第二章小结2 振动力学课件
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(新教材)人教版高中物理选择性必修第一册 第二章 机械振动 精品教学课件(共192页)
2 简谐运动的描述
知识点一 描述简谐运动的物理量
[先填空] 1．振幅 (1)定义：振动物体离开平衡位置的 最大距离 ，叫作振动的振 幅．用 A 表示，单位为米(m)． (2)物理含义：振幅是描述振动 范围 的物理量；振幅的大小反映 了振动的强弱和振动系统能量的大小．
2．周期(T)和频率(f)
【提示】 猜想：影响弹簧振子周期的因素可能有：振幅、振子的 质量、弹簧的劲度系数等．我们可以设计这样一个实验：弹簧一端固定， 弹簧的另一端连着有孔小球，使小球在光滑的水平杆上滑动．通过改变 振幅、振子的质量和弹簧的劲度系数，测量不同情况下振子的周期，注 意在改变一个物理量的时候其他物理量应保持不变．
3．简谐运动的加速度 (1)计算方式：a＝－kmx，式中 m 表示振子的质量，k 表示比例系 数，x 表示振子距平衡位置的位移． (2)特点：加速度大小呈线性变化，方向只在平衡位置发生改变置的位移大小． (2)可直接读出振子正(负)位移的最大值． (3)可判断某一时刻振动物体的速度方向和加速度方向，以及它 们的大小和变化趋势．
解析：从图象中能看出坐标原点在平衡位置，A 正确．横轴虽 然是由底片匀速运动得到的位移，但可以转化为时间轴，弹簧振子 只在 y 轴上振动，所以 BD 错误，C 正确．图象中相邻弹簧振子之间 的时间间隔相同，密处说明位置变化慢，E 正确．故正确答案为 A、 C、E.
答案：ACE
对弹簧振子的说明 弹簧振子有多种表现形式，对于不同的弹簧振子，在平衡位置 处，弹簧不一定处于原长(如竖直放置的弹簧振子)，但运动方向上的 合外力一定为零，速度也一定最大．
答案：ACD
分析简谐运动图象问题的三点提醒 (1)简谐运动的位移—时间图象反映的是质点偏离平衡位置的位 移随时间变化的规律，简谐运动的图象并不是质点的运动轨迹，运 动轨迹的长度也不是正弦或余弦图线拉开后的长度．
振动力学第二章课件
I 0 kn
其中 I 0 —— 圆盘对中心轴的转动惯量
k n —— 圆轴的抗扭弹簧常数
固有频率 则
pn kn I0
2 n
kn
I0
0 sin pnt
图2-4 扭振系统
p 0
0 cos pnt
pn
扭振系统的振动微分方程与单自由度弹簧质量振动系统的微 分方程的形式完全相同，它们的振动特性也完全相同。因此 归为单自由度弹簧质量振动系统进行讨论。
k k1 k2
5
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第二章 单自由度系统的振动
2、 串联弹簧
( st )1 ( st ) 2 st
F1 F2 mg
k1
F1 k1 ( st )1 F2 k2 ( st ) 2
( st )1 mg mg ( st ) 2
k1 k2
x0 x x0 cos pnt sin pnt 或x A sin( p t ) n pn
An p x arctg( n 0 ) x0 2 x0 x 2 pn
2 0
3
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第二章 单自由度系统的振动
二、 周期、频率和圆频率（只与系统本身有关）
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第二章 单自由度系统的振动
1 T I B 2 2 1 2 2 V kb 2
d (V T ) 0 dt
1 1 2 I B 2k b2 0 2 2
k b2 0 IB
pn
kb 2 IB
习题2-1 2-3 2-5 2-6
§2-4 有阻尼系统的衰减振动 干摩擦:与压力成正比 （库仑阻尼） 外阻尼
《振动力学基础》课件
非耦合振动
各自由度之间相互独立，可分别进行分析。
固有频率和主振型
多自由度系统具有多个固有频率和相应的主振型 。
连续系统的振动
分布参数系统
描述长弦、长杆等连续介质的振动，需要考虑空间位 置的变化。
集中参数系统
将连续介质离散化，用弹簧、质量等元件模拟，适用 于简单模型。
波的传播
连续系统中振动能量的传播形式，如声波、地震波等 。
线性振动和非线性振动
线性振动
满足叠加原理，各激励之间互不影响，系统响应与激励成正比。
非线性振动
