韩山师范学院2011年专升本插班生考试试题

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韩山师范学院2011年专升本插班生考试试题

数学与应用数学 专业 高等代数 考试 (A 卷)

一、选择题(每小题3分,共12分)

1. 设A 、B 都是n 阶方阵,则下列结论正确的是 ( )。

(A )若A 不可逆或B 不可逆,必有AB 不可逆 (B )若A 可逆或B 可逆,必有AB 可逆 (C )若A 、B 都可逆,必有A +B 可逆 (D )若A 、B 都不可逆,必有A +B 不可逆

2. 设σ为向量空间V 的线性变换, ,λμ是σ的不同本征值,α1 , α2 ,…, αn 与β1 ,

β2 ,…, βn 分别是σ的属于,λμ的线性无关的本征向量,则下列结论正确的是 ( )。

(A )α1+β1 , α2 +β2,…, αn +βn 线性无关 (B )α1+β1 , α2 +β2,…, αn +βn 线性相关 (C )α1 , α2 ,…, αn , β1, β2 ,…, βn 线性无关 (D )α1 , α2 ,…, αn , β1, β2 ,…, βn 线性相关

3.数域F 上的不可约多项式()f x 在数域F 内一定没有根,这个结论 ( )。

(A )当F 为复数域时成立 (B )当F 为实数域时成立 (C )当F 为有理数域时成立 (D )F 为任何数域都不成立 4. 在欧氏空间C[0, 2π]中,向量x 2的长度等于 ( )。

(A )5325π (B (C )38

3

π (D

二、判断题(每小题2分,共16分。你认为正确的,在题后圆括号内打“√”,错误的打“×”。)

1. 两个数域的交是一个数域。 ( )

2. 三次的实系数多项式一定有实根。 ( )

3. 映射f : A →B 有逆映射的充要条件为f 是单射。 ( )

4. 设A 是4阶方阵,那么 det ( - A ) = - det A 。 ( )

5. 如果矩阵A 与矩阵 B 有相同的特征根,那么A 与B 相似。 ( )

6. 在欧氏空间V 中,如果2,,,ξηξξηη〈〉<〈〉〈〉,那么0,0ξη≠≠。 ( )

7. 设A 是向量空间V 的一个基到另一个基的过渡矩阵, 那么A 一定是正交矩阵。 ( )

8. 设多项式()f x 在有理数域上没有重因式,那么()f x 在复数域内不会有重根。 ( ) 三、填空题(把答案填在题中横线上。每小题3分,共24分)

1. 数域F 上两个n 元二次型等价的充分必要条件是它们的矩阵 。

2. 复数域C 作为自身的向量空间, 维数是 。

3. 设n 元排列12

n i i i 的反序数为k ,则排列21n

i i i 的反序数= 。

4. 若一个系数矩阵秩为r 的线性方程组无解,则它的增广矩阵的秩= 。

5. R 3的向量(4,12,6)关于基(-2,1,3),(-1,0,1),(-2,-5,-1)的坐标为 。

6.二次型222

123412

31223(,,,)3224q x x x x x x x x x x x =+-+-的矩阵A =

7. 行列式2

151130602121

4

7

6

-----= 。

8. F 2[x ]中,线性变换:()()f x f x σ'关于基2{1,,}x x 的矩阵A =

四、(8分)求线性方程组的一般解:

12341234

12341234231,

363,32153,51013 3.

x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨

--+=⎪⎪--+=⎩

五、(8分)矩阵

111

242

335

A

-

⎛⎫

=-

--

⎝⎭

是否可以对角化?如果可以对角化,求出

可逆矩阵T,使T-1AT为对角矩阵。

六、(8分)设f : A→B, g : B→C是映射,又令h =g f. 证明:如果h是满射,那么g也是满射。

七、(8分)设数域F上向量空间V的向量组{α1, α2, α3}线性无关,向量β1可由α1 , α2 , α3线性表示,而β2不能由α1 , α2 , α3线性表示。证明:k F

∀∈,向量组{α1 , α2 ,α3, kβ1+β2 }线性无关。

八、(8分)设(),()f x g x 是数域F 上不全为零的多项式,且

()((),())d x f x g x =,11()()(),()()()f x d x f x g x d x g x ==.

证明:11((),()) 1.f x g x =

九、(8分)设A 为m × n 矩阵, B 为n ×m 矩阵,且AB 可逆。证明:

秩A = 秩B = m .

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