二阶系统的性能指标
机械工程控制基础29_二阶系统的性能指标
机械工程控制基础29_二阶系统的性能指标二阶系统是指具有两个自由度的机械工程控制系统。
在控制系统理论中，衡量系统性能的指标有许多，比如超调量、调节时间、稳态误差等。
下面将详细介绍二阶系统的性能指标。
一、超调量：超调量是指过渡过程中输出量超过稳态值的最大偏离量。
对于二阶系统而言，其超调量可以通过过冲幅值与稳态值的差进行计算。
具体公式如下：超调量(%)=(过冲幅值-稳态值)/稳态值×100超调量主要反映了系统在过渡过程中的动态性能，是指标中最容易获取的。
二、调节时间：调节时间是指系统输出量从初始稳态值到达稳态值所需要的时间。
对于二阶系统而言，其调节时间通常从过渡过程的时间t1开始计算。
具体公式如下：调节时间=t2-t1其中，t2表示系统输出量进入超定态的时刻。
三、上升时间：上升时间是指系统输出量从初始稳态值到达稳态值所需要的时间，也即是调节时间的一部分。
对于二阶系统而言，上升时间是系统输出量从过渡过程的时间t1到达过冲幅值和稳态值之间的时间间隔。
四、峰值时间：峰值时间是指系统输出量达到过冲幅值或者偏离过冲幅值最远的时刻。
对于二阶系统而言，峰值时间是系统从过渡过程的时间t1到达过冲幅值的时间间隔。
五、稳态误差：稳态误差是指系统输出量在稳态下与期望输入量之间的偏差。
对于二阶系统而言，稳态误差可以通过比较系统稳态值与期望输入量来计算。
稳态误差主要反映系统的静态性能，也即系统对于不同输入的输出表现。
综上所述，二阶系统的性能指标主要包括超调量、调节时间、上升时间、峰值时间和稳态误差。
这些指标可以通过理论计算、仿真分析和实验测试等方法来获取，用于评估和比较不同二阶系统的控制性能。
在实际应用中，根据具体需求和控制要求，可以通过调整系统参数和控制策略等来改善系统的性能指标，并使系统能够更好地满足要求。
闭环系统的频域性能指标
wn2
_ s(s 2wn )
C(s)
G( j)
2 n
2 n
(900 arctan )
j( j 2 n ) 2 4 2 2
2 n
n
由 c定义（P199式（5-99））
c n(
1
4 4 1 2 2 ) 2
相角裕度：
ห้องสมุดไป่ตู้ 1800
G( jc )
arctan2n c
arctan[2
(
4
2、对高频噪声必要的滤波特性。
为了使系统能够精确地跟踪任意输入信号，系统必须具 有大的带宽。但是，从噪声的观点来看，带宽不应当太大。 因此，对带宽的要求是矛盾的，好的设计通常需要折衷考虑。 具有大带宽的系统需要高性能的元件，因此，元件的成本通 常随着带宽的增加而增大。
03:57
3
二、闭环系统频域指标和时域指标的转换
03:57
1
（2）二阶系统
(s)
n2
s 2 2 n s n 2
( j)
1
(1
2
2 n
)2
4
2
2
2 n
根据带宽定义：
20 lg ( jb ) 20 lg ( j0) 3 0 3 20 lg
1 2
代入上式，求得：
1
b n[(1 2 2 ) (1 2 2 )2 1]2
带宽与自然频率 n 成正比，与阻尼比 成反比。
由前面分析知，b与系统响应速度成正比关系，因此 c 也可用来衡
量系统的响应速度，且也与系统响应速度成正比关系。
03:57
4
系统闭环频率特性幅值的最大值称为谐振峰值 Mr
由于系统闭环振荡性能指标 Mr 和开环指标相角裕度 都能表征系统 的稳定程度，因此，建立 Mr 和 的近似关系。
自动控制理论时域分析2--二阶系统
4．调整时间 t s（又称过渡过程时间） ：响应曲线达到并 保持与稳态值之差在预定的差值△内（又叫误差带 ）所 需要的时间。一般△取±2%或±5%。
二、二阶系统的动态响应性能指标 （1）峰值时间 t P
因为
c (t ) 1 e nt 1
2
sin( d t )
t n p d
dc ( t ) dt
d p
0
ttp
e sin( t ) e cos( t ) 0
t n p n d p
整理得：
tg ( ) dtp
12
p t p 0, ,2 ,3
n
0 Re
s1
s2
0
Re
s2
s1
0
Re
0
Re
s2
(a) 0 1 (b) 1 (c) 1 (d) 0
特征根为：共扼复数 特征根为：
相等实数
不等实数
共扼虚数
1．欠阻尼情况 :
( 0 1 )
2
s n 1 1 , 2 n
s j 1 , 2 n d
c ( t) 1 cos t n
c (t )
( 0)
(t 0)
2
1
0
t
这是一条等幅振荡曲线。
( 0)
c (t )
1
c (t ) r (t )
2
1
1
c (t )
0
t
0
t
( 0 1 )
1
r (t )
二阶系统的性能指标
●二阶系统的性能指标控制系统的时域性能指标控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定量指标，是定量分析的基础。
系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶跃响应进行定义。
常见的性能指标有：上升时间tr、峰值时间tp、调整时间ts、最大超调量Mp、振荡次数N、稳态误差e ss。
✓上升时间tr (rise time)响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间。
对无超调(过阻尼)系统，上升时间一般定义为响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。
✓峰值时间tp (peak time)响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。