不满足叠加原理，激励之间存在相互作用，系统响应与激励不成正 比。
周期性振动和非周期性振动
根据振动是否具有周期性进行分类。
CHAPTER 03
振动分析方法
频域分析法
01
频域分析法是一种通过将时间域的振动问题转换为频率域的振动问题 ，从而利用频率特性来分析振动的方法。
CHAPTER 02
振动的基本原理
单自由度系统的振动
自由振动
无外力作用下的振动，系统具有固有频率和固有振型。
强迫振动
在外力作用下产生的振动，其频率与外力频率相同或相近。
阻尼振动
由于系统内部摩擦或外部阻尼作用导致的振动，能量逐渐耗散。
多自由度系统的振动
耦合振动
多个自由度之间相互影响，振动频率和振型较为 复杂。
汽车悬挂系统和路面激励会导致车内振动，影响乘客舒适性。
船舶与海洋工程
船舶和海洋结构的振动会影响其性能和安全性，需要进行有效的振 动控制。
建筑领域
结构健康监测
对建筑物和桥梁等大型结构进行振动监测，可以评估其健康状况和 安全性。
地震工程
地震引起的振动对建筑结构的影响非常大，需要进行抗震设计和分 析。
各自由度之间相互独立，可分别进行分析。
固有频率和主振型
多自由度系统具有多个固有频率和相应的主振型 。
连续系统的振动
分布参数系统
描述长弦、长杆等连续介质的振动，需要考虑空间位 置的变化。
集中参数系统
将连续介质离散化，用弹簧、质量等元件模拟，适用 于简单模型。
波的传播
连续系统中振动能量的传播形式，如声波、地震波等 。
线性振动和非线性振动
线性振动
满足叠加原理，各激励之间互不影响，系统响应与激励成正比。
非线性振动
不满足叠加原理，激励之间存在相互作用，系统响应与激励不成正 比。
周期性振动和非周期性振动
根据振动是否具有周期性进行分类。
CHAPTER 03
振动分析方法
频域分析法
01
频域分析法是一种通过将时间域的振动问题转换为频率域的振动问题 ，从而利用频率特性来分析振动的方法。
CHAPTER 02
振动的基本原理
单自由度系统的振动
自由振动
无外力作用下的振动，系统具有固有频率和固有振型。
强迫振动
在外力作用下产生的振动，其频率与外力频率相同或相近。
阻尼振动
由于系统内部摩擦或外部阻尼作用导致的振动，能量逐渐耗散。
多自由度系统的振动
耦合振动
多个自由度之间相互影响，振动频率和振型较为 复杂。
汽车悬挂系统和路面激励会导致车内振动，影响乘客舒适性。
船舶与海洋工程
船舶和海洋结构的振动会影响其性能和安全性，需要进行有效的振 动控制。
建筑领域
结构健康监测
对建筑物和桥梁等大型结构进行振动监测，可以评估其健康状况和 安全性。
地震工程
地震引起的振动对建筑结构的影响非常大，需要进行抗震设计和分 析。
振动力学教程PPT课件
动的叠加-----------谐波分析
•
2、非周期：利用傅立叶积分作谐波分析
• δ函数又称为单位脉冲函数-----它的性质、应用
示成一系列简谐振
第22页/共35页
第一节：简谐振动及其表示方法
•一、简谐振动的表示方法
• （一）正弦函数表示
2、A、ω、Φ ------简谐振动三要素
第23页/共35页
第24页/共35页
船舶的模态分析和强度分析，飞行器的结构振动和声疲劳分析等。
3） 在土木建筑、地质工程中：建筑、桥梁等结构物的模态分析，地震
引起结构物的动态响应，爆破技术的研究等。
4） 在医学、生物工程中：脑电波、心电波、脉搏波动等的信号处理等。
第12页/共35页
2途径：
1）从具体的工程对象提炼出力学模型 2）建立数学模型------应用力学知识建立所研究问题的数学模型 3）对数学模型进行分析和计算，求出请确、近似或数值解。 4） 比较------将计算结果与工程问题的实际现象或实验研究的测试结果进行 比较，考察理论结果是否解决该工程问题，如不能解决而数学模型及求解均无错 误，则需要修改力学模型重复上述过程。
第9页/共35页
5 随机振动
20世纪50年代，航空和航天工程的发展对振动力学提出了更高 的要求，确定性的力学模型无法处理包含随机因素的工程问题----如大气湍流引起的飞机颤振、喷气噪音导致飞行器表面结构 的声疲劳、火箭运载工具有效负荷的可靠性等。工程的需要迫使 人们用概率统计的方法研究承受非确定性载荷的机械系统和结构 的响应、稳定性和可靠性等， 从而 形成了随机振动这一振动力 学的重要组成部分。 在工程问题中振动信号的采集和处理是随机振动理论应用的前提， 由于计算机的迅速发展和快速第1傅0页/立共35叶页 变换算法的出现，随机振动
《振动力学结构力学》课件
静力学基础
