高等数学上试题与标准答案分析.doc

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华南农业大学期末考试试卷（
A 卷）
2016~2017学年第 1 学期
考试科目：高等数学 A Ⅰ
考试类型：（闭卷）考试
考试时间：
120 分钟
学号 姓名
年级专业
题号 一 二 三 四 总分
得分
评阅人
得分
一、填空题（本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分）
1．函数 y
ln
1
x 1 x 2 的定义域是。

1 x
2．设 y arcsin x ，则 dy = 。

3． lim(
x
a ) x。

x
x a
4．不定积分
e x
dx =。

e 2x
1
5．反常积分
1
dx = 。

1
x(x 1)
得分
二、单项选择题 （本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分）
sin 1
, x
1．设 f (x)
x
，那么 lim f ( x) 不存在的原因是
（
）
x sin 1
,
x
x 0
x
A ． f (0) 无定义
B
． lim f (x) 不存在
x 0
C ． lim f ( x) 不存在
D ． lim f ( x) 和 lim f (x) 都存在但不相等
x 0
x 0
x 0
2．设偶函数 f ( x) 二阶可导，且 f ''(0)
0 ，那么 x 0
（ ）
.
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A ．不是 f ( x) 的驻点
B
．是 f (x) 的不可导点
C ．是 f ( x) 的极小值点
D
．是 f (x) 的极大值点
3．设 (x) x 2 sin t
2
dt ，则 '( x)
（
）
A ． 2xsin x 4
B
． 2x sin x 2
C
． 2x sin x 2
D
． 2 x sin x 4
4．下列函数中不是函数 sin 2x 的原函数的有 ．1
（ ） A ． 2 x B ． 2
x C D
．
1
cos2x
sin cos sin 2x
2 2
5．求由曲线 xy a 与直线 x a ， x 2a （ a
0 ）及 y
0 所围成的图形绕 y
轴旋转一周所生成的旋转体的体积。

（
）
A ． 1
a
B
． a
C
． 1 a 2
D
． 2 a 2
2
2
得分
三、计算题（本大题共 7小题，每小题 7分，共 49分）
1. 求极限 lim
cos(sinx) 1 。

x 0
3x 2
2. 设 f ( x)
x 2 , x 1
，试确定 a ， b 的值，使得 f ( x) 在 x 1 可导。

ax b,
x 1
x a(t sin t)
确定 y 是 x 的函数，求
dy
和
d 2 2
y。

3. 设参数方程
a(1 cost ) y dx dx
.
精品文档4．计算不定积分(ln x) 2 dx 。

5．设方程e y sin( x y) 确定隐函数 y y( x) 并满足 y( ) 0 ，求 y '。

2x 2
6．设曲线y ax3bx2cx 2 在x 1 处有极小值 0 ，且(0, 2)为拐点，求a, b, c的值。

1 x
7．计算定积分dx 。

1 5 4x
.
精品文档得分
四、解答题（本大题共 3小题，每小题 7分，共 21分）
e
1．证明不等式：当x 1 时， e x( x21)。

2．一抛物线的轴平行于x 轴，开口向左且通过原点与点(2,1) ,求当它与y轴所围的面积最小时的方程。

3. 已知函数 f ( x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 f (0) 0 ， f (1) 1。

证明：（1）存在(0,1) ，使得 f ( ) 1；（2）存在两个不同的点，(0,1) ，使得f ( ) f ( ) 1 。

.
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华南农业大学期末考试试卷（
A 卷）
2016~2017学年第 1 学期 考试科目：高等数学 A Ⅰ参考答案
一、填空题（本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分）
1． [ 1,1] 2 ．
1 dx 3 ． e
2 a 4 ． arctan e x C 5 ． ln 2
2 x x 2
二、单项选择题 （本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分）
1．C 2 ．C 3 ． A 4 ．C 5 ． D
1.5CM
三、计算题（本大题共 7小题，每小题 7分，共 49分）
1
lim cos(sin x) 1。

. 求极限
2
x 0
3x
解： lim cos(sin x)
1 lim
sin(sin x)cos x
．．．．．．．．．．．．．．．．2 分
x 0
2
x 0
6x
3x
=
1
lim cos x lim [
sin(sin x) sin x
] ．．．．．．．．．．．．．．．5 分
6 x 0
x 0
sin x x
= 1 ．．．．．．．．．．．．．．．．7 分
6
2. 设 f ( x)
x 2
, x 1
，试确定 a ， b 的值，使得 f ( x) 在 x 1 可导。

ax b, x 1
解：因为
lim f ( x)
lim x 2
1 ．．．．．．．．．．．．．．．． 1 分
x 1
x 1
lim f ( x) lim (ax b) a b ．．．．．．．．．．．．．．．．2 分
x 1
x 1
而 f (1) 1，因为 f ( x) 在 x
1处连续，所以 lim f (x)
lim f ( x)
f (1)，故
x 1
x 1
a b 1．．．．．．．．．．．．．．．． 3 分
f ' (1) lim f (1 x)
f (1) lim (1 x) 2 1 2 ．．．．．．．．．．．．．．．．4.5 分
x 0
x
x 0
x
f ' (0) lim f (1 x)
f (1) lim a(1 x)
b 1 a ．．．．．．．．．．．．．．．．6 分
x 0
x
x 0
x
因为 f ( x) 在 x 1 处可导，所以 f ' (1) f ' (1)， 从而 a 2 ，所以
b 1．．．．．．．．．．．．．．．． 7 分
3. 设参数方程 x a(t sin t)
确定 y 是 x 的函数，求 dy
和 d 2 y 。

y a(1 cost) dx dx 2
.
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解：dy
a sin t sin t cot
t
．．．．．．．．．．．．．．．．3分dx a(1 cost) 1 cost 2
d 2
y
(cot
t
)'
2 ．．．．．．．．．．．．．．．．5 分
dx 2 [ a(t sin t)]' 1csc2 t
2 2
a(1cost )
1
csc4t ．．．．．．．．．．．．．．．． 7 分
4a2
4．计算不定积分(ln x) 2 dx 。