调整时间ts (settling time)响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值的2%或5%）内所需的时间。
❑评价系统稳定性的性能指标❑最大超调量Mp (maximum overshoot)响应曲线的最大峰值与稳态值之差。
通常用百分数表示：✓振荡次数N在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。
评价系统准确性的性能指标✓稳态误差e ss系统进入稳态后期望值与实际值之差。
▪二阶系统的动态性能由ωn和ξ决定。
增加ξ可以降低振荡，减小超调量Mp 和振荡次数N ，但系统快速性降低，tr、tp增加；ξ一定，ωn越大，系统响应快速性越好，tr、tp、ts越小。
▪通常根据允许的最大超调量来确定ξ。
ξ一般选择在0.4~0.8之间，然后再调整ωn以获得合适的瞬态响应时间。
系统的误差分析和计算误差定义：理想输出与实际输出的差。
误差组成与分析在过渡过程中，瞬态误差是误差的主要部分，但它随时间逐渐衰减，稳态误差逐渐成为误差的主要部分。
误差产生的原因：内因：系统本身的结构。
外因：系统输入量及其导数的连续变化。
二阶系统的性能指标分析(DOC)
邢台学院物理系《自动控制理论》课程设计报告书设计题目:二阶系统的性能指标分析专业:自动化班级:学生姓名:学号:指导教师:2013年3 月24 日邢台学院物理系课程设计任务书专业：自动化班级：2013年3 月24 日摘要二阶系统是指由二阶微分方程描述的自动控制系统。
例如，他励直流电动机﹑RLC电路等都是二阶系统的实例。
二阶系统的性能指标分析在自动控制原理中具有普遍的意义。
控制系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标，动态性能指标又可分为随动性能指标和抗扰性能指标。
稳态过程性能稳态误差是系统稳定后实际输出与期望输出之间的差值本次课程设计以二阶系统为例，研究控制系统的性能指标。
关键词：二阶系统性能指标稳态性能指标动态性能指标稳态误差调节时间目录1.二阶系统性能指标概述 02. 应用模拟电路来模拟典型二阶系统。
03.二阶系统的时间响应及动态性能 (3)3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类 (3)3.3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算 (4)3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算 (6)3.3.4 改善二阶系统动态性能的措施 (13)4. 二阶系统性能的MATLAB 仿真 (17)5 总结及体会 (18)参考文献 (18)1.二阶系统性能指标概述二阶系统是指由二阶微分方程描述的自动控制系统。
例如，他励直流电动机﹑RLC 电路等都是二阶系统的实例。
二阶系统的性能指标分析在自动控制原理中具有普遍的意义。
控制系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标，动态性能指标又可分为随动性能指标和抗扰性能指标。
稳态过程性能稳态误差是系统稳定后实际输出与期望输出之间的差值2. 应用模拟电路来模拟典型二阶系统。
1．2—l 是典型二阶系统原理方块图，其中T0＝1秒；T1＝0.1秒；K1分别为10；5；2.5；1。
开环传递函数为：)1()1()(11101+=+=S T S K S T S T K S G （2－1）其中，==1T K K 开环增益。
欠阻尼二阶系统动态性能指标计算
欠阻尼二阶系统动态性能指标计算§3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算)10(<≤ξ1． 欠阻尼二阶系统极点的两种表示方法（1） 直角坐标表示n n d j j ωξξωωσλ22,11-±-=±=（2）“极”坐标表示⎩⎨⎧=∠=βλωλn⎩⎨⎧-==21sin cos ξβξβ2．欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应ss s s R s s C n n n 12)()()(222⋅++=Φ=ωξωω)2()2(]2[2222n n n n n s s s s s s s ωξωξωωξω+++-++= 222)1()(21nn n s s s ωξξωξω-+++-=22222222)1()(11)1()(1nn n n n n s s s s ωξξωωξξξωξξωξω-++-⋅---+++-= 利用复位移定理[])()(a s F e t f L at+=⋅- 系统单位阶跃响应为t e t et h n t n tn n ωξξξωξξωξω2221sin 11cos 1)(-----=--[]t t e n n t n ωξξωξξξξω22221s i n 1c o s 111-+----=-[]t t e nnt n ωξβωξβξξω2221s i n c o s 1c o s s i n 11-⋅+-⋅--=-)10(<≤ξ()t t t hn n ωωcos 190sin1)(-=︒+-=)90,0(︒==βξ)10(<≤ξ系统单位脉冲响应为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=Φ='=--222112)()()(n n ns s L s L t h t k ωξωω⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++-⋅-=-222221)1()(11n n n ns L ωξξωωξξω欠阻尼二阶系统单位脉冲响应3．