静力学基本概念：力的平衡、力矩平衡、力系平衡等 静力学基本原理：牛顿三大定律、胡克定律等 静力学基本方法：力法、位移法、能量法等 静力学基本应用：结构分析、结构设计等
弹性力学基础
弹性力学的定义：研究弹性体在外力作用下的变形和应力分布的学科 弹性力学的基本假设：连续性假设、小变形假设、均匀性假设、各向同性假设 弹性力学的基本方程：胡克定律、泊松比定律、弹性模量定律 弹性力学的应用：结构设计、地震工程、航空航天等领域
相位：振动 的起始位置
振型：振动 的形态和形 状
阻尼：振动 的衰减程度
共振：振动 的放大效应
振动系统的基本组成
阻尼：阻碍振动的力，影响 振动的衰减和能量损失
弹簧：连接物体和支撑物的 弹性元件，影响振动的频率 和振幅
质量：物体本身的质量，影 响振动的频率和振幅
支撑物：支撑物体的物体， 影响振动的频率和振幅
振添加动副力标学题 结构力学 PPT课件
汇报人：
目录
PART One
振动力学概述
PART Two
结构力学基本概念
PART Three
振动力学中的基本 理论
PART Five
振动力学与结构力 学的应用
PART Four
结构力学中的基本 理论
PART Six
案例分析
振动力学概述
振动的定义和分类
振动：物体 在平衡位置 附近做往复 运动
振动分类： 自由振动物体在平衡 位置附近做 往复运动， 没有外力作 用
受迫振动： 物体在平衡 位置附近做 往复运动， 受到外力作 用
自激振动： 物体在平衡 位置附近做 往复运动， 没有外力作 用，但受到 自身振动的 影响
振动的物理量描述
新教材高中物理第二章机械振动本章小结课件新人教版选择性必修第一册
3．[科学推理](2021届海口第四中学月考)如图甲所示，水平的光滑
杆上有一弹簧振子，ຫໍສະໝຸດ 子以O点为平衡位置，在a、b两点之间做简谐运
动，其振动图像如图乙所示．由振动图像可以得知
()
A．从t1到t2，振子正从O点向a点运动 B．在t＝0时刻，振子的位置在a点
C．在t＝t1时刻，振子的速度最大 D．在t＝t2时刻，振子的加速度为零
例2 有一单摆，其摆长l＝1.02 m，摆球的质量m＝0.10 kg，已知 单摆做简谐运动，单摆振动30次用的时间t＝60.8 s，则：
(1)求当地的重力加速度． (2)如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变？改变多少？
解析：(1)根据题意单摆的振动周期 T＝nt ＝6300.8 s
根据 T＝2π gl ，
4．[科学推理](2020 年承德第一中学期末)如图所示，质量为 m 的物
体 A 放置在质量为 M 的物体 B 上，B 与弹簧相连，它们一起在光滑水平
面上做简谐运动，振动过程中 A、B 之间无相对运动，设弹簧的劲度系
数为 k，当物体离开平衡位置的位移为 x 时，A、B 间摩擦力的大小等于
A．0
B．kx
(3)理论上测出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T2－l图像，T2－l 图像是一条过坐标原点的直线，某同学根据实验数据作出的图像如图．
造成图像不过坐标原点的原因可能是______________________．由 图像求出的重力加速度g＝________m/s2(π2取9.87)，测量值相比真实值 ________(填“偏大”“偏小”或“不变”)．
2．简谐运动的图像能够反映简谐运动的规律 (1)由图像可以知道振动的周期； (2)读出不同时刻的位移； (3)确定速度的大小、方向的变化趋势； (4)根据位移的变化判断加速度的变化、质点的动能和势能的变化情 况．
《振动力学结构力学》课件
2
来分析振动系统。
介绍如何使用强度准则等方法来计算
阻尼比，并将其应用在结构设计中。
3
振动测试技术
讨论了如何通过测试和测量来评估和 优化结构阻尼，以及如何使用主动振 动控制。
地震响应分析
地震的概念
解释了地震是如何发生的，以 及为什么结构必须考虑地震响 应。
地震波的类型
结构抗震
探索了地震波的前、横、纵波， 以及它们对结构的影响。
描述了如何通过结构修改来提 高结构的抗震能力。
稳定性分析和控制方法
1 平衡状态和稳定性
介绍了结构的平衡状态和稳定边界，以及如何使用状态空间法和增益调节来分析和控制。
2 非线性稳定性
讨论了非线性系统的稳定性和卡亚平面，并介绍了极限环的概念。
3 动态响应
演示了如何用MATLAB分析系统的稳态和动态响应，以及如何应用控制策略来改进系统响 应。
