=90 解得x=15
即经过15秒后，△OAB的面积第一次达到最大．。