欠阻尼二阶系统动态性能指标计算（1）峰值时间p t)()(t k t h ='01sin 122=--=-t en tnn ωξξωξω01sin 2=-t n ωξ,3,2,,012πππωξ=-t n由峰值时间定义（2）超调量00σ()βωξξξω+---=-p n t p t et h pn 221sin 11)(()βπξξξπ+--=--sin 11212e211ξξπ--+=e0σ00100)()()(⨯∞∞-=h h t h p 0011002⨯=--ξξπe超调量0σ与阻尼比ξ之间的关系（3）调节时间 s ts t 对ξ的不连续性调节时间的实际计算方法110.05n n s t t e e -ξω-ξω+-==nns t ξωξωξ5.3)1ln(2105.0ln 2≈-+-= （8.03.0<<ξ）)5(0000=∆例1 控制系统结构图如图所示（1）开环增益10=K 时，求系统的动态性能指标；（2）确定使系统阻尼比707.0=ξ的K 值。
3.3二阶系统的动态性能(上)解析
s 2n 1 s [( s n ) jd )][( s n ) jd ]
s 2n 1 s 2n 1 s ( s n )2 ( jd )2 s ( s n )2 d 2
at
s n n 1 s (s n )2 d 2 (s n )2 d 2 n 1 2 1 s n 1 2 2 s ( s n ) d ( s n )2 d 2
5.84 n ts 4.75 n
4、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差， 系统为无静差系统。
4.过阻尼（ζ>1）状态
闭环特征方程
特征根
2 s 2 2n s n 0
s1 n n 2 1
s2 n n 2 1
nt
d
L[e at cos t ]
上式取拉氏反变换，得
y(t ) 1 e
1 1
cos d t
1
2
sa ( s a)2 2 L[e at sin t ] ( s a)2 2
ent sin d t
e nt 1 2 e
Δ 2 Δ 5
4T1 1.25 ts 3T 1
Δ 2 Δ 5
1.34
3、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误 Y(t) 差，系统为无静差系统。
2
4、需要说明的是，对于临界阻尼和过阻 尼的二阶系统，其单位阶跃响应都没有 振荡和超调，系统的调节时间随ζ的增加 而变大，在所有无超调的二阶系统中， 临界阻尼时，响应速度最快。
2 n 1 1 s Y ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 2 s n s s s 2 n
自动控制原理第三章二阶系统
1. ζ >1 过阻尼
1 T
e-t/T
c(t)=1-e-t/T
r(t)=t
c(t)=t-T+Te-t/T
可知: 系统输入信号导数的输出响应，等 于该输入信号输出响应的导数；根据一种 典型信号的响应，就可推知于其它。
自动控制原理第三章二阶系统
第二节 一阶系统性能分析
设例ФKk(若=s一 调 t)=s1要=阶 节000CR求系 时.1((ss:sK统 间))，=H的t=求1s+0结（反t1.11s0构0±=馈000•如/5K.系S1%HR图/s(数Ss）)，。；=试(_E如0(求.则s0果)11系://K要KKS统HkH求)的S+C1(s) 解Ф：(系s)统=t s=闭CR3((T环ss=))传=3×1递+K01H1函.000=010数0•/./0K3S.1H/=SK0k .=K1HT0.s=11S00K+.0H11/KH
有性任何着 能=二对 指S2阶应 标+GR系(的 与sS1)/=统/L关 其L+CUU的1系 参rc(/(ssL动))C数。=态L间求C=性S的出2能S+2关标R+1指C2系准Sζω标+ω形，1n。2n 式S便+ω的可n动求2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
态 得
2ζ ω n=R/L
得：
ω
2 n
=
1/LC
ω n=1/ LC
ζ=
RC 2L
一阶系统ts =单3位T 阶跃响应:
(±R5%(s))=
1 S
C(s)= tФs =(s4)•TS1
=
1 TS+1
•
1S(=±1S2%- S)+11/T
二阶系统性能指标解读
0.5, n 4(弧 度/秒) 当 输
入信号为单位阶跃 信号时 , 试求系统的动态 性能指标 . 解:
ln 1 1-
2
2
n
代 入,并 取 整 数 得 1- 2
1- 2 1 N N( ln 2 2 1- N (.)表 示 取 整 数 ts N Td
arctg荡周期
三．计 算 举 例
例1.二 阶 系 统 如 图 所 示 ,其 中
nentp Sin(dtp ) dentpCos(dtp ) 0
Sin(dtp ) 1 2 Cos(dtp ) 0
1 2 tg (dtp ) 2 1 d tan d t tan n
1.5(s) 这里取Δ＝0.05。
或者按近似算法：
ts
3
n
3T
3 0.125 1.5( s) 0.25
（2）要使σ%＝10%，求ζ。 由
% exp(
解得
1 2 ) 100 % 10%
0.6
2
K0
ts T
1 4 T0
ln 1
上升时间tr
峰值时间tp
0
5% c() or 2% c()
调节时间ts
t
tr t p
ts
当（>=1）时阶跃响应没有超调，此时， 上升时间的定义修改如下：
1.0 0.9 0.5 0.1 0
C(t)
t ( 0.10.9 ) t ( 0 0. 9 )
tr tr
t
2） 欠阻尼二阶系统阶跃响应的特征量的计算： 上升时间
(整理)二阶系统的性能分析1.