讨论了当系统的响应超出其线性范围 时会发生什么，以及如何预测和控制
这种行为。
单自由度振动系统
自由振动
描述了如何使用拉格朗日 方程来建模自由振动，并 演示了振子的周期性运动。
强制振动
讨论了当外力施加在简谐 振动系统上时何时会出现 共振现象，并介绍了振动 吸收器的作用。
阻尼振动
深入探讨了系统响应的逐 渐减弱，并讨论了如何使 用对数减速图来分析振动 系统。
振动力学结构力学
本课程通过多种方式介绍了结构力学和振动学的基本知识，以及如何应用这 些知识来分析和控制结构振动。
振动基础知识
1
简介
解释了为什么振动是如此重要以及振
基础概念
2
动分析所需的数学知识。
探索了相位、频率、振幅等基本术语
梁的弯曲振动-振动力学课件
(x) 由边界条件确定。
常见的约束状况与边界条件
1. 固定端条件（位移边界） 挠度和转角等于零
y(x,t) 0 y '(x,t) 0
(x) 0
'(x) 0 x 0，l
2. 简支端（铰支）（位移、力混界）
挠度和弯矩等于零
y(x,t) 0 M (x,t) 0
(x) 0
EIy"(x) 0
伯努利－欧拉梁（Bernoulli-Euler Beam）
y x,t 距原点 x处的截面在 t 时刻的横向位移
微段受力分析
FS , M 截面上的剪力和弯矩
l
(
x)
2 t
y
2
微段的惯性力
f x,t 微段所受的外力
l
(
x)
2 t
y
2
动力平衡关系由达朗贝尔原理得
l (x)
2 y t 2
dx
Fs
解：固定端：(0) 0 '(0) 0
自由端： 弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡
EI "(l) 0 EIl m02 l
利用相同的方法，得频率方程：
cos lchl 1 l sin lcoshl cos l sinh l
其中： m0 为集中质量与梁质量之比
m m Sl 为梁质量
说明：
以上分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响， 因此以上有关梁的分析只适用于细长梁（梁的长度大于梁 高度5倍以上） 若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响
Fs
Fs x
dx
f
( x, t )dx
l
(
x)
2 t
y
2
Fs x
f (x,t)
常见的约束状况与边界条件
1. 固定端条件（位移边界） 挠度和转角等于零
y(x,t) 0 y '(x,t) 0
(x) 0
'(x) 0 x 0，l
2. 简支端（铰支）（位移、力混界）
挠度和弯矩等于零
y(x,t) 0 M (x,t) 0
(x) 0
EIy"(x) 0
伯努利－欧拉梁（Bernoulli-Euler Beam）
y x,t 距原点 x处的截面在 t 时刻的横向位移
微段受力分析
FS , M 截面上的剪力和弯矩
l
(
x)
2 t
y
2
微段的惯性力
f x,t 微段所受的外力
l
(
x)
2 t
y
2
动力平衡关系由达朗贝尔原理得
l (x)
2 y t 2
dx
Fs
解：固定端：(0) 0 '(0) 0
自由端： 弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡
EI "(l) 0 EIl m02 l
利用相同的方法，得频率方程：
cos lchl 1 l sin lcoshl cos l sinh l
其中： m0 为集中质量与梁质量之比
m m Sl 为梁质量
说明：
以上分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响， 因此以上有关梁的分析只适用于细长梁（梁的长度大于梁 高度5倍以上） 若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响
Fs
Fs x
dx
f
( x, t )dx
l
(
x)
2 t
y
2
Fs x
f (x,t)
高中物理人教版(2019)选择性必修第一册 第二章机械振动第2节简谐运动的描述课件
w 2 2f
T
例.(多选)如图，弹簧振子在BC间做简谐运动，O为平衡位置，B、C间距离是10 cm，B→C运动 时间是1 s，则C(D )
A．振动周期是1 s，振幅是10 cm B．从B→O→C振子做了一次全振动 C．经过两次全振动，通过的路程是40 cm D．从B开始运动经过3 s，振子通过的路程是30 cm
