韩山师范学院2011年专升本插班生考试试题

韩山师范学院2011年专升本插班生考试试题
数学与应用数学 专业 高等代数 考试 （A 卷）
一、选择题（每小题3分，共12分）
1. 设A 、B 都是n 阶方阵，则下列结论正确的是 ( )。

（A ）若A 不可逆或B 不可逆，必有AB 不可逆 （B ）若A 可逆或B 可逆，必有AB 可逆 （C ）若A 、B 都可逆，必有A +B 可逆 （D ）若A 、B 都不可逆，必有A +B 不可逆
2. 设σ为向量空间V 的线性变换, ,λμ是σ的不同本征值，α1 , α2 ,…, αn 与β1 ,
β2 ,…, βn 分别是σ的属于,λμ的线性无关的本征向量，则下列结论正确的是 ( )。

（A ）α1+β1 , α2 +β2,…, αn +βn 线性无关 （B ）α1+β1 , α2 +β2,…, αn +βn 线性相关 （C ）α1 , α2 ,…, αn , β1, β2 ,…, βn 线性无关 （D ）α1 , α2 ,…, αn , β1, β2 ,…, βn 线性相关
3．数域F 上的不可约多项式()f x 在数域F 内一定没有根，这个结论 ( )。

（A ）当F 为复数域时成立 （B ）当F 为实数域时成立 （C ）当F 为有理数域时成立 （D ）F 为任何数域都不成立 4. 在欧氏空间C[0, 2π]中，向量x 2的长度等于 ( )。

（A ）5325π （B （C ）38
3
π （D
二、判断题（每小题2分，共16分。

你认为正确的，在题后圆括号内打“√”，错误的打“×”。

）
1. 两个数域的交是一个数域。

( )
2. 三次的实系数多项式一定有实根。

( )
3. 映射f : A →B 有逆映射的充要条件为f 是单射。

( )
4. 设A 是4阶方阵，那么 det ( - A ) = - det A 。

( )
5. 如果矩阵A 与矩阵 B 有相同的特征根，那么A 与B 相似。

( )
6. 在欧氏空间V 中，如果2,,,ξηξξηη〈〉<〈〉〈〉，那么0,0ξη≠≠。

( )
7. 设A 是向量空间V 的一个基到另一个基的过渡矩阵, 那么A 一定是正交矩阵。

( )
8. 设多项式()f x 在有理数域上没有重因式，那么()f x 在复数域内不会有重根。

( ) 三、填空题（把答案填在题中横线上。

每小题3分，共24分）
1. 数域F 上两个n 元二次型等价的充分必要条件是它们的矩阵 。

2. 复数域C 作为自身的向量空间, 维数是 。

3. 设n 元排列12
n i i i 的反序数为k ，则排列21n
i i i 的反序数= 。

4. 若一个系数矩阵秩为r 的线性方程组无解，则它的增广矩阵的秩= 。

5. R 3的向量（4，12，6）关于基（-2，1，3），（-1，0，1），（-2，-5，-1）的坐标为 。

6.二次型222
123412
31223(,,,)3224q x x x x x x x x x x x =+-+-的矩阵A =
7. 行列式2
151130602121
4
7
6
-----= 。

8. F 2[x ]中，线性变换:()()f x f x σ'关于基2{1,,}x x 的矩阵A =
四、（8分）求线性方程组的一般解：
12341234
12341234231,
363,32153,51013 3.
x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨
--+=⎪⎪--+=⎩
五、（8分）矩阵
111
242
335
A
-
⎛⎫
⎪
=-
⎪
⎪
--
⎝⎭
是否可以对角化？如果可以对角化，求出
可逆矩阵T，使T-1AT为对角矩阵。

六、（8分）设f : A→B, g : B→C是映射，又令h =g f. 证明：如果h是满射，那么g也是满射。

七、（8分）设数域F上向量空间V的向量组{α1, α2, α3}线性无关，向量β1可由α1 , α2 , α3线性表示，而β2不能由α1 , α2 , α3线性表示。

证明：k F
∀∈，向量组{α1 , α2 ,α3, kβ1+β2 }线性无关。

八、（8分）设(),()f x g x 是数域F 上不全为零的多项式，且
()((),())d x f x g x =,11()()(),()()()f x d x f x g x d x g x ==.
证明：11((),()) 1.f x g x =
九、（8分）设A 为m × n 矩阵， B 为n ×m 矩阵，且AB 可逆。

证明：
秩A = 秩B = m .。