实验三 二阶系统的性能分析一、实验目的1、研究二阶系统的两个重要参数阻尼比ξ和自然振荡频率n ω对系统动态性能的影响；2、比较比例微分控制的二阶系统和典型二阶系统的性能；3、比较输出量速度反馈控制的二阶系统和典型二阶系统的性能。
二、实验任务1、典型二阶系统二阶系统的传递函数为()s Φ=2222nn ns s ωξωω++，仿真框图如图1-1所示。
图1-1 二阶振荡环节仿真框图（1） 令n ω=10不变，ξ取不同值：1ξ=0，2ξ（01ξ<<），3ξ=1，4ξ>1，观察其单位阶跃响应曲线变化情况；ω取不同值，观察其单位阶跃响应曲线变化情况；（2）令ξ=0不变，n（3） 令ξ=0.2不变，n ω取不同值，观察其单位阶跃响应曲线变化情况，并计算超调量%σ和s t ；n ω=5 和n ω=10时单位阶跃响应曲线：n ω=5超调量%σ和s tn ω=10时超调量%σ和s t ：求超调量%σ和s t 的方法：以25425)(2++=Φs s s 为例说明。
方法一：num=[0,0,25];den=[1,4,25]; step(num,den)grid % 绘制网格线。
title('Unit-Step Response of G(s)=25/(s^2+4s+25) ') % 图像标题说明：游动鼠标法：用鼠标左键点击时域响应图线任意一点，系统会自动跳出一个小方框，小方框显示了这一点的横坐标（时间）和纵坐标（幅值）。
按住鼠标左键在曲线上移动，可以找到曲线幅值最大的一点――即曲线最大峰值，此时小方框中显示的时间就是此二阶系统的峰值时间，根据观察到的稳态值和峰值可以计算出系统的超调量。
系统的上升时间和稳态响应时间可以依此类推。
这种方法简单易用，但同时应注意它不适用于用plot()命令画出的图形。
方法二：（不显示阶跃响应曲线，若要显示可在“[y,t]=step(G);”后加plot（t,y））G=tf([0,0,25],[1,4,25]);C=dcgain(G)[y,t]=step(G);[Y,k]=max(y);percentovershoot=100*(Y-C)/Ci=length(t);while(y(i)>0.98*C)&(y(i)<1.02*C)i=i-1;endsetllingtime=t(i) 方法三： G=tf([25],[1,4,25]);% 计算最大峰值时间和它对应的超调量。
实验三 二阶系统的性能分析1
实验三 二阶系统的性能分析一、实验目的1、研究二阶系统的两个重要参数阻尼比ξ和自然振荡频率n ω对系统动态性能的影响；2、比较比例微分控制的二阶系统和典型二阶系统的性能；3、比较输出量速度反馈控制的二阶系统和典型二阶系统的性能。
二、实验任务1、典型二阶系统二阶系统的传递函数为()s Φ=2222nn ns s ωξωω++，仿真框图如图1-1所示。
图1-1 二阶振荡环节仿真框图（1） 令n ω=10不变，ξ取不同值：1ξ=0，2ξ（01ξ<<），3ξ=1，4ξ>1，观察其单位阶跃响应曲线变化情况； 1.1ξ=00.20.40.60.811.21.41.61.82U nit-Step R esponse of G(s)=100/(s 2+100)Tim e (sec)A m p l i t u d e2.2ξ=0.500.20.40.60.81 1.20.20.40.60.811.21.4Unit-Step Response of G(s)=100/(s 2+10s+100)Tim e (sec)A m p l i t u d e3.3ξ=1，00.51 1.50.10.20.30.40.50.60.70.80.91Unit-Step Response of G(s)=100/(s 2+20s+100)Tim e (sec)A m p l i t u d e4.4ξ=50.10.20.30.40.50.60.70.80.91U nit-Step R esponse of G(s)=100/(s 2+100s+100)Tim e (sec)A m p li t u d e（2）令ξ=0不变，n ω取不同值，观察其单位阶跃响应曲线变化情况； 1.n ω=50.20.40.60.811.21.41.61.82U nit-Step R esponse of G(s)=25/(s 2+25)Tim e (sec)A m p li t u d e2.n ω=200.20.40.60.811.21.41.61.82U nit-Step R esponse of G(s)=400/(s 2+400)Tim e (sec)A m p li t u d e（3）令ξ=0.2不变，n ω取不同值，观察其单位阶跃响应曲线变化情况，并计算 超调量%σ和s t ； 1.n