例：如图，弹簧振子的平衡位置为O 点，在B、C两点之间做简 谐运动。B、C 相距20 cm。小球经过B 点时开始计时，经过 0.5 s 首次到达C 点。 （1）画出小球在第一个周期内的x-t 图像。 （2）求5 s 内小球通过的路程及5 s 末小球的位移。 分析：根据简谐运动的位移与时间的函数关系，可以画出简谐运动的 x-t 图像。要得到简谐运动 的位移与时间的函数关系，就需要首先确定计时的起点，进而确定初相位。根据振幅、周期及初相 位写出位移与时间的函数关系，画出图像。 我们也可以采用描点法来画出位移－时间图像。根据题意，可以确定计时起点的位移、通过平衡位 置及最大位移处的时刻，在x-t 图上描出这些特殊坐标点，根据正弦图像规律画出图像。 根据简谐运动的周期性，在一个周期内，小球的位移为0，通过的路程为振幅的4 倍。据此，可以 求出5 s 内小球通过的路程及5 s 末小球的位移。
A.3 s，6 cm
B.4 s，6 cm
C.4 s，9 cm
D.2 s，8 cm
解析：以相同的速度依次通过M、N两点画出示意图如图所示，质
点由M到O和由O到N运动时间相同，均为0.5 s，质点由N到最大
位置和由最大位置到N运动时间相同，均为0.5 s，可见周期为4 s，
振幅为路程的一半，即A=6 cm，故B正确。
一、振幅
用M点 和M ′点 表 示 水 平 弹 簧 振子在平衡位置O点右端及左 端最远位置。
江苏专用_新教材高中物理第二章机械振动2简谐运动的描述课件新人教版选择性必修第一册
解析：1 s 时质点位于正向最大位移处，3 s 时质点处于负向最大位移处， 位移方向相反，故 A 错误；一个周期内质点做简谐运动经过的路程是 4A＝8 cm,10 s 为 2.5 个周期，则质点经过的路程为 20 cm，故 B 正确；由题图知 位移与时间的关系为 x＝Asin(ωt＋φ0)＝0.02sinπ2tm，当 t＝5 s 时，其相位 ωt ＋φ0＝π2×5＝52π，故 C 错误；在 1.5 s 和 4.5 s 两时刻，质点位移相同，x ＝Asin 135°＝ 22A＝ 2 cm，故 D 错误。 答案：B
提示：(1)时间 t＝T，路程 s＝4A，位移 x＝0。 (2)时间 t＝21T，路程 s＝2A，位移 x＝2A。 (3)两个过程的各量都相同：时间 t＝14T，路程 s＝A，位移 x＝A。 (4)D→C→D 过程：时间 t＝14T，路程 s＜A，位移 x＝0。 D→O→E 过程：时间 t＝14T，路程 s＞A，位移 x＝0。
D．B 的相位始终超前 A 的相位π3
解析：振幅是标量，A、B 的振幅分别是 3 m、5 m，A 错；A、B 的圆频率 ω＝ 100 rad/s，周期 T＝2ωπ＝120π0 s＝6.28×10－2 s，B 错，C 对；Δφ＝φA0－φB0 ＝π2－π6＝π3为定值，A 的相位超前，B 的相位π3，D 错。 答案：C
( √)
2．物体 A 做简谐运动的振动位移 xA＝3sin100t＋π2m，物体 B 做简谐运动的振
动位移 xB＝5sin100t＋π6m。比较 A、B 的运动 A．振幅是矢量，A 的振幅是 6 m，B 的振幅是 10 m
()
B．周期是标量，A、B 周期相等，为 100 s
C．A 振动的圆频率 ωA 等于 B 振动的圆频率 ωB
新教材高中物理第二章机械振动本章整合课件新人教版选择性必修第一册
例 2 (2020·重庆市高三上学期一诊)弹簧振子以 O 为平衡位置, 在 B、C 两点间做简谐运动,在 t＝0 时,振子从 O、B 间的 P 点以速度 v向 B 运动,在 t1＝0.4 s时振子的速度第一次为－v,在 t2＝0.6 s时振子 速度第二次为－v,已知 B、C 之间的距离为 20 cm,则弹簧振子的振幅为
4．确定各时刻质点的振动方向 如图中的t1时刻,质点正远离平衡位置向位移的正方向运动；在t3时 刻,质点正向着平衡位置运动。 5．比较各时刻质点加速度的大小和方向 如图中t1时刻质点位移x1为正,则加速度a1为负；t2时刻质点位移x2为 负,则加速度a2为正,又因为|x1|>|x2|,所以|a1|>|a2|。
条过原点的直线，如图所示，求出斜率k，即可求出
g值。g＝4π2k，k＝Tl2＝ΔΔTl2。
例 4 (2020·湖北名校联盟高二下学期期中)某实验小组在利用单 摆测定当地重力加速度的实验中：