解：(ln x)2 dx x(ln x)2 xd (ln x)2．．．．．．．．．．．．．．．．2分
x(ln x)2 2 ln xdx ．．．．．．．．．．．．．．．．4 分
x(ln x) 2 2x ln x 2 xd ln x ．．．．．．．．．．．．．．．．6 分
x(ln x)2 2x ln x 2x C ．．．．．．．．．．．．．．．．7分
5. 设方程e y sin( x y) 确定隐函数 y y(x) 并满足 y( ) 0，求 y ' 。

2 2
x 解：方程两边对 x 求导，得
e y y ' cos(x y) (1 y') ．．．．．．．．．．．．．．．．3分
y'
cos( x y)
．．．．．．．．．．．．．．．．5 分e y cos( x y)
又 x ，得 y 0 ，．．．．．．．．．．．．．．．．6分
2
代入得
y ' =0 ．．．．．．．．．．．．．．．． 7 分
x
2
6．设曲线y ax3 bx2 cx 2 在x 1处有极小值0，且 (0, 2) 为拐点，求 a, b,c 的值。

解： y ' 3ax 2
c,．．．．．．．．．．．．．．．．1分2bx
.
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y '' 6ax
2b, ．．．．．．．．．．．．．．．． 2 分
由题意得
a b c 2
a 0
b 0
c 0 2 2
．．．．．．．．．．．．．．．．6 分
3a 2b c 0
6a 0
2b 0
解得 a 1,
b 0, c
3．．．．．．．．．．．．．．．．7 分
7．计算定积分 1
x
dx 。

1
5 4x
解：令 t
5 4x ，则 dx
1
tdt ．．．．．．．．．．．．．．．．1 分
2
5 t 2
1
x
1
1
5
4x
dx
3
4
(
1
t )dt ．．．．．．．．．．．．．．．． 3 分
t 2
1 1 t
2 )dt ．．．．．．．．．．．．．．．．4 分 8
(5
3
1
(5t 1
t 3 ) 13 ．．．．．．．．．．．．．．．．6 分
8 3
1
．．．．．．．．．．．．．．．．7 分
6
1.5CM
四、解答题 （本大题共 3小题，每小题 7分，共 21分） 1．证明不等式：当 x 1 时， e
x
e
( x 2 1)。

e x e ( x 2
2
证明：设 f ( x)
1) ( x 1)．．．．．．．．．．．．．．．．1 分
2
f '( x) e x ex ．．．．．．．．．．．．．．．．2 分
所以 f ''(x) e x e 0 ．．．．．．．．．．．．．．．．3 分
所以 f '(x)
e x ex 单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．4 分
当 x 1 时， f '( x) f
'(1) 0 ．．．．．．．．．．．．．．．．5 分
所以当 x 1 时， f ( x) e x e ( x 2 1) ( x 1)单调递增．．．．．．．．．．．．．．6 分
2
所以当 x 1 时， f ( x)
f (1)，即 e x e (x 2 1)．．．．．．．．．．．．．． 7 分 2 2．一抛物线的轴平行于
x 轴，开口向左且通过原点与点 (2,1) , 求当它与 y 轴所
.
精品文档围的面积最小时的方程。

解：设 x ay 2 by c ．．．．．．．．．．．．．．．．1分
它通过原点，因此 c 0 ．．．．．．．．．．．．．．．． 2 分
又通过 (2,1) ，所以b 2 a ．．．．．．．．．．．．．．．．3 分
所以满抛物线为 x ay2 (2 a) y (a 0)
这抛物线与 y 轴的另一交点是(0,1 2 ) ．．．．．．．．．．．．．．．．4分
a
它与 y 轴所围面积为
S( a) 1 2
(2 a) y]dy 4 2 1
a
．．．．．．．．．．．．．．．． 5 分0
a [ ay2
2
3a a 6
令 S '(a)
8 2 1
0 3a3 a2 6
得 a 4, a 2 （舍）．．．．．．．．．．．．．．．．6分
所以 x 4 y2 6 y ．．．．．．．．．．．．．．．．7分
3．已知函数 f ( x)在[0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 f (0) 0 ， f (1) 1 。

证明：（ 1）存在(0,1) ，使得 f ( ) 1；（2）存在两个不同的点，(0,1) ，使得f ( ) f ( ) 1 。

解：（1）令g (x) f ( x) x 1 ，．．．．．．．．．．．．．．．． 2 分
则 g ( x) 在 [0,1] 上连续，且 g(0) 1 0 ， g (1) 1 0 ，
故由零点定理知存在(0,1) ，使得 g ( ) f ( ) 1 0 ，即f ( ) 1 。

．．．．．．．．．．．．．．．．3 分
（ 2）由题设及拉格朗日中值定理知，存在(0, ) ，( ,1) ，使得
f ( ) f ( ) f (0) 1 ，．．．．．．．．．．．．．．．．5 分
f ( ) f (1) f ( ) 1 (1 ) ，
1 1 1
从而 f ( ) f ( ) 1 1 ．证毕．．．．．．．．．．．．．．．．．7 分
1
.。