ω=501234560.20.40.60.811.21.41.6U nit-Step R esponse of G(s)=25/(s 2+2s+25)Tim e (sec)A m p l i t u d eG=tf([0,0,25],[1,2,25]); C=dcgain(G) [y,t]=step(G); [Y ,k]=max(y);percentovershoot=100*(Y-C)/C i=length(t);while(y(i)>0.98*C)&(y(i)<1.02*C) i=i-1; end setllingtime=t(i) C = 1percentovershoot = 52.6613 setllingtime =3.8810 2.n =100.20.40.60.811.21.41.6U nit-Step R esponse of G(s)=100/(s 2+4s+100)Tim e (sec)A m p l i t u d eG=tf([0,0,100],[1,4,100]); C=dcgain(G) [y,t]=step(G); [Y ,k]=max(y);percentovershoot=100*(Y-C)/C i=length(t);while(y(i)>0.98*C)&(y(i)<1.02*C) i=i-1; end setllingtime=t(i) C = 1percentovershoot =52.6613 setllingtime =1.9405求超调量%σ和s t 的方法：以25425)(2++=Φs s s 为例说明。
欠阻尼二阶系统动态性能指标计算
K1 2, K 2 27.85, a 6.42 。
5．二阶系统动态性能随极点位置分布的变化规律
js d
d
2
0
[ 计算演示 ] 欠阻尼二阶系统动态性能随极点位置的变化规律小结
从直角坐标变化： 从“极”坐标变化：
3.5 ts
n
n
0 0
1
2 n
3.5 ts
n
0 0
3.5
n
ts
n
0 0
3.5
n
ts
n
n
0 0
例 3 典型欠阻尼二阶系统
500
0 0
16.3 00
要求
2 n5
试确定满足要求的系统极点分布范围。
解．依题意有
0.707
0.5
45
2 n5
2
60 n5
[s] j
4 2
-1
-0.5
0
0.5
n
s2 2 n s
2 n
n 100 10
10 0.5 (
2 10
60 )
tp
1
2 n
0.363 1 0.52 10
0 0
e
12
e 0.5 / 1 0.5 2
16.3 00
3.5 3.5
ts
0.7 n 0.5 10
10 K
(2)
( s) s2 10s 10 K
n 10K 10
2 10K
令
0.707
得
C( s)
2
(s)R( s)
s2
n
2 ns
1
2 n
s
[ s2 2 ns
2 n
]
s( s
自动控制 二阶系统性能分析
c(t1p)-1100% = e-ζπ
1-ζ
2
100%
整理ppt
第三节 二阶系统性能分析
4. 调节时间ts
c(t)=1-
e-ζ
ωnt
2
sin(ω
d
t+β
)
1-ζ
c(t)
1
误差带
可用近似公式： 0
ts =3T=ζω3n
ts
=4T=ζ
4 ωn
ζ<0.68 ζ<0.76
ts t
±5%误差带 ±2%误差带
整理ppt
第三节 二阶系统性能分析
四、带零点二阶系统单位阶跃响应
c(cФ=t=1τ)d(c=(1tsdc(s)系1(t21)=t)s+-(==2Lt统ω2ζe+)1cRC-ω=ω-ζ-12ζ1ζn结2(ω(([e1s(nsωtnns22s)t-ζ))-ζ(构s++=ωnsz+τ1n2ωsz2t11s为+[+(ζ[2ωd2nz)ω+ζ2ωω-ζdcω2nζ+ω21tn2nn(2ω)sz(τntni)=(sn)nsRs+zs2sω(+ω((i++sns1ωn)τ222ωdζ设(ω)+s)ωstωn++]2n2ζ2dβ=1n2n(ωt1+ssR)β+-+n-ωω(zse1)s+-)-ζ+n-)ω2ζdωω=c)时nnso22tds(1)sss间c+ωi(ωon闭2ζns20常(ωωd(ω<环nt数ζ+d)dβ<tC零t++1(β)βs]点)))] 设=C11-(se1)-ζ-ζ=ωn2ts2z+lω2[ζ2nzωR-ζlωn(ssn)+ωsinn2(ω则d t+βC()s+)ω=lCd c1o(ss)(ω+ dzstC+β1(s))]
二阶系统的性能指标
二阶系统的性能指标1. 超调量（Overshoot）：超调量是指系统实际输出值达到或超过设定值后的最大偏离程度。
超调量大小与系统阻尼比有关，阻尼比越小，超调量越大。
超调量的大小是评价系统抗干扰性的重要指标之一、超调量较小的系统具有更好的稳定性和抗扰性能。