(1)用游标卡尺测定摆球的直径,测量结果如图甲所示,则该摆球的直 径为_____0_._9_7cm。摆动时偏角满足的条件是偏角小于5°,为了减小测量 周期的误差,计时开始时,摆球应是经过最______(填“高低”或“低”)点的 位置,且用停表测量单摆完成多次全振动所用的时间,求出周期。图乙中 停 表 示 数 为 一 单 摆 全 振 动 50 次 所 需 的 时 间 , 则 单 摆 振 动 周 期 为 _______2_._0_5_s_。
例 3 (2019·山东省日照市高二下学期三校联考)如图所示是甲、
乙两弹簧振子的振动图像,则可知
(B)
A．两弹簧振子振幅相同 B．振子的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2 C．振子乙速度最大时,振子甲速度为零 D．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1
新教材人教版高中物理选择性必修第一册第二章机械振动 精品教学课件
(√ )
『选一选』
如图所示，一弹性小球被水平抛出，在两个互相竖直平
行的平面间运动，小球落在地面之前的运动
(D)
A．是机械振动，但不是简谐运动
B．是简谐运动，但不是机械振动
C．是简谐运动，同时也是机械振动
D．不是简谐运动，也不是机械振动
解析：机械振动具有往复的特性，可以重复地进行，小球在运动过
程中，没有重复运动的路径，因此不是机械振动，当然也不是简谐运
加速度均大小相等，方向相反 ①物体连续两次经过同一点(如D点)时的动能、势能、机械 动能、势能、 能均相等 机械能的对 ②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时的动能、 称 势能、机械能均相等
案例 如图所示，一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通
过相距10 cm的A、B两点，历时0.5 s，过B点后再经过t＝0.5 s，质点以
3．周期和频率
(1)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的__时__间____，用
T表示，国际单位： s。 (2) 频 率 ： 单 位 时 间 内 完 成 全 振 动 的 __次__数____ ， 用 f 表 示 ， 单 位 ：
Hz。
1
(3)周期T与频率f的关系：T＝___f ___。
(4)物理意义：周期和频率都是表示物体__振__动__快__慢____的物理量，周
(A) A．从B向O运动过程中位移一直变小 B．从O向C运动过程中加速度一直变小 C．从B经过O向C运动过程中速度一直变小 D．从C经过O向B运动过程中速度一直变小
思路引导：根据弹簧振子的振动过程分析处理。 解析：振子从B向O运动时，是向着平衡位置移动，位移变小，故A 正确；振子从O向B运动时，是从平衡位置向最大位移运动的过程，所以 位移变大，加速度变大，故B错误；从B经过O向C运动过程中速度先增 大后变小，故C错误；从C经过O向B运动过程中速度先增大后变小，故 D错误。
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小结
第二章 多自由度线性系统
2020/10/22
1
多自由度线性系统
力学模型和数学模型 无阻尼系统的自由振动 无阻尼系统的受迫振动 有阻尼的受迫振动
2020/10/22
2
数学模型
牛顿法 拉氏方程法
M x C x K x F ( t )
2020/10/22
（实际中较多见），取 Cpij 0
2020/10/22
13
有阻尼系统受迫振动
M p x p C p x p K p x p F p e i t 阻尼矩阵为对角化
x i2xx Be p i
2 i i p i i p i
2it
p i i
i 1,2,....,n
xp(it)B isinit ( i) i1,2,....,n
1 2m F l1m F l, 2 2m F l23 m F l 2Y1Y20：
1. 1. 00
Y Y1 212 111, Y Y1 222 121
2020/10/22
1. 1. 00
17
7
无阻尼的自由振动
Mpi (i)TM(i)
Kpi (i)T K(i)
(i) N
(i) M pi
n
x(t) i(i)sin(iti) i1
(1 1
(1 2
) )
(2) 1
(2) 2
... ...