2. 调节时间（Settling Time）：调节时间是指系统从初始状态到稳定状态的时间。
也就是系统输出值从设定值到接近设定值所需要的时间。
系统的调节时间越短，说明系统响应快速，性能越好。
3. 稳态误差（Steady-state Error）：稳态误差是指系统输出与期望输出之间的差异，它表示系统在稳态下的输出误差大小。
稳态误差大小可以反映系统的静态稳定性能。
稳态误差越小，说明系统的精度越高。
4. 峰值时间（Peak Time）：峰值时间是指从初始状态到系统输出值首次达到超调值的时间。
峰值时间越短，说明系统响应速度越快。
峰值时间较短的系统对输入信号的快速变化能够更快地响应，并快速趋于稳定。
除了上述常见指标外，还有一些常用的性能指标包括上升时间（Rise Time），峰值偏差（Peak Overshoot），调节时间百分比（Percent Overshoot）等，这些指标可根据需要进行评价。
上升时间是指系统响应从0%到100%的时间，或者从10%到90%的时间。
上升时间越短，说明系统的响应速度越快。
峰值偏差是指系统在超调过程中达到的最大偏差值。
系统的峰值偏差越小，说明系统对输入信号的超调响应越小。
调节时间百分比是指系统从初始状态到输出值在一定范围内的时间。
调节时间百分比的指标可以根据具体要求进行设置，一般常见的有2%，5%或10%等。
评价二阶系统性能的指标取决于具体的应用和要求，需要根据实际情况进行选择。
对于不同的应用领域，对于性能指标的要求可能会有所不同。
因此，在实际应用中，需要根据系统的具体要求和特点，选择和优化适合的性能指标，以便更好地评估和改进系统的性能。
二阶系统与主导极点
c(t ) a a j e
j 1
q
p jt
2 k k t bk2 ck e sin( k 1 k2 t k ) k 1
r
（衰减系数pj、kk ） 极点距虚轴的距离决定了其所对应的暂态分量衰 减的快慢 距离越远衰减越快 减的快慢，距离越远衰减越快；
调节时间ts
t
调节时间
c(t ) 1 1 1 2 e nt sin(n 1 2 t )
n t
1 e
/ 1
2
ts
4
n
3
ts
n
实际的ωnts—ξ曲线
性能指标与闭环极 点的关系
ts 4
越大，超调量越大
n
/ 1 2
C ( s ) b0 s m b1s m 1 ... bm 1s bm G (s) R ( s ) a0 s n a1s n 1 ... an 1s an K ( s zi )
i 1 n j m
nm
K b a
0 0
( s p ) (s p ) ( s
q
p jt
2 k k t bk2 ck e sin( k 1 k2 t k ) k 1
r
Hale Waihona Puke 1）高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的 响应函数叠加而成。 2）如果所有闭环极点都在 s 平面的左半平面，则随 着时间t→∞，c(∞)=a。，系统是稳定的。 3）极点的性质决定瞬态分量的类型； ）极点的性质决定瞬态分量的类型 实数极点非周期瞬态分量； 共轭复数极点阻尼振荡瞬态分量。 阻尼振荡瞬态分量
系统零点分布对时域响应的影 响
二阶系统的时间响应及动态性能介绍
表 3-3 二阶系统（按阻尼比ξ ）分类表
分类
特征根
ξ >1
过阻尼
ξ =1
临界阻尼
λ1,2 = −ξω n ± ω n ξ 2 − 1 λ1,2 = −ω n
特征根分布
模态
e λ1t e λ2t
e −ωnt te −ωnt
0 < ξ < 1 λ1,2 = −ξω n ± jω n 1 − ξ 2
欠阻尼
3.3 二阶系统的时间响应及动态性能
3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类
常见二阶系统结构图如图 3-６(a)所示，其中 K ，T0
为环节参数。系统闭环传递函数为
Φ(s) =
K
T0s2 + s + K
为分析方便起见，常将二阶系统结构图表示成如图 3-６ (b)所示的标准形式。系统闭环传递函数标准形式为
1．欠阻尼二阶系统极点的两种表示方法
欠阻尼二阶系统的极点可以用如图 3-10 所示的两种形式表示。 z 直角坐标表示
λ1,2 = σ ± jω d = −ξω n ± j 1 − ξ 2ω n
z “极”坐标表示
（3-8）
⎧ ⎨ ⎩
λ ∠λ
= ωn =β
⎧ cos β = ξ ⎩⎨sin β = 1 − ξ 2
ξ = 1 + (T1 T2 ) = 1.25 > 1 2 T1 T2
查图 3-7 可得 ts T1 = 3.3 ，计算得 ts = 3.3T1 = 3.3 × 0.5 = 1.65s 。图 3-8 给出了系统单
位阶跃响应曲线。
当阻尼比 ξ = 1时，系统处于临界阻尼状态，此时闭环极点是一对相等的实根，即
性。
大学自动控制原理3.3二阶系统时间响应
极点位置影响响应的衰减速度，零点 位置影响响应的振荡频率。
特点
二阶系统的单位阶跃响应具有振荡和 衰减的特性，其形状由系统的极点和 零点决定。
单位冲激响应
定义
01
单位冲激响应是系统在单位冲激函数输入下的输出响应。
特点
02
与单位阶跃响应类似，二阶系统的单位冲激响应也具有振荡和
衰减的特性。
与单位阶跃响应的区别
根轨迹分析
通过分析系统的根轨迹来判断系统的稳定性。
李雅普诺夫稳定性分析
通过分析系统的李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
05
二阶系统的设计方法
串联校正
串联校正是指通过在系统输出端串联一个适当的装置，以改善系统的性能。常用的 串联校正装置有滞后器、超前器和积分器等。
串联校正的优点是结构简单，易于实现，适用于各种类型的系统。
二阶系统的分类
根据系统参数的性质，二阶系统可以分为欠阻尼、临界阻尼 和过阻尼三种类型。
欠阻尼系统的输出在达到稳态值之前会有一个振荡过程；临 界阻尼系统的输出则不会出现振荡过程；过阻尼系统的输出 则会有一个较大的超调量。
03
二阶系统的时域分析
单位阶跃响应
定义
极点与零点对响应的影响
单位阶跃响应是系统在单位阶跃函数 输入下的输出响应。
电机控制系统
电机控制系统的稳定性
二阶系统的时间响应特性对于电机控制系统的稳定性至关重要， 能够保证电机在各种工况下的正常运行。
电机控制系统的动态性能
二阶系统的快速响应能力有助于提高电机控制系统的动态性能，实 现更精确的速度和位置控制。
电机控制系统的鲁棒性
二阶系统的鲁棒性使其在电机控制系统中具有广泛的应用，能够适 应各种不确定性和干扰。
一阶和二阶系统的动态特性参数 - 机电一体化
一阶和二阶系统的动态特性参数 - 机电一体化检测系统的时域动态性能指标一般都是用阶跃输入时检测系统的输出响应，即过渡过程曲线上的特性参数来表示。
1．一阶系统的时域动态特性参数一阶测量系统时域动态特性参数主要是时间常数及与之相关的输出响应时间。
（1）时间常数时间常数是一阶系统的最重要的动态性能指标，一阶测量系统为阶跃输入时，其输出量上升到稳态值的63.2％所需的时间，就为时问常数。
一阶测量系统为阶跃输入时响应曲线的初始斜率为1／。
（2）响应时间当系统阶跃输入的幅值为A时，对一阶测量系统传递函数式（1-54）进行拉氏反变换，得一阶测量系统的对阶跃输入的输出响应表达式为（1）其输出响应曲线如图1所示。
从式（1）和图1，可知一阶测量系统响应Y（t）随时间t增加而增大，当t=∞时趋于最终稳态值，即y（∞）=kA。
理论上，在阶跃输入后的任何具体时刻都不能得到系统的最终稳态值，即总是y （t∞）<ka。
因而工程上通常把tr=4（这时有一阶测量系统的输出y （4τ）≈ y （∞）×98.2％=0．982kA）当作一阶测量系统对阶跃输入的输出响应时间。
一阶检测系统的时间常数越小，其系统输出的响应就越快。
顺便指出，在某些实际工程应用中根据具体测量和试验需要，也有把tr=5或tr=3作为一阶测量系统对阶跃输入输出响应时间的情况。
</ka。
因而工程上通常把t图1 一阶测量系统对阶跃输入的响应2．二阶系统的时域动态特性参数和性能指标对二阶测量系统，当输入信号x（t）为幅值等于A的阶跃信号时，通过对二阶测量系统传递函数式进行拉氏反变换，可得常见二阶测量系统（通常有01，称为欠阻尼）的对阶跃输入的输出响应表达式上式右边括号外的系数与一阶测量系统阶跃输入时的响应相同，其全部输出由二项叠加而成。
其中一项为不随时间变化的稳态响应KA，另一项为幅值随时间变化的阻尼衰减振荡（暂态响应）。
暂态响应的振荡角频率wd称为系统有阻尼自然振荡角频率。
二阶系统的时间响应
3）K = 13.5时
n=8.22rad/s，=2.1 ，系统工作于过阻尼状态，
传递函数可以改写为：
G(s)
s2
67.5 34.5s
67.5
(0.481s
1 1)(0.0308s
1)
即系统可以视为由两个时间常数不同的一阶系统串联组
成，其中 T1=0.481s,T2=0.0308s
对于过阻尼系统，tp，Mp，N已无意义，而调整时间ts间可
K=8.9/0.03=297N/m
又由图b)知：
M p e
1 2 100% 0.0029 100% 9.7% 0.03
解得： = 0.6
又由： t p
n
2 12
代入，可得n=1.96rad/s
根据 n
K , C
M 2 KM
解得 M = 77.3Kg，C = 181.8Nm/s
✓ 例题2