... ...
( 1
( 2
n n
) )
... ... ... ... ...
(1) n 1
(2) n 1
...
...
( n
n) 1
1 1 ... ... 1
i
K pi M pi
2020/10/22
8
无阻尼的自由振动
用模态叠加法求解
M px ip i K px ip i 0
x x
p p
( (
0 0
) )
1 1
x x
(0) (0)
主坐标法
xpiisi nit (i)
M p x pK pxpF pei t
xpii2xpiB i i2eit
xpi
1
Bi si2
eit
2020/10/22
si
i
x
n
Fe (i) (i)T it 0
i1 Kpi 1si2
(i) (i)T
x(t) Kpi 1si2
F0eit
共振模态
Bi
T F0 K pi
11
多自由度系统的脉冲响应矩阵
hp1 () 0 ... 0
hp()
0 0
hp2 () ...
0 ...
0
0
0
0 ... hpn ()
2020/10/22
12
有阻尼系统受迫振 动
M x C xK xF 0 ei t 阻尼矩阵为对角化
1. 比例阻尼 CMK 2. 弱非对角矩阵
即非对角元素相对主对角元素较小时
故： m 01 m 02 y y 1 2 F l 21 21 y y1 2 0
2020/10/22
16
当 m1 m2 时，令：
y1Y1si nt
y2Y2si nt
2ml F
代入矩阵方程，有：
2
1
21YY120
2 1 2 1 22 1 1 3 0
1,2 1,3
3
B.频率方程有零根情形
1 0
K 为半正定
M (1)T
(i)T
0
消除刚体运动约束条件
缩减矩阵 增广矩阵：
2020/10/22
6
C.频率方程有重根情形
( j)
( j )'
j
j
C (i1)
(j1)'
(j)
j j1
(j)TM(j1)2 C
(j)T M(j)
2020/10/22
xpixp(i0)co itsx p (ii0)sin it
n
x(t)
x (i) pi
xp
i1
正则模态法
2020/10/22
9
无阻尼的受迫振动
一、系统对简谐激励的响应
M x K xF 0eit
xH()F0eit xXeit
XH()F0
2020/10/22
10
无阻尼的受迫振动
二、模态叠加法
M x K xF 0eit
m
m
l
l
l
FF
F
F y1
y2
F
2020/10/22
15
解：
sin1
1
Hale Waihona Puke y1 lsin22
y2y1 l
sin3
3
y2 l
根据 m 1 m的2 自由体动力平衡关系，有：
m 1 y 1 F s1 i F n s2 i n F y l 1 F y 2 ly 1 F ly 2 2 y 1 m 2 y 2 F s2 i F n s3 i n F y 2 ly 1 F y l 2 F l y 1 2 y 2
无阻尼的受迫振动
三、任意激励力的响应
M xK xF (t)
M p x p K pxpF p(t)
xpi0thp(i)Fp(it)dt
hpi()
1
Mpi i
sinit
x ( t) 0 th p ()T F ( t ) d 0 t h p ()T F ( t ) d
h()hp()T
x(t) xp
Bi iBpi
Bpi
(1si2)2(2isi)2
i
arctan 2isi
1 si
B pi
F pi K pi
i
C pi 2 M pi i
i
K pi M pi
si i
2020/10/22
14
4.7 两质量均为m的质点系于具有张力F的弦上，
如图所示。忽略振动过程中弦张力的变化写出柔度 矩阵，建立频率方程。求系统的固有频率和模态， 并计算主质量、主刚度、简正模态，确定主坐标和 简正坐标。
第二章 多自由度线性系统
2020/10/22
1
多自由度线性系统
力学模型和数学模型 无阻尼系统的自由振动 无阻尼系统的受迫振动 有阻尼的受迫振动
2020/10/22
2
数学模型
牛顿法 拉氏方程法
M x C x K x F ( t )
2020/10/22
（实际中较多见），取 Cpij 0
2020/10/22
13
有阻尼系统受迫振动
M p x p C p x p K p x p F p e i t 阻尼矩阵为对角化
x i2xx Be p i
2 i i p i i p i
2it
p i i
i 1,2,....,n
xp(it)B isinit ( i) i1,2,....,n
1 2m F l1m F l, 2 2m F l23 m F l 2Y1Y20：
1. 1. 00
Y Y1 212 111, Y Y1 222 121
2020/10/22
1. 1. 00
17
7
无阻尼的自由振动
Mpi (i)TM(i)
Kpi (i)T K(i)
(i) N
(i) M pi
n
x(t) i(i)sin(iti) i1
(1 1
(1 2
) )
(2) 1
(2) 2
... ...