单位脉冲信号输入时，系统的响应为：
xo (t) 7 5e6t
求系统的传递函数。
解：由题意Xi(s)=1，所以：
G(s)
X o (s) Xi (s)
X o (s)
L[xo (t)]
L[7 5e6t ]
7 5 2s 42 s s 6 s(s 6)
➢ 例2
已知系统传递函数：
G(s)
2s 1 (s 1)2
1.5 1 2 , 0.05
则
N ts Td
2
12
,
0.02
N 仅与 有关。与Mp 一样直接说明了系统的阻尼特性。 越大，N越小，系统平稳性越好。
====0000....2468
✓ ▪
结论
0
二阶系统的动态性能由n和决定。
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一、二阶系统传递函数的标准形式
二阶系统的闭环传递函数写成标准形式为：22
2
2)()(n
n n
s s s R s C ωξωω++=
式中，ξ为阻尼比；n ω为无阻尼自振频率。
所以，二阶系统的特征方程为：022
=++n n s s ωξω
由上式解得二阶系统的二个特征根（即闭环极点）为：22.11ξωξω-±-=n n j s 随着阻尼比ξ取值的不同，二阶系统的特征根（即闭环极点）也不相同。
二、单位阶跃函数作用下二阶系统的过渡过程（针对欠阻尼状态，10<<ξ ）
令)(1)(t t r =，则有s
s R 1
)(=
，二阶系统在单位阶跃函数作用下输出信号的拉氏变换为：2
2222
22)()(1
)
)((211
2)(d n d d n d n n d n d n n n n n s s s s j s j s s s s
s s s C ωξωωωξωωξωξωωξωωξωξωωξωω++⋅
-+++-=-++++-
=⋅++=
式中，2
1ξωω-=n d 为有阻尼自振频率
对上式进行反拉氏变换，得：
)
sin(11)
sin 1(cos 1sin cos 1)(2
2
ϕωξ
ωξ
ξ
ωωωξωωξωξωξωξω+--
=-+-=⋅-
-=----t e t t e t e t e t c d t d d t d t
d n d t n n
n
n 式中，ξ
ξϕ2
1-=arctg
ϕ角的定义
由上式看出，对应10<<ξ时的过渡过程，)(t c 为衰减的正弦振荡曲线。
其衰减速度取决于
n ξω值的大小，其衰减振荡的频率便是有阻尼自振频率d ω，即衰减振荡的周期为：
2
122ξ
ωπ
ωπ
-=
=
n d
d T
三、二阶系统的性能指标
1．上升时间tr ：上升时间是响应曲线由零上升到稳态值所需要的时间。
根据定义，当r t t =时，1)(=r t c 。
即 0sin 1cos 2
=-+
r d r d t t ωξ
ξ
ω
或 n
n r d t tg ξωξωω2
1-=，)(ϕπω-=tg t tg r d
所以，上升时间为：2
1ξ
ωϕπ--=
n r t
2．峰值时间tp ：过渡过程曲线达到第一个峰值所需的时间。
ϕϕωtg t tg dt t dc p d t t p
=+⇒==)(0)
( （ ,3,2,,0πππω=p d t ）
由于峰值时间tp 是过渡过程曲线达到第一个峰值所需的时间，故取πω=p d t
即 2
1ξωπωπ-=
=
n d p t 3．最大超调量p σ
最大超调量为：%100)
()()(•∞∞-=
c c t c p p σ
%
100%
100)sin 1(cos %
100)sin 1(cos 2
12
2
⋅=⇒•-+
-=•-+-=--
--ξξπξωξωσπξ
ξ
πωξ
ξ
ωe
e
t t e p t p d p d t p
n p
n
式中，)(p t c 为过渡过程曲线第一次达到的最大输出值；)(∞c 为过渡过程的稳态值（)(∞c =1）。
4．过渡过程时间ts ：在过渡过程的稳态线上，用稳态值的百分数∆（通常取∆=5%或∆=2%）作一个允许误差范围，进入允许误差范围所对应的时间叫～。
)1sin(11)(2
2
ξ
ξωξ
ξω-+--
=-arctg
t e t c d t n
从上式看出，2
11ξ
ξω-±
-t n e 是此时系统过
渡过程)(t c 的包络线方程。
即过渡过程
)(t c 总是包含在一对包络线内，包络线的
时间常数为
n
ξω1。
根据过渡过程时间的定义，可近似认为就是包络线衰减到∆区域所需的时间，则有：
)11ln 1(ln
1
122
ξ
ξωξξω-+∆=
⇒∆=--n
s t t e n
若取%5=∆，并忽略2
11
ln
ξ
-，则得：
n
s t ξω3
≈
若取%2=∆，并忽略2
11ln
ξ-，则得：n
s t ξω4
≈
二阶系统单位阶跃响应的一对包络线。