... ...
( 1
( 2
n n
) )
... ... ... ... ...
(1) n 1
(2) n 1
...
...
( n
n) 1
1 1 ... ... 1
i
K pi M pi
2020/10/22
8
无阻尼的自由振动
用模态叠加法求解
M px ip i K px ip i 0
x x
p p
( (
0 0
) )
1 1
x x
(0) (0)
主坐标法
xpiisi nit (i)
M p x pK pxpF pei t
xpii2xpiB i i2eit
xpi
1
Bi si2
eit
2020/10/22
si
i
x
n
Fe (i) (i)T it 0
i1 Kpi 1si2
(i) (i)T
x(t) Kpi 1si2
F0eit
共振模态
Bi
T F0 K pi
11
多自由度系统的脉冲响应矩阵
hp1 () 0 ... 0
hp()
0 0
hp2 () ...
0 ...
0
0
0
0 ... hpn ()
2020/10/22
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有阻尼系统受迫振 动
M x C xK xF 0 ei t 阻尼矩阵为对角化
1. 比例阻尼 CMK 2. 弱非对角矩阵
即非对角元素相对主对角元素较小时
故： m 01 m 02 y y 1 2 F l 21 21 y y1 2 0
2020/10/22
16
当 m1 m2 时，令：
y1Y1si nt
y2Y2si nt
2ml F
代入矩阵方程，有：
2
1
21YY120
2 1 2 1 22 1 1 3 0
1,2 1,3
3
B.频率方程有零根情形
1 0
K 为半正定
M (1)T
(i)T
0
消除刚体运动约束条件
缩减矩阵 增广矩阵：
2020/10/22
6
C.频率方程有重根情形
( j)
( j )'
j
j
C (i1)
(j1)'
(j)
j j1
(j)TM(j1)2 C
(j)T M(j)
2020/10/22
xpixp(i0)co itsx p (ii0)sin it
n
x(t)
x (i) pi
xp
i1
正则模态法
2020/10/22
9
无阻尼的受迫振动
一、系统对简谐激励的响应
M x K xF 0eit
xH()F0eit xXeit
XH()F0
2020/10/22
10
无阻尼的受迫振动
二、模态叠加法
M x K xF 0eit
m
m
l
l
l
FF
F
F y1
y2
F
2020/10/22
15
解：
sin1
1
Hale Waihona Puke y1 lsin22
y2y1 l
sin3
3
y2 l
根据 m 1 m的2 自由体动力平衡关系，有：
m 1 y 1 F s1 i F n s2 i n F y l 1 F y 2 ly 1 F ly 2 2 y 1 m 2 y 2 F s2 i F n s3 i n F y 2 ly 1 F y l 2 F l y 1 2 y 2
无阻尼的受迫振动
三、任意激励力的响应
M xK xF (t)
M p x p K pxpF p(t)
xpi0thp(i)Fp(it)dt
hpi()
1
Mpi i
sinit
x ( t) 0 th p ()T F ( t ) d 0 t h p ()T F ( t ) d
h()hp()T
x(t) xp
Bi iBpi
Bpi
(1si2)2(2isi)2
i
arctan 2isi
1 si
B pi
F pi K pi
i
C pi 2 M pi i
i
K pi M pi
si i
2020/10/22
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4.7 两质量均为m的质点系于具有张力F的弦上，
如图所示。忽略振动过程中弦张力的变化写出柔度 矩阵，建立频率方程。求系统的固有频率和模态， 并计算主质量、主刚度、简正模态，确定主坐标和 